Обобщенная корректность абстрактной задачи Коши в локально выпуклых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАД2Ш НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

институт математики

На цраьах рукописи . УДК 517 »9 83 : 517.986

МЕ/ЗЬНККСЗ Евгений Владимирович

9

ОБСЩЕНШЯ КСРРЕКТНССТЪ АБСТРАКТНОЙ ЗАДШ Ж7Л Б ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

01.01.01 - математический апалгз'

Автор е § е р а г

диссертации на созсканае учен^Ч степени кандидата фя?.пко-иатшатр.ческих каук

»

Новосибирск - 1983

/

Работа выполнена ь отдеге анализа и геометрии Института математики СО АН СССР.

Научный руководитель - кандидат физико-математических ^

наук, доцзнт Иванов В.Б.

Официальные оппоненты: доктор фтшсо-матема'.ических

ь^ук Аграновский М.Л.,

доктор физико-мнтематичбских " наук Цетюхо В.А.

Водущая организация - Белорусский государственный

университет .км. В.И.Ленина

Защита состоится "_"__ 1989 г. в_час с ^

на заседании стщиблиачрйв&шого совета К С02.23.02 в Институте математики СО АН СССР по адресу: 630090, Новоскбирск-9Э, Университетский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться' в библиотеке Института математики СО АН СССР.

Автореферат разослан "__" 1559 г.

Ученый секретарь

специализированного совета ¿7

кандидат физико-математических наук^^/^

.В.Иванов

\

оетдя штяятш рабски

Актуальность те:.и. В своей .классической работе^ Е.Лионе в случае оана- »а пространства аз ел пэлягие поду-группн-раслределенпя и полупит для ноо теорему порогдеа/л з терминах счЗобщенной корректности (корректнсстг в c:.zJ^^;.z•^ -векторнозначяих распределений) соответствующе?; г-бефактной задачи Копи (ЛГЖ) . Вовмахность порождения личейкым оператором экспоненциальной полугруппы распределения оа охарактеризовал в терминах корректности АЗК в екголе векторно-значнчх распределений медленного роста. З.Лиоь установил такте, что для поро:кдениг линейным оператором экспоненциальной полугрупш-распредгления необходимо и достаточно, чгобн он был замкнут, плотно спре' елен и в правой полуплоскости имел резольвенту, удовлетворяющую полиномиальной оценке. Тем самым, Лионе получил спектральную характеризаспь, обобщенной корректности соответствующей АйК. Н.Шэзарейн^дел спектральную характер:«гдао обобщенной корректности АЗК. для обыкновенного дифференциального оператора. " онечнего порядка с операторными коэффициентами (тздей оператор мешно отождествить с операторноеначдам распределением, носитель кото-ре,7',,/ сосредоточен в нуле) , Г.фатторинд^ 2вел понятие обобщенной корректности АЗК для произвольного опеуаторцо-зиачного распределен^. с неотрк^ел^шм носителей и дал ее спектральную характеризацш, обо<5":ш,гем Ъайшл,результата Лионса и Шазарейна.

1) ¿Ьпх XI. ¿ег ьетроареь А^г'Ликопа //Рог1шж1.

пА -1960. - V. 19. " Р. 141-1С'-/.

2) С/м.га.Гйлп У. Л? Сабеку о^кЪ"^^ <¿1 лррЕ».-

Си-Ксп^: л ^^ие:^ рго «йк^ей // X

19 7'.. - л/?. - Р. 3&6 -^'6.

3) Ро^огчпЛ Н.О. ТКе Сои-лсЬ^ М*". о..О.: А^^ол- ^/ввЦ Puti.Ce. -1083. - 636р.

Большое внимание бнло делено изучению обобщенной корректности дифференциально операторных уравнешй к в локально шпуклы:: пространствах (ЛЕИ) (см., например, ^ ~ 6;) ( при этом налагалась довоахно кесткне ограничения либо на само пространство, либо ка искомое фундаментальное решение). Особые усилия здесь бшси направлены на получение аналогов результатов Лионса о полугруг-ах-распределениях. Существенное продвижение при ятом было достигнуто В .3 .Ивановым, по-казазшам, что фундаментальное ранение эволюционного уравнения в яенормируемом пространстве моя:ет не би.ь полугруппои--распределенмеи в смысле Лионса и предахокивлим нозое понятие пс»(угрупсы-рас1>ределения, адекватно отражающее свойства фундаментальных ранений эволюционных уравнений в произвольных ДВР. Используя аппарат квазирезольвенты,Б.В.Иванов также установил критерий обобщенной корректности указанных ургшненяй и,тем сшйш,получил описание производящих операторов, введенных им полугрупп-распределений.

Нать работа - исследование з случае локально выпуклых пространств разллчшх видов обобщенно!;"корректности ¿ЗК для произвольного опера^орнозначного распределения с неотрицательном носителем и их спектральная харакяеризация (в терминах хвазирезольвекты исходного умеренного распределения).

4) SIúralsKl R.f Hlrata Y. Convolution map* and sei.-áaroup district lows //'J. Scl.UlrosKv.vwa Utxiv. Ser. k~\. ~ 196V.-V. 2S.-P. 71-SS. 3 UsVilj Liwa Т. Ол ^Ke obstruct СаисЦ pro¿£ems шЦ sew-^roapS of ¿Inear operaWs in &сеа1(!ч convex spaces //Sci. Papers Gen.&i.Unto. Tokyo. -Ш1. - V. Zi. -P..93 - Ш.

6) Вайнерыан В.И., Вувуникян Ю.М. Фухщаментальше фуакции дифференциальных операторов в локально «выпуклом пространстве Ц докл. АН СССР. - 1974. - Тч 214,-■ й I. -С. 15-18.

■ Научная новизна и практическая ценность. Все основные результаты диссертации являются ногами. Работа косит теоретический характер и может найти применение в теории абстрактной задачи Коши, при изучении бесконечномерных представлений сверточных алгебр и, возможно, в теории уравнений с частными производными. .

Методика исследования основана на использовании общих методов функционального анализа (особенно теории топологических векторных пространств) и классических методов теории функций.

Апробация работы, результаты диссертации докладавалссъ на семинаре по функциональному анализу в Институте математики СО АН СССР, на Омских областных математических конференциях (1933-1967 годы) , на 17 Школе научной молодежи Сибири и Дальнего Востока (Новосибирск, 1987 год) , на П конференции молодых ученых Сибири и Дальнего Востока (Новосибирск, 1988 год) , на 2П п ХШ Всесоюзных школах по теории операторов в функциональных пространствах (Тамбов, 1987 год; Куйбышев, 1988 год J .

Публикации, результаты диссертации опубликованы в работах автора [I -51 .

Структура и объем диссертации. Диссертация излозена на 121 странице машинописного текста и состоит из введения, четырех глав Я заклшчети.. Список литературы содержит 45 • названий. .,-■■... .'•'••

: СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит 1фаткое излоаение и обсувдение основных результатов диссертация. Буквами )( д £ обозначаем комплексные отделише локально выпуклые пространства (ЛВД) .

L (X, Е.) - пространство линейных непрерывных отображений

X в Е » наделенное топологией равномерной сходимости на ограниченных подмножествах X • Ix ~ единица алгебры

Ш)*-ЦХ,Х). Если х'еХ''=1(Х,С),ХбХ, ™

< х,х'>•.■=■ х'(х)• Spsc X - liHOsecTBo всех непрерывных полунорм на X ♦

У н - классические пространства основных функций.

- мера Дирака, Ц - функция ХевпсаГда.

В первой главе излагаются свойства векторкозначицх распределений (БЭР) , необходимые при изучения обобщенной корректности АЗК.

В § I рассматриваются основные классы венторчозначных распределен!.!!, если ¿Г - не:-' горое пространство основных функций, то 3~'(Х): - / (3^ X) ~ соответствующее пространство ВЗР.

ТЦХ) := { Т<? I 5<л1ТТ 5 , й б к.

Есга У, £), то 1кА йт , где "

' л с ¡V

— У, (л с- №) соответственно. Ядесь { к'п1] -

возрастающая последовательность компактов, покрывающая |\ . Далее считаем, что { У £)1).

Особой внимание уделено свойствам теьзорного произведешь и свертки вгааорнозначных распределений ( § 2 ) , преобразованию Лапласа и теоремам Пэли-винера-фварца для вектор-нозначных распределений различных классов (§ з) .

Основные результаты диссертации изложены в главах 2 и 3.

В главе 2 рассматривается общие свойства различных видов обобщенной корректности АЗК. В § I вводится несколько понятий обобщенной корректности АЗК, естественных для случая локально выпуклых пространств.

ПУСТЬ р€ %Ше,Х))9 Г'(%>:= ¿»Л э;'(Д

а—оо

Задача Коши для Р называется •Эг' - обобщенно корректной, если

1) Н1. ие % ^»р > { >

2) отображение { непрерывно из (X) в

Задача Ксшя для Р называется квазм:орректпо2

( - слабо котзреетной ), если

Г) V х с X 3! их 6 ¿Г0'( Е) : Р * и г

2') отображение 0: непрерывно из X в <г )

(при наделении последнего топологией поточечно» сходкдастг.). Если вместо 2") гкшхтнено условие: для лк5ого ПС- // непрерывно билинейное отображение

3\*х э Е,

то задача Коши называется Зг>- сильно корректной.

Эг> ~ Фундаментальная функция ( фундаментальное решение задачи Коши) для Р - это линейное ограниченно эк-винепрс-рывное, то есть пер ходящее ограниченные мновества в эквинепрерывные, отображение "Т-. Т—* ¿(Х,Е.) такое, что

Она называется сильной, если непрерывны отображения *Х э (у,л) ■—е. Е , пе /V.

ТЕОРЕМА. 2.1.4. дам задачи Коим (для Р ) рассмотрим условия:

1) -Э7'- обобщенная корректность;

2) - квазикорректность;

3) Эг'- слабая корректность; -

4) Эг'- сильная корректность;

5)существование -3*'- фундаментального решения;

6) существование сильного фундаментального решения. Тогда справедливы импликации:

(.!)=>(2)^(3) , (6) =?>(!) =>(2; , Если X метризуемо, то (3)^;>(4) . Если Е; секвенциально полно, то (2)-Ф(1)->(5) , <4.)-л(0) . ЕслаРб^'®/(Е,Х), то (2)< >(5) , (4 к=>(6) без предположения секвенциальной

полноты е »

для распределения Р с носителем в нуле установлены, в некотором сшсле характеристические, свойства его - фундаментальной функции. - ■

для дифференциального оператора - к , ассоциируемого с распределением - А , определено понятие равномерной квазикорректности и в щ^дпслояении (секвенциальной) плотности Аоул А в (секвенциально) полном ЛШ X показана X)' - сильная корректность равномерно квазикорректной задачи Кодзи для этого оператора. Тем сашы,усилен соответствующий результат Ж.Шазарейна2-) . ■

В § 2 показана принадлежность широкого класса пространств линейных непрерывных операторов классу А0 Д.А .Райкова7^ и, следовательно, справедливость для таких пространств теоремы о замкнутом графике. Из этого вытекает

ТЕОРИЙ 2.2.7. Пусть Е - регулярный индуктивный предел последовательности пространств Ореше. X - индуктивный предел произвольного семейства пространств Фреше. Если для кавдого х 6 X существует единственное ВЗР К е Оо'(Е ) такое, что Р* и = ос , то задача Коши для Р л?"' - обобщенно корректна.

В § 3 определяется соцряненноё операторнозначное распределение, и устанавливается зависимость мевду обобщенной корректностью /ЗК для исходного и сопряженного распределений.

В § 4 рассматриваются некоторые примеры дифференциаль-но-операторшх уравнений, подчеркивающие актуальность понятий обобщенной корректности, введенных в § I. В частности, приведен пример рефлексивного пространства X и непрерывного оператора А в нем такого, что задача Коши для

<$ - 8 ®А У*' - обобщенно корректна, но не является £У - сильно корректной. .

7) райков дл. Двусторонняя теорема о замкнутом графике для топологических линейных пространств /I Сиб. мат. журн. -1966. - Т. 7, # 2. - С. 333-372.

Глава 3 посвящена спектральной характеризации различных ЬчДов обобщенной корректности АЗК для операторнозначшх распределений медленного роста с неотрицательным носителем. В § I вводился понятие (квази) резольвенты распределения указанного вида и изучаются ее свойства. § 2 посвящен непосредственно сйектральной характеризации, то есть критериям различных ййдов обобщенной корректности АЗК для вышеуказанных распределений в терминах их (квази) резольвент. В § 3 даются. 1фй»фйи обобщенной корректности АЗК дня возмущенного операторйЬзначного распределения.

Сфорглулируам некоторые из упомянутых результатов, Пространства X и Е предполагаем секвенциально полными. Так как р е У0' (1(Е,Х)),Т0 670 преобразование Лапласа ^р Ш определено и аналитично по крайней мере в

П^.ьДлеС |(их>оЬ.

ШРВДЕЛЕНИЕ 3.1.3. Квазирезольвентой распределения Р в ЬбЛаеэв Л с По назовем такое отображение

<й«55ражения

, Н.а>«Й(А)*р(АЫЕ ,АеЛ

ддз некоторого а >0 удовлетворяот условиям:

1) Уре$ре<Х,**Х Зм^оо УлеА

р(Н+Сх)х) 4 а

2) У^е^Е.ееЕ 3 кеЛ'.оо УАеЛ

Н+ и И- - правый и левый дефекты квазирезольвента Я. Воли они равны нулю, то I? называем резольвентой Р и обозначаем (А Р ).

Множество {Хе£ (¿»о.ро;

называется логарифмической областью^).

TEC.PE.iA 2.2.7. Для - обобщенной корректности зада: х'.озз для р необходимо, а если | и Е бочечки, то и ...остагочно, чтобы в некоторой логарифмической области А -уцествозала сильно аналитическая квазирезольвента Я распределения Р , удовлетворяющая условию:

Уе'еЕ', хеХ Зп*Л/,с>о \/леЛ

1<1>(л)*,е'>1 4

Говорят, что Р принадлежит классу (X, Е) }

если Р имеет фундаментальную функцию Г такую, что е-^Т € У'СКХ, Е)) для любого

ТЕОРЕМА. 3.3.6. Пусть X и Е - бочечные,Р^ё [I(Е, X)) и Р^ е (Х,Е)'1 (и тогда для принадлежности

1)аснределенкя р^ + р классу (Х.Е)'1, необходимо

и достаточно, чтс Зы было определено и сильно аналитично ° отображение

V: Г1Ы Э * — ( 1Х ^(А)^;?^

причем ¿5" > иэ,

I <Уа)х,х'>( 4 с(1 + 1А\)п.

В главе 4 результата глав 2 и 3 применяются к полугруп-пам-обобщенным функциям. В § I рассматриваются основные свойства некоторых классов полугрупп-обобщеншх функции. Показывается, что для ^пупд-обоощендах функций, как и для групп операторов, справедливо утверждение о '-'ом, что линейный оператор Д поровдает группу тогда и только тогда, когда операторы ^ и -Д пороздают некоторые полугруппы.

ПИ этом, следуя В.В.Иванову, полугрупшх.-обобщенной функцией (П0Ф) в секвенциально полной пространстве X называем ограниченно эквинепрерывное распределениеТ^ 2' (¿(X)} удовлетворяющее условия.): '

о

10

î} Т(ч> * fJ = t (?), «m* £>

г) (UT- О

^ ел

Производящий оператор Д ПОО 1" определяется соетно-ценлел1

{X2 | v/<fc-D Т0е>М = -<ffo)xV

Б § 2 вводится понятие квазиреиользенты линейного оператора Д , соответствующее понятию квазарезольвечты распределения о1'®!« _ к выше) . Поэтому результаты главы 3 почти автоматически переносятся на полугруппы-обоб-пенные функции и, тем сашм, устанавливаются теоремы порач-дения удя различных классов полугрупп-обобщенных функций в терминах (квази) резольвент их производящих операторов, а такке необходимые и достаточные условия для того чтобы возмущение производящего оператора ПОФ внозь было производящим оператором полугруппы-обобщенной функции того не класса. В частности, справедливы следующие теореш

ТЕСРЕШ. 4.2.2.. Для' уого чтобы лине&ый оператор ^ порождал полугрудпу-обобщенную функцию, необходимо, а если X бочечно. то и достаточно, чтобы он был замкнут к в некоторой логарифмической области А имел квазирезользенту R таку:о,

410 Vx'éX',xeX ЗлеЛ^,с>о УлеЛ

\<î<Wx,x'y\ <. C(i+Ulf.

ТЕОРЕМА. 4.2.II. Если Д - производящий оператор экспоненциальной ПОТ в бочечном пространстве X и линейный оператор В непрерывен относительно Д , то для пороадеяия оператором А + В экспоненциальной ПОФ необходимо и достаточно,

чтобы в некоторой полуплоскости Пи было определено и сально аналитично отображение

пркчт. Ух'е Г, УлеПи

|<Уа)*,*'>| 4 с (1+ иО*. .

В заключении отмечается возможность переноса результатов диосертадии на случай, когда речь идет о корректности АЗК в сюсле- векторнозначных ультрараспределений (распределений Е еврея ).

Пользуясь случаем,автор благодарит своего научного руководителя В .В.Иванова за поддержку и полезные обсуждения.

работа! автора по те; j диссертации:

I .* Мельников Е.В. Об однопарачетричезких группах оае-ратстро'й'з локально выпуклых пространствах // Скб. тт. курн.

- 19®.'-'Т. 26, И 6. - С. 167-170.

2;*Мельников Е.В. Обобщенная корректность абстрактной з адата Коши /У Тез ecu п конференции молодых ученых Сибири к Дальнего Востока. - Новосиб. ун-т. Новосибирск, 1988. -С :-эМ5.

3. Мельников Е.В. Еекторнозначные обобщенные функции и обобщенная корректность абстрактной задачи Копи / Омский гос.-ун-т. - Омск, 1988. ~ 79 с. - Деп. в ВИНИТИ 15.03.68,

;»гам - В88.

4. Мельников Е.В. Обобщенная корректность абстрактной задачи Коши и полугрухш-обобценные функции / Омский гос. ун-т. - Омск, 1988. - 81 с. - Деп. в ВИНИТИ 27.07.8S, JS 6083

- В88.

5. Мельников Е..В. О билинейных отображениях локально выпуклых пространств // ХШ Всесоюзная школа по теория операторов в функциональных пространствах: Тез. докл. - Куйбышев, 1988. - С. 133-134. Q