Обобщенная задача Коши для нелинейной системы с особенностью и ее приложение в газовой динамике тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

на. правах рукописи

РГ8 ОД 11 НОЯ 1986

КАЗАКОВ Александр Леонидович

ОБОБЩЕННАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ С ОСОБЕННОСТЬЮ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЕ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ

Специальность 01.01.02. - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург - 1996

Работа выполнена в Уральской государственной университете им. A.M. Горького на кафедре вычислительной математики.

Научный руководитель • доктор физико-математических наук,

профессор ВАУТИН С.П.

Официальные оппоненты - доктор физико-математиических наук,

профессор ТЕШУКОВ В.М. • кандидат физико-математических наук, доцент ДЕРЯБИН С.Л.

Ведущая организация - Институт вычислительных

технологий СО РАН

Защита состоится n2Q nf COS б/г. ¡2 1996 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета К 063.78.03 по присуждению ученой степени кандидата физико- математических наук в Уральском государственном университете им. A.M. Горького (620083, г. Екатеринбург, пр. Ленина, 51, комн. 248).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Уральского государственного университета.

Автореферат разослан " 2.Q " ОКТО- 51 Д 1996 г,

Ученый секретарь диссертационного совета

к.ф.-м. н,, доцент " " Пименов В.Г.

Диссертация посвящена исследованию обобщенной задачи Копт (задачи Конга с начальники данными на разных поверхностях) для квазилинейных систем с особенностью. Проведенное исследование использовано для решения задач о фокусировке газа с последующим отражением с конечной скоростью ударной волны.

Актуальность темы. Для нелинейных систем уравнений с частными производными классическим результатом является теорема Копш-Ковалевской. Эта теорема обеспечивает существование и единственность решения задачи Копти для квазилинейной системы, если отличен от нуля определитель матрицы, стоящей перед вектором выводящих производных и все входные данные являются аналитическими. Решение в этом случае строится в виде степенных рядов (рядов Ковалевской). Коэффициенты рядов рекур-рентно определяются иэ алгебраических уравнений. Локальная сходимость рядов доказывается методом мажорант.

Эта ситуация является самой простой с точки зрения постановки начально-краевой задачи. Однако при решении прикладных задач возникают и более сложные постановки: например, задача, Копта неразрешима относительно выводящих производных, или возникающая задача вообще не является задачей Копта. Поэтому одной из актуальных проблем теории дифференциальных уравнений с частными производными является доказательство аналогов и обобщений теоремы Коши-Ковалевской.

Бели задача Копта для системы квазилинейных уравнений с частными производными имеет особенность: обращается в нуль определитель матрицы, стоящей перед вектором выводящих производных, то возникают различные ситуации, причем, в некоторых случаях такая задача разрешима в классе аналитических функций. Для единственности решения необходимо, как правило, наложить некоторые дополнительные требования. В частности, имеет место характеристическая задача Коши, для которой в случае линейной гиперболической системы В.М.Бабич, Р.Курант, БХи^Ь^ разработали метод представления решений в виде "обобщенной

бегущей волны"— ряда по специальным системам функций, зависящих от <р> где <р = 0 есть уравнение характеристической поверхности исходной линейной гиперболической системы. Коэффициенты рядов находятся посредством решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В.М.Бабич, О.ЬткЬ^, О.Р.П.ОиЯ' доказали сходимость этих рядов в "малом". Конкретная характеристическая задача Копт для нелинейной системы уравнений газовой динамики решена А.А.Дородницыньш. А.Ф.Сидоровым предложен метод построения решения характеристической задачи Коши в виде степенных рядов, коэффициенты которых определяются при решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В дальнейшем этод метод был развит в работах А.Ф.Сидорова и его учеников. Сходимость построенных рядов установлена С.П.Баутиным.

Обобщение теоремы Коши-Ковалевской на случай, когда начальные данные для разных функций одновременно заданы иа разных поверхностях было доказано Н.А.Ледневым (именно в его работе был впервые использован термин "обобщенная задача Копта"). Решение задачи строится в виде степенных рядов, коэффициенты которых определяются из систем линейных алгебраических уравнений. Приведены достаточные условия существования формального решения и сходимости рядов. В ходе решения конкретных газодинамических задач обобщенную задачу Коши (задачу Коши с начальными данными на разных поверхностях) для аналитической системы исследовал В.М.Тешуков. С.П.Баутин изучил задачу Коши с начальными данными на разных поверхностях для аналитической системы 2-х квазилинейных уравнений. В его работах сформулированы необходимые и достаточные условия существования решения в виде степенных рядов, коэффициенты которых рекуррентно определяются из систем линейных алгебраических уравнений. Приведены достаточные условия сходимости рядов. Обобщенная задача Коши в линейном случае рассмотрена также в работах С.^^всЫ, К.^ап и др.

Содержательным приложением теории.уравнений с частными производными является решение задач механики сплошной среды, в частности, газовой динамики. В втой связи пеобходимо упомянуть книги Б.Л.Рождественского и Н.Н.Яненко, Л.В.Овсянникова, Л.И.Седова, Р.Куранта. Метод характеристических рядов использовал для решения задач газовой динамики в работах А.Ф.Сидорова, С.П.Баутина, С.С.Титова, Л.Г.Корзунина, С.Л.Дерябина и многих других. Широкий класс автомодельных решений описан в работах Л.И.Седова, Е.И.Забабахина, Я.М.Каждана, С.К.Годунова.

Обобщенная задача Коши также налила применение б газовой динамике. В работах М.Ю.Козманова проводится построение кусочно-аналитических решений системы уравнений газовой динамики, состыкованных между собой через ударные волны, в виде формальных рядов. В работах В.М.Тешукова не только построены кусочно-аналитические решения системы уравнений газовой динамики в виде рядов, но и доказана сходимость этих рядов для многих начально-краевых задач, в том числе, о пространственном взаимодействии сильных разрывов в газе и об отражении криволинейной ударной волны от жесткой стенки.

Особо отметим, что обобщенная зК (эК с начальными данными на разных поверхностях), рассмотренная в работах Н.А.Леднева, В. М.Тенту ков а, С.П.Баутина и автора, и смешанная задача, рассмотренная в [27], [65], различны и не сводятся друг к другу.

В данной диссертации рассматривается обобщенная задачи Кош» (задача Коши с начальными данными на разных поверхностях) в случае, когда в задаче имеется особенность специального вида. Приведены необходимые и достаточные условия существования формального решения в виде степенных рядов и достаточные условия сходимости рядов. Построен контрпример, который по-сяамияет, что эти задачи не сводятся к ранее рассмотренным ся т мяы. Доказанные теоремы используются при решении задач о Ьокугипппке газа на ось или в центр симметрии с последу-

ющим отражением с конечной скоростью ударной волны. Доказательство носит конструктивный характер, что позволяет получить коэффициенты рядов в явном виде и использовать их для приближенного построения полей течений газа.

Методы исследования. В работе использованы методы теории дифференциальных уравнений с частными производными и математической физики, в частности, метод представления решения в виде степенных рядов и метод мажорант для доказательства сходимости рядов.

Цель работы.

1. Доказательство теорем существования и единственности для задачи Коши с начальными данными на разных поверхностях (обобщенной задачи Коши)...............

2. Построение решений задач в виде рядов с рекуррентно вычисляемыми коэффициентами.

3. Применение доказанных теорем и построенных решений к задачам газовой динамики.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Для новых постановок обобщенной задачи Коши (задачи Коши с начальными данными на разных поверхностях) доказаны теоремы существования и единственности аналитических решений.

2. Приведен контрпример, который показывает, что эти постановки не сводятся к ранее рассмотренным.

3. Построены неавтомодельные течения газа с ударными волнами, расходящимися от оси или центра симметрии с конечной скоростью, тем самым, обобщены известные автомодельные течения Л.И, Седова.

' Теоретическая ценность работы состоит в доказательстве двух новых теорем существования и единственности для системы квазилинейных уравнений с частными производными.

Практическая ценность работы состоит в том, что доказанные теоремы и построенные решения применены к решению содержательной задачи газовой динамики.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на научных семинарах в Уральском государственном университете, в Институте математики и механики УрО РАН, в Институте гидродинамики СО РАН, Уральской государственной горногеологической академии, Институте вычислительных технологий СО РАН, на 10 зимней школе по механике сплошных сред в Перми, на IV международной конференции "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике" в Казани, на 27-й молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" в Екатеринбурге, на третьей Всероссийской школе-семинаре "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике ленд-кости и газа" в Москве.

Публикации. По теме диссертации опубликовано б работ.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, восьми параграфов, заключения, приложения и списка литературы. Объем диссертации составляет 113 страниц машинописного текста, включая 16 рисунков,1 таблицу и 66 библиографических ссылок.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение содержит обзор современного состояние исследуемой проблемы и краткое изложение основных результатов работы.

В первой главе решаются обобщенные задачи Копта (задачи Коши с начальными данными на разных поверхностях) различного вида. Доказывается ряд теорем существования и единственности локально аналитического решения. Сформулированы различного вида достаточные условия, при которых справедливы доказанные теоремы.

Глава содержит 4 параграфа.

В параграфе 1 рассматривается задача.

их = й(яг, у, а, и)чу + Ь(х} у,«, ь)ух + /(г, у, и, и), у, =с(х,у}и,,у)иу + <1(х,уущу)ух+д(х1уущь)} (1)

и(0,2/) = 0, |»(я,0) = 0.

Здесь и, V- неизвестные функции, х,у- независимые переменные.

В начале параграфа для того, чтобы сохранить последовательность и логичность изложения материала, приводится известная теорема.

Теорема 1. Пусть в задаче (1) функции а,6,сД/, д являются аналитическими в некоторой окрестности точки 0(х = (1,у*0,и = 0,1/ = 0),Введем константы

А0 = о(О),В0 = 6(0), Со = с(0), Д, = ¿(С),а0 = ЛоЯ о, ¿о = Д,С0. Также введем две числовые последовательности по фор-

» = 0,1,... . (2)

Ит «2=С1*2о1<+~. Ит Д^Д^О^К+оо; (4)

то у задачи (1) существует единственное локально аналитическое решение. При этом условия (3) являются необходимыми и достаточными условиями существования и единственности решения в виде формальных степенных рядов.

Подчеркнем, что задача (1) в точке О особенности не имеет.

Теорема 1 принадлежит С.П.Баутину.

Ниже приведен пример (см. пример 1) задачи (1) с особен-

и л

ностью, для которой все условия теоремы 1, кроме условия аналитичности функций /, выполнены, у которой существует единственное решение в виде формальных степенных рядов, но, тем

мулам:

Если выполняются условия :

(3)

(5)

не менее, вти ряды расходятся всюду, за исключением точки (х = 0, у = и). Этот пример приводит к необходимости рассмотреть для системы с особенностью новую теорему.

Творена 2. Пусть в задаче (1) имеется особенность конкрет-кого вида: и у

/ — -Л + /а, 9 = -9i+да

X X

функции а, 6, с, d, fi,gi, /з,92 являются аналитическими в некоторой окрестности точки 0(х = 0, у = Ü, и = 0, v = 0).Введем константы

Л = Л(0), 9о = 9гЩ>

л - пА° и - пВ° г -Г I Ао9° n _ п , В°9о . л» ~ Г» ön ~ Z Г,Ся - + ; Г» - Uo + -т>

п - /о л - /о п — /о п - /о

Также введем две числовые последовательности по фор-

мулам:

До = 1,5о = OA+t = 1 + А1+1 Ai+iBiAABn+iAn)»

Д,+1 = 1 -Сд+3Вл+10я+1, если Во ^ 0;

Дч = = 1, если Во = 0; (6)

л 6 N.

Если выполняются условия:

Д*#0,/о n€iV; (7)

lim 6„ = | |< +оо, lim Д* =s Д«, ^ 0, | Д«, |< +оо; (8)

я->оо л-«со

М

«во

то у задачи (1) существует единственное локально аналитическое решение. При этом условия (7) являются необходимыми и достаточными условиями существования и единственности решения в виде формальных степенных рядов.

Теорема, 2 доказана совместно С.П. Баутиным и автором. Теорема 1 является частным случаем теоремы 2 (при Д = 0,ji = 0). С другой стороны,

lim Ап = Ло, lim Вк = Во, lim Сп = Со, lim Dn = Do,

Я-»00 А-»СО Л-.00 №-»00

причем, сходимость во всех случаях монотонная. Таким образом, при больших п формулы (2) и (6) схожи при одинаковых а, 6Т с, Тем не менее, имеют место приведенные в следующем параграфе контрпримеры, которые показывают, что в теореме 2 рассмотрена новая, по сравнению с теоремой 1, ситуация.

В параграфе 2 проводится сравнительный анализ условий теоремы 1 и теоремы 2. Доказывается, что для предела Д^, последовательности Д° и для предела А,» последовательности Дп справедливы соотношения:

= А«, = 1 + До - ¿о - (10)

оо Аоо

(если, конечно, соответствующие последовательности сходятся).

Исходя из равенств (10), было бы естественно предположить, что, если последовательности Д°, Дп одновременно сходятся, то они сходятся к одному пределу Д«, = Д^. Смысл примеров 1 и 2 состоит в том, что они опровергают это предположение. Пример 1. Задач;

и х

Ux=Uy + Vt} vy=- + —,

tt(n,y) = 0, i<x,0) = 0

имеет единственное решение в виде формальных степенных рядов, которые сходятся только в точке (х = 0, у = 0). Задача

u* =Uj, + «„ vy =/(®,у,и,«),

u(0,y) = 0, и(я,0) = 0

для любой аналитической функции / (в том числе, если, например, функция /(ж, у,щu) = u/(x+f)+a?/(l -у), с = const ф 0), согласно теореме 1, аналитически разрешима. Контрпример 2. Задача

11 , . = Uy + Ux, Vy = - + xg{y), X

tx(0,t/) = 0, 0) = 0;

где g{у)- аналитическая функция, дл - ¿¿£|у=о» имеет единственное формальное решение в виде рядов по степеням г, у. Если lim (Ы)1/* я Ло < оо, то эти ряды сходятся в некоторой окрест-

Я—*Ov _

ности точки (а; = 0,ji - 0). Вели же lira. (¡рвП1'''1 = оо, то расходят-

ft-»00

ся всюду, кроме точки (х = 0, у = 0).

Отметим, что системы в примерах 1,2 являются гиперболическими.

Примеры 1,2 демонстрируют, что введение особенности в некоторых случаях принципиально влияет на ргзреикность задачи (1).

В параграфе 3 рассматривается задача

Wг = [r(®, JI,U,V,w)- + s(x}у, и, V,w)- + t(x, у, U, Vf tw)]|yK0 X X

us = а(гг, у, ы, г>, w)uy + b(x) у, щ v, w)vs 4- -/(г, у, у, v,«/)+

за

е(х, у,«,ш)у/я + у, и, I/,«/),

Ь - 2/j f )iu + d(xt y,u,vt w)vs + -g(x} у, щ v, ui)+ (11)

x

fi(Xi y, u, v, ui)wt + q(x, у, u,v, to), w(*)|*=o=0, u(2?,y)|i=O = 0, w(s,y)|>s0sO.

Здесь щ V, ш- неизвестные функции, х, у- независимые неременные.

Теорема Пусть в задаче (11) функции а, 6, с, е, /, р, г, t являются аналитическими в некоторой окрестности точки . 0(х = 0, у == 0, и = О, V = 0, го = 0).Введем константы

Ло = 0(0), Д, = 6(0), С0 = с(0), Я« = ¿(0),

/о = /(О), 5о = 5(0), 3, = е(0), Я0 = Л(0), г0 = г(0), *0 = '(О),

Л = ^ А = -¡а., с, = Со + = Я. +

» > — , | Vl-WiT , ( ft - «ВТ , >

п - /о я - /о »- /о л - jo

OCo+L + ^T-т. (12)

Также введем числовые последовательности Дп, А* по формулам:

£о = 0,До = 1,До = 1, 5я+1 = 1 +Л+1Я*+1ДА/(Ди.1Дв), Д«+1 = 1 - СЛ+зßn+i , Дд+1 = 1 - C£+2B»+i ¿¡п+1 если Во Ф 0;

Д; = 1,ДЛ = 1Л = 1> если Д) = 0; (13)

Если выполняются условия :

/о^МотЧ/о + г^^ДкМД^О JV; (14)

К - $0

lim = 5оо> I *оо |< +оо, lim Д*

— ÜQO ^ U, | ¿-»оо

|< +оо; (15)

Л—»00 И—»00

|А)А>|

А^о

< 1; (16)

то у задачи (И) существует единственное локально аналитическое решение.

Проверка условий теорем 2 и 3 весьма трудоемка. Поэтому в параграфе 4 приводятся некоторые достаточные условия, более простые для проверки, при выполнении которых справедливы эти теоремы.

Теорема 4. Пусть для задачи (1) с особенностью выполнены условия:

1) функции а,Ь,с, ¿,/1,02,/а, 02 являются аналитическими в некоторой окрестности точки О.

2)/о фп пЬЩ

(1 - СЛ)(1 - Д») > АЛ > - Д,( 1 -Сп), 1 - В% > О,

С0 ф 1, (1 + ао - 60)2 > 4а0, (Во + а0 - Ь0)2 > |а0|. (17)

Тогда справедливы соотношения (7)-(9) и, следовательно, задача (1) по теореме 2 имеет единственное аналитическое решение.

Теорема 5. Пусть для задачи (11) выполнены условия: - 1) функции а, 6, с, е, /, д) А, р, г, я, t являются аналитическими в некоторой окрестности точки О.

2)ифп,з0фщ!о + !^фп щкеЩ

(1 - сЛ)(1 - до > апил > ~вл(1 - ся), 1 - вя > о, 1 - с: > О,

Со ф 1, (1 + а0 - Ь0)2 > 4а0, (Во + ао - ¿о)3 > М- . (18)

Тогда справедливы соотношения (13)-(16) и, следовательно, по теореме 3 задача (11) имеет единственное аналитическое решение.

Замечание. Условие С*+1 < 1 обеспечивает выполнение неравенства Д* ф 0. Справедливо следующее обобщение этого усло-лия: Д* ф О, п = 1,...,71о5 £ Ь п = По,по + 1,... .

В конце цервой главы доказываются обобщения теорем 2,3, которые будет в дальнейшем использованы при решении газодинамических задач.

Теорема б. Задача

Юг = ¿|у=0,

xuj = x(ÁQUy + Bavt) + ufa + xp, xvy - х(Сощ + BqUj) + ujo + rg, (19)

zv=r,

w(0) - 0, u(0, y) = 0, v(x, 0) = 0, г(х, 0) = 0

имеет единственное локально аналитическое решение, если выполнены условия:

1) функции г зависят от независимых неременных х,у, неизвестных функций и, v, w,z и их первых производных;

2) функции ttp,q,r линейны относительно производных vjX)ul,vT,zIyuV)vV}zV) причем, коэффициенты перед этими производными обращаются в т. 0(х = 0, у = 0, и = 0, и = 0, ui = 0, г = 0) в нуль;

3) функций г анаяитичны в некоторой окрестности точки, О но соответствующим переменным;

. 4) для констант А>, Д)»Со» A)»ío»/o выполнены условия (17).

Теорема 7. Задача

хшх = (г0 и + 2UU) + xí)jv=ü,

XUi = x(Afltiy -f 4- u/o + Bo(rou 4* 'otü)|y=o + xp,

xv, = x(Qj% + 2?n ) ■+ u^o + Яо(гпи + fi0tf)|v=o + Щ\ (20)

?

2y = r,

ty(0) 0, ü(0, y) в 0, t/(x, 0) = 0, *(x, 0) = 0

имеет единственное локально аналитическое решение, если выполнены условия:

1) функции L р, g, г зависят от независимых переменных х, у, неизвестных функций u, v,w,z и их первых производных;

2) функции г линейны относительно производных tí>x,tíztVit¿i>Uf>v¡,iZyt причем, коэффициенты перед этими производными обращаются в т, 0(х - 0, у - 0, и = 0, v - 0, V) = 0, z = 0) в нуль;

3) функции ttptqy г аналогичны в некоторой окрестности точки О по соответствующим переменным;

4) для констант 4о> Д>> Со> D о,£о>/о> Дь Я0, г0, з0 выполнены условия (18).

Теорема 6 является частным случаем теоремы 7 (при r0 = so =

0).

Во второй главе диссертации доказанные в главе I теоремы используются для решения содержательных газодинамических задач.

Известно, что обобщение теоремы 1, аналогичное теоремам б и 7, может быть использовано при решении задачи об отражении ударной волны от жесткой стенки в квазиодномерном (в частности, плоскосимметричном) случае.

В данной работе с помощью теорем б и 7 строятся течения газа в окрестности оси или центра симметрии с отраженными ударными волнами. Основным элементом здесь является построение решения системы уравнений газовой динамики в области между центром (осью) симметрии и фронтом ударной волны, включая построение неизвестного фронта ударной волны.

Глава П содержит 4 параграфа.

В параграфе 5 в предположении, что решение перед фронтом ударной волны известно и является аналитическим по переменным f, г, стороится решение системы уравнений газовой динамики а области, ограниченной осью (центром) симметрии и фронтом отраженной от оси (центра) симметрии ударной волны. Рассматривается случай идеального политропного газа с уравнением состояния р = Aa(S)py/n Т~~ давление, 5— энтропия (далее за $ обозначена функция 4(S)), р— плотность, f = const > 1— показатель политропы газа, случае цилиндрически (и — 1) или сферически (и = 2) симметричных течений, зависящих от времени t и расстояния г = (j^i + ... -l-av+i)1^ (яь^г^з - пространственные координаты). В качестве искомых функций V = U(t, г) возьмем U = (сг, u}s) о = и— скорость газа. Скорость звука в газе

тогда, задается соотношением с = <та, а система уравнений газовой динамики имеет вид

7 -1 , и. „ о* + Мг + —Г-<ЧИг + = О, 2 г

2 2 щ +-гсг«2^ + ищ + -сг3«в, = 0, (21)

7-1 7

«I + = 0.

По формулам

г = ф)> 1 = у + х (22)

заменим г^ на независимые переменные х,у. Якобиан преобразования 3 = <р'(х). Здесь функция г = р(<) задает траекторию движения отраженной ударной волны, пока неизвестна и определяется одновременно с построением 0. Однако известно, что <¿>(0) = 0. Главная цель замены (22): ось г = 0 переходит в ось х = 0; траектория ударной волны— переходит в другую координатную ось У = 0.

На фронте ударной волны предполагаются выполненными условия Гюгонио:

Щу=0 = ¿Иу=о, ^|у=о = °'*!у=о, «|у=0 = **|у=о (23)

функции зависят от и1,с1, и, где с а <г«, Б = <р'(х)—

скорость движения ударной волны, I/1— решение перед фронтом ударной волны, и— скорость газа за фронтом ударной волны (явный вид соотношений (23) здесь не приводится ввиду их громоздкости).

В силу симметрии имеем условие и(£=0 = 0, поэтому величины Аз = £>|г=о,<тоо = а|*=о,у=о» «оо = *|®=о,у=о однозначно определяются из (23). Причем, у>'(0) = Бц > 0. Следовательно, замена (22) в точке (* = 0, г = 0) является невырожденной, а при условии аналитичности функции (р(х) замена будет невырожденной и в некоторой окрестности начала координат.

Заметим, что, если в системе (21) и = 0, т.е. течение газа является плоскосимметричным, то равенство и|е=0 = 0 становится условием непротекания на жесткой стенке. Этот случай рассмотрен ранее В.М.Тешуковым.

Положим

я 2 . д*'

MQ =-, р =--5оо

<тоо*оо 7-1 Su

2 05* «0,у=0 7

х=0,у=0

ТЛптгл/чгттг, тттл, Л ✓ R/fl ✓ 1 R V* П

Теперь введем новые неизвестные функции по формулам

и' = и,

и = —

-(/ - - ?о|у=о)>

1+/Г

и/ = ф), (24)

г = а- д*|у=о,

где

. 2 2 2 , 2 , .

i - -Г'ООС + —<Тоо5, — -TÍOOC Т -СГоо« - ри.

7-1 7 7-1 7

Т.о., вместо («,сг,,?,(р) будем искать (и',г/,я,ш). Замена (24) позволяет перейти к задаче с нулевыми начальными данными, заданными на разных поверхностях для квазилинейной системы с особенностями.

Если систему, полученную в результате замен (22),(24), разрешить относительно выводящих производных, придем к задаче (штрих далее для удобства написания будем опускать):

щ=В* |у=0,

_ 1 -М$ , Мр(1 + /?) у

Ь 1 + РМо "у т 1 + /Шот (1+ /Шо)(1 + /?) я

2у = Хз.

Функции удовлетворяют условиям 1)-3) теоремы 6.

Условие на оси симметрии для скорости газа и = 0 и условия Гюгонио на ударной волне в новых переменных запишутся в виде:

Доказывается, что для системы (25) справедливы условия (17), а значит, по теореме б задача (25)-(26) имеет единственное аналитическое решение в некоторой окрестности точки (г = 0, у = 0).

Рассматривая задачу параграфа 5, мы предполагаем существование аналитического решения перед фронтом ударной волны, не задаваясь вопросом о том, как это решение получено. Однако больший интерес представляет решение "полной" газодинамической задачи, т.е. включающей также построение течения газа перед фронтом ударной волны и состыковку его с течением за фронтом ударной волны.

В параграфе б по распределению газЬдинамических величин при I = 0 однозначно строится решение системы (21) при 1 < 0 и увязывается либо с задачей о фокусировке волны сжатия, вызванной плавным вдвижением в покоящийся газ непроницаемого поршня, либо описывающее фокусировку волны разрежения. Однако содержательной газодинамической задачи, являющейся "предысторией" такой волны разрежения не найдено, поэтому далее она детальноно не рассматривается. В параграфах 7 и 8 строится решение при * > 0, включающее однозначное построение фронта отраженной ударной волны. Решение втой задачи представляет собой обобщение на случай двух независимых переменных автомодельных решений Л.И.Седова [28]. Отметим, что построение, проведенное в параграфе 7, отличается от построения, проведенного ранее в параграфе 5.

»(О) = 0, и(0, у) = 0,«(«, 0) = 0, 0) = 0. (26)

Пусть начальные условия при I = 0 имеют вид:

<т(0,г)«<го(г),сго(0)>0; Ч°»г) = «о(г)> < «о(г) = соп«* > 0.

(27)

Лля того, чтобы построить решение задачи (21), (27), делается замена переменных

С = «/г,Х = Г (28)

с якобианом J =г 1/г. Замена (28) является вырожденной при г = 0 (для исследования различных особенностей у решений системы уравнений газовой динамики часто применяются вырожденные замены переменных).

Система (21) в переменных (, х записываетсяся в виде

(1 - <и)а< - —^С^Ч + хКх + + =

2 2 2 2 7 ~ * 7 7-1 7

(1-Си)^+хи*х = 0. (29)

Моменту t - 0 соответствует линии ( = 0, а начальные условия (27) переходят в начальные условия

У(С>Х)1с=о = ад. (30)

Теорема 8. Если 00(х) функции аналитические в некоторой окрестности точки х = 0, то задача Коши (29),(30) имеет в некоторой окрестности точки % = 0 единственное аналитическое решение

= ЙиСхМоСХ)

*=о К'

При этом, если *о(х) = «о(0) = сопз^ то х) = *о(0), т.е. течение в указанной окрестности является извнтропическим, и, не теряя общности, можем считать, что ¿о = 1, а значит, <7 = с.

Теорема, 8 является следствием теоремы Коши-Ковалевской.

Вдоль оси Ох область существования решения задачи Коши (29),(30) "дотягивается" до точки х = X* »гДе имеется особенность у функций Unix) (® том числе может быть, что х* = +оо). Вдоль оси граничными точками области существования аналитического решения являются < 0 и (* > 0

При этом, в случае фокусировки волны сжатия значение С = С» соответствует звуковой характеристике: <т(С*,х) = conei = —1 /С* > 0, u((*t х) = 0. В случае фокусировки волны разрежения значение С = С* соответствует свободной границе: сг((», у) = 0, «((*, х) = const = 1 /(,.

Значение £ = (* в обоих случаях оказывается больше, чем значение ( = ft: С > > 0— где JDo = 1/Ci есть скорость отраженной ударной волны.

При заданных 7 и у значение /а = оо(0)/|ио(0)| определяет, какая из величин: а или и обратится в точке (( = х = 0) в нуль, т.е. какая волна: сжатия или разрежения фокусируется.

Значение 6 = 1 /D0 однозначно определяется из уравнения

i/c1 = illu(c„о)+

Лемма. Для любого ц > 0 найдутся ,f*(v) (f = 1,2) такие, что, если 1 < 7 < 7*0/)» то U(C«»0) - 0,ff(C«t0) > 0, т.е. фокусируется волна сжатия;

если же 7*(у) < 7, то и((«,0) < 0,<т(^,0) = 0, т.е фокусируется волна разрежения.

В параграфе 7 задача построения течения газа за фронтом отраженной ударной волны и траектории этой ударной волны с помощю замены независимых переменных и неизвестных функций сводится к задаче вида (20). '

Вначале по формулам (22) заменим r,t на независимые переменные у. Якобиан преобразования J = <р\х).. Здесь функция

iX7Ti-ua(Ci,0) + aa(C„0)

г = напомним, пока неизвестна и задает траекторию движения отраженной ударной волны. Однако известны значения: <р(0) = 0, у>'(0) = 0О = 1/^. Следовательно, замена (22) в точке ({ = о, г = 0) является невырожденной, а при условии аналитичности функции замена будет невырожденной и в некоторой окрестности начала координат. Напомним главную цель замены (22): ось г = 0 переходит в ось х = 0; траектория ударной волны— переходит в другую координатную ось у = 0.

На фронте ударной волны предполагаются выполненными условия Гюгонио (23).

В силу симметрии инеем условие и(а=о = 0, поэтому величины (Г(ю = а|х=о,у=о, зоо = «|г=о,у=о однозначно определяются из (23). Положим ЛГо = А)/(<Тоо$оо)' По теореме Цемшгена 0 < МЬ < 1. Функции и1, а1 определяем вдоль неизвестного фронта ударной волны. Поэтому

Фи==* - * (щ.'т).

где ф(х) определяется из соотношения <р(х) = хф(х). Положим

дБ* дБ*

2 Ьс* 2 дз*

е° = 7ГГ300 ~вф |1=0,1,=0 + 7<То° 11=0''=°> .2 8<т* . 2 дз* .

Р - —1*00 |г=0,у=0 + -(ТОО и=0,у=0.

Теперь введем новые неизвестные функции по формулам

и' = и,

V = "777^- /?«- ео'Ф - д|у=о),

ш = ф - Do, (31)

г = s - i*|y=o,

где

2 2 2 . 2 ,

/ = -T-ioo"' + "Coo®) ? =-r'oo^* + —floo J* — Ри- Соф.

7-1 -у 7-1 7

Таким образом, вместо (и,<г>«,^) будем искать (u', v,uj,z). Замена (31) позволяет перейти к задаче с нулевыми начальными данными, заданными на разных поверхностях для квазилинейной системы с особенностями.

Если систему, полученную в результате замен (22),(31), разрешить относительно выводящих производных, придем к задаче (штрих далее для удобства написания будем опускать):

wt =

>f+(—Of+nJIir-«.

1 -М03 Мо(1+Р) у ц Мрео

1+/?Мо%+ 1+ДОо V'~ 1+(ЗМ0я~ 1 + 0Мо

M0(/?-l) 1 ^ ц

l+W tt» + l+Ww* + (l+/?JMb)(l+^)i"

ео . v

-Wg + Уз,

(1+/?М0)(1 + ^ + ^М0)

г,,=Г4. (32)

Функции У1,У2,Уз,У4 удовлетворяют условиям 1)-3) теоремы 7.

Условие на оси симметрии для скорости газа и » 0 и условия Гюгонио на ударной волне в новых переменных запишутся в виде:

ю(0) = 0, и(0, у) = 0, 0) = 0, *(*, 0) = 0. (33)

Задача (32)>(33) описывает течения, удовлетворяющие условиям Гюгонио и условию симметрии, причем, в отличие от параграфа 5, % »*о, вообще говоря, отличны от нуля.

В параграфе 8 проверяются условия (18) для системы (32), т.е. доказывается существование и единственность локально аналитического решения системы уравнений газовой динамики (21), состыкованного с решением, построенным в параграфе 6, через ударную волну.

Проверка условий (17), выполнена в параграфе 5.

Проверка справедливости неравенства 1 > л € N довольно трудоемка. Напомним, что

где ел = аео.

Выписываются явные формулы для констант е0, /?, а, с, Мо, пользуясь решением перед фронтом ударной волны и условиями Гю-гонио (23).

Анализ формулы (34) с использованием полученных соотношений позволяет установить справедливость следующей теоремы

Теорема 9. Задача (29)-(30) имеет единственное аналитическое решение, если 7 > 7о, где

70 = 1.117749... в случае 1/ = 2, 70 = 1.051854... в случае и = 1.

Т.е. при 7 > 70 существует единственное аналитическое решение задачи (21)-(27) в области за фронтом ударной волны, для которого выполнено условие симметрии. В том числе, однозначно определяется траектория движения отраженной ударной волны, на которой выполнены условия Гюгонио.

или, с учетом (32),

Если 1 < 7 < 70, то члены последовательности С* могут принимать значения больше 1.

Приводятся результаты расчетов, которые показывают, что предложенная методика позволяет строить локальные поля течений газа вблизи оси или центра симметрии с отраженными ударными волнами. Также выявлены некоторые закономерности процесса отражения ударной волны от оси или центра симметрии.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

В приложение вынесен вывод явных формул для констант ео,/?,а,г,Мо, а также таблица и рисунки.

Список работ по теме диссертации

1. Баутин С.П., Казаков А.Л. Задачи Коши с начальными данными на разных поверхностях, встречающиеся в газовой динамике. Тезисы докладов 10 школы по механике сплошных сред. Пермь, 1995, с.29.

2. Баутин С.П., Казаков А.Л. Отражение от оси или центра симметрии ударных волн, имеющих конечную скорость движения. Тезисы докладов IV международной конференции "Лаврентьев-ские чтения по математике, механике и физике". Казань,1995, с.91.

3. Казаков А.Л. Один контрпример для задачи Коши с начальными данными на разных поверхностях. Деп. в ВИНИТИ 15.12.1995, N 3347-В95, 26 с.

4. Баутин С.П., Казаков А.Л. Некоторые течения газа в окрестности оси или центра симметрии с отраженными ударными волнами. ДАН, т.347, вып.2, 1996, с.95-98.

5. Баутин С.П., Казаков А.Л. Течения газа с ударными волнами, расходящимися от оси или центра симметрии. ПММ, т.60, вып.З, 1996, с.465-474.

6. Казаков А.Л. Фокусировка на ось или в центр симметрии неавтомодельной волны сжатия с последующим отражением ударной волны. Деп. в ВИНИТИ 07.05.1996, N 1504-В96,58 с.

49 9 Б г Типода С. ЭрГЗ Зада» 131 Тир* к «О