Аналитические исследования нелинейных начально-краевых задач для некоторых классов течений идеального газа

Чуев, Николай Павлович

Аналитические исследования нелинейных начально-краевых задач для некоторых классов течений идеального газа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Чуев, Николай Павлович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Екатеринбург МЕСТО ЗАЩИТЫ

1999 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Аналитические исследования нелинейных начально-краевых задач для некоторых классов течений идеального газа»

Автореферат диссертации на тему "Аналитические исследования нелинейных начально-краевых задач для некоторых классов течений идеального газа"

УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ - ^

на правах рукописи УДК533.6:517.9

ЧУЕВ НИКОЛАИ ПАВЛОВИЧ

АНАЛИТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ТЕЧЕНИЙ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург - 1999

Работа выполнена в Уральской государственной академии путей сообщения на кафедре высшей математики.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент Дерябин С.Л.

Официальные оппоненты: - доктор физико-математических наук,

профессор Зубов А.Д. - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Корзуинн Л.Г.

Ведущая организация: Институт теоретической и прикладной механики СО РАН

Защита состоится «12» мая 1999 г в 15^и часов на заседании диссертационного совета Д.002.07.01 Института математики и механики УрО РАН по адресу: 620219, г. Екатеринбург, ул. Софьи Ковалевской. 16. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Институт^ математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан « 9 »__апреля ] 999 года

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук, с.н.с.

М.И.Гусев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена решению начально-краевых задач для нелинейных систем интегро-дифференциальных уравнений с частными производными, описывающих истечение идеального газа в вакуум. ■

Решение начально-краевых задач для нелинейных уравнений с частными производными в настоящее время считается актуальной проблемой общей теории дифференциальных уравнений с частными производными. Результаты теоретических исследований находят важное применение при решении задач математической физики, в частности, газовой динамики. Среди краевых задач можно выделить задачи со свободными границами, на которых известны значения некоторых искомых функций, но заранее неизвестно положение самих границ. К таким задачам газовой динамики относятся задачи: о распаде разрыва и о непрерывном примыкании газа к вакууму.

Сформулируем задачу о распаде разрыва. Пусть в момент г = О замкнутая поверхность Г, граница области О0, отделяет идеальный политропный гравитирующий по закону Ньютона газ от вакуума. При этом в момент / = 0 известны распределения параметров газа в й = щ(л) -скорости газа; р=р0(.х) - плотности, 5 =.$(.?) - энтропии, х = .

Функции й0, р0, 50, а также функция /о(,?,г)=0, задающая поверхность Г, предполагаются аналитическими, а плотность газа всюду в П,. больше нуля, в том числе рс(*)| >0. В момент / = 0 поверхность Г мгновенно

разрушается и начинается разлет части гравитируюшего идеального газа в вакуум. Возмущения, возникшие в фоновом течении в результате мгновенного убирания поверхности Г, распространяются по газу в виде

волны разрежения, отделенной от фонового течения границей Г,, являющейся поверхностью слабого разрыва. С другой стороны, волна разрежения примыкает к вакууму: р| =0, где Г0 - свободная поверхность,

отделяющая волну разрежения от вакуума. Требуется построить как фоновое течение, так и волну разрежения, а также,найти законы движения Г, и Г0. Для построения фонового течения необходимо решить задачу Коши с начальными данными ии, р0, л0. Это решение позволяет найти закон распространения Г, и распределение газодинамических параметров на ней. Определив значения искомых функций на Г, можно решить характеристическую задачу Коши, построив тем самым течение в области между Г, и Г0, и найти закон распространения Г0. В дальнейшем эту задачу будем называть задачей о распаде разрыва.

Задача о непрерывном примыкании газа к вакууму формулируется следующим образом. Пусть в момент времени I - /0 (в частности / = 0) известная замкнутая поверхность Г0 является границей, отделяющей область С20, заполненную идеальным политронным гравитирующпм газом, от вакуума. В начальный момент времени I - г0 (г = 0) известны распределения параметров газа в области П0 :й = й0(1), р = рэ(л), .V- ¿(х), х ~ {а\>,г} еГ>0. Функции й0, р0, и уравнение поверхности Г0 являются аналитическими функциями, причем р! = 0. Требуется построить течение газа при / > /0

(г >0) и найти закон движения свободной поверхности.

Задачи, близкие к поставленной, но без учета гравитации, рассматривались ранее. При помощи характеристических рядов в окрестности границы Г, были построены двумерные1 и трехмерные течения

1 Сидоров А Ф Приближенный метод решения некоторых задам о пространстьешгом истечении газа в вакуум. Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск. ВЦ СО АН СССР. 1970. т 7 №5 с. 137-148

идеального газа примыкающие к области покоящегося газа. Рассмотрен2 распад произвольного разрыва на криволинейной поверхности, когда по обе стороны от поверхности разрыва плотность газа больше нуля. На основе анализа первых членов некоторых асимптотических разложений сделан вывод3 о том, что свободная поверхность Г0 некоторое время движется с постоянной скоростью. Изучено4 течение, возникшее в результате схлопывания одномерной полости; при 1 < у < 3 решение построено в виде сходящихся характеристических рядов в области от Г! до Г0 включительно и доказано, что поверхность Г0 движется некоторое время с постоянной скоростью. Этот результат обобщен на случай двумерных и трехмерных течений5, и трехмерных течений в условиях действия внешних массовых сил6.

Изучение закономерностей движения газа с учетом гравитационных сил возможно в трех случаях: движение в постоянном поле тяжести, во внешнем переменном поле тяжести и во внутреннем (собственном) поле тяжести. Большой астрофизический интерес представляет исследование движения газа во внутреннем (собственном ) ноле тяжести т.е. в условиях самогравитации. В этом случае гравитационный потенциал Ф связан с распределением плотности р уравнением

, АФ = -4пСр,

здесь С - гравитационная постоянная, Д - оператор Лапласа, сила тяготения Р определяется равенством Р = grad Ф.

Исследованиями движений сплошной среды с учетом сил самогравитации занимались Дирихле, Дедекинд и Риман. Они изучали

: Тешуков В.М. Распад произвольного разрыва на криволинейной поверхности. ПМТФ. 1980. №2. с.126-133

3 Каждая Я.М. Сферический разлет таза к центру. Препринт №2 Институт прюсл. матем. 1969. 46 с.

4 Баутин СП Охлопывание одномерной полости. ПММ. 1982. т.46. Выл 1. с 50-49

1 Баупш С.П., Дерябин С.Л. Истечение идеального газа в вакуум. Докл АН СССР. 1983. г.27.1. с.817 820. ,

6 Дерябин С.Л. Трехмерное истечение в вакуум неоднородного движущегося газа в условиях действия внешних массовых сил. Динамика сплошной среды. Новосибирск. Институт гидродинамики СО АН СССР. 1987. Выл.83. с.60-71

фигуры равновесия прощающейся идеальной несжимаемой жидкости. Затем данная теория получила развитие в работах выдающихся ученых А.Пуанкаре, Дж.Дарвина, Дж. Джинса, А.М.Ляпунова, Л.Лихтенштейна и др.

Движение гравитирутощего газового шара рассматривалось как модель звезд в работах и монографиях Л.И.Седова7, К.П.Сташокопича8. Движения газа в поле тяжести изучались в работе А.Ф.Сидорова9, в которой построены точные решения установившегося плоскопараллельного изэнтропического течения газа с политропным уравнением состояния.

В работе О.И.Богоявленского10 рассмотрена динамика адиабатических движений гравитирутощего идеального газа, при которых скорости являются линейными функциями координат и газ с постоянной плотностью заполняет некоторый эллипсоид.

В диссертации содержится исследование одномерной задачи о сферически-симметричном истечении самогравитирующего идеального газа в вакуум, решается задача о распаде разрыва и сгроятся точные решения начально-краевых задач нелинейной иитегро-дифференциальной системы с частными производными в виде сходящихся рядов. В работе исследуются одномерные и многомерные задачи о гладком примыкании газа к вакууму, при этом используются основные уравнения газовой динамики как в форме Эйлера, так и в форме Лагранжа. Цель работы

1. Решение задачи о распаде разрыва для сферически-симметричных течений самогравитирующего идеального политропного газа.

2. Решение задачи о гладком примыкании гравитирутощего газа к вакууму для сферически симметричных течений и исследование транспортных уравнений для определения границ применимости данного решения.

7 Седов Л.И Методы подобия и размерности в механике. - М, «Наука», 1987 430 с.

8 Станюкович К П. Неустановившиеся движения сплошной среды - М, «Наука», 1971. 856 с.

J Сидоров Л.Ф. О некоторых течениях газа в поле тяжести. ППМ, т 42. 1978. Выл. с.

Богоявленский О.И. Динамика гравитирующего газового эллипсоида. ППМ, т 40, 1976 Вып.2. с 270-280

3. Построение решения задачи о гладком примыкании гравитирующего газа к вакууму в общем трехмерном случае.

4. Исследование эволюции гравитирующего газового шара, который в начальный момент времени вращается как твердое тело с постоянной угловой скоростью.

Методы исследования

В работе использованы аналитические методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений математической физики, в частности метод представления решения в виде степенных рядов. Доказательство существования и единственности решений нелинейных систем уравнений с частными производными и представление их в виде степенных рядов опирается на классическую теорему Коши-Ковалевской и ее аналоги.

Научная новизна и теоретическая ценность работы заключается в следующем:

1. Доказаны теоремы существования и единственности локально-аналитического решения задачи Коши для интегро-дифференциальной системы уравнений, описывающей сферически-симметричные течения гравитирующего идеального газа с разрывными начальными данными.

2. Исследована задача о непрерывном примыкании гравитирующего газа к вакууму для сферически-симметричных течений и доказана теорема существования и единственности решения для рациональных показателен адиабаты.

3. Получены и исследованы системы транспортных уравнений, описывающие поведение выводящих производных из свободной поверхности.

4. Проведены аналитические исследования задачи Коши для систем интегро-дифференциальных уравнений в форме Эйлера и Лагранжа, описывающих течения идеального самогравитирующего газа в трехмерном пространстве.

5. Исследована задача Коши для системы шггегро-дифференциальных уравнений в форме Эйлера, описывающей движение идеального самогравитирующего газа при условии, что в начальный момент времени газ имеет форму шара, прашаюшегося вокруг оси как твердое тело с постоянной угловой скоростью. Получен приближенный закон движения свободной поверхности в виде эллипсоида вращения.

Практическая ценность работы состоит в том, что доказанные теоремы и построенные решения применяются к решению актуальных задач газовой динамики.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах «Нелинейные задачи математической физики» в Институте математики и механики УрО РАИ, председатель семинара академик РАН А.Ф.Сидоров; на 1-й Всесоюзной (в 1992 г.) в г. Екатеринбурге, 2-й Международной (1994 г.) в г. Арзамасе, 3-й Всероссийской (1996 г.) в г. Москве - школах-семинарах «Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа»; на научно-технических конференциях Уральской государственной академии путей сообщения в 1995, 1996 годах.

Публикацни-По теме диссертации опубликовано 8 работ.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из оглавления, введения, двух глав, семи параграфов, заключения, приложения и списка литературы. Объем диссертации составляет 98 страниц машинописного текста, включая 20 рисунков, 10 таблиц. Библиография включает 42 наименования работ.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение содержит исторические сведения по исследуемой проблеме и краткое изложение основных результатов.

В первой главе рассматриваются сферически-симметричные течения с&могравитирующего газа в вакуум. Эта задача распадается на две: задача о распаде разрыва и задача о непрерывном примыкании газа к вакууму. Глава состоит из грех параграфов.

В первом параграфе рассматривается постановка задачи о распаде разрыва. Исходной системой, описывающей движения гравитирующего газа, является система уравнений в форме Эйлера

р, + (р«)х+ —--■-о,

и1 + и их +-рх= Р(х,(),

0, (1)

(3 х

где = — - сила притяжения, р - давление, р -

х о

плотность, и - скорость частиц газа. При г = 0 хе£20, где -- шар

ч Рт

радиуса г°. Уравнение состояния взято в виде р = .V1 —. Для функции ¡:(х,/)

дифференцированием по I и по х с учетом уравнений системы (1), получены два дифференциальных соотношения Р, = 4%Ср и,

Рх+-Р + 4кСр = 0. х

Если ввести функцию М= , то имеют место аналогичные

равенства

М, + 4кх2 ри = О, Мх - 4лх2р = О.

Введением неизвестных функций 0иш и

ул!

ст(х,/) = [р(х,г)|2 интегро-дифференциальная система (Г) сводится к системе дифференциальных уравнений типа'Кошн-Ковалевской

! А а, + агк +--аих + (у - 1)— = 0.

2 х

2 2 и, + ихи +--я2ста, + -с2и-£ - Р = 0,

у -1 у

.9, + ,Чх11 = 0, _2

-4;и«х'м =0. (Г)

Задание аналитических начальных данных для и,ст, 5, Р в момент I = О, при с|г >0, обеспечивает существование и единственность решения системы (1') при малых значениях Г в виде сходящихся рядов вида

Г? = £<?*(*)£ > 0={и,а,з,Р} (2)

у-о К!

Найденное решение .определяет фоновое течение газа, по которому однозначно находится поверхность слабого разрыва Г, и значение газодинамических параметров на ней.

В силу того, что в момент г = 0 стх| „ = °о на поверхности сферы,

делается замена переменных. За независимые переменные берутся г и а, а за неизвестные функции х,и,х,Р. Якобиан такого преобразования равен: J-ха. Условие а,[_г, -со перейдет в условие л'а)х_г. -0 (3)

В результате такой замены переменных получим систему

■ 7 -1 / «о п

у — 1 2 ^ л "а 2 2 2 2 „ .

хм, —-и„а - 7 -1)х„«„— н--+ —м, а -х„г =0,

2 х у — 1 у

•М, =0>

^ +-;crF-47tG(w-JcГ)а1,-1 = 0-.' (4)

Начальные условия задаются на характеристике Г,

и!г, = "°(0> П-.-'Ч'). <4">

и дополнительное условие задается в виде

.х(а,0)=г°. (4")

Во втором параграфе исследуется задача о распаде разрыва, строится волна разрежения (течение газа в области между. Г, и Г0).

Полученная система (4) с аналитическими данными на характеристической поверхности Г, (4~) с дополнительным условием (4") в виде = г" имеет единственное решение, что устанавливается

теоремой 1.

Теорема 1. При 0 < / < ?0 в некоторой окрестности Г, существует единственное локально-аналитическое решение задачи о распаде разрыва.

Доказательство теоремы сводится к соответствующему аналогу" теоремы Коши-Ковалевской. Это решение разлагается в ряд по степеням /

/М = 1Л(°)£> (5)

О К-

Анализ коэффициентов /Дет) приводит к лемме.

" Баутин С. П. . Характеристическая задача Коши для квазилинейной аналитической системы. Дифференциальные уравнения, т.12,№11, 1976, с.2052-2063.

Лемма. При 1 < у < 3 коэффициенты рядов (4) при к > 1 имеют вид

•Vi = av-x + оР11[(ст,стх,о1пст)) ик =ак + csP2k(a,ak, crino), sk = <jP3í (сг,ст\а1псг),

+а?а(ст,а\ст1па), (6)

где Рк, / = 1,2,3,4 - многочлены or указанных аргументов, степень которых не превышает А-к, Х>0 ,ак= const, А = const, а0 = F0.

На основании теоремы 1 и леммы доказывается теорема 2.

Теорема 2. Для 1 < у < 3 при 0 < t < t0 область сходимости рядов (4), а также рядов, задающих f¡ и /а покрывает всю область течения от Г, до Г0 включительно. При этом закон движения Г0: х = cp(í) определяется из решения вспомогательной задачи

и, = "{О.

~>и

F,=- — F. (7)

с начальными данными

х(0 )=Л "(0)= «. = -A-Jo(r0)a0(r0) + «e(r°),

F(O) = F0=-^^-Jr'p0(r)rfr (г ) о

и на поверхности Г0 сохраняется исходное значение энтропии

В третьем параграфе исследуется задача о непрерывном примыкании газа к вакууму. Доказана теорема существования и единственности решения данной задачи для системы уравнений

а,+(и- ф, )с2 + + (у -1) = О,

/ \ 2 2 •' 2 2 ОМю

и, +\и-(р, )и. +-5 ост + —с Л\5„ н--= О,

: ''' у-1 У (г + ср)2

■V, +(»-ф,К =0»

Л/, - 4л(г + ср)2 а1"1 = 0, (8)

с начальными условиями а(г,0) = 0, г^/,0) = = = М00. (8')

и дополнительными условиями

оМ-а'ОО. «(«..--)= и°(=), <<.,-')=/(Г) (8")

В системе уравнений (8) функция х = ф(г) задает закон движения свободной поверхности Г0, М00 - вся масса газа, г = х- - новая независимая переменная.

Теорема 3. При ?0 <1 <1. задача (8), (8*), (8") имеет единственное локально-аналитическое решение, иредставимое в виде

гк

к^О К-

Доказательство этой теоремы сводится к соответствующему аналогу теоремы Коши-Ковалевской".

Данная теорема справедлива только для рациональных показателей адиабаты у . Получены и исследованы системы транспортных уравнений, описывающие поведение выводящих производных из свободной поверхности. Исследование системы транспортных уравнений проводилось численными методами.

Анализ решения показывает, что при определенных значениях азодинамических параметров газовый шар разлетается до бесконечности, в фугих случаях граница газ-вакуум останавливается при I = (1 и начинается :хлопывание массы газа. Особенности решения на этой границе появляются -олько в момент фокусировки, который можно трактовать как момент хтопывания всей массы газа в центр симметрии.

Во второй главе исследуется динамика движений гравитирующего но акону Ньютона идеального политропного газа, который при I = 0 заполняет ¡ыпуклую область с /?3 и непрерывно примыкает к вакууму.

В четвертом параграфе рассматривается постановка задачи Коши для истемы уравнений, описывающей движения массы газа в трехмерном [ространстве с учетом гравитационных сил. Задаются аналитические [ачальные распределения параметров газа в области О0. Уравнение

рГ

остояния задается в виде р = А(5)—. Система интегро-дифференциальных

равнений газовой динамики записывается в форме Лагранжа и в альнейшем исследуется при у = 1 -ь —, п,т е N. Замена ^(5) = я', р = о'"

озволяет получить аналитическую систему (штрих опустим):

М'х„ + —= УФ, п + т п

пи<з: + а/, = О,

■V, = 0, (9)

це х = х(а,1) - неизвестные функции с лагранжевыми переменными

дх »

' -{а,Ь,с\, М = — - матрица Якоби, М - транспонированная матрица, да

_ 3 - 3 - 3 = ай М, оператор V = — / + —J + —к , да дЬ дс

Система (9) преобразуется к виду М'х, = Уф + (¡>,

' ф, = Ф + -и, ,

2' 1

^ „„ т Л

V)/, = --а У.я—$Уст ,

\т + п п )

т/а, = -аУ,,

.V, = 0 (9')

Для системы (9'), (10) ставится задача Коши с аналитическими начальными данными.

В пятом параграфе строится решение задачи Коши для системы (9'), (10) в виде ряда по степеням Г

к-О К !

0= (11) Коэффициенты ряда определяются рекуррентным способом из системы алгебраических уравнений. Подробно изучается возможность последовательного дифференцирования потенциала Ф(а,г) по переменной I,

входящего в систему уравнений в виде несобственного интеграла по области (Ла с переменной особенностью. Доказывается лемма об аналитичности

и коэффициентов ряда в области 0(). Доказывается теорема о

о ■

со-

существовании и единственности задачи Коши для системы (9')-(10), в которой функция Ф заменена на

9=0 Ч- <

где Ф,=|:-Ф(а,г) •

В тестом параграфе рассматривается динамика изэнтропических движений гравитирующего идеального политропного газа, при заданном начальном вращении всей массы газа как твердого тела с постоянной угловой скоростью м и имеющей в начальный момент времени форму шара О0(л:) радиуса 1.

Рассматривается задача Коши для системы уравнений газовой динамики в форме Л.Эйлера

и1 + (йУ )г7 + - Ур = УФ, Р

р,+<Луры = 0, (13)

где Ф(.х,г) = 0 (Т[ = - ньютоновский потенциал,

¿У,, \х-х'\ ¿.Я

г ,1) I I 12,

создаваемый всей массой газа, х = {х,у,г} - декартовы координаты точки, /?2 =(х-х')2 + (>'-У)2 + (г-/)2, = - скорость газа, р -

давление, р - плотность газа.

Решение системы (13) строится в виде рядов по положительным степеням I

(и)

л!

удовлетворяющие следующим начальным условиям

«1.0 = "о = { - »У,®*,0}, р!,,о = Ро = Роо(! -г2^х1+у2+12, Р00 = СО)М?, р|Г(=0, (15)

где Г, - свободная подвижная граница тела при Г > 0. Доказывается лемма.

Лемма Коэффициенты рядов (14) являются аналитическими функциями переменных х = {x,y,z} еП„ 'иГ,, при условии аналитичности начальных данных (15). Устанавливается, что для любого к > О система

т к t"

II „„о

1 д" , о, н—csdiv и + Vau = О, Ф„ =—Ф „ (16)

' т " et" V

с начальными условиями (15) и где у = 1 + —, п,т eN , является системой

типа Коши-Ковалевской. Задача Коши для этой системы имеет при малых г аналитическое решение, которое можно представить в виде степенных рядов по степеням t с коэффициентами, являющимися аналитическими функциями переменных x,y,z.

В седьмом параграфе проводится исследование эволюции свободной поверхности газового шара. Для этой цели используется приближенное решение системы (16) в виде

0 = 0 о+Ф- (17)

Функция г = определяющая свободную поверхность Г, для

t > 0, удовлетворяет уравнению

f,+ufx+vf-w = 0 (18)

и начальному условию /{х,у,0) = /0 = +^1 - хг - у . (19)

Решение (18) с учетом (17) и (19) имеет вид

X2 + у2 г2 .

-Г7- -\—1 +-7---7\=1 (20)

ехр[(со2 - СМоау ] ехр(- вМ^2)

Таким образом, устанавливается, что при г > 0 исходная сфера радиуса 1 принимает форму эллипсоида вращения. При - ОМт > О происходит осесимметричный разлет частиц газа и сжатие вдоль оси 02.

При со2-СМ00 <0 шар начинает сжиматься под действием сил самогравитации.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации. В приложении приведено численное решение задачи Коши для транспортного уравнения, а также таблицы и рисунки.

Публикации по теме диссертации

1. Дерябин СЛ., Чуев Н.П. Сферически-симметричное истечение самогравитирующего идеального газа в вакуум. - ПММ. Т.58. Вып.З. - 1994. - С.77-84.

2. Чуев Н.П. Об эволюции вращающегося газового шара в условиях само1равитации. Тезисы докладов Международной школы-семинара «Аналитические методы исследования процессов в механике жидкости и газа». - Арзамас, 1994. - С.116.

3. Чуев Н.П. Динамика гравитирующего газового шара. Тезисы докладов научно-технической конференции Уральской государственной академии путей сообщения. - Екатеринбург, 1995. - С.93.

4. Чуев Н.П. Трехмерная задача об истечении самогравитирующего газа в вакуум. Тезисы докладов научно-технической конференции Уральской государственной академии путей сообщения. - Екатеринбург, 1996. - С. 140.

5. Чуев Н.П. Об эволюции вращающегося газового шара в условиях самогравитации. Сборник научных трудов Уральской государственной академии путей сообщения. - Екатеринбург, 1997. - С.238-246.

6. Чуев Н.П. Динамика вращающегося газового шара в условиях самогравитации. - Деп. в ВИНИТИ 05,06.97г. №1850-В97, 9 с.

7. Чуев Н.П. Трехмерная задача о непрерывном примыкании гравитирующего идеального газа к вакууму. - Деп. в ВИНИТИ 16.09.97г №2844-В97, 15 с.

8. Чуев Н.П. Аналитический метод исследования пространственных задач динамики самогравитирующего газа. - Вычислительные технологии. т.З, №1 - 1998. С.79-89.

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Чуев, Николай Павлович, Екатеринбург

Уральское отделение Российской Академии наук Институт математики и механики

Чуев Николай Павлович

Специальность 01.01.02 - Дифференциальные уравнения

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических н

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент

Дерябин С.Л.

Екатеринбург 1999

Оглавление

Введение................................................... 3

Глава I. Сферически-симметричное истечение самогравитирующего

газа в вакуум............................................. 18

§ 1. Постановка задачи о распаде разрыва......................... 19

§2. Построение волны разрежения.............................. 27

§3. Задача о непрерывном примыкании газа к вакууму..............38

Глава II. Аналитический метод исследования пространственных задач

динамики самогравитирующего газа..........................48

§4. Постановка задачи Коши для системы уравнений газовой динамики

с учетом гравитационных сил............................... 49

§5. Построение решения задачи Коши и исследования структуры

коэффициентов ряда...................... . ...........53

§'-•. Об эволюции вращающегося газового шара в условиях

самогравитации.......................................... 61

§7. Исследование закона движения свободной поверхности

гравитирующего газового шара..............................67

Заключение................................................. 70

Литература................................................. 72

Приложение................................................ 76

Таблицы №1-№! 0...........................,................79

Рисунки №1-№20............................................ 89

Введение

Диссертация посвящена решению начально-краевых задач для нелинейных систем интегро-дифференциальных уравнений с частными производными, описывающих пространственное нестационарное истечение идеального газа в вакуум. При этом предполагается, что кроме поверхностных сил давления, под действием которых происходит движение газа, заданы силы взаимного гравитационного притяжения по закону Ньютона между частицами.

Решение начально-краевых задач для нелинейных уравнений с частными производными является актуальной проблемой общей теории дифференциальных уравнений. Результаты теоретических исследований находят важное применение при решении задач математической физики, в частности, газовой динамики. Среди краевых задач можно выделить краевые задачи со свободными границами, на которых известны значения некоторых искомых функций, но заранее неизвестны положения самих границ. Исследование задач неустановившегося движения газа со свободными границами, важными с точки зрения приложений, представляет собой значительные математические трудности. К таким задачам газовой динамики относится задача по изучению движений, возникающих при истечении газа в вакуум, которая состоит из двух частей: задача о распаде соответствующего разрыва и задача о непрерывном примыкании газа к вакууму.

Сформулируем задачу о распаде разрыва. Пусть в момент I = О замкнутая поверхность Г, граница области О0, отделяет идеальный политропный гравитирующий по закону Ньютона газ от вакуума. При этом в момент / = О известны распределения параметров газа в П0: и = -

скорости газа; р = р0(^) - плотности, - энтропии, Зг = {х,у,г}.

Функции й0, р0, л0, а также функция /0(1,/) = 0, задающая поверхность Г, предполагаются аналитическими в окрестности точки х0, а плотность газа всюду в П0 больше нуля, в том числе р0(*)|г > 0. В момент £ = 0 поверхность

Г мгновенно разрушается и начинается разлет части гравитирующего идеального газа в вакуум. Возмущения, возникшие в фоновом течении в результате мгновенного убирания поверхности Г, распространяются по газу в виде волны разрежения, отделенной от фонового течения границей Г,, являющейся поверхностью слабого разрыва. С другой стороны, волна разрежения примыкает к вакууму: р|г =0, где Г0 - свободная поверхность,

отделяющая волну разрежения от вакуума. Требуется построить как фоновое течение, так и волну разрежения, а также найти законы движения Г; и Г0. Для построения фонового течения необходимо решить задачу Коши с начальными данными й0, р0, s(). Это решение позволяет найти закон распространения Г^ и распределение газодинамических параметров на ней. Определив значения искомых функций на Г1 можно решить характеристическую задачу Коши, построив тем самым течение в области между Г1 и Г0, и найти закон распространения Г0. В дальнейшем эту задачу будем называть задачей о распаде специального разрыва.

Задача о непрерывном примыкании газа к вакууму формулируется следующим образом. Пусть в момент времени / - /0 (в частности ¿ = 0) известная замкнутая поверхность Г0 является границей, отделяющей область £10, заполненную идеальным политропным гравитирующим газом, от вакуума. В начальный момент времени t = t0 (Г=0) известны распределения параметров газа в области П0: и = р = -р0(х), я = ^Зс), I = е П0.

Функции й0, р0, л0 и уравнение поверхности Г0 являются аналитическими

функциями, причем р|г = 0. Требуется построить течение газа при / > /0

(/ >0) и найти закон движения свободной поверхности. При построении этого течения можно решать задачу Коши с начальными данными, заданными при г = /0, а можно решать характеристическую задачу Коши с

данными на поверхности /(.*,/) = 0, где / = 0 - есть уравнение, задающее

закон движения свободной поверхности. Оба этих подхода реализованы в диссертации.

Задачи, близкие к поставленным, но без учета гравитации, рассматривались ранее. При помощи характеристических рядов в работе А.Ф.Сидорова [1] были построены двумерные и трехмерные течения идеального газа, примыкающие через слабый разрыв к области покоящегося газа. В работе В.М.Тешукова [2] рассмотрен распад произвольного разрыва на криволинейной поверхности, когда по обе стороны от поверхности разрыва плотность газа больше нуля. На основе анализа первых членов некоторых асимптотических разложений в работе Я.М.Каждана сделан вывод о том, что свободная поверхность Г0 некоторое время движется с постоянной скоростью. В работе С.П.Баутина [4] изучено течение, возникшее в результате схлопывания одномерной полости; при 1 < у < 3 решение построено в виде сходящихся характеристических рядов в области от Г1 до Г0 включительно и доказано, что поверхность Г0 движется некоторое время с постоянной скоростью. Этот результат обобщен на случай двумерных и трехмерных течений в работах С.П.Баутина и С.Л.Дерябина [5], С.Л.Дерябин [6] исследовал задачу о трехмерных течениях в условиях действия внешних массовых сил.

тяжести. Большой астрофизический интерес представляет исследование движения газа во внутреннем (собственном) поле тяжести или в условиях самогравитации. В этом случае гравитационный потенциал Ф связан с распределением плотности р уравнением Пуассона

АФ = -4кСтр,

здесь О - гравитационная постоянная, А - оператор Лапласа, сила тяготения Р определяется равенством Р = grad Ф.

Исследованиями движений сплошной среды с учетом сил самогравитации занимались Дирихле, Дедекинд и Риман. Они изучали фигуры равновесия вращающейся идеальной несжимаемой жидкости. Затем данная теория получила развитие в работах выдающихся ученых А.Пуанкаре, Дж.Дарвина, Дж.Джинса, А.М.Ляпунова, Л.Лихтенштейна и др.

Движение гравитирующего газового шара рассматривалось как модель звезд в работах и монографиях Л.И.Седова [7], К.П.Станюковича [8]. Движения газа в поле тяжести изучались в работе А.Ф.Сидорова [9], в которой построены точные решения установившегося плоскопараллельного изэнтропического течения газа с политропным уравнением состояния.

В работе О.И.Богоявленского [10] рассмотрена динамика адиабатических движений гравитирующего идеального газа, при которых скорости являются линейными функциями координат и газ с постоянной плотностью заполняет некоторый эллипсоид.

В диссертации содержится исследование задачи о сферически-симметричном истечении самогравитирующего идеального газа в вакуум, решается задача о распаде разрыва и строятся точные решения начально-краевых задач нелинейной интегро-дифференциальной системы с частными производными в виде сходящихся рядов. Условие сферической симметрии позволило свести интегро-дифференциальную систему к нелинейной системе дифференциальных уравнений с частными производными типа Коши-

Ковалевской. В работе исследуются одномерные и многомерные задачи о гладком примыкании самогравитирующего газа к вакууму, при этом используются основные уравнения газовой динамики как в форме Эйлера, так и в форме Лагранжа.

Целью диссертационной работы является следующее:

2. Решение задачи о гладком примыкании гравитирующего газа к вакууму для сферически симметричных течений и исследование транспортных уравнений для определения границ применимости данного решения.

3. Построение решения задачи о гладком примыкании гравитирующего газа к вакууму в общем трехмерном случае.

Основными методами исследования, используемыми в диссертации являются аналитические методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений математической функции, в частности, метод представления решения в виде степенных рядов. Доказательство существования и единственности решений нелинейных систем с частными производными и представление их в виде степенных рядов опирается на классическую теорему Коши-Ковалевской и ее аналоги. Теорема Коши-Ковалевской обеспечивает существование и единственность решения задачи Коши для квазилинейной системы, если определитель матрицы, составленной из коэффициентов, стоящих перед выводящими производными, отличен от нуля, и все входные данные являются аналитическими. Если этот определитель равен нулю, то возникает характеристическая задача Коши, и

для единственности решения требуется задавать дополнительные условия. В случае линейной гиперболической системы Р.Курант [11], В.М.Бабич [12,13], Д.Людвиг [14] разработали метод представления решений характеристической задачи Коши в виде «обобщенной бегущей волны» -бесконечного, ряда по специальным системам функций, зависящих от ср, где ф = 0 - есть уравнение характеристической поверхности исходной гиперболической системы. В случае выполнения условий теоремы Коши-Ковалевской В.М.Бабичем и Д.Людвигом доказана сходимость этих рядов «в малом». Д.Людвиг свел вопрос о сходимости «обобщенной бегущей волны» к вопросу о существовании аналитического решения у линейной характеристической задачи Коши, когда начальное многообразие является характеристическим в каждой точке. Для линейных уравнений Дж.Даффом [15] и Д.Людвигом доказаны соответствующие аналоги теоремы Коши-Ковалевской.

Для нелинейной системы уравнений газовой динамики характеристическая задача Коши была решена А.А.Дороднициным [16]. А.Ф.Сидоров [17,18] предложил метод построения решения характеристической задачи Коши в виде степенных рядов. Коэффициенты рядов определяются из систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В случае характеристической задачи Коши стандартного вида, поставленной для аналитической квазилинейной системы, в работе С.П.Баутина [19] методом мажорант доказан аналог теоремы Коши-Ковалевской. В трудах А.Ф.Сидорова и его учеников активно разрабатывается метод характеристических рядов. Этот метод использован для решения задач газовой динамики, в работах С.П.Баутина [4,20-21], С.Л.Дерябина [6,22-23], Л.Г.Корзунина [24], С.С.Титова [25] и многих других.

Диссертация состоит из введения, двух глав, семи параграфов, заключения, приложения и списка литературы. Объем работы составляет 98

страниц машинописного текста, включая 20 рисунков, 10 таблиц. Библиография включает 42 наименования работ.

Введение содержит исторические сведения по исследуемой проблеме и краткое изложение основных результатов.

Р(+(ри)х + 2^= 0,

ut +иих+-рх = Fix, А Р

(1)

в X

где ^(х,?) = -471— |г2р(г,ф/г - сила притяжения, р - давление, р -х 0

плотность, и - скорость частиц газа. При I = 0 х е С2(), где - шар

рТ

радиуса г°. Уравнение состояния взято в виде р = s2 —. Для функции Fix t)

дифференцированием по t или по х с учетом уравнений системы (1), получены два дифференциальных соотношения

Ft = АпСтри,

2 ' Fx + — F + 4nGp = 0. х

Если ввести функцию M = -x2G 'F(x,/), то имеют место аналогичные равенства

/V/, + 4тис2р и = 0, Мх — 4пх2р = 0.

Введением неизвестных функций /'(-М) (или М(х,/))

_Т-1

а(х,?) = [р(-М)] 2 интегро-дифференциальная система (1) сводится к системе дифференциальных уравнений типа Коши-Ковалевской

У""1 ^ п

а, + о и + + (у -1)— = О,

2 х

2 2 2 2 т-> г\

щ + ихи ч--.V сах ч- —а ^ - ^ = О,

у-1 у

+ ^М = О,

^-4тшау-'=0. (1')

Задание аналитических начальных данных для и, а, .у, F в момент / = 0, при ст| >0, обеспечивает существование и единственность решения системы (Г) при малых значениях / в виде сходящихся рядов вида

СО и. к

и = 0 = {и,а,з,Р} (2)

к=0 к

Найденное решение определяет фоновое течение газа, по которому однозначно находится поверхность слабого разрыва с помощью обыкновенного дифференциального уравнения

с/х

— = и(х,1:)~ (3)

В силу того, что стх| о = оо на поверхности сферы в момент / = 0,

делается замена переменных. За независимые переменные берутся ( и с, а за неизвестные функции я, Т7. Якобиан такого преобразования равен:

В результате такой замены переменных получим систему

У - 1 ( А иа п х(-и- ——- (у - 1)хо — = О,

2* Х-

У-1 2 / л и° 2 2 2 2 х и,--и а - у - 1 )хи — +-я с + — - х р = О,

а £ ст \ < / с с -» о а '

2 х у -1 у

ад=0, 2

^+-х^-4.тга(м-х()сг"1 =0. (4)

х.

с начальными данными на характеристике Г}

4-,=«0(<). м1г, = ""(')■ < = АО. =

и дополнительным условием х(ст,0) = г°.

Во втором параграфе исследуется задача о распаде разрыва, строится волна разрежения (течение газа в области между Г^ и Г0).

Система (4) с аналитическими данными на характеристической поверхности Г1 с дополнительным условием в виде х(?,а)| = имеет

единственное решение, что устанавливается теоремой 1. Теорема 1. При 0 < I < (0 в некоторой окрестности Г1 существует единственное локально-аналитическое решение задачи о распаде разрыва.

Доказательство теоремы сводится [4-6] к соответствующему аналогу теоремы Коши-Ковалевской [19].

Для исследования вопроса о том, входит ли свободная поверхность Г0 в область применимости решения системы (4), установленное теоремой 1, данное решение представляется в виде ряда по степеням I

/Ы = £М°)гГ / = (5)

к=О К-

Анализ коэффициентов ./Дет) приводит к лемме. Лемма. При 1 < у < 3 коэффициенты рядов (4) при к > 1 имеют вид

xk+i =ak-i + aP1(fe(a,a\aina), uk ~ ak + а.Р2А.(а,аa In a), sk = aP3fc (a, a\a In a),

Fk+1 = ak + aP4fc(a,a\alna), (6)

где P¡k, i = 1,2,3,4 - многочлены от указанных аргументов, степень которых не превышает А-к, X > О, ак = const. Л = const, а0 = F0. На основании теоремы 1 и леммы доказывается теорема 2. Теорема 2. Для 1 < у < 3 при О <t <t0 область сходимости рядов (4), а

также рядов, задающих и /а покрывает всю область течения

от Г, до Г0 включительно. При этом закон движения Г0:

х = ф(7) определяется из решения вспомогательной задачи

хг = u(t\ ut = F(t),

(7)

с начальными данными

(0) = г°, ,<о) = И.=-4т50(Г0)СУо(г0) + Ио(Г0),

\ / ' \ /

■у

//(о) = /•; = 4;: о

1Г ) 0

и на поверхности Г0 сохраняется исходное значение энтропии

а. + (и- (р, )стг + -—-аиг + (у - 1)-^- = О,

2 г + ф

/ \ 2 2 2 2 СМ00 .

",+("- Ф,К +-7* + ^ + 7-ту = О,

У-1 У (г + ф)

Ъ + (и ~ Фг К =

А/2-4тг(2 + ф)2а7Г1=0, (8)

с начальными условиями а(/1,0) = 0, Ц7,0) = и(7), ¿(¿,0) = 500, М(7,0) = М00. (8х) и дополнительными условиями

= и(*0,*)=и0(г), *) = **(*) (П

В системе уравнений (8) функция х = ф(/) задает закон движения свободной поверхности Г0, Мт - вся масса газа, г = - новая независимая

переменная.

Теорема 3. При /0 < I < и задача (8), (8х), (8") имеет единственное локально-аналитическое решение, представимое в виде

оо к

к=0

Доказательство этой теоремы сводится к соответствующему аналогу теоремы Коши-Ковалевской [19]. Данная теорема справедлива только для рациональных показателей адиабаты у . Анализ решения показывает, что при определенных значениях газодинамических параметров газовый шар разлетается до бесконечности, в других случаях граница газ-вакуум останавливается при t = tl и начинается схлопывание массы газа. Особенности решения на этой границе появляются только в момент фокусировки, который можно трактовать как момент схлопывания всей массы газа