Конструктивные и качественные методы исследования нелинейных краевых задач для аналитических функций и нелинейных интегральных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

005006888

На правах рукопиа

РОГОЗИН Сергей Васильевич

Конструктивные и качественные методы исследования нелинейных краевых задач для аналитических функций и нелинейных интегральных уравнений

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Белгород - 2011

1 2 ЯНВ 2012

005006888

Работа выполнена в Белорусском государственном университете

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Радкевич Евгений Владимирович

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, кафедра дифференциальных уравнений

доктор физико-математических наук, профессор Панасенко Григорий Петрович Университет г. Сент-Этьен им. Ж. Моне (Франция), лаборатория математики

доктор физико-математических наук, профессор Сильвестров Василий Васильевич

Московский государственный университет нефти и газа, кафедра высшей математики

Ведущая организация:

НИИ математики и механики им. Н.Г.Чеботарева

при Казанском (Приволжском) федеральном университете

Защита состоится "21" февраля 2012 г. в 15.30 часов на заседании совета по защите диссертаций Д 212.015.08 при Белгородском государственном университете по адресу: 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, 14, ауд. 407

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгородского государственного национального исследовательского университета

Автореферат разослан

т-

Ш?М 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Прядиев В. Л.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена развитию теории краевых и начально-краевых задач для дифференциальных уравнений, в частности нелинейных краевых задач для аналитических функций, нелинейных сингулярных интегральных уравнений и систем, возникающих при исследовании задач механики сплошной среды. В работе исследуется разрешимость, строятся явные решения линейных и нелинейных краевых задач для аналитических функций, связанных с ними нелинейных интегральных уравнений, эти результаты применяются для качественного анализа современных проблем математического анализа и математической физики. Для реализации этих целей проводится существенное развитие конструктивно-аналитических методов исследования нелинейных краевых задач для аналитических функций, которые используются в комбинации с новыми вариантами теоремы о неявной функции, метода монотонных операторов, метода Ныотона-Канторовича, метода функциональных уравнений. Разработанные подходы применяются при изучении различных проблем математического анализа (в частности, на основе исследования специальной системы интегро-функциональных уравнений доказана вещественная аналитичность оператора, ассоциированного с конформными отображениями, разработан приближенный метод вычисления значений данного оператора, установлена вещественная аналитичность различных модификаций оператора Шварца) и задач механики жидкостей и газов (доказано локальное существование и единственность аналитического решения системы из эволюционного уравнения и нелинейной краевой задачи, которая описывает поведение свободной границы раздела двух сред в неограниченной и ограниченной ячейке).

Актуальность темы диссертации.

Постановка нелинейных задач для аналитических функций восходит к диссертации Б.Римана. Важный этап развития исследований таких задач связан с работами А.Пуанкаре, Т.Карлемана, рассматривавших данные задачи в связи с многочисленными приложениями, а также Ш.-Э.Пикара, Г.Пика, К.Каратеодори (в связи с задачами теории конформных отображений). Д.Гильберт инициировал применение метода интегральных уравнений для решения линейных и нелинейных краевых задач для аналитических и гармонических функций и построил основы теории сингулярных интегральных уравнений, развитой в дальнейшем в трудах Ф.Нетера, И.Племели.

Этапным для теории и приложений краевых задач для аналитических функций было конструктивное построение Ф.Д. Гаховым в 1936 г. решения краевой задачи С-линейного сопряжения (линейной краевой задачи Римана), а также исследование разрешимости этой задачи в терминах индекса се коэффициента. Данная работа положила начало развитию конструктивных (аналитических) методов для краевых задач теории аналитических функций и сингулярных интегральных уравнений. Результаты как теоретического, так и прикладного характера, полученные в этом направлении, представлены в известных монографиях Ф.Д. Гахова, Н.И. Мусхелшнвили, И.Н. Векуа, Э. Май-стера, 3. Пресдорфа, а также в монографиях и обзорных статьях Л.А. Ак-сентьева, Н.П. Векуа, Ф.Д. Гахова и Ю.И. Черского, Н.В. Говорова, И.И. Да-

нилкжа, А.Д. Джураева, Э.И. Зверовича, В.А. Какичева, Н.К. Карапетянца и С.Г. Самко, Г.С. Литвинчука, Л.Г. Михайлова, С.Г. Самко-А.А. Килбаса-О.И. Маричева, А.П. Солдатова, Л.И. Чибриковой, Б.В. Хведелидзе.

Другое направление исследований в этой области восходит к работам Д.Гильберта, Ф.Нетера, Н.Винера и Э.Хопфа, Р.Куранта и может быть охарактеризовано как качественно-аналитическое. В рамках этого направления основными являются проблемы нахождения условий разрешимости соответствующих задач и интегральных уравнений, а также создание (если возможно) приближенных методов их решения. Данные результаты опираются, в основном, на базовые понятия и результаты линейного и нелинейного функционального анализа. Основные достижения, полученные на основе этих методов для краевых задач теории для аналитических и гармонических функций и сингулярных интегральных уравнений, связаны с именами Б. Боярского, Л. фон Вольферсдорфа, И. Гохберга и Н. Крупника, С.Г. Михлина, В. Погоржельски, Д. Пшеворской-Ролевич, И.Б. Симоненко, А.И. Шнирельмана.

Потребности приложений привели к необходимости рассмотрения новых нелинейных краевых задач и нелинейных интегральных уравнений. Конструктивное и качественное исследование таких задач и уравнений потребовали привлечения результатов различного типа. Таким образом, отмеченное выше разделение на два направления, близких по объектам исследований, но различных по применяем методам, стало еще более резким. Оказалось, что обобщение конструктивных методов на случай нелинейных задач возможно только для не очень широкого класса задач. Кроме того, требуется создание новых технических приемов для решения специфических проблем, характе|>-ных только для нелинейного случая. Полученные в этой области результаты относятся, в основном, к нелинейной степенной задаче сопряжения, нелинейной задаче Римана-Гильберта степенного типа, задаче типа произведения, задаче о модуле и обобщенной задаче о модуле, а также некоторым задачам смешанного типа. Следует отметить в этой связи работы Е.П. Аксентьевой, Г.В. Аржанова, Ф.Д. Гахова, Н.В. Говорова, В.В. Кашевского, И.И. Комяка, Г.С. Литвинчука, В.К. Наталевича, Ю.В. Обпосова, H.A. Рысюк, М.Э. Толоч-ко, Г.П. Черепанова. Однако исследования в этой области далеки от своего завершения в силу ряда причин. Во-первых, необходимо разрабатывать новую технику исследования, что сопряжено с привлечением аппарата смежных областей анализа, а также с решением специфических проблем, отражающих существо нелинейных задач. Во-вторых, постановки задач и классы решений пока еще не устоялись и нуждаются в уточнении, так как, с одной стороны, реализуемость конструктивных подходов побуждает рассматривать достаточно простые постановки и классы решений, в то время как, с другой стороны, потребности приложений приводят чаще всего к сложным кбмплексным задачам и специфическим классам решений.

В действительности подчеркнутые особенности характерны и для качественно-аналитического направления, хотя в некотором смысле возможности применения качественных методов приводят к более широкой гамме изучаемых объектов. Следует отметить, что в нелинейном случае задачи, рассматриваемые в рамках этих направлений, разнятся гораздо в большей степени, нежели в линейном случае. В рамках качественно-аналитического на-

правления чаще всего рассматриваются нелинейные интегральные уравнения. Исследование нелинейных краевых задач (в том числе и возникающих в приложениях) с использованием методов этого направления обычно сводятся к изучению интегральных уравнений или систем. Результаты по нелинейным интегральным уравнениям и связанным с ними краевым задачам приведены в монографиях и статьях X. Бегера н Г. Вена, В. Вендланда, Э. Вегерта, Л. фон Вольферсдорфа, Д. Гайера, А.И. Гусейнова и Х.Ш. Мухтарова, А. Джураева, А.И. Шнирельмана, М.А. Эфендиева. Исследования в этой области также не завершены: как в теории, так и в практических приложениях возникают новые задачи, которые требуют дальнейшей разработки теории нелинейных интегральных уравнений и нелинейных краевых задач, построения новых методов исследования и применения данных результатов в конкретных ситуациях.

Таким образом, развитие конструктивно-аналитических и качественных методов исследования нелинейных краевых задач для аналитических функций и нелинейных сингулярных уравнений, а также их применение к задачам математического анализа, механики и теоретической физики, является важным и актуальным как для развития общей теории разрешимости краевых и начально-краевых задач для дифференциальных уравнений и нелинейных интегральных уравнений, так и для их приложений к построению и исследованию новых моделей естествознания.

Связь работы с крупными научными программами, темами.

Исследования проводились на кафедре теории функций Белорусского государственного университета в рамках государственных программ фундаментальных исследований Республики Беларусь, программ Фонда фундаментальных исследований Республики Беларусь (в том числе, совместной темы Российского Фонда Фундаментальных исследований и Фонда фундаментальных исследований Республики Беларусь), а также международных научных программ.

Цель и задачи исследования.

Целью диссертационной работы является развитие теории краевых и начально-краевых задач для дифференциальных уравнений, в частности нелинейных краевых задач для аналитических функций, нелинейных сингулярных интегральных уравнений и систем, возникающих при исследовании задач механики сплошной среды, а также приложение этих результатов для качественного анализа современных проблем математического анализа и механики сплошной среды.

Для достижения поставленной цели необходимо:

- дать аналитическое решение векторно-матричной краевой задачи Римана-Гильберта для многосвязной круговой области;

- получить условия разрешимости, дать решение в замкнутой форме и описать множество решений нелинейной степенной краевой задачи;

- исследовать разрешимость дробно-линейной краевой задачи на основе использования методов теории факторизации и уравнений Теплица;

- развить качественно-аналитические методы исследования особых нелинейных интегральных уравнений и включений (метод монотонных операторов, теорема о неявной функции);

- исследовать разрешимость систем нелинейных интегрально-функциональных уравнений, возникающих при построении конформных отображений;

- доказать аналитичность нелинейных операторов, связанных с конформными отображениями;

- получить решение задачи вычисления конформных отображений на основе применения метода Ньютона-Канторовича к исследованию специальных систем нелинейных интегрально-функциональных уравнений;

- доказать регулярность нелинейных операторов, связанных с решениями краевых задач для аналитических функций;

- доказать локальное существование и единственность аналитического решения системы из эволюционного уравнения и линейной краевой задачи, которая описывает поведение свободной границы раздела двух сред в неограниченной и ограниченной ячейке;

- установить локальное существование и единственность аналитического решения комплексной задачи Виноградова-Куфарева с регуляризацией кинетического типа;

- установить локальное существование и единственность аналитического решения комплексной задачи Виноградова-Куфарева в ограниченной области.

Объект и предмет исследования.

Основными объектами исследования являются нелинейные краевые и начально-краевые задачи для дифференциальных уравнений, нелинейные интегральные, интегро-функциональные и операторные уравнения.

Предметом исследования является построение в замкнутой форме решений новых типов линейных и нелинейных краевых задач для дифференциальных уравнений в комплексных областях, качественный анализ разрешимости линейных и нелинейных краевых задач для аналитических функций и связанных с ними нелинейных интегральных, интегро-функциональных и операторных уравнений и систем уравнений, начально-краевых задач для эволюционных уравнений, а также приложение результатов к исследованию новых сложных задач математического анализа и механики сплошной среды.

Научная новизна и значимость полученных результатов.

Все результаты диссертации являются новыми.

В диссертации дано развитие теории нелинейных краевых и начально-краевых задач для дифференциальных уравнений, в частности существенно развиты конструктивно-аналитические и качественные методов исследования нелинейных краевых задач для аналитических функций и нелинейных сингулярных интегральных уравнений. Получено решение новых типов линейных и нелинейных краевых задач на основе комбинации метода аналитического продолжения с методом функциональных уравнений, методом дискретного ламинирования функциональных пространств. Предложенные формулы решений дают возможность использовать в дальнейшем полученные результаты для нелинейных краевых задач при изучении смежных вопросов математики (например, теории конформных и квазиконформных отображений), а также механики сплошной среды (теории фильтрации, механики пористых сред и композиционных материалов, теории упругости и упруго-пластичности).

Исследованы новые случаи нелинейных интегральных уравнений и включений на основе современных вариантов метода монотонных операторов и теоремы о неявной функции.

Комбинации разработанных в диссертации конструктивно-аналитических и качественных методов исследования линейных и нелинейных краевых задач и сингулярных интегральных уравнений применяются для изучения новых типов проблем математики и механики.

Впервые дано аналитическое исследование новых типов задач, связанных с регулярностью операторов, ассоциированных с конформными отображениями и решениями краевых задач. Доказательство вещественной аналитичности данных операторов дает возможность получить существенное продвижение в изучении граничных свойств конформных отображений и решений краевых задач, что имеет важное значение при изучении новых моделей механики сплошной среды. Полученные для этих задач результаты имеют самостоятельное значение. В частности, из аналитичности оператора, ассоциированного с конформными отображениями, вытекает гладкость граничной функции конформного отображения в случае, когда граничная линия области обладает аналогичной степенью гладкости. Кроме того, показана аналитическая зависимость конформного радиуса от параметризации граничной кривой (в случае односвязной области), а также конформных модулей от параметризации граничной кривой (в случае многосвязной области). Предложенная схема построения конформного отображения на основе применения метода Ньютона-Канторовича может быть реализована для приближенного вычисления конформных отображений. Аналитическая зависимость модификаций оператора Шварца от граничной кривой может использована, например, при исследовании задачи зависимости эффективных характеристик композиционных материалов от возмущения геометрии включений.

Установлена однозначная разрешимость системы из эволюционного уравнения и нелинейной краевой задачи, описывающей поведение границы раздела сред в плоской ячейке. В качестве приложения доказано локальное существование и единственность аналитического решения задачи Виноградова-Куфарева с регуляризацией кинетического типа. Предложенный способ решения позволил показать, что применение регуляризации кинетического типа делает рассматриваемую модель дающей более точное соответствие теоретических результатов экспериментальным данным. На основе применения теоремы Овсянникова для абстрактного эволюционного уравнения установлено также локальное существование и единственность аналитического решения комплексной задачи Виноградова-Куфарева в ограниченной области. Разработанный метод может быть применен при исследовании других моделей двумерной механики сплошной среды.

Методы исследования.

В работе развиваются методы комплексных дифференциальных уравнений, в частности, теории краевых задач для аналитических функций и интегральных уравнений в сочетании с такими современными методами как метод функциональных уравнений, метод дискретного ламинирования функциональных пространств, методы монотонных операторов. Применяются также абстрактные теоремы о неявных функциях, современные варианты теоремы

Ныотона-Канторовича, теорема Овсянникова о разрешимости эволюционных уравнений в шкалах банаховых пространств.

Практическая (экономическая, социальная) значимость полученных результатов.

Работа носит теоретический характер и вносит вклад в исследования линейных и нелинейных краевых и начально-краевых задач для дифференциальных уравнений, в частности нелинейных краевых задач для аналитических функций, нелинейных сингулярных интегральных уравнений и их приложений.

Полученные результаты могут быть непосредственно использованы в теоретических исследованиях свойств композиционных материалов, а также при построении моделей течения жидкостей.

Построенные замкнутые решения нелинейных краевых задач могут быть использованы в качестве расчетных формул для численного моделирования задач механики сплошной среды.

Качественно-аналитические результаты, развивающие метод нелинейных интегральных уравнений, могут быть применены для качественного анализа сложных моделей и систем, в частности, возникающих в прикладных задачах.

Аналитичность операторов, ассоциированных с конформными отображениями, а также решение систем нелинейных уравнений, определяющих конформные отображения, будут использованы для приближенного построения конформных отображений и при анализе свойств регулярности функций в односвязных и многосвязных областях. Аналогичные идеи могут найти свое применение в теории квазиконформных отображений, в частности, в задачах голоморфной динамики. Они смогут найти приложение в задачах теории композиционных материалов, теории упругости, механики жидкостей и газов.

Результаты диссертации могут быть использованы в научных коллективах, проводящих исследования в области линейных и нелинейных краевых и начально-краевых задач для дифференциальных уравнений и их приложений, в частности, в Белгородском, Белорусском, Казанском, Московском, Одесском, Ростовском, Харьковском университетах, а также в ВЦ РАН, Институте математики и механики им. Н.Г. Чеботарева при Казанском университете, Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН, Институте проблем механики им. М.В. Келдыша.

Апробация результатов диссертации.

Основные результаты диссертации докладывались на международных конференциях в Беларуси, Бельгии, Болгарии, Великобритании, Германии, Италии, Литве, Польше, Португалии, Турции, России и Украине. С сообщениями о результатах диссертации автор выступал на семинарах: Белорусского математического общества (рук. академик И.В.Гайшун, 2001, 2004 гг.), по обратным краевым задачам кафедры математического анализа МГУ им. М.В.Ломоносова (рук. проф. А.И.Прилепко, 2005 г.), по математическому моделированию и математической физике, ВМиК МГУ им. М.В.Ломоносова (рук. проф. И.К.Лифанов, 2006 г.), кафедры функционального анализа и приложений МГУ им. М.В.Ломоносова (рук. академик Е.И.Моисеев, 2009 г.), по дифференциальным уравнениям Белгородского государственного универ-

ситета (рук. проф. А.П.Солдатов, 2010 г.), отдела математического анализа НИИ математики и механики им. Н.Г.Чеботарева (рук. проф. Ф.Г.Авхадиев, проф. Ю.В.Обносов, 2006, 2007, 2008 гг.), кафедры математического анализа Казанского государственного университета (рук. проф. Л.А.Аксентьев, 2008 г.), кафедры теории функций Харьковского госуннверситета (рук. чл.-корр. АН Украины И.В.Островский, 1991 г.), механико-математического факультета Белорусского госуниверситета (рук. проф. П.П.Забрейко, Я.В.Радыно, Н.И.Юрчук, 2001 г.) и неоднократно на Минском городском семинаре по анализу и приложениям им. Ф.Д.Гахова (рук. проф. Э.И.Зверович, проф. А.А.Килбас, доц. С.В.Рогозин). Кроме того, результаты докладывались на семинарах в зарубежных университетах и научных центрах.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из оглавления, введения, общей характеристики работы, пяти глав, заключения и списка использованных источников, насчитывающих 482 наименования. Общий объем диссертации - 265 страниц, из них 33 страницы занимает список использованных источников.

Опубликованность результатов.

Основные результаты диссертации опубликованы в 60 научных работах. Среди них одна монография, глава в коллективной монографии, 29 статей в рецензируемых научных журналах (в том числе, 13 статей в журналах "Известия вузов. Математика", "Integral Transforms and Special Functions", "European J. of Applied Mathematics", "Mathematical Modelling and Analysis" - 3 статьи, "Mathematische Nachrichten" - 2 статьи, "Complex Variables and Elliptic Equations" - 2 статьи, "Analysis" - 2 статьи, "Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen", входящих в перечни ведущих рецензируемых журналов и изданий ВАК России), 14 статей в сборниках научных трудов и 15 тезисов докладов на международных конференциях. 22 работы опубликованы без соавторов. Общий объем опубликованного материала составляет 471 страницу. Из совместных работ в диссертацию вошли только результаты автора.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во Введении сформулированы основные цели диссертации, а также кратко описана структура работы.

Раздел Общая характеристика работы описывает основные параметры диссертационной работы. Обосновывается актуальность темы диссертации в свете последних достижений, имеющихся в том направлении исследований, которому принадлежит работа. Указывается связь диссертационной работы с крупными научными программами, темами, в рамках которых выполнялись исследования. Кратко формулируются основные цели и конкретные задачи, которые необходимо было решить для достижения поставленных целей. Выделены основные объекты и предметы исследования, а также дано описание разработанных методов и специфических приемов, применяемых в работе. Охарактеризована новизна и значимость полученных результатов, возможности и перспективы их практической реализации. Приведены основные результаты, выносимые на защиту. Подробно описан личный вклад автора в совместных

публикациях, упомянутых в диссертационной работе. Приведен список международных конференций и научных семинаров, на которых докладывались результаты диссертации. Указано количество основных публикаций по теме диссертации, объем и структура самой работы.

Глава 1 Исследования по линейным и нелинейным краевым задачам для аналитических функций и особым интегральным уравнениям представляет собой краткий библиографический и исторический обзор по указанной тематике.

Обзор состоит из двух частей. В первой части рассмотрены результаты по теории и приложениям линейных краевых задач для аналитических функций и линейных особых интегральных уравнений, составляющих основу теории нелинейных задач и уравнений. Указываются также новые типы линейных задач и уравнений, исследование которых диктуется потребностями приложений. Кроме того, обосновывается необходимость исследования нелинейных краевых задач и нелинейных интегральных уравнений.

Во второй части главы дан обзор классических и современных результатов по теории нелинейных краевых задач для аналитических функций и нелинейных особых интегральных уравнений и их приложениям. Выделены два основных подраздела этого направления. Первый из них посвящен конструктивно-аналитическому анализу нелинейных задач и уравнений, приводящему к решению соответствующих задач и уравнений в явной форме. Второй подраздел включает в себя исследования, проводимые с использованием качественных и приближенных методов. В рамках данного направления основными являются проблемы существования, единственности решений, их продолжимости по параметру, структуры множества решений, обоснования и реализации тех или иных приближенных методов.

Глава 2 Нелинейные краевые задачи для аналитических функций посвящена развитию конструктивного метода исследования нелинейных краевых задач для аналитических функций. В основе предлагаемого в данной главе подхода лежат комбинации модификаций метода аналитического продолжения с современными аналитическими методами - методом функциональных уравнений, методом дискретного ламинирования функциональных пространств, методами теории векторно-матричных краевых задач, факторизации матриц-функций и теории операторов Винера-Хопфа.

В разделе 2.1 дана постановка краевой задачи С-линейного сопряжения (или краевой задачи Римана) относительно аналитического А^-вектора на п интервалах вещественной прямой. Пусть —оо < Ао < А\ < ... < Л->п-2 < Лгп-1 < оо - заданные точки на вещественной прямой. Обозначим через Ь). = (А2к-г, А2к-\) открытые интервалы вещественной прямой К с конце-

п _

выми точками Лг/ь-г, Лг/ь-ъ ^ — У] с1 £> = С \ Ь, где с1 Ь^ - замыкание

к=1

Ьк- Пусть постоянные невырожденные N х N матрицы С?*, удовлетворяющие условию СЦ, = Е, заданы на интервалах Ь^.

Задача С-линейного сопряжения: найти вектор-функцию Ф(г), аналитическую в Г), непрерывно продолжимую на каждую из сторон разрезов вдоль интервалов Ьь, ограниченную в окрестности каждой точки Аимеющую рост

ne выше степенного порядка (п — 1) на бесконечности, и удовлетворяющую следующим краевым условиям

Ф+(0 = teLk. (1)

Вводя вектор-функцию в верхней полуплоскости С+

/ Ф(г) \

Ф) = -г _ , (2)

V У

переформулируем краевое условие (1) в форме краевого условия задачи Римана-Гильберта относительно 2./У-вектора ф(г):

Re {Aïfc0(£)} = 0, t € Lk, к = 1,...,п, (3)

где матрицы Ajt удовлетворяют соотношению

*к9к = Ль (4)

_ / 0_ Gk

9к К G? О

С помощью вспомогательного конформного отображения ш, переводящего внешность системы отрезков на (неограниченную) многосвязную круговую область, краевая задача (3) сводится к эквивалентной векторно-матричной краевой задаче для n-связной круговой области

А к(р{т) = <рк(т) - <рк(т), т € Т* = {т е С : |т - ак\ = гк}, к = 1,...,п, (5)

где вспомогательные вектор-функции (рк(0 аналитичны внутри О* = {С ё С : —< гк}, непрерывны в сШк! анеизвестная вектор-функция <р(ф = <рои>)

п

должна быть аналитична во внешней круговой области В =

к=1

иметь степенной рост порядка (п — 1) на бесконечности.

Краевая задача (5), в свою очередь, сводится к системе функциональных уравнений на каждом круге Ю* (к = 1,..., п)

МО = -а* £ +^Рп-1(С), С 6 с1Вк, (6)

тпфк

где С^) ~ точка, симметричная для С относительно т-ой окружности. Решение последней ¡рк(0 получено в виде

ЫС) = Рм-1к(0 + АкНО, (7)

где Рд/-1,)ь(С) - многочлены порядка не выше М — 1, а операторы Ак - векторные аналоги линейных операторов, решающих систему функциональных уравнений.1

'Mityushev, V.V. Constructive Methods for Linear and Nonlinear Boundary Value Problems for Analytic Functions: Theory and Applications / V.V. Mityushev, S.V. Rogosin. - Boca Raton - London - New York -Washington: Chapman & Hall / CRC PRESS, 1999 (Monographs and surveys in pure and applied mathematics; v. 108). - P. 162.

Теорема 2.1 Пусть Gu - постоянные матрицы, определенные на системе отрезков Lk, k = 1,..., п, и удовлетворяющие условиям = Е, а матрицы \к определены соотношениями (4)-

Тогда общее решение задачи (5) представляется в виде

п

<Ж) = Pn-i(C) - Е ^мсу. С е ©, (8)

т—\

где P„_i - векторный многочлен порядка не выше п — 1. Общее решение задачи (3) задастся формулой

ф{г) ~ ч>{ш(г)), г G D, (9)

где и) - конформное отображение области D на D.

Первые N компонент вектора гф(г) образуют решение Ф(г) исходной задачи С-линейного сопряжения (1) с кусоч}ю-постояниыми матричными коэффициентами.

В разделе 2.2 приведено аналитическое решение одной из модельных нелинейных краевых задач для аналитических функций - дробно-линейной краевой задачи Римана:

ф+(*)ф-(«) - а(*)Ф+(*) - 6(f)Ф_(0 = c(t) , t 6 Г, (10)

где Г - простая гладкая замкнутая кривая Ляпунова на комплексной плоскости (О 6 Г), а коэффициенты задачи (10) являются гельдеровскими:

а,Ь,сеС»(Г) (11)

с некоторым (равномерным) показателем Гельдера ц 6 ] 0, 1 [.

Задача (10) рассматривается в нормальном случае2, т.е. когда с + ab принадлежат группе Q С (Г) обратимых элементов пространства Cß(T). Пусть g G С^(Г), положим

JgC(T) = € С"(Г) :v-ge 6С"(Г)},

JgCÍ{T) = {<р 6 С£(Г) : V - д в дс'4Г)}, (12)

JgjuCl{Г) = У е JgCÍ{Y): indr (<р — д) = v], ueZ,

indr f = ^Кё V) > Ч> e 6С(Г). (13)

В терминах обозначений (12) можно описать так называемое дискретное ламинирование пространства

J9Cl(T) = {]jgMCl(T\ (14)

veZ

gc'K г) = [J Jq^c±(t).

vez

2Mikhlin, S. G. Singulare Integraloperatoren / S. G. Mikhlin, S. Prössdorf. - Berlin: Akademie-Verlag, 1980.

Лемма 2.1 Если а,Ь,с 6 С^(Г) и задача (10) имеет нормальный тип, то любое ее решение Ф± 6 С±(Г) удовлетворяет следующим свойствам

Ф+ 6 Л^СЦГ)

ф- 6 Г) (15)

при некоторых щ 6 Ъ, таких что + У2 = V = гпйг (с + аЬ). Решение вида (15) называется ^-решением задачи (10). Лемма 2.2 I. Если функции Ф± 6 С (Г) удовлетворяют краевому условию (10) и Ф+ е Г) для некоторого VI € Ъ, то

Ф- € За ,1/2С^(Г), VI + 1*2 — и = тдг(с + аЬ) Ф

При этом формулы

Ф+-Ь = где *>± е бС^(Г). (16)

</<+ = ф+^+ е С£(Г),

^_ = -Ф_</5_ € С^(Г) (17)

определяют решение однородной линейной краевой задачи Римана

ф++ ) = (£) = ^ ( с -I) (ф~_) - (18)

где = <р± е 0С£(Г), а ф± € С£(Г).

Я. Обратно, любое решение краевой задачи (18) (в указанном классе функций) порождает решение дробно-линейной задачи (10), где Ф+ 6 Зь^С^Г), причем эти решения связаны между собой формулами (17).

В нормальном случае Со допускает (левостороннюю) Ф - факторизацию

во = (19)

Основной результат в этом случае имеет вид.

Теорема 2.6 Предположим, что задача (10) ■имеет нормальный тип.

1. Если выполнены условия (19), то не существует ни одного щ - решения задачи (10) для и < — к\.

2. Если (10) допускает щ - решение, то Ф+ :имеет вид

Ф+= 9+21 РЪ+ 9+22 4* 5+11 Рл, + 5+12 9Аа

где

С+= {д+]к)],к=1,2 (21)

- плюсовая компонента Ф - факторизации (19) матрицы (~?о ,и рх1, дд2 -полиномы степени не выше

= + К1 , Л2 = У\ + «2, (22)

соответственно (которые следует заменить 0 в случае отрицательных порядков); более того, знаменатель не обращается в нуль:

í^+uPa. + S+u®, / 0 «аГ. (23)

3. Число линейно независимых решений задачи (18) в классах, определенных выше (соответствующих определенному € Z ), не больше, чем

п^ (G) = max{Ai + 1,0} + тах{Л2 + 1,0}. (24)

4■ Число i/i-решений задачи Римана не превосходит n^(G).

В случае, когда дробно-линейная задача рассматривается в классе функций, ограниченных на бесконечности, доказано, что эта задача эквивалентна неоднородной системе уравнений Теплица со специальными коэффициентами, а именно, имеет место утверждение

Лемма 2.8 Линейная однородная векторно-матричная краевая задача Римана (18) эквивалентна неоднородной векторно-матричной краевой задаче Римана со специальными коэффициентами в следующем смысле: пара (tp-, ф-) € ZVl(a, Ъ, с) представляет решение задачи

(18) тогда и только тогда, когда функция / = определяемая

формулой

<р_ = 1 + ф-,

ф- = фос+ ф~, (25)

О

задает решение следующей системы уравнений Теплица в классе CÍ (Г)2

TGn = Qr GVl : CÍ (Г)2 - CÍ (Г)2,

где g принадлежит некоторому специальному одномерному линейному С -многообразию, опис.ываемому щшвой частью уравнения (26), a f и фх 6 С

таковы, что выполняются следующие условия на {ф-, ф-):

(1+ € <ЭД , V-) + Фос+ Ф-Г1 е С+(Г), (27)

которые эквивалентны тому, что аналитическое продолжение функций и ip+ не имеет нулей на множествах £>риГи{оо} и D^ иГ, соответственно.

В разделе 2.3 исследуется разрешимость нелинейной степенной задачи сопряжения

[Ф+(0]а = С(0[Ф"(0]/' + 9(«), (28)

где G,g - функции, заданные на контуре Г, а,р - заданные вещественные числа. Задача (28) рассматривается в гельдеровской постановке, т.е. считается, что функции G, g непрерывны по Гельдеру

G,geC»(T), (29)

с одним и тем же равномерным показателем Гельдера. В (28) а, (3 £ R \ {0} -заданные вещественные числа, отличные от нуля.

В случае, когда однородная нелинейная степенная задача имеет нормальный тип, она эквивалентно сведена к семейству линейных краевых задач Римана с помощью ламинирования соответствующих функциональных пространств и подходящих замен. На основе этого дается полное описание множества решений однородной нелинейной степенной краевой задачи сопряжения в гельдеровской постановке. Разрешимость неоднородной нелинейной степенной краевой задачи сопряжения в нормальном случае также исследуется на основе метода ламинирования.

Более точная постановка такова. Нелинейная степенная задача сопряжения. Найти все пары функций

Ф± 6 СЧ{Г), (30)

для которых существуют однозначные ветви многозначных функций [Ф+(г)]а, [Ф"(2)]'3, т.е.

([ф+]° , [ф-]0) е c'Ur \ ы) х ct{T \ {*„}), (31)

для некоторого to € Г и их граничные значения [Ф+(£)]а, [Ф~(^)]/3 удовлетворяют условию (28) на Г \ {¿о}-

Всюду в этой работе предполагается, что коэффициент G задачи (28) не обращается в нуль на Г, т.е.

G(t) /0, Vi £ Г. (32)

Нелинейная степенная задача сопряжения называется задачей нормального типа, если выполняется соотношение (32) и решения задачи также имеют нормальный тип, т.е. их граничные функции Ф+(£),Ф_(£) не обращаются в нуль на Г.

В подразделе 2.3.2 исследована однородная степенная краевая задача в нормальном случае, т.е. задача, соответствующая краевому условию

[ф+(*)]в = с(*)[ф-(*)]". (33)

Определение 2.15 Пусть а, /3 € К \ {0} фиксированные вещественные числа, не равные нулю. Пусть коэффициент G задачи (33) удовлетворяет условию G £ GC''(Г) при некотором фиксированном значении показателя Гельдера fi £ (0,1).

Пара функций Ф± € С£(Г\{г0}) называется решением нормального типа (нормальным решением) для задачи (33), если

[Ф+]аббС£(г\{г0}), [ф-f еес£(г\(М), (34)

и, кроме того, для всех t £ Г \ {ig} выполняется краевое условие (33).

Определение 2.19 Нормальное решение Ф± задачи (33) называется (т,п)-решением, если

(Ф+, Ф") 6 gmct(Г) х QnCt{T). (35)

Лемма 2.20 Пусть т,п 6 No- Задача (33)-(34) имеет (тп,п)-решение тогда и только тогда, когда выполняется следующее соотношение

am + ßn = ае, (36)

где

ж = indr G = — / d(arg G) (37)

2ж Jr

- это индекс Коши коэффициента G задачи (33).

Разрешимость однородной задачи описывает следующая теорема. Теорема 2.27 Любое (т,п)-решение однородной степенной нелинейной задачи (33)-(34) имеет вид

т / щ \ ~Р/а

Ф +(*) = -zt)[X+(z)}1/a Щ (*"**) . (38)

j=1 \fc=X /

Щ / /т / +\\-а/0

ф-(г) = CV^-o Д ^ _ ^ [X-(Z)]W Щ (i " у] J •

где 6 Dp,j — 1 - некоторые (не обязательно различные) точки

внутренней области D^, z¡Г € D^, k = 1,..., щ, - некоторые (не обязательно различные) точки внешней области D^, щ - порядок нуля функции Ф~(г) в бесконечно удаленной точке, п = щ + щ, С - произвольная комплексная постоянная, а X±(z) - каноническая функция3 линейной однородной задачи Римана с коэффициентом G{t)t~x.

Следствие 2.28 Множество (т, п)-решений однородной степенной нелинейной задачи (33)-(34) состоит из всех пар функций вида (38), отвечающих произвольному выбору точек zt S , j = 1,..., m, и z^ € D^, k = 1,..., n\, n = по+щ, и произвольному выбору допустимых однозначных ветвей многозначных функций, содержащихся в правых частях (38).

В подразделе 2.3.4 исследуется в нормальном случае разрешимость неоднородной степенной краевой задачи сопряжения (28). Краевое условие (28)

3Гахов, Ф.Д. Краевые задачи, Ф.Д. Гахов. - 3-е изд. - М.: Наука, 1977. - 640 с.

переписывается в эквивалентной форме

№(*)]" [фгю]'

к=\

где

.7=1

П1

п

-"о 11(1-

к=1

ФГС*). (40)

Отсюда вытекает, что для разрешимости неоднородной задачи необходимо, чтобы выполнялось одно из следующих условий:

1) та 6 Ъ\

2) функция д(¿) обращается в нуль хотя бы в одной точке кривой Г. Теорема о разрешимости неоднородной степенной задачи сопряжения в

случае выполнения условия (36) имеют вид.

Теорема 2.33 Пусть (т, п) неотрицательные целые числа являющиеся решениями диофаитова уравнения (36). Пусть выполнено хотя бы одно из условий 1) или 2).

Тогда (т, п) -решение неоднородной нелинейной степенной краевой задачи (28)) представляется в виде

Ф*(г) = Щг-ф

-Р/а

'*)) [ВД-с]

1/а

Ф (г) = г

»1 /

'П

*=1 4

1-^)[х-(,)Г( п 1-

¿=1

-а/0

[ВД-с]

(41)

При этом в правых частях формул (41) стоят произвольные допустимые однозначные ветви много-значпых функций, где точки г^ € , ] — 1,..., т, - произвольные (не обязательно различные) точки внутренней области, г^ £ = 1,...,П1, произвольные (не обязательно различные) точки

внешней области, щ - порядок нуля функции Ф~(г) в бесконечно удаленной точке, п = щ + щ, X (г) - каноническая функция линейной однородной задачи Римана с коэффициентом а функции определяются

соотношениями

1 Г \

а постоянная С € С удовлетворяют условиям согласованности

С 0 f20+CD+)|Jtto №)■ (43)

Установлено также, что постоянная С, удовлетворяющая условиям согласованности (43), всегда существует.

Аналогичная теорема получена в случае, когда условие (36) не выполнено.

Глава 3 Нелинейные сингулярные интегральные уравнения посвящена развитию качественно-аналитического метода исследования нелинейных краевых задач для аналитических функций и нелинейных сингулярных интегральных уравнений. В отличие от линейного случая, когда линейные краевые задачи для аналитических функций и линейные сингулярные интегральные уравнения тесно связаны и зачастую рассматриваются одновременно, в нелинейном случае методы, применяемые при исследовании задач и уравнений, весьма различны. Более того, во многих работах нелинейные краевые задачи исследуются с помощью их сведения к нелинейным интегральным уравнениям. Тем самым, можно говорить в этом случае об исследовании краевых задач методом нелинейных интегральных уравнений.

В разделе 3.1 Метод монотонных операторов и нелинейные интегральные уравнения и включения метод монотонных операторов применяется для доказательства существования и единственности решений сингулярных интегральных уравнений и включений.

В подразделе 3.1.1 получены условия разрешимости и однозначной разрешимости нелинейных сингулярных интегральных уравнений

*(*) = J^f(\s,x(s))ds (44)

7

в пространствах Орлича4 в предположении, что нелинейность /(A, s, и) не обязательно имеет степенной рост по переменной и. В работе предлагается общая схема применения теории монотонных операторов для исследования разрешимости уравнения (44), связанная с использованием пространств Орлича (и даже более общих пространств), основанная на новом варианте теоремы Браудера-Минти,5 относящегося к идеальным пространствам, и ряда новых конкретных теорем о разрешимости и однозначной разрешимости нелинейных сингулярных интегральных уравнений.

Пусть М, М' - взаимно двойственные (по Юнгу) функции. Функция Юнга М называется iV-функцией (nice-function), если дополнительно известно, что она удовлетворяет условиям

lim«=0, lim« = +oo. (45)

t->0 t t-> оо t

4В работе мы следуем определениям приведенным, например, в монографии Красносельский, МЛ. Выпуклые функции и пространства Орлича / М.А. Краснос&чьский, Я.Б. Рутицкий. - М.: Физматгиз. 1959. -272 е.; Engl, transl. - Groningen: Р. Noordhoff N.V., 1961. - 249 р.; Engl, transl. - Groningen: Р. Noordhoff N.V., 1961. - 249 р.

5ЗабрсПко, П.П. Неявные функгцш и монотонные по Мннтп операторы в банаховых пространствах / П.П. Забрейко // Доклады АН Беларуси. - 1995. - т. 39, № 2. - С. 17-22.

Пусть (О, Е, /л) (вещественное или комплексное) измеримое пространство, где Г2 - некоторое множество, Е - сг-алгебра его подмножеств, р. - неотрицательная с-аддитивная мера. Классом Орлича См, порожденным АГ-функцией М, называется подмножество множества 5 измеримых на П функций /, для которых

У М(|/|)ф < 00. (46)

п

Пространством Орлича См, порожденным ^-функцией М, называется подмножество измеримых на Г2 функций / : Г2 —> С, таких что а/ 6 См для некоторого а > 0. Это пространство является нормированным с нормой

: к^ < А; > 0 : J, I п

\\/\\См=М{к>0: 1м[№)<1(1< 1}, (47)

называемой нормой Люксембурга.

АГ-функция М(и) удовлетворяет условиям £(&,/) (условиям £*(&,/)), если

a) Оператор Ь определен на См и принимает на См< значения из <5;

b) Существует определенный на См' (на См) линейный оператор для которого ЪцЬх = х, х € См (соответственно, ЬгЪх = х, х € См и ЪАцх = х,

х е СМ')\

c) Оператор Гд действует из См в См1',

(1) Функция /(А, т, и) удовлетворяет при А 6 Ло С Л неравенству

г\М(и) < й{\, т) + Ие У{\,т,и),й},

где (¿(Л, •) интегрируемая функция.

Обозначим ¿(Ь) наименьшее из чисел 5, удовлетворяющих условию

Не (Ь//г, К) > <5(/г, к), /г е X, (48)

а через а^д) - наибольшее из чисел ад, удовлетворяющих условию

Ис (/(А, т, и) - /(А, г,«), и - у) < аЛ|и - и\2. (49)

Теорема 3.7 Пусть N-функция М(и) удовлетворяет условиям £(&,/) (условиям £*(к,/)) и <5(Ь;) < а(£д) (5(Ь;) < а^л),)- Тогда нелинейное сингулярное интегральное уравнение (44) имеет по крайней мере одно (имеет единственное) решение в пространстве См при любой правой части 9 € См>-

В подразделе 3.1.2 рассматриваются вопросы разрешимости интегральных включений вида

х- 6 Ых, (50)

где Ь - линейный (однозначный) сингулярный интегральный оператор, а -(многозначный) оператор суперпозиции, в предположениях, обеспечивающих монотонность либо оператора, стоящего в правой части (50), либо правой части некоторого эквивалентного включения.

Доказано следующее утверждение о разрешимости включения (50).

Теорема 3.14 Пусть X - некоторое идеальное пространство, для которого X С £2, линейный сингулярный интегральный оператор L действует в £2 и имеет ограниченный обратный Ъ~1, действующий из Х'° в S; пусть нелинейный многозначный оператор суперпозиции f действует из X в СрСу(Л"), а определяющая его функция / : 7 х Cm —> CpCv(Cn) удовлетворяет условию Каратеодори. Если при этом выполняются неравенства

a(f) > ¿(L"1), (51)

Re(f:r, х) > Re(L_1ir, х), (52)

то включение (50) умеет решение х, в шаре ||ж|| < R,x € X. Если в (51) имеет место строгое неравенство, то решение единственно.

Исследована также задача о продолжении по параметру А начального решения многозначного включения

х 6 LfA.-r,

где L - линейный (однозначный) сингулярный интегральный оператор, а - многозначный оператор суперпозиции, зависящий от параметра А € Л и порожденный функцией / : Л х 7 х Ст —> Р(Сп).

В разделе 3.2 Неявные функции в теории нелинейных сингулярных интегральных уравнений теорема о неявной функции6 применяется к исследованию простейшего нелинейного сингулярного интегрального уравнения типа Гаммерштейна

= 1 г (53)

т J s — г

7

где 7 - простой гладкий замкнутый контур, / :Лх 7 х С -> С - некоторая достаточно гладкая функция, Л - непустое множество вещественных или комплексных чисел.

- Установлены условия разрешимости этого уравнения на основе применения варианта теоремы о неявной функции в гельдеровских и малых гельде-ровских пространствах.

- Дана оценка границ области продолжимости "начального" решения уравнения (53) по параметру А.

Соответствующие утверждения в случае гельдеровских пространств Tiß("f) имеют вид.

Теорема 3.23 Пусть функции f(X,t,u) и (t) удовлетворяют условиям:

a) функция f(\,t,Xn(t)) непрерывна по А в точке А = Ао по норме пространства Ttß( у),

b) на множестве

{(А, t, и) € А х 7 х С : |А - А0| < а, t € 7, |u - a-0(i)| < b}

6В редакции, описанной в: Красносельский, М.А. Приближенное решение операторных уравнений / М.А. Красносельский п др. - М.: Наука, i960. - 456 е.; Engl, transl. - Groningen: Р. Noordhoff N.V., 1972. -484 р.

функция f(X,t,u) имеет частную производную fu{X,t,u), причем f'a(X,t,xo(t)) 6 /Hti{i), и, для любого а > 0 существует г/ > О такое, что функция

ш(Х, t, и) = f'u(\, t, i„(t) + г) - /¿(A, t, i0(0) удовлетворяет неравенствам

\u}(X,t,z)\ < a, V(A,i, z) 6 Л х 7 х С, |A-A0|<r?, |z| < rj, |w(A,ii,zi) - w(A,i2,z2)|<ir(|ii-i2|'i-|-7?-1|zi-22|),

V(A,îi,î2i2i,22) € Л x 72 x С2, |A — A0|,\z\\, \z2\ < 77,

cj функция fû(\o,t,Xo(t)) не принимает на контуре 7, значений ± и, кроме того, выполняется равенство

7 1 _ Д(А0, t, xQ(t)) ~

Тогда существуют такие положительные г и S, что уравнение (53) при р(А, Ао) < <5 имеет в шаре Ца: — жо|| < £ пространства Гёльдера ^(7) единственное решение х\(t).

Теорема 3.28 Пусть функции f(X,t,,u), f'x(X,t,u) и fû(X,t.,u) непрерывны по совокупности переменных па множестве

{(А,и) € Л х 7 х С}

и удовлетворяют условиям:

a) функция f(X,t,xo(t)) непрерывна по X в точке А = Ао по норме пространства H^-f);

b) для любого г > 0 существует такое 0 < тп < 00, что

\f'x(X,tuUl) - fx(X,t2,u2)\ < m (|Î! - îjI" + r"Vi - U2I) , |Д(А, tu щ) - Д(А, t2, «2)| < m (|ii - t2+ г~х\щ - u2|) ,

Vubu2 € С, \щ - X0(ii)| < г, Iu2 - x0(i2)| < r-,

c) существует 6 > 0, такое, что функция f(X,t,Xo(t)) не принимает значений ±1 на множестве W(S) и, более того, справедливо равенство

1 + fû(Xp,t, xp(t)) т%-Л(А0,Мо(г))

Тогда уравнение (53) однозначно определяет на некотором промежутке Ло = {А 6 (а,/?)} решение х\ € ^(7), А € Ло (неявную функцию) обладающее свойством

хх 0(t) = x0(i).

При этом либо а = —оо, либо справедливо (по норме /Hß('j)) соотношение

lim x\(t) = оо,

Л—*а+0

и, аналогично, либо ß = +00, либо справедливо (по норме Нц(~()) соотношение

lim x\(t) = 00.

а-./3-0 4

Глава 4 Регулярность нелинейных операторов, ассоциированных с конформными отображениями и решениями краевых задач для аналитических функций посвящена применению комбинации конструктивных и качественно-аналитических методов исследования линейных и нелинейных краевых задач и интегральных уравнений к изучению вопроса о регулярности нелинейных операторов, ассоциированных с конформными отображениями и решениями краевых задач, относительно функциональных переменных (в частности, граничных кривых рассматриваемых областей).

В разделе 4.1 Конформные отображения односвязных областей исследуется регулярность нелинейного оператора h, который переводит пару (С,и>) 6 Z х (С, w 6 = /ni[С] в отображение, определяемое равенством

h[CM=9^oC, (54)

где Ç 6 Z некоторая параметризация простой гладкой замкнутой кривой класса С1 (Т, С), w € I[C], a g^w - конформное отображение единичного круга U = {z е С : |z| < 1} на внутренность I[C] = int[(\ кривой (

ffç.«, : U 1[С], (55)

удовлетворяющее условиям нормировки

gCw(0) = w, g'çJO) > 0. (56)

Построена система (нелинейных) уравнений

P[C,u>,ft](i) = (Pi[C,u>,ft](t))i=1A3i4 =

с оператором Р, действующим из А = |(С, w, К) € Ст'а(Т,С) х С х С'"'а(Т,€): С €Z,heZ,

в Cm>Q(T,K) х С х IR х Cm'a(T,]R).

Установлено, что если (С,w,h) € А и Р[С, w, h] = 0, то h = д^ о С и, в частности, h является биективным отображением из Т на Т; наоборот, если С 6 С'"'а(Т,С) П Я, и w 6 Е[С], то е Л 11 = 0;

наконец, область определения А оператора Р открыта в (действительном или комплексном) банаховом пространстве Cm'a (Т, С) х С х Ст'а (Т, С).

Далее вычислен вещественный дифференциал <9/,Р[С, w, h] оператора Р по переменной h и установлена обратимость данного линейного оператора в пространствах Шаудера Ст,а. Обратный оператор для линейного оператора 9f,P[C,w,/i] найден в явном виде.

На основе применения теоремы о неявной функции доказана вещественная аналитичность оператора h.

Теорема 4.21 Пусть а е (0,1), т 6 N\ {0}. Пусть

£т'а = {(С,ш) е (£П Ст'а(Т,С)) х С : w € 1[С]} .

Тогда множество £т-а открыто в Ст'а(Т, С) х С и (нелинейный) оператор h[-, •] из £т,а в С""'а(Т,ТГ), определенный равенством /i[C>H = °С является вещественно аналитическим в £т-а.

В подразделе 4.1.2 рассматривается задача вычисления отображения Ри-мана g^w единичного круга Ü комплексной плоскости на жорданову область, ограниченную простой замкнутой кривой нормированного условиями 0) = w, g',-w(0) > 0, где w € I[С]. Точнее, получены значения функции

(Съ W!) € £т.а = {(c,w) € (С?'а(Т,С) nZ)xC:w€ ![(]} ,

в предположении, что известна функция Sß,1^)0^)) соответствующая (Со, wo) £ £ща, при условии существования гомотопии (Сл,гил)Дб[о i], А ь-> (£\,w\), связывающей (Со, w0) и (Cl,Wl).

Разработан метод вычисления /i[Ci,Wi] = о Ci при известном

h[(o, Wo] = ° Со на основе применения метода Ньютона-Канторовича

и доказана сходимость метода.

Теорема 4.31 Пусть а 6 (0,1), т € N\ {0}. Пусть Л - непрерывное отображение [0,1] в £та, определяемое равенством А(А) = (Сл, и>\) для всех Л G [0,1].

Тогда существуют числа дбМ«0 = Ло<Л1<---<А9 = 1, такие что Хк — = 9-1, к — 1, ■ • ■ ,9, для которых отображение Н и^] может быть получено 'из (Сл^-и и!хк-1' [Са/ь-п как предел последовательно-

сти ньютоновских итераций вида

( ~\(-1) Щ+г = [днЩ о Р[ С, из, /1] ^ оПго Р[(, т, Н], дляз> 0, ^

Но = И = И. [Сллг—1 I ^км] )

где _

В разделе 4.2 Регулярность операторов, связанных с решением краевых задач для аналитических функций исследуется вопрос о зависимости решений краевых задач для аналитических функций от граничных кривых. В качестве модельной задачи рассматривается классическая краевая задача Шварца, которая состоит в отыскании аналитической функции Р в (ограниченной или неограниченной) плоской области О по заданным граничным значениям / ее вещественной части и = Ие F. Исследована зависимость от функциональных переменных оператора Шварца Т[ф,/,т], который ставит в соответствие граничной кривой ф, граничному значению / и внутренней точке и> € единственное решение классической задачи Шварца, мнимая часть которого исчезает в точке ю.

Прежде всего, изучается модифицированный оператор Шварца, который ставит в соответствие каждой простой замкнутой кривой ф с ненулевым касательным вектором, вещественно-значной функции / на Т, и точке -ш € отображение р о ф(~г\ ю] о ф.

Доказана вещественная анатитичиость оператора Т![ф,роф(~л\и)\оф относительно его переменных ф, р, и т. Вычислены производные этого оператора по его функциональным переменным.

Доказана вещественная аналитичность оператора

Т 1и[ф,р, и,] = Т[ф,р о (58)

где К - фиксированное компактное подмножество области 1[фо] Э 0, а семейство множеств Ке определено равенствами Ке = К + еШ для всех е 6 М+, где и - единичный круг.

Доказано утверждение о точном классе регулярности композиции оператора Шварца и конформного отображения Римана дфобласти 1[0], а именно, оператор Тс, действующий из (С+Г'°'°(Т, €) х СГ+г'а'°(Т, Е) х С)П Лп+Г'а в СГ'а'°(Т, С) и определенный равенством

Тс[ф, р, из] = р о , ш] о дфМТ, (59)

где <Ji,w - конформное отображение Римана области является отображением класса С и этот класс регулярности С точен.

В главе 5 Приложения нелинейных краевых задач к решению задач механики методы теории краевых задач для аналитических функций применяются к исследованию задачи о течениях в плоской ячейке. В комплексной модели Виноградова-Куфарева описание динамики границы раздела двух несмешивающихся жидкостей в случае, когда одна из них закачивается / извлекается из узкого пространства между двумя близко расположенными параллельными "пластинами" определяется семейством конформных отображений f(z, t) некоторой канонической области на плоскости С (например, единичного круга U = Gi - в случае, когда каждая из жидкостей занимает односвязную область) на область, содержащую закачиваемую / извлекаемую жидкость в момент времени t.

В разделе 5.1 Локальное существование и единственность аналитического решения комплексной задачи Виноградова-Куфарева с линейной регуляризацией кинетического типа указанная задача регу-ляризуется с помощью так называемого условия кинетического типа (kinetic undercooling), что означает введение в модель кинетического краевого условия Vn = Un и динамическоого краевого условия р ~ Vu на свободной границе F(i) на физической плоскости (здесь р означает давление, Vn - нормальную компоненту скорости движения жидкости, a Un - нормачьную компоненту скорости движения границы T(t)). Локальный анализ устойчивости показывает, что данная регуляризация успешно ограничивает рост градиента скорости на свободной границе, что обычно ассоциируется с возможностью ее разрыва.

Комплексная модель Виноградова-Куфарева с линейной регуляризацией кинетического типа сводится к исследованию следующей задачи

Задача (Ра): Пусть заданные функции /о = fo(z) и Q = Q(t) таковы, что /о = /о(г) аполитична и однолистна в окрестности единичного круга Gi,/o(0) = 0, а функция Q = Q(t) непрерывна в правосторонней окрестности t = 0.

Требуется определить две функции f = f(z,t.) и wreg = wreg(z,t) такие, что f аполитична и однолистна no z в окрестности Gi, непрерывно-дифференцируема по t в правосторонней окрестности t = 0, wTeg аполитична no z в окрестности области Gi и непрерывна not, в правосторонней окрестности t. = 0, которые удовлетворяют следующим соотношениям:

^ЙжСМ^СМ)) = + г € [0,Т), (60)

/(г,0) = /о(г), геСх, (61)

/(0,0 = 0, ге [о,т), (62)

1т(ги)тед(г,г))=адв(^ (<?(*) + Пе(гштед{г, 0))), г е д&г, (63)

где а > 0, г = ге1в, (¿(Ь) < 0; ^ означает касательную производную вдоль единичной окружноапи Т.

Переходя к новым неизвестным функциям, получаем следующую задачу, эквивалентную исходной задаче (Ра):

Задача (Qa): Пусть заданные функции фо = фо{г) и Q = Q(t) таковы, что фо аполитична и не обращается в нуль в окрестности единичного круга Gi, a Q(t) непрерывна в правосторонней окрестности t = 0. Требуется определить две функции ф — ф(г, t) и иг = ui(z, i) такие, что ф аполитична по z и не обращается в нуль в окрестности Gi; непрерывно дифференцируема по t в правосторонней окрестности t = 0, а и) аполитична по z в окрестности Gi и непрерывна по t в правосторонней окрестности t = О, удовлетворяющие

- абстрактной задаче Коши-Ковалевской относительно ф:

ft{z,t) - z^(z,t)TM,u) + ОВД,*)) = О, (64)

(65)

в области {(z,t) € G\ х [0,Т)};

- и задаче Римана-Гильберта-Пуанкаре относительно и>:

Im(oj(z,í)) = a&(|0(z,f)|(Q(t) + Re(w(z,/■)))), (z,í) eSGj x [O,T), (66) при дополнительнол1 условии

<о(<М) = 0, (67)

где оператор тí(</>,oj) определен равенством

ПФ, Ш) := ¿J [ \ф\2 (Q(t) + Rea;) (68)

2тгг 7|c|=i С - -г С

а > 0, г = ге'в.

Для исследования разрешимости задачи (Qa) введено функциональное пространство для функций (ф,ш). Зафиксируем постоянные го и rj, 1 < го < п, положительную постоянную Ъ и параметр s е (0,1). Обозначим 7Y(G(S)) пространство функций, аналитических в G(s), где G(s) := {z € С : \z\ < го + s(r\ — го)}. Рассмотрим следующее пространство

В:={g = g(z,t)€ (J С ([0,6(1 - s)),H(G{s]) nCu(G(s))) :

I 0<s<l

||<?||в = max < sup max■ ||g(-,i)||^(Bw)''

sup se(o,i),í<b(i-s)

dg,

dz[

;t)

СЧ G(.))

1-

6(1-S)

< 00

Показано, что решение задачи (<5а) допускает в данном пространстве коническую эволюцию. Абстрактная задача Коши-Ковалевской исследуется с использованием теоремы Овсянникова,7 а задача Римана-Гильберта-Пуанкаре -с использованием методов теории краевых задач для аналитических функций.

Основной результат имеет вид

Теорема 5.15 Существует, вообще говоря, малый интервал времени [О, Ь) такой, что задача (<За) имеет единственное решение {ф,ш).

Первая компонента решения ф = ф(г^) не имеет нулей на СГо х [О, Ъ) и принадлежит пространству С1 ([0,6),7^(СГо) ПС''Л(СГо)).

Вторая компонента решения и/ = принадлежит пространству

С([0,Ь),И(СГО)ПС^(СГО)).

Константа Го выбирается в соответствии с определением пространства

В.

В разделе 5.2 Локальное существование и единственность аналитического решения комплексной задачи Виноградова-Куфарева в ограниченной области рассматривается локальное (по времени) существование и единственность аналитического решения указанной задачи о течениях в ограниченной области. Такое течение моделирует вдавливание полимера в ограниченную ячейку, представляющую собой ограниченную область между двумя параллельными близко расположенными пластинами. Пусть проекция ячейки это плоская фигура, состоящая из отрезка прямой АБ (проекции входного отверстия), перпендикулярных ему отрезков БС и АВ, а также криволинейной части ВС в противоположной части фигуры. Предполагается, что полимер вдавливается в ячейку через прямоугольное входное отверстие, соответствующее АБ под некоторым постоянным давлением и занимает в момент времени £ часть ячейки с проекцией причем оставшуюся часть ячейки занимает воздух. В данном разделе рассматривается тот случай, когда жидкость (полимер) достигла криволинейной части границы. В этом случае свободная часть границы д несвязна. Задача состоит в описании динамики свободной части границы.

- Построена математическая модель такого течения.

- Дана переформулировка задачи в виде пары из двух задач Римана-Гильберта с кусочно-постоянным (одним и тем же) коэффициентом и задачи типа Коши-Ковалевской на системе разомкнутых дуг.

- Построена подходящая шкала банаховых пространств, в которой решение исследуемой задачи допускает коническую эволюцию.

- На основе варианта теоремы Овсянникова доказано существование и единственность локального (по времени) аналитического решения комплексной задачи Виноградова-Куфарева в ограниченной области.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена развитию теории краевых и начально-краевых задач для дифференциальных уравнений, в частности нелинейных

7 Овсянников Л.В. Сингулярный оператор в шкале банаховых пространств / Л.В. Овсянников // Доклады ЛИ СССР. - 1965. - т . 163, N0, 1. - С. 822-824.

краевых задач для аналитических функций, нелинейных сингулярных интегральных уравнений и систем, возникающих при исследовании задач механики сплошной среды.

В главе 2 развиваются и обобщаются конструктивно-аналитические методы исследования нелинейных краевых задач для аналитических функций. Получено аналитическое решение векторно-матричной краевой задачи Римана-Гильберта для многосвязной круговой области, дробно-линейной краевой задачи и нелинейной степенной краевой задачи сопряжения в нормальном случае. Эти задачи исследованы на основе комбинации метода аналитического продолжения и современных аналитических методов - метода функциональных уравнений, методов факторизации матриц-функций, метода дискретного ламинирования функциональных пространств, методов теории теплицевых операторов. Результаты, описанные в главе 2, опубликованы в монографии [1 , а также статьях [9], [10], [29], [31]. Разработанный в них подход применен в 11], а также использован при исследовании задач для композиционных материалов (см., [2], [20], [25], [43]). Обзор исследований, посвященных развитию конструктивных методов для нелинейных краевых задач приведен в [38], [41], [42], [45].

Глава 3 посвящена развитию качественных и качественно-аналитических методов теории нелинейных интегральных уравнений. В разделе 3.1 метод монотонных операторов применяется для доказательства существования и единственности решений сингулярных интегральных уравнений в пространствах Орлича.

Рассматриваются также разрешимость и продолжимость начального решения для интегральных включений вида

х € Lfx,

где L - линейный (однозначный) сингулярный интегральный оператор, a f -(многозначный) оператор суперпозиции, в предположениях, обеспечивающих монотонность либо оператора Lof, либо правой части некоторого эквивалентного включения.

В разделе 3.2 обобщенная теорема Гильдебрандта-Грэйвеа о неявной функции применяется к исследованию разрешимости и продолжения начального решения нелинейного сингулярного интегрального уравнения типа Гаммер-штейна в гельдеровских пространствах. Результаты главы 3 опубликованы в статьях [4], [33], [34], [44] (см., также, [7], [38]). Предварительные результаты, связанные со свойствами различных типов особых интегральных уравнений, содержатся в [3], [5], [6].

В главе 4 метод интегральных уравнений применяется при исследовании задач о регулярности нелинейных операторов, связанных с конформными отображениями, а также операторов решения краевых задач. Вопрос о регулярности ставится в контексте зависимости этих операторов от возмущения граничных кривых областей, в которых исследуются соответствующие задачи. В подразделе 4.1.1 доказана вещественная аналитичность в пространствах Шаудера нелинейного оператора, который ставит в соответствие каждой паре (С, w) отображение о С, где g^w - (нормализованное) конформное отобра-

жение единичиого круга и на односвязную область 1[(], ограниченную простой жордановой кривой С (9о(0) = ш 6 ЧС]> >

В подразделе 4.1.2 значения отображения д^Ц ° С1 вычислены на основе применения варианта метода Ньютона-Канторовича в предположении, что известна функция д^о £0) соответствующая паре (Со, щ) £ £т,а, при условии, что существует связывающая (Со,№о) и (Сь^х) гомотопия (Са, м>а)д6[0д], Л (Са, ша), непрерывно отображающая [0,1] в

В разделе 4.2 доказана вещественная аналитичность оператора Т[ф, р о оф, который ставит в соответствие параметризации ф граничной кривой односвязной области, вещественно-зиачной функции р : Т —> К и внутренней точке области ш композицию классического оператора Шварца Т и функции ф. Вычислены производные оператора Т[ф,р о о ф по его

функциональным переменным.

Установлена также вещественная аналитичность относительно граничной кривой сужения оператора Шварца на некоторое компактное множество в С:

т кЛФ>р> Ч = т1Ф>р 0 Ф(~1}> М^К,

где К - фиксированное компактное подмножество области 1[</>о] Э 0, а семейство множеств Ке = К + еО для всех б € К+.

Доказано утверждение о точном классе регулярности композиции оператора Шварца и (нормализованного) конформного отображения дф^, а именно, оператор Тс, действующий из (СГ+г'а'°(Т, С) х СГ+г,а'°(Т,К) х С) П А?+Г'а в СГ'а'°(Т, С) и определенный равенством

Т с[Ф,Р,у] = Т[ф,роф(-~1\и)]одфМТ,

где дфм - (нормализованное) конформное отображение единичного круга и на односвязную область является отображением класса Ст и этот класс регулярности Ст точен. Полученные результаты опубликованы в работах [13], [14], [16], [22], [39], [40] (см., также, статью [18], в которой описано современное состояние исследований в данном направлении).

Глава 5 посвящена исследованию начально-краевых задач для дифференциальных уравнений, описывающих эволюцию свободной границы течений в плоско-параллельной ячейке. В подразделе 5.1.1 доказано (локальное) существование и единственность аналитического решения комплексной задачи Виноградова-Куфарева с регуляризацией кинетического типа об извлечении жидкости из узкого пространства между двумя близко расположенными пластинами. Комплексная модель с регуляризацией кинетического типа была предложена и исследована впервые.

Задача Виноградова-Куфарева с регуляризацией кинетического типа сведена к паре задач - абстрактной задаче Коши-Ковалевской для эволюционного уравнения и краевой задаче типа Римана-Гильберта-Пуанкаре. Для их исследования впервые введено банахово пространство со свойствами шкалы (инвариантное относительно операторов, определяющих решение пары задач).

Доказательство существования и единственности решения пары задач получено на основе использования теоремы Овсянникова, применяемой при исследовании абстрактной задачи Коши-Ковалевской в шкалах банаховых пространств.

В подразделе 5.1.2 доказано (локальное по времени) существование и единственность аналитического решения комплексной задачи Виноградова-Куфарева в ограниченной ячейке. Задача сведена к семейству из двух (линейных) краевых задач Римана-Гильберта с разрывным коэффициентом и абстрактной задачи Коши-Ковалевской для эволюционного уравнения.

Для исследования задачи введена подходящая шкала банаховых пространств. Доказательство существования и единственности решения задачи получено на основе применения теоремы Овсянникова. Полученные результаты опубликованы в статьях [8], [12], [17], [19], [21], [23], [27], [28]. [36], [37].

Таким образом, в диссертации дано развитие теории нелинейных краевых и начально-краевых задач для дифференциальных уравнений. Разработаны новые конструктивно-аналитические, разработаны новые и обобщены известные качественные методы исследования нелинейных краевых задач и нелинейных сингулярных интегральных уравнений. Даны приложения этих методов к решению смежных проблем математического анализа и механики сплошной среды. На защиту выносятся следующие основные результаты.

- Решение в замкнутой форме векторно-матричной краевой задачи Римана-Гильберта с кусочно постоянной матрицей для многосвязной области.

- Исследование разрешимости, построение решений в замкнутой форме и описание множества решений дробно-линейной краевой задачи Римана и нелинейной степенной краевой задачи в нормальном случае.

- Исследование разрешимости и продолжимости по параметру нелинейных сингулярных интегральных уравнений типа Гаммерштейна.

- Доказательство вещественной аналитичности нелинейного оператора, ассоциированного с конформными отображениями односвязных областей, построение и обоснование сходимости алгоритма вычисления его значений.

- Доказательство вещественной аналитичности модификаций оператора Шварца.

- Доказательство локального существования и единственности аналитического решения системы из эволюционного уравнения и линейной краевой задачи производной.

Основные публикации по теме диссертации

Монография:

1. Mityushev, V.V. Constructive Methods for Linear and Nonlinear Boundary Value Problems for Analytic Functions: Theory and Applications. /V.V. Mityushev, S.V. Rogosin. - Boca Raton - London - New York - Washington: Chapman & Hall / CRC PRESS, 1999. - xii+284 p. (Monographs end surveys in pure and applied mathematics; v. 108).

Глава в коллективной монографии:

2. Mityushev, V. V. Analytical Methods for Heat Conduction in Composites and Porous Media / V. V. Mityushev, E. V. Pesetskaya, S. V. Rogosin/ Ch. 5 in: "Thermal Properties of Cellular' and Porous Materials" (A. Öchsner, G. Murch, and M. de Leinos eds.). Amsterdam: WILEY-VCH. - 2008. - P. 124-167. Статьи в научных журналах:

3. Рогозин, С. В. О некоторых классах функций, аналитических в полуплоскости / C.B. Рогозин // Изв. вузов. Математика. - 1990. - No. 2. - С. 84-86.

4. Забрейко, П. П. О разрешимости и однозначной разрешимости нелинейных интегральных уравнений в пространствах Орлича / П. П. Забрейко, С.В. Рогозин // Доклады АН Беларуси. - 1992. - Т. 36, No. 5. - С. 398-402.

5. Горснфло, Р.О свойствах обобщенной функции типа Миттаг-Леффлера / Р. Горсифло, А. А. Килбас, С.В. Рогозин // Доклады АН Беларуси. - 1998. - Т. 42, No. 5. - С. .34-39.

6. Goienflo, R. On generalized Mittag-Leffler type functions / R. Gorenflo, A.A. Kilbas, S.V. Rogosin // Integral Transforms and Special Flmctions. - 1998. - V. 7, No. 3-4. - P. 215-224.

7. Рогозин, С. В. Нелинейные сингулярные интегральные уравнения в К-метрических пространствах / С.В. Рогозин // Труды Института математики НАН Беларуси. - 1998- - Т. 1. - С. 152-160.

8. Reissig, М. Analytical and numerical treatment of a complex model for Hele-Shaw moving boundary value problems with kinctic undercooling regularization / M. Reissig, S.V. Rogosin with appendix by F. Hiibner // Euro. J. Appl. Math. - 1999. - Vol. 10. - P. 561-579.

9. Рогозин, С. В. О разрешимости нелинейной степенной задачи сопряжения / С.В. Рогозин // Доклады АН Беларуси. - 1999. - Т. 43, No. 3. - С. 36-40.

10. Rogosin, S.V. On well-posedness of nonlinear conjugation problem for analytic functions / S.V. Rogosin // Math. Model, and Analysis. - 2000. - Vol. 5. - P. 153-163.

11. Rogosin, S.V. On well-posedness of one-sided nonlinear boundary value problems for analytic functions / S.V. Rogosin // J. of Integral Equations and Applications. - 2000. Vol. 12, No. 3. - P. 131-156.

12. Рогозин, С. В. Комплексная модель Хеле-Шоу с регуляризацией кинетического типа для двусвязной области / С.В. Рогозин // Becui НАН Беларуа, сер. фiз.-мaтeм.нaвyк. - 2000, No. 4. - С. 5-10.

13. Lanza de Cristoforis, М. Analyticity of a nonlinear operator associated to the confonnal representation in Schauder spaces. An integral equations approach / M. Lanza de Cristoforis, S.V. Rogosin // Math. Nachr. - 2000. - V. 220. - P. 59-77.

14. Lanza de Cristoforis, M. Analiticity of a nonlinear- operator associated to the confonnal representation a doubly coimected domain in Schauder spaces / M. Lanza de Cristoforis. S.V. Rogosin / / Complex Variables. - 2001. - Vol. 44. - P. 193-22315. Dubatovskaya, M. V. Hele-Shaw flow in domain with oscillating boundary / M.V. Dubatovskaya,

E.V. Pesetskaya, S.V. Rogosin /, Analytical Methods of Analysis and Differential Equations / Proc, Inst. Math. (Minsk). - 2001. - V. 9. - P. 59-62.

16. Lanza de Cristoforis, M. A Newton-Kantorovicli method for the confonnal representation / M. Lanza de Cristoforis, S.V. Rogosin // Analysis. - 2002. - Vol. 22. - P. 131-148.

17. Дубатовская, M.B.O течении Хеле-Шоу в ограниченной области / М.В. Дубатовская, Е.В. Песецкая, С.В. Рогозин /'/' Труды матем. центра им. Н.И.Лобачевского. - 2002. - Т. 14. - С. 113-129.

18. Лалца де Кристофорис, М. Регулярность операторов, связанных с краевыми задачами для голоморфных функций / М. Лалца де Кристофорис, Л. Пречизо, С.В. Рогозин // Труды матем. центра им. Н.И.Лобачевского. - 2002. - Т. 14. - С. 185-199.

19. Rogosin, S. V. On classical formulation of Hele-Shaw moving boundary problem for power-law fluid / S.V. Rogosin // Math. Model, and Analysis. - 2002. - V. 7, No. 1. - P. 158-168.

20. Dubatovskaya. M.V. On an exact description of the Scliottky group of symmetries / M.V. Dubatovskaya, S.V. Rogosin // Math. Model, and Analysis. - 2004. - V. 9, No. 2. - P. 137-148.

21. Рогозин, С. В. Об одной шкале банаховых пространств /С.В. Рогозин // Труды института математики. Минск. - 2004. - Т. 12, No. 1. - С. 126-133.

22. Preciso, L. Real analyticity of an operator, associated to the Schwarz operator for multiply connected domains / L. Preciso, S.V. Rogosin // Proc! of Institute of Math., NAS Ukraine. - 2004. V. 1, No. 3. - P. 151-168.

23. Rogosin, S.V. Hele-Shaw Moving Boundary Value Problem in a Bounded Domain. Local in Time Solvability / S.V. Rogosin ¡I Complex Valuables. - 2005. V. 50, № 7-11. - P. 745-764.

24. Rogosin, S.V. On nonlinear Vekua type equations / S.V. Rogosin // Nonlinear Analysis: Modelling and Control. - 2006. - v. 11, No. 2. - 187-200.

25. Dubatovskaya, M.V. Heat Conduction of 2D Composite Materials with Symmetric Inclusions: a Model and Reduction to a Vector-Matrix Problem / M.V. Dubatovskaya, S.V. Rogosin // Material Science Forum. -2007. - Vol. 553. - P. 136-142.

26. Pesetskaya, E.V. The Effective Conductivity of 2D Porous Materials with Temperature Dependent Material Properties / E.V. Pesetskaya, A. Oclisner, S.V. Rogosin ,'/ Material Science Forum. - 2007. - Vol. 553. -P. 112-117.

27. Rogosin, S.V. Hele-Shaw Model for Melting/Freezing with Two Dendrits / S.V. Rogosin, T.S. Vaitekhovich // Material Science Forum. - 2007. - Vol. 553. - P. 143-151.

28. Rogosin, S.V. Complex Hele-Shaw Model. Local solvability for a doubly connected domain / S.V. Rogosin, T.S. Vaitekhovich // J. Applied Functional Analysis. - 2007. - Vol. 2, No. 2. - P. 159-184.

29. Mityushev, V.V. On Wemarm-Hilbert problem with a piece-wise constant matrix / V.V. Mityushev, S.V. Rogosin // Zeitschrift fur Analysis mid ilire Anwendungcn. - 2008. - Vol. 27, No. 1. - P. 53-66.

30. Rogosin, S. On the analytical solution of the linear-fractional Riemann problem / S. Rogosin, F.-O. Speck // Math. Nadir. - 2011. - v. 284. - P. 543-559.

31. Rogosin. S. On a biharmonic problem in a circular ring / S.V. Rogosin, T.S. Vaitekhovich // Analysis. -2010. - v. 30, No. 1. - P. 93-106.

Статьи в материалах научных конференций:

32. Рогозин, С. В. Краевые задачи и особые интегральные уравнении с бесконечным индексом / / С.В. Рогознн // Научные труды Юбилейного семинара по краевым задачам, посвященного 75-летию со дня рождения академика АН БССР Ф.Д.Гахова. - Минск: Из-во "Университетское", 1985. - С. 95-103.

33. Забрейко, П.П. Неявные функции в теории нелинейных сингулярных интегральных уравнений / П.П. Забрейко, С.С. Рогозин // "Операторы и операторные уравнения" / Новочеркасск: Новочеркасский гос. техн. ун-т. - Новочеркасск, 1994. - С. 44-59.

34. Zabreiko, P.P. On solvability of singular integral inclusions of Hammerstein type / P.P. Zabreiko, S.V. Rogosin // Boundary value problems, special functions and fractional calculus: Proceedings of International Conference dedicated to 90th birthday of academician F.D.Gakhov, 16-20 February 1996, Minsk, Belarus / Belarusian State University. - Minsk, 1996. - P. 313-319.

35. Rogosin, S.V. On an analytic approach to the investigation of basic problems on elastic planes with denumerable collection of cracks / S.V. Rogosin, M.V. Dubatovskaya // Dynamical Systems: Stability, Control, Optimization: Abstracts of International Conference, 28th September - 4th October 1998, Minsk, Belarus /' Institute of Mathematics NAS of Belarus. - Minsk, 1998. - Vol. 2. - P. 231-233.

36. Rogosin, S.V. On complex model for Hele-Shaw moving boundary value problems with kinetic undercooling regularization in a doubly connected domain / S.V. Rogosin // Collection of extended abstract of International Conference dedicated to 100th birthday of acad. P.Ya.Kochina, 6-8 September 1999, Moscow, Russia / Institute of Mechanical Problems of RAS . - Moscow, 1999. - P. 64-65.

37. Rogosin, S.V. Properties of the solution of a nonlinear problem of Riemarm-Hilbert-Poincare type for harmonic functions / S.V. Rogosin // Analytical Methods of Analysis and Differential Equations / Proceedings of Institute of Mathematics NAS. - Minsk, 2000. - Vol. 5. - P. 153-163.

38. Рогозин, С.В. Нелинейные краевые задачи для аналитических функций и нелинейные сингулярные интегральные уравнения / С.В. Рогозин, В.В. Кашевский, М.Э. Толочко // Избранные труды Белорусского государствегшого университета / Минск: Из-во БГУ. - 2001. - Т. 6. - С. 427-444.

39. Preciso, L. On the analyticity of the Schwarz operator with respect to a curve / L. Precise. S.V. Rogosin // Proceedings of the International Conference FSORP2002 (S. G. Samko, A. Lehre and A. F. dos Santos eds.). Dordrecht: Kluwer AP. - 2003. - P. 237-254.

40. Preciso, L, Real analyticity with respect to the boundary curve of an operator related to the solution of the Schwarz boundary value problem in a multiply connected domain / L. Preciso, S.V. Rogosin /'/ Complex Analysis and Potential Theory / Proceedings of the Ukranian Math. Congress. Section 4 (Tamrazov P. M. ed.),. - Kiev: NAS Ukraine. - 2003. - P. 100-111.

41. Mityushev, V.V. Constructive methods for boundary value problems for analytic functions / V.V. Mityushev. S.V. Rogosin // Progress in Analysis / Proceedings of the 3rd ISAAC Congress (H. Begehr, R. P. Gilbert, M. W. Wong eds.) - Singapore: World Sci. Publ. - 2003. - V. II. - P. 769777.

42. Dubatovskaya, M. Complex-analytic methods for the study of the effective conductivity of composite materials / M. Dubatovskaya и др. // Proceedings of the 1st International Conference on Diffusion in Solids and Liquids (A.Ochsner, J.Gracio, F.Barlat Eds.)/ Editura Mediamira, Cluj-Napoca, 2005. V. 2. -P. 617-622.

43. Makaruk, S.F. Arr optimal design problem for two-dimensional composite materials with circular inclusions. A constructive approach / S.F. Makaruk, V.V. Mityushev, S.V. Rogosin / In: "Analytic Methods of Analysis and Differential Equations: AMADE-2003'', edited by A.A.Kilbas and S. V.Rogosin. Cottenham: Cambridge Scientific Publisher. - 2006. - P. 153-167.

44. Rogosin, S. V. On application of the monotone operator method to solvability of nonlinear singular integral equations / S.V. Rogosin // Proceedings of the 5th ISAAC Congress (25-30 July, 2005, Catania, Italy). Singapore: World Scientific Publ. - 2008. - P. 1247-1257.

45. Килбас, А.А. Научные исследования на кафедрах математического анализа и теории функций / А.А. Килбас, С.В. Рогозин // Механико-математический факультет. Вчера, сегодня, завтра. К 50-летию со дня основания / под общ. ред. М.А.Журавкооа. Минск: Изд. центр БГУ. - 2008. - С. 165-181.