Обобщенно выпуклые множества с гладкой и почти гладкой границей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГО Ой

Акаден1я наук Укра1ни 1нститут математики

На правах рукопиоу

МЕЛЬНИК Мра Леон1д1вна

УЗАГАЛЬНЕЮ ОПУШИ МН02ИНИ 3 ГЛАДКОЮ ТА 1ШШН ГЛАДКОЮ ИЕЗШО

01.01.01. - матвматичш_; внал!з

Автореферат

даоертац!! на здоОуття вчвного отупеня кандидата ф!аико - мвтеиатичних наук

Ки1в - 1993

Работа виконанв у в!дд1л1 тополог!чних мзтсуцв анализу 1нституту матэматюш АН УкраТни

■'чукоЕИй кпр!вник:

доктор ф1аико~мвтематичшгх ивук ЗЕЛШОЬКШ Ю.В.

Сф1ц1йн1 оионенти:

доктор 'Мвико-матомати'шга наук ШЕВЧУК 1.0.

кандидат ф1згаад-матэмэтичншг наук САФОНОВ В.М.

Пров1днв установа

1нститут к1берт!9тики АН УкряТня

Захист дисэртацП в!дбудеться -Л.

годин! на вас1даян! спец1ал1зовано! ради Д 01G.Pn.ni при 1нститут1 математики АН Укра1ни за адрепою:

252601 Кй!в 4, ГОЛ, вул. ТерещадаЛнська, 3.

В дисертац!ею моняа оэттйомитксь в гМсШотом! 1нс^итуту.

Автореферат роз!слано " ^^¿¿ЫМ./уФ' '993 р.

Вчений секретар спец1ад1зоввно1 ради ГУСАН Д.В.

ЭЖГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОВОТН

Штуаиьтсть тали. В дисартацШПй робот i розн-язуюти авдач!, що стооувтъся проблем опуклого та комплексов ■ анализу. Геомвтричи1 основи онумого аналхау були заклаиен: и шшснтаих роботах Мйпсовоького. Великий вклад в йога роавитик зроблэний працями Бонезена i Твнхвля на початку нвшого столхття Поняття опуклост! привернуло особливу увагу вчэних в шютдосят! роки, коли було з"ясовано, яку врпику роль Btflirpae нош в задачах лШйного програчув&шя, теорП irp та таорН опти-малышх процасгв. Партою монографией з опуклого анализу стала првця амариканського математике Р.Рокафвллара. ДоолХджвння були продовган! 1 суттево розвинуtí в роботах К.ЛейхтЕвйса В.М.Тихсмирли, А.Д. Иоффе, В.Н.Пшеничного, А.Брэнотода та 1нших вчених.

В комг«-.энсному винадку ща в трщщят! роки Вэенке 1 Ившлвм було введено ПОНЯТТЯ Л1нШю1 опуклост! об ЛВС TÍ В с2 3 ДН1Ч1 гладкою мваею. Ниш такок в тэрмйгаг знаковизначаноот! Гесс1анй були введен! нообг1дн! та достатн! умови локально! лЬзхйно! üw/KJiccví. Даякий час ц! питания комплексного аналХзу аалипа-лись без уваги. I т!льки в ш1стдесят1 роки А.Ыарт1но i Л.А.Айзенбергом нв38Л8яно були авкладви! основа доолгджвння таких множен i íx '^астосування до онал1ти»пшх питвнь комплексного анвл1зу. Дал! роавитои цюс 1двй зрос^оый в роботах А.П.Юаакова, В.П.Крмвоколиско, Б.0.31нов"ева, О.В.Зиаменського, Л. Я.Макаровой, Ю.Б.Зел1нського та 1нших.

Ю.Б.ЗелЬгоьким був нобудований л1н1Яио опуклий анал!э, якип е комплексним аналогом опуклого анал!зу

ja<3 P-t-

Основними серед, що ]Х)8в'1язуютьия в дисвртацШнМ робот! мокемо вид!лити:

1) задвчу тополоПчно! класиф!кац1I (п - 1 )-опуклих множим

г гладкое мекаю; 3) ввдвчу перенесения результатов, одвржаних А.П.Юкаковим та В.П.Кривоколеско стосовно властивостей обмежених локально л1н!йно опуклих областей з гладкими межами на випадон необмежених областей; з; задачу доел!датання л!н!йно опуклит областей з особливостями на мек!.

Актуальн1сть тематики, котра опрацьовуеться в робот!, зумовлена там, що не зважаючи На те, що теор!я опуклих множив набула оотанн1м часом зввершеного вигляду та знайшла широка застаетваннг в анал!з!, тополог!! та прикладних гвлузях математики, 11 комплвксний аналог м!стить ц!лий ряд верозв"язвних задач, як! в свою чвргу породжують нов! задач! особливо на стику опуклого анал!зу з !ншими матвматичними дисцш1л!нами.

Чета робот. Досл!джэння тополог!чних та геометричних властивос ей узагальнено опуклих мнокин, а також пошук зв"язку м!ж локальною та глобальною л!н!йною оцукл!стю мнокин в с" та !х анвлогами в проективних просторах. Досл!дження л!н!йно опуклих мнокин з особливостями на как!. с

Загалъна летодика викепшння ОоолЮхенъ. В робот! використовуються метода досл!джэнь д!йс>пго, комплексного, функц!онального та опуклого анвл!эу, геометр!1 та тополог!!.

Новизна результате та 1х наукова цштстъ. Основн! результата дисертвцН е новями 1 становлять певний теорепгший 1нтграс. 1х зм!ст полягае в наыупному:

- досл!дкен! влвстивост! узагальнено опуклих множин та одержана тоголог!чна класкф!кац!я (п - 1)-опуклих мнокин

в гладкою метаю;

- знвйдеяа оЩнка, яка зв'язуе вим!рн!оть граней вих!дно! та спряжено! мнокини;

дСьедено, що локально лпййш опук/и сЮлел/г проективному простор! Оудуть лт1Яио опуклими;

- дана топологтчна клаеи^йкшйя лпийно опуклих областей иайжо гладкою мажею, ococLnireocTi якот лежать rj гтерпдещиш.

Пршпинна тнтстъ. 0триман1 в дисертац1йн1й робей рвзультати мають теоретичный характер. Вони юкуть бути застосоьып в подальших досл!джвннях задач, як1 виника ъ на стику опуклого анал1зу та геометричних питань комплексного анвлтзу.

АпроОащя робати. Разульт'"и роОоти допов!дались i об говоровались на orm Шарах в1дд1лу тогюлоПчних методов анал!зу 1нституту математики АН Укра1ии ( гид кер1вництвом В.Ю.Трохкмчука ), у Всесоязн1й математичнхй школ1 "Комшюксний чнал!з" ( Кац!вел1, 1990 р. ), у ЬЮжнар&днмх математичлих школах "Те. р1я потвнц1ал1в" ( Кацгвел!, 1991 р. та Миколвхвка, 1992 р.) та у. ''¡жяэродШй математачн1й школ1 з сучасшх питвнь тео;;Т функц1й та топологх! ( КэЩвani, 1993 р.)

Пуолгкацп. Основш результата дясэртацН викладен! в 1 1 - ß 1.

Стрцапща * аб"чл работ. Дисертацтя об'Чмом___сто], поп

машинопису, складаетьоя 3f встуиу, тръох розд!л1в i сггл.„^у цитовмяо! лгтирчтур?!, пп кйстятъ в coöt _68____нвйменувань.

л

ЗМ1СТ РОВОТИ

У вступ! наведений короткий 1сторичний огляд розультатгв, 1кш"яза1шх з темою дасортацИ, ойгруптовуеи "я актуальнЮть проблематики, що розглядаеться, визначена мета досл1джень та представлений коротк-1 виклад основн х розультат!в

Перша глава присвлчона вивченню (п - 1 )-опухлих множил. Еля досл!дженпя (п ~ 1 )-опуклих мнсдаш вводиться поняттп спряжено! множини, Слизьке до поняття поляри. Дослтджують.ся дели! властивост! узягалънено опуклих множил.

В первому чарагроф! гл.1 наводятьсл основн! поняття ) в!дом! факта, що дал! використовуються в робот!. В другому параграф! вивчаютьоя властивост! спрлжених множил. Для опукло! в!дарито! множили спряжена до не! множина буде сп!впадати з I! полярою.

Наведемо дек1лька твердженъ, як! оиисують властивост!

ГВКИХ К!1' И1.

Теореиа 2.1. Для щ непусто! множили Ее гГ, яка м!стить шчпток координат, Е Е тод! ! т!льки тод!, коля множила р (п - ! )--опукла. с

Леиа 2.1. Якщо Е - (п - 1 )-опукла множила, тод} I ТпЕ також (п - 1 )-опукла.

Теореиа 2.2. Будь-яка (п - 1)--опухла множина Е с к", що м!стить хоча Я одну пряму Е цил¿ядром з тв1рними у вигляд! парплельних один одному т-В1'м.!ршк ( 1 < т п ) аф!ших п!;и[ростор!в на 0!лыпе, н!ж (п - т)-вим!рною (п - т -1 )--опук-"ои основою 0, яка не М1стить годно! прямо!.

Користуючись одержанный в §2 результатами, в §3 доводиться твердження, яке две повну тополог!чну клвсиф1кац!ю (п - п опуклих множил з гладкою иежпш.

Теорема 3.1. (n - 1 )-0пукля юготсша Е с гладкою Н8К8В е :

1) опукла мнокина, aöo

2) подаеться декэртовим добутком Е - Е1 > ff"*, вяо

3) склвдаеться не <31льше, як з двох необмежаних компонент.

Прям1тпа. Клаеи ' i - 3) не е взаемно вихлгчними. Мноеяль маке налеяати дном i нпв!ть трьом класам.

Тут же роэглядасться приклади, як! показутль, ко (п - 1 )-опукла мнсшпш з гладкою межея мояэ бути нвзв"язна 1 несСмэкен! компонента Et i множни Е на оОов"язкобо розтсзопан! симетрично в тоя час, як Ix рецесивн! конуси центрально симетричн!. Пом1чена в прикладах зоконсм1рн1сть е правилом t доводиться в дисертац!! як насл!док з теорема 3.1.

В 54 вводиться попий клао миожлн S в р", як! мавть одну з наступних властизос эй: Е - (п - 1)-опукла кяохинв, aöo Int Е - (п - 1 )-опукла i Е с int Е . Введена гранпа структура шюига клэсу В. Досл?джутться властквост! вяступавчих та строго йиступавтих граней мноюш ? класу 8. Розглянуто ряд гтриклад1в, як! {лвструють той факт, цо властивост1, як! виконуються для замкнено! опукло! мнохини, не завади справджуються для строго вкступаючих граней множин класу 8.

Доведений критер!й налехност! точка до влясно! гран!.

Теорема 4.1. Для кокного у ( к", Е с 8, © € Int £ (точка в почзтск координат ) дв! умопи, як! наводяться шпие, р1всильнх: (а! Н(у,1) - г1перплощина, дотична до мнокини Е; (t>) у « ок.

Аналог1чно, для кожного х f к", р1вносильп1 дв! умов..: (с) Н(х,!) - г1перплощина, дотична до Е, ее Int L, id! г t oz.

Основккм результатом четвертого параграфу пэршо! глави ь теорема, сцо дае Bvu.itрну оцГнку граней еих1дно1 та спрядено! мнокини з класу S5.

Теорема 4.3. Ныхай У - грань, спрякена до виступаючо! гран1 ? шшоюши Е с S, Тод! dim ? -t- dim F < n-1.

Лосл!дхоння друго! глвви присвячен! л1нШю опуклим та локально л!н!йио опуклим мнохинам. В ц!й глав! поставлена вадача вивчення властавостей шрер1з!в дов!лът локвльно л!н!йно опуклих мномш з гладкою мекею. Зауваиимо, що для облает! в с"-в ••°ск1ичышэ в!ддалених тс жах меж! ми не мохемо оц1нмти глвдк1сть мок!. Тому запропонована умова, при як!Й boi точки, в тому -шел! 1 неск!ичено в!ддалан1 будуть р!вяоправн!, а самб ькяадемэ область в про? .таний прост!р.

Ссновшм результатом друго! ;лави е настугша

Теорема 2.1. )L~aa D с ср" - локально л!нхйыо опукла область з гладкою махаю. Тодх D - сильно л1н1йно опукла обла^.ь.

В доведенн! теорема !стотно викорисговусться три лемя, со описують структуру облает!.

Лемя 2.1. Но хай D с срп - локально л!н!йно опукла область з гладкою макаю. Тод! napepia облаот! D дов!льноа

ПРОЗКТИВНОЮ ПРЯМОЮ ЗВ"ЯЗНИЙ.

Легэ 2.2. Нехай D П S* и 0, да D с ср" - локально л!н1Нно опукла область в гладкою мекаю, S* - проэктивна пряма. Тод! FITS" -"В П Sl.

Леиа 2.3. Нэхай область D с ср"-локально л!н!йно опукла область а гладкою мекаю. Тод! D - л!я!йно опукла.

0станн1й парвгрвф друго! глави нрисвячвний вивченнв вачикання л1яй>но онуклих областей.

Теорема 3.1. Нэхвй D с ср* - сильно л tattoo опукла область, кааа пко! 0D - гладкий многокид, 1 тька, що ЧГ нэ мхетать «одно! прооктивяо! прямо!. Тод! ~ТГ - сильно лШйно опукла область.

Наведений приклад 3.1 показуе, що, якэд В - сильно л.нШго опуклз область з негладкою межес, то звмикшшя "ТГ вжэ не буде сильно л!н!йно опуклою множиною.

А другая приклвд !люструе той факт, ц,. нзв!ть гладх!сть меж! сильно л!н!йно опукло! облает! в с" с ср" не ззбвзпэчуе сильно! л!н!йно! опуклост! ( нав!ть л!н!йно1 опуклост! ) "ТГ в ср".

В трет!й глав! вивчвються моклиеост! послабления екмогн повно! гладкост! мэж1 облает! для одэржання сально! л!н!йно! опуклост!.

В §1 побудова15иЯ приклад, для якого множила осооливостэй на меж! межу не розОивае 1 множила точок гладкост! вехда цигьна на мок!, ало одэржана область ежэ нэ буде сильно л1н!йно опуклою, .тому цо первр1з I! комплексной прямою незв'язний. 3 цього прикладу випливае, цо прямо послаОати Еимогу нэ множину особливо"--я ( вимагг~и т!льки зв"язн!сть множили Од \ А) нэ мокна; далг досл!джуються лЬийно опукл! облает! з

множинамк особливостэй спэц!ального виду.

В }2 вивчено властивост! мновш, що пэреносять на комплексний випадок кон!чну структуру. Цв дозволяе в 83 досл!джувати в проективному простор! л!н!2но опукл! облает! з особливостями на мок!, як1 лежать в ф!ксован!й г!лерплопэш!, 1 показати, по так! облает! мають кон!чну або близьку го кон!чно! будову.

Твердеення ЭЛ. Яйцо Б с ср" - л!н!йно опукло область з мэйже гладкою межею, особливост! яко! лежать в гймрплоашн! I, причому С \ Ь - незв'язна множина. Тод! В \ I буде внутр!шн!с-тп мнокини, склалено! з г1нерпло!лнн, як! перетинаються по ода!й (п - 2)-шювдн1, ио лэжить в Ь.

'П!дсумком результат!в $3 мокла вазвати теорему 3.1.

Теореиа 3.1. Нехай В с ср" - л!н!йно опукла область з майже гладкою межею, особливост! яко! лежать в г!пвршюшии'.. Ь, Ь П Р » 0.

ti

Год i íj übt один з наступим* ыиит. и Int В, да В множишь, скда,пена .1 1 шйрш'.слуш, aw ■¡»¡мтштться по оди!Я <п - 2) -плотин!, яна /¡«жить ь 1-, яюци ' L - НаЗВ"йЗНа МНОЕКНЬ. Яда,о ÖD \ L - зв'язна множина, ги

е) U - сильно jiíniítHo опукла область, цри цьсму и шмзоморфиа кул i, ado

0) bcí н&ог-озв"язн1 Пйр&р1зи D г^лмими ыймь mxaii ¡'н! компонента, прямому одая а них точка, що налажнть I.. ■

В §4 гл.III н кош аксиому ышадку проводиться 4исл1да«!шя. аналог1чн1 {4 гл.1, i иихансжлюечьсн акоМдношешш Mix ншгриоотяш спряжаша гранай для шожия ¡umcy CS), де клас С? - номплекснип аналог кльсу 2В з §4 гл.1

ïoop&ua 4.3. Нехьй ? - грань, слрдоша до вистунаьчо! грен. F М1южияи Е с тод1 dim ï + dim ï < 2n Z.

Завершуе досл!даоння jiiniiteo оиуклик мнокин тьерда&нни оотаннього параграфу, якь :>ггисуе структуру мвш та cbmdï jíoxkhk Е с с", вамкнано!, .ииШго ouyiuioí, а непусто» л1н1йно апуклов мекаю.

Твв]угаапнй 5.1. Пехай Ее«"- замкншш лиШв оцукла ш- тана s напустоя jiíhííLho оиуклою мажею, ДГ. г' Е. Тод! В « « et öEt - с""".

_ Оснодт полозге»«ня Рисергпц«! спи^липС-ат в насщгааи "стих:

I. Мелишк В.Л. .00 обобщенно внпуклнх мнозюстпах. Киев, 1991.- Н с. Ц1репр»..1т / АН УССР. Ин-т математики; 91.1). Мельник В..п. (п - »)-выпуклые множества, - Киев 1933 19с. - ( Г1р<?принт / АН Украины. Ин-т матемапсса; 93.6 ).

3. Мельник Г).Л. Некоторые свойства линейно выпуклых и локально линейно пнпуклих областей // Всесоюзная математическая школа "Теория потенциалов", Кацивели, 26 июня - 3 июля 1991 г.: Тез. докл.- Киеп. 19Э1. - С.23.

4. Мельник п.Л. оо о^обкенно выпуклых мнохо .аи // Симпозиум по о^и->й топологии и ее приложениям, Кигилев, 9-14 се,.г. 1991 г.: Тез. докл. - Тирасполь, 1991 .-С. 13в - 139.

!.">. Уелнг.ш У. Л. Про л1н1йга с укл! областх з гладкими межамп // чгжр.уз!вська нар<ово - практична кснференШя, присяячвнэ 76 - р1ччш Ч'фн1г!вського державного пед1ноти7уту - Черн1г1в: ЧШ, 1?"" - 4.2 - С. 24.

'', кий Г).Б., Мельник В.Л. О линейно выпуклых областях

и аналитических поли?драх. - Киев, 1993. - 21 о. -¡¡репринт / ДН Укрпгаш. Ин-т математики; 93.34 ).

П1дп. до друку{<09.93. Формат 60»84/16.Пап1р друк. Офс.друк.

&»..др.ук арк.0,69. Ум.фарво-в1дп0. 0,69. ОСл.-вид.арк. 0,45. Тирах 100 пр.. Зам.¿¿0 Вазкоштовно.

Шдготовлано 1 в!ддруковано в 1нститут1 математшш АН Укра!ны ло2601 Ки1в 4, ГОЛ, вул. Терещенх1вскв,3.