Особенности множества транзитивности

Курбацкий, Алексей Николаевич

Особенности множества транзитивности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Курбацкий, Алексей Николаевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Особенности множества транзитивности»

Автореферат диссертации на тему "Особенности множества транзитивности"

01-34669384

Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.988+519.71

Курбацкий Алексей Николаевич

ОСОБЕННОСТИ МНОЖЕСТВА ТРАНЗИТИВНОСТИ

01.01.02 — Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

з о СЁН 2010

Москва, 2010

1У

004609384

Работа выполнена на кафедре теории динамических систем Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Закалюкин Владимир Михайлович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Давыдов Алексей Александрович, доктор физико-математических наук, доцент Седых Вячеслав Дмитриевич.

Ведущая организация: Институт программных систем

им. А.К. Айламазяна РАН.

Защита диссертации состоится 1 октября 2010 г. в 16 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 31 августа 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

В. Н. Сорокин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертация посвящена одному из основных актуальных вопросов геометрической теории оптимального управления, представляющих интерес не только в теории, но и в многочисленных практических задачах. Это вопрос об управляемости системы, то есть возможности иметь желаемый процесс или возможности достичь конечного результата с помощью допустимых управлений. Такое исследование, как правило, предшествует задаче нахождения оптимального управления. В частности, многочисленные публикации посвящены различным случаям необходимых и достаточных условий локальной управляемости систем, то есть существованию управления, при котором за малое время система переходит из некоторого начального состояния в близкое конечное. Подобными вопросами занимались как классики теории динамических систем и оптимального управления Андронов А. А., Понтрягин JI. С., так и современные известные математики Мышкис А. Д., Аграчев А. А., Сарычев А. В., Давыдов А. А. и другие. В книге Давыдова "Качественная теория управляемых систем" \ вышедшей в 1994 году, изучались типичные особенности множества управляемости и различные смежные вопросы. По-видимому, это первая книга посвященная связи теории управления с теорией особенностей, основы которой заложил В. И. Арнольд.

Управляемая система на многообразии М задается системой дифференциальных уравнений

x=f(x,u),

где 1бМ, управление и принадлежит некоторому подмножеству В С Мк, и /(х, и) - гладкое отображение произведения М х В в пространство ТМ касательных векторов на М. Другими словами, с геометрической точки зрения управляемая система является семейством индикатрис 1Х, представляющих собой для каждой точки х множество допустимых скоростей

4 = {/(*,-)}■

Подмножество В обычно задается гладкими уравнениями и неравенствами.

Важными понятиями, связанными с локальной управляемостью и рассмотренными в вышеупомянутой книге Давыдова, явились понятия крутого множества, зоны локальной транзитивности и зоны покоя. Крутой об-

'Davydov A.A., Qualitative theory of control systems, ТУалзМопз of Math. Monographs, AMS R.I., 1994, ISBN-0-8212-4590-X.

ластью управляемой системы называлось множество точек фазового пространства, для которых линейная оболочка (положительный конус) индикатрисы не содержит нулевой скорости. Множество локальной транзитивности было впервые введено в работе А. Д. Мышкиса в записках механико-математического факультета Харьковского университета в 1964 году 2. Зоной локальной транзитивности было названо множество точек, для каждой из которых любая достаточно близкая к ней конечная точка достижима из исходной точки за достаточно короткое время.

Известна теорема о границе (с. 33-34 книги Давыдова):

Граница выпуклой оболочки индикатрисы скоростей в каждой точке границы крутого множества или соответственно зоны транзитивности или зоны покоя содержат нулевую скорость.

Одним из открытых вопросов, сформулированных в книге Давыдова, был вопрос об особенностях границы зон локальной транзитивности на трехмерных многообразиях, решению которого и посвящена настоящая диссертация. Особенности на двумерных многообразиях в книге рассмотрены подробно.

Для полноты изложения в настоящей диссертации приведена полная классификация типичных особенностей зоны локальной транзитивности для двумерных и трехмерных систем.

Во всех определениях зона транзитивности содержит выпуклую оболочку индикатрисы, а как хорошо известно выпуклая оболочка гладкого многообразия не является гладкой. Особенности выпуклых оболочек вложенных подмногообразий сами представляют интерес в выпуклом анализе и т. п. Описание особенностей выпуклых оболочек подмногообразий было начато в 70-е годы в работах Арнольда и его учеников. Были получены особенности кривых, поверхностей, многообразий разных размерностей 3.

2Мышкис А.Д. О дифференциальных неравенствах с локально ограниченными производными, Зап. мех.-мат. фак. и Харьк. мат. о-ва. 1964. Т. 30. С. 152-163.

3Robertson S. A. Stabilization of singularities of convex hulls, Math. USSR sb. 63 499-505, 1989.

4JI. H. Брызгалова, О функциях максимума семейства функций, зависящих от параметров, Функц. анализ и его прил., 12:1 (1978), 66-67.

5Л. Н. Брызгалова, Особенности максимума функции, зависящей от параметров, Функц. анализ и его прил., 11:1 (1977), 59-60.

6Матов В.И., Особенности функции максимума на многообразии с краем, Труды семинара им. И.

ем выпали из поля зрения авторов. Несмотря на большое количество работ, использующих управления, подчиненные условиям, заданным уравнениями неравенствами, особенности выпуклых оболочек зон транзитивности многообразий с краем явно описаны не были. В настоящей работе актуальный результат, состоящий в классификации типичных особенностей выпуклых оболочек и зон транзитивности для кривых и поверхностей на двумерных и трехмерных многообразиях, наконец получен. Особенности множества транзитивности по существу определяются семейством выпуклых оболочек, зависящим от такого числа параметров какова размерность объемлющего пространства. С первого взгляда задача нахождения особенностей множества транзитивности представляется намного более сложной, чем описание выпуклых оболочек. Видимо, из-за этого до сих пор эта задача, за исключениям случая плоскости, не была решена. Однако, условие принадлежности нулевой скорости границе выпуклой оболочки выделяет только небольшую часть этих особенностей.

В работе исследованы три класса систем.

В первом из них индикатриса 1Х в каждой точке является гладкой замкнутой поверхностью.

Во втором 1Х является гладкой замкнутой пространственной кривой.

Напомним, что допустимым движением называется абсолютно непрерывная кривая 7^) в М, параметризованная некоторым отрезком времени £ £ [0,Т], скорость 7 которой в почти каждой точке тп = 7(£), в которой она определена, принадлежит соответствующему множеству 1т. Допустимому движению отвечает интегрируемая кривая управления и : [О, Т] —> В. Если при некоторых х индикатриса 1Х не выпукла, то применяя кусочно-непрерывные управления, то есть управления с переключениями (Ы^-Ьап§, можно получить такое же множество допустимых движений системы, как если бы управление было непрерывным, а индикатриса была бы заменена своей выпуклой оболочкой, то есть пересечением всех замкнутых полупространств, содержащих данное множество 1Х.

Г. Петровского, (1981), 195-222.

Граница выпуклой оболочки гладкого подмногообразия, вложенного в аффинное пространство, вообще говоря, не является гладкой. В простейших случаях кривых и поверхностей в R3 их типичные особенности были классифицированы в работах школы В.И.Арнольда 7 8. Такие особенности важны в теории дифференциальных уравнений, оптимальном управлении.

Систематическое изучение особенностей выпуклых оболочек подмногообразий различных размерностей вложенных в аффинное пространство было проведено в работах В.Д. Седых 9. Так в статье 1981 года 10 было получено описание нормальных форм типичных особенностей гладких кривых, вложенных в трехмерное аффинное пространство, В работах 1982 и 1983 года и, 12 показано, что начиная с размерности п — 5 типичные особенности выпуклых оболочек гладких подмногообразий коразмерности к = 2 имеют функциональные модули. Получены оценки на количество и структуры функциональных модулей в зависимости от размерности объемлющего пространства и коразмерности к подмногообразия. Еще в одной статье 1983 года 13 развиты методы особенностей преобразования Лежанд-ра для изучения структуры выпуклых оболочек. Наконец, в работе 1988 года 14 изучены стабильные особенности выпуклых оболочек, которые встречаются в пространствах разных размерностей. Рассмотрены страты нормальных форм простейших особенностей подмногообразий коразмерности к ^ 2 при n ^ 7.

Классификация особенностей границ выпуклых оболочек кривых и поверхностей с краем или углами до работ автора, по-видимому, не была опубликована. В данной диссертации описаны все возможные типичные особенности выпуклых оболочек вложенных в R3 подмногообразий с границами и углами.

Как было сказано, особый интерес при изучении общих свойств управ-

73акалюкин В. М., Особенности выпуклых оболочек гладких многообразий, Функциональный анализ и его приложения, Т. 11 (1977), вып. 3, 76-77.

8Sedykh V. D. Stabilization of singularities of convex hulls, Math. USSR sb. 63 499-505, 1989.

8 Седых В. Д., Выпуклые оболочки и преобразование Лежандра, Сибирский математический журнал, т. 24 вып. 6, 122-134, 1983.

10Седых В. Д., Строение выпуклой оболочки пространственной кривой, труды семинара им. И. Г. Петровского, вып. 6 1981 г., 239-256.

"Седых В. Д., Функциональные модули особенностей выпуклых оболочек многообразий коразмерностей 1 и 2, математический сборник, 119(161) N2(10), 233-247, 1982.

12Седых В. Д., Особенности выпуклых оболочек, Сибирский математический журнал, т. 24 вып. 3, 158-175,1983.

13Седых В. Д., Выпуклые оболочки и преобразование Лежандра, Сибирский математический журнал, т. 24 вып. 6, 122-134, 1983.

14Седых В. Д., Стабилизация особенностей выпуклых оболочек, математический сборник, 135(177) N4, 514-519, 1988.

ляемой системы представляет собой множество (зона) локальной транзитивности, состоящее из таких точек т 6 М, что нулевая скорость О принадлежит внутренности выпуклой оболочки соответствующей индикатрисы 1т. В точке тп из зоны транзитивности допустимые кривые выходят в любом направлении. Для всякой пары близких точек из множества локальной транзитивности существует достаточно короткая допустимая кривая, соединяющая эти точки. Граница Е множества локальной транзитивности состоит из точек т в которых О принадлежит границе Н(1т) выпуклой оболочки индикатрисы (см. книгу Давыдова).

В общем положении при бесконечно-гладкой 1т граница выпуклой оболочки Я(7т) не является С00—гладкой. Граница £ множества локальной транзитивности также, вообще говоря, не является гладкой. Она может иметь и более сложные особенности, чем выпуклая оболочка, поскольку при некоторых значениях параметра х особенности выпуклой оболочки перестраиваются.

Цель работы и основные задачи. Основные цели настоящей работы следующие:

- классификация особенностей границы множества транзитивности на двумерных и трехмерных многообразиях в касательном пространстве в каждой точке которых индикатрисы представляют собой гладкие поверхности или гладкие плоские или пространственные кривые.

- описание всех типичных особенностей границы зоны локальной транзитивности для двух и трехмерных управляемых систем общего положения с ограничениями в виде уравнений и неравенств. То есть с индикатрисами, представляющими собой либо простые кривые с концевыми точками, либо поверхности с границами и углами. Под системой общего положения мы понимаем систему из некоторого открытого всюду плотного подмножества пространства управляемых систем, снабженных подходящей топологией, например, -топологией в случае компактного М.

Итак, мы предполагаем, что индикатриса 1т зависит от двух- или трехмерного параметра ш и при каждом значении т является, либо гладкой замкнутой поверхностью, либо гладкой замкнутой кривой, либо гладкой поверхностью с гладкой границей и углами или пространственной кривой с границей (то есть с концевыми точками). Заметим, что полная классификация всех локальных особенностей выпуклых оболочек встречающихся при отдельных значениях параметров в семействах, слишком обширна. Однако, для исследования границы зоны локальной транзитивности нужна только

их сравнительно небольшая часть, которая из соображений коразмерности вырождения соответствует дополнительному условию принадлежности начала координат О границе выпуклой оболочки.

Впервые задачу о классификации особенностей границы множества транзитивности поставил А. А. Давыдов.

Методы исследования. В диссертации использованы методы теории особенностей дифференцируемых отображений 15, методы исследования особенностей выпуклых оболочек, разработанные в упомянутых выше работах В. Д. Седых. Методы исследования особенностей двойного преобразования Лежандра 16 17. Выпуклая оболочка вложенного многообразия определяется как огибающая опорных гиперповерхностей к подмногообразию. Особенности преобразования Лежандра являются частным случаем особенностей лежандрового отображения, введенного Арнольдом. В 70-е годы эти методы успешно применялись во многих областях: в дифференциальной геометрии, в физике. Нам удалось развить указанные методы в применении к достаточно сложному случаю двойного преобразования Лежандра, послужившего основой доказательства всех основных теорем диссертации. Мы надеемся, что эти методы окажутся полезными в других задачах приложений теории особенностей.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Исследованы локальные особенности выпуклых оболочек кривых и поверхностей с краем в двумерном и трехмерном пространствах.

2. Приведена классификация типичных особенностей границы множества локальной транзитивности, указанных с точностью до диффеормор-физма, для управляемых систем в двумерном и трехмерном пространствах.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применения в теории управления, дифференциальных уравнениях, выпуклом анализе.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по теории особенностей (МГУ им. М. В. Ломоносова, руководитель

15Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М., Особенности дифференцируемых отображений, Изд.2 М.'.МЦНМО, 2004 г., 672 с.

IeGoryunov V.V., Zakalyukin V.M., Simple symmetric matrix singularities and the subgroups of Weyl groups A,D, E, Moscow Math. Journal, 3(2003), n.2, 507-532.

17Горюнов В.В., Закалюкин В.М., Об устойчивости особых лежалдровых подмногообразий, "Функц. анализ и его прилож. т.38 (2004), вып. 4, 66-75.

- акад. Арнольд В. И.) (2008 г.), на семинаре по теории динамических систем (МГУ им. М. В. Ломоносова, руководитель - акад. Аносов Д. В.) (2010 г.), на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в Суздале (2008 г.), на пятой международной конференции по дифференциальным и функциональным дифференциальным уравнениям в Москве (2008 г.), на семинаре по теории особенностей (Университет города Ливерпуля, Великобритания, руководитель - проф. Горюнов В. В.) (2008 г.), на молодежной конференции "Ломоносов-2009" (2009 г.), на международной конференции по математической теории управления и механике в Суздале (2009 г.).

Публикации. Результаты диссертации были опубликованы в 8 работах, из них 3 из перечня ВАК. Из совместных работ в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы из 33 наименований. Общий объем диссертации - 75 стр.

В первой главе сформулированы все основные результаты диссертации об особенностях границ выпуклых оболочек и зон транзитивности для различных классов систем.

Теорема 1. Росток во всякой точке границы выпуклой оболочки гладкой плоской кривой общего положения с концевыми точками диффеоморфизмом плоскости приводится либо к ростку гладкой кривой, либо к ростку в нуле графика одной из двух функций (рис.1)

Краткое содержание работы

рис. 1

Теорема 2. Список типичных локальных особенностей границы зоны транзитивности для управляемых систем на двумерном многообразии, индикатрисы которых являются гладкими кривыми с концевыми точками, с точностью до диффеоморфизмов многообразия совпадает со списком теоремы 1.

Для описания особенностей границ выпуклых оболочек пространственных кривых с концами, введем следующие определения:

Замкнутую выпуклую простую кусочно-гладкую кривую 7 , лежащую в плоскости г = I пространства М3 = {(я, у, г)} назовем простой образующей, если она состоит из перемежающихся отрезков прямых и строго выпуклых дуг, и в их общих точках имеет класс С1. Кривую 7 назовем образующей с к углами, если она содержит стороны к углов меньших 7Г, соединенными между собой выпуклыми частями, состоящие из отрезков и дуг, и имеет класс С1 во всех общих концах гладких частей, за исключением вершин углов. Некоторые стороны могут быть общими для двух углов. Заменив в этом определении одну из прямолинейных сторон угла на дугу выпуклой кривой, получим определение образующей с к углами и одной ' особой стороной.

Коническую поверхность, образованную отрезками, один конец которых находится в начале координат, а другой пробегает либо простую образующую (к = 0), либо образующую с к = 1,2,... углами, одна из сторон которых может быть особой, назовем к-конусом.

Заметим, что ростки в начале координат таких конусов имеют функциональные инварианты относительно действия диффеоморфизмов, поскольку касательные векторы в вершине образуют касательный конус, заданный выпуклой кривой на сфере направлений, который подвергается лишь линейным преобразованиям при действии диффеоморфизмов.

Теорема 3. Росток в любой точке границы выпуклой оболочки связной пространственной кривой общего положения с концевыми точками с помощью диффеоморфизма К3 приводится к ростку в нуле графика одной из следующих функций г = /¿(а;, у), где г = 1,..., 7 (рис. 2-4);

/1 = 0 (росток гладкой поверхности);

(1)

¡2{х,у) = \х\ (ребро)]

(2)

Жч и при X ^ и , V

Х>У)=\ Л т, ^ п (сопряжение);

0 при х ^ 0

х2 при х > 0

х2 при У < х,

У2 при о,

0 при У <0,

х ^ 0;

Л(а:,г/)=^ у2 при у^ 0, у ^ х; (нос);

х «С 0;

О при у ^ О, х ^ 0;

, , . , х2 при у ^ -X, х ^ 0;

15{Х,У)=< 2 ^П ^ (корма к

1 У при у ^ 0, у < —я; 1 7

|(х2 + у2) - у - х при х + у ^ 0.

рис.2

/б(®|2/) = тт{;г4+х;г:2+у;г} (усеченный ласточкин хвост) (рис.3);

рис.3

у2 + х при х ^ 0; .М^у) = у2 при у 5$-О,

(1 — х)у2 при у ^ О,

х ^ 0; (изгиб) (рис. х € 0;

либо к ростку в нуле к-конуса при к = 0,1,2 (рис.5).

Гладкая поверхность (1) может быть либо строго выпуклой, либо развертывающейся (рис. 2, точка В), либо плоской (рис. 2, точка А ); "ребро" (2) возникает в типичной точке самой исходной кривой (рис. 2, точка С); особенность 3 появляется, в частности, в точках сопряжения развертывающейся поверхности и части плоскости, (рис. 2, точка £>); ростки (4), (5) отвечают вершинам Е и^ плоских треугольников, возникающих неустранимым образом на границе выпуклой оболочки. Вершина конуса совпадает с концевой точкой (рис. 5, точка К).

Усеченный ласточкин хвост возникает в точке, касательная в которой пересекает кривую еще в одной точке (рис.3, точка 3).

Список типичных особенностей границы множества транзитивности управляемой системы на трехмерном многообразии с индикатрисой, являющейся пространственной кривой с концами, дается следующей теоремой: Теорема 4. Для семейства общего положения связных пространственных кривых с концевыми точками, зависящего от трех парамет-

ров, ростки во всякой точке граница £ множества транзитивности диффеоморфизлюм К3 приводится либо к одному из ростков 1-7 поверхностей выпуклых оболочек типичных кривых в К3, перечисленных в теореме 3, либо к ростку в нуле графика одной из функций

{О при х < О, у < О;

у2 при у2 ^ х, у ^ 0; (срез) (рис. 6); (8)

х при у2 < х, х ^ О;

/э (ж, У)

{х+ау)2 1+а2

У2

X2 + у2

рис.6

при У^о, х + ау ^ 0;

при У ^ ах, х + ау ^ 0,

при У 0, х ^ 0;

при х^О, у ^ ах.

а 7^0;

(9)

(сопряжение четырех поверхностей - ваза) (рис. 7);

{-У при

О при у, (10)

у(х - у)2 при у ^ 0, х ^ у.

рис. 8

'"<'■»>-{¡4 + ,"

(бабочка) (рис.9);

■ у

рис.9

при

о. п-

У -У

У< С;

(П)

либо к ростку в нуле объединения трех поверхностей с краем (рис.10), заданных условиями:

[ 2 = 0, У< 0, у = х2, г < —4х2,

г = -¿2, у = \г + Ьх, 0 ^ ^ 1.

(12)

2х

(сопряжение с зонтиком);

рис.10

либо к ростку в нуле двух поверхностей с общим краем (рис.11), заданных условиями

г = 0

г = 2£3 -г а^2

при у, х > 0 или при X < О, у > |х2 , . при Ы2 + 2Ьх + у = О, г>тах{0,-|} ^ '

(тетрадь )

рис. 11

либо к ростку боковой поверхности п-уголъной пирамиды в ее вершине (рис 12.) при п = 3,4,5, то есть к ростку границы области, заданной неравенствами:

х,у,г > 0 при п, = 3,

х,у,г ^ 0,г - х + у ^ 0 при п = 4, (14)

х, у, г ^ 0,2 — х + у > 0, г — ах — /Зу > 0 при п = 5

(при п = 5 нормальная форма имеет два числовых инварианта а и Ö);

z z г

рис.12

либо, наконец, к ростку fc-конуса с к = 0,1,2.

Края а, Ь поверхностей I ж II ростка (12) заданы уравнениями z = О, у = 0иу = х2,г — —Ах2. Эти кривые касаются друг друга в единственной общей точке - начале координат. Поверхность III представляет собой часть зонтика Уитни, ограниченного этими же краями и касающегося вдоль них поверхностей I и II (рис. 10).

Теорема 5. Список типичных особенностей границы выпуклой оболочки гладкой поверхности с гладкой границей в R3, с точностью до диффеоморфизма, состоит из особенностей 1-1,9, 11.

Теорема 6. Для семейства общего положения гладких поверхностей с гладким краем, зависящего от трехмерного параметра, список локальных особенностей границы Е множества локальной транзитивности, с точностью до диффеоморфизма R3, состоит из особенностей 1 - Ц-

Теорема 7. Типичные особенности выпуклых оболочек гладких поверхностей с границей и углами в R3 это либо особенности 1-1,9, 10; либо к-конусы с любым к.

Теорема 8. Для семейства общего положения гладких поверхностей с краем и углами, зависящего от трех параметров т = (х,у, z) € R3, список локальных особенностей границы зоны локальной транзитивности, с точностью до диффеоморфизма М3, состоит из всех особенностей: 1-14 и k-конусов с произвольным к = 1,2,....

Теорема 9. Для семейства общего положения гладких поверхностей без края в R3, зависящего от параметра т = (x,y,z) G R3, локальные особенности границы £ множества транзитивности, с точностью до диффеоморфизма К3, следующие: ростки 1 - 6, 9, 12, Ц .

Замечание. Напомним, что ростки 1 - 3, 9 образуют список нормальных форм типичных особенностей границ выпуклой оболочки поверхности без края.

Теорема 10. Для семейства общего положения кривых 1т в К2, зависящих от параметра т = (х, у) € К2, список локальных особенностей границы Е множества локальной транзитивности, с точностью до диффеоморфизма пространства параметров следующий:

- росток либо выпуклой кривой, либо прямой;

- росток кривой, который диффеоморфизмом плоскости можно перевести в росток в нуле графика функции у = /(х), где

. _ Г 0 при х ^ 0; ~~ \ х1 при х > 0.

- росток в нуле графика функции у = — \х\.

Теорема 11. Для семейства общего положения кривых 1т : 51 —► М3 зависящего от трехмерного параметра т = (х,у,г) € М3, локальные особенности границы X множества транзитивности, с точностью до диффеоморфизма К3, следующие: ростки 1 - 6, 9, 12, Ц-

Замечание. Напомним, что ростки 1-6 образуют полный список нормальных форм ростков границы выпуклой оболочки типичной пространственной кривой без границы.

Во второй главе введены основные конструкции и доказаны вспомогательные утверждения.

Третья глава посвящена подробному доказательству всех перечисленных теорем из первой главы.

Благодарности. Автор диссертации выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Закалюкину Владимиру Михайловичу за постановку задач, постоянное внимание к работе и всяческую поддержку.

Публикации автора по теме диссертации

[1} Курбацкий А. Н. Особенности зоны транзитивности поверхностей с краем в К3, Успехи математических наук, т. 65, вып. 3 (2010), 199-200.

[2] Закалюкин В. М., Курбацкий А. Н. Выпуклые оболочки кривых и поверхностей и особенности зоны транзитивности в К3, Труды МИАН им В. А. Стекловат. 268 (2010), 284-303.

[3] Закалюкин В. М., Курбацкий А. Н. Особенности огибающих семейств плоскостей в теории управления, Труды МИАН им В. А. Стеклова т. 262 (2008), 73-86.

[4] Закалюкин В. М., Курбацкий А. Н. Выпуклые оболочки кривых и особенности множества транзитивности в Ж3, Современные проблемы математики и механики, издательство МГУ, т. 4, вып. 2 (2009), 3-23.

[5] Курбацкий А. Н. Особенности огибающих бикасательных к кривым в IR3, Тезисы докладов международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, издательство Владимирского государственного университета (2008), 151-153.

[6] Закалюкин В. М., Курбацкий А. Н. Особенности множества транзитивности в М3, Тезисы докладов пятой международной конференции по дифференциальным и функциональным дифференциальным уравнениям, Москва, (2008), 80-81.

[7] Курбацкий А. Н. Выпуклые оболочки кривых и особенности множества транзитивности, Тезисы докладов секции "Математика и механика" международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2009", М.: Механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова, (2009), 37.

[8] Закалюкин В. М., Курбацкий А. Н. Особенности зоны транзитивности поверхностей с краем в К3, Тезисы докладов международной конференции по математической теории управления и механике, Москва, издательство МИАН (2009), 166-167.

В работах 2, 3, 4, 6, 8 Закалюкину В. М. принадлежит постановка задача и описание общих методов исследования. Формулировки теорем и их доказательства принадлежат Курбацкому А. Н.

Подписано в печать 2.6,02, !о Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. 1,25 Тираж /00 экз. Заказ 2?

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Курбацкий, Алексей Николаевич

Введение

1 Основные результаты

1.1 Кривые на плоскости

1.1.1 Выпуклые оболочки кривых на плоскости.

1.1.2 Особенности границы зоны транзитивности на плоскости

1.2 Кривые в пространстве.

1.2.1 Выпуклые оболочки пространственных кривых

1.2.2 Особенности границы зоны транзитивности, заданной пространственной кривой.

1.3 Поверхности в Ж

1.3.1 Выпуклые оболочки поверхностей в М3.

1.3.2 Особенности границы зоны транзитивности, заданной поверхностью в!3.

2 Основные конструкции и вспомогательные утверждения

2.1 Преобразование Лежандра кривых и поверхностей.

2.2 Преобразование Лежандра для поверхностей и кривых с краем

2.2.1 Опорные плоскости.

2.2.2 Двойственные поверхности.

2.2.3 Принадлежность начала координат границе выпуклой оболочки.

2.2.4 Устойчивые особенности границы зоны транзитивности

3 Доказательства теорем 1

3.1 Доказательства теорем 1-3 (плоские кривые).

3.2 Доказательство теоремы 4-6 (пространственные кривые)

3.3 Доказательство теоремы 9 (замкнутая поверхность).

3.4 Доказательство теорем 7,8,10,11 (поверхности с краем)

Введение диссертация по математике, на тему "Особенности множества транзитивности"

Диссертация посвящена одному из основных актуальных вопросов геометрической теории оптимального управления, представляющих интерес не только в теории, но и в многочисленных практических задачах. Это вопрос об управляемости системы, то есть возможности иметь желаемый процесс или возможности достичь конечного результата с помощью допустимых управлений. Такое исследование, как правило, предшествует задаче нахождения оптимального управления. В частности, многочисленные публикации посвящены различным случаям необходимых и достаточных условий локальной управляемости систем, то есть существованию управления, при котором за малое время система переходит из некоторого начального состояния в близкое конечное. Подобными вопросами занимались как классики теории динамических систем и оптимального управления Андропов А. А., Понтрягин Я. С., так и современные известные математики Мышкис А. Д., Аграчев А. А., Сарычев А. В., Давыдов А. А. и другие. В книге Давыдова [29], вышедшей в 1994 году, изучались типичные особенности множества управляемости и различные смежные вопросы. По-видимому, это первая книга посвященная связи теории управления с теорией особенностей, основы которой заложил В. И. Арнольд.

Управляемая система на многообразии М задается системой дифференциальных уравнений х = f(x,u), где х £ М, управление и принадлежит некоторому подмножеству В Clfc, и f(x: и) - гладкое отображение произведения М х В в пространство ТМ касательных векторов на М. Другими словами, с геометрической точки зрения управляемая система является семейством индикатрис 1Х, представляющих собой для каждой точки х множество допустимых скоростей

4 = {/0*V)}

Подмножество В обычно задается гладкими уравнениями и неравенствами.

Важными понятиями, связанными с локальной управляемостью и рассмотренными в книге Давыдова [29], являются понятия крутого множества, зоны локальной транзитивности и зоны покоя. Крутой областью управляемой системы называется множество точек фазового пространства, для которых линейная оболочка (положительный конус) индикатрисы не содержит нулевой скорости. Множество локальной транзитивности было впервые введено в работе А. Д. Мышкиса в записках механико-математического факультета Харьковского университета в 1964 году [18]. Зоной локальной транзитивности было названо множество точек, для каждой из которых любая достаточно близкая к ней конечная точка достижима из исходной точки за достаточно короткое время.

Напомним основные определения, используемые ниже.

Определение. Выпуклой оболочкой замкнутого подмножества аффинного пространства называется пересечение всех замкнутых полупространств, содержащих данное множество.

Определение. Мноэюеством (зоной) локальной транзитивности управляемой системы на многообразии М называется множество, состоящее из таких точек х £ М, что в касательном пространстве к М в этой точке нулевая скорость О принадлежит внутренности выпуклой оболочки соответствующей индикатрисы 1Х

Определение. Системой общего положения (типичной) называется любая система из некоторого пересечения счетного числа открытых всюду плотных подмножеств пространства всех систем, снабженного подходящей топологией.

На самом деле, большинство полученных в диссертации результатов верны для систем из некоторого открытого всюду плотного подмножества систем, однако, мы не стали усложнять доказательства и ограничились указанным выше определением.

Известна теорема о границе (с. 33-34 книги [29]):

Одним из открытых вопросов, сформулированных в книге Давыдова, был вопрос об особенностях общего положения границы зон локальной транзитивности на трехмерных многообразиях, решению которого и посвящена настоящая диссертация. Особенности на двумерных многообразиях в книге рассмотрены подробно.

Во всех определениях зоны транзитивности участвует понятие выпуклой оболочки индикатрисы, а как хорошо известно выпуклая оболочка гладкого многообразия не является гладкой. Особенности выпуклых оболочек вложенных подмногообразий сами представляют интерес в выпуклом анализе и т. п. Описание особенностей выпуклых оболочек подмногообразий было начато в 70-е годы в работах Арнольда и его учеников. Были получены особенности кривых, поверхностей, многообразий разных размерностей [33].

Основным методом их изучения явилось применение метода лагранже-вых и лежандровых отображений и особенностей семейств функций, зависящих от параметра, также созданной школой Арнольда в 70-е годы. Универсальность этих методов позволила получить особенности функции максимума [3, 4, 17|. Однако на протяжении более 30 лет многообразия с краем выпали из поля зрения авторов. Несмотря на большое количество работ, использующих управления, подчиненные условиям, заданным уравнениями и неравенствами, особенности выпуклых оболочек многообразий с краем явно описаны не были. В настоящей работе актуальный результат, состоящий в классификации типичных особенностей выпуклых оболочек и зон транзитивности для кривых и поверхностей на двумерных и трехмерных многообразиях, наконец получен. Особенности множества транзитивности но существу определяются семейством выпуклых оболочек, зависящим от такого числа параметров какова размерность объемлющего пространства. С первого взгляда задача нахождения особенностей множества транзитивности представляется намного более сложной, чем описание выпуклых оболочек. Видимо, из-за этого до сих пор эта задача, за исключениям случая плоскости, не была решена. Однако, условие принадлежности нулевой скорости границе выпуклой оболочки выделяет только небольшую часть этих особенностей.

В работе исследованы три класса систем.

В первом из них индикатриса 1Х в каждой точке является гладкой замкнутой поверхностью.

Во втором 1Х является гладкой замкнутой пространственной кривой.

В третьем случае индикатриса 1Х является гладким подмногообразием с краем и углами, вложенным в линейное пространство ТХМ касательных векторов в каждой точке х. Угол на многообразии - это его подмножество, диффеоморфное координатному углу соответствующего евклидова пространства. Такая система моделирует управления, подчиненные условиям, заданным уравнениями и неравенствами. Такие системы часто встречаются в технике: величина каждой или некоторых компонент управления ограничена соответствующими физическими параметрами системы. Например, диапазоны углов поворота рулей летательных аппаратов часто бывают невелики.

Напомним, что допустимым движением называется абсолютно непрерывная кривая 7(t) в М, параметризованная некоторым отрезком времени t £ [0,Т], скорость 7 которой в почти каждой точке х — 7(£), в которой она определена, принадлежит соответствующему множеству 1Х. Допустимому движению отвечает интегрируемая кривая управления и : [О, Т] —> В. Если при некоторых х индикатриса 1Х не выпукла, то применяя кусочно-непрерывные управления, то есть управления с переключениями (bing-bang), можно получить такое же множество допустимых движений системы, как если бы управление было непрерывным, а индикатриса была бы заменена своей выпуклой оболочкой.

Граница выпуклой оболочки гладкого подмногообразия, вложенного в аффинное пространство, вообще говоря, не является гладкой. В простейших случаях кривых и поверхностей в М3 их типичные особенности были классифицированы в работах школы В.И.Арнольда [8, 21]. Такие особенности важны в теории дифференциальных уравнений, оптимальном управлении.

Систематическое изучение особенностей выпуклых оболочек подмногообразий различных размерностей вложенных в аффинное пространство было проведено в работах В.Д. Седых [20]. Так в работе [21] было получено описание нормальных форм типичных особенностей гладких кривых, вложенных в трехмерное аффинное пространство. В работе [22], [23] показано, что начиная с размерности п = 5 типичные особенности выпуклых оболочек гладких подмногообразий коразмерности к = 2 имеют функциональные модули. Получены оценки на количество и структуры функциональных модулей в зависимости от размерности объемлющего пространства и коразмерности к подмногообразия. В работе [20] развиты методы особенностей преобразования Лежандра для изучения структуры выпуклых оболочек. Наконец, в работе [24] изучены стабильные особенности выпуклых оболочек, которые встречаются в пространствах разных размерностей. Рассмотрены страты нормальных форм простейших особенностей подмногообразий коразмерности к ^ 2 при п ^ 7.

Как было сказано, особый интерес при изучении общих свойств управляемой системы представляет собой множество (зона) локальной транзитивности, состоящее из таких точек х Е М, что нулевая скорость О принадлежит внутренности выпуклой оболочки соответствующей индикатрисы 1Х. В точке х из зоны транзитивности допустимые кривые выходят в любом направлении. Для всякой пары близких точек из множества локальной транзитивности существует достаточно короткая допустимая кривая, соединяющая эти точки. Граница Е множества локальной транзитивности состоит из точек х в которых О принадлежит границе Н{1Х) выпуклой оболочки индикатрисы [29].

В общем положении при бесконечно-гладкой 1Х граница выпуклой оболочки Н(1Х) не является С°°—гладкой. Граница Е множества локальной транзитивности также, вообще говоря, не является гладкой. Она может иметь и более сложные особенности, чем выпуклая оболочка, поскольку при некоторых значениях параметра х особенности выпуклой оболочки перестраиваются.

Основные цели настоящей работы следующие:

Итак, мы предполагаем, что индикатриса 1Х зависит от двух- или трехмерного параметра х и при каждом значении х является, либо гладкой замкнутой поверхностью, либо гладкой замкнутой кривой, либо гладкой поверхностью с гладкой границей и углами или пространственной кривой с границей (то есть с концевыми точками). Заметим, что полная классификация всех локальных особенностей выпуклых оболочек встречающихся при отдельных значениях параметров в семействах, слишком обширна. Однако, для исследования границы зоны локальной транзитивности нужна только их сравнительно небольшая часть, которая из соображений коразмерности вырождения соответствует дополнительному условию принадлежности начала координат О границе выпуклой оболочки.

Впервые задачу о классификации особенностей границы Е множества транзитивности поставил А. А. Давыдов.

В диссертации использованы методы теории особенностей дифференцируемых отображений [1], методы исследования особенностей выпуклых оболочек [33, 20, 21, 22, 23, 24, 25], методы исследования особенностей двойного преобразования Лежандра [31, 6]. Выпуклая оболочка вложенного многообразия определяется как огибающая опорных гиперповерхностей к подмногообразию. Особенности преобразования Лежандра являются частным случаем особенностей лежандрова отображения, введенного Арнольдом. В 70-е годы эти методы успешно применялись во многих областях: в дифференциальной геометрии, в физике. Нам удалось развить указанные методы в применении к достаточно сложному случаю двойного преобразования Лежандра, послужившего основой доказательства всех основных теорем диссертации. Мы надеемся, что эти методы окажутся полезными в других задачах приложений теории особенностей.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Классифицированы локальные особенности выпуклых оболочек кривых и поверхностей с краем в R2 и в IR3 общего положения.

2. Получена классификация (с точностью до диффеорморфизма) типичных особенностей границы множества локальной транзитивности Е для управляемых систем в К2 и в М3 общего положения.

Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применения в теории управления, дифференциальных уравнениях, выпуклом анализе.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на семинаре по теории особенностей (МГУ им. М. В. Ломоносова, руководитель - акад. Арнольд В. И.) (2008 г.), на семинаре по теории динамических систем (МГУ им. М. В. Ломоносова, руководитель - акад. Аносов Д. В.) (2010 г.), на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в Суздале (2008 г.), на пятой международной конференции по дифференциальным и функциональным дифференциальиым уравнениям в Москве (2008 г.), на семинаре по теории особенностей (Университет города Ливерпуля, Великобритания, руководитель - проф. Горюнов В. В.) (2008 г.), на молодежной конференции "Ломоносов-2009" (2009 г.), на международной конференции по математической теории управления и механике в Суздале (2009 г.).

Результаты диссертации были опубликованы в 8 работах. Из совместных работ в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту. Списку ВАК соответствуют работы [10, 12, 15].

Диссертация состоит из введения и трех глав.