Вполне транзитивность абелевых групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА II ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В. И. ЛЕНИНА

Специализированный совет К 053.01.02

На правах рукописи

МИСЯКОВ Виктор Михайлович

ВПОЛНЕ ТРАНЗИТИВНОСТЬ АББЛЕВЫХ ГРУПП

01.01.06 — «Математическая логика, алгебра и теория чисел»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1992

Работа выполнена в Томском ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени государственном университете им. В. В. Куйбышева.

Научны н руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент БЕККЕР И. X.

Официальные оппоненты: доктор физнко-математнчоских наук ТУГАНБАЕВ А. А. кандидат физико-математических наук МОСКАЛЕНКО А. И.

Ведущая организация: Московский химико-технологический институт им. Д. И. Менделеева (МХТИ).

Защита диссертации состоится ^.^...»...¿р^Кг-^.шмРА^^ г.

в ............ па заседании специализированного Совета К 053.01.02

по присуждению ученой степени кандидата наук в Московском ордена Ленина н ордена Трудового Красного Знамени педагогическом государственном университете имени В. И. Ленина по адресу: 107140, Москва, ул. Краснопрудная, д. 14,

ауд..............

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ имени В. И. Ленина (адрес университета: Москва, 119435, Малая Пироговская, 1, МПГУ имени В. И. Ленина).

Автореферат разослан

Ученый/бекрета^рь специализированного Совета,

доцент Г. А. КАРАСЕВ

ОНЦЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

- Актуальность теш

Одной из важных задач теории абелевих групп является изучение свойства вполне транзитивности группы / то есть такого свойства редуцированной группы Сг ,что для люб их элементов 0./ В <£ О-таких,что следует существование эндоморфизма

этой группы,переводящего элемент в элемент / ,где Н(а) ,

- высотные матрицы элементов (X и 4 соответственно /. Знание этого свойства группы существенно помогает при исследовании решетки ее вполне характеристических подгрупп,кольца эндоморфизмов группы / см..например,С.Я.Гриншпон I),П.А.Кратов 2),Д.Оукс з), А.И.Москаленко 4)/ и других ее свойств.Актуальность изучения класса вполне транзитивных абелевих груш подчеркивает и то,что всякая квазисервантно инъективная абелева группа без кручения / то ость такая группа /I ,что всякий гомоморфизм С—> А .»где С сервантная подгруппа группы А .индуцируется эндоморфизмом группы /1 /является вполне транзитивной.Задача описания квазисервантно инъоктивша групп сформулирована Л.Фуксом в 5) как проблема 17(а).

1) Грнншпон С.Я. О строении вполне характеристических подгрупп абелевих групп без кручения // Абелевы группы и модули.-Томск:11зд-во Томск.ун-та, 1982.- С.56-92.

2) Крылов П.А. Об абелевих группах без кручения,! // Лбелеви группы п модули.-Томск-.Изд-во Томск.ун-та, 1984.-0.40-64.

3) Фукс Л. Бесконечные абелепы группы.?.!.:Ыир, 1977.Т.2.416 с.

4) Москаленко А.И. О копериодической оболочке сепарабелыюй

Р - группы // Алгебра и логика.-1989.-Т,28,.';'2.-С.21)7-2;">6.

5) Фукс Л. Бесгонечнш абелетш группы. М.: Мир ,1974. ТД..1-45 о.

Впервые термин "вполне транзитивная абелева груша" был введен Капланским в б) для редуцированных р - групп / он называет редуцированную р - группу А вполло транзитивной.если для любых таких,что ЫЫ) ~ существует Ц £(А) .что ЧХ^^- , где - Ульмовские последовательности

элементов ОС п ^ соответственно /.Здесь жо им было установлено, что всякая сепарабельная р - группа является вполне транзитивной. Далее он ставит вопрос: будет ли любая абелева р - группа вполне транзитивной ? Первые отрицательные примеры были приведены Меджиб-боном в 1966 г. •?) .В 1963 г. 8) Нунке вводит понятие тотально проективной р - группы / р - группа А называется тотально проективной, если

любого порядкового числа (5" и любой группы С /»а в 1969 г. 9) Хилл показывает,что всякая тотально проективная р - группа вполне транзитивна.

В работе. 1976 г. 10^ Корнер рассматривает следующее понятие: пусть

Ф

- подкольцо с единицей кольца и Н есть

ф - инвариантная подгруппа редуцированной р - группы (* , тогда действует вполне транзитивно на Н .если для любых

таких,что Ид существует <Р € ф

такой,что УХ—^ .Таким образом, -вполне транзитивная

с,) Жар/сииЛу* б. ^^лс^с .

1) ТКырМип С. сиш? ¿¿ПО-//

{ию^глс^¿¿¿Ж^ // fS66.-~V.fS.-

р. 153 - /СО. .. .

п) 71и-п1л- (I. Т Ри-и&у ЗаЛАцм^еЫ

Игл. ¿х&гМЛм // ¿*с ¿г/еЛсис

р. {г {- а г.

ИиС Р. Ок. Ььыоъобье^ амс/ /«-¿^ ¿ъы^сАк^

рита.'сд ^гессрь-// Ръсс . Япых. ?} ¿ос-.-Г369 - V. г. £, - - р. 4 - 4/г.

группа в смысле Капланского тогда и только тогда,когда £ ( (£) действует вполне транзитивно на в .Далое Корнер доказывает в ю) что р - группа (* вполне транзититша тогда н только тогда .когда В(чг)действует вполне транзптивно на р**С* .В этой :.<а работе он приводит пример редуцированной р - группы,которая но является вполне транзитивной.

Используя результаты Корнера Ю^.С.Я.Гршшшон показывает II), что если /С - но более чем счетная аболева р - группа,то существует абелева не вполне транзитивная р - группа (х такая, что !> ¿7 ~ К в том случао,когда 1(!С.)У/И .

Пусть Л - предельное порядковое число.Аболова р ~ группа называется Л - сепарабельной 12),если всякая ео коночная система элементов содержится в некотором прямом слагаемом группы (я , являющемся тотально проективной группой длины меньшей и1 .Доказывается в 12),что всякая Л - сепарабольпая группа вполне транзитияш

В 1985 г. Хилл и Меджиббен в 13)дают описание ОТ групп / они называют р - группу (я 3 Т группой, если она изоморфна изотигаюй подгруппе / не обязательно редуцированной / тотально проективной группы /,в частности,они доказывают,что всякая от группа толпе транзптпвна .

ю) Смъпег. jf-.it.'й-. %& ии&ре.ноипле.

(¡и&гигр ¿¡. Май.- л/^-р. ^-ло.

И)Гршшпон С.Я. О вполне транзитивности, абелевых р - групп с . элементами бесконечной высоты // У1 симпозиум по теории колон, алгебр и модулей.Тезисы сообщений.-Львов.1990.-30 с.

12) Ж. иъесуц. Л - ¿¿/ю-,

13) ШМ Р.} ЯЬу^бис CA.Jht.tke, Шоку с/ац^са^-с&л. р // ЯЫЯ. £. - -К Г-90.-Р. .

В 1973 1\ 14} ГТ.А.Кршюв по аналогии с вполне транзитивными р - группами рассматривает понятие вполне транзитивности для групп -без кручония.В 1983 г. 15) ему удалось описать вполне транзитивные счетные однородные группи без кручения.Необходимо отметить,что ранее в 197С г. однородные вполне транзитивные группы без кручения коночного ранга били описаны Арнольдом 16) .Недавно П.А.Крылов в " Г.?) описал вполне транзитивные группы без кручения,у которых

обобщает результаты,полученные Ю.Б.Добрусиным для вполне транзитив-

Критории пполно транзитивности прямых сумм абелевых групп без кручения и сепарабельных групп без кручения получены в работе С. Я.Гршштона I).

Произпольнно вполне транзит изнда группы без кручения впервые стали специально исследоваться Ю.Б.Добрусиным в работе 19) в счлай с решением проблемы Л.Фукса об описании квазпеервантно инъек-тпипнх групп / пли сокращенно С} РЭ -групп /.Наибольшее прод-ш'ленио в этом классе групп было получено Л.Р.Чехловым в 20).

и)Кринов П.А. О вполне характеристических подгруппах абелевых групп без кручения.-Сборник аспирантских работ по математика.

ранг группы

/ конечен.В этой Же работе он

инх групп боз кручония конечного ранга Ю),

Томск,1973,с.15-20.

Гя) Крылов П.А. Сильно однородные абелевы группи без крученля //

Л.гХ т,™ ТПП1 ф п/ Р^О ГУ пп О А

К

ис

17/клипов П.А. Пполно транзитивные абелевы группы без кручения // '•лпч'р'! и логика.-19Г'1.

В последнее время вполне транзитивные грушш без кручения от:им привлекать внимание и зарубеглых исследователей,например

21), дЬи^.а+.'М. 22), А. -¡¿З^Так Нол+ЩИ^-. -.А)

рассматривает Е • - транзитивные групгш без кручения / группа без кручения £ £ - транзитивна.если для любых дьух ей серлантних подгрупп А и /3 ранга I существует эндоморфизм оС грушш со свойством <>£ А ~ & /.которые являются в точности однородни-ми вполне транзитивными грушами. Она устанавливает необходимые и достаточные условия изоморфизма двух £ - транзитивных групп.

18) Добруснн Ю.Б. О<продолжениях частичных ондоьгоррлзмов абелевих групп без кручения,II // Абелевы группы и модули.-Томск:Изд-во Томск.ун-та,1985.-С.31 - 41.

19)Добрусин Ю.Б. Квазясервантно илъективние и гралзитпинав ибелвпи группы без кручения.-Томск, 1977.-45 с.-Рукопись представлена Томск.ун-том.Деп.в ВИНИТИ 19 июля 1577,Л'£942 - 77.

20)Чехлов А.Р. Абелевы группы без кручения с заданными свойствами сервантных подгрупп// Международная конференция по алгебре.Тезись докладов по теории групп.Новосибирск.-1989.-136 с.

21) Й1 ¿лъг^ис1//е ¿е-г-иек -/ъгт.

3 те/ Се*^, .

Згдък. Р. 35-/-

22) 7Н., Неих+е-И.^.. '¿¿■оион -/гея

¿к^кс^е. -сбисЛ. // гг^.

ШаЫ. -YSl9.-V. bZ.-Р. /&/-.

23) Ци/ак

¿м. //. СтАег^Л. ТНа^А. ~ - К ¿?.~

Р. /ЗГ- .

ы) Нтхилш^.. £ - {ег-иол -

ръмуи- /{ ^. ¿¿¿рЛш-. - ?.-</ /£> г УI. - р.

- ъ -

Впоршю случай смешанно!! вполне транзитивной группы был рассмотрен в работе Мадера 25,),где он показал,что редуцированная р -адическая алгебраически компактная группа вполне транзитивна.

Исследуя группу Т = £ ( ¿- Т) в 4} Москаленко А.И. показала,что в случае,когда 7* - прямая сумма циклических р -групп, Т - вполне транзитивная группа. Цель работн.

1. Получить критерий вполне транзитивности прямых сумм абелевых групп.

2. Исследовать вполне транзитивность прямых произведений абелевых; групп.

3. Найти необходимые и достаточные условия вполне, транзитивности прямых произзедений сепарабольных абелевых групп.

4. Установить критерий расщепляемости / сепарабельности / прямого произведения абелевых групп и определить влияет ля свойство вполне транзитивности прямого произведения груш на расщепляемое« / сепарабельность / этого произведения.

Научная ноппзна.

1. Получен критерий вполне транзитивности прямых суш абелевых групп и достаточное условие вполне транзитивности прямых произведении абелевых групп.

2. Введен масс а - обобщенно узких групп,вюгочавднй в себя многие классы групп,и исследовала вполне транзитивность прямого произведения 5 - обобщенно узких групп.

3. Получен простой критерий вполне транзитивности расщеплявша емепапнкх абелевюс групп,а такко найдено необходимое к достаточ-

РиМ. рСг&А. . - -У. г? -РйГ«-

-Зоё. ' ' ' .

нов условие расщепляемости'прямых произведений абелевих групп и выяснено,как свойство вполне транзитивности влияет на расщепляй мость такой группы.

4. Получен критерий вполне транзитивности прямых сумм / прямых произведений /периодических абелевих групп.

5. Решена задача о сепарабельности прямых произведений произвольных абелевых групп.Выяснено,как свойство вполне транзитивности влияет на сепарабельность прямого произведения абелевих групп.

6. Получено описание вполне транзитивных абелевих групп,являющихся

прямым произведением обобщенно сепарабельных групп без кручения.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа имеет теоретическое значение.Полученные результаты £ - 3 глав могут быть использованы при исследовании различных свойств вполне транзитивных прямых суш абелевых групп / вполне транзитивных прямых произведений обобщенно сепарабельных групп без кручения или Л - обобщенно узких .абелевых групп /.Предложен простой метод построения вполне транзитивных смешанных расщепляемых абелевих груш.Результаты глави 4 расширяют наши знания о структура вполне транзитивного расщепляемого прямого произведения Д - обобщенно узких групп,дают полную информацию о сепарабельных / вполне транзитивных сепарабельных / прямых произведениях произвольных абелевых групп.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на заседаниях научного семинара кафедры алгебры ТГУ,кафедры алгебры ЫПГУ им. ■ В.И.Ленина / 1988,1991 г.г. /,на ХУШ Всесоюзной алгебраической конференции в Кишиневе в 1985 г.,на У1 симпозиума по теории колец, алгебр и модулей во Львове в 1990 г.,на "ездународных алгебраических конференциях в Новосибирска в 1989 г.,в Барнауле в 1991 г.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано II робот.

- о -

Объем -работы.

Диссертация состоит из введения,списка обозначений,четырех .глав, списка литературы из 60 наименовашШ.Дкссертация содер.тат 84 стра-ншш машинописного текста.

Краткое содержание работы.

В данной работе все группы - абелевы.

Результаты главы I носят общий характер я применяются на протя-::сешпг всей работы.В §1 вводится определение вполне транзитивной группы: группу & назшкшт вполне транзитивной,если для любых элементов Л, С! пз того,что .Жо.) ¿//(4) и °(л) ': ) / порядок элемента й делится на порядок элемента £ /.следует существование V ( £ (С) такого,что «а - / .Полагаем,что пели °(о.) = ,то условие *(&) ; ) выполняется для любого / (г .Далее доказывается

Предложение 1.1.1'. Пусть & - редуцированная группа.Следующие условия эквивалентны:

I.) для любых элементов из тош^тк»

О.) ': о(4} .следует существование такого,что

2) для любых элементов й £ из того.то следует существование

такого, что

фа =4 .

В следующей теореме утверадается.что вопрос о вполне транзитивности всей группы сводится к вопросу о вполне транзитивности ее рогуцировшшой части.

Теорема 1.1.2. Абелева группа вполне транзитиига тогда и только тогда,когда ее редуцирова1шая часть вполне трапзпгзваа.

Благодаря этому результату в дальнейшем* будем рассматривать.

\

только редуцированные группы.

Чооб'.юдпмо заметить тают .что приведенное определение вполне "рл-.птх.-чой группы согласуется с определениями.шше тргизятшлюП р ~ группу и ичолне транзитивной группы без кручения,пие/додаеи

соответственно в 6) и 14) ',а в редуцированном случае - с определением вполне транзитивности для произвольной абелевой группы,приведенным в 18) .•

В §2 вводятся основные определения,которые будут необходимы при исследова!пга свойства вполне транзитивности прялых суш и прямых произведений абелевых групп.

Опроделезше 1.2.1. Система групп I л называется вполне

транзитивной,если для каждой пары групп ( ¿у)со / I может совпадать с £ / выполняется условие: из того,что (X * 6(1 , V * и И(й)^иЫ) следует существование 1/6 //о/к^ф)со свойством Уа = /

Определение 1.2.2. Система групп / ¿»«'/<Чз удовлетворяет условию монотонности для высотных матриц / или просто "условию монотошюсти" /.если для каждой группы (Иг^ и для любого элемента & , ,из выполнетш соотношений:

I) \ .. ± Н(^)

, , при XI ^^ ;

• 2) Н(ар для всех ,

следует существование элементов О.; . . А: (г ¿2. со свойствами: / г' а /

2 ) для каждого элемента ( £ - < г ) найдется элемент

Сс=*7*) лто .

Следующая теорема показывает,что свойства вполне транзитивности и монотонности системы груш являются необходимыми и достаточными для вполне транзитивности прямой cyi.ro! этих груш.

Теорема 1.2.1. Группа ~ вполне транзитивна тогда и

■.только тогда.тсогда система групп I £¿¡¿'¿3 вполне транзитивна и удовлетворяет условии монотонности.

В то ;;<е время вышеприведенные условия длт системы !■]'.угпг .тал-ьтсл необходимыми и вполне транзитивности прхлого пгг«.а»-.ОА<эн.:л эт;:; групп / продлс.г.рние 1.2.2 /.

Следующее свойство система групп вместе со своистват.ш вполне транзитивности и монотонности даот достаточное условие для вполне ~~ транзитивности прямого произведения групп этой системы / предложение 1.2.3 /.

Определение 1.2.4, Система групп I£¿}¿ij удовлетворяет условию конечности для высотных матриц / или просто " условии конечности" /,' если для любой группы ¿y á I G¿\¿ij и любого элемента С £ Cj, такого,что = <х> ,из выполнения условия:

Wtyñw • / и ü следует

существование коночной подсистемы элементов }<=

такой.что Htjjl^ütf lHifr*.))*'<7*

В работе строится пример,показывающий существование вполне транзитивных групп G-.ПGrL таких,что система {£¿}¿ej условия конечности не удовлетворяет.

В главе 2 рассматривается свойство вполне транзитивности для некоторых классов групп без кручения.В §1 показывается,что условие монотонности,наложенное на определеную систему подгрупп данной груп- . пы существенно влияет на структуру группы.Так в теореме 2.1.3 показывается,что редуцированная группа без кручения G является однородной тогда и только тогда,когда система i Лвсех ее серзантних подгрупп ранга I удовлетворяет условию монотонности. Если ;.;е условие монотонности наложить на систему всех подгрупп ;

ранга I редуцированной группы Сг ,то,как показывает следствие 2.1.4,это свойство системы будет являться необходимым и достаточным условие!.! однородности группы Gí нулевого типа.

В слсдуттдей теореме приводятся условия эквивалентные условию • вполне транзитивности сеплрабелыюй группы*без крученая.

Toopcm 2.1.5. Для сепарабельной груйпы без кручения G '■лпдунт.'с условия эквивалентны:

I) Q - однородно разлоглк.-лч группа,пр::чем дли любых однородных п-лт:!:х слагаема Q¿, Gj из 6í такта,что

и &) * ¿($¿1 следует,что ;

2) для любых непзоморшкх прямых слагаемых ранга I ' 4 и В из С» следует, что Ж А) ЛЯ

3) система . {/¿¿у всех прямых слагаемых ранга I группы удовлетворяет условии монотонности;

4) группа С[ вполне транзитнвнп.

Заметим,что эквивалентность условий 2) \\ 4 ) била показана в 0. В § 2 вводится определение эвдотранзитивной системы групп. Определение 2.2.1. Система групп без кручения называется вполне транзитивной,если для любых элементов' О.^ (*,' ', с о о,: .таких,что следует существование

V £ Неги. (у) со свойством У (к - / .Если система состоит из одной группы,то приходим к понятию эндотранзитлвной группы, введенному в 26).Далее в предлогсешш 2.2.1 показано,что понятия эвдотранзитивности и вполне транзитпзности системы групп созптдаэт,, если эта система состоит из однородных групп одного и того ;хе типа. Основным результатом данного параграфа является следующая теорема, в которой устанавливаются необходижо и достаточные условия вполне транзитивности прямого произведения обобщенно сепарабельных групп, введенных в I / напомнит.!,что группа без кручения <5 называется обобщенно сепарабельной,если к&хдоо коночноо подмножество элементов из (» содержится з некотором однородно разложимом прямом слагаемом группы

Теорема 2.2.2. Группа 4 -ДА1 ,где А; , I 6 7 ,-обобщенно сеппрабелыше группы,вполне транзитивнл тогда и только тогда,когда для л:?бых однородных -прЛ.;ых слагаемых & и С- из

А выполняются условия: I)- система \ С/Р>\ эндотрапзкти.'на; ¿) если

Из данной тооромн -ыто':а:от токае утлер:;-дон::л.

Следствие 2.3.4. Группа А -/ТА' г;;« А/ , ¿<*3

¡■еЗ

сеплр";бпльн!:о г^у'.'и, мполне трт!>з::т",::П тог:;;) только тог',п,;:'>т-:г.'1

длн д:'х1|/х шшзоморфных пря^х слагаемых Ц к С ранга 1 на А олоду9Т,ЧТО Я С /Ь) /1Я С

Следующее следствие теоремы '¿.'¿Л било впервые получено I

Ю.В.ДаЙруошшм в 18]. ■

Следствие 2.2,5. Векторная группа А ышне транзитшши тогда '. и только тогда,когда дяя л ¡об их лензоморфних прямых слагаешх £> п с ринга 1 Из А имеем Ж !Ь) /? &.

Слодотшю 2.2,6, 1^,Еп0лно разлозшая группа А вполне транзитигша тогда "и только .тогда,когда В)для любых неизоморфных прямых слагаемых б и С- ранга I из А .

В главе 3 рассматривается такой класс групп.что прямое произведение групп /4/ (3) из этого класса является вполне транзитивной группой тогда и только тогда,когда оистома / ¿ ь V удовлет-; воряет условия:,! вполне транзитивности,монотонности и конечности.

Б § I вводится следующее понятие: будем говорить,что абелева группа £ является Д - обобщенно узкой,если калдый элемент д £ (X . такой, что о шяшо вложить в обобщенно узкое

прямое слагаемое .группы С

. Понятно обобщешю узкой группы было введено С.В.Рычковым в 27) . Он называет абелеву группу А обобщешю узкой,если она не содержит неограниченных копориодических подгрупп и подгрупп,изоморфных

группе /72 .Пртлерами обобщенно узких групп,как было замечено . -А'«

в 27./,являются узкие группы,счетные абелевы группы,редуцированные периодические группы.

Класс $' - обобщенно узких групп шире класса' обобщенно узких групп,он содержит,в частности,все сепарабельше редуцированные

26) Добрусин Ю.Б. О- продолжениях частичных эндоморфизмов абелевых групп без кручения // Абелевы группы и модули.-Томск:11зд-во То;лск.ун-та, 1986.-Выпуск 4.-С.36 - 53.

Рыч;:ои С.В. О пряшх произведениях абелевых групп // /Ьт.сб;-

абеловы группы,в том числе и /7 ' Теорема 3.1.1. Группа .где

£ - обобщенно узкие группы,вполне транзитивна тогда и только тогда,когда выполняются следую;:рге условия: 1| I ~ вполне транзитивная система групп;

21 система групп I ^¿Ььсг . удовлетворяет условию монотонности; 3/ система групп I удовлетворяет условию конечности.

Непосредственно го этой теоремы и примеров 5 - обобщенно узких групп получаем ■ .

. Следствие 3.1.3, Если.кадцая из групп С; я, "удовлетворяет хотя бы одному.из следующих условий:

1) &I - сепарабельная группа;

2) ¿7/ - счетная груша; (*1 ~ узкая группа;

4) - периодическая группа,то группа вполне .

транзитивна тогда и только тогда,когда выполняются условия I)- 3)

теоремы 3.1.1. •

Если группы С^ , I & 3 .являются периодическими,то очолотю,

что условия I)- теоремы 3.1.1 будут необходимыми и достаточными.

для вполне транзитивности груши С =.П & I .

<ь 7

Основной целью §2 является упрощение критерия вполне транзитивности пр.'мого произведения / прямой суммы/ периодических груш. Здесь доказывается,в частности,что система вполне транзитивных груш удовлетворяет условию монотонности / теорема 3.2.2 /.Одшил из основных результатов дашгого параграфа является

Следствие 3.2.3. Следующие условия"для периодически групп С;Иг']) эквивалентны:

1<?П2.- Т.117 / [59 /,.'.'2.-С.266 - 273.

l) P-fi'i ~ шшше транзитивная группа; '¿) ^Ф Qi - вполло транзитивная группа;

3) I ^¿Ъчэ - вполне транзитшшая система. - Интерес представляет также следующее

Предложение 3.2.4. Периодическая группа G -А ® & ,где Д - сенарабельная группа,вполне транзитивна тогда и только тогда, когда (Ь - вполне тршшшшная группа.

Некоторые примеры вполне транзитнзных / необязательно периодических/груш дает

Следствие 3.2.5. Если кандая из редуцированных периодических групп бге ( удовлетворяет хотя бы одному из следующих условий:

1) ■ G С - сепарабельная группа;

2) - тотально проективная группа, ••

то /7 G с , Gr t ~ вполне транзитизные .группы.

¿«У

'l'aie как прямое слагаемое вполне транзитивной грушш-вполне Транзитивная группа к так как редуцированная алгебраически компактная группа является прямым слагаемым прямого произведения циклических р - групп 5),то из предыдущего следствия 3.2.5 получаем,что рроизвольная редуцированная алгебраически компактная группа вполне транзитивна / следствие 3.2.6 /.

В основном результате §1 главы 4 утверждается,что расщепляемая группа вполне транзитивна тогда и только тогда,когда ее периодическая часть и часть без кручения вполне транзитпвны / следствие 4,1.8/. Этот результат позволяет строить примеры вполне транзитивных расщеп. - ляемых групп.

Следствие 4.1.9. Пусть G ~А ® В ,Где & =• Т( С) .Если ' . грушш А и Ь удовлетворяют хотя бы одному из следующих услошпп"

I) А - сепарабельная группа такая,что для любых ноизоморфних прямых слагаемых ранга I С и iC группы А следует,что УГ(с) /1

2) А - алгебраически компактная группа;

3) й> - сепарабельная груша;

4). fi - тотально проективная группа;

5) & - прямая суша сепарабельной и тотально проективной групп, то Q - вполне транзитивная груша.

&&С4ШЯ в 28) описал класс групп,в котором к-кяая изотпггная / см. Л.Фукс 3) / (сервантная ) подгруша выделяется прямым слагаемым.Каждая редуцированная груша из этого класса имеет вид:

Cf я Т( (*)® F ,где каядая р - компонента ТС G) ограничена, a F - прямая сумма конечного числа изоморфных мезду собой групп без кручения ранга I.Тогда по следствию 4.1.9 груша Gf вполне транзитивна / следствие 4.1.II / .

В работе 29) Jla^atMHUtVf К- Щ. описач класс групп,в котором каздая сервантная погруппа является сбалансированной / подгруша В называется сбалансированной в 4 ,еслн каздий смеяный класс (X Ь Ь с оде резит элемент Ot такой, что А^} Cot) = ИщСО- fBJ и °(х) - О (а +б) .Далее им показывается, что каждая редуцированная группа из этого класса тлеет вид:

,гдо /■> - периодическая часть грушы & .В которой каадая р - компонента ограничена и Л однородная вполне разложимая группа без кручения копечного ранга.Тогда по следствию 4.1.9 такая груша Q вполне транзитивна.

Основным результатом, §2 является теорсиа 4.2.2 ,где дается оппся-inio вполне транзитивных прлшх произведений сепарабельных абелевих групп/ группа А называется сепарабельной 29) ,если .чух5оо конеч-поэ тхгество моментов грушы ' А ь'ххтао злоялть во вполне разло-епмоэ пртэо огагаэтлоо конечного рапга гругати А .Под вполне

29} jimupa&czXUtp. 1С. Til. Tftz Ыьм-^ cf iyrtvca.d-6z.

m/xeef efc&eji^.vcc^d.// Сртлш*. ¿¿¿j^/viz -YS&'f.- j/Sf-ff.-P. YS.S3 Vijf.

разложимой группой понимают прямую сумму групп ранга I,которые являются погруппаш группы @ шпг (/.

Теорема 4.2.2. Пусть { G,^}¿ с-Э - семейство сепарабельных •аоелевых групп.Группа £ - /7 С; вполне трацзитпвна тогда п только тогда.когда выполняются следующие условия:

1) если для простого числа р пасется прямое слагаемое без кручения С- из б? такое, что »С Ф С ,то

2) для любых поизоморрш-х. прямых слагаемых А и & ранга без кручения I из С* слезет .что ^(А) Л .

Из этого результата вытекает,что сепарабельная группа вполне транзитивна тогда и только тогда,когда выполняется условие 2) прододущей теоремы / следствие 4.2.3 /.

В §3 показывается,что смешанная группа б? .равная прямому произведению абелевых групп,расщепляется тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: I) если йг с' - смешанная группа £ 3 ) ,то СI расщепляется; 2) Т(П ) П ТС С,с ) / предложение 4,3.1 /.

Следующий результат показывает,что свойство вполне транзитивности смешанной группы", равной прямому произведению ,У - обобщенно узких групп,упрощает проверку расщепляемости такой группы.

Следствие 4.3.4. Вполне транзитивная .смешанная группа,равная прямому произведению Л - обобщенно узких груш , г еО ,

расщепляется тогда и только тогда,когда выполняются условия:

1) если - смешанная группа Г1 ( ^ ,то расщепляется;

2) если для простого числа р найдется прямое слагаемое А без'кручения группы /7 такое,что *> А ,то

Г ¿и ¿13 г »

3) Ь П%(Ъ) = /7© %(&).

/>*5Г.Ч7 " из ре* г <

' В §4 данной главы решаются две задачи: I) получить критерий сепарабельности прямого произведения произвольных ябадовых груши 2)определить как влияет свойство вполне транзитивности на сепарабельность прямого произведения аболевых- групп.

Необходимо-заметить,что порвая задача является обобщением задачи,сформулированной Л.Фуксом в I'J58 г. 30) как проблема: найти необходимые и достаточные условия сепарабельности векторных групп / другими словами прямого произведешь групп без кручения ранга I /.Решение отой задачи было получено А.П.Мишиной p 1962 г. в 31) .Критерий сепарабельности прямого произведения произвольных групп без кручения был получен Альбрехтом и Хиллом в 1989 г. в 32). Независимо от них в 1986 г. решение этой задачи получили С.КЛ'осо-шек и Л.Б.Хают / работа не опубликована /.

В данной диссертации доказывается,что прямоо произведение редуцированных групп GI , t & 3 , I О I >'Jf0 .является ссПа-рабелыюй группой тогда и только тогда,когда выполняются следую'г.м условия:

1) для любого t Gfi - сепарабельная группа;

2) существует конечное подмножество ¿f с J такое,что группы

,в совокупности ограничены;

3) .Пу ( Qi / Т(Ы - сепарабельная группа / теорема 4.4.2 /. Заменяя условие 3) предыдущей теоремы эквивалентными ему уело-.

биями из работы Альбрехта и 1;ша 32) , получил

Следствие 4.4.3. Прямое произведение произвольных групп ,

с с- J , / .является сепарабельной группой тогда и только

тогда,когда выполняются следующие условия:

3d) Juehl ^-cfi^Ji., fUcu^

the. HuKpzr*<x>c jicaLa&rfUf ^ Science} fSSl.

- io -

1) для любого ¿6 3 €¡1 - сапарабельная группа;

2) существует, конечное подмножество ^ с 0 такое.что группы Т ( • , в совокупности ограничены;

3) группа П Ал /где/| = 5\^ , Ал * 6А /Я*

любого л £ Л / удовлетворяет следущиы условиям:

а) не существует бесконечно!! строго убывающей цепочки типов

^С Aj.cn)) - множество тшов всех прямых слагаемых ранга I группы и псе А Си)

различны для разных л ;

б) не существует бесконечной последовательности типов

'Ъск; ^ «в которой типы попарно несравнимы мезду

собой,где ЛС*) разлпч!Ш для разных п- ; ц) для любого Л е Л и ТТЛд ) существует конечные подмножества Лс из А и "9Го из множества всех простых чисел,для которих выполнено:если ^ е А\АЯ , > ¿Г., / ^еЧ-САу.) /и

/ Здесь р I ^ . / соответствешю у»*"/ ^^ ' / означает,что в некоторой заранее фиксировавши характеристике типа на

месте.соответствующем простому числу р стоит не 0 / стоятл>//. Решая вторую задачу,получим следующий результат. . Следствие 4.4.4. Группа (а ~, /31 .является

вполне транзитивной сепарабелъной группой тогда и только тогда,.

• 31) Мишина Л.П. Сепарабельность полны:: прямых суш абзлевых групп без кручения ранга I // Матем.сб.-1962.-Т.57.- С.375 - 383.

I

32) dllxicki U., Р. ^¿¿»г

Солб&уЬ. . - fSiS.-К Z7.-P. fS~s~- reo.

когда выполняются следующие условия:

1) для любого £еЗ сепарабельная группа;

2) для любых однородных прямых слагаемых без кручения С ц /С из С таких,что. ^ К > ^/^следует, что У,(С)()§[К;

3) а = © Т(€<) , где

^ - конечные подмножества такие,что ^ с.7, ^ ^ о ,

01 _ /7 Т^СС;)- ограниченная периодическая группа;

Л; = цлядабого 7ПГ, ; , ощю-

/(Л. « ___

родные группы без кручения, причем если для некоторого / ^ •

ПА У

тлеет идемпотентный тип;

- однородно разложимая группа без кручения.

Если в предыдущем следствии на группы , 7 с- 3 , наложить

условие счетности.то о группах & ® ® А/ и Ас*1 , ¿¿^ . . ___"Л ''¿л

,из условия 3/ можно получить дополнительную шгТюрмагшп',

Эти груши,как доказал ¡Леджиббен 33), вполне разложимы,откуда следует, что группа- £ будет расцепляемой. . - „

В заключение автор благодарит своих учителей И.Х.Беккера за помощь к внимание к работе и С.Я.Гриншпона за ценные замечания и полезные обсуждения.

33) С. ^■ихх/ч //

РЫА Р. УМ'-?¿я .

Основкшз результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Гриншон С.Я. »Мисягага Б.М. Вполне транзитивные абелевы группн // . . ХУIII Всесоюзная алгебраическая койфе ренапя.Тезисы -сообп^штй,

.4.1,Кишинев,1985,с.143. •

2. Гринппон С.Я. ,|',1исяков В.П. О зполне транзитивных абелев»:: группа:: /7 Лбплеви группы п модули Л'омо".:Изд-ео Том.ун-та,К1?/".-.-- С. 12 -27.

3. Гршшшон С.Я. .Мисяков В.М. О некоторых ¡массах вполне транзитивных абелквых групп без кручения // Абелевы группы и модули.

• Томск:Изд-вооТом.ун-та,1990.-С.31-36. |

4. Гршшшон С.Я.,Мисяков В.М. Вполне транзитивность прямых произве- I

/ / ' дений абалевых групп // Абелевы группы и модули.Томск:Изд-во

Том.ун-та,1991.

6. Гршшшон С.Я. , Шелков В.М. Вполне транзитивные абелевы группы // Международная конференция по алгебре.Тезисы докладов по теории групп.-Новосибирск.-1989.-39 о.

6..Гршшпон С.Я.,Шелков В.М. О вполне транзитивности прямых произведений сепарабелышх абелевых групп // У1 симпозиум по теории колец,алгебр и модулей:Тезисы сообщений.-Львов.-1990.-38 с. .

V. Шсякоэ Е.!,1. О вполне транзитивности некоторых классов редуцированных абелевых групп // У! симпозиум по теории' колец,алгеб'р и модулей:Тезисы-сообщений.-Львов.-1990.-84 о.

В. Шюякоы В.М. 0 сепарабельности прямых произведении произвольных абелевых групп // 'Абелевы группы и модули.Томск:Изд-во Том. ун-та, 1991.^.83-85.

9. Мисяков В.М. О сепарабельности прямого произведения произвольных абелевых групп // Международная конференция по алгебре.Тезисы докладов.Барнаул.-1991.-80 с.

10. Мисякои В.М. Об одной характеризации некоторых классов абелевых групп без кручения // Международная конференция по алгебре.

I

Тезисы докладов.Барнаул.-1991.-81 с.