Обобщенное интегральное преобразование Вебера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Р Г Б

НАЦИОНАЛЬНА АКАДЕМШ НАУК УКРАЙШ i П ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

- 2 О KT 1305

На правах рукопису

ЗРАЖЕВСЬКА Катерина Валерпвна

УОАГАЛЬНБНЕ ШТЕГРАЛЬНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ

ВЕБЕРА

01.01.02 —днферепц1альш р!внянн«

Автореферат

днсертадИ па одобуття пауковоТо ступеня кандидата ф1овхо-математпчнпх наук

КйУа — 1996

Дисвртац1ею в рукогшс.

Роботу виконано на кафедр1 виш.01 математики N1 (Сихвського пол1текн1уного 1нституту,

НауковиЙ керАвних - доктор ф1зико-ыатеиатичних наук, професор В1рч«нхо И.О.

0ф1ц1йн1 опоненти!

доктор ф1эико-матеыатичних наук, профвсор Макаров В,Я,, кандидат ф1зико~математичних наук» ст. наук. сл1вроС1тник

Пяоткицысйй Т.А, Пров1дна уатанова - 1нститут прикладник проблем ме*ан1ки i математики HAH УкраХни,

Захист в1дбудеться * * 1995року

годин! на вас1данн1 спец1ал1аовано1 ради Д 01.66.02, при 1мститут1.математики HAH УкраЭСни за адресов! 252601, Ки1'в - 4, МСП, вул. Тервще«к1вська, 3,

3 дисертац1ею иожна ознайомитись у 610л1оТвц1 1нституту,

Автореферат роз!слано м " _ _ 1995 року.

Биений секретер слец1ал1з0Ван01' ради

Лучка А.Ю.

ЯАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОВОТИ

ДисертацХйна роОота присчячена подальшому роэвитку Tiiopil ]нтегр<альних леретворень, Метод 1нтегральних перетворень е одним 1з найрозповсюджен1ших та ефективних сучасни* аналХтичних магод1в posa'яэання задач ыатематичяо1 ф19ики. Додана ро&ота розвивае, доповшое i уэагальнюе метод 1нтегральних перетвореиь, зокрема, 1нтегральне первтворення Вебера,

Аятуалыисггь теки.

Для роэв'язання достатньо широкого клаеу крайових задач MareMaTH4Hoï ф!эики мятая кнтврральннх перетвореиь (окрсмо ибо « поеднанн1 з Хншш методами) еиявився одним 1з «фвктивних »нап1тиииин епосовХв. За допомого» методу 1нтегральиих перетеорень нин1 розе' яэана валика к1льк1еть в4*лнвих для практики эадач творП пружноет1| тепло- 1 маеопервносу, оптики, Teopiï коливань, влвктродиНам1ки, Р1прооинвы1ки тот.

Тако1: популярном! метод 1нтегральних перлтвореиь набув йаидяки суттевим перевагам, як! в1и мае пор1вняио s класичними чиселькими методами розв'яэаиня жрайових аадач Математйчно! ф!зики. Це пов'яэаио а тим, що!

- роав'яэки кають прост!ший вигляд та замкнену форму;

легко пррводи-гм аная!» поввд!нки роэв' яэк!в • та яикористовувати ïx на практиц1>

схема 1 »ехн!ка вастесування методу 1мтегральних пе^атворень проста;

- можна роаровити аларат в!япов1дного onepaulHnofo числення.

Апарат матвматично! ф1эики викорийтовуе низку 1нтегральних леретворень. ïx виб!р эумовлветьея ьоетановкоп крайово* задач!, rsoMetfpieei т!ла та типом крайойих ywoa. Над

цим багато працювали Ю.О.Бричков, Н.О.В1рченго, В.П.Волкодавов, А.С.Гал1цин, 0.М.Жуковський, А.У,Кл1мик, 0Л.Иар1чеа, А.П.Прудн1ков, А.Ф,Ул1тко, С.№в1т t В.О.Аддвгуа1а, Й.Р.вг^авсау та 1мш1. До р1эник класса задач эасгосовуютьсч 1итагральн1 перетворення я ядром в1дпоя1дног<1 типу, найприяатн1шого для конкретного випадку. Тому я появоо нових сфер яастосувания метод 1нтеграЛьних перетворень поширюетьея йа рахунок використання нових ядер.

Значноя м!рою кплс задач, як1 роэв'язупться ва допомогов Хнтегральних перетворень, вир!с внаел1док аастосування ск1нченйих 1кт®гральния перетворень. Основн! результат теорИ ск1кчеммих £мтегральмих перетворень належать Г.А.Гр1нбергу, 1.Снеддону, К.Дж.Трантеру, М.С.Коишякову, Н.А.Мартиненку, Л.М.Пустильн1»:ову, Й. У.СЬигсЫ11, О.С1пе1И, 8.N.0^8, О.Мау1ог та 1н.

Вибору теми писертац1йно1 роботи лослугував 1нт«рес до вивчення нових недостатньо досл1ажених ядер 1нтегральимх перетворень, 1х властивостей те васгосуеань.

Одним э ыаловивчвних 1нтегральних перетворень е перетворення Вебера (у ДеякШ л1гературА - Вебера-Орра).

П1сля анал1эу роб1т, я*1 мають в!дношення по 1нтегрального перетворення Вебера, стас эровуы1лиМ, шо теор1я цих перетворень потребуе глиСшого досл!вж«нкд. Дея*| випадки перетворень Вебера досл1джено неповн1стю, для деяких випадк!в немае строгого доведения справедтшост1 розгорнень, не досл1джено властивост1 1нтегрального перетворення Веберв, майже н1чого не написано про ск1нченн1 перетворення Вебера, не висв1тлено етапи розвитку та • аастосування теорИ 1нгвгральних перетворень Вебера.

Мвтов роботи с уэагальнення теор'П 1нтегральних перетворень Вебера, роэробха методики застосування до

задач ыатематично! ф!эики, встановлення та досл!дження

ск!нченних !нтегральних перетворень Вебера, вивчення властивостей узагальненого !нтегрального перетворення Вебера. '

Мвчод дооя1вяань, В робот! аикористовуються елементи теорИ функц!й та функц!онального анап!эу, теор1я 1нтегральних перетворень, апарат слец!альних функц!й, методи математично! ф1зики, таор!я узагальнених функц!й, теор!я дробового 1нтегро-диференц!ювання,

Наукова новизна. В роСот1 отриыан! так! результата:

встановлено низку нових узагальнень !нтвгрального перетворення Вебера-Орра (у тому числ! ск1иченного 'нтегрального перетворення); '

- Ытегральне перетворення Вебера досл1джено в клас! уэагальнених функц!й;

доведено в1дпов1дн1 теореми, як! стверджують справедли«1^ть розгорнень Вебера та формули обернення !нтвгрального перетворення Вевера;

- доел1джено властивост! цих !нтегральних перетворень;

- дано приклади эастосувамь отриманих результат1в.

Теоретична та практична ц1ни1С(гь. Отриман! в

дисертац!йн1Й робот! 1нтегральн! перетворення становлять певний вклад в теор!в розвитку !нтегральних перетворень э! складн!шими ядрами, можуть широко эастосовуватиеь, у задачах теплопров 1,0ноет 1 та кручения цил!ндричних об'ект1в, а також для розв'язання задач з осьоаос симетр1ею цил1ндричних т!л у теорИ пружност!, г!дромехан!ц1, електроетатиц! та

Апробаидя резуль-гав^. Результат«, отриман! в, робот!, допов!далис& на:

М!жнародо!й науков!й конференцИ "Дифференциальные и интегральный уравнения. Математическая физика и специальные функции" (м. Самара, 1992 р.);

- М!жнарод;-'1й конференц!!, присвячен!й пам'ят! амдем!ка

М.П.Кравчука <м. Ки1в,1992 р.);

- Друг1й та Трет1й М1жнародних наукових конференциях 1мен1 академика М.Кравчука (м. Ки1в, 1993 р., 1994 р.))

- сем1.нар1. *Крайов1 задач1" (КП1, 1991 р., 1993 р.)I

- эас1данн1 кафедри вищо! математики N 1 КП1 ( 1994 р.);

- М1жвуэ1вському об'еднаному науковому сеы!нар1 "Диференц1альн1 р!вняння та I* застосування" (м. Ки1в,

1 994 р.).

Пубя1к&ц1£. За темою дисертацП опубл!ковано 8 роб!.т. Структура робота. Дисертац1я складаеться а вступу, трьох роэд1л!е та перел1ку цитовано! л!тератури. Повний об'ем рсботи сжладае 103 стор1нок рукопису. В1Сл1о!граф1чний список ьнститр 80 назв.

ЗМ1СТ РОБОТИ

У вступ1 до дисертацИ обгрунтовуеться актуальн!сть теми, подано огляд роб1т э теми дисертац!! та эроблвно опис отриманих результатов.

Перший роэд1л присвячено викладенню та доведению ■ос нов них властивостей узагальненого 1нтегрального деретворання Вебера. Узагальнення эроблено эа доНомогою пикористання у ядр! 1нтегрального перетворення (6) функц!й Бесселя, р1энота порядку (формула (8)).

§1 м!стить . да! теореми, як1 Дойодять справедлив!еть узагальнених роэгорнень Вебера типу 1нте1,рала Фур'е, вказано умови,, за яких ц1 розгорнення 1снують 1 мають ту чи 1.ншу структуру.

Теорема 1.1. Якщо х>а>0,0<о<р<3и+^ або 0

ДО ~ функц!я обмежено! вар!ац11 в окол! точки

<оо, 1 виконуеться хоча б одна э умов:

а) См>и(а,а) =» 0, 0) С„+1,0(а,а) = 0 ,

в> *с^и(ах<ах)сни(а'>а')~ /С^1,иКа/)См,о(ах'ах)-О,

год!

Якщо жодна э умов а)-в) не виконусться, тод! '

* J

- | "Т^тИ*^нЛ«*.^(Ч0') ~ '^м.иК а/)Сди(<»*. дх)] • ф X I

'/¿И+^И'

1 II

Теорема 1,2, Якщо *>а>0, -*-<и<и<2и + -г Аво

,2 2 2

~ функц1я, сумоеиа в 1нтервая1 (а»«), /"(/) - функц1я

е6ме*йнс>У. иар1ац!Х » окйл1 т. тод1

Дойе&айо допбм1*ну лему.

Лём* .1,1, Якая А » л > 0, тед!

*

} и С^их, ах) в») ¡¡и => • '

В §2 подано основн1 властивост1, яких узагальнене 1нтегралъне перетворення Вебера мабувае эавдяки використанню властивостей функц1й Бесселя та оператор1я дробного 1мтегро~ диференц1ювання/ наведено формулу Парсеваля!

яйцо Р(и) та С(и) - трансформанти, в1дпов1дно, функц1й ¡{х) та g(x)i

Ни) " I С»„(их,аи)х/"(х)4ж , С(и) «• |Cp U(ux,au)xg{x)dx ,

тол! матимемо

доведено чотири теореми, э яких видно, ш о формула обернення для 1нтегралЬного перетворення Вебера матине р1эний вигляд для р1вних випадк1в порядк1в функц1й ВъссмН (I 1 и,-

Теорема 1.3. Якщо 0<*< — + -, к е N,

2 4

тоя! для 1нтегрального перетворення

•с

= / лм) * /(*) ¿дг

л

формула обернення матиме вигляд

/М

Их < •*>,

II)

О !и{аи) + У °><)

Теорема 1.4. Якщо 0<А<--и, |

х' Г(х)

йх < <а,

тод! для Антегрального перетворення <1) формула обернення матиме вигляд

л

4

ft Л . J S»-^ux'au)u F(u)du - . h (*-«)' 1 I J ;;(«)+rj(4«) M

3

Теорема 1.5» Якщо 0 < Дг < — + —, к е N, f

2 4

тоя! для 1нт<$грального первтворення «

формула оОернення матиме вигляд

X 3 f{x)

dx <«>,

(2)

П \ Г Cu>*,u(UX'aU)U р/

А*) " ) ,1/ \ „1/ /w^ ■ ; /Л"«)+ >vM

Теорема 1.6. Якщо

Ot<*<! + y, k eN, I

/(*) dx <<о.

raai формулой обернекня 1нтетрального перетворення (2) Пуле /(Г) ° ? ^^'^"-FMdu _

' I ЯМ + У» пи,аи-

В §3 викладено осковн! положения Teopii ск1нченних !нтегральних перетворень, побудовано ск!нченне !нтегральне

перетворення Вебера *

F(".) = j */(*)[/„("«*) YAu»a) г YAu»x)h{u*a)\dx й

та його формула обернення

r( \ ** V и1Ми*Ь)рМ Г Г ( \W \ V ( Ч, / \1 1 H-lJAU*a)~JAUnb)

В §4 на основ! попередн!х викладок побудовано узагаль-

йене ск1нчеине хнгегральне перетворення Вебера

«

де //*>и±к, кеЫ, и - дАйсне,

та наведено форм/ли обернення для р1эни* виладх1в крайових умов , • •

В $5 подано те одне уаагальивння 1нтвгрального ларетворення Вебера. Ядро 1»<ге трального перетворения будусться за власкими функц1яки р!зияния типу Бесселя

1 мае вигляд

/„(**), 0<*<«,

ФД*,««,»)*

- (1- *)/„(«$/;(«)£(*»)), ДГ> »1

методом контурного 1нтегрування доведена спраьедлме1ет4> роэгормеиня типу 1нтягралу Фур'с »игляду

<Мт

, .ад

де р^х) - вагова функц1я, яка виэначаеться за формулою

0< *«л, х>в.

У другому рйэд1я1 роэглядаетьсй 1н^вгрАльяе неремо^ рения Вебера й клас! узагальнених функц1й.

В §1 побудовано два простори осмовних функц!й та функц1я лалвжатиме простору Я^, й т1льки *идь

гдати вона е комплекенозначной, гладкою, виэиачемою на 0<*<®.. функц!е(о, 1 йяя будь-яко! пари нее1д'емних чисел Ж

та I вираэ

гЯМ= 5UP

0<Х<ос

комплексноэначна яеск1нченно-диференц1йовнв функц!я <р (х) належатиме простору V^,, я кто

•(x-'D)'

¡'„{ах) + Y>(ax)

РИМ = !UP

X

Mil

(m, I - нев1д'gmhL nini)

1снуе, 1 виконуеться уыова: <p(x) =0 при x£a.

Наведено деяк! властивост1 npocropis Н^ та VM.

Доведено дв1 теореми, як1 ствердясують, що уэагальнене

1нтегральна перетворення Вебера е 1зоморф1змом "• ' ;

простору Й | ua V,'. "Ч

Теорема 2.1. Перетворення Вебера

W\f] = F{u) • ]хСм Jux.au) fix) dx

для fi i—и i. —j е неперервним л1н1йним в1дображенням простору Я , а V„ ■ при умов!, що Дв)»0.

"-J

Теорема 2.2. Обернене перетворення Вебера

«/и/г/ u ft » |иF(u)См„(хи,аи)

для м ¿Л, uii-y Р<3и

с неперервним л!н1йним в!добрахенням простору V„ в Н |.

"'i

Перетворення f^Sepa W' уэагальнених функцШ виэначаеться як перетворення, спряженё з W ргвнянням

(Н7>)-(ли>), /«V;, »«Я

а-,

У §2 наведено вестосування скаченного Хнтегрельного перетворення Вебера в кпас! узагадьнеких функцШ,

Функц1я Д*) належатиые простору 1/^(1) (/»?(<), со)),

спряженому а 13^(1). Елементями простору им[1) (для будь-якого

р е Я) в функцИ 1 неск1нченно-диференц1йовн! ! так1, що

>

для них виконуеться

гИ(<р)" «ир IЛ*"1 *)]{<« .....

д<х<6

де через поэначено ди4>еренц!альний оператор

Узагальнена функхЦя виэначаеться формулою

{/. ?>}<»|/(/М/>Л. г

В тратьому розд!л1 наведено деяк! приклади эастосування 1нтегрального перетворення Вебера до задач математично£ ф!зики.

Б §1 подано роэв'яэок потр!.йних 1нтегральних р!внянь, в ядрах яких ы!ститься уэагальнений Лнтегралышй оператор Вебера. Потр1йн1 1нтегральн1 р!внйння эводяться до розв'язування 1нтегрального р!вняння Фредгольма 1-го роду.

У §2 пари1 1нтегральн! р!вняння 9 оператором Вебера в ядр! эводяться до роав'яэуваннй 1нтегрального р!вНяНня Фредгольма 2-го роду.

У §3 робглядаеться задача теплопров1дност.1, для роэв'яэання яко! використовують * ск1нченне 1нтегральне перетворення вебера, 1нтегральн1 перетворення Фур'е та Лапласа.

§4 м!стить приклад эастосування оконченного а-нтеграль-ного перетворення Вебера.

Оснояя! рваультати робот: ¡,

- доведено справедлив!сть 1енування двох розгорнень типу 1нтеграла Фур'е для уэагальнвного 1мтвгрального перетворення Вебера;

- роэглянуто властивост! уэагальненого 1нтегрального перетворення Вебера, подано формулу Парсеваля. Досп1джено, яким чином зм1н«эсться вигляд формули обернення в эалежност1 И1л функц1й Бесселя р1эного порядку в ядр1;

Побудовано ск1нченн1 1нтегральн1 перетворення Вебера» аг.аэако, який вигляд, в залежност1 в1д крайових умов эадач1, матимо формула обернення сличенного 1нтегралыюго перетворення Вебера;

отримано ново ядро 1нтегрального перетворення, побудоване эа власними функц1ями р1вняння типу Весселя, та доведено, ив 1снуе 1нтегральне. роэгорненнл типу Фур'с для . нового 1нт«грального перетворення)

- досл1джеио 1нтзгряльне перетворення Вебера та його формулу обернення з функциями Весселя р1зних порядков у ядр! в клас1 уэагалькеких функи!Й; доведено, то 1нТегральне перетворення Вебера е 1зоморф1амом з одного простору ссновних функц1й в 1нший; роэглянуто ск!нченне 1нтегральне перетворення Вебера в клас! уаагальнених функц!й;

наведено приклади застосування сличенного 1нтег-рального перетворення Вебера до задач катематично! ф!эики;

- роэглянуто розв'язок парних та потр!йних 1нтегральних р!вняннь э оператором Вебера в ядрах.

Основн! положения дисертац1йно! ровоти опу0л1кован! в таких працях1

1.3ражевская Е.В. Об одном интегральном преобразовании // Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции, Сдмара, 24-31 мая 1992 г. t Тез. докл. Междунар, науч. конф,- Самара, 1992. - С.105 2.2razhevska С. On one generalization of Weber's transform

and its application to partial differential aquations N

t

Abstracts of Invited lectures and Short Communications Delivered at the Third International Colloquium oft Differential Equations, Plovdiv, Bulgaria, 18-22 August,

1992.- P. 188

3,В1рченко H.O., Эражевська К.В. Потр1йн1 1нтегральн1 р!вняння а операторами Вебора-Орра // 1нтвгральн1 перетворення та XX застосування до Крайовим задач: 30. 'наук, пр., Вип.- Э. - Ки1в! 1н-т математики АН УкраХни,

1993. - С. 81-92

4.Зражевська К.В. Про одмв уаагальнення 1нтегрального оператора Вебера // Тези М1жнародно! конфереиц!I, присвячено! паи'ят! академ!ка М.П.Кравчука, Ки1в-Луцьк, 22-28 верес. 1992 р.- Ки1в-Луцьк, 1992 - С.76

5,Virchenko N.O., Zraahevaka K.V. On some properties of generalized Waber integral transform and theif application« // Допов. АН УкраКни." 1994 .'- №5.** С. 2Й-26

6.Zrazheveka ft, On eome finita Weber integral transforms // Теэи допов1дей IpeTbOi МХжнародно! науково)! конфаренцИ 1м. академ1кй М.Кравчука.- Ки1в, 1994.- С.53

Т.Зражевська К. К, Деяк1 питания Teopii 1нтегральнбга перетворення выбери // Хн^егральн! перетворення та застосування де крайопих задач. 56. наук, йр., Виц. 8. Ки1в: 1н-т математики НАН УкраЮш, 19§5. ^ С. Тё-83 9.Е1рченко И.О., Зражевська К.б, Про уаагальнене iuiefpanb" перетворення Вебфй /7 Допой. НАН Украсть - 1995. - »5. С. 29-31

Зражваская Е.В. Обобщенное интегральное преобразование Вебера, Рукопись. Диссертация |ia соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 -> дифференциальные уравнения. Институт математики НАН Украины. Киев, 1ЭЭ5.

Защищается диссертация, в которой рассматриваются обобщения интегрального преобразования Вебера. Установлен и исследован ряд свойств этого обобщенного интегрального преобразования, доказаны формулы обращения. В частности, Построено конечное интегральное преобразование Вебера. Рассмотрено интегральное преобразование Вебе;ра в классе обобщенных функций. Показаны примеры применения полученных результатов для решения парных и I тройных интегральных уравнений, решения задач теплопроводности и др.

2ra2havska С. Generalized Weber Integral Transform. Manuscript, Thesis for a degree of Candidate of Science in differential equationa. institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine. Kiev, 1995.

Thesis carrying the results of generalization of Weber integral transform ia defended. Some properties of this generalized integral transform are established and investigated, the formulae for inversion are proved. Especially the finite Weber integral transform is built; Weber integral transform in class of generalised functions ie discussed as well, on some instances the results obtained are ahowri to be used, for solving of dual ahd triple integral equations, solving Of heat transfer problems etc.

Кяйчвв! словам 1нтегральне перетйорення, формула оберЯенНй, узагальнена фуйкц1а, napHi 1нтеграЛьн1 р!вНяння, оператори дробового 1нтегро-ДиференЦ1ювання. .