Обобщенные операторы Коши-Римана и разрешимость в пространствах квадратично суммируемых функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГиСУДАРОТВЫШЙ УНИВЕРСИТЕТ имаии М. В. ЛОМОНОСОВА

1ЖАшдао-тттичЕсш! факультет

11а нравах рукописи УД1С 517.956.2

МЦДОЩОВ Зилудин Гаджиеиич

4 ОБОЩШНЫЕ ОПЕРАТОРЫ К01Ш-Р1ШНА И РАЗРЫИИШСТЪ В ПРОСТРАНСТВАХ. КВАДРАТИЧНО СУкШЕУШй ФУНКЦИИ

OI.OI.bI - Математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1993

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор В.П.Паламодов. Официальные оппонентыдоктор физико-математических наук,

профессор В.А.Кондратьев; кандидат физико-математических наук, ст.преподаватель А.С.Денисюк. Ведущая лрганизация - . Красноярский институт физики СОРАН

им. Л.В.Киренского. Защита"состоится " " ¿¿¿^¿¿е/ 1993г. в /6 ^ час, на заседании специализированного Совета по математике Д.053.05.04 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГС11, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией мэкно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этак). Автореферат разослан " ОУ 1993г.

'Ученый секретарь Специализированного совета по математике

Д.С53.05.04 при МГУ доктор физико-математических наук,доцент

Т.П.Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Как известно, широкий класс линейных эллиптических систем первого порядка на плоскости приводится к уравнениям

"Эа —

-2Ï - au - êu- о, (t)

If - êu-f, (2)

в которых и. - неизвестная, а (X , ê и / - известные ком-

I

плекснозначные функции комплексного переменного. Уравнениям ( 1 ) - ( 2 ) посвящена большая литература. В числе первых в • этом направлении отметим работы Т. Карлемана [J 3 и Н. Теодореску [21 и монографии [33 - [5]. Решения уравнения (1) 1'азнвают вслед за Й.Н.Векуа обобщвнными аналитическими функциями.

Аналогами уравнений (1 ) -(2 ) в пространстве СЛ, n>i, являются системы . ■

1 . СйтРетап Т: Smt lis Sysiemeî k*lQîtis aux ¿n)*ees paxtieê&i du ptewiet огА(л. a deux vûiîaêêés // C. x. Stod. tel. Pans. (933. V. <9?. P.

2 . T&eodowco /К ¿a detivee arecé&ise. /( Jh*. Rouwtût«j M.

Ruca\es£. -Î936. V. i .

3 . Берс Л., Джон ф., Шехтер M. Уравнения с частными произ-

водными. М.: Мир, 1966.

4 . fieKya И.И. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука,

198Ь.

5 . Tu-tsciLke W. Paitidte. комркхс

JX V. W., /m.

щ-а.и-о, j

(з)

•lü -Эг;

-/»¡u-i,

'j » . •••,»!.

(4 )

Системы вида (3)- (l) изучалась в работах [6] - [9] . Решения системы (3) называются обобщенными аналитическими (функциями ( о.а.ф.) переменных

А.Кухара f 6] указал условия,которые обеспечивают факторизацию о.а.ф. в заданной области, подобную той, которая получена в работах [2],f4?,[l0l. Эти условия имеют отчасти неявный характер. Можно, однако, записать ряд следствий условий Кухара, которые представляют из себя нелинейные дифференциальные уравнения для коэффициентов. Эти следствия мы называем условиями интегрируемости; они необходимы для того, чтобы-в каждой точке пространство локальных решений было оееконечномерным.

13 t 7 1 в предположении аналитичности коэффициентов выписаны условия интегрируемости для системы С 3 ) , а также

161.JУСоЦаъг Sirttißvxit^ f^tlfk oi ikt ^tuCuxlited Gxuei^-Hiemann

ЦилИсп! ft* Se/vwitOmpPex YWaMes // Э-ßaik. Soc.^afan. f9fi.V.2i

[7j . Михайлов JI.Г., Абросимов A.B. О некоторых переопределенных системах уравнений с частными производными // ДАН Тадж.ССР. 1971. Т.Х1У. №6, С.9-13. [8] . Михайлов Л.Г., Абросимов A.b. Ооощенная система Кэши-РиманЕ со многими независимыми переменными // ДАН (XXJP.1973.T. 21U, № 1. С.26-29,

9 . Магомедов Г.А., Паламодов В.И. Обобщенные аналитические функции многих переменных // №атем.сб. 197ü. T.10Ö 148 . №4 8 .С.559-577. ю . ߣts L. Рлг<|в£ d:$¥ez*n{¿а? Ццаt!c*s and ^twuxtiej

fluefctu // ?rcc. fat. it. U. USA. <1353. V.jjr.

доказана локальная эквивалентность этой системы одному уравнению вида (I). Получена общая формула для локальных решений указанной системы, 13 [ 81 предполагается лишь гладкость коэффициентов и для случая н.« £ выписываются условия интегрируемости, а также дифференциальные соотношения меЛоду правыми частями системы (4), необходимые для еа разрешимости.

В предположении гладкости коэффициентов условия интегрируемости для случая произвольного и. найдены в [91 . В этой работе найдены также дифференциальные и ингегро-дифференциальные условия нй правые части системы (4), необходимые л достаточные для разрешимости этой системы. Как доказано в [91 , при выполнении этих условии глобальная разрешимость системы (4) эквивалентна глобальной разрешимости некоторой связности типа (0,1) в соответствующем линелпом расслоении на римановой поверхности. Эта рима-нова поверхность есть пространство связных слоев голоморфного слоения коразмерности I, которое канонически связано с системой (3).

Цель работы. Исследовать разрешимость системы (4) в

, - пространстве локально квадратично интегрируе-

мых функций в области О о (С1, > 1 , а также системы уравнений, образугадах резольвенту соответствующего дифференциального модуля.

Методы исследования. В работе испомзуются методы теории функций многих комплексных переменных, теории линейных дифференциальных операторов и гомологической алгебры.

Научная новизна.. В диссертации получены следующие новые результаты:

I) Доказана разрешимость системы (4) в пространстве локально квадратично суммируемых функций в области Сл, п^-1.

'¿) Доказана разрешимость системы (4) в пространстве Хёрыан-дера со строго логарифмически выпуклой функцией в качестве весовой функции

3)Доказано существование резольвенты модуля Я , соответствующего системам (3)-(4), найдены топологические условия на область .О , при которых

Научная и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в задачах теории функций шогих комплексных переменных, теорий обобщенных аналитических Функций шогих переменных.

Адробвиия работы. Результаты диссертации докладывались в иа семинаре по комплексному анализу (руководитель профессор Б.Ц.Налаиодоа), на Всероссийской конференции по нелинейному анализу в 1992г., г.Махачкала.

Публикации. Основные результаты диссертации онубликованы в работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав,разбитых на 8 параграфов. Список литературы содержит 31 наименование.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТУ

Во«ведении дан краткий обзор работ по теме диссертации, приведена ее структура и основные результаты.

Глава I нооит вспомогательный характер. Здесь описаны объект)

глобальной геометрии голоморфного слоения, соответствующего системе (3). Эти объекты суть:

( 1 ) комплексно-аналитическое слоение коразмерности 1; оно возникает как следствие указанных выше условий интегрируемости.

( г г ) Риманова поверхность ^ . 21. есть пространство связных слоев слоения Ь/ .

(¿¿г) Линейное расслоение /-• на "21 ; слой над точкой г е XI есть пространство решений в слое системы уравнений,' являющейся следствием (3).

Б главе II исследуется разрешимость системы (4) в Для случаев, когда 21 является многообразием Штейна или компактной ришновой поверхностью, мы получаем следующие результаты. В первой теореме доказана разрешимость в (XX, £зе.~) при условии, что суть функции того же пространства и удовлетворяют условиям совместности. Во второй (когда компактна) решается аналогичная задача в пространстве Хёрмандера /_г(Х2, <р) . Важную роль в этих теоремах.играет предположение о том, что функции

о{, ап не обращаются одновременно в нуль ни в одной точке области определения. Это условие исключает превращение системы (4) в обычную неоднородную систему Коши-Римана. Основным методом доказательства теорем является оценка в , подобная той, которая применена в СII] и [12] для доказательства разрешимости неоднородной системы Коши-Римана.

11 Хёрмандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. И.: Мир, 1968.

12 Хёрмандер Л. Оценки в и теорема существования для оператора ^ // Математика. 1966. т.10. й 2. С.59-116

Б третьей глава строится резольвента дифференциального модуля -Я , соответствующего системам (3)-(4) и изучается функтор

- ЕхГ(м, 1г(П,Ьс.)) .

Перейдем теперь к более подробным формулировкам результатов. Для этого нам необходимо напомнить некоторые сведения из [9] . Пусть коэффициенты 0.л задаш и бесконечно дифференциру

мы в области П. <С.П, и?1 . Тогда для того чтобы пространство решений системы (3) в каждой точке -О. било бесконечномерным, необходимы следующие условия на функции О^ - условия

интегрируемости системы (3):

Ъа-алё, (5)

Ъа - ал е, (6)

Эе = Л л е , ■ (7)

сА(аЛа)=й, (8)

где оО+Э, , ^Х ■

Здесь $ - некоторая гладкая форма бистепени (1,0), С- и 2. -гладкие форш типа (0,1).

При выполнении условий (5)-(8), а также условия

(Н) В каждой точке ге

(?) ^ 0 при некотором £

для разрешимости системы (4) необходимы еще следующие условия . совместности:

- о , (Э)

-олЪ?~Ъал?-5лйА ¥ + с лгъ7=о, (ю)

где $ -- X ^ Л ^ ■

Как отмечено в [91 , при выполнении условий интегрируемости и условия ( Н ) в XI определено комплексно-аналитическое слоо-ние коразмерности I, касательное расслоение к которому совпадает с пересечением ядер дифференциальных форм О- и (X . Пусть

обозначает множество всех максимальных связных слоев этого ' слоения, а отображение —»21 переводит всякую точку в

содержащий ее слой. Пусть, далее, выполнено условие

( N ) Для любой точки 20 6 _0_ существует голоморфное отображение ^ : из —» некоторой области со с: £ такое,

что композиция моноиорфна и для неко-

торой точки £ <-о .

Это условие позволяет ввести на "31 структуру риыановой поверхности, вообще говоря, не хаусдорфовой. Для обеспечения ее отделимости и паракомпактности наложим условие

( Р ) топологическое пространство 21 регулярно. Дадим теперь следующее Определение. '¿ункция ^ <г

с (О.) называется сильно выпуклой на слоях слоения \Д/ , если для любых ) £ И *Т*0Гп) и Л* ~Г* > удовлетворяющих условиям

5х Г"*0* Гь- >

{,1 = 1,1, ..., п , и векторных поле;! ]{{. £ Т, удовлетворяющих условиям

й{ Г]к 4 а. 7ц + а* Гц

имеет место оценка

+ +<Ц-V (гг;/ 1К{)

где

В следующих двух теоремах предполагается, что а. £ С1(ХХ) > где-О. - область в , в кавдой точке выполне-

ны условия интегрируемости (5).-(8), условия совместности (9)-(10) и условия (Н),(/Ч) и (Р), а также на слоях V/ существует сильно выпуклая функция ' у .

Теорема 2.1.1. Пусть каждая компонента римановой поверхности XI некомпактна и , , Гг\ л \

■Ъ^ £ М-^&О-

для всех

Тогда систем (4) имеег решение и 6 , !ос) в смысле теории распределений..

Теорема 2.1.2. - Пусть ршанова поверхность 2И компактна И ' * £ хМ) всех * -1.....

Л/ /* °°

где л - произвольная выпуклая возрастающая функция класса I— , удовлетворяющая некоторой оценке (см. замечание I). Тогда при выполнении еще некоторого конечного числа линейных условий, на. правые части (см. ниже замечание 2) система (0.4) имеет решение и € И(П; ^(у)) в сшсле теории распределений.

Замечание I. Имеется явная формула для оценю; ^ . Ввиду

громоздкости мы опускаем эту формулу.

Замечание 2. Линейные условия на правые части, о которых идет речь в теореме 2.1.2 - это обращение в нуль интегралов от дифференциальной формы, зависящей от | , по базисным циклам ^ >•••> Ягд . где g - род поверхности 2L . Сформулируем теперь результат третьей главы. Пусть - пучок алгебр (R - линейных дифференциальных: операторов в кольце Ш) бесконечно дифференцируемых функций в il - столбец длины И- с компонентами из , соответствующий системам (3)-(4). Столбцу Р0 соответствует отображение - модулей

V. "Роп :3>пэа~-~а\пбЗ>\

где - оператор, формально сопряженный с Р , элементами

с луна г строки длины S с компонентами из •йдэ , индекс П означает, что элементы матрицы tP0 действуют на компоненты Cl справа. Положим JH = Сок ст. 'р«п и построим точную последовательность

Пусть Е- - некоторый левый - модуль. Заменим все степени в (II) соответствующими степенями £ , а матрицы ^Р; -транспонированными р- :

(К)

Элементы матрицы Pj действуют в EL по обычному правилу. Эта последовательность полуточна, так как из точности (II) р-р. -»о.

Положим и рассмотрим комплекс (12), в кото-

ром Pj - неограниченные операторы. Точность последовательности

с*

112), скажем в члене t означает, что для любого

[ L (-Q , , удовлетворяющего условию р^ ,

уравнение Р, имеет решение (3, С- [ 0о<.У]и •

Явно уравнени имеет следующий вид:

Cl3)

Система уравнений имеет слишком сложный вид.

В главе Ш выписывается часть этой системы. Громоздкость этих уравнений подгверадает эффективность'гомологического языка в наших задачах.

EVI

следует из

теорем 2.1.1 и 2.1.2. Для доказательства точности в следующем члене напомним Г 9 ] , что на каждом слое слоения 'W определена

где

система дифференциальных уравнений первого порядка, которая является следствием (3):

РцЫ = " + «10, = =!>...> и ,

_ (II)

'О,

Мы накладываем условие

( С ) На каждом слое слоения V/ имеется нетривиальное решение системы (14).

Теорема 3.2.2. Пусть п - область в (Ь , и > I . Предположим, что в каадой точке выполнены условия интегрируемости (5)-(8), условия (Н), (Я), ( Р ) и (С-). Если числа Бетти

^ - НЧи/а-.^), се Х-> равны нули,

то для разрешимости системы(13) в ¿^(ХХ, достаточно и,

разумеется, необходимо выполнение условия • Это

эквивалентно равенству

Справедливо более общее утверздение.

Теорема 3Т2.3. Пусть

п - область в и.г 1 . Предположим, что в каждой точке -О. выполнены условия интегрируемости (5)-(8), условия (И), (Я), (Р) и (С). Если числа Бетти &1,<г - , гс- X , Рашш нули« ЦРИ

{^ К- , к , то

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Виктору Павловичу Паламодову за постановку задач, постоянное внимание и поддержку в работе.

Основные работы автора опубликованы в следующих работах:

1. Меджидов З.Г. Теореш существования для обобщенных систем Коши-Риыана, рук.деп. в ВИНИТИ, 1993, л/6'33 -&9*>, б", £>з <

2. Меджидов З.Г. - когомологии обобщенной системы Коши-Риыана, рук.деп. в ВИНИТИ, 1993#$3, /¿е., ¿Г. 0