Вопросы разрешимости систем типа Коши-Римана с сингулярными коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Основные функциональные пространства теории обобщённых аналитических функций.

1.2 Некоторые свойства интеграла типа Конш. Формулы Грина и Помпейю.

1.3 Некоторые факты теории обобщённых аналитических функций

1.4 Некоторые факты теории обобщённых систем Коши-Римана с сингулярной точкой.

1.5 Основные уравнения теории изгибаний поверхностей положительной кривизны.

2 Аналог теоремы Лиувилля

2.1 Основная теорема и её следствия.

2.2 Схема построения уравнений вида (2.1), для которых нарушается теорема Лиувилля

2.3 Влияние условий "малости"на разрешимость основного интегрального уравнения теории обобщённых систем Коши-Римана с сингулярной точкой.

3 Основной интегральный оператор

3.1 Пространство С™/.

3.2 Определение основного интегрального оператора.

3.3 Поведение функции в окрестности точки г ф 0.

3.4 Гладкость функции /г(^) на границе круговой области

ОГЛАВЛЕНИЕ

3.5 Гладкость функции К в замкнутой области.

3.6 Поведение производных функции К в окрестности точки t = 0.

3.7 Свойства оператора .ИЗ

4 Применение в теории изгибаний

4.1 Выделение особенностей в коэффициентах основного уравнения

4.2 Преобразование основного уравнения.

4.3 Изгибаемость поверхности (4.1).

Обобщенной системой Киши-Римсша называется линейная эллиптическая система уравнений первого порядка вида

С ди U V , „

----т- Л-au + bv = /, дх ду ди dv 7 1 } + — + си + dv = д, К, оу ох где и, v — искомые, а, 6, с, d, /, д — заданные вещественные, функции, определённые в некоторой области G вещественных переменных х, у. Полагая z = x + iy, i2 — — 1, и вводя в рассмотрение комплексные функции w(z) = и(х, у) 4- iv(x, у), A(z) — j(a 4- d + ic - ib),

B(z) = \{a - d + ic + ib), F(z) = i(/ ■+ fc), а также дифференциальный оператор dz 2 Va® dy) ' систему (1) можно переписать в форме о + Aw + Bw = FJ z£G. (2)

Теория решений уравнения (2) построена И.Н. Векуа в предположении, что коэффициенты A(z), B(z) и свободный член F(z) принадлежат классу LP(G), р > 2, в случае ограниченной области G или классу Lp^(E), р > 2, если область G совпадает со всей комплексной плоскостью Е [3]. В этом случае уравнение (2) называют регулярной обобщённой системой Коши-Римана.

Коэффициенты таких систем могут допускать в изолированных точках полярные особенности порядка меньше единицы. Для изучения уравнений вида (2) с коэффициентами, имеющими особенности порядка не ниже единицы Векуа ввёл класс квази-еуммируемых коэффициентов В [г), для которых существуют аналитические функции (рл{г) и <рв{%) комплексного переменного г £ С такие, что функции ср^ • А и крв ' В принадлежат классу ЬР(С), р > 2, и получил формулу и,(х) = Ф(х)-ё**)1 (3) где Ф — некоторая аналитическая в О функция, N 1 Г г л(руА{0 ., . 1 г Г В«)М<) «"(С).,, w(z) = ^W J J + J J T^T- • W)^'

G G устанавливающую связь между множеством решений w уравнения (2) с квази-суммируемыми коэффициентами и аналитическими функциями Ф комплексного переменного г. Им же отмечено, что для построения полной теории решений уравнения (2) с квази-суммируемыми коэффициентами в случае, когда B(z) ф О, информации, поставляемой формулой (3), оказывается недостаточно.

В связи с этим другие исследователи сосредоточились на изучении уравнений вида (2) с коэффициентами, имеющими в окрестности сингулярной точки определённую структуру. Уравнения вида dw a(z) biz) oz \z\ \z\ рассматривались Л.Г. Михайловым [23{ в классе функций, допускающих слабую полярную особенность в точке z = 0, при условии, что a(z) и b(z) — ограниченные, измеримые в G функции. Им получено интегральное уравнение, которое при определённых условиях " малости!! на \a(z)\ и \b(z)| устанавливает взаимнооднозначное соответствие между множеством решений уравнения (4) и множеством аналитических в G функций из рассматриваемого класса.

Единый подход к построению теории уравнения dw е1'п+1)(р b(z) dz 2 r1+v w{z) = F(z), z £ G, (5)

2 = х + ъу = гег1р, V > 0, п — целое, 6(2:) и /^(г) — заданные функции, причём 6(0) 0, 6 (л) непрерывна в О и удовлетворяет в точке 2 = 0 условию Гёльдера, предложен З.Д. Усмановым в монографии [29]. Его суть заключается в построении новых интегральных операторов, учитывающих специфику особенности, и описании с их помощью свойств решений уравнения (5) на основе теории решений конкретного модельного уравнения с сингулярным коэффициентом, которая развивается предварительно по подобию теории аналитических функций комплексного переменного.

Наиболее важным среди таких уравнений с точки зрения известных приложений является уравнение дю 6Ы . . п получающееся из (б) при г/ = п = 0. По отношению к (6) модельным в [29] названо уравнение

Ц-А.ф = о, |*| < Я, А = 4(0), (7) а в качестве основного аппарата исследования выступает интегральное уравнение

IV = Ф + где С = : \х\ < Я},

Ф — произвольное непрерывное в С решение уравнения (7), Рс — вполне непрерывный в С (О) оператор. При выполнении условия

Ш\С(С) < (8) которое может быть обеспечено либо за счёт малости либо за счёт малого отличия значений 6(г) от 6(0), однородное интегральное уравнение w = PGw

9) имеет лишь тривиальное решение и между множествами непрерывных в С решений уравнений (6) и (7) устанавливается взаимнооднозначное соответствие.

Относительно модельного уравнения (7) Усмановым получен ряд результатов (теорема единственности, теорема Лиувилля и др.), аналогичных соответствующим теоремам теории регулярных обобщённых систем типа Коши-Римана из [3].

Выделение нового класса уравнений вида (6), заданных на всей плоскости Е. для которых теорема Лиувилля остаётся справедливой, описание случаев её нарушения и установление связи между нетривиальной разрешимостью однородного интегрального уравнения (9) и нарушением теоремы Лиувилля для соответствующей ему системы Коши-Римана

С/-»ТГТТТТ*ГТТ<ТТЧТТ/"*-?£ ГГ)^ЧТГТ^-ГЧГ7 СТТ» ТТ ГЧТТТТГЧЙ Г*ЛТТЛТ)ТГТ IV ОС; ТТПЛТГ ТТ Г*

Ыгшл улл^пии лоллсюл ч^Дпчл'л по иипивпо1л оаДач а^Дла! лсюч/и диссертации. При этом мы условимся говорить, что для некоторого уравнения с частными производными, заданного в комплексной плоскости Е. выполняется теорема Лиувилля, если всякое непрерывное его решение, обращающееся в нуль при 2 = оо. тождественно равно нулю.

Другая задача, решаемая в настоящей диссертации, состоит в изучении свойств одной из модификаций интегрального оператора теории уравнений (6) и (7) и адаптации методов этой теории к исследованию более общей нелинейной комплексной системы с сингулярной точкой, возникающей при изучении изгибаний поверхностей положительной кривизны с изолированной точкой уплощения специального вида. Это позволяет доказать изгибаемость таких поверхностей в классах конечной гладкости а также указать такую поверхность которая аналитически изгибаема в любом классе поверхностей конечной гладкости и неизгиба-ема в классе поверхностей гладкости С00.

Перейдём к обзору диссертации по главам.

1. Александров А.Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. М.-Л. 1948.

2. Бари Л.К. Тригонометрические ряды. М. Физматгиз. 1961. 936 с.

3. Веща И.Н. Обобщённые аналитические функции. М. Наука. 1988.

4. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М. Наука. 19Т7. 640 с.

5. Гончаров А.Л. Об изгибаниях поверхностей положительной кривизны с изолированной точкой уплощения // Межд. шк.-сем. по геом. и ан. памяти Н.В. Ефимова. Тез. докл. Абрау-Дюрсо, 27.09-04.10 1996. С. 42-43.

6. Гончаров А.Л., Климентов С.Б. О приведении к каноническому виду эллиптической системы с изолированной сингулярной точкой // Межд. шк.-сем. по геом. и ан. памяти Н.В. Ефимова. Тез. докл. Абрау-Дюрсо, 27.09-04.10 1996. С. 43.

7. Гончаров А.Л. Об изгибаниях модельной поверхности положительной кривизны с изолированной точкой уплощения // Изв. ВУЗов, Сев.-Кав. регион. Сер. Естеств. науки. 1997. № 1. С. 15—18.

8. Гончаров А.Л., Климентов С.Б. Об изгибаниях поверхностей положительной кривизны с изолированной точкой уплощения // Изв. ВУЗов, Сев.-Кав. регион. Сер. Естеств. науки. 1997. № 4. С. 13-20.

9. Гончаров А.Л., Климентов С.Б. О построении нелокальных решений обобщённых систем Коши-Римана с сингулярной точкой // Межд. шк.-сем. по геом. и ан. памяти Н.В. Ефимова. Тез. докл. Абрау-Дюрсо, 5-11.09 1998. С. 185-187.

10. Гончаров А.Л., Климентов С.Б. О построении нелокальных решений обобщённых систем Коши-Римана с сингулярной точкой // Изв. ВУЗов. Сев.-Кав. регион. Сер. Естеств. науки. 1999. № 3. С. 23-24.

11. Гончаров А.Л. О существовании специальных, изометрических координат на поверхности в окрестности точки уплощения // Межд. ппосем. по геом. и ан. посвятц. 90-летию Н.В. ЕфимоваГТеэ. докл. Абрау-Дюрсо, "5-11.09 2000. С. 27-23.

12. Гончаров А.Л., Климентов С.Б. Аналог теоремы Лиузшшя-для одного класса систем типа Коши-Римана с сингулярными коэффициентами // 4-я Междунар. конф. по геом. и топол. Тез. докл. Черкассы. 2001. С. 25-27.

13. Гончаров А.Л. О разрешимости основного интегрального уравнения теории обобщённых систем Коши—Римана с сингулярной точкой // Тр. учаетн. Межд. шк.-сем. по теом. и ан. памяти Н.В. Ефимова. Абрау-Дюрсо, 5-11.09 2002. Росгов-на-Дону. С. 243-245.

14. Ефимов Н.В. Качественные вопросы теории деформаций поверхностей // Успехи мат. наук. 1948. Т. 3. В. 2. С. 47-158.

15. Ефимов Н.В. Качественные вопросы теории деформаций поверхностей "в малом-// Тр. мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 1949. Т. 30. С. 1-128.

16. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функиональный анализ. М. Наука. 1977.

17. Климентов С. Б. О структуре множества всех изометрических преобразований диффеоморфной кругу поверхности положительной кривизны // Докл. АН СССР. 1982. Т. 262. № 1. С. 19-21.

18. Климентов С.Б. О строении множества решений основных уравнений теории поверхностей // Укр. геом. сб. Харьков. 1982. В. 25. С. 69-82.

19. Климентов С. Б. Об одном способе построения решений краевых задач теории изгибаний поверхностей положительной кривизны // Укр. геом. сб. Харьков. 1986. В. 29. С. 56-81.

20. Колмогоров А.H., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М. Наука. 1976. 544 е.

21. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М. Наука. 1973.

22. Люстерник Л. А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М. Еаука. 1965.

23. Михайлов Л. Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе. Изд-во АН Тадж. ССР. 1963.

24. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск. Наука. 1977. 424 с.

25. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М. Наука. 1968. 512 с.

26. Погорелое A.B. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. М. Наука. 1969. 760 с.

27. Сабитов И.Х. Регулярность выпуклых поверхностей с регулярной в классах Гёльдера метрикой // Сиб. мат. журн. 1976. Т. 17. № 4. С. 907-915.

28. Сабитов И.Х. Локальная теория изгибаний поверхностей // Итоги науки и техн. Совр. пробл. мат-ки. 1989. X 48. С. 196-270.

29. Усманов З.Д. Обобщённые системы Коши-Римана с сингулярной точкой. Душанбе. АН Респ. Таджикистан, Мат. ин-т с Выч. центром. 1993. 244 с.

30. Усманов З.Д. Связь многообразий решений общей и модельной обобщённых систем Коши-Римана с сингулярной точкой // Матем.----------- 1 ААА Т< ОС ТЗ О ГЧ ОАО ОА*73d,?.it;tiyi"i. jlîjuij. ±. \jxj. i>. о. ou^—ovi.

31. Фихтенгольц Г. M. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. М. Наука. 1970.

32. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. М. Наука. 1966.ЛИТЕРАТУРА 138

33. Фоменко В. Т. Изгибание поверхностей с сохранением точек конгруэнтности // Мат. сб. 1964. Т. 63. № 3. С. 409-425.

34. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т. 1. М. Мир. 1986.