Обобщенные решения задач о вынужденных колебаниях пластин и оболочек с жесткими накладками тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

. На правах рукописи

- - - » - - - - — - ТОРОПОВА -Марина Маратовна -

ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК С ЖЕСТКИМИ НАКЛАДКАМИ .

01. 02.04 - механика деформируемого твердого тепа

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

м

КАЗАНЬ - 1994

Работа выполнена в лаборатории механики оболочек НИИ математики и механики им. Н. Г. Чеботарева при Казанском государственном университете им. В. И. Ульянова-Ленина.

Научный руководитель; Официальные оппоненты:

Ведущая организация -

доктор физико-математических наук, профессор Ю. П. Жигалко

доктор физико-математических наук, профессор М.Н.Сераэутдинов

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник

В. В. Ридель

Институт проблем механики РАН

г.Москва

Защита состоится 1994 г. в 14ч. 30м.

в аудитории физ.2 на заседании специализированного совета Л.053.29.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по механике при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г.Казань, ул.Ленина, д. 18.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке КГУ им.Н. И. Лобачевского.

Автореферат разослан 1994г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физико-математических .наук / ^ А. И. Голованов

-3-

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Оболочки как тонкостенные элементы ко-¡струкций получили широкое распространение в самых различных об-[астях современной техники. Среди большого разнообразия Бнешних юзлействий, которым подвергаются тонкостенные элементы реальных инструкций, можно выделить класс локальных воздействий, вызыва-)ших существенную концентрацию напряжений в местах их приложе-[ия. Для уменьшения этой концентрации применяют разнообразные ¡насекерные приемы, в частности, подкрепления типа накладок. Экс-[ерименты показывают, что при определенном соотношении толщин •онкостенного элемента и накладки последнюю можно считать абсо-[ютно жесткой. Наличие такого присоединенного элемента, как наладка, изменяет динамические характеристики оболочки и характер ■е реакции на внешние нестационарные воздействия. Предельно уп-ющенная модель присоединенной сосредоточенной массы не удовлетворяет всем потребностям инженера-проектировщика и нуждается в ювершенствовании. Учет геометрии накладки, с одной стороны, позволяет более адекватно описать реальную ситуацию, с другой сто-юны, ставит проблему определения сил контактного взаимодействия [ежду накладкой и поверхностью тонкостенного элемента конструк-,ии. Решение этой проблемы связано с привлечением определенного ;атематического аппарата, в частности, теории обобщенных функ-,ий. Развитие прикладных аспектов этой теории представляет науч-:ый интерес. Вышесказанное может служить основанием для подтвер-дения актуальности теш данной диссертации.

Колебания пластин и оболочек с накладками исследовались в азличных работах отечественных и зарубежных авторов. Отметим убликации И.Я. Амиро и В.П.Паламарчука, серию статен Б А. Антуфь-ва, статью группы киевских ученых, в которую входят Р. П. Барсук, .В. Ковтун, В.С. Мартыненко, С.Г.ДОпакова; в 1975г. в казанском борнике "Исследования по теории пластин и оболочек" был опубли-ован обзор Я. Я. Хотина, в котором отмечаются работы, посвященные инамическим задачам для пластин и оболочек с чакладками, прина-лежааие Ю. М. Ремневу, И. Е. Сахарову, Р.Н. Швецу, Цзяню и Чженю. камато Масаки и Секия Тсуоши. Точные решения ряда эталонных ди-амических контактных задач в классе обобщенных функций получены работах Ю. П. Жигалко. Необходимо упомянуть также публикации .И. Гладковой, М. Н. Гофмана и Т.Н. Карпенко, Т. Г. Гуламова, A.C.

Каирова, А.И. Лиходеда, А.П.Мукоеда, А.С.Христенко, Нагайа Косу-ке, Канориа Мридула, Л.М.Кира и Д.С. Ли, так или иначе связаннш с тематикой данной диссертации.

В настоящей работе особенное внимание обращается на получение аналитических решений рассматриваемых задач в пространстве обобщенных функций.

Аппарат обобщенных функций находит в физике и механике все большее применение. Расширение понятия дифференцируемости функций, сходимости функциональных рядов, их почленного дифференцирования и других, вводимое в пространстве обобщенных функций, позволяет получать решения, не существующие в классе непрерывные функций. Решение контактных задач в пространстве обобщенных функций приводит к нахождению не только непрерывных, но и сингулярных слагаемых контактных реакций, которые являются функциями как пространственной координаты, так и времени.

Целью работы является:

- Исследование и анализ методом обобщенных функций основные закономерностей динамических процессов, возникающих при вынужденных колебаниях тонких упругих пластин и оболочек, подкрепленных накладками.

- Получение резонансных частот колебаний рассматриваемы? систем, исследование их зависимости от массы, длины и расположения накладки.

- Изучение влияния скорости распространения возмущений не характер изменения контактных реакций при различных нестационарных нагружениях.

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты:

- Найдены резонансные частоты колебаний рассматриваемы? об'ектов, исследована их зависимость от массы, длины и расположения накладки, а также связь между резонансными частотами колебаний всей системы и ее частей, свободных от контакта; при эток рассмотрен как жесткий, так и адгезионный контакт с поверхность!: пластинки или оболочки.

- В классе обобщенных функций получены аналитические решения динамических задач для пластин и оболочек с жесткими накладками при нестационарном внешнем нагружении.

- Методом конечных элементов определены численные значения прогиба и сосредоточенных на границе области контакта сил и мо-

ментов при различных частотах вынужденных колебаний.

Достоверность основных научных результатов обеспечивается корректностью математической постановки задач, строгостью применяемых методов их решения и подтверждается хорошим согласованием в частных случаях с аналитическими, численными, а также экспериментальными данными других авторов.

Практическая ценность. Результаты, приведенные в данной работе, включены в спецкурс лекций, читаемый в Казанском государственном университете, они могут быть рекомендованы для использования при решении прикладных задач динамики пластин и оболочек, подкрепленных накладками, возникающими в машиностроении, самолето- и судостроении, строительстве.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на итоговых 'научных конференциях КГУ за 1986 -1994гг., конференциях молодых ученых по вопросам радиоспектроскопии, оптики, механики и подземной гидродинамики КФТИ КФАН СССР в 1984, 1986гг. , второй Республиканской научно-технической конференции "Механика машиностроения" в г. Набережных Челнах, 1987г. , третьей Всесоюзной конференции ' "Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов" в г. Казани, 1988г., третьем Всесоюзном совещании - семинаре молодых ученых "Актуальные проблемы механики оболочек" в г. Казани, 1988г., XII юбилейной конференции молодых ученых института машиноведения "Актуальные проблемы машиноведения" в г. Москве, 1989г. , IV Всесоюзной конференции "Смешанные задачи механики деформируемого тела" в г. Одессе, VII Всесоюзном с'езде по теоретической и прикладной механике в г. Москве, 1991г, VI Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" в г. Казани, 1992г. , семинаре по теории пластин и оболочек Казанского государственного университета, 1993г.

Публикации. Основное содержание диссертационной работы отражено в 11 статьях и тезисах конференций.

В работах [1, 4-5, 7, 9, 11] соавторы принимали участие в постановке задач и обсуждении результатов. Кроме того, в работе [4] соавтором получены аналитические решения ряда статических и динамических задач для пластин и оболочек с накладками.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка основной использованной литературы. Она изложена на 142 страницах машинописного

текста, содержит 72 рисунка и 1 таблицу. Библиографический список состоит из 137 наименований литературных источников отечественных и зарубежных авторов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ. Во введении кратко анализируется современное состояние проблем динамики пластин и оболочек с жесткими накладками, дается обзор исследований по теме диссертации, обосновывается важность и актуальность вопросов, составляющих предмет изучения, излагается цель работы. Формулируются основные научные результаты, которые выносятся на защиту, дана аннотация диссертации по главам. Приводится общее описание используемой методики решения рассматриваемых задач.

Поведение упругой оболочки с накладкой описывается операторным уравнением

А и Са .а ,1) + С и Са ,а Л) = Г Са ,сс ЛЗ, Са ,а ЗёЗ С13 12 12 __ 12 12

где А, С - соответственно инерционный и упругий операторы, определенные на классе функций, удовлетворяющих граничным условиям

на краю оболочки, и - вектор-функция, определяющая кинематические величины, например, перемещения или углы поворота поперечного сечения, Е - вектор-функция, определяющая внешнее воздействие на оболочку, а , а - гауссовы координаты точек срединной поверхности! Ь - время, Б - односвязная область, занимаемая срединной поверхностью оболочки.

Пусть накладка жестко скреплена с оболочкой и известен закон перемещения произвольной точки накладки по пространственной координате

и Са ,а ,13 = и Са ,а ,0 Са ,а ЗеБ-, С23

12* О 1 2 1 2 О'

где - область контакта, имеющая кусочно-гладкую границу Ь.

Введем линейный ограниченный оператор Е, с помощью которого запишем условия непрерывности перемещений и углов поворота оболочки во всей области Б, в том числе и на границе Ь:

Е и Ссх ,а ЛЗ е С°СБЗ СЗЗ 12 .__

После принятия условий С23 и СЗЗ соотношение С13 можно использовать для определения внешней нагрузки, которая передается на оболочку через накладку и обеспечивает в области контакта перемещение оболочки по закону С23. Для этого дифференцирование в

выражении С1) осуществляется по правилам пространства обобщенных

функций, и общее выражение для вектор-функции Г принимает вид ГСа ,1) = Па ,а ,13+иСа1 .а1 ,135, ^/^(уСа1 ,ШТ 3 , С4)

12 12 12 и _ 12 Ь

где Са^.а^Зе!,, п -нормаль к кривой I, Г - некоторая непрерывная функция гауссовых координат , а . определяющая распределенную по области контакта нагрузку; следующие два слагаемые описываются обобщенными"функциями простого и двойного слоя соответственно, определенными на поверхности оболочки, сосредоточенными на Ь и действующими по правилу:

ф: = I &с^.с^ЛЭ&с^.с^ЛМ!. Ц'Ф 6 1 (З/ЗпС1д5,3, ф3 = -Г ¡Ха1 .с^ДЗЗфСа1 .«¿ЛЗ/дп с!1. (а1 .а1) е1

Ь ^ 12 1 2 12

ь

Здесь Ф - пробная функция.

Векторные выражения цб^, <Э/<Зп(ь><5ьЗ обозначают сосредоточенные на границе накладки силу и момент соответственно, их величина определяется значениями вектор-функций и и и на кривой Ь.

Соотношение С 4) представляет выражение для вектор-функции

Г е самом общем виде. Исследуемый об'ект, внешнее нагружение, а также выбор той пли иной модели влияют на то, какие слагаемые будут присутствовать в соотношении С 43. Конкретные значения

13 и определяются, вообще говоря, величинами

конечных разрывов частных производных вектор-функции и по координатам а1, а2 при переходе через границу накладки. Поскольку

внутри области контакта функция и известна изначально (23. то задача сводится к вычислению значений соответствующих частных производных вне области контакта Б/Б^, т.е. к однородному дифференциальному уравнению

А и (а ,а ,13 + С и (а ,а ,13 = 0. (а ,а 3(53

12 12 12 (Т

с граничными условиями (23-(33 на кривой Ь.

Таким образом, решение краевой задачи (53-(23-(33 полностью

определяет силу Р, передающуюся на оболочку через накладку, а следовательно и контактную реакцию оболочки.

Уравнения движения накладки, записанные относительно ее центра масс, позволяют получить соотношения, связывающие вектор-

функцию ü с массой накладки, активными силой, моментом и контактной реакцией оболочки.

Описанная методика пригодна для решения задач вынужденных колебаний пластин и оболочек с накладками при внешних нагруже-ниях как гармонического? так и нестационарного характера.

В нестационарных задачах применяется интегральное преобра- -зование Лапласа по времени, в результате чего выражение (4) принимает вид

FLCat ,« ,p)=fLCa, ,а .рЭ+^Со* ,c¿' "p)tf: *d/dc\í~v4¿ ,e¿,p)6r), C6)

— _ _ 1 Z 1 2 . 12 i* _ _ ^ _

где FL,fL,|^,iA- изображения по Лапласу вектор-функций F,r,¡u.v соответственно, р параметр преобразования Лапласа,

В случае гармонических вынужденных колебаний с частотой ы

параметр р заменяется на ico -(!=■/-1 ), и соотношение С6) является непосредственным выражением для контактной реакции,.-а из уравнений, движения накладки выводятся¿уравнения резонансных частот колебаний рассматриваемой системы^

При неустановившихся колебаниях,-вели-рассматривается, зада1* ча в обратной постановке; т. е. если известно, перемещение-накла- -дки во времени и необходимо определить нагрузку., обеспечивающую это перемещение, то решение -задачи сводится к нахождению прооб- -разов слагаемых в правой части соотношения <61

Если же известна нагрузка, действующая на оболочку через • накладку, то соотношение <6) совместно, с уравнениями движения накладки позволяют найти в. пространстве изображений по Лапласу функциональные зависимости

йЧа, ,a,,p)=?Cp,F^, íf), ЁЧ^ ,a2,p)=T)Cp,F^, M^D ,

где М^* - изображения по Лапласу активных сил и моментов,

ДА — —

действующих на оболочку, 5 х г) - некоторые вектор-функции, принадлежащие пространству изображений по Лапласу обобщенных функций. В этом случае задача сводится к нахождению прообразов ? и

г}. Поскольку между пространством оригиналов и пространством образов обобщенных функций существует взаимно-однозначное соответствие, то рассматриваемые задачи имеют единственное решение,

В первой главе исследуются вынужденные гармонические колебания тонких упругих пластин и оболочек, с накладками. Решаются задачи поперечных колебаний круглой пластинки с концентрична

расположенной круглой накладкой и прямоугольной пластинки с накладкой в условиях цилиндрического изгиба (§2) при их жестком безотрывном контакте с накладкой. Предполагается, что накладка может смещаться поступательно с амплитудой «о л вращательно относительно оси, лежащей в плоскости накладки и проходящей через ее центр масс, с амплитудой угла поворота ф . Также полагается, что на границе накладки прогиб и его производная по нормали непрерывны, а производные по нормали второго и третьего порядка могут претерпевать конечный разрыв.

Контактная реакция для прямоугольной пластинки, например, представляется выражением в безразмерном виде С х} =-к4 ив С х) + [ 3 х _а«5С х-а) + [ сЗ'м/дх' 3 х _ьо С х-Ы +

+[ 3 х =а<5 Ч х-а=НЕ с!г*/с1хг] х _ьб' С х-Ы, а<х<Ь (7)

где х=хр/1, w=wp/l, к+=рЬы21+/0, ч=др13/Б, 0 - изгибная жесткость, а и Ь - безразмерные координаты границ накладки, рЬ -масса единицы поверхности, и - частота вынужденных колебаний, ' размерные характеристики прогиба и поперечной нагрузки соответственно, 1 - длина пластинки, хр- размерная координата длины пластинки, функция ( х) =\7с +((а+Ь)/2-:;)Фо задает прогиб произвольной точки пластинки в области контакта, а квадратные скобки обозначают величину стоящих внутри них функций при переходе через границу накладки.

Резонансные частоты колебаний системы уменьшаются с увеличением относительной массы накладки; увеличение длины абсолютно жесткой накладки при постоянной ее относительной массе приводит к увеличению спектра резонансных частот. Смещение накладки фиксированной массы и длины к границе пластинки увеличивает значения резонансных частот колебаний системы. Множество резонансных частот колебаний всей системы содеркит в себе приближенные значения резонансных частот колебаний незагруженных частей..

В следующих двух параграфах решаются задачи вынужденных гармонических колебаний тонких пластин (в§3 - круглая пластинка, в §4 - прямоугольная пластинка в условиях цилиндрического изгиба} с накладками при налички тонкого адгезионного слоя между ними. Вводится малый параметр адгезионного слоя с, который связывает перемещения накладки и пластинки, после чего исходная задача сводится к краевой, решаемой в области контакта. Для круглой пластинки рассматривается лишь поступательное движение накладки, для прямоугольной г и поступательное и вращательное.

Граничные условия на границе области контакта задаются из условия отсутствия разрывов в производных функции прогиба. Это приводит к исчезновению сингулярных слагаемых в выражении для контактной реакции. Доказывается слабая сходимость полученного решения к решению жесткого контакта. Найденная контактная реакция конечна на границе области контакта, но не равна нулю. Показывается, что уравнение резонансных частот колебаний рассматриваемой системы превращается в уравнение резонансных частот пластинки с накладкой при их жестком контакте, если приравнять нулю малый параметр адгезионного слоя.

В §5 исследуются вынужденные гармонические продольные колебания круговой цилиндрической безмоментной оболочки с кольцевой накладкой при их адгезионном контакте. Показано, что введение адгезионного слоя регуляризирует решение аналогичной задачи жесткого контакта, полученное Ю.П. Жигалко.

В §6 рассматриваются гармонические колебания прямоугольной пластинки с накладкой в условиях цилиндрического изгиба, шарнирно опертой по краям, при учете сдвига и инерции вращения.

Выражение для контактной реакции имеет вид

а СхЗ = - ссг[с1и/с1х) ¿Сх-аЗ - с*[с!и/с1х] <5(х-ЬЗ, С83 с 2 *=* 8 х=Ь

где с*=1212/Ьг, с2=6к(1-у31г/Ьг- безразмерные значения скоростей волн изгиба и сдвига соответственно, V - коэффициент Пуассона, Ь - толщина пластинки, к=5/6. В отличие от классической модели сосредоточенные моменты здесь отсутствуют.

Спектр резонансных частот колебаний рассматриваемой системы лежит ниже спектра резонансных частот, вычисленного' без учета сдвигов и инерции вращения. Снижение резонансных частот за счет влияния сдвигов тем больше, чем короче волны изгиба. В табл.1

показано различие в процентах пяти первых значений (к=1.....53

резонансных частот для относительной, массы ¡л-0.5, а=0.4, Ь=0.6, 1/Ь=40 и 1/Ь=10.

Во второй главе рассматриваются вынужденные колебания тонких упругих пластин и оболочек при нестационарных внешних воздействиях: ударных, импульсных, изменяющихся во времени по линейному и квадратичному законам. В тех задачах, которые описываются дифференциальными уравнениями гиперболического типа, перемещения и контактные реакции находятся в виде бесконечной сум-

мы ступенчатых функций Хевисайда с некоторыми коэффициентами. Аргументом ступенчатой функции является выражение, зависящее от времени, скорости распространения возмущений в пластинке или оболочке и длины пробега волны. Таким образом, на каждом конечном интерзале времени лишь конечное число слагаемых а выражениях для перемещений и контактной реакции отлично от нуля.

Другим способом, с применением теории вычетов, перемещения " гкггагггкс реакции ттрсдстгзягвтся э вйяе бесконечной о.уммч гармоник, коэффициенты при которых зависят от резонансных частот конструкции (полученных в первой главе).

~ ---——^¿2'* »лли^тл,, ттрлтгпттт-иг.гт'.

■ ** ;------------------------т^ - ^----■.^лтлЛ

накладкой. Задача решается в стержневом приближении. Получены прогибы и контактные реакции при всех четырех видах нестационарного нагружения. На рис.1-3 приведены графики зависимостей от времени соответственно прогиба и сосредоточенных на левом а=0. 2 и правом Ь=0.6 краях накладки контактных реакций для трех ' значений относительной массы ц=0.5, 1.0, 1.5 при действии на нее мгпогепяего начального импульса бСт). Из рис .1 вилно, что-с увеличением относительной нассн ц амплитуда колебаний падает, а период - увеличивается. Общий рисунок кривых на рис. 2, 3 определяется низшей резонансной частотой системы оболочка-накладка. Длина участков непрерывности этих кривых соответствует низшей резонансной частоте незагруженных частей оболочки или, другим! словами, точки разрыва соответствуют моментам времени, когда волна возмущений, порожденная начальным мгновенным импульсом к отраженная от торца оболочки, возвращается к краю накладки.

В $8 в рамках классической модели Кирхгофа-Лява исследуются колебания прямоугольной пластинки с. накладкой в условиях цилиндрического изгиба. Определены прогибы накладки при всех рассматриваемых видах нагружения, а контактные реакции - для импульсных и медленно изменяющихся. Решение поставленной задачи находится в виде бесконечной суммы гармоник и иллюстрируется графиками. Рассматриваются случаи, когда края пластинки жестко заделаны и шар-нирно оперты.

В следующем параграфе 9 колебания прямоугольной пластилки с накладкой рассматриваются в рамках модели Тимошенко, при этом в контактной реакции исчезают сосредоточенные моменты. Исследование поведения пластинки осуществляется с помощью экспоненциаль-

l/h=40...0.088% 0.83% 2.22% 4.10% 6.36% l/h=10...1.32% 10.11% 18.81% 27,72% 33.91% ' Табл.1

ных разложений обращаемых функций. Нахождение прообразов этих разложений сводится к вычислению определенных интегралов вида

; П (р)е ^р, .2 (9)

Ь-ЮО

где п=1,2,3..... Ь - действительное число, такое,что все особые

точки комплекснозначных функций Б СрЗ лежат левее прямой р=Ь, р-параметр преобразования Лапласа, Х^ - корни характеристического уравнения, соответствующего однородному дифференциальному уравнению, к решению которого сводится поставленная задача. Обнаружено, что при ударе.контактная реакция пластинки, как и оболочки (§7), содержит мгновенный начальный импульс, обратно пропорциональный сумме относительной массы и относительной длины накладки.

В третьей главе исследуются вынужденные гармонические колебания тонких пластин и пологих панелей с накладками. Находятся зависимости форм колебаний и контактных реакций от частоты колебаний со. Те значения ыТ при которых все определяемые выражения стремятся к бесконечности, являются резонансными частотами незагруженных частей пластины или панели, обозначим их ш., 1=1,... . ,оо. Показывается, что изменение частоты вынужденных колебаний внутри интервала (с^, ) приводит к главному изменению формы изогнутой поверхности, но при переходе из одного интервала Сы , ш 3 в последующий Сю1+1, «1+?3 форма изогнутой поверхности принципиально меняется.

В §10 рассматривается квадратная пластинка с симметрично расположенной квадратной накладкой. Исследуются два случая движения накладки: поступательное с амплитудой к и вращательное относительно оси, проходящей через центр масс накладки параллельно ее сторонам, с амплитудой угла поворота ф

Контактная реакция записывается в виде до(х,у3/0 = Ми(х,уЗ - рЬи2/С у/Сх,уЗ + [дСДиСх,уЗЗ/(?п + +Сд/дп([Д\<Сх.уЗЗт_бьЗ , -а<х,у<а С 113

где х, у -декартовы координаты плоскости пластины. Д=с?2/гх2+

Поставленная задача сводится к определению частных производных второго и третьего порядка от функции прогиба пластинки с отверстием, свободной от нагрузки, с ненулевыми граничными условиями на контуре отверстия. Для ее решения применяется метод конечных элементов.

Используется плоский треугольный высокоточный элемент с аппроксимацией прогиба полиномом пятой степени. В каждой вершине треугольника определяется шесть узловых переменных: перемещение, два угла поворота, две кривизны и кручение.

В §11 исследуется поведение круговой цилиндрической и сферической панелей. Рассматриваются пологие панели, квадратные в плане, с квадратными накладками, достаточно малыми, так что поверхность накладки можно считать плоской при безотрывном контакте с панелью. Центры панели и накладки совпадают, а соответствующие стороны параллельны.

Если накладка перемещается поступательно с известной амплитудой то выражения для контактной реакции принимает вид: Яо (х, у) Л)=М«С х, у) +ДкфС х, у) /Б-рЬшг/С+С <Э( Д\мС х, у) /ЗпЗ +д/дп аДу/Сх.у)]^), -а<х,у<а . С12)

где х,у - декартовы координаты плоскости плана панели, Ф - функция напряжений. Ак= д/дх(.к2д/дх') + д/ду(.к1 д/ду), к^ д*г/дх*.

Как и в случае пластинки значение сосредоточенных на границе ' области контакта сил и моментов определяется частными производными второго и третьего порядка от функции прогиба панели с отверстием при ненулевых граничных условиях на контуре * отверстия. Их величина вычисляется методом конечных элементов.

Применяется трехузяовой конечный элемент для. расчета пологой оболочки, который является естественным обобщением плоского треугольного высокоточного элемента, использованного в §10, В каждом узле треугольника определяется двенадцать узловых переменных: два тангенциальных перемещения, их первые производные, прогиб, два угла поворота, две кривизны и кручение. Прогиб аппроксимируется полиномом пятой степени, а тангенциальные перемещения - бикубическими полиномами. Полученное решение сравнивается с аналогичным решением для пластинки.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы:

Развитая в диссертации методика нахождения обобщенных решений задач динамики пластин и оболочек с жесткими накладками позволяет учитывать массивность, геометрию накладки и контактные взаимодействия между поверхностью рассматриваемого объекта и на-накладкой.

С помощью этой методики найдены уравнения резонансных частот колебаний круглой и прямоугольной пластинки с накладкой в

условиях цилиндрического изгиба как при жестком контакте, так и в случае тонкого адгезионного слоя между пластинкой и накладкой. Получено уравнение резонансных частот продольных колебаний круговой цилиндрической оболочки при адгезионном контакте с кольцевой— накладкой—Исследована— зависимость—резонансных- частот—от-----

массы, длины и расположения накладки. Изучена связь между резонансными .частотами всей . системы и , реэснансными частотами незагруженной части пластинки или оболочки. " .......

Рассмотрены нестационарные продольные колебания круговой 1шли¥дрич¥сйй"оЗолочки с кольцевбЙ~накладк5й и поперечные коле-"" Гбания* прямоугольной^пластиы^

ского из гис5аГ Получены ^а*литйчески^¥ыр^ения*"дЖ перемещений и ~ . контактных реакций при различных видах внешнего нагружения - от меняющегося во времени по квадратичному закону до. импульсного. В . случае ударного воздействия по цилиндрической оболочке найдены конечные разрывы контактных реакций в моменты времени, когда волна возмущения возвращается к границе накладки. _В пространстве обобщенных функций найдены аналитические выражения контактно^реакции квадратаой~пластинки с квадратной накладкой, а также пологих цилиндрической и сферической панелей, квадратных в плане, с малой плоской накладкой. Методом конечных элементов определены величины прогиба и сосредоточенных на границе области контакта силы и момента при различных значениях частоты вынужденных колебаний. Изучены особенности резонансных частот незагруженных частей пластинки или панели.

Основныерезультаты диссертации опубликованы в следующих работах: ______""

1. Жигалко Ю. П. , Торопова М. М. Вынужденные колебания упру-"

гих пластин с жесткими накладками // Механика машиностроения:_

Тез. докл. второй Респ. научн.-техн. конф. - Наб. Челны, 1987.-С. 79.

— -2. Торопова М. М. Численное решение задачи о вынужденных ко----------

лебаниях квадратной пластинки с отверстием //Современные пробле-мы-строительной-механики- и- прочности ■ летательных»аппаратов: -Тез,— докл. III Всесоюзн. кснф. - Казань, 1988.- С. 144.

__З^Торопсва,М.,М„Динаьшка_трнких_пластин_с_жесткими._наклад;__

ками //Актуальные проблемы механики оболочек: Тез. докл.III Все-союз. совещания-семинара молодых ученых. - Казань, 1988.- С. 220.

4. Жигалко Ю. П. , Торопова М. М. Обобщённые решения контакт-

ных задач для упругих пластин и ооолочек // Изв. АН СССР. МТТ,-1989.- N 2. - С. 109-114.

5. Жигалко Ю. П. , Торопова М. М. Передача динамических нагрузок через накладки на упругие пластины и оболочки , // Смешанные задачи механики деформируемого тела: Тез. докл. IV Всесоюз. конф. - Одесса, 1989.-С. 133.

6. Торопова М. М. Динамическая контактная задача для пологой цилиндрической панели с жесткой накладкой // Актуальные проблемы машиноведения: Тез. докл XII Юбилейной конференций молодых ученых института машиноведения.- М. , 1989.- С. 83.

7. Жигалко Ю. П. Торопова М. М. Динамические контактные задачи для тонких пластин с жесткими накладками, - Казань, 1990.-10с. - Деп. в ВИНИТИ 16.11.1989, N 484-В90.

8. Торопова М. М. Одномерные контактные динамические задачи для пластин.- Казань, 1990. 18с.- Деп. в ВИНИТИ 16.11.1989, N 483-В90.

9. Жигалко Ю. П., Торопова М.М. Метод обобщенных функций в динамических контактных задачах для упругих пластин и оболочек // VII Всесоюзный с'езд по теоретической и прикладной механике 15-21 августа 1991г..- Аннотации докл. - М., 1991,- С. 154.

10. Торопова М М. Нестационарные контактные задачи для упругих пластин и оболочек // Аналитическая механика, устойчивость и управление движением: Тез. докл. IV Четаевской конф. - Казань, 1992. - С. 123.

И. Горшков к. Г. , Жигалко Ю. П., Торопова М. М. Решение контактных задач для упругих пластин и оболочек в классе обобщенных функций. - Москва: йэд-во МАИ. - Препринт. - 1992. -33с.

Сдано в набор 24.02.94 г. Подписью в печать 24.02.94 г. Форм.бум 60 х 84 1/6. Иеч.л.1. :ираж 100. Заказ 62.

.Лаборатория о: еративной полиграфии КГУ ; 2.0008 Казань, Ленина, 4/5