Обоснование метода линеаризации для задач устойчивости течений жидкости в бесконечном цилиндре и слое тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ6 од

« », пгпч /ППО | ШУИ и^о

Министерство науки, высшей школы и технической политики Российской Федерации Ростовский ордена Трудового Красного Знамени государственный университет

Специализированный совет К 063.52.13 по физико-математическим наукам

На правах рукописи

КИКОНОВА Светлана Васильевна

ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ЛИНЕАРИЗАЦИИ ДЛЯ ЗАДАЧ УСТОЙЧИВОСТИ ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ В БЕСКОНЕЧНОМ ЦИЛИНДРЕ И СЛОЕ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 1993

Работа выполнена в Ростовском ордена Трудового Красного; Знамени государственном университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Юдович В.И.

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук, профессор Симоненко И.Б.

- кандидат физико-математических наук, доцент Седенко В.И.

Редущая организация: Симферопольский государственный университет

Защита состоится "22," сиоих_ 1993 г. в _

часов на заседании Специализированного совета К 063.52.13 по физико-математическим наукам в Ростовском государственном университете по адресу: .344104, Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 5, мехмат, ауд. _.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ по адресу: г.Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета К 063.52.13 кандидат физико-математических наук, доцент

В.Д.Кряквин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Течения жидкости в областях с некомпактными границами (трубы, слои, конусы и т.д.) всегда вызывали значительный интерес в гидродинамике, но строгая математическая теория разрешимости краевых и начально-краевых задач была развита лишь сравнительно недавно - в 7О-х-вО-х годах. Важные результаты в этой области получены в работах О.А.Лада-женской, В.А.Солонникова. Дя.Хейвуда, Л.В.Капитанского, К.И. Пилецкаса, В.Н.Масленниковой, М.Е..Боговского и др. Близкие проблемы для эллиптических уравнений были исследованы в работах П.Д.Лакса, О.А.Олэйник, Г.А.Иосифьяна, В.Г.Мазьи, Б.А.Пламеневского, С.А.Назарова, В.И.Юдовича, Ю.А.Устинова, В.Е.Ковальчука, И.И.Воровича, М.Б.Оразова, А.Г.Костюченко, А.М.Гомилко, В.В.Мелешко и др.

Исследование уравнений в областях с некомпактными границами потребовало новых подходов и обнаружило ряд интересных и новых эффектов. Нетривиален уже вопрос о правильной постановке краевых задач, интересные проблемы возникают в связи с исследованием поведения решений на бесконечности, разложением по элементарным решениям и т.д.

Настоящая диссертация посвящена обоснованию метода линеаризации в задаче устойчивости движения жидкости в случае, когда область течения представляет собой бесконечный цилиндр или слой.

Цель работы:

- изучение нелинейной устойчивости стационарных течений жидкости в трубе й слое;

- обоснование метода линеаризации для этого класса задач;

- исследование спектра линеаризованных на состоянии покоя и стационарном течении уравнений Навье-Стокса;

- вывод оценок резольвенты оператора Стокса в подходящих функциональных пространствах.

Научная новизна. Оценки резольвенты оператора Стокса, известные в случае ограниченной области, доказаны для слоя и

бесконечного цилиндра. Исследован спектр оператора, соответствующего линеаризации на параллельных, а также и затухающих течениях в таких областях. Изучен вопрос о поведении давления на бесконечности в цилиндре. Это позволило перенести основные теоремы об устойчивости движения жидкости на течения в таких областях.

Достоверность подученных результатов обусловлена корректной постановкой краевых задач, применением математически обоснованных методов, совпадением результатов с известными в тех случаях, когда таковые имеются в литературе.

Практическая значимость. Полученные результаты применимы для обоснования численных и асимптотических методов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на 71. 711 и 7III Школах-семинарах МГУ "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости" (Колюбакино, 1988 г.; Звенигород, 1990 г.; Райки, 1992 г.), Международной конференции "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости" (Зеленоград, 1993 г.), на научных семинарах кафедры вычислительной математики . и математической физики РГУ.

Публикации. По теме диссертации опуб.шшвано 5 работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа занимает 126 страниц машинописного текста, список литературы содержит 70 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика работы, изложено общее содержание и сформулированы основные результаты, представленные к защите, дан краткий обзор литературы,

связанной с темой диссертации.

Первая глава носит вспомогательный характер. Она состоит из трех параграфов.

В §1 рассматривается система Стокса, получаемая линеаризацией на состоянии покоя уравнений Навье-Стокса. Предполагается, что вязкая несжимаемая жидкость заполняет область С, граница которой есть твердая стенка. В качестве Б всюду в дальнейшем мы будем брать одну из областей дк, к = 1, 2:

х=1у,г)(;ВЭ: уей*, г€аэ к )

где аг - ограниченная область в Д2, Таким образом,

при к = 1 получаем бесконечный цилиндр, при 2г = 2 - слой.

Через 3^(1)) (соответственно обозначим гильбер-

тово пространство, полученное замыканием по норме Ъ2(1)) (соответственно п(0)) множества гладких, соленоидальных, финитных в О векторов. Пусть П - ортогональный проектор в Ъг(Б) на Бг(и). Определим в 3(0) оператор А, полагая для любого векторного поля и е 9/^(0) П 3(2п(0)

Ли - -V П Ди

Его самосопряженное расширение по Фридрихсу называется оператором Стокса. Сохраним за оператором Стокса обозначение А.

В §1 доказано, что оператор Стокса порождает в аналитическую полугруппу, спектр оператора Стокса непрерывен и заполняет луч

М= {аеЯ: о}о0>0 У.

«V

где о= 1п/, к = 1, 2, \,(<±) - первое собственное зна-

и 1 1

чение оператора Ао = -у¥ПР~'А0 при нулевом граничном условии з-к г

на дО, -Д = - V —г , Р - оператор Фурье: дг. 3=1 *

Ри » и(Ы,г) Г е~1<*у и(у.гт,

¡»

к=1 или 2- то же, что и в определении области и .

Второй параграф посвящен линеаризованным на стационарном течении №0(х),Р0(х)) уравнениям Навье-Стокса. Для любого и € П Б^ >(Ю оцределим оператор В по формуле

Ви = Щ(и,ч)и0 + (0о,ч)и)

В §2 изучен спектр возмущенного оператора А+В в двух случаях: 1) В соответствует течению, затухающему на бесконечности; 2) В соответствует параллельному течению или стремится к нему на бесконечности.

В третьем параграфе первой главы доказана одна общая теорема о законности метода линеаризации для нелинейного дифференциального уравнения в банаховом пространстве. В качестве приложения доказано утверждение об устойчивости стационарного решения уравнений Навье-Стокса в случае, когда область течения имеет некомпактную границу (слой, бесконечный цилиндр), в пространствах, связанных с дробными степенями оператора Сток-са, в частности, в энергетическом пространстве.

Основным моментом исследования устойчивости стационарного решения уравнений Навье-Стокса является доказательство того, что оператор, соответствующий линеаризованным на этом решении уравнениям, порождает аналитическую полугруппу в подходящем функциональном пространстве.

Вторая глава посвящена оценке резольвенты оператора Стокса в пространстве .), 1 < р < а>. Основным результатом этой главы является доказательство того, что оператор Стокса порождает в Ър(О) аналитическую полугруппу. (Всюду во второй главе й = .)

Рассмотрим краевую задачу в цилиндре V:

аи + vAu = V? + /, (1)

(XV и = О, (2)

и I = О, и I = О, (3)

|дй

о принадлежит сектору комплексной плоскости

Хо0.в = € с : 6 < \агВ(.о-а0)\ ^

где 9 - некоторое число из интервала (0,%/2), а0 - Х0 -наименьшее собственное значение оператора

2 Э2

в области О при нулевом граничном условии.

В §1 второй главы доказаны оценки решения задачи на сечении цилиндра

(а - Шг)и1 + = €с1Р + /}, (4;

. . дР

(а - Шг)и. + уИпи, = — + /., ] = 2, 3, (5)

3 0 * дх3 *

(оси, + —? ^ — =0, (6;

' Зх2

=0, 1=1,2, 3, (7)

г\да

которая получается в результате применения преобразования Фурье к (1)-(3). Справедливо следующее утверждение

^ТЕОРЕМА 2.1.1. Пусть О - ограниченная область в к2, Ш € С2, } « Ър(й). Тогда для любого не равного нулю, существует единственное решение краевой задачи (4)-(7), и для него справедливы оценки:

С

'"•ь(П) * (О)'

IV Р\ь (й) € 0|/|ь а,.

для любого а е 2а _е 6, для любого ы : |ы| >оС0>0, константа С

зависит лишь от П, р, в, <л0.

Доказанные оценки позволяют обосновать предельный переход при ы. 0 в (4)-(7), когда / € (%(Ь).

ТЕОРЕМА 2.1.2. Пусть / е (%(Т>). Тогда при с* = О система (4)-(7) распадается на две краевые задачи:

аи^О.г) + ук^х^О.г) = 7 + },(0,г),

иЛО,г)\ = О, ' за

1

и}(0,г) йг = О;

дР

аиЛО.г) + vЬ.л^ (О,г) = — (0,2) + Г .(О,г), з оз з

ди~ . дич —£ + =0, дг} дгг

и}| =0, J = 2, 3.

причем константа 7 определяется по формуле:

(1>ио>ъг(й) где ис(2) является решением краевой задачи:

о\(г) + уь0%(г) = 1, = 0. (10)

Неравенство (8) справедливо и при Ы = О и

<Сг\},(0,.)\1(а), (11)

7 -------(9)

при всех о € 20 _е 0.

В качестве следствия теорем 2.1.1. и 2.1.2 получается утверждение об оценке старших производных (1)-(3) в Ъ2(В)% а также оценка (в) решения задачи (4)-(7), когда ы. - комплексный параметр в некоторой окрестности вещественной оси.

В §2 второй главы доказана оценка резольвенты оператора Стокса в пространстве 1р 2(В), норма в котором определяется равенством:

р. г г

х = (у,г) - точка цилиндра V, у € Я, г = (ггг2) е П. *

ТЕОРЕМА 2.2.1. Пусть Ш € С2, / € Ър2№), 1 < р Тогда существует единственное решение Си.Р; краевой (1)-(3), такое, что и, 6 Ъ г(Ъ), V? € Ър2Ф), и някггся оценки:

С

о е яа _е е, с = с{а,в,р.е).

Доказательство основано на применении преобразования Фурье по переменной вдоль оси цилиндра и проверке условий векторнозначной теоремы Михлина о мультипликаторах интеграла Фурье, полученной Дж.Шварцем.

В этом параграфе доказано также, что при выпонении определенных условий ортогональности для правой части давление принадлежит пространству Ър 2(Т>).

ТЕОРЕМА 2.2.2. Пусть /'е С%(Т>), причем выполняются условия:

< 00. задачи выпол-

112)

и0 являеся решением краевой задачи (10). Тогда для решения системы (1)-(3) справедливо следующее утверждение: существует

константа И такая, что Р = Р - М принадлежит пространству 1р 2(Ъ), причем

(?(о,-),и0)ъ^(а) = о, П5;

и выполняется равномерная по а € 2а _8 е оценка:

Юц * С|/|£ Пб;

р.2

С = ХХй.в.е).

В §3 второй главы доказано следующее утверждение: ТЕОРЕМА 2.3.1. Пусть дП б С2, / € 1 < р <

Тогда существует единственное решение (и,Р.) краевой задачи Ц)-(З) такое, что и € П(рг)(Т>), е и для него спра-

ведливы оценки:

С

»❖к

равномерные по а € „ й, константа С зависит лишь от П. р, ио •

6, е.

Сначала доказывается априорная оценка старших производных через младшие производные и /. Затем рассматривается случай правой части специального вида, удовлетворяющей условиям теоремы 2.2.2. При выводе (17) используются известные мульти-

пликативные неравенства и доказанные в §2 оценки резольвента оператора Стокса в пространстве Ър г(В). И, наконец, рассмотрен случай произвольной правой части из

Как известно, для областей с некомпактными границами давление, вообще говоря, не обязано принадлежать пространству 1р. В настоящей работе получено представление давления в виде суммы главной части, которая имеет ненулевой перепад, и затухающей части, которая принадлежит Ър(Т>). При этом величина перепада давления зависит от внешней силы /. Попутно доказывается, что при определенных ограничениях на правую часть, само давление принадлежит пространству Ър(Т>).

СЛЕДСТВИЕ 2.3.1. Пусть / принадлежит замыканию в метрике Ър(Т>) множества финитных, бесконечно дифференцируемых функций, удовлетворяющих условию (13). Тогда Р е и выполняется оценка:

ЪЛЪ) I V)

р р

Третья глава посвящена оценке резольвенты оператора Стокса в Ър(0г) (/<р<°о, 02 - слой), которая вместе с оценками предыдущей главы позволяет распространить теорему В.И.Юдовича об устойчивости стационарного течения жидкости в Бр на случай, когда граница области некомпактна.

Рассмотрим линейную спектральную задачу (1)-(3) для оператора Стокса в слое Г> = Ьг с твердыми стенками, где П = (~71,Ь). Предполагается, что о принадлежит сектору комплексной плоскости д где 6 - некоторое число из интервала ио'

(О, тс/2), о0 = v(%/2h)г. Справедливо следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 3.1.1. Пусть /еЪр(Я2). Тогда существует единственное решение (и,?) краевой задачи (1)-(3), и для него выполняется оценка:

р

|0-00| |и|ь_ + Iт?и\ъ_ + |уР|ь_ < С |/|ь_ (19)

и

в, р, 8.

равномерная по о € „ й с константой С, зависящей .лишь от ио '

Доказательство этого утверждения изложено в первом и втором параграфах третьей главы. В первом параграфе доказаны оценки третьей компоненты вектора скорости. Доказательство использует тот факт, что соответствующий мультипликатор интеграла Фурье представим в виде суммы трех слагаемых: первое слагаемое описывает главную часть течения, вызванного нижней стенкой 2 = -Н, второе - верхней (г = И), а третье -взаимодействие этих течений. Это позволяет применить методы работы В.И.Юдовича "Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости" (Изд-во РГУ, 1984), в которой рассмотрен случай полупространства. Во втором параграфе третьей главы доказаны оценки первой и второй компонент скорости И градиента давления, а также единственность решения.

В третьем параграфе третьей главы доказано, что теорема из цитированной выше работы В.И.Юдовича об устойчивости стационарного течения жидкости в Э (О), при р > п, О - ограниченная область в й", б случае, когда спектр линеаризованного опреатора расположен в нужной полуплоскости, переносится также на случай слоя и бесконечного цилиндра.

РЕЗУЛЬТАТЫ, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ К ЗАЩИТЕ

1. Доказано, что оператор Стокса порождает аналитическую полугруппу в пространстве 1 < р < м, получены Ьр-оценки старших производных в случае, когда область I) есть бесконечный цилиндр или слой.

2. Те же утверждения доказаны для векторнозначного пространства Ьр 2(0,). 1< р < оо, - бесконечный цилиндр.

3. В случае бесконечного цилиндра для системы Стокса получено представление давления в виде суммы главной части, имеющей ненулевой перепад, и затухающей части. Приведены ограничения на правую часть, при которых давление принадлежит

4. Доказана абстрактная теорема об устойчивости нулевого решения некоторого дифференциального уравнения в банаховом пространстве и рассмотрены ее приложения к исследованию

устойчивости стационарного решения уравнений Навье-Стокса.

5. Обобщен результат об Lp-устойчивости течения жидкости в ограниченной области на случай слоя и бесконечного цилиндра. -

Автор выражает глубокую . благодарность профессору

В.И.Юдовичу за внимание и поддержку при выполнении работы. .

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Никонова C.B., Щцович В.И. Оценка резольвенты оператора Стокса в бесконечном цилиндре в пространстве Ъг / Ростов. гос.ун-т. - Ростов-на-Дону, 1987. - 24 с! -Деп. в ВИНИТИ IO.II .»7 » 788Б-В8Г7.

2. Никонова C.B. Метод линеаризации в задаче устойчивости течения жщцсости в слйе/ Ростов. гос.ун-т. - Ростов-на-Дону, 1988. - 24 с. -Деп. в ВИНИТИ, № 63I4-B88.

3. Никонова C.B., Сазонов Л.И., Юдавич В.И, Метод линеаризации в задачах устойчивости неограниченных течений вязкой жидкости // Тез. докл. VI Школы-семинара "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости", Колюбакино, 1888, М: Изд-bo МГУ, 1989. -С.44.

4. Никонова C.B. Метод линеаризации в задач« устойчивости течения жидкости в слое // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки, 1990, №3 (71), С. 59-63.

5. Никонова C.B. Метод линеаризации в задаче устойчивости течения жидкости в слое // Тез. докл, 711 Школы-семинара "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости", Звенигород, 1990, М: Изд-во МГУ, 1992, С..47.