Обработка экспериментальных данных малоуглового рассеяния с использованием методов регуляции тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.18 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ КРИСТАЛЛОГРАФИИ им. А. В. ШУБНИКОВ А

На правах рукописи

С Е М Е Н Ю К АЛЕКСАНДР ВЛАДИМИРОВИЧ

ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ МАЛОУГЛОВОГО РАССЕЯНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДОВ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

Специальность 01.04.18 - Кристаллография,

физика кристаллов

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1990

Работа выполнена в Ордена Трудового Красного знамени Институте кристаллографии им. А.В.Шубниксва АН СССР.

Научный руководитель!

Кандидат физико-математических наук Свергун Д.И.

Официальные оппоненты!

Доктор физико-математических наук Гречушников Б.Н.

Доктор физико-математических наук Ягола А.Г.

Ведущая организация! Институт физической химии

им.Карпова (г.Москва)

Защита диссертации состоится 16 мая 1990г.в / ^ на заседании Специализированного совета при Институте кристаллографии им.А.В.Шубникова АН СССР по адресу I 117333 г.Москва, Ленинский проспект, 59.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института кристаллографии АН СССР.

Автореферат разослан_ _ 19 г.

Ученый секретарь Специализированного совета кандидат физико-математических наук В.М.Каневский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последнее время все более расширяется область применения метода малоуглового рассеяния - дифракционного метода исследования надатомной структуры веществ самой различной природы. При этом возрастает сложность методик исследования, точность и надежность применяемых приборов, повышаются требования к результатам исследований. В связи с этим все большее значение приобретает повышение надежности и достоверности математических и вычислительных методов обработки и интерпретации экспериментальных данных. Кривые малоуглового рассеяния несут богатую структурную информацию о надатомном строении объекта. Так, например, для монодисперсных систем усредненная по всем ориентациям самосвертка плотности (т.н. функция распределения по расстояниям), для полидисперсных систем - функция распределения по размерам -связаны линейными интегральными преобразованиями с идеальной (т.е. полученной от точечного источника монохроматического излучения) интенсивностью малоуглового рассеяния. Однако, для увеличения интенсивности рассеянного излучения приходится использовать щелевую коллимацию и/или широкие спектры первичного излучения. Поэтому измеряемые в малоугловом эксперименте кривые рассеяния содержат значительные искажения, которые приходится учитывать при обработке данных малоуглового эксперимента. Для этого нужно решать соответствующие линейные интегральные уравнения первого рода. Решение таких уравнений представляет собой некорректную задачу, т.е. задачу, решение которой неустойчиво, или имеет неединственное решение. Применявшиеся методы решения обратных задач малоуглового рассеяния в настоящее время не удовлетворяют требованиям, предъявляемым к качеству обработки экспериментальных данных. Поэтому возникла необходимость развития новых алгоритмов решения задач обработки данных малоуглового рассеяния на основе некоторых современных подходов к решению некорректных задач, позволяющих полнее использовать возможности современной экспериментальной аппаратуры и учитывать априорную информацию об объекте.

Цель работы. Исходя из вышесказанного целью настоящей работы

ЯВИЛОСЬ!

Развитие устойчивых методов решения уравнений типа свертки в малоугловом рассеянии (уравнения учета конечной ширины пучка, немонохроматичности излучения и полидисперсности.

- Написание комплекса программ последовательного устранения приборных искажений и использование его для обработки данных рассеяния.

- Развитие общего метода обработки данных малоуглового рассеяния, позволяющего устранять одновременно все виды приборных искажений и рассчитывать функцию распределения в пространстве объекта с учетом априорной информации об этой функции.

- Создание комплекса программ, реализующего общий метод обработки данных малоуглового рассеяния, и использование его для обработки экспериментальной информации.

- Разработка алгоритма, позволяющего на основе общего метода одновременно обрабатывать несколько экспериметальных кривых рассеяния, отвечающих одному и тому же объекту, но измеренных при различных экспериментальных условиях.

Науная новизна работы. На основе метода регуляризации Тихонова создан комплекс программ "Сирена" последовательного устранения приборных искажений с решением уравнения полидисперсности. При решении уравнений ширины, немонохроматичности и полидисперсности учитывается то, что эти уравнения приводятся к уравнениям типа свертки. Впервые был развит общий метод обработки данных малоуглового рассеяния, позволяющий одновременно вводить все виды аппаратурных поправок и рассчитывать функцию распределения в пространстве объекта с учетом априорной информации об объекте. Создан комплекс программ "йНОН", реализующий общий метод обработки данных малоуглового рассеяния. Впервые в малоугловой практике разработан алгоритм, позволяющий на основе общего метода одновременно обрабатывать несколько экспериметальных кривых рассеяния, отвечающих одному и тому же объекту, но измеренных при различных экспериментальных условиях. Указанный алгоритм был применен к обработке данных нейтронного рассеяния бактериофагом Т7, полученных при различных коллимационных условиях на двумерном детекторе, а также к обработке других кривых. Комплекс программ "сном" позволяет для полидисперсной системы выбирать наилучшую модель из заданных.

Практическая значимость работы. С помощью разработанных алгоритмов и написанных комплексов программ удалось получить структурную информацию о целом ряде объектов, представляющих известный научный и практический интерес (получено распределение по размерам кластеров дефектов монокристалла лейкосапфира, исследована поровая структура различных типов ядерных фильтров, исследованы структурные изменения ДНК фага Т7 методом вариации

контраста). Разработанные программы адаптированы к различным вычислительным машинам, в том числе и гвн-рс и обладают развитыми графическими возможностями. Комплексы программ "ghoh" и "Сирена" были проверены на большом числе тестовых примеров и использовались при обработке данных рассеяния многих объектов. При этом была отмечена высокая надежность и удобство в использовании указанных программ. В настоящее время эти программы широко используются во многих научных организациях СССР и за рубежом.

Положения, выносимые на защиту!

1. Разработаны устойчивые методы репения интегральных уравнений типа свертки в малоугловом рассеянии (уравнение учета немонохроматичности излучения и уравнение полидисперсности).

2. Алгоритмы решения оформлены в виде пакета FORTRAH-программ последовательной обработки и интерпретации данных малоуглового рентгеновского и нейтронного рассеяния "СИРЕНА".

3. Предложен общий метод обработки данных малоуглового рассеяния, основанный на применении методов регуляризации и позволяющий одновременно устранять приборные искажения и строить распределения в пространстве объекта с использованием априорной информации о гладкости, а также неотрицательности решения.

4. На основе общего метода обработки и интерпретации данных малоуглового рассеяния написан комплекс FORTRAN-программ GNOH. Комплекс реализован в диалоговом и пакетном вариантах и осуществляет первичную обработку данных, устранение приборных искажений, расчет функции распределения и инвариантов кривых рассеяния. Разработан и применен метод обработки данных рассеяния одновременно при различных приборных условиях.

5. Программы "СИРЕНА" и GNOH применены к обработке и интерпретации данных рассеяния различными моно- и полидисперсными системами! ядерные фильтры, биополимеры, монокристаллы.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на всесоюзной школе "Малоугловое рассеяние рентгеновских лучей и нейтронов" (Звенигород, 1986г.), международной школе по структуре биологических макромолекул в Пущино (1986), на X Европейской кристаллографической конференции (Вроилав, ПНР, 1986), XIV Школе по радиационной физике металлов и сплавов (Бакуриани, 1987), IX Совещании по использованию рассеяния нейтронов в физике конденсированного состояния (Свердловск, 1987) ,Рабочем совещании по

исследовании конденсированных сред на реакторе ПИК (Гатчина, 1987), vil международной конференции по малоугловому рассеянию (Прага, 1987), на XI1 Европейской кристаллографической конференции (Москва, 1989 ), на семинаре по методам регуляризации в МГУ, факультет ВМК (Москва, 1989).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано Ю печатных работ.

Структура и обьем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Первая и вторая главы являются обзорными. Третья, четвертая и пятая главы содержат результаты автора. Диссертация изложена на 116 страницах машенописного текста, содержит 33 рисунка и две таблицы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении содержится постановка задачи, сформулирована цель работы, кратко изложено содержание диссертации.

В первой главе диссертации рассматривается проблема решения интегральных уравнений при обработке данных в малоугловом рассеянии.

В первом параграфе рассмотрены причины возникновения /\1 коллимационных и спектральных искажений в малоугловом эксперименте и приводится вывод соответствующих интегральных уравнений« искажения на ширину пучка <£>

J(s) - J Hw(u) F(s-u) du, (1)

-со

искажения на высоту пучка

F(s) - J Hh(t) А (Уз2 + t2) du (2)

-оо

и искажения из-за немонохроматичности излучения

00

A(s) - J Wx(Л) I(s/X) á\ (3)

О

или в виде общего интеграла

амооо у-1

J(s! " JiT Wwíui Wh(tí WX(M к/-«>2 + t2/K) <**dtdu <4*

-OD-COo

где функции К - известные весовые функции, s « 4п sin е/л модуль

вектора рассеяния, о - половина угла рассеяния, функция J(s) -искаженная на коллимацию и немонохроматичность интенсивность, измеряемая в малоугловом эксперименте, i(s) - "идеальная" интенсивность эассеяния, отвечающая точечной коллимации и монохроматическому излучению. Эта функция является искомой. Приводится вывод уравнения полидисперсности, описывающего рассеяние системой подобных частиц разной величины

00

X ( s ) - J W(R) 1о ( sR) <№, (5)

о

i (sR) - интенсивность рассеяния в угол, соответствующий модул»

о

вектора рассеяния s частицей с размером R, W(R) - n2(R) N (R), где m{R) - длина рассеяния частицы с размером R, N(R) - функция распределения частиц по размеру R.

Второй параграф главы содержит обзор методов последовательной обработки данных малоуглового, при которой проводится сглаживание данных, введение поправки на ширину пучка (решение уравнения (1) относительно функции Г), высоту пучка ((2) относительно функции А) и учет немонохроматичности (решается уравнение (3)), а также решение уравнения полидисперсности (5). Рассмотрены различные методы решения перечисленных выше задач, их достоинства и недостатки.

Третий параграф главы посвящен обзору методов одновременного устранения приборных искажений, т.е. решению общего уравнения (4). Эписаны итерационный метод Лэйка решения этого уравнения и методы, основанные на представлении искомого решения в виде суперпозиции базисных функций. Так, в работе /2/ функция l(s) представляется в виде линейной комбинации кубических В-сплайнов. Причем коэффициенты разложения ищутся по методу наименьших квадратов. Основной сложно-гтью в использовании этого метода является выбор числа базисных функций а также в неустойчивости МНК.

В работах /3,4/ О.Глаттером предложен так называемый метод косвенного Фурье-преобразования, в котором используется разложение ю ортогональным функциям (также кубические В-сплайны) не функции ils), а функции распределения по расстояниям р(г), которая связана с I (s) синус-Фурье преобразованием

00

т, > Г , ч sin(sr) . ,

I(s) =■ J P(r) —^-dr (6)

О

'ajiiî для полидисперсных систем разложение функции распределения по

размерам (5). КоэСФициенты- разложения также ищутся по методу наименьшие квадратов с дополнительным регуляризируюцим требованием гладкости ренения. Метод Глаттера получил широкое распостранение благодаря универсальности и надежности. Однако он обладает и некоторыми недостатками! число базисных функций выбирается наугад, (методом проб и оонбок), программа довольно громоздка, требует больсой оперативной памяти и скорости очета, нет возможности находить неотрицательные ревения, получаемое решение содержит некоторые систематические овнбки.

Вторая глава также является обзорной. В ней описываются /в/ ооновные методы ревения некорректных задач. В первом параграфе дается (Определение некорректной задачи по Адамару! некорректной считаетоя задача, ревение которой неединственно и/или неустойчиво к погрешностям входных данных. Говорится, что решение интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода (к ним относятся уравнения (1-6)) является некорректной задачей. Во втором параграфе описывается один из наиболее развитых методов ревения такого сорта задач -метод детерминистической регуляризации А.Н.Тихонова, который основан на замене некорректной задачи на близкую к ней в некотором смыоле корректную задачу. Прежде всего рассматривается решение на компакте) Тихоновым была доказана теорема о том, что выделение компактного множества решений делает задачу корректной. Далее раооматривавтоя универсальный метод решения широкого класса обратных задач - т.н. метод а-регуляризации Тихонова. Суть метода заключается в следующей. Рассмотрим некорректную задачу решения операторного уравнения

А1г] - и

относительно функции г, здесь л - линейный оператор (в том числе интегральный оператор Фредгольма первого рода), и - правая часть уравнения, заданная с погрешностью 8 - II и - и Иц, ит- точная правая часть,II Кц - расстояние в прстранстве и. Метод а-регуляризации заключается в замене этой некорректной задачи на корректную задачу минимизации функционала Тихонова

Та(г) - НА[г] - иИ^ + ап[г]

о[г] г неотрицательный стабилизирующий функционал. Функционал Та является строго выпуклым, поэтому решение задачи га существует и единственно, а также устойчиво. При стремлении а и & к нулю ха

стремится к точному ревению, а параметр регуляризации выбирается по

методу обобщенной невязки! а такое, что ИА1га1 - иII - в (здесь в

содержит погреиность правой части, меру несовместности уравнения и погрешность в оператор© (см. /в/). Такой подход позволяет получать регуляризованное решение ха как без ограничений так и с ограничениями на вид функции г. В первом случае репение получается из уравнения Эйлера

г_ - (аС + А*А)"1(А*и * аСг )

СЕ О

г - начальное приближение. Задача о ограничениями реоаотся

О

проекционными методами минимизации.

Особенно эффективно применение метода а-регуляризации Тихонова для решения уравнений типа свертки. В этом случае регуляризованное решение уравнения записывается в явном виде и не надо вычислять обратную матрицу. В частности, рассматривается реиение уравнения свертки для преобразования Фурье, т.е. когда ядро зависит от разности аргуметов(напр. уравнение (1)) (см. /7/}

В пункте 2.э описан метод итеративной регуляризации Фридмана. Итерационный процесс сходится к точному репение, если погреоности отсутствуют. В' случае наличия погрешности в правой части итерационный процесс обрывается на некотором числе итераций а , которое и

О

является регуляризирующим параметром/в/. Существуют различные | методы выбора ао> Один из наиболее эффективных - метод останова по | невязке.

В пункте 2.4 описываются статистические подходы к ревению интегральных уравнений, которые применяются в случаях, когда имеется некоторая статистическая информация о входяцих в систему линейных уравнений Кг - и (к которой приводится интегральное уравнение при помощи некоторых квадратур) случайных векторах (см. /э/) .Здесь А - это ч*п матрица, т - (г . г. ... , г ) - вектор,

12 П

ц - (и , и . ... , и )- вектор. Рассматривается небайесовский и

12 п)

байесовский подходы. В первом случае предполагается, что известно

только матожидание правой части Ей - и и ее ковариационная — * -

матрица с - Е(и - и) (и-и). Приводятся различные линейные оценки решения случайной задачи! МНК оценка, которая является наилучшей линейной несмещенной оценкой, однако неустойчива к погрешностям в правой части. Устойчивую к случайным погрешностям в правой части оценку дают так называемые гребневые оценки, которые в общем случае записываются в виде

-1 * -1 гг - (й С А + М ) Д С и

Слагаемое н-1 введено для стабилизации решения. Решение г^ совпадает с регуляризованным решением в методе а - регуляризации (решение уравнения Эйлера), если М - о_11. Для выбора гребневого параметра а применяются различные методы, в том числе и метод невязки.Таким образом гребневая оценка представляет собой регуляризованное решение Тихонова. Приводится оценка погрешности гребневой оценки.

В байесовском подходе кроме задания матожидания и ковариации правой части предполагаются известными матожидание и ковариация реаения и плотность вероятности решения. Приведена байесовская оценка решения ъОтмечено, что байесовская оценка является обобщением гребневой оценки, т.е. обобщением решения уравнения Эйлера в детерминистическом случае.

Глава з посвящена развитию методов последовательной обработки данных малоуглового рассеяния на основе применения методов регуляризации.

В 3.1 рассматривается применение метода регуляризации к задаче сглаживания малоугловых данных в случае нескольких измерений (прогонов). Минимизируется функционал Тихонова со стабилизатором, отвечающим разностному аналогу интеграла квадрата производной. Получаемая при вычислении минимума функционала система линейных уравнений относительно вектора сглаженных значений интенсивности имеет трехдиагональную матрицу и легко решается методом прогонки.

В пункте 3.2 описываются алгоритмы решения уравнений типа свертки. Уравнение (1) решается как описано в /51/ (пункт 3.2.1)

В 3.2.2 описывается предложенный в [2] метод решения уравнения немонохроматичности (3). Если сделать замену к(\) <= \ то,

воспользовавшись теоремой о свертке для преобразования Меллина, можно получить точное решение уравнения (3). Однако оно неустойчиво. Получено регуляризованное решение этого уравнения

X

,<s> - 2k I

0 + 100 K*(£)Â(Ê) S"£d£

2Л1 J К *( £ )К ( £ ) ♦ а|£|4

здесь £(£) - / £(s> s Ê_1ds - образ Меллина функции f(s), с -

о

константа, значение которой для хорошей сходимости интегралов -образов Меллина принимается равной 2ч-4. Параметр регуляризации выбирается по невязке.

- и -

рассеяния шаром), х - искаженная кривая =0$2),

А - метод /з/, о - метод /з/ , - метод регуляризации

На Рис.1 приводится пример использования данной методики для восстановления интенсивности рассеяния однородным шаром, искаженной на немонохроматичность с треугольной спектральной функцией. Здесь же приведены результаты применения итерационного метода/а/и метода Глаттера. Видно, что итерационный метод неустойчив, а метод Глаттера дает некоторые систематические искажения в конца кривой.

В пункте 3.2.3 описывается предложенный в [3] метод реаения уравнения полидисперсности (5) с применением регуляризации. Если сделать замену * - 1/R, D(x) - 1/<xw(x)), то получится уравнение, к которому применима теорема о свертке, если пользоваться преобразованием Меллина. Получено регуляризованное решение

c+ioo л £-1

t с * i (£>I(É) Rb <U

A A

Здесь io(£) и I(£) - образы Меллина формфактора и интенсивности рассеяния. На рис. 2 приведен пример восстановления модельной функции распределения по размерам по интенсивности рассеяния полидисперсной системой однородных шаров, взятой на конечном

И,ич

Рис.2 Восстишш'пиу функции распределения т рпзмерим X—Иетод 121; О —метод Глвттера; + —предложенный метод

интервале с 3-х процентным шумом. Здесь же приведены результаты применения других методов.

В з.з описан пакет программ "Сирена* с последовательным устранением приборных искажений и решением уравнения полидисперсности. В комплексе 'Сирена* для решения уравнений типа свертки применен метод регуляризации. Поправка на высоту вводится по методу /11/. Комплекс был проверен на тестовых примерах и применен к обработке экспериментальных данных рассеяния некоторыми объектами. В частности, описано применение комплекса для анализа данных рассеяния раствором латекса полистирола [4]. Кривая малоуглового рассеяния была измерена на нейтронном дифрактометре "Мембрана-2" (Гатчина) и содержала значительные искажения на ширину, высоту и немонохромати-чнось. На Рис. з. приведено распределение по размерам, полученное из восстановленной кривой рассеяния. Для сравнения приведены данные электронной микроскопии.

В Главе 4 описан общий метод обработки данных малоуглового рассеяния. В параграфе 4.1 показано, что использование одновременной обработки данных малоуглового рассеяния, вообще говоря, предпочтительнее последовательной. Дело в том, что параметр регуляризации, определяющий гладкость решения, выбирается по методу невязки (т.е. с использованием погрешности правой части). Погрешность решения мокет быть оценена лишь приблизительно.

D(R)

0.5 -

JM

250

500

760

Рис. 3. Распределение по размерам частиц латекса полистирола.

-- данные электронной микроскопии,

------ применение комплекса "Сирена*"

Тоэтому выбор а по невязке может быть осуществлен лишь при решении первого уравнения цепочки. В комплексе "Сирена" при решении юследуюиих уравнений о выбирается по минимуму ||Au-za||2.

Параграф 4.2 описывает общий метод одновременной обработки данных. Для монодисперсиых систем интенсивность рассеяния связана зоотношением (6) с функцией распределения по расстояниям в частице, ■ели подставить (б) в (4) и поменять порядок интегрирования, то

голучим вместо тройного интеграла (4) однократный интеграл

00

J(B) - J К(в,г) р(г) dr, (7)

о

•де ядро К(в,с) рассчитывается по формуле

ахххо , |

K(s, г) - JJJ Ww(u) tyt) WK<\) n/lB-a)2 + t2 r/V) dudtdA, (8)

— 0D-<30o

i Ф(х) - sin(x)/x. Для полидисперсних систем (интенсивность связана : функцией распределения по расстояниям соотношением (5)) юлучаем аналогичное уравнение с ядром, в котором 4>(х) » i0(x'> -

форифактор частицы. Все подынтегральные функции являются ограниченными и непрерывными, а весовые функции и к тому же и финитные. Поэтому функция к является ограниченной и непрерывной функцией по каждой переменной. В случае отсутствия некоторого искажения соответствующий интеграл снимается.

Уравнение (7) является интегральными уравнениями Фредгольма первого рода и реваются с использованием метода а-регуляризации Тихонова. При атом для учета погрешностей измерения норма в пространстве з функций рассеяния рассчитывается как

и <»

||Ар - ¿11* - ^ Е I | К (в,,г) Р(Г) <1г - Лв^]2, (9)

"I о

а стабилизатор в функционале Тихонова принимается равным

со

0[Р] - ||р|| г - | [рг(г) + р'2(г)1 <1г.

О

что соответствует наложению требования ограниченности и гладкости ревения. Параметр регуляризации выбирается по методу обобщенной

невязки, т.е. <ч ||Ар - Л||2 - лг + мг{к,3), где и(А,Л - ж1п||Ар-1|| о ,7 р з

- так называемая мера несовместности уравнения, которая определяет степень рассогласованности левой и правой частей уравнения.В нашем случае » - 1, так как (9) - это нормализованная .сумма случайных величин. Функционал Тихонова минимизируется либо решением уравнения Эйлера (задача без ограничений), либо используется градиентный метод (тогда возможно наложение ограничений на множество решений, например, требование неотрицательности функции р(г) илиК(Ю). Когда найдено реаение, то по формуле (6) или (5) рассчитывается интенсивность рассеяния системой 1(в), соответствующая точечной коллимации и монохроматическому излучению. Отмечается, что мера несовместности для полидисперсиых систем позволяет выбирать наилучшую модель (т.е. наилучший формфактор 1о(яЯ)) из числа предложенных по наименьшему значению и.

В параграфе в.З говорится о последовательном представлении ядра интегрального уравнения К. В самом деле, тройной интеграл (8) можно представить в виде цепочки трех последовательных интегралов аналогично (1)-(3). Это позволяет экономить время счета, особенно в случае наличия всех трех видов искажений.

Параграф «.4 посвящен случаю различных экспериментальных условий. Общий метод позволяет учитывать одновременно два и более различных измерений одного образца. Допустим, что один и тот se объект измерен на различных установках, или при различных коллимационных условиях на одной и той яе установке. Это означает, что получены наборы данных Ja(s) и J^(s) при условиях К1г)(в,г) и Kt2,(s,r) по которым надо восстановить функцию p(r) (W(R)), Тогда можно объединить две задачи в одну и реиать общую систему Неизвестная константа к введена по той причине, что чаще всего в

J к!1>-

1

J

L 1 -

(Ю)

малоугловом рассеянии проводятся отосительные измерения, и интенсивность рассеяния известна с точностью до постоянного множителя. В 4.4 показано, что если принять и за п+1 -ю неизвестную в системе уравнеий (Ю) и решать ее по методу наименьших квадратов, то мы получим систему линейных уравнений относительно вектора (Рг»' Рг, ■••,PN,«) с симметричной положительно определенной матрицей, которая решается стандартнами методами. После того, как * найдена, система (10) решается с регуляризацией как описано выше.

Параграф 4.5 посвящен вопросу распостранения ошибок.

* -1 -1

Приводится формула для расчета ошибок в решении Ер-(ас + к z к) Здесь и"1 - матрица, обратная ковариационной матрице правой части. Приведены также формулы для расчета ошибок в функциях I и Ja-

В параграфе 4.6 описан пакет программ GM0H, реализующий общий метод обработки данных малоуглового рассеяния на основе метода регуляризации по Тихонову, gnom написан на языке fortraii-4 и адаптирован к машинам nord-500, VAX, БЭСМ-6, IBM-PC. Существует пакетная и диалоговая версии программы. Последняя имеет развитые графические возможности для отображения информации на дисплее или печатающем устройстве. В программе реализован расчет регуляризова-нного решения без ограничений и с ограничением (метод проекции сопряженных градиентов).В комплексе GH0M для минимизации функционала Тихонова использованы некоторые подпрограммы из книги /Ю/. Реализована возможность обработки одновременно двух различных экспериментов. Рис.4 дает пример восстановления функции распределения по расстояниям однородного шара по интенсивности рассеяния, содержащей все виды искажений, и 5%-й шум (Рис. 5).

Р(г)

Рис.4. Восстановление функции распределения по расстояниям однородного шара.——- модельная функция, ••••• результат применения программы ГНОМ

5Йщум, »»•«» идеальная кривая рассеяния, соответствующая Г

Глава 5 содержит описание некоторых приложений развитых вычислительных методов к обработке данных рассеяния объектами различных типов.

Параграф 5.1 описывает изучение кластерной структуры монокри-

сталлов лейкосапфира методами рентгеновского и нейтронного малоуглового рассеяния. Нейтронные эксперименты были выполнены на дифрактометре "Мембрана-2*, рентгеновские - на камере с геометрией по Кратки. Поправки на коллимацию и полихроматичность вводились с применением комплекса программ "Сирена". При помощи двух различных методик для различных образцов удалось зарегистрировать существенное малоугловое рассеяние. При этом наблюдалось совпадение обработанных нейтронной и рентгеновской кривых в диапазоне 4-ю"3 А"1 s в sc 2-Ю"2 А"1, что говорит о надатомной структуре неоднородностей. Используя данные абсолютных измерений был оценен химический состав кластеров. Покозано, что они состоят в основном из аморфизованного графита. Были определены параметры кластеров -среднеквадратичный радиус инерции <Rg>. средний по распределению объем <V>, объемная доля кластеров <р5, удельная поверхность раздела фаз s/v - сведены в таблицу. Геометрические параметры <R », <v> и s/v оценивается без предположения о составе кластеров.

V о

Таблица

Параметр Рентген Нейтроны

<R >,А зза ± 12 330 ± 20

<v>,A (1.53 ± 0.15) 10® О (1.74 ± 0.18) 10

V0,CM3 91 1.34 ю~5 (1.9 ± 0.15) 10~4 22.08 (1.1 ± 0.2) 10~4

S'VA-1 (7.9 dt 0.8) Ю-6 (5.6 ± 1.4) 10~6

Были также рассчитаны функции распределения по размерам (Рис.6) в предположении сферичности кластеров. Для этого использовался комплекс "Сирена". Получено бимодальное распределение с частицами радиусов около 50 и зоо А.

Таким образом методами рентгеновского и нейтронного малоуглового рассеяния в монокристаллах лейкосапфира обнаружены кластеры примеси с бимодальным распределением по размерам. Кластеры, вероятно, представляют собой аморфные графитовые образования, обьемная доля которых составляет примерно (1 з)-10~4

Параграф 5.2 посвящен изучению поровой структуры ядерных фильтров. Ядерные фильтры, представляющие один из перспективных классов мембранных фильтров,получаются путем химической и физической обработки треков.образующихся в пленке диэлектрика при ее

»(к)

0.5 -

о

Я, А

о

о

100

200

30 о

400

500

600

Рис.6. Рассчитанные по программа "Сирена" распределения по размерам кластеров дефектов в монокристалле лейкосап-

облучении ускоренными заряженными частицами. Одними из основных характеристик любой мембраны являются средний диаметр и распределение пор по размерам, которые определяют ее производительность и селективность. В работе [9] методом рентгеновского малоуглового рассеяния была исследована структура латентных треков в пленках

полиэтилентерефталата /ПЭГФ/, облученного ионами хе129 с энергией

8 -2

около 1 МэВ/нуклон и плотностью потока з-ю см , а также образцы ядерных фильтров, полученные из этих пленок после химической и физической обработки. Рентгеновские малоугловые измерения выполнялись на автоматическом дифрактометре АМУР-К с позиционно-чувстви-тельным детектором. Плоскость пленки была перпендикулярна направлению первичного пучка. Поэтому система треков в пленке может рассматриваться как множество хаотически расположенных длинных цилиндров, параллельных первичному пучку. Формфактор цилиндра

где др - разность электронных плотностей частицы (цилиндра) и

фира:-по рентгеновским данным,----по данным

нейтронного рассеяния

хо(вЛ) - лИ2[(эИ)/(эЕ)]2 (Ар)

2

матрицы, .^(х) - функция Бесселя. Проводилась нормировка данных с учетом поглощения и интенсивности первичного пучка, вычиталось рассеяние матрицами (исходными пленками). Учет коллимационных искажений и расчет функций распределения по размерам проводился с помощью общего метода, использующего регуляризацию по Тихонову с проекцией на множество неотрицательных функций (программа смою. Было измерено рассеяние исходными пленками ПЭТФ, облученными пленками, протравленными пленками, протравленными пленками с кварцевым покрытием (композитные ядерные фильтры). Для непротрав-ленных пленок, рассеяние на которых слишком слабо, распределение по размерам не рассчитывалось. Для них бил оценен по формуле Гинье

1(з) - 1(0) ехр(-з2<1!д>2/2)

средний радиус инерции сечения трека > (для однородных цилин-

я

дров Я « и /г). Выл рассчитан средний радиус трека (130А). Для

з

остальных случаев по разностным кривым рассеяния были рассчитаны распределения по площадям поперечных сечений цилиндров (рис.7).

Рис.7. Распределения по площадям поперечных сечении треков в ядерных фильтрах:

- - протравленные треки,

----- композитные фильтры,

.......- терыоусакенше пленки.

М

МО

В параграфе 5.3 [10] говорится о изучении структурных изменсннЛ ДНК фага Т7 (нейтронные мйлоугловые исследования) с использование метода вариации контраста. Были измерены кривые малоуглпного нейтронного рассеяния образцов фнга п буфера* с высокой (II) низкой (Ь) ионной силой при различном содержании й^о (ог, 42", юг;

Для измерения интенсивности использовался двухкоординатный позиционно-чувствительный детектор, расстояние "источник-образец" и "образец-детектор" менялось (различные коллимационные условия). Двумерная интенсивность рассеяния усреднялась по окружностям. Разностные кривые рассеяния обрабатывались по программе вном с использованием одновременно двух кривых, измеренных при различных коллимациях. На рис. 8 приведен пример использования этой методики для совместной обработки кривых рассения, снятых при расстояниях ю и з метра, для образца в юи 0г0(буфер н). На рис. 9 а и Ь показаны восстановленные функции распределения по расстояниям . Видно, как максимумы этих кривых сдвигаются в сторону больших расстояний при увеличении вклада белковой компоненты в рассеяние. На основании полученных результатов можно сделать вывод о меньшей компактности фага в буфере ь.

Рис.8.Пример совместной обработки по программе ГНОМ кривых

рассеяния, снятых при различных коллимационных условиях. х*** - данные, измеренные при расстоянии образец-детектор 3 метра,лад^ - расстояние образец-детектор 10 метров, ~ — - восстановленная интенсивность рассеяния.

Рис.9 Функции распределения по расстояниям

БУФЕР Н

БУФЕР Ь

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. На основе метода регуляризации Тихонова предложены устойчивые методы решения интегральных уравнений типа свертки для задачи устранения искажений из-за немонохроматичности излучения и задачи полидисперсности.

2. Создан пакет Fortran-программ последовательной обработки и интерпретации данных малоуглового рентгеновского и нейтронного рассеяния "СИРЕНА". Этот комплекс программ был применен для обработки данных рассеяния различными объектами.

3. Разработан общий метод обработки данных малоуглового рассеяния, основанный на применении методов регуляризации и позволяющий одновременно устранять приборные искажения и строить распределения в пространстве объекта с использованием априорной информации о гладкости а также неотрицательности решения.

4. Создан комплекс FORTRAN-программ GHOit реализующий общий метод обработки и интерпретации данных малоуглового рассеяния. Комплекс написан в диалоговом и пакетном вариантах с графическими возможностями и осуществляет первичную обработку данных, устранение приборных искажений, расчет функции распределения

и инвариантов кривых рассеяния, одновременную обработку двух экспериментов.

5. Программы "СИРЕНА" и "G»OM" применены к обработке и интерпретации данных рассеяния различными моно- и полидисперсными системами! ядерные фильтры, биополимеры, монокристаллы.

Материалы диссертации опубликованы в следующих работах» Tl] Svergun D.I., Semenyuk А. V.//Application of the

regularization technique to the Small-angle scattering data processing. Studia biophysica. 1986, 2, p.255-262 [2j Свергун Д.И., Семен»« А.В.//Учет немонохроыатичности излучения

в малоугловом эксперименте. 19S5. с. 284. Н з. а. 621-626. Сз] Свергун Д.И., Семенюк А.В.//Решение интегральных уравнений типа свертки при обработке данных в иалоугловом' эксперименте 1987. Кристаллография, т. 32. Вып. 6. с..1365-1372. ПвЭ Агамалян М.М. , Крившич Т.И. Свергун Д.И., Семенкж А.В.

//Устранение приборных искажений е нейтронном малоугловом эксперименте (дифрактометр "Мембрана-11"). 1985. Препринт 1081 ЛИЯФ АН СССР.

Свергун Д.И., Семешок А.В.// Общий метод обработки данных малоуглового рассеяния. ДАН СССР. 1987. т.297, N 7,с.1373-76

Svergun D.I., Semenyuk A.V., Feigln L.A.// Snail-Angle Scattering Data Treatment by the Regularization Method. 1988. Acta cryst., A44, 244-250 Су] Seoenyuk A.V., Svergun D.I.//GH0H - a prograa package for processing snail-angle scatterln data. 1989. Collected abstracts of 12-th Bur. cryst. aeetlng. Hoscotr. Vol. 3. fe3 Агамалян M.M., Багдасаров х.С., Лазарев В.А., Свергун Д.И., Семенюк А.В.//Изучение кластерной структуры монокристаллов лейкосапфира методами рентгеновского и нейтронного малоуглового рассеяния. 1988. Препринт н 1382, ЛИЯФ АН СССР. ["э] Свергун Д.И., Семенюк А.В., Могилевский JI. Березкин В.В.,

Мчедлишвили Б.В.//Исследование поровой структуры ядерных фильтров методом малоуглового рассеяния.1989.Препринт ИКАН СССР H 6 flo]relgln L.A., Svergun D.I., Semenyuk A.V., Honto Gy., Toth K., Tinnins P.//Structure transitions of the phage T7 DHA (neutron snail-angle scattering study). 1989. 12-th ECH.Moscow Цитированная литература. /1/ Свергун Д.И., Фейгин Л.А. Рентгеновское и нейтронное малоугловое рассеяние.-М.¡Наука.Гл.ред. физ.-мат. лит. 1986.-280 С.

/2/. Schelten J., Hossfeld F.-J.Appl.Cryst.,1971,v.4 p.210-223

/3/. Glatter 0.-J.Appl.Cryst.,1977, v.47,p.83-102

/4/. Glatter 0.-J.Appl.Cryst.,1980, v.13,p.7-11

/5/. Тихонов A.H., Арсенин В.Я. - Методы ревения некорректных

задач. М. -.Наука. 1986. /е/. Гончарский А.В., Леонов А.С., Ягола А.Г.//Обобщенный принцип

невязки.-ЖВМ И МФ, 1973, 13, 2, С.294-302 /7/. Гончарский А.В., Черепащук A.M., Ягола А.Г.//Численные методы

обратных задач астрофизики M.i Наука. 1978 /в/. Фридман В.М., Метод последовательных приближений для

интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода. Успехи мат. наук 1956.11.I.e.233-280 /э/. Hofnann В.//Regularization for Applied Inverse and

Ill-posed problena.-Leipzig, BSB Teubner, 1986 /Ю/.Тихонов A.H., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г.

Регуляризируюцие алгоритмы и априорная информация. М. •. Наука

1983

/и/ Щедрин Б.М., Фейгин Д.А., Кристаллография, 1966, o.isa-i63 /12/ Fedorova I.S., Scheldt P.И.-J.Appl.Cryst.,1966. v.37,p.649-655