Обратные динамические задачи для уравнений акустики и системы уравнений теории упругости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. СОБОЛЕВА

РГ 5 ОД

О В ННЧ 1998 На правах рукописи

УДК 517.958+531.395+534.22

Бугуева Татьяна Владимировна

ОБРАТНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ АКУСТИКИ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1997

Работа выполнена в Институте математики СО РАН, г. Новосибирск. Научный руководитель - чл.-корр. РАН В. Г. Романов Официальные оппоненты - д.ф.-м.н., проф. Б. Д. Аннин,

Ведущая организация - ИВМ и МГ СО РАН

Защита состоится "13" января 1998 года в 15.00 часов на заседании диссертационного совета К 063.98.04 при Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, г.Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке НГУ.

Автореферат разослан " ^ " 1997 года.

д.ф.-м.н., проф. В. П. Голубятников

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н.

В.Г.Яхно

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ1.

1. Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию обратных динамических задач для уравнений акустики и системы уравнений теории упругости для изотропной среды в шаре. Задачи определения коэффициентов гиперболических уравнений и систем по некоторой дополнительной информации об их решении очень важны, так как искомыми коэффициентами! рассматриваемых обратных задач являются такие характеристики исследуемых сред, как скорость распространения волн в среде и плотность - в случае обратной задачи акустики; параметры Ламе и плотность - в случае обратной задачи теории упругости. Поэтому эти задачи имеют большое практическое значение.

2. Цель работы. Построение методов решения одномерных и линеаризованных многомерных обратных динамических задач в шаре, а также исследование вопросов единственности, устойчивости и существования решения этих обратных задач.

3. Научная новизна. Предложены алгоритмические методы решения:

- одномерной обратной задачи определения функции плотности и скорости распространения воли в акустической среде;

- линеаризованной обратной задачи определения функции скорости, входящей в уравнение акустики и зависящей от всех переменных сферической системы координат, при известной функции плотности, зависящей только от радиальной компоненты;

- одномерной обратной задачи определения параметров Ламе и функции плотности для системы уравнений изотропной упругости;

- линеаризованной обратной задачи определения функции плотности при известных скоростях распространения продольных и поперечных волн в упругой среде.

Основной результат работы состоит в получении, оценок условной устойчивости для этих задач.

'Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 90-01-01887, 96-01-01937).

4. Апробация работы. Результаты работы докладывались на: школах молодых ученых ВЦ СО АН СССР (Новосибирск, март 1985г., март 1986г.), Сибирской конференции по неклассическим уравнениям математической физики, (Новосибирск, 12-15 сентября 1995г.), Втором сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИН-ПРИМ -96) (Новосибирск, 25-30 июня 1996г.), Международном семинаре по обратным задачам геофизики (Новосибирск, 30 сентября-4 октября 1996г.), заседании кафедры теории функций НГУ (зав. кафедрой: академик РАН М.М.Лаврентьев), научных семинарах под руководством академика РАН А. С. Алексеева, чл.-корр. РАН В. Г. Романова, чл,-корр.РАН П.И.Плотникова и чл.-корр.РАН В.Н.Монахова, д.ф.-м.н. Е.Ю. Аниконова, д.ф.-м.н. A.M. Блохина, д.ф.-м.н. Т. И. Зеленяка. Также результаты работы были анонсированы на: Международной конференции, посвященной математико-информационным технологиям в образовании и науке (Алматы, декабрь 1995г.), Международной конференции, посвященной памяти академика А.Н.Тихонова, (IIPP-96) (Москва, 1996г.), Второй международной конференции по математическому моделированию (Якутск, 28 июня - 2 июля 1997г.), Международной конференции "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 25-30 августа 1996г.) Работа "Радиально-одномерная обратная динамическая задача изотропной упругости", составляющая содержание главы 4 диссертационной работы, в 1985г. заняла второе место на конкурсе молодых ученых ВЦ СО АН СССР.

5. Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 печатных работ.

6. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Общий объем составляет 141 страницу, включая 11 рисунков. Список литературы содержит 51 наименование.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан обзор понятий и результатов, относящихся к содержанию работы.

Главы 1 и 2 настоящей работы посвящены изучению обратных задач для уравнения акустики

= A« - Ур ■ Vu, г < го, (1.1)

в шаре О = [0, го] х S2 радиуса г0, где S2 - сфера единичного радиуса в R3. Здесь с - скорость распространения волн в акустической среде, р = In р, где р - плотность акустической среды, и - смещение.

В параграфе 1.1 приводятся некоторые сведения, касающиеся свойств сферических функций Yim(9,tp) порядка 1:1 — 0,1,... ; —I < m < I, используемые в диссертации.

В параграфе 1.2 уравнение (1.1) рассматривается в предположении, что функции си р зависят только от радиальной переменной г. При этом функция и является обобщенным решением уравнения

1 д2" л sdu .

с начальными и краевыми условиями

Uli ( 7Г\

Ч<о = о. Тг т-гГЬШчз)Ь К (1-3)

Граничное условие моделирует мгновенный источник, расположенный в фиксированной точке границы шара П.

В качестве дополнительной информации рассматриваются данные

2т 7Г

J Ju(t,r,9,<p)Yj0(9,ip)sin9d9d<p =Ф,-о(<). j = 0,2, (1.4) ° 0

t G [0,Т\, Т, го - фиксированные положительные числа. Обратная задача 1.1. Пусть го, Т - заданные положительные числа. Определить функции с(г) и р(г), входящие в равенство (1.2), если о решении прямой задачи (1.2), (1.3) известна информация (1.4), где Ф>о(<) -заданные функции при t G [0, Г], j = 0,2; величина р(г0) = р0 - задана.

От функций с(г) и p(r) — In р(г) перейдем к параметрическому заданию в виде с(х), р(х) и г(х), х € (0,ж0), где х = / с-1(Я<1£, х0 =

Г

''О

Пусть Т, г0, Ь, 5, ро, г - фиксированные положительные числа, Т < 2га/Ь, £ = 1'о — ТЬ/2. Получена оценка непрерывной зависимости изменения решения обратной задачи от изменения информации в следующих классах функции

Теорема 1.1. Пусть Т, Го, L, 6, ро - заданные положительные числа; Т < 2r0/L; функции с(х), с,(х) £ Qc, р(х), р,(х) £ Qp, г(х), г,(х) £ Qr являются решениями обратной задачи 1.1, отвечающими информациям соответственно; j = 0,2. Тогда имеют место следующие

оценки:

II7" - r*llc3[0,r/2j ^ В1(11ф00 - Ф.ООНСЧО/Г] + НФ20 - Ф.20||С4[0,Т])> IIе - £*11с=[0,г/2] < В^ЦФоо - Ф.оо||с<[о,:г] + ИФ20 - Ф.20||С<[0,Т])> \\Р -Р.|1с»[0,Т/2] ^ В2(||ф00 - Ф.00|1с<[0,П + Иф20 ~ Ф»20||С<[0,Г])> величины Bi, Вг зависят от L, Т, 8, г0.

Результаты этой главы опубликованы в 1985г. в работах [1], [2].

В главе 2 рассматривается уравнение акустики (1.1) в предположении, что скорость распространения волн в среде есть функция всех сферических переменных, а плотность среды зависит только от радиальной переменной. Функция и является решением уравнения

Здесь 9й(¿) - функция Хевисайда.

Целью главы является определение коэффициента с(г, 9, ¡р) по дополнительно заданной информации о решении задачи следующего вида

Qc = {с(х) £ С2[0,772] I со(х) > 6 > О, ||с0||сВД2] < L)

Qp = OK*) 6 С2[0,Г/2] I р(0) =ро, ||р||с2[о,г/2] ^ L}'

Qr = {г(х) е С3[0,Т/2] I г(х) > £ > 0, ||r||c[0ir/2] < г0}.

(2.1)

с условиями

(2.2)

(2.3)

где v{9,v) 6 S2, t € [0,Г].

Введем в рассмотрение функцию Фо(<)> определенную следующим образом 1 -2тг rir

Фо(г) = I ф(*, V) ^ <? сМ dy»,

и рассмотрим разность Ф^М, V5) = у) _ Фо(*)- Допустим, что эта

разность мала по сравнению с Ф0(0- Тогда естественно предположить, что ф-, 9, <р) = co(r)+ci(ri гДе со(г) определяется как решение обратной задачи ^ / т \

5и°=с2(г)(ди0-У(г)^), Г<го, (2.4)

at2

I п

ио|«о = о,

= 0o(t), (2.5)

"<° ~ Зг

«о и„= Фо(0. (2-6)

а функция с\{г,в,1р) - мала по сравнению с Со(г). Для определения с\(г,0,1р) используем метод линеаризации. Представим функцию и(1,г,9,<р) в виде суммы и^,г,9,<р) = + м1 г, 9, <р), тогда для

функции и1^,г,в,<р) получим равенства

— - с2(г)Ли[ - с2(гЪ'(г)~ 4- 2с1М'^) г<гп (2 7)

д{2 - с0(г)Д« с0(г)р (г) ^ + ^ т2 , г< г0, (2.7)

11 п ди1

и Lo = о,

0. (2.8)

Информация (2.3) для функции их{1,г,9, ц>) будет иметь вид

и1|г=г0 = (2.9)

Обратная задача 2.1. Пусть го, Т - заданные положительные числа. Определить функцию со(г), входящую в уравнение (2.4), если относительно решения прямой задачи (2.4), (2.5) известна дополнительная информация (2.6), где Ф0(<) - заданная функция при £ £ [0,Т], функцияр(г) считается известной.

Обратная задача 2.2. Пусть г0, Т - заданные положительные числа. Определить функцию С]( г, 9, ф), входящую в уравнение (2.7), если

относительно решения прямой задачи (2.7), (2.8) известна дополнительная информация (2.9), где ^i(t,6,ip) - заданная функция при t б [0,Т], и(в, tp) 6 S2; функции Со(г) и р(г) считаются известными.

От функций со(г), ci(r,9,ip), p(r) = Inp(r) перейдем к параметрическому заданию в виде cq(x), c¡(x,0,<p), р(х), r(x), х £ (0,яо), гДе

* = /440^*0 = /440^.

Пусть Т, го, L, Li, 6, е - фиксированные положительные числа; Т < 2r0/L, £ = r0 - TL/2.

Обозначим ае2 = ||Ф0 - ф*о|1сз[ОТ] + ||Ф1 - IIc3([o,t];L2(ss)) и определим классы функций

Qo - №) € С2[0,Г/2] | со(х) > 6 > 0, ||c0||c2[0iT/2! < L}, Qr = М*) G С3[0,Т/2] | г(х) > е > 0, ||r||c[0iT/2] < г0}, Q', = {cl(x,e,iP),A^ce C([0,T/2];L2(S2)) | НЛ^саода^))^}, где / \ 1/2

II/IIc([O,T/2];L2(S^)) = SUP \Jf2(x,0,<p)smededip

0<x<T/2 ^

Теорема 2.1. Пусть T, ro, L, 6 - заданные положительные числа; Т < 2r0/L; функции со(х), с,0(х) £ Q0; r(x), r,(x) £ Qr являются решениями обратной задачи 2.1, отвечающими информациям Фо(£)> Ф.о(^) при t £ [О, Т], соответственно. Тогда имеют место следующие оценки:

Иг - г*11сз[о,т/2] ^ Вз 1|Фо - Ф*о||Сз[о,з1 > ||со - C»0llc'[0,r/2] - Вз ИФ° ~~ Ф»о11сз[0,Т] i

константа Вз зависит от L, Т, 6, vq.

Теорема 2.2. Пусть Т, ro, L, Li, 6 - заданные положительные числа; Т < 2»'о¡L. Пусть аг < ехр(—1/2), тогда для функций c\(x,0,tp), ctí(x, в, ¡p) £ Qi, являющихся решениями обратной задачи 2.2 и отвечающих информациям Фiв, ip), Ф*1 (t,9,ip), соответственно, при t £ [О, Г], <р) £ S2 имеет место следующая оценка:

ll£i - c,i||c([o,77'2j;MS2)) < 04 [lnaT1]" ,

где В4 - некоторая положительная величина, зависящая от L, L\, Т, <5, го-

Обозначим c(x,0,ip) = со(х) + ci(x,9,(p). Из теорем 2.1 и 2.2 следует Теорема 2.3. Пусть Т, r0, L, Li, 5 - заданные положительные числа; Т < 2r0/L. Пусть аз < ехр(—1/2), тогда для функций с(х,9,(р), с,(ж, 0, <р) G Qi, отвечающих информациям Ф(<, 9, (р), Ф„{t,9,<p), соответственно, при t G [0,Т], v{9,ip) 6 S2 имеет место следующая оценка

II5 ~ llc([0,71/2];L2(S2)) < Вз ||Ф0 ~ Ф.0||с»[0.П + В4 ^»"Ч"2 '

В3, В4 - константы из теорем 2.1 я 2.2. Результаты этой главы были опубликованы в работе [12]. Глава 3 дополняет содержимое параграфа 1.1 и содержит необходимую при исследовании глав 4 и 5 информацию о сферических гармониках Rtm(0,<p), Sim{9,<f>), Tim(#, f), определяемых по сферическим функциям Ylm{0,cp), 1 = 0,1,...;-! <m<l,

Rim{0,<t>)=Yim(e,<p)er,

Slm{e' v) = WTT) (e* Y,m'

T'mM = WTT) (e* ~ e4)Y""' (зл>

где Yim(9, Ф) ~ сферические функщш порядка I: I = 0,1,2,...; — I < m < I; Soo = Too = 0.

Также в главе 3 рассматривается система дифференциальных уравнений изотропной упругости

д2й

р— = цАй + (\ +/i)Vdivw + VAdivM-f V/i • (Vü + uV) (3.2)

и в предположении, что решение системы уравнений Ламе (3.2) представлено рядом Фурье по системе сферических гармоник R/m, Sim, T/m, приводится система дифференциальных соотношений для коэффициентов ряда Фурье.

В главе 4 изучается обратная динамическая задача линейной изотропной упругости в предположении, что функции A, fi, р зависят только от

радпальнои переменой г д2й

р— = /í Ди + (А + /i) V div и + А '(г) er div и + //(г) er -(Vu + wV). (4.1)

Рассматриваются данные

г? |í<0= 0, <тГ U = ЩЩрЩО - (4.2)

где вектор I определен в сферической системе координат е,, е^ следующим образом / = (1,1,0), а оу = Aer div it + р. ег - (Vu + «V) есть вектор напряжений, действующий на площадку с нормалью, параллельной осп ег.

В качестве дополнительной информации для решения обратной задачи рассматриваются некоторые интегральные характеристики поля смещений, определяемые следующим образом

2* л-

J J u{t,r,0,ip) ■ R<,o(0,¥>)d0d^ |r=ro = Ф0(*),

о о

2jt и

J Ju(t,r,0,4>)-Tjj(e,<p)d0d<p\r=ro=4>j(t), j = 1,2, (4.3) о о

где $j(t) - заданные функции при t £ [0,T], T - фиксированное положительное число; j = 0,1,2.

Обратная задача 4.1. Пусть го, Т - фиксированные положительные числа. Определить функции А(г), ц(г), р(г), входящие в равенства (4.1), (4.2), если относительно решения прямой задачи (4.1)—(4.2) известна дополнительная ипформация (4.3), где $j(t) - заданные функции при í £ [0,Т], Т - фиксированное положительное число; jr — 0,1,2.

От функций /¿(г), р(г) и А(г) перейдем к параметрическому заданию в виде р(х), г(х) и A(z), 7~(,г),тде область изменения переменных

х £ (0,хо)) z £ (0, го) определяется равенствами хо — / \/р{0/р(0

го - 7/рГО/(ЧО + ЫО)<Ч-

Пусть го, L, 6, е, e¡, Т, Т\ - фиксированные положительные числа;

Г. < 2г

é-Г <2г°м

6 т

V £ = 2 N

L Г,

Т£l = Го" YN

—. Определим о

классы функций

Q,, = {ДМ g С2[0,Т/2] I ß(x) > 6 > 0, ||/i||c2[0,T/21 < L}, Qr = {r(x) G С3[0,Г/2] | r(x) > e > 0, ||r||c[0iT/2] < r0}, Qa = {Â(x) G C2[0,T,/2] I ||Â|cî[0Ti/2] < L}, Q? = Ш € C3[0,T,/2] | f(z) > £l > 0, ||f||c[0,ri/2] < r0}. Теорема 4.1. Пусть T, T\, г о, L, 6 - заданные положительные числа;

Л

¿'T1 <2гоч

функции г(х), rt(x) G Qr; Д(я), Д.(х), /5(ж),

Ъ < 2 г0

р,(ж) G Q,,p и f(.z), T\(z) G Q?; А,(г) G Qa являются решениями

обратной задачи 4.1, отвечающими пнформациям Фj(t), $*j(i), j = 0,1,2; t G [0,T], соответственно. Тогда имеют место следующие оценки:

о

Иг - Г.|1сЗ[0,Г/2] < В5 Е Pi - **jllc«[0,21 »

2

ИД - Д*11с2[0,Т/2] < В6 Е - (^>*;Ис4[0,Т] > j=1

2

\\Р~ Р*11с*[0,Г/2] ^ Е - >

3= 1 2

llf - f*llc3[0,T,/2] < В8 Е - Ф^Ис^О.Г,] . 1=О

2

11А ~ А*1С'[0,Т,/2] - Вэ Е - ^jllc^fW] > величины В*, к — 5,... ,9 зависят от L, Т, Т\, 6, го-

Результаты главы 4 получены совместно с В.Г. Яхно в 1985г. и опубликованы в работах [3], [4], [6], [9].

Глава 5 посвящена исследованию линеаризованной обратной задачи для изотропной упругости в шаре. Система уравнений (3.2) записывается в терминах скоростей продольных и поперечных волн д2п

— = а2Дм + (с2 - а2) V div ii + [V(c2 - 2а2) + (г2 - 2а2) Vp] div Й-+

+(Va2 + a2Vp) • (Vu +'ttV), r < r0 (5.1)

и рассматривается вместе с данными

й|«0 - 0- ^1г=го = (5-2)

здесь а = \JJij~P - скорость распространения поперечных волн, с = + 2- скорость распространения продольных волн, р = 1п р; функции а, с, р зависят, от всех сферических координат; вектор I имеет координаты (1,0,0) в сферическом базисе ег, е^; 1 /\/47Г - нормирующая

и П Л

константа; функция а в терминах введенных функции а и с имеет вид сгг = (с2 — 2а2)рег<Цуй + а2рег -(Ум + ЙУ).

В качестве дополнительной информации для решения обратной задачи рассматриваем некоторую известную функцию /г(£,0,<р)

*\г=г0=^Л<р), «€[0,71, К^^ев2, (5.3)

го, Т - некоторые фиксированные числа.

Целью главы является определение функции р(г, в, ¡р) по доиолнитель-но заданной информации (5.3), функции а(г,в,<р) и с(г,в,<р) полагаются известными.

Задача (5.1)—(5.3) исследуется в линейном приближении. Предположим, что функции с, а, р представимы в виде а2(г, 9, <р) = + а1(г, 0, 'р), <?(г,в,Ч>) = 4 + с1(г,е,1р),р(г,в,<р) =ро+р1(г,в,<р), где Од, р0 - некоторые положительные константы; а аь с\, - некоторые функции, малые по сравнению с константами а\ и Сд, рд, соответственно.

Представим функцию и(£, г, в, <р), являющуюся решением прямой задачи (5.1), (5.2), в виде й^,г,9,<р) — и°(*,г) + г,9,ф), где функция

,10

и

(£, г) есть решение задачи

^ - л2Ди° + (с2 - а2)У <Шг и0, г < го, (5.4)

4<о = °. (5-5)

здесь = (с'о - 2ац)роег сЦуй0 + а2ро ег -(Уи0 + и°У). Функция й1^,г,д,(р) является решением'задачи д2й1

- — а^Дй1 + (сд - ад)У сНуи1 + а1Аи3 +

+(с, - а,)У (Цуи° + [У(С! - 2а0 + - 2а£)УР1] <Иуи° + +[Уа! + а2Ур,] • (УЙ° + и°У), г < г0, (5.6)

Здесь а\ = (с§ - 2а20)р0 ег сИу и1 + а\р0 ег -(Уи1 + и'У) + />0[(с1 - 2а0 + (с| -2а1)р{} ег ¿уи° + ¿>0(а[ + а&л) ег -(Уи° + ы°У).

При этом информация о решении прямой задачи (5.1), (5.2) представляется в виде /[(¿, 6>,<р) — Ло(<) + Л1 где Л0(г) есть след функции и°(<,г) при г = го, а функция 1г\(1,9,<р) определена равенством

Обозначим р!(сох, 9, <р) = р1(х,9,<р). Обратная задача 5.1. Пусть Г, г0, со, ао, ро - заданные положительные константы; 0 < Т < 2го/<"о. Определить неизвестную функцию р\{х,9,ф), входящую в равенства (5.6), (5.7), если относительно решения й1^,х,9,(р) прямой задачи (5.6), (5.7), известна информация (5.8), где - заданная функция при < € [О,Г], 1/(9,<р) £ Б2; функции

а(г,9,<р) и с(г,9,(р) предполагаются известными.

Пусть го, ао, ¿о, Ро, Т - фиксированные положительные числа; 0 < Т < 2г0/со-

Рассмотрим класс функций

= 9,<р), V), в,у) е с([0, аоТ/(2со)]; МБ2))

2

Определим и)'2 = /ь — /г,1„

II 'испода,^))

Теорема 5.1. Пусть Т, ?'о, ао, со, ро, Ь., - заданные положительные числа; О < Т < 2го/с0. Пусть и < ехр(—1/2), тогда для функций р](х, в, <р), /3,1 (х, 0,1р) £ являющихся решениями обратной задачи 5.1 и отвечающих пнформациям к^,0,<р), 9, (р), соответственно, при I 6 [О, Г], 1'(в, ср) £ Б2 имеет место следующая оценка:

-Р»||1С([0,ооТ/(2со)];Ь2(5')) ^ В,о [ЬиГ1] \ 13

где В[о - некоторая положительная величина, зависящая от Ь,, Т, го, ао, со, Ро■

Чтобы упростить изложение, в главе 5 приведено 10 рисунков, иллюстрирующих проводимые рассуждения.

Результаты этой главы анонсированы в [14].

В заключение автор выражает глубокую признательность научному руководителю член-корр. РАН, профессору В.Г. Романову за постановку задач и помощь в работе.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1. Мельникова Т.В. Одномерная обратная задача акустики для сферы. // Обратные задачи математической физики. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР - 1985г. С. 97-104.

2. Мельникова Т.В. Задача определения характеристик акустической среды внутри шара. // Линейные и нелинейные задачи вычислительной томографии. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР - 1985г. - С. 100-106.

3. Мельникова Т.В., Яхно В.Г. Радиально-одномерная обратная задача изотропной упругости. // Методы исследования неклассических задач математической физики. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР - 1985г. -С. 80-89.

4. Яхно В.Г., Мельникова Т.В. Одномерная обратная динамическая задача изотропной упругости для сферически-симметричной модели Земли. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР - 1985г. - (Препр./ВЦ СО АН СССР; N.611) - 44 С.

5. Мельникова Т.В. Линеаризованная многомерная обратная задача об определении скорости в уравнении акустики для сферы. // Вопросы корректности и методы исследования обратных задач. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР - 1986г. - С. 76-87.

6. Яхно В.Г., Мельникова Т.В. Одномерная обратная динамическая задача изотропной упругости для сферически-симметричной среды. // Яхно В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений упругости.

- Новосибирск: Наука - 1990г. - Глава 3. - С. 85-110.

7. Бугуева Т.В. Лииеаризоваиая многомерная обратная задача определения скорости и плотности в уравнении акустики для шара. // Сибирская конференция по неклассическим уравнениям математической физики: Тезисы докладов. - Новосибирск. - 12-15 сентября. - 1995г. - С. 21.

8. Бугуева Т.В. Линеаризованная многомерная обратная задача определения скорости в уравнении акустики для сферы. // Математико-информационные технологии в образовании и науке. - Алматы: АГУ.

- 1995г. - С. 11-23.

9. Bugueva T.V., Yakhno V.G. One-dimensional inverse dynanic problem of isotropic elasticity for sphere. // Тезисы Второго Сибирского Конгресса по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-96). - Новосибирск. - 199G. - С. 306.

10. Bugueva T.V. Linearized inverse problem for wave equation in sphere. // Abstracts of international conference dedicated to the memory of academician A.N.Tikhonov, (IIPP-96). - Moscow: Dialog-MSU. - 1996. - P. 37.

11. Bugueva T.V. A linearized inverse problem for the wave equation in a sphere. // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. - The Netherlands, Utrecht, VSP. - 1996. - V. 4. - N. 3. - P. 171-189.

12. Бугуева Т.В. Многомерная обратная задача для уравнения акустики в шаре. // Обратные задачи геофизики. Труды международного семинара, 30 сентября-4 октября. - Новосибирск: ВЦ СО РАН. - 1996. - С. 48-51.

13. Бугуева Т.В. Многомерная обратная задача для волнового уравнения в шаре. //II международная конференция по математическому моделированию, 1997, Якутск: Тезисы докладов, 28 июня-2 июля. - [Новосибирск, ИМ СО РАН, 1997]. - С. 15-16.

14. Бугуева Т.В. Многомерная обратная задача изотропной упругости в шаре. // Математические модели и методы их исследования. Тезисы докладов международной конференции, 25-30 августа. - Красноярск: ВЦ СО РАН. - 1997. - С. 44-45.

Бугуева Татьяна Владимировна

ОБРАТНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ АКУСТИКИ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Автореферат

Подписано в печать 05,12,9-1, Формат бумаги 60x84 1/16. Усл.печ.л. 0,$г Уч.-изд.л. 0,7-, Тираж 115 экз. Заказ //5$,

Лицензия ЛР 020633 от 18 сентября 1992г. Издательство ИМ СО РАН. . 630090 Новосибирск, пр.Академика Коптюга, 4.

Отпечатано на полиграфском участке ИМ СО РАН. 630090 Новосибирск, пр.Академика Коптюга, 4.