Обратные задачи для дифференциальных уравнений теории упругости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР ОРДЕНА ЛЕНИНА СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

Яхно Валерий Георгиевич

УДК 517.946

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск 1990

Работа выполнена в Институте математики СО АН СССР. Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.В.Кажихов, доктор физико-математических наук, профессор А.М.Денисов, доктор физико-математических'наук, профессор А.Д.Искендеров Ведущая организация: Институт математики Академии наук . Украинской ССР.

Защита состоится "_"_ 1990 года в_

час. на заседании специализированного совета Д 002.23.02 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Институте математики Сибирского отделения АН СССР по адресу: 630090, Новосибирск, Университетский пр.4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО АН СССР.

Автореферат разослан "_"_ 1990 года.

Ученый секретарь специализированного совета

д.^.-м.н. ' В.С.Белоносов

¡г^ИВШ

гг^таций Ü

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Практическая значимость обратных задач математической физики, которые в своем большинстве классически некорректно поставлены, настолько велика для прикладной геофизики (сейсмической, электромагнитной и гравитационной разведки полезных ископаемых), астрофизики, квантовой механики и т.д., что за последние 30 лет возникла новая область математики - теория некорректных задач математической физики, основы которой были заложены в работах А.Н.Тихонова, М.М.Лаврентьева, В.К. Иванова.

Первые результаты по обратным задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка были получены В.А.Амбарцумяном, Г.Боргом, А.Н.Тихоновым, Л.А.Чудовым, Н.Левинсоном. Законченная теория этих задач была создана в работах В.А.Марченко, И.М.Гельфанда, Б.М.Левитана, М.Г.Крей-на. В последнее десятилетие эти задачи используются в теории нелинейных уравнений. Этому направлению посвящены работы

B.Е.Захарова, В.А.Марченко, С.П.Новикова, Л.Д.Фаддеева, А.Б. Шабата и др. Многомерные обратные задачи как в точной, так

и в разностной постановках впервые рассмотрел Ю.М.Березанс-кий. Разнообразные подходы к исследованию и построению алгоритмов решения некорректных и обратных задач отражены в работах таких авторов, как А.С.Алексеев, А.А.Андрощук, Д.С. Аниконов, Ю.Е.Аниконов, В.Я.Арсенин, A.B.Баев, А.Б.Бакушнс-кий, Н.Я.Безнощенко, Ю.М.Березанский, И.Н.Бернштейн, М.И.Бе-лшпев, Г.Я.Бейлькин, А.С.Благовещенский, Б.А.Бубнов, А.Л. Бухгейм, В.М.Вайникко, В.В.Васин, В.Я.Галкин, М.Г.Гасымов, М.Л.Гервер, В.Б.Гласко, А.В.Гончарский, С.В.Гольдан, А.М.Денисов, В.И.Дмитриев, В.Н.Заикин, В.К.Иванов, А.Д.Искендеров,

C.И.Кабанихин, В.Р.Кирейтов, М.М.Лаврентьев, О.А.Лисковец, В.А.Морозов, Н.А.Магницкий, В.М.Маркушевич, А.Г.Меграбов, И.В.Мельникова, Б.Г.Михайленко, Р.Г.Мухометов, Л.П.Нижник, Д.П.Орловский, Б.С.Парийсний, А.И.Прилепко, Т.П.Пухначева, В.Г.Романов, В.Н.Страхов, В.П.Танана, А.Н.Тихонов, А.М.Федотов, Е.Я.Хруслов, В.А.Цецохо, В.Г.Чередниченко, А.М.Чере-пащук, А.Г.Ягола и др.

Систематическое изучение многомерных обратных задач для уравнений в частных производных было начато в работах М.М. 'Лаврентьева и В.Г.Романова. Ими были разработаны методы исследования различных постановок обратных задач для гипербо-¿шческих уравнений. Динамические постановки одномерных обратных задач для системы дифференциальных уравнений упругости впервые рассмотрел А.С.Алексеев. Настоящая работа продолжает исследования А.С.Алексеева, М.М.Лаврентьева, В.Г.Романова и посвящена изложению теории обратных динамических задач для дифференциальных уравнений упругости.

Цель работы состоит в построении методов решения одномерных, линеаризованных многомерных обратных динамических задач и обратных задач в лучевых постановках, а также исследовании вопросов единственности, устойчивости и существования решения этих обратных задач.

Научная новизна работы выражается в новых методах исследования рассматриваемых обратных задач и полученных результатах. Для одномерных обратных динамических задач упругости получены необходимые и достаточные условия существования решения, оценки непрерывной зависимости изменения решения от изменения информации. Предложен новый метод решения многомерной линеаризованной обратной динамической задачи упругости, основанный на сведении ее решения к последовательному решению более простых обратных задач для скалярных гиперболических уравнений. Доказаны теоремы об однозначной разрешимости и оценках устойчивости решения. Впервые рассмотрены многомерные обратные задачи для динамической системы дифференциальных уравнений изотропной упругости в лучевых постановках. Решение таких задач сводится к последовательному решению обратных кинематических задач по определению скоростей продольной и поперечной волн и задачи определения третьей недостающей характеристики. Предложен метод, позволяющий свести решение последней задачи для случая зависимости характеристик от двух пространственных переменных к последовательному решению задачи интегральной геометрии и задачи Дирихле для квазилинейного уравнения эллиптического типа, а для случая зависимости характеристик упругой среды от трех переменных - к решению специального ин-

тегр(одифференциального уравнения. Доказаны теоремы об оцен- • ках устойчивости решения рассматриваемых обратных задач.

Приведенные в диссертации исследования проводились по теме "Обратные задачи математической уазики" Гос.per. & 0186.0 I25713.

Результаты диссертации находят применение в научных исследованиях и при разработке численных алгоритмов решения обратных задач геофизики. Они также используются при чтении специальных курсов.

Основные результаты диссертации докладывались к обсуждались на Всесоюзном семинаре по некорректно поставленным задачам математической -^изики и анализа (Новосибирск, IS82), на Всесоюзных школах-семинарах "Теория и методы репения некорректно поставленных задач и их приложения" (Самарканд, 1983, Саратов, 1985), Всесоюзных-конференциях "Математическое моделирование в геофизике" (Новосибирск, 1986, Новосибирск, 1988), на Всесоюзной конференции "Условно-корректные задачи математической физики" (Алма-Ата, 1989), -на 1У Всесоюзном симпозиуме по вычислительной томографии (Ташкент, I9S9), на семинарах, руководимых академиком М.М.Лаврентьевым, член-корр. АН СССР В.Г.Романовым, член-корр. АН СССР С.К.Годуновым, проф. Т.И.Зеленяком (Институт математики СО АН СССР, Новосибирск), академиком Л.В.Овсянниковым (Институт гидродинамики СО АН СССР, Новосибирск), проф. А.Б.Ба-кушинским, проф. А.В.Гончарским, проф. А.Г.Яголой (МГУ, факультет ВМиК, Москва), про-ф.А.И.Прилепко (МИ®, Москва), член-корр. АН СССР В.К.Ивановым, проф. В.П.Такзной (Уральский госуниверситет, Свердловск), член-корр. АН УССР Ю.'.-Д.Бе— резанским, проф.. Л.П.Нккником (Институт математики АН УССР, Киев), проф. С.В.Гольдинкм (Институт геологж: и геофизики 20 АН СССР, Новосибирск), а также на других се;.:лы^ах "л конференциях.

Основные результаты диссертации опуслгк- zauu к раисгзх jj5-3fl . Диссертация состоит из введения, л.=-л ?.пъ, списка литературы, содержащего 199 наименован:::-:. К..-: лая глава делится на разделы (параграфы). Объем текста :.б 1т;.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Рассмотрим систему дифференциальных уравнений Ламе

J J ^

- вектор смещений, Щ=Щ(х,-Ь)1 1=1,1,3 ;

- параметры Ламе,у) - плотность, Система уравнений (I) представляет собой уравнения движения упругой изотропной среды. Систему уравнений Ламе (I) рассматриваем совместно с условием

Далее предполагаем, что упругая изотропная среда неоднородная, т.е. , "Х-7[(Х) . Если упругая среда заполняет полупространство Х$>0, то наряду с системой (I) и условиями (2) задаются условия

бц \ 0 + = 0 , . (3)

В наших исследованиях в качестве вектор-пункций ^(Мл^ъ) > • чаще всего бе»Утся вектор-

функции

или

где бп, - базисный вектор в , • £(•) - дельта-

Функция Дирака, х° = (х°,э:%гх%') - параметр. Вектор-Пункции $■,£ указанного вида, моделируют мгновенную направленную силу, сосредоточенную в точке (х^,хг,хз) упругого полупространства или в точке Х.%,0) границы Х3=0 •

Б

Опишем постановки обратных кинематических и динамических задач для системы дифференциальных уравнений Ламе. Характеристические поверхности системы (I), представимые в виде "6=С(£), удовлетворяют одному из уравнений

Среди возможных решений уравнений (4), (5) особое место занимают поверхности t =€(Z,X°), имеющие в произвольной фиксированной точке Х=Х° коническую точку. Такие поверхности носят название характеристических коноидов. Точка х° по отйошению к решениям уравнений (4), (5) является параметром. Для отыскания функции Cil,л") мы должны проинтегрировать уравнение (4) (соответственно-(5) ) при условии €(х,ха)= 0(\Х-х?\),Х-*х°. С физической точки зрения Щх,хе) представляет собой время,за которое возмущение от источника колебаний х° дойдет до точки х . Решение уравнения (4) ^(х}х°) - время пробега продольной волны от х° до X . Продольная волна характеризуется скоростью Vj(x) . Решение уравнения (5) eCi(x,x0)- время пробега поперечной волны от Х° до X . Поперечная волна характеризуется скоростью Щх) . Уравнения (4) и (5) носят названия уравнений эйконала, а задача определения функций cOiix,xt)> называется прямой кинематической задачей. Кроме прямой кинематической задачи широко известна обратная кинематическая задача. Опишем ее. Пусть «0с£3 - область с границей S , в которой происходит распространение сигналов со скоростью ; €(z,x°) - время распространения

сигналов от Х° дох. Функция "Z(X,x°) удовлетворяет уравнению

\Vz<C(x,x°) |» 1

и условию

V(X)

<V(x,x°)= 0(lX-X°l) , Х-*Х°.

\

Ставится задача: определить пункцию Т(х) прихеЛЗ , входящую в дифференциальное уравнение, если известна пункцияЩх,х°),

Зта задача была рассмотрена Г.Герглотцем и Е.Вихертом в начале нашего века. В предположении .?={:£€Я311^1 =

^(тят))^ исследован Вопрос единственности решения и .

получена формула обращения. Дальнейшему исследованию обратной кинематической задачи посвящены работы ¡Д.Л.Гервера, В.М.Мар-кушевича, Ы.Ы.Лаврентьева, В.Г.Романова, Р.Г.Мухометова, В.Е.Аниконова, А.Л.Бухгейма, И.Н.Бернштейна, Г.Я.Белькина и'-др.авторов.

Имеется следующая классификация постановок обратной кинематической задачи:

1. Одномерные обратные задачи. В этих задачах определяемая *ункция зависит от одной переменной: = Р = !Х\г если Я) - шар или и = , если ¡0 - полупространство.

2. Многомерные линеаризованные обратные задачи (задачи

сейсмической томографии).

3. ¡у'догсмерные" обратные задачи в полных постановках (задачи нелинейной сейсмической томограшии).

Отметим, что в результате решения обратных кинематичес-, ких задач находятся только пункции , , а характе-

ристиками изотропной упругой среды являются три пункции , ^(х) , (или, - соответственно;. функции ).

Поэтому для определения всех характеристик упругих сред естественно привлекать всю динамическую информацию о волновом поле, измеренном в областях доступности.

В 1962-1966 г. А.С.Алексеев поставил одномерную обратную динамическую задачу по определению р.(хъ), для

системы динамических уравнений Ламе и осуществил редукцию этой задач;: к последовательно решаемым обратным задачам Штур-ма-Лиувилля. В 1966г. А.С.Благовещенский исследовал единственность решения одномерной обратной динамической задачи для система уравнений Ламе. В 1980г. В.Г.Романов и в 1982г. В.Г. Романоъ, Е.Л.Волкова исследовали единственность решения многомерной линеаризованной обратной задачи для систем дифференциальных уравнений изотропной и анизотропной упругости.

Выше отмечены результаты по таким постановкам обратных динамических задач, которые относятся к системе динамических уравнений упругости и связаны с определением всех характеристик упругой среда. При этом источники возмущения упругих волн являются мгновенными и сосредоточенными в точке. Классификация постановок обратных динамических задач повторяет классификацию обратных кинематических задач. В настоящей работе приведены результаты по исследованиям:

1) Одномерных обратных динамических задач, в которых оп- • ределяемые характеристики суть функции только одной переменной X} ;

2) Многомерных линеаризованных динамических обратных задач (обратных задач в приближении Борна);

3) Многомерных обратных зада" для системы динамических уравнений Ламе в лучевых постановках.

Автором предложены и развиты упомянутые выше исследования А.С.Алексеева, А.С.Благовещенского, В.Г.Романова по одномерным обратным динамическим задачам для изотропных и анизотропных упругих сред. Опишем некоторые из изученных автором одномерных обратных задач и результаты по их исследованиям.

Пусть Х=СХ1,Х2., хг)еИ* , , х3 >0 . рассмотрим систему дифференциальных уравнений упругости для анизотропных сред

где 1 = ^2,3; и(х,р = си^), иг(х,Ъ, и3СхЛ)) _ вектор сме_ щений; сук1 , * »/> ^,¿=/,2,3 - модули упругости, причем

сще = Су£1с = СШ/ р - плотность;

$ (' ) - обобщенная дельта-функция Дирака. Соотношения симметрии сводят число независимых модулей упругости с 81 до 21. Если принять = к1 . где ¿=(}]) ,р=(к-С) в соответствии со следующими переобозначениями: (II) -+1, (22)-» 2, (33)—"3, (23)= (32)->4, (31)= (13)— 5, (12)= (21)-*- 6,

то таблице независимых модулей упругости можно придать виг, 'симметричной матрицы порядка 6x6.

Приведем пример одномерной обратной задачи и опишем'результаты ее исследования. Будем предполагать, что упругая анизотропная среда имеет матрицу независимых модулей упругости следующего вида

(у

с-н си

си сп

с«

О

О'

Ч}4

О

о

Чад

Случай с44 = соответствует обычной изотропной уп-

ругой среде, которая может быть описана также с помощью двух

независимых параметров Ламе Я иуи : сн, •

Далее модули упругости С^ , С^ , Сщ и плотность^ считаем функциями только переменной и предполагаем, что

Ы, с«,С44,реЛ= {(Са,ен> С41 I

са 6 С, Сн >са } 7 ^ = [0,оо) .

В этих предположениях система дифференциальных.уравнений будет гиперболической. Можно показать, что для фиксированного набора (Са ,СНу Сщ, р)€ А существует единственное решение задачи (б)-(8): и(х,Ь) еЧ1(1) , *

| е %(р*(о,Ц , ЩеСх^^'^со,ТУ; £'(*)),

^О?;тф,

^ - оператор преобразования Фурье по переменной х2, т) - параметр преобразования; Т - Фиксированное положительное число.

Обратная задача I. Определить такие модули упругости г Сщ(х3) и плотность , входя-

щие в систему дифференциальных уравнений, для которых вектор-функция ( Са(х}), Су(х3) ,^4(х3),р(х$)) включена в класс А , и решение задачи (6)-{8) удовлетворяет

равенствам

и

где И^х,^) , к-я компонента решения задачи

(6)-(8); % - фиксированное число отличное от нуля; кщ ({),

- известные при функдаи, Т/ - задан-

ное положительное число.

Приведем теорему об оценке непрерывной зависимости изменения решения обратной задачи от изменения информации. Для этого введем'следующие обозначения

Л1К МДМ С(ъ)е С2[0,Х31 €(%)**, асиг(Х)*М }, Ло№ДХЫ«!ц,С«,е44 >Р>еЛ I С«(Хз) > , ГюД X), с<л(ь)бС[о,Х], МпХхХМ},

Теорема I. Пусть Г, лг, X - фиксированные положительные числа, ГЯ 4 М' г ,

наборы пункций Си (х3), Сщ (Хъ),р(Хь) и ^(Ъ),

р(хъ) являются решением обратной задачи, отвечаю-

А

щими соответственно информациям ¡уШ, ¿^Д

Тогда имеет место следующая оценка:

II'р-}1(Хф) + IIс„-сн1(Хс) + \\ с4Г с^\\(Хо) + IIСи-^Ц(Хс) 4

< с[1 щ-^сп«^-м/т,)],

\г

где С - некоторая константа, зависящая от величин т,М,7, .

В работах автора показано, что решение поставленной обратной задачи сводится к последовательному решению нескольких обратных задач для скалярных гиперболических уравнений. При этом вопросы однозначной разрешимости для части полученных обратных задач были исследованы в работах А.С.Алексеева, А.С.Благовещенского, В.Г.Романова. Автором настоящей работы были получены теоремы об однозначной разрешимости оставшихся вспомогательных обратных задач и тем самым установлены необходимые и достаточные условия для существования решения сформулированной выше обратной задачи.

На основе результатов и техники указанных исследований разработан совместно с В.В.Комиссаровым устойчивый алгоритм численного решения аналогичной одномерной обратной динамической задачи для изотропной среды, связанной с определением параметров Ламе }(х3),/((2}) и плотности р(х}) . Описание этого алгоритма содержится в работах £6-8] .

Методология исследования поставленной нами одномерной динамической задачи обобщена на различные случая анизотропии, сферически симметричный случай изотропной упругой среды, на некоторые одномерные обратные динамические задачи по определению характеристик термоупругого полупространства. Эти обобщения проводились совместно с Т.В.Мельниковой, С.Апбасовым, О.А.Бурдаковой и изложены в работах [1-5,10] .

Отметим, что перечисленные результаты являются иллюстрацией универсальности предлагаемой методологии исследования и не исчерпывают всего многообразия постановок одномерных обратных динамических задач для упругих, термоупругкх, электромагнитоупругих сред.

Приведем теперь результаты исследований, относящиеся к многомерной обратной линеаризованной задаче для системы динамических уравнений упругости. Для этого введем необходимые понятия и обозначения.

Под прямой линеаризованной задачей Лэмба будем понимать задачу определения вектор-пункции и(х,х*& , предста-вимой в виде:

где Ц° - решение следущей задачи

0иа 3

' х>>0 • '«> "ги-0 - '¿^¡«.„.-^^«р-Лй.ио)

И1- решение задачи

<\иое0> (12)

Здесь } €=(еьег,е3) _ параметры задачи;

*/

(^у - символ Кронекера.

Отметим, что вектор (1° описывает волновое поле в вертикально неоднородной среде с характеристиками ■ Вектор-функция и,*(х,х0^) описывает волновое поле первого акта рассеяния поля 4° на многомерном неоднородном включении с характеристиками р^Х) . Введем в рассмотрение классы функций

л, ={*(*> I ^^«^[яадл^сс/гЧ^с^;^},

= ¿г*}

- фиксированные положительные числа. Далее будем предполагать, что

/оШМъ^Р'СЬ^Ао , Д^,/^еА(г,Х).

При этом у задачи (9)-(10) существует решение

такое, что нЧфе^СП, <и°(Т) = {и=(кииг,и3)| Щ\ио=0,

а у задачи (II)—(12) существует решение из класса

Здесь 8 - пространство обобщенных функций с компактным носителем, 5 - пространство обобщенных функций медленного роста; ~ оператор преобразования Фурье по пере-

менным ; параметры преоб-

разования.

Через и^с^-х^х^-х^ху^) будем обозначать решение и.0(хгх^хг-х1х3,±)1 ЧС0СТ) задачи (9)-

(10) при = ' а че?ез - реше-

ние задачи (И)-(12) при Ш0=Ч°6, 5. =1,3, ,

Следующую обратную задачу будем называть многомерной линеаризованной задачей Лэмба.

Обратная задача 2. Пусть f,X,T - фиксированные положительные числа. Определить такие пункции /*ч(х)> f>i(x) , \(х>) $ А(Г,Х) , для которых имеют место при t е Со, TJ, (Ир ( следующие равенст-

ва

S=2,3 ,

где k^i^yij,), s=Z, 3 - заданные при ie[0,T]t

6%, Функции.

Показано, что решение этой обратной задачи сводится к последовательному решению следующих обратных задач

Обратная задача 3. Пусть функции yU^Cx),

, входящие в равенства (II), (12) - неизвестные функции. Определить такую функцию • /íi(X)eA(r,X)> для которой при имеет

место равенство (14) при S-2- , где - задан-

ная при t € [0,функция.

Обратная задача 4. Пусть функции /u/¡(X)f pl(x) > Ai(x)eA(r,X) , входящие в равенства (II),

(12) такие, что J)j(X), ^¡(х) - неизвестные, а известная функция. Определить ft(x) , для которой при t€[0,T],

имеет место равенство (14) при S=3 , где hjti,*.^) - зады ная при Í€Í0,T1 , (fy^zJeФункция.

Обратная задача 5. Пусть пункции /¿^(Х), , входящие в равенства (II),(12) - известные, а ^(х)бА(^г'Х.) - неизвестная. Определить , для которой при Í£[0,T], имеет место равенство

(13), где kjCt, - заданная при téíOjTl/K^X^efí2 пункция.

Для выписанных обратных задач получены теоремы о необходимых и достаточных условиях однозначной разрешимости, об оценках устойчивости решения. Приведем некоторые из этих

результатов.

Теорема 2. Пусть г, Т - фиксированные положительные числа; Х=<Т"ЧГ/2) ; Х3=*Сч(у) - функция обратная к у=<Г(х3), <Г(х2) = / -^оЩиоФ 4,/а,р*, XеЛ0 •

- заданные функции. Тогда для однозначной разрешимости обратной задачи 3 в классе функций р1/((х)е_А(г,Х) , отвечающей информации

• необходимо и достаточно, чтобы ) удовлетворяла условиям

Теорема 3. Пусть числа Р,Т,Х и функции ¿10СХ}), ро&ъ), \(хз) удовлетворяют условиям предыдущей теоремы;

- решения обратной задачи 3, отвечающие информациям

соответственно. Тогда имеет место следующая оценка

max J} ift(x)-Jt4(x)liclxi<bi 4

Ъ€[о,Х] J?* J

4 С шлл I diz эрг I,

МОЛ

где С - некоторая константа, зависящая oiTjf,JU0,po}^o7

Заметим также, что если у обратной задачи 3 существует решение ^(^(Х)бА^ , отвечающее информации "¿вГс^ТЛ, , то оно единственно, а построение ре-

шения Х(х)еА(г,Х)

этой обратной задачи, отвечающей информации Ц СЬ, К-у? ? -Ь е [О, Т] г

k(t>*i,l), * г*

есть по сути нахождение регуляризированного решения обратной задачи 3. При этом имеет место равенство

ini sop Я jfL(x)-=0 *Ао,х\ ^J г ' '

Аналогичные теоремы и утверждения имеют место и для остальных обратных задач.

Используя вышеуказанную методологию, совместно с В.В. Комиссаровым [il]', разработан алгоритм численного решения линеаризованных обратных задач для динамической системы уравнений Ламе. В работе [12] метод решения многомерной линеаризованной обратной задачи Лэмба обобщен на важный для приложений случай кусочно-дифференцируемых функций jMe(l3),

Опишем теперь результаты исследований, относящиеся к многомерным обратным задачам в лучевых постановках. Многомерные обратные задачи в лучевых постановках для широкого класса скалярных гиперболических уравнений изучались ранее L-.Г.Романовым. Приведем лучевую постановку обратной задачи для уравнения акустики и результаты ее исследований. Эта обратная задача является скалярным аналогом обратных задач лля. системы динамических уравнений упругости,исследование

которых либо сводится к ней, либо осуществляется аналогично. Кроме того она сама по себе представляет интерес, а полученные для нее результаты являются новыми. Постановки обратных задач для системы дифференциальных уравнений Ла:.*.е и результаты их исследований описаны далее.

Рассмотрим дифференциальное уравнение акустики при

о о следующим условием

Будем предполагать, что

и любая пара точек может быть соединена единственной геодезической метрики

В работе В.Г.Романова [13] показано, что в этих предположениях существует единственное решение задачи (15),(16), имеющее следующую структуру

■де 110(х}х°^) непрерывная функция, ограниченная в любой амкнутой области; (х,х*) 6 С9(Я* 60 (х}6 С*ф*х1С) некоторые функции, определяемые через 1Нх),р(х);<£(х,Х0) расстояние между точками Х}Х° в метрике (17).

Далее будем считать, что вне области функции

р(Х) принимают постоянные значения V0, J?o , а внутри JO они неизвестны. Область Я) целиком содержится внутри замкнутой кривой S . Уравнение кривой В задано в виде F(X)=o , где Г(ж)еС3(<0о) и обладает свойством: F(X)¿О , хб 5); l^cFIjxeí?^ » ~ внутренность £ . Кроме того предположим, что область«Оо выпукла относительно семейства лучей

Рассмотрим следующую обратную задачу, которая по терминологии В.Г.Романова называется лучевой.

Обратная задача 6. Определить при X&S) Функции V(x), p(Z) , входящие в дифференциальное уравнение (15), если относительно решения задачи (15),(16) задана информация

U(x7x°,i)=H(x,xt,i), (18)

хе£ , х°е £ , ¿*£(x,x<>) + ¿;

где В - фиксированное число, S - заданная кривая. Пусть £>, х - фиксированная точка S , в которой мы наблюдаем за решением задачи (15),(16). Для моментов времени "Ь¿<£(х_,х°) решение ü(x,í,x°) равно нулю. В момент времени "к -%(х,х°) (прихода дронта волны в точку X. ) решение становится отличным от нуля и зависит, вообще говоря, от коэффициентов дифференциального уравнения (15). Поэтому, если решение известно как функция времени t для всех точек хе £ при всесоз-можных х°е Я , ю эта информация содержит в себе данные о временах ^fax") t исходных для решения обратной кинематической задачи. Далее считаем функцию 1?(х) при xeSl найденной посредством решения обратной кинематической задачи. Основным предметом наших исследований будет задача восстановления р(х) при по информации (18). Показано, что решение этой задачи сводится к последовательному решению сначала задачи интегральной геометрии, а затем решению задачи Дирихле для эллиптического уравнения. При этом имеет место теорема об оценке устойчивости решения задачи определения р(х) в классе №(ро,М) ,

&(ро,М)={ CW) I jXV* expR(z), IRiy ¿M,

При. }.

Теорема 4. Пусть р0,М,£- - фиксированные положительные числа; - известная положительная функция, удовлетворяющая выше написанным условиям; р(х)гр(х)£%(рв,М) -решения обратной задачи, отвечающие информациям

Н(х,17х°) , , х°е В, -Ь^С-оо/сЩх°)+£) соответственно.

Тогда имеет место оценка

у ^(¿0) 2 ь ^

где С - некоторая константа, величина которой зависит отр0,

М.Лалйо , Л ч

■Я/.ЛГМ-! , / (шчЛ)-н(л^л))

%)+0 »(19)

<Ш=

№ Ъ®

(20)

¡'¿Ц?*7^| ^ О - якобиан перехода от римановых координат к декартовым.

Рассмотрим теперь систему дифференциальных уравнений динамической упругости

(21)

-о,

Чио

(22)

'Здесь у°-(°>у2,Уз) - параметр задачи; и(у,у0^) = = (и1(У,У°,Ь) , У°, V, и3 (у, у", Ь)) - вектор смещений;

+ + - напряжения, 4}

- символ Кронекера ji(lj,<j''t) = е^(у-у°)-<)('Ь),г=1,2<>Ъ, 6- вектор направления мгновенного точечного воздействия; 0(у-у°) = -8(у1-у1) ■ > ¿0) - Дельта-функция Дирака.

Пусть - ограниченная область. Функцииу),"},^

зависят только от Х = (уг,у$) и принадлежат классу

С^СЯг) . Значения этих пункций везде положительны, а при они принимают постоянные значения р0,уи0

Введем обозначения_

, г-^

(23)

т

расстояние между точками в римановой метрике, определяемой формулой (23), у-^т^ • Считаем *ункции 1%{х),1?1(х) найденными пункциями посредством решения обратных кинематических задач. Рассмотрим замкнутую кривую £ , внутренность которой целиком содержит область<$ . Функции 1}/(х), 1%,(Х) и кривая £ удовлетворяют таким же условиям, наложенным на пункцию Щх) и £ при рассмотрении уравнения акустики. В сделанных предположениях и введенных обозначениях поставим задачу.

Обратная задача 7. Определить при хе<& пункцию уи(х) , входящую в систему дифференциальных уравнений (21), если относительно решения задачи (21),(22) известна информация

где - оператор преобразования Фурье по ^ , У - параметр преобразования; Ц(х,х°,Ь) - известная функция при

£ - положительное фиксированное число.

Имеет место следующая теорема об оценке устойчивости решения обратной задачи.

Теорема 5. Пусть М - фиксированные поло-

жительные числа, М0<

^(х) = ехр Я(х), Шх) е С«(ИХ), II я IIс< < М, /1(х) при хеЯ2^^ У - решения обратной задачи 7, отвечающие информациям Н(х,х°,{) , Н(х,х0^), хе£,х°е%, ЬеС-о,^^. г°)+ё.) , соответственно. Тогда.имеет место оценка

где С - некоторая постоянная, величина которой зависит от 1Л, Цо, , 1%СХ> ; , Ф(НГ) , определены фор-

мулами (19),(20), в которых (Т(хгх0)=^(х,х0),1Г(х)=^Сй Решение обратной задачи 7 сведено к последовательному решению задачи интегральной геометрии, а затем к решению задачи Дирихле для квазилинейного эллиптического уравнения.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений Ламе (21) с условием (22) при К, 3° = (Уь^ь)^■

Пусть Г0 - заданные положительные числа, к^ Г0 ;

Предположим, что упругие параметры

, и

плотность - гладкие, ограниченные функции класса

С (г>18 ), причем эти функции на множестве прини-

мают постоянные значения . Далее ^{(у,^0) - расстоя-

ния между точками у и у0 в римановых метриках, элемент длины в которых вычисляется по формулам

Будем предполагать, что , суть решения обрат-

ных кинематических задач. Причем функции Ц(у), удовлетворяют следующим требованиям. Геодезические метрик (24), порожденные функциями Ц(у>>Цг,(у) . регулярны в К3 . Кроме того, в области справедливы соотношения

Т

й ¿,й0 - некоторые положительные числа;

У=(со$<у5сп6-, Всперзспе-, №&), (ре[о,Я%), &е[о,3о].

Используя рассуждения работы Б.Г.Романова [14] , можно показать, что в сделанных предположениях луч , опреде-ляешй метрикой при 1=^ , и для точек £ целиком лежащий в области аО(КЪ) и удовлетворяющий условию ПЖ/ь,^)^ , можно записать

¿^/Иу^/у-1*, мим ¡укг^Ш

МСЬ,*->№), Ъ&^^ы^р)},

где

о[ е ^ = = (Г^Дг } Ц = С0$ £¿/1у0 5/>2

0<к< г<п , ,

Эта кривая соединяет чочшу\у° поверхности £> и

имеет в точке вершину, в которой направление касательного вектора к совпадает с направлением вектора^З.. Предмет наших исследований составляет следующая задача Обратная задача 8. Пусть в системе даффе-ренциальннх уравнений (21 Ц^^^М^ШК^Лё -

- фиксированные положительные числа; > ^х(у)

- заданные функции, удовлетворяющие ранее описанным условиям. Требуется определить пункцию при

уе&Ск,^) , если относительно решения задачи

(21), (22) известно, что

где - заданная при уе £, ££ <

< ч'/нкция.

Отметим, чгс система равенств (21),(22) с вектор-функцией $(У,У°,Уу ' ^^ описывает процесс возникновения и распространения упругих волн, возникающих от мгновенного источника типа взрыва, сосредоточенного в точке у~у° в момент времени Ъ=0 .

Для фиксированных положительных чисел к} ^/Ц^А^А^ и натурального числа Ж введем класс функций

при' Г ? Р-1 ; при

справедливо представление

п=о т.=-п

2 5

Здесь У(ь(*о,<ро), п,*о,1,г,...; 0,1,..., п -

сферические пункции.

Имеет место следующая теорема, об оценке устойчивости решения обратной задачи.

Теорема 6. Пусть заданные положительные числа KWotftoJoj'R.i&N, и пункции TXjfy), % (у) удовлетворяют ранее описанным условиям. Тогда, если - решения^обратной задачи, отвечающие информациям

Щ.ГЛ),«1<(М)-Е<Ь<Ъ(у,у)+е.,

соответственно, то имеет место оценка

игах мах 1Rfa e0,<f0)11 <

4 С sup sap I Нб^П/Л , deSj jieSfa

где С - некоторая постоянная, зависящая от A-, ty,

Л

¿Xs CJ-++0 t-r'fyty.p+o

• ¿5

»

[ГУ]* '[гГ11ык(Щ) ' Ы>х

точки луча <Я.у>у) , лежащие на поверхности 5 .

Обоснование теоремы основано на сведении решения поставленной обратной задачи к решению интегродифференциально-го уравнения и обосновании устойчивости решения последнего.

ЛИТЕРАТУРА

1. Мельникова Т.В., Яхно Б.Г. Радиально-одномерная обратная динамическая задача изотропной упругости// Методы исследования неклассических задач математической физики. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1985. - С.80-89.

2. Мельникова Т.Б., Лхно В.Г. Одномерная обратная динамическая задача изотропной упругости для сферически-симметрической модели Земли. - Новосибирск, 1985. - 44с. - (Препринт/АН СССР. ВЦ СО АН СССР, .'f6II).

3. Мельникова Т.В. Одномерная обратная задача' акустики для сферы// Обратные задачи математической физики. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1985. - С.97-104.

4. Албасов С.О., Яхно В.Г. Обратная задача динамической несвязной термоупругости// Некоторые проблемы дифференциальных уравнений и дискретной математики. - Новосибирск: НГУ, 1986. - С.63-70.

5. Албасов С.О., Яхно В.Г. Определение характеристик изотропной вертикально-неоднородной несвязной термоупругой среды // Вопросы корректности задач гатематической физики и анализа. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1966. - С.26-37.

6. Комиссаров В.В., Яхно В.Г- Численное решение одномерной задачи Лэмба для вертикально-неоднородной среды//Численные модели геофизики - теория и приложения. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1987. - С.48-54.

7. Комиссаров В.В., Яхно В.Г. Численное решение обратной задачи Лэмба для вертикально-неоднородной среды// Условно-корректные задачи математической физики и анализа. -Красноярск: КГУ, 1988, С.102-107.

8. Блинов В.Д., Комиссаров В.В., Яхно В.Г. Устойчивое построение коэффициента телеграфного уравнения по информации о фундаментальном"решении// Математические проблемы геофизики: прямые и обратные задачи.- Новосибирск: ЗЦ СО АН СССР, 1986. - С.41-50..

9. Яхно В.Г. Многомерная обратная задача акустики// Математический анализ и дифференциальные уравнения. - Новосибирск: НГУ, 1987. - С.155-162.

10. Бурдакова O.A. Одномерная обратная задача электроупругос-

■ ,ти// Тез, докл. Всесоюзной конференции Условно-корректные задачи математической физики. 1989, Алма-Ата. - Красноярск

■ ВЦ СО АН СССР. - С.27.

11. Комиссаров В.В., Яхно В.Г. Задача определения плотности двумерного неоднородного включения в вертикально-неоднородную среду. - Новосибирск. - 1989. - 44с. - (Препринт/ АН СССР, ИМ СО АН СССР, Ш).

12. Феофанова В.А., Яхно В.Г. О расчете упругих модулей и плотности двухслойной упругой среды по геофизическим данным на поверхности// Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - Новосибирск: Наука, 1989. -М, - С.35-43.

13. Романов В.Г. Дифференциальные свойства фундаментального решения уравнения второго порядка гиперболического типа // Некорректные математические" задачи и проблемы геофизики. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1979, C.II0-I2I.

14. Романов В.Г. Об одном классе единственности решения обратной кинематической задачи// Математические проблемы геофизики. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1973. - С.147-164.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ:

15. Яхно В.Г. Необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости одномерной обратной задачи Лэмба// Методы решения обратных задач. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983. - С.I3I-I48.

16. Яхно В.Г. Одномерная линеаризованная многомерная обратные задачи Лэмба// Тез.докл. Всесоюзной школы-семинара "Теория и методы решения некорректно поставленных задач и их приложения", Самарканд, 1983 - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983. - С.242-244.

17. Яхно В.Г. О решении линеаризованной многомерной обратной задачи Лэмба// Теория и методы решения некорректно поставленных задач и их приложения. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983. - C.I26-I3I.

18. Яхно В.Г. Линегризованная многомерная ооратная задача Лэмба// Докл. АН СССР. - 1984. - т.276, ;.>2. - С.314-318.

19. Яхно В.Г. Обратные задачи для гиперболических уравнений: правая часть - мгновенный источник, размещенный на границе// Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, 1984. - С.110-115.

20. Яхно В.Г. Одномерные обратные задачи для дифференциальных уравнений анизотропной упругости// Труда Всесоюзной школы-семинара "Теория и методы решения некорректно поставленных задач и их приложения" - Саратов: Саратовский университет, 1985. - С.155-156.

21. Яхно В.Г. Одномерная обратная задача анизотропной упру-" гости при шнуровых источниках// Докл. АН СССР. - 1985. -Т.285, И2. - С.339-342.

22. Яхно В.Г. Оценка устойчивости решения одномерной обратной задачи Лэмба // Обратные задачи математической физики. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1985. - С.142-152.

23. Яхно В.Г. Одномерные обратные задачи для анизотропных упругих сред. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1985. - 104с.

24. Яхно В.Г. Устойчивость решения одномерных обратных задач упругости// Докл. АН СССР. - 1986. - Т.286, ^£6. - С. 1369-1372.

25. Яхно В.Г. Свойства решения задачи Лэмба для вертикально-неоднородных изотропных сред. - Новосибирск, 1987. - 30с. - (Препринт/ АН СССР ВЦ СО АН СССР, л694).

26. Яхно В.Г. Прямая линеаризованная задача Лэмба. - Новосибирск, 1987. - 31 с. - (Препринт/ ВН СССР, ВЦ СО АН СССР, >*695).

27. Яхно В.Г. Обратная многомерная линеаризованная задача Лэмба. - Новосибирск, 1987. —24с. - (Препринт/ АН СССР, ВЦ СО АН СССР, /Е696).

28. Яхно В.Г. Многомерная обратная задача для системы уравнений Ламе// Условно-корректные задачи. - Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1988 - С.118-128.

29. Яхно В.Г. Многомерная обратная динамическая задача изотропной упругости// Докл. АН СССР. - 1989. - Т.304,№3. С. 582-585.

30. Яхно В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений упругости // Тез.докл. Всесоюзной конференции "Условно-корректные задачи математической физики", Алма-Ата,

1989 - Красноярск: ВЦ СО АН СССР, 1989. - С.95.

31. Яхно В.Г. Исследование лучевой постановки многомерной обратной задачи акустики // Тез.докл. 1У Всесоюзный симпозиум по вычислительной томографии, Ташкент, 1989. - Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1989, С.54-55.

32. Яхно В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений упругости. - Новосибирск: Наука, 1989. - 304 с.