Обратные граничные задачи рассеяния упругих волн локальными объектами (асимптотический подход) тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

НАЦЮНЛЛЫГА АКАДЕМЫ НАУК УКРАШИ 1НСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ МЕХАШКИ - I МАТЕМАТИКИ ¡м. Я.С.П1ДСТР ИГАЧА

На правах рукопису УДК 539.3

СМЕЦЬ

ЁОЛОДИМИР ФЕДОРОВИЧ

ОБЕРНЕШ ГРАНИЧШ ЗАДАЧ1 РОЗС1Я1ШЯ ПРУЖНИХ ХВИЛЬ ЛОКАЛЬНИМИ ОВ'СКТАМИ (АСИМПТОТИЧШ1Й П1ДХ1Д)

01.02.04 - мехашка деформ^вного твердого тша

Автореферат дисертацп на здобуття наукового ступени доктора ф!зигсо-математичних наук

Лымв - 1997

Дисертац1ею с рукопис.

Робота виконана в 1нститут1 прикладних проблем механнси i математики iM. Я.С.Шдстригача HAH У крайни

Науковий консультант - доктор ф1зико-математичних наук,

професор П1ДДУБНЯК О.П.

ОфщШш опоненти: член-кореспондент HAH Украши,

доктор техшчних наук, професор АНДРЕЙК1В O.G. доктор ф1зико-математичних наук, професор БАБАСВ А.Е. доктор ф!зико-математичних наук, професор ОСАДЧУК В.А.

Провщна оргатзац^я - Китський Нацюнальний университет

¡м. Т.Г.Шевченка

оО

Захист вщбудеться 'Ж' о^ 1997р. о ii_год. на засданш спещал1зовано5 вчено! ради Д.04.17.01 в 1нституп прикладних проблем мехашки i математики iM. Я.С.Шдстригача HAH Украши за адресою: 2900601, Льв1в, вул. Наукова, З-б.

3 дисергащею можна ознайомитися у бхблютец! ШПММ iM. Я.С.Шдстригача HAH Украши (jlbbib, вул. Наукова, З-б)

В!дгук на автореферат просимо надсилати за адресою: 290601, JlbBiB, вул. Наукова, З-б, 1ППММ, вченсму секретарю спещал13овано! ради.

д

7 О ö&~

Автореферат роз^сланий 1_ 1997 р.

Вчений секретар спец1ал13овано5 зди

Шевчук ПР.

- 3 -

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОВОТИ

Актуалыисть теми, Проблеми дефектоскопп, неруйшвного контролю, динамично! мехашки руйнування, конструювашш нових композицгйних матер1ал1в, медицики, геоф1яикм у багатьох випадках пов'язаш 13 необхвдшстю вшсористання явища розсшння ультразвуку локальними неоднорвдностями та !нтерпретац!его експериментальних даних розаяння. 3 математично! точки зору рса.'пзацш такого шдходу приводить до розв'язування прямих та обернених (граничних, контактних) задач для р1внянь диналпчно! теорп пружност! Осгальки ¡нформащя про будову неоднорщного середовища мктиться у безпоеередньо вимг'рюваних характеристиках розаяних лсипв, особливо важливе прикладне значения мають розв'язки в1дпов]дних обернених задач. Однак побудова останш'х наштовхуеться на принципов! трудной^ анал1тичного та обчислювального характеру, зумовлеш, зокрема, нелшШшстю та некоректшстю обернених задач, а також обмеженими обчислювальними можливостями широко використо-вуваних на даний час ПЕОМ.

Таким чином, проблема штерпретацп даних розаяння пружних хвиль локальними перешкодами в сущльних середовищах е актуальною як з точки зору багатьох застосувань, так 1 в чисто науковому плат.

В дисертацшшй робо-п розглянуп обернет задач! дистанцШного визначення геомстричних та мехаточних параметр1в локальних неоднор1дностей, що мютяться в однор!дному ¡зотропному пружному середовицц, за допомогою пол!в пружних хвиль, з використанням малопараметрично! модел^ для яко! загальна тополопя об'екту, тип граничних або контактних умов та зондуюч! хвил! в1Дом! За вхвднг дан! приймаються амшптудно-фазов! характеристики - комплексш ампл!туди (д!аграми) розаяння або енергетичш характеристики -перер!зи розс1яння, а хвилями зондування е плосм хвшп поздовжнього типу. Розглядувана проблема типова у багатьох галузях, коли с}мзика процесу ведома, а геометрт та матер^альну будову розсновача необхщна визначити. Вщразу ж зазначимо, що основна галыасть роб!т в цьому напрямку проведена у випадку розс!яння акустичних та електромагштних хвиль, незважаючи на те, що проблема дистанцшного визначення розМ1р!в, форми, м!сцеположення трицин, порожнин та включень в пружних гидах ультразвуковими методами мае

першочергове значения при неруйшвному контроле елеменэтв конструкцШ та зонду ваши середовищ. Зазначена обставина не випадкова, осюльки ця проблема ще далека, вщ свого виршення нав1ть у найпроспшому скалярному випадку. Анал1з векторних та скалярних прямик задач розсшння ультразвукових хвиль локальними перешкодами належить до класичних роздшв динaмiчнoI теорп пруж-носп та акустики. У цьому напрямку доведет загальш теореми 1снувашш та единост! розв'язюв вщпов'щних задач, а також побудоваш методи для IX конструктивного дослщження, набутий великий досвщ проведения числових розрахуншв. В останнж час для дослщження задач розаяння хвиль перешкодами складно! геометр!! широко застосовуються методи штегральних р1внянь, метод нульового поля (Т-матриць), метод дискретних джерел, методи скшченних елементав та р1гзниць, вар1ацШш методи тощо. При цьому 1х числова реал!защя, необхщна для анал1зу вщповщних ф1зичних закономерностей процеав дифракцп та для отримання галыасних характеристик розмяння, вимагае значного об'ему обчислювально! робота, яка усгашно виконуеться завдяш появ! сучасних ЕОМ.-Однак, незважаючи на щ досягнення, практичне застосування згаданих вшце метсдав, як ором1жково! ланки для дослщження обернених задач, обмежене недостатньою шзидксдаею ЕОМ. Кр1м того, отримаш числов! розв'язки повинш бути ще й формально коректними з точки зору обчислювально! математики. Результатившсть запропонованих в дисертаци тдход1в до дослщження обернених задач базуеться на використанн! довго- та короткохвильових д5апазошв частот пружних коливань. Застосування таких д1апазошв дае можлив!сть в pядi випадгав аналггично описати характеристики розаяння у хвильовШ зон!, а також дозволяе виявити I штерпретувати ф1зшсу дифракщйних явищ, що багато в чому забезпечуе усшшне вивчення обернених задач.

Метою роботи е розробка метод!в визначення ф!зико-мехашчних та геометричних параметр^ лскальних неоднорщностей в пружно-деформованраду середовищ! за допомогою пол^в пружних хвиль. Досягнення вибрано! мети передбачае виршення такого комплексу питань:

- розробка нових та розвиток ¡снуючих методш дослщження ■идповщних прямих задач теори пружносп усталених коливань на-

основ! тсорп щтегральних '^¡внянь, ви.'шачених ;;а замкпени/с многовидах або на многовидах ¡з краем;

- побудова апрюрних оцшок, що пов'язують хвильов1 числа зонду-вання 5 характерш властивост1 локально! перешкоди \з наступним визначенням меж застосовност! побудованих асимптотичних розв'язкш прямих задач та 1х ф1зичного змюту;

- створення на основ! отриманих наближених розп'язюв та теори некоректних задач ефективних алгоритм! в числово-аналгтичного доелщження розглядуваних обернених задач;

- алгебра!зац1Ю запропонованих алгоритм1в та проведения число лих експериматв на модельних прикладах.

Методолопя доойдження грунтуеться на апарап ¡нтегральиих р1внянь розв'язування першо!, друго! та контактно! задач теорп пружност! усталених коливань, який, в свою чергу, е наслщком сп'т-вадношення Бетт! для безмежно! облает!; на схемах розв'язування некоректних задач (побудова нормальних псевдорозв'язшв та опера-тор1в регуляризацп, залежнмх вщ идлочислогзого параметра; метод регуляризацп А.М.Тихонова ¡з стабШзуючим функцюналом першого порядку; принцип ¡теративно! регуляризацп на основ! методу Ньютона-Канторовича); на методах задач! Р^мана-Пльберта теор!! анал!тичних функцш, складених асимптотичних розкладш, контурних !нтеграл!в, послщовних дифракций, стацЬнарно! фази та перевалу; на ¡нтегральиих перетворениях Фур'е та Радона. 3 метою моделговання даних розс!яння використовувався метод Гальоршна, колокацп, меха-[цчних квадратур для числового розв'язування штегральних (штегро-диференщальних) р1внянь, а також метод розд1лення змпших.

Наукопа новизна дисертафйно! роботи полягае у розгляд! нового класу задач динам!чно! теорп пружност! - обернених граничних задач розс!яння усталених пружних хвиль локальпими об'ектами у суцшьному середовищ!, розроби! метод1в !х розв'язування та в одержанш ряду результате, частину з яких автор виносить на захист:

1. Методики визначення розм1р1в плоских тр1щин (розр1з1в) в пружно-деформованому середовищ1 за допомогою розешних (випромь нених) пол1в пружних хвиль, в межах яких:

а) запропонований споаб отримання та числового розв'язування штегро-диферешпальних р1вняиь задач! розс1яння пружних стацюнар-них хвиль плоскою щ1Линою, обмеженою замкненим гладким контуром,

вщносно стрибмв зм1ще.чь п протилежних берепв, що дозволяе оперу-вати не з гшерсингулярними штегралами, визначеними в сена Адама-ра, а з символами в!дпов!дних псевдодиференьцальних операторов;

б) отримана асимптотична залежшсть повного поперечного перер!зу розаяння ввд частота при дифракцп пружно! високочастотно! поздовжньо! хеши на плосюй тунельнШ тр1щиш, внастпдок чого записана- проста формула, що пов'язуе розьпр неодноршност! 13 кратними йому довжинами релеевських хвиль;

в) розроблена на основ! методу АЛ.Тихонова !з стабшзуючим функцюналом першого порядку процедура визначення напружено-деформованого стану пружного середовища за сигналами акустично! ем]'сп, породженими новоутвореною тунельною трщиною нормального вщриву;

г) запропонована методика рекоиструкци замкненого гладкого контуру плоско! щшини, що грунтусться на використанш значень амшптуди розаяння поздовжшх хвиль на дискретному спектр! частот для напрямку, близькому до напрямку оберненого розшяння та на розв'язуванш задач! обчислювально! томографа.

2. Метод дослщжения обернено! задач! дистанщйного вщтворення геометричних та мехагачних параметр!в тонкостшних стр!чкових плоских включень, розташованих у пружн!й матриц! в умовах ¡деального контакту, складовими якого е :

а) постановка задач дифракцп пружних хвиль на тонкостшних включениях велико! ! мало! жорсткосп (у пор!внянш !з жорстмстю зовтшнього середовища), а також методика побудови високочастотних асимптотик пол!в зм!щень ! напружень у ближн!й зош та в зот Фраунгофера;

б) встановлений ефект недзеркального вщбиття пружних хвиль, зумовлений нульовою симетричною або антисиметричною хвилями Лемба у тонкостенному включенш велико! жорстгсосп;

г) спрямоваю на розв'язування вдатовщних обернених задач результата ф!зичного; анал!зу отриманих характеристик розаяних пружних хвиль.

3. Методики визначення геометричних параметр!в об'емних замкнених розсшвач!в в деформованому середовищ!, яга використо-в. <оть значения ампл!туд розс!яння пружних хвиль на спектр! частот у

напрямку, близькому до напрямку оберненого розаянпя, 1 грунтуються на:

а) способах розв'язування обернених задач для порожнини, абсолютно жорсткого нерухомого включения та пружного включения, розмщеного в середовишд в умовах идеального контакту, яю базуються на розв'язу-ванш систем штегральних р1вностей ! тривим1рно1 задач! обчислюваль-но1 томографы з використанням довго- та короткохвильових дискрет-них д1апазо1пв частот;

б) алгоритмах побудови опорних площин до поверхш недеформтно! замкнено! Перешкоди, здобутих на основ! використання шформацп про внески в структуру амшптуд високочастотного розс^яння вщ неви-роджених та вироджених (коранпв 1 та 2) критичних точок досл!д-жувано! поверхш.

4. Числово-аналггична схема розв'язування обернено! гранично! задач! реконструкцп форми локального 31ркового розаювача в пружному середовииц, що базуеться на принцип! ¡теративно! регуляризацп, метод! Ньютона-Канторовича та наближент Борна для апроксимацп похщно! Фреше оператора вщпошдно! прямо! гранично! (контактно!) задач! теорп пружност! усталених коливаиь.

5. Методики знаходження розм1р1в та форми локальних пружних об'ект!в в акусТичному середовишд, що включають:

а) побудову довго- та короткохвильових асимптотик амшптуди роз-С1яння акустичних хвиль при взаемодп з. компактними ¡деальшши (недеформ1вними) тшами та розв'язування на цш основ! методами п. За в1-дповщних обернених задач;

б) процедуру ¡теративно! регуляризацп розв'язування задач! визна-чення форми видовясеного акустично жорсткого т!ла обертання;

в) алгоритм реконструкцп структурних характеристик опукло! перешкоди ¡з ¡мпедапеними ст!пками, що знаходиться у складеному простор!;

г) алгоритм визначення розм!р!в пружних тонкостшних оболонок.

Обгруптуваппя та достошршстг. наукових результате ! висновгав, отриманих у робот!, забезпечуеться тим, що при форму-люванн! обернених задач викорпстовуються математичш постановки прямих .задач роза'яння ультразвукових хвиль локальними перешкодами, яш добре в1'дом1 та апробоваш в теорП пружност!; при отриманш иаближених сшввщношень, що пов'язують шукаш та спостережуваш

величини, застосовуються обгрунтоваш математичш методи, а саш стввщношення сшвпадають у ряд! часткових випадшв i3 результатами шших автор!в; зроблеш в робой допущения базуються на апрюрних оцшках границь ix застосування i3 иаступним визначенням Ix ф!зич-ного змюту; для побудови розв'язгав обернених задач застосовуеться методолопя дослщження некоректних задач математично! ф1зики, що передбач'ае доведения нових або використання вдамих теорем единост! щодо шуканих розв'язгав та побудову для одержання цих розв'язюв алгоритм1в, епйких в прнродшх для застосувань класах функцш.

Теоретична та практична цшшсть роботи полягае у тому, що i3 единих позицш з використанням спектра частот зондуючого поля, розроблеш методики наближеного рорв'язування обернених задач дистанщйного визначення геометричних, в деяких випадках i ф!зико-мехашчних параметров локальних перешкод, що знаходяться у пружно-деформ1внШ матриц!, стосовно до практичних проблем дефектоскопа, неруйшвного контролю едемент1В конструкщй та зонду-вання суц1дьних середовищ. Отримаш результата мають вазкливе значения для розробки нових та розвитку ¡снуючих метод}в i 3aco6ia неруйшвного контролю. Дисертащя виконана у рамках комплексно! щльово! програми ДКНТ СРСР по розв'язуванню науково-техшчно! проблеми "Створити та осво!ти ресурсозбер1гаюч1 технологи виробництва зварних конструкцШ, що забезпечують шдвищення якосп, надшност! та довгов!чност! машин, мехашзм!в та споруд" (1986-1990 рр., шифр 0.72.01), науково-техшчно! програми "Техшчна диагностика i неруйшвний контроль" (Постанова АН УРСР № 431 в!д 2.11.1988 р.). Результата роботи увШшли у зв!ти по держбюджетних НДР (№№ , держ. реестр. 01.90.0051922, 06.93.U033343), у звгги по тем! фундаментальних дослщжень "Розробка метод1в дослщжень ехо-сигнал!в в!д т1л неконон!чно! форми" ("Згук" №1/174; Постанова ДКНТ Украши №19 вад 24.07.1992 р.), а також у зв1ти по науково-досл!дних договорах 1ППММ ¡м. Я.С.Шдстригача HAH Украши з р!зними защкавленими оргашз^ями.

Апробащя роботи та публшащЪ Дисертащя е викладом рашше опублжовано! 31 роботи автора, серед яких 24 стат-п в наукових журналах та зб1рниках праць м!жнародних конференщй, 1 препринт, 2 депоноваш рукописи.

Ochobhî результата робота доповщались на II ДалекосхщнШ конференщ! "Людина i океан" (Владивосток, 1982), II Республисансьюй конференщ! з прикладное пдродинамжи (Кшв, 1984), Республжанськш науково-техшчнШ конференщ! "1нтегральш р1вняння з прикладному моделгованш" (Ки!в, 1983 ), II Всесоюзшй конференщ! "Мехашка неоднорадних структур" (jlbbîb, 1987), XIY Всесоюзнш конференщ! з теорп оболонок i пластин (KyTaïci, 1988), II Всесоюзнш конференщ! з акустично! eMiciî (Кишишв, 1987), X М^жнародшй конференщ! "High Energy Rate Fabrication" (Любляна, Югослав1я, 1989), X Всесоюзнш конференщ! з дифракцп i розповсюдження хвиль (Вшниця, 1990), III Республжанськш конференщ! з теоретично! та прикладно! пдродинамжи (Алушта, 1988), IY ЪИжнароднШ конференщ! "Мехашка неодно-рщних структур" (Тернотль, 1987), М!жнародному ceMÏHapi "Числове розв'язування прямих та обернених задач Teopiï електромагштних хвиль" (DIPED-95) (Льв1в-Брюхович^ 1995), II Межнародному симпозиум! "MexàHÎKa i ф1зика руйнування буд1зельних матер!ал1в та конструкщй" (Льв1в-Дубляни, 1996), VI Мёжнародшй конференщ! UESI "Mathematical methods in electromagnetic theory" (Львёв, 1996).

У повному обсяз1 дисертащя доповщалась на семинарах: "Проб-леми механжи деформ1вного твердого •пла" 1нституту прикладних проблем мехашки i математики ¡м. Я.С.ГПдстригача НАН Укра!ни шд KepiBHH4TBOM чл.-кор. НАН Укра!ни Г.С.Юта, "Проблеми механши" Кшвського нацюнального ушверситету îm. Т.Г.Шевченка шд кер!вницт-вом чл.-кор. НАН Украши А-Ф.Улика, Захщно-Украшського осередку MTT/ED/AP IEEE пщ кер!вництвом проф. М.М.Войтовича, "«Кзичш поля в неоднорщних середовищах та неруйшвний контроль матерёалев" Фiзикo-мexaнiчнoгo ¡нституту ïm. Г.В.Карпенка НАН Укра!ни гад керЁвництвом чл.-кор. НАН Украши З.Т.Назарчука.

Структура та об'ем роботи. Дисертащя складаеться ¡з вступу, п'яти глав, bhchobkîb, списку лггератури. Загальний обсяг дисертаци на 329 CTopiHKax мгстить 63 рис. на 38 сторшках, 2 таблищ, 279 б!блюграф1чних найменувань. •

3MICT ДИСЕРТАЦШНО! РОБОТИ

У BCTyni викладений короткий огляд праць, що стосуються теми дисертаци. Обгрунтована актуальшсть дослщження, сформульована мета роботи, вщзначеш !! наукова новизна i практичне значения, а також основш положения i результати, що виносяться на захист.

Перша глава е допонижною, однак ¡мстить результата, що е важливими для подал ьшого викладу.

Передуам в § 1.1 зроблена математична постановка обернено! гранично! задач!, в ochobí яко! лежать постановки зовтшньо! першо!, друго! та контактно! прямих задач теори пружност! усталених коливань. Розглядасться однор!дний !зотропний npocTip, в якому ьпститься деяка локальна область D í на цю область Ha6irae плоска хвиля, що характеризуеться вектором змвдення и' = Лд1 exp[i/cL(l,x)], де х - декартова координата Í3 початком в!дл!ку в D. Якщо и"(х) -вектор зм1щень в розаяшй хвил!, то

и*(х) = -(4кг)'1 £ ехр(г/слг)£л(<о; 1, v) + о(г"2) (г = |х| -> со) . . (1)

A=L,T

де í" - комплексна амплггуда розаяння (АР) поздовжшх (А = L) або поперечних (Л = Т) хвиль; 1, v = х / г - вщповщно напрямки зонду-вання i спостереження; со - кругова частота; кА - хвильове число, пов'язане ¡з швидюстю сА. У випадку плоско! задач!, коли розгля-даються хвил! вертикально! поляризацп: u = (и1(0,и3), х = (ярО,^) формула (1) набувае вигляду :

Ц,(х)= (2)

Осгальки поля £А повн!стю характеризують повед!нку розс!яного поля в далыйй зош, то, абстрагуючись вщ конкретно! природи розсшвача D, обернену задачу сформулюемо так: за вадомим з експерименту функцюналом вщ пол!в fA(co;I,v) визначити форму тша D та його ф!зико-мехашчш властивостп. Зауважимо, що коли зондуюче поле не е • плоскою хвилего, то схема для визначення £А реал!зуеться за допомо-гою зображення як падаючого, так ' i розаяного поля у вигляд1 суперпозици плоских хвиль, спостережуваного на деяюй поверхш.

У § 1.2 наведен! необхщш bíaomoctí ¡з Teopi! некоректних задач та записан! деяш загалып схеми побудови !х регуляризованих розв'язшв, яга використовуються надал1. Y.piM того, знайдеш розв'язки деюлькох простих обернених задач, що мають вщношення до теми досл1дження та шюструють техшку застосування метод!в регуляризацп. Зокремэ, розв'язана задача про вщновлення ¡нтенсивност! джерела випромшювання хвиль в акустичному niBnpocTopi з вшьною п^верхнею за вим!ряним розподиюм швидкостей на ц!й поверхш.

Под1бна ситуац!я мае мкце, наприклад, в акустоем1с!йних методах контролю. Регуляризацно задач проведено за допомогою штегральних операторов типу Фейера.

В наступному § 1.3 дослщжуеться одна система моментних ровнянь, до яко! зводяться деяк! обернет задачу що вивчаються и робой. Доведено дегалька теорем единост1 I! розв'язгав та побудовано амейство регуляризуючих оператор!в, залежних вщ цшочислового параметра. Встановлено зв'язок м1ж цим параметром та р1знем похибок задания вшьних члешв дано! системи. Детально проанал1зована ситуащя, коли ця система одержуеться в результат! дискретного розбиття множини значень зовшшньо! зм1нно1 Фур'е-трансформанти В1д характеристично! функцп замкнено! гладко! облает!.

Четвертой параграф ще! глави присвячений теоремам единосп визначення форми абсолютно жорсткого нерухомого включения або порожнини за ампл!тудами розс!яння пружних хвиль. Загальшсть приведених теорем забезпечуеться тим, що при цьому не робляться шям спещальн! припущення про клас поверхонь, що обмежують перешкоди. Виклад починаеться !з розгляду скалярних обернених задач розстяння. Вадповщш теореми сдиност! для цього випадку достатньо повно висв!тлет в оглядових роботах таких автор!в як Б.Сокоп, й-НазвЬя, VMlsakov> Б-ЭЛопон, П.КгеБЭ, Р.А.МагНп, В.Б.81еетап та шших. Оскшьки доведения цих теорем базуеться на анал!тичних властивостях амгштуди розаяння, то, як показано в робот!, !х способ доведения може бути використаний для' випадку обернених граничних задач для р^внянь Ламе. 1з приведених теорем випливае, що для усунення неединост! розв'язгав необх!дно змшювати або напрямок зондування (зеувати "лампу"), або змшювати довжини зондуючих хвиль (змшювати ко.шр "лампи"). Зазначимо, що питания единосп розв'язку обернено! гранично! задач! займае важливе м!сце при I! досладженш не Т1льки !з математично! точки зору, але й тому, що його вир^шення багато в чому визиачае способи побудови алгоритму рекоиструкци. В наступних роздшах роботи в1Дпов!дш теореми доведет для певних клаав тгл, виходячи з конструктивних алгоритм!» розв'язування обернених задач.

В.останньому § 1,5 ще! глави побудоваш штегральш зображення для АР поздовжшх та поперечних хвиль, як! е наслщком формул Бетт! (ствввдношень екв!валентносп) та дозволяють г. зв'язати регулярш

розв'язки piBHHHb Ламе зовт або всередит облает D через граничш значения на П поверхш. Отримат характеристики визначають розаяне поле в зон1 Фраунгофера через значения гешв змщень або напружень на поверхш (всередиш) перешкоди. Якщо за деякими м1ркуваннями розподш оетаншх вщомий, то отримаш вираз^ пов'язуютъ геометрт та ф13ико-мехашчш параметри розшювача ¡з експериментально спосте-режуваним полем.

У другш глав! подат методи розв'язування обернено! гранично; задач! -для плоско! ццлини. Ключовим елементом запропонованих процедур е встановлення наближених стввздношень для визначення стрибюв змщень протилежних берелв тродини Ф{у) = u+(y)-u"(y), u = u'+u\ u* = lim u(yl,y2,±e). 3 щею метою у §2.1, ¡з застосуванням

формули Бетп та штегральних сшввщношень для елемент!в матриц! фундаментальних розв'язгав В.Д.Купрадзе, одержаних у вигляд! суперпозици плоских хвиль, в робот! отримана система ¡нтегральних р!внянь вщносно Ф,(у), i = 1,2,3. Проведений анал13 символш ядер

отримано! системи показуе, що I! можна подати у вигляд1 системи штегро-диференщальних р!внянь, виносячи з-пщ знаку штегрування оператор (V2 + kR), де V2 - двовим!рний оператор Лапласа за змшними , х2, kR - хвильове число релеевсько! хвиль Причому ядра отримано! системи будуть полярними (фредгольмовими). Вщповщш сшввцщо-шеиня наведен! для випадку плоско! деформацП.

Другий параграф ще! глави присвячений методикам побудови числових розв'язшв отримано! системи методом Гальоргана. При цьому використаний ввдомий висковок про те, що врахування особливостей в координатних функщях екв!валентне регуляризац!! сингулярних !нтеграл1в. Перш за Есе розглянуто випадок, коли S - коло, а зондуюча хвиля и' падае нормально до S. Тод! вщмшну в!д нуля компоненту Фз подано у вигляд! розкладу за полшомами Якоб!, вимагаючи ортого-нальност! дано! системи функщй та нев'язки р^вняшш. 3 викорис-танням технжи контурного штегрування доведено, що отримана при цьому нескшченна система алгебра!чниХ р!внянь в!дносно шуканих коефщ!е(тв розкла,этв е кваз!регулярною. Аналопчним методом доонджена ситуащя, коли S - тунельна .трвдина, де за координата фуакцп вибираються пол!номи Чебишова другого роду. Завершуеться параграф розглядом методики побудови числових розв'язшв системи, пли координатними функщяыи вважаються гауссов! хвильов! пучки.

У § 2.3 розв'язана обернена задача визначения ширини а плоско! тунельнох тр1щини. Розгляд обмежений випадком нормального падшня зондуючо! хвил1 и*. Нормал1зований стрибок змщень Ф = Фэ.4,71 задовольняе штегро-диференщальному р1внянню типу згортки, розв'язок якого на деятй вщдал! вщ кшщв трщини при kLa » 1 побу-довано за допомогою метод1В задач! Р1мана та послщовних дифракц!й

Ф(ж,) = -2 + 2DR{e,7c'l(o*a:i) + Rr eM"V'fcR(ot:tl)} / (l - Дг e2,k'<") (3)

де Dr i Rr - ввдповщно коефщенти дифракц!! i вщбиття релеевсько! хвил! [9], яка виникае при падшш плоско! хвил1 одинично! амшптуди на швплощину. Перший член виразу (3) описуе геометрооптичну складову Ф (), а наступи! випливають ¡з розв'язку однор!дного р!в-няння, тобто описують внесок в розшяне поле, зумовлений поверх-невими хвилями Релея. Осгальки збурення Ф(Х]) б!ля в!стря тр!щини не впливае на величину головних члетв асимптотичного розкладу за параметром kR ' повного поперечного перерезу розстяння а: ат = О, aL = (AqIcl) ' 1ш(-1,fL(co; 1,-1)), то i3 отримано! для нього формули одержуеться розв'язок обернено! задач!: а = к / (ДkR), де ДkR - вщдаль м!ж сусщшми екстремумами на кривш аи-= aL(ka), яка вважаеться вщомою з експерименту. Проведений числовий анал!з показав, що здобута формула для о достатньо добре описуе перер!зи розс!яння вже при fcj.a >1.5, а значения довжини дефекту визначаеться при цьому практично точно (похибка не перевищуе 1%).

В!домо, що незворотн! процеси руйнування матер!ал!в супровод-жуються-характерними ¡мпульсвими випромшюваннями - акустичною eMicieio (АЕ), джёрелами яко! е новоутвореш трщини. Це складае важливу передумову для визначення напружено-деформованого стану (НДС) пружного середовища за сигналами АЕ, породженими новоутвореною стащонарною тр!щиною. У §2.4 запропоноваш процедури знаходження розв'язюв ще! задач! для випадку тунельно! тр!гцини довжиною 2а, що перебувае гад впливом однорщних розтягуючих напружень P(t) (наприклад, -a0H(t), де H(t) - функгця Хев!сайда, ст0 - стала, що е штегральною характеристикою матер!алу на ввдрив; Андрейкив А.Е., Лисак Н.В.," Сергиенко О.Н. Техн. диагн. и неразруш. контр. 1990, №3). Зазначимо, що осюльки мае мкце сщв-вщношення екв!валентноеп, то для визначення НДС пружно! матриц! достатньо визначити ефибок змйцень берегхв трццини. Вщносно цих

стрибгав у спектральнш области отриыано операторне р1вняння першого роду, яке мае единим розв'язок в Ь2(-а,а) для довшьного скшченного со ^ 0. Для знаходжения числових розв'язшв отриманого р^вняння застосовуеться метод регуляризацп А.М.Тихонова з1 стабиизуючим функцюн&лом першого порядку та умова Ф(±а) = 0, що забезпечус р!вно1шрну зб^жшеть (виключеннями е точки ±а) числових розв'язюв до точних при 5 —> 0, де 8 - р1вень похибок задания доаграми випромпповання (2) поздовжшх хвиль. 3 шшого боку, якщо амгштуди випромшювашш вщом1 на дискретшй множит напрямгав V,,, •.., у1п , то тод! приходимо до вивчено! вже у §1.3 системи щтеграль-

Рис. 1

Результата числового досл^дження при коефвдентс Пуассона V = 1 / 3 наведет на рис 1 для безрозм1рних значень <р*(р) = = ¿гФ3(р / де А0 - амшптуда вектора змйцепь, що зумовлюе

, спектр прикладеного навантаження, х-к^. Крив! 1-3 зображують ктинш значения : 1 - ¡(¡>*(р){, 2 - 1ш ср*(р), 3 - Бе 9*(р)> а вщповщш 1м штрихов! крив! - результати реконструкцп. На рис. 1а штрихов! крив! одержан! за допомогою регуляризуючих оператор!в, знайдених у § 1.3, при у1п = вт(ш / 8), 71 = 1,...,4; 5 = 10~3; ж = 1. Зазначимо. що при цих же значениях параметр!в у,п, § реконструйоваш крив! практично не вадр^зняються В1д слр=вжшх в д!апазош хвильових розм1р1В х < 1. Результати реконструкцп, що використовують метод А.М.Тихонова, наведет* на рис. 16 для х - 2, 5 = 10"3/2. Параметри регуляризацп встановлювалися за принципом нев'язки. В обох випадках моделю-

вання даних розспяння проводилося шляхом числового розв'язування вщповщного штегрального р1вняния за методикою, поданого в § 2.1.

У § 2.5 розглянуто обернену задачу для плоско! трщини, обмежено! замкненим гладким контуром. Шуканими величинами е розм1ри щшини та ор1ентащя и площини. Для розв'язку задач! вико-ристовуються ггаближеш значения Ф(х), х одержан! на основ! обме-жень щодо д!апазошв частот падаючого поля, а також напрямгав зон-дування ! спостереження. Так низькочастотний д!апазон коливань вводиться при визначенн! ор1ентацп площини тр!щини з врахуванням отриманого в робот! релеевського наближення диференщального перер1зу розс!яння, здобутого в свою чергу на баз1 зображення Ф(х),хе5 через розв'язки вщповщно! статично! задач!. 3 шшого боку, коли довжини зондуючих хвиль набагато менш! характерних розм!р1в 5, а кут зондування, що вщраховуеться в!д ос!, перпендикулярно! до площини трщини, малий, то для обчислення стрибгав змщень використано принцип локальност! хвильових пол!в. Тод! головш члени короткохвильово! асимптотики АР (1) в облает! V « +1 подаються у вигляд! перетворення Фур'е за змшною р та параметром кА | т]а | функцп гз(р;а), що е перетворенням Радона характеристично! функцп облает! б1, а = л"4 / (т^!, % = с^ / ст = (г1 - У„Ь, - у2),

ЧТ = Шг ~ V,,«, - V,).

В!дновлення характеристично! функцп локально! облает за !! перетворенням Радона - добре вщома задача обчислювально! томограф!!, розв'язки яко! д!стали широке застосування в багатьох галузях "знань. Тому основна увага зосереджена на розв'язуванш отриманого штегрального р!вняння в!дносно функцп г>(р;а). Встанов-лено, що шукана • функщя мае геометричний зм!ст довжин в!др!зшв перетину 5 лЫями (а,х) = р, х е 5, |р| < оо, а отже володш компакт-ним нос!ем, розташованим на вщр1зку -а(а) £ р £ Ь(а), -а(а) = ш!п(а,х), Ь(а) = тах(а,х) та вщповщним асимптотичним

хе? _

наближенням, наприклад, г-(р;а) ~ ¿,/2^г1/2(а)л/Ь- р при р -> Ъ, де К(а) -кривина контуру поверхш 5 в точц! дотику л!н!1 (а,х) = Ь(а) до дБ. Покладаючи V»-!, 1= (0,0,-1), |г|1'| * 0 1 враховуючи, що АР поз-

довжн!х хвиль, яка домшуе в розглядуваних напрямках, в!дома на дискретн!й множин! частот, приходимо до вивчено! в § 1.3 системи моментних р!внянь. Зокрема, вибором певним чином частот зондування,

нормальний псевдорозв'язок отримано! системи подаеться безпосе-редньо через значения II право! частини. KpiM того, площа поверхш шьлини" Q визначаеться за формулою £L(co;l,Tl) « ±2M0ifci,fí, fr(w;l,Tl) = 0.

У випадку, коли вектор v мгститься у площит щшини, a 8S -опукла

K-Hv) * —^^ijjfL(e;lIv)f, х » 1, fT((o;l,v) = 0,1 = (0,0,-1) (4)

Формула (4) не враховуе вкладу периферЩних хвиль í здобута методом крайових хвиль ф!зично! Teopii дифракцП. Бона визначае кривину опукло! криво! дБ як функщю зовюшньо! нормал!, що паралельна напрямку спостереження, а тому dS ввдновлюеться единим чином за |íL|. 3 шшого боку, критичне значения р = p.(v)<0, ща визначае

максимум функцюналу

ч-1/2 к,

(5)

(2л) ' 7

'в(р) - + « / 0]<иь

подае ¡нформащю про ввддаль до опорно! лшп, що дотикаеться до 55 в точщ з нормаллю V. Тод! ршияння (у(,х) = -р.(у(), г = 1,..,тг ви&начають п-кутники, що описують 55. За результатами числового моделювання даних розмяння у випадку кругово! ццлини встановлено, що запропоноват процедури володоють достатньою для практики ефективн1стю. Зокрема, формула (4) повтастю вадображае характер

1.2 --,-- обвщно! диференщального

перер!зу розс1яння в залежност1 вщ хвильових розм1р!в у високочастот-ному д1апазош, а стввщно-шення (5) визначае практично точю значения ' р.. Для реконструкцп функци о(р;а) у випадку дископод!бно! тр!щини достатньо декшькох частот 0 0.5 1 °ондування к„, п = 1,2.....

^ „ (Рис. 2).

Рис.2

0.9

0.6

0.3

0.0

v/2а

/у / п-8

f-II —п-2 ' V

1 р/а }

-0.5

У третЫ глав! дослщжет плосга обернет задач! для випадку включень мало! та велико! жорсткосп, що мштяться в пружтй матриц! в умовах идеального контакту. В §3.1 з використанням результатов §2.1 наведен! ¡нтегралып р1вняння задач! розсшпня пружних хвиль плоскими включениями мало! жорсткост!. Припускаеться, що вщно-шення коеф'пцеит'т Ламе неоднорщносп та середовища с величинами порядку O(s), де е-безрозм!рна товщина неоднородность Коли довжини хвиль деформащй значно перевищують товщину включения h, тодц включения моделюеться стрибком вектора змицспь, компоненти якого пропорцшш в!дпов1дним компонентам вектора напруження на серединшй noBepxni S розсиовача: <т,3 = (Я0 + 2д0)/г' Ф3(х), арз = Po h~l Фр(х), ß = 1,2, х е S, де А.0,р0 - його параметри Ламе.

В наступному § 3.2 у аналопчшй постановщ розглянуто бшьш складтший випадок, коли ввдповщш вщношення коеф!ц!снт!в Ламе с величинами порядку о(е~"), к > 0. За вщомими результатами (Caillerie D. Math. Meth. Appl. Sei., 1980.V.2.N3) та методом зрощування асимптотичних розклад;'в встановлено, що включения моделюеться з точшетю до асимптотично другорядних величин при 0 < к < 3, kLh « 1 стрибком вектора напруження lF(x), х е St для якого *Рр(х) = -Ejh(A' + fc,2)up, х e S, ст;рпр = 0, х е BS (6)

%Ы) = g(v4 + k2,)u3, x.eS,4- V2w3 + M,u3 = 0, Мпщ = 0, x e BS

an 8n

де Ei - модуль Юнга для тонко! пластини, kx,k, - вщповщно хвильов1 числа поздовжньо! та згинно! хвшп в пластин!, g - цилшдрична жорст-гасть, BS - контур noBepxHi S i3 зовшшньою нормаллго п, знак * вказуе на узагальнений напружений стан, а граничш умови задач (6) - це умови вшьного (незакршленого). контуру пластини [19]. При к > 3 прийнятна модель абсолютно жорсткого включения, якщо не враховувати власш частоти розсиовача, скупчеш в окол! нуля.

За методами, розробленими в §2.1, одержан! ¡нтегро-диферен-щальт р!вняння в!дносно стрибгав напружень розглядувано! задач! розетяння. Встановлет умови розв'язувальноеп отриманих р1внянь, яш е наслщком властивостей ел!птичност1 граничних задач (6) та додатньо! визначеност! ix onepaTopia Детально проанал!зований випадок стр!чкового включения. Алгебра!защя приведених р!внянь здшешоетьел за, допомогою обчислювальних схем методу механ!чних квадратур.

У § 3.3 розв'язана задача визначенни ширини 2а абсолютно жорсткого включения за вщомим у високочастотшй обласп иерер1зом розияння поздовжшх хвиль а'". Розв'язки штегральних р1внянь, яга вщповщають розглядуванш ситуацп та записаш в § 3.2, будуються за допомогою методу складених асимптотичних розклад1в на основ! розв'язшв вщповщних штегральних piBiunib Вшера-Хопфа. Зазначимо, що ця процедура добре в ¡дом а в контактних задачах теорп пpyжнocтi при розв'язуваши штегральних ршнянь типу згортки, що володпоть логарифьпчкою особливктю в ядрах (Ворович И.И., Алекандров В.М., Бабешко В.А. Некласические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974). Наближений розв'язок поставлено! задач1 мае вигляд:

cL( G0

-,е0 < л / 2; а1/2

1 = (- cos 60, sin 90)

4 cos 0О

Одержат також наступт BHC0KO4acTOTHi асимптотики коефщ1ен'пв при особливостях стрибгав напружены

(7)

для

К*

lim Ja + íCiSFpía'j » 2^2kLA,

i+h)e

y±a

-2 j УР

-ÍJt/4

R

1 ^

„(и) = e;;p[-£_(")]> ЗС-М = - jarctg-j^^

KM

da

с - и

__

у-(сс) = VT- а, у2-(сс) = -/¡Г'-сс, у = (3 - 4v)(l - 2v)"1, 0 = 1,2

Проведено числове моделювашш значень cL(0o) в залежност! В1Д

частоти та кута 90 справедлив! вже npj практично точно.

•3,

показало, ¡c¡.a í 2,

о' 1

\2

4 3 X

5

Рис.3

10

що отримаш наближеш формули а довжина дефекту визначаеться

Дослщження обернем! задач! для включень велико! жорсткост! викладеш в § 3.4. Отримаш результата базуються на замкнених асимптотичних поданнях АР (2) в короткохвильовш облает^ яга здобут! на ochobí вщповщиих асимптотичних розв'язюв штегро-диференщалышх р1внянь методиками, запропоно-ваними у § 2.3.

Для визначення po3MipiB розешвача використаш моно - та

г

i

о

оютатичш значения АР з напрямках Э0 = 0, я / 2 при х » 1. Встанов-лено, що ефеки, гюз'язаш ¡з симетричними га антисиметричними коли-заннями включения при б0 = % / 2, х » 1 асимптотично мал!, 1 ширину иеоднорщносл можна визначати за шдгкдаднога формулою (7), наведеною для абсолютно жорсткого включения. Коли О0 = 0, тод1 справедливе ' асимптотичне подання а"(0) « 4аИ2 / (1 + Zг), 2 = к[)1р0 / 2р, х » 1. Чисельш дослщження залежностей с"(0) та ст"(л/2) вщ частота для низки матер1ал1в показали ефектившсть здобутих формул при х >2.

На рис. 3 подат залежност1 величини а' = а1'(Э()) / 2а В1Д хви-льового розм1ру А". Крив! 112 вщповщають абсолютно жорсткому, а крив! 3 14- стальному (Н = 9%а) включению у внипласп, тэдпошдно при 60 = 0 ! Эа = я / 2.

Проведено теоретичне обгрунтування недзеркального в!дбиття пружних хпиль, яке мае мшце при краттй кшькоеи вкладених по довжит включения поздовжтх або згинних хвиль ! при тдпошдному сгпвпадшш хвильового числа останшх ¡з слщом хиильового числа зондуючо! хвил1. Це дозволило отримати прост! формули для пизна-

Рис. 4

тонгай пластиш си a¡ c¡ sin 0', cL « cs sin 0", с, « c¡ як! м!стять шформацпо про ф!зико-мехашчш параметри неоднородность Тут В', 9] - кути, при яких спостерпаеться максимум полярно! характеристики розшяння /(90) = ¿4g1|fI,((o; 1,-1) - fj,(o>; 1, -1)¡, до Jj-геометрооптична складова АР. Незважаючи на те, що приведен! формули наближеш (гЛдпогпдш швидкоеп для включения володиоть слабкою диспераею та

уявною частиною, яка' зумовлена впливом зовтшнього середовища), розрахунки для р!зних хвильових розиир1в та мехашчних параметр!в показали, що кути практично точно ствпадають з обчисленими ' теоретично. Так, на рис. 4 наведет результата числового дослдакення /* =|£1,(©;1,-1)|/2аА0 вщ кута зондування 0О для стального включения у вшпласт! (крива 1) та плексиглас! (крива 2) при х = 10, к = 9%а. Суцшьш крив! показують змшу /* для А = Ь, а пунктирш - для А - Т. Ефект недзеркального В1дбиття, зумовлений згинними хвилями добре виражений в облает! кута « 23° (сь / с, = 0,383; крива 1). Аналопчний ефект, спричинений поздовжн!ми хвилями, не е таким яскравим; вш зосередженийв ' райош кута « 36° {с1л / с1 = 0,523; крива 2).

У § 3.5 в аналопчшй постановц! ¡з застосуванням тих самих метод1в, що й вище, розглянута обернена задача для м'яких включень. Отримано, що поведшка а1{п / 2) вщ частота та розм!ру а в межах вибраних д1апазошв частот зондування описуеться т1ею ж формулою (7), що й у випадку жорстких включень, тобто основний внесок в а1 (л / 2) вносять крайов! хвшп. Побудован! асимптотичш залежноси перер1з1в розияння вщ частота та напрямгав зондування. Зокрема, сшввдагошення

о'(0) - 4а{—г + М^-Ве.!1;^^,], . » 1

i 1 + s2 + jW^Fi Д+3(-5а)[1 - V, ехр(гг)] |'

s = 4£%"1, Z3 = 2Е? kL h }i / (Х0 +2ц0). z .= 2к3 а, = cL / с3 дозволяе характеризувати матер!альн1 властивост! розсиовача:

с _ 1 2 Z

де ср, ß = 1,3 - швидкекгп поверхневих хвиль, як! виражаються через релеевську швидюсть i володпоть слабкою дисперс!ею, пропорцшнога kLh; Сйе - точки Локальних екстремум!в на крив!й залежност! aL(0) вщ со, К-функция Релея; вирази для коефЩенпв ср, A3, V3 наведеш в [1].

Одержано також узагальнення в!домо! формули (Achenbach J.D.," Gautesen А.К. Trans. ASME J. Appl. Mech. 1978. V. 305. N 1), що вщображае асимптотичну поведшку KIH для щшшш нормального вщриву на випадки |Zj| £ 1, s ^ 0.

У четвертому роздШ вивчаються o6epHeni граничш задач! для об'смних замкнених розсшвач1в в пружному середовинц.

У § 4.1 уна ochobî штегральних р1внянь запропоноваш методики побудови довгохвильових ¡теращйних розв'язгав прямих задач розаяння пружних хвиль порожниною, абсолютно жорстким включениям та пружним включениям, що знаходиться в матриц! в умовах ¡деального контакту. Сформульовано низку теорем, що дозволяють зоб-ражувати шукаш розв'язки рядами Неймана в npocropi квадратично штегрованих функщй. Методики базуються на апрюрних ощнках, що пов'язують хвильов! числа зондуючих хвиль з характерними власти-востями розсмовача. Наведет короткохвилыт асимптотики АР в локащйному та оберненому напрямках ^ля порожнини та абсолютно жорсткого включения з використанням припущення, що !х поверхн! S задовшьняють умови: 1) В у > 0: (x.n,) à у, х е S; 2) геометрично вщбитий промшь вщ довшьно! точки на S не перевщбиваеться згодом вщ шшйх точок ще! поверхш. Проведене пор!вняння довго- та короткохвильових характеристик розйяння, отриманих на ochobî здобутих асимптотичних формул для АР, з вщповщними експеримен-тальними та числовими даними, в1домими в л1тератур1, п!дтвердило ефектившсть отриманих сшввщношень для АР.

Наближеш розв'язки обернено! задач! визначення форми порожнини у вигляд! тонкого, видовженого або опуклого ила ¡з вшьною границею на шдстав! результатов §§ 4.1, 1.3 викладет в §4.2. На ochobî знайдених розв'язгав розглянута задача визначення poeMÎpie i форми порожнини та абсолютно жорсткого нерухомого включения без припущення про видрвжетсть або опуклкть !х поверхонь.

Встановлено, що коли хвильов! числа зондування утворюють множину, яка мае точку скупчення в нуль а вектор зондування I близькиЙ до oci обертання видовжено! порожнини, то п форма визна-чаеться единим чином в npocropi Lj за fь (со ; 1,-1) процедурами, що приведен! у § 1.3.

3 шшого боку, коли АР поздовжшх хвиль задана в напрямку v = -1,1 б S0, де S0 - поверхня одинично! сфери, то форма поверхш S гладко! опукло! порожнини з точшстю до îï розташування в npocropi визначаеться у короткохвильовому д!апазот единим чином. Алгоритм реконструкци S, аналопчний до (5), грунтуеться на встановленш максимального значения р0 = р0(1) функщоналу

g(p) = jW ехр(-г^р)Р(о))£}.^, F(cd) = (l,f*■(«>; 1,-1)), p = cLt (8)

Це значения визначае р!вняння дотично! площини (х, 1) = р / 2 в точщ, в якш • вектор зовшшньо! нормал1 п антипаралельний до вектора I. Суттево, що збшьшешш ¡нформацп про розм1ри розстовача (побудова нових стор1н многогранника, що описуе S) досягаеться шляхом його зондування шд р!зними ракурсами, 3 ф!зично! точки зору алгоритм (8) визначае фазу розпяно! хвши, а також дае ¡нформацпо про гауссову кривину К поверхш S: g(p0) « K"'/2(ycl)(fc2 - fc,), де у0 - прообраз п при гауссовому вщображент S на 50.

Якщо хвильов! числа зондування належать множит (0,шо) и (со,,оо), де (о0 та со, задовольняють апрюрним оцшкам

+ l)JdS « 1, ©ja » 1 (а - характерний po3Mip 5"), а даш ■ s

розаяння визначаються дискретними значениями функщоналу В(ш): В(са) = F(o>) / 2A,fe£, kL е (О,со0)( В(со) = (F + F,*) / 4Д,/с*> kL еЦ,®), F, = (l,!L(co;-l, 1)), де * означае комплексе спряжения, то задача реконструкцп S вводиться до вивчено! в § 1.3 системи моментних р1внянь. До розв'язування uiei ж системи вводиться й обернена задача для абсолютно .жорсткого включения, осгальки у високочастоттй облает! вщпов!дш АР вщр1зняються лише фазою piBHoio я, а у релеевсьшй облаем необхщно покласти В((о) = -[F(o>) -'F(0)]/4/iofc^. Зазначимо, що функщонал В(ы), kL е((о,,а>) узагальнюе вщому тотож-шеть Боярського-Лю)са на випадок розаяння пружних хвиль неде-форм1вними компактними перешкодами.

У § 4.3 розглянуто обернену задачу для недеформ1вного об'екта, коли зондування його можливе лише в обмежешй просторовш облает!, а АР в1дома в облает! малих довжин хвиль при v » -1. Розгляд базуеться на здобутому асимптотичному подан!

fL(е>;1, v) * ^ = I- v, 1т(И;1,у) * о(^)(Э)

к

де е = 1 для порожшпш, е = -1 для абсолютно жорсткого нерухомого включения. Шдсумовування в формул! (9) проводиться за BciMa невиродженими критичними точками у- е S, для яких nyi = -tjl / |t]l|. При цьому fik = 1 для опукло! i ßfc = -1 для BBirayToI частин S, а таком:

= -г, якщо ук належить до частини 5 спдлового типу. Оскшьки критичш точки ук невироджеш, то 5 роздшяеться на частини 5к, кожна з яких належить до певного типу. 3 метою конструктивного визначення останшх (при фжсованому е) та для побудови опорних площин до 5 застосовуеться алгоритм (8), який, роздмяючи фази в (9), також ощнюе гауссов! кривини К,, у вщповщних точках.

У випадку вироджених критичних точок у' 41(ю; 1, у) « еЛ^ С ч (п - 1) / 2(«_+ 1), « = 2,3,...

для точок корангу 1 1 ^ь(со;1,у) » гА^ук1'3 ехр[гкь(г|1',у')]о, для омбь Л1чних точок поверхш, де вирази для коефвдентсв В„ О,, яга не залежать вщ частота, наведеш в [5]. 3 отриманих формул випливае, що вироджеш критичш точки "свгеять яскрав1ше", шж невироджен1 Кр1м того, функщя д(р) при р = р0 мае як дШсну, так 1 уявну частини, що утруднюе II тлумачення за процедурою (8) при суперпозицп вклад1в дешлькох критичних точок, що знаходяться на однш опоршй площиш. Однак едитсть реконструкцп форми недеформ1вно! перешкоди гарантуеться ввдповдашми теоремами § 1.4, за якими для досягнення единое™ вимагасться змшювати ракурс зондування (вектор г)1").

Розв'язуванню задач! дистанцшного визначення форми пружного включения, що знаходиться в середовищ! в умовах щеального контакту, при певних обмеженнях на р1вноважш параметри розаювача та на його геометрйо, присвячений § 4.4..

Розгляд починаеться ¡з одного часткового випадку, коли розеда-вач та матриця в1др1зняються лише сво!ми густинами. Встановлеко точне стввщношення, що пов'язуе похщну АР (1) в "неф!'зичн2Й" точц! кг = (/с, - хвильове число поперечно! хвил! у включенш), тобто в Т1Й точщ, коли немае явища дифрак'ц!!, з перетворенням Фур'е характеристично! функцп обласп, зайнятою перешкодою. Дане сшввщношёння, як ! результати § 1.3, використане при розв'язувант обернено! задача При цьому записан! стп'йк! у ртном1'рнш метрищ процедури, що реал!зують аналгтичне продозження та обчислення похщно! в!д АР.

3 використанням результатов § 4.1 розглянута обернена задача для видовженого включения. Встановлено, що 1 в цьому випад!су маюте шеце твердження, аналопчш до наведених в § 4.2 для порожнинй видовжено! форми.

Приведен! в попередшх параграфах наближеш методи розв'язування обернено! задач! для тривим1рних розаювач1в отримаш за певних обмежень на геометрда останшх та д1апазони частот зондування. В загальному випадку, коли щ обмеження вщсутш, розв'язування задач! повинно спиратися на використання комп'ютерних систем, алгоритм1чне забезпечення яких склада ють числов! методи. 3 ц!сю метою в § 4.5, на баз! !нтегральних р!внянь та метод! ¡теративноТ регуляризац!! Ньютона-Канторовича, побудован! вщповщш числово-анал1тичш алгоритми. Використовуються моностатичш дат розстяння /°(ш;1) = (1,£1'(ш;1)-1)), 1 та вважаеться, що розаювач - з1ркове

вщносно свое! внутр1шньо! точки тшо, ! р1впяння його поверхш параметризуеться у форм! у = р(у)у, у е ¿'о-

Шукана функщя р(у) подаеться як границя рекурентно! послщовносп

р(«1Х = р(п> +(ад+УпЕ)-1[ц./(р<-);1)_УпрМ])711 ->0, п ->С0,П = 0,1,... (10)

де Иг - оператор похадно! Фреше вадповщно! прямо! задач!, В'г -спряжений до Ир в сени скалярного добутку в Ь2(30) оператор; Е -одиничний оператор; функцюнал / визначаеться оператором прямо! задач! та даними розсшння Процедура (10) доповнюеться правилом зупинки п = «(З), де 8 - р!вень похибок вим!рювання

Наближення (10) ¡снують та едши вшносно вибраних уп ^ 0. Встановлено, що коли 0 < а 2 р(у) 2 Ь < то за певних значень уп послщовшсть {р(п)} буде належати компактшй множин!, з яко! можна

вид1лити слабко зб!жну пщпослщовшсть. При, цьому за нульове наближення можна взяги радус сфери з об'емом, що доршшое об'ему "розс!ювача, який оцшюеться вщповдаити коефвдентами розклад!в релеевсько! гранищ АР, поданими в § 4.1.

Проведена алгебра!защя процедури (10) для р!зних тип!в розсто-вач!в показала, що обчислення вщповщних ядер штегрального оператора вимагае значного часу та об'ему пам'ят! ЕОМ. 3 використанням для апроксимацп ядер оператора Ог вщповщних наближень Борна розв'язшв прямих граничних (контактних) задач роз-аяння, здобутих в § 4.1, на рис. 5 подат результата реконструкцй поверхонь обертання при к^ = 0,5мг1, у„ = I /(1 + 0,5п) (м - одиниця

10вжини) для напрямгав зондування 1 — (sin 9¡,0,cos9<),

Рис. 5

П'ята глава мютить розв'язки скалярних обернених задач зозс!яння пружними об'ектами.

У § 5.1 на ochobí теорн грзничних штегральних р1внянь i методу :тацюнарно! фази проведене обгрунтування наближень Борна та Архгофа для випадку недеформованих замкнених розсновач!в, що шаходяться в акустичному середови!д1 Побудоваш вадповщш довго га короткохвильов1 асимптотики АР. Встановлет оцшки справедливости (добутих формул. Отримага ствв!дношення використаш у § 5.2 для фслщження обернених задач. При цьому мають Micne результата, юдабт до приведених у §§ 4.2, 4.3, осгалыш при реконструкцн форми 1едеформ1вно1 перешкоди домшують функцюналын властивоеп II lOBepxHi, а не р!вняння руху зовюшнього середовища. Продемонстро-!ано o'chobhí особливосп запропонованих наближених схем реконст->укцп на прикладах обернених. задач для сферичиих та сферо!-(альних p03ciicBa4ÍB.

Детально проанал!зована задача визначення форми видовженого исустично жорсткого тшаобертання за АР акустичних хвиль /(fe; 1, v), вдомою на дискретному cneinpi хвильових чисел к при v =-1, = (sin 00,0,- cos 90), 90 = arccos(x3 / г) « % / 2. Задачу зведено до «тм1зацп сильно нелипйкого функщоналу нев'язки при обмеженш, за жим функщя, що описуе шукану поверхню, належить до компактно! гаожини в L,. Глобальний мшмум цього функщоналу визначають теративн! наближення, обчислет на ochobí методу Ныотона-Санторовича типу (10).

На рис. 6 показан» результата реконструкцп поверхонь сфероодв при к, = 1м"1, кп = 2пм"1, п = 2,3,4; у„ = 10"ч(1 + 0,5п)*1, в0 = О, 8 = 0,001. Значения функцюналу нев'язки на знайдених наближених розв'язках бшьш як у 10* paeiB мешш вщ тих, що одержан! на почат-ковому наближенш.

запропоновано! итеративно! процедури, побудована короткохвильова асимптотика для АР при 0О = л / 2, з яко! отриман! сшввщношення, що дозволяють оцгаити диаметр розствача та його максимальний поперечний розм!р. Особливо простими одержуються формули для випадку видовженого сфероща: k.d « 1, j/(/c;I,-l)| -> ка » 1.

Тут aid- BiflnoeiflHo менша та бшьша nisoci т!ла, Ад - амшптуда зонду юно! хвшп, к, - хвильове число, при якому спостернаеться перший максимум на кривШ залежност! диференщального nepepisy ]Ьозс!яння В1Д частоти, пов'язаний з розповсюдженням поверхневих хвиль типу Франца. Проведено обгрунтування наведених формул за допомогою використання в^дповщних числових результате, одержаних за методом Т - матриць.

Наступний § 5.3 м1стить алгоритми дистанцШного визначення po3MipiB та поверхневого импедансу опуклого локального розсповача, що знаходиться поза межею роздшу двох акустичних твпростор!в. Припускаеться, що Micue положения об'екту anpiopi в!доме. KpiM того, приймач розстяних хвиль та перешкода знаходяться на великих В1ддалях (у nopiBHHHHi i3 довжиною високочастотно! плоско! зондуючо! хвшп) вщ плоско! поверхш роздшу середовищ, що вйключас з

розгляду. б!чш хвиль На оснсш штегрального р1вняння, методу перевалу та стацюнарио! фази встановлено асимптотичний вираз для АР у верхньому швпростор! Наступне застосування процедури типу (8) дае шформащю про шукаш характеристики розаювача. Показано, що ¡снують значения поверхневого ¡мпедансу та напрямки зондування (спостереження), при яких розаяння вщ типа майже вщсутне. Проведене числове тестування запропоновано! процедури для сферичного розсиовача з ¡мпедансними стшками показало, хцо р1злиця м1ж вщповщними значениями, одержаними анал1Тично ! чисельно, не. перевищуе дегалькох процентов.

У § 5.4 вивчаеться задача дистанщйного визначення форми та змшно! швидкоеп розповсюдження коливань для видовженого акустичного розстовача, що перебувае в однорщному просторь Знайдет умови обмежень на д!апазони -частот зондування, розм1ри розиювача, хвильов1 характеристики середовища 1 об'екту у ньому, за яких розв'язок вщповщного штегрального р1вняння можна знаходити за допомогою ряду неймаювського типу. На щй основ! записаний головний член асимптотики для АР за малим параметром, що характеризуе вщносну видовжешсть розаювача. Встановлена вщповщна теорема единос-п та приведений конструктивний, стшкий в квадратичшй метрищ, розв'язок задачи Запропоновану методику ьпйструе числовий приклад.

ОстаншЙ параграф присвячений розв'язуванню обернено! задач! визначення розм:р)'в порожшх опуклих оболонок за характеристиками високочастотного розаяиня у хвильовШ вот.

Розаяне поле поблизу поверхш оболонки подаеться у вигляд! двох додангав, перший з яких в!дповщае потенщйному. (фоновому) розаяншо, а. другий. - резонансному розйяншо. Потенщйна частина поля зумовлена дзеркалыю вщбитими та перевщбитими в товгщ оболонки хвилями, а також перевипромшеннями дифракщйних хвиль типу Франца. Резонансна частина вщповщас власним коливанням оболонки 1 розповсюдженню по и поверхш пружних хвиль. На основ! встановлених в робот! в1дп0в!дних ствв!дношень одержат анал1тичн! вирази для визначення опорних площин до поверхш оболонки та вщпо-вщних гауссових кривин. Для знаходження товщини оболонки використано формулу Брейта - Винера, застосовану до потенщйно! частини амшптуди розаяння в окол! и товщинрих резонанав.

Проведено обчислювальний експеримент, що глюструе запропоиоваш методики на приклад! обернено! задач! визначення розм1р1в' сферично! стально! оболонки, оточено! водою.

ОСНОВН1 РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

1. Для задач дифракцп пружних хвиль тонкостшними плоскими пружккмк включениями запропоновано споиб побудови систем штегро-диференщальних р!внянь вспоено функцШ, що мають реальний ф!зич-ний змгст. Розв'язки наведених р!внянь аироксимують за параметром хвильово! товщини точш значения розаяного поля в дальтй зот, а також визначають головн! члени зовшшнього асиптотичного розкладу повного поля б;ля контуру неоднор!дност!.

2. Розроблено нов! ! застосовано вщом! числово-аналгомн! методи побудови розв'язк!в записаних систем штегро-диференщальних р!внянь з використанням Фур'е-символ1в матриць-ядер цих р!внянь, що позбавляе В1д необулдност1 опёрувати з сильною особливктю ядер.

3. Наведено розв'язок обернено! задач1 розЫяння плоско! пружно! хеши плоскою. тр!щииою, що знаходиться в пружному !зотропному простор!, на основ! довго- та короткохвильових наближень розв'язюв прямо! задач!. Встановлено, що ор!ентащя площини тр!щини сп!впадае з площиною, в як!й релеевська границя диференщального перер1зу розаяиня в оберненому (локацшному) напрямку е стала величина. Вибираючи напрямок зондуючо! хвиЛ1 ортогональним до площини щшини ! розташовуючи приймач поблизу випромшювача, розм1ри щшини (площа !! поверхш, довжини гадр1зшв перетину паралельними Л1шями I! облает!) визначаються безпосередньо за значениями амплп-уд розс!яння на дискретному спектр! частот. Контур щшини 'визначаеться за допомогою розв'язку задач! обчислювально! томограф!!. При умов!, що вектор спостереження знаходиться в площшп трщини, а вектор падщия зондуючо! хвшп ортогональний до д!е! площини, .записан! стшга в р!вном!ршй метрищ процедури визначення локально! кривини опуклого контура щшини та В1ддал1 до дотично! л ¡ни для розглядувано! точки контура.

4. Розроблено числово-аналгеичний алгоритм визначення напружено-деформованого стану пружного середовища за сигналами акустично! емки!, що зумовлен! утвореною тунельною тр!щиною нормального в!дриву. Чисдов! розрахунки показали, що для визначення спектрального стрибка нормальних зм!щень берелв трвдшш в д!апазон!

тстот, де спостеркасться максимум вщповщного К1Н, достатньо ютирьох зам1р1в д1аграми напрямленносп поздовжшх хвиль. >. Виконано аиал13 резонансно! структур« розаяння поздовжшх 1 юперечних хвиль тонкостшними стр1чковими пружними включениями лало! жорсткост!. Показано, що резонансний характер цих хвиль у шсокочастотному д1апазош зумовлений розповсюдженням поверхневих свиль, швидкост1 яких мають слабку дисперст 1 близью до эелеевсько! швидкост5. Наведено в1дповщш асимптотичш формули для шшнтуд розаяння 1 узагальнених К1Н, якими апроксимуються точш эозв'язки в д1апазош довжин хвиль деформащй, що значно переви-дують товщину включения. На основ! отриманих результате зстановлено розв'язок обернено! задач!, дистанщйного визначення эозм1р1в 1 мехашчних параметров розглядуваних неоднор!дностей. 3. Розв'язана двовим1рна обернена задача для плоского тонкостшного гёрухомого абсолютно жорсткого включения. Дослщжено високочастот-тай процёс дифракци пружно! поздовжньо! плоско! хвил1, що включае юбудову асимптотичних формул для повних перер1з1в розаяння 1 К1Н. Этримаш числов1 оцшки справедливос-п здобутих формул. 7. Виявлено ефект недзеркального вщбиття пружних хвиль тонко-зтшним пружним включениям велико! жорсткоси. Проведено числов! жсперименти для ощнок внесшв поверхневих хвиль згинного та юздовжнього типу в структуру амшптуд розс!яння поздовжн!х 1 юперечних хвиль. На основ! приведених сшввщношень розв'язана збернена задача, що включае в себе знаходження розм]р!в та ф!зико-яехатчних параметр!в перешкоди. В результат! проведеного числового шал1'зу встановлено повну узгоджешсть М1Ж точно та асимптотично знайденими умовами просторово-частотного резонансу, при яких мае ягсце максимум недзеркального вадбиття.

3. Записан! штегральш р!вняння першо!, друго! ! контактно! основних задач теорп пружност! усталених коливань, що дозволяють подавати IX розв'язки у вигллд1 ряд!в неймашвського типу в облает! малих хви-гсьових параметр!а Отримано апрюрга оцшки застосованост! таких эозклад!в, що дозволяють забезпечити найкращу ефектившеть набли-жених алгоритм1в при подальшому розв'язуванга обернених задач. ). На основ! результатов попереднього пункту ! властивостей покальност! хвильових пол1в в д!апазот малих довжин хвиль запропоновано метод дистанщйного визначення розм1р!в ! форми

замкнених нерухомих перешкод за допомогою пол1в пружних хвиль. Числовим експеримертом встановлено, що для визначення форми розаювача у виглпд1 гладкого тша обертання достатньо провести його озвучування у двох напрямках, що сшвпадають з його В1ссю симетрп, 1 при цьому використати довго- та короткохвильов! д1апазони частот хвиль зондування. Для визначення форми дов1льного розсновача, обмеженого гладкою поверхнею, необхщно проводити його зондування тд р1зними ракурсами, причому ¡нформащя про його розмфи знаходиться у фазах розаяних звиль.

10. Розвинуто та апробовано числовий метод розв'язування обернених граничних задач для з1ркових перешкод в пружному середовииц, який фунтуеться на використанш процедури итеративно! регуляризацп Ньютона-Канторовича 1 боршвсысого наближення для апроксимацп пох1дно! Фреше оператора прямо! фанично! (контактно!) задач! теорп пружност! усталених коливань. Оцшено економшсть запропонованого методу з обчислювально! точки зору. Показано, що диференцновання за Фреше оператора прямо! . задач! чисельним способом, за р1зницевими формулами, призводить до значно! обчислювально! роботи, важко реал!зовано! на сучасних ПЕОМ, в той час як запропонованому алгоритму таю недолжи не притаманш.

11. Проведено обфунтування наближень Борна I Юрхгофа у випадку розаяння ¡деальними (недеформ!вними) розсповачами 1 встановлеш меж! справедливост! таких наближень. Записан! довго- та коротко-хвилыда асимптотики ампл!туди розЫяння, яш використаш для конструювання наближених стшких методик визначення форми розглядуваних перешкод. Зокрема, для моностатичного розс!яння в ортогональному напрямку до ос1 обертання видовженого акустично жорсткого Т1ла, побудоваш високочастотт асимптотичн! розклади ампл1тудн розсшння, що враховують внески геометричних ! периферш-них (типу Франца) хвиль, яю використаш для поСудови початкового наближешш до процедури ¡теративно! регуляризацп Ньютона-Канторовича визначення його форми.

12. Отримаш ефективш наближеш алгоритм», що використовують високочастотний спектр зондуючого поля, дистанщйного визначення властивостей компактного об'скту з ¡мпеданснпми санками в двоша-ровш акуетичнш рщиш, а також розм1р1в тонкостшно! опукло! оболонки в однородному акустичному середовицц.

- 31 -

РОБОТИ, В ЯКИХ ОПУБЛ1КОВАН1 OCHOBHI ПОЛОЖЕНИЯ ДИСЕРТАЦ1!

1. Емец В.Ф. Плоская обратная задача рассеяния упругих волн тонкостенным включением малой жесткости // Известия РАН. Мех. твердого тела. 1995, N5. С. 86 - 93.

2. Емец В.Ф. Плоская обратная задача рассеяния упругих волн • тонкостенным включением большой жесткости // Акуст. журн. 1985. Т.

41, N3. С. 432 - 438.

3. €мецъ В.Ф. 1нтегральш р1вняння задач1 розаяння пружних хвиль плоским тонкостшним включениям мало! жорсткосп // Доп. HAH Укра!ни. 1995, N 4. С. 35 - 37.

4. Емец В.Ф. Плоская обратная задача рассеяния упругих воля плоским тонкостенным абсолютно жестким включением // Техн. диагн. и неразруш. контр. 1994, N2. С. 12 —20.

5. Емец В.Ф. Обратная задача рассеяния акустических волн недеформируемым замкнутым препятствием // Акуст. журн. 1991. Т. 37, N3. С. 469 - 476.

6. Емец В.Ф. Обратная задача рассеяния упругих волн плоской туннельной трещиной // Техн. диагн. и неразруш. контр. 1990, N2. С. б - 10.

7. Емец В.Ф. Характеристика замкнутого импедансного препятствия по рассеянному акустическому полю //Мат. методы и физ. - мех. поля. Киев : Наук думка, 1992. Вып. 36. С. 101 - 105.

8. Емец В.Ф. Обратная задача дифракции звуковых волн недеформируемым препятствием // В кн.: Волны и дифракция - 90. М.: Физическое общество, 1990. Т. 1. С. 394 - 397.

9. Емец В.Ф. Обратная задача рассеяния упругих волн плоской щелью // Техн. диагн. и неразруш. контр. 1989, N4. С.. 57 - 64.

10.Емец. В.Ф. Обратные задачи рассеяния звуковых волн акустически жесткими и мягкими замкнутыми препятствиями // Препринт/АН УССР. ИППММ, Львов. 1989, N 31 - 89. 47 с.

11. Емец В.Ф. Обратная задача рассеяния упругих волн замкнутой гладкой полостью // Дефектоскопия, 1988, N2, С. 59 - 67.

12-Емец В.Ф. Обратная задача рассеяния звуковых волн, тонкостенной выпуклой оболочкой // Акуст. журн. 1987. Т. 33, N6. С 1045 - 1050.

13. Емец В.Ф. К обратной задаче рассеяния упругих волн тонким инородным . включением //Прикл. мат. и мех. 1986. Т. 50, № 2. С. 303 - 308.

14. Емец В.Ф. О дистанционном определении свойств тонких акустических рассеивателей при помощи звуковых волн // Акуст. журн. 1985. Т. 31, N3. С. 332 - 337.

15. Емец В.Ф. Решение одной обратной задачи рассеяния в линеаризованной постановке // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1984. Т. 24, N4. С 615 -619.

16.Емец В.Ф. К обратной задаче рассеяния звуковых волн для тонких акустически жестких тел // Прикл. мат. и мех. 1984. Т. 48, № 1. С. 133 -136.

П.Емец В.Ф. К решению прямой и обратной задачи рассеяния упругих волн тонкой полостью. // В кн.: Проблемы динамики взаимодействия деформируемых сред. Ереван : Изд - во АН Арм. ССР, 1984. С. 147 - 151.

18.Емец В.Ф. К задаче определения формы сплюснутого абсолютно жесткого тела, находящегося в акустической среде // Тез. докл. III Дальневосточной акуст. конф. 'Человек и океан'. Ч. 2. Владивосток, 1982. С. 89 - 91.

19.Горбалъ С.И., Емец В.Ф. Интегро-дифференциальные уравнения задачи рассеяния упругих волн плоским тонкостенным включением большой жесткости // Прикл. магем. и мех. 1996. Т. 60, N 2. С. 274 - 281.

20.Емец В.Ф., Поддубняк Л.П. Дистанционное определение геометрии выпуклых полостей и жестких включений в твердых телах // Диагностика и прогнозирование разруш. сварных констр. Киев : Наук, думка, 1985. Вып. 2. С. 49 - 52.

21.Емец В.Ф., Поддубняк А.П. Обратная задача рассеяния акустических волн пустой выпуклой оболочкой // Труды XIY Всес. конф. по теории пластин и оболочек. Изд-во Тбилисского ун-та, 1987. Т. 1. С. 518 - 523.

22.€мецъ В.Ф., Пороховсъкий В.В. Обернена задача розйяння звуку акустично жорстким типом обертання // Мат. методи i ф'13. - мех. поля. 1996. Т. 39, N 1. С. 124 - 130.

23.Поддубняк А.П., Емец В.Ф. Современное состояние проблемы взаимодействия акустических пучков с препятствиями в деформируемой среде // Мат. методы и физ. - мех. поля. Киев: Наук, думка, 1908. Вып. 27. С. 56 - 64.

24.Шддубняк О.П., Кунець Я.1., Смець В.Ф., Матус В.В. Деяк1 питания акустод"1агностики елемент'т конструкций, послаблених тр)щпнами // В кн.: MaTepia.iit И КПжн. снмп. "Мехашка i ф!зика руйнування будшелышх

MaTepiajiia Ta KOHCTpyKitfft". JItDÍE-Hy6jinnn 7-10 híobthíi. 1996. C. 372 -376.

¡S.Kmets V., Porochovsky V. The determination of the shape a rigid slender body from measurements of the far-field pattern // Seminar/Workshop Proc. DIPED-95, Sept. 19-21, 1995. Lviv: IAPMM of the Ukrainian NAS. P.-«7-68.

'6.Emets V., Porochovsky V. An iterative regularization method in inverse obstacle scattering// MMET-96. VI Int. Conference Proc., Sept. 7-10, 1998. Lviv, Ukraine. P. 436-439. '7. Yemets V.F., Mishchenko V.A, Poddubnyak A.P. Parametric excitation of finite acoustical beams in solids // 10 Int. Conf. "High Energy Rate Fabrication", Sept. 18-22, 1989. Ljubljana, Yugoslavia: Proc. Ljublja-na, 1989. P. 654 - 663.

Abstract. Yemets V.F. The inverse- boundary problems of elastic wave cattering by the local obstacles: (asymptotic approach).

The thesis presented for a Doctor's degree (physics and mathema-ics); speciality: 01.02.04 - mechanics of deformable bodies, Pidstryhach nstitute for Applied Problems'of Mechanics and Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Lviv, 1997.

The results of 31th scientific papers are discussed, where the irocedure of solution a new class of dynamical elasticity theory, i.e. the averse boundary problems of time-harmonical elastic wave scattering by he local objects is developed from the unique position that utilized the requency range of sounding field. Within the scope of the theory the miqueness theorem and rational methods for reconstruction of sizes and ihysical-mechanical parameters of the thin-walled plane inclusions, the ;eometrical parameters of volume closed targets are formulated. The btained. results have both the theoretical and practical meaning for reation the new methods and developing the existing devices for non-[estructive control of structure elements and sounding of continuous aedia.

Аннотация. Емец В.Ф. Обратные граничные задачи рассеяния упругих волн локальными объектами: (асимптотический подход).

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. Институт прикладных проблем механики и математики им. Я.С.Подстригача HAH Украины, Львов, 1997.

Защищается 31 научная работа, в которых с единых позиций, использующих спектр частот зондирующего поля, разработаны методики решения нового класса задач динамической теории упругости -обратных граничных задач рассеяния упругих волн локальными объектами. В этих рамках предложены методы реконструкции размеров плоских трещин, размеров и физико-механических параметров тонкостенных туннельных плоских включений, геометрических параметров обьемных замкнутых препятствий, находящихся в упруго-деформируемых средах, при помощи рассеянных полей упругих волн. Полученные результаты имеют теоретическое и практическое значение для создания новых методов и развития существующих средств неразрушающего контроля элементов конструкций и зондирования сплошных сред.

Kni040Bi слова: обернена гранична задача, пружт хвшп, пружш включения, тр1щини, компакта розмювач1, асимптотичт методи.