Обратные задачи теории раздельно непрерывныхотображений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ЛьВ1Всы;кй дэрмзнкй уя!верситбт 1м. I.Франка

п * од

Иа правах рукопису

1 о 144*1

милайлхж Нч.пО вимип

ОБЕРКЕН! ЗАДАЧ 1 ТЕОРП НАР13Н0 НЕПЕРЕРВНМХ' В1Д0БРАКЕНЬ ( 01.01.01. - математичний.»анал!з )

АВТОРЕФЕРАТ дасертац!I на здовуття вченого ступени кандидата ф!зико-математичних наук

Льв)в - 1995

Дисертатею е рукопис

Робота виконана на кафедр1 математичного анал1зу Чершвецького державного университету 1м. Ю.Федьковича.

кандидат ф1зико-математичних наук, доцент В.К.Маслмченко

доктор ф1зико-математитаих наук, професор М.М,Зар1чний

доктор ф1зико-математичних наук , старший науковий СШВроб1ТНИК А.М.ПЛ1ЧКО

1нститут Математики Акадэмн наук Украши

Захист в!д<3удеться 29 червня 1995 року о 16.30 на зас!данй1 спец!ал1зовано1 вчено! ради Д.04.04.01 при Льв1вському державному ун!версятет1 за адресою:

290001, м.Льв1В, вул. Ун1версятетська 1, ауд.377

3 дисертатею можна ознайомитася у (Иблютец! ЛДУ (м. Льв1в, вул. Драгоманова, 5)

Автореферат роз 1 слано "_"__ 1995 р.

Науковий кер!вник -

Оф!Шйн! опоненти -

'Пров!дна установа -

Вчений секретер спец!вл!зовано! Вчено! Ради Д.04.04.01.

Я.В.Никитюк

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуви>и1сть теки. Вtдома, що наршго непэрервна функщя не обов'язково в неперарвно» за сукугтнютю зм!нних. У зв'язку з цим винккло природне питания, яке часто називають задачею Д1н1: що собою являе множила точок розриву нар1зно наперервного в 1дображення? Початок досшдження met залач(

гт/^ta * СТ«Э OTTTf* П W Funmnmim ~ТЧ'т*" ( ' ПЭТ , *О^З/ .

Подалья! пошуки розв'язення utsi проблема проводились у двох напрямках: в пряму i обернену сторонл, тоОто встановлення необх!днкх 1 достаткгх умов на мнокину точок розриву нар!зно кеперервного воображения. СлЧд В1дштити, то ця тематика виявилася досить Щктою t популярною. Почкнаючи з Вера, вона привернула 1 продовжуе привертати увагу багатьох математик ¡в в!д початку XX столтя i до наших дшв. Так прямою задачею займались Ган (1919, 1921, 1932), Алексев1ч t Орл 1 ч (1948), Фейок (1973), Нам t ока (1974), Христенсен (1981), Тру ал 1 к (1979, 1990), Сан Ремо (1984), Талзгран (1985), Масляченхо (1986, 1989, 1990), Дзбс (1986), Ст1гал (1988) та. tmin. Обернет, задачг, - як1 групуються. яавкодо тако1 проблеют: побулувати нар оно яеперерннэ 81до<5раяспя!Т з дано» кножиною точок розриву, досшджувалксь у працях Юнпв (1910), Кешнера (1943), Фейока 91973), Гранде (1975), Шрзояна (1978), НейтлШа (1999), але плькя для функШй дШснчх змпших. Б1льи0 того, Кешер, а п!зн1шэ незалешо в1д нього Гранде, отримав результат, який разом з результатом Гана дат повний опис множин точок розриву нар1зно неперервних функтй д {йотах" зм!нних, показавши, njo для дов1лько!

?о-мнокини Сяк2, яка моститься в добутку А*В мнокин перио1 категорп А I В, !снуз кпр!зно неперервна функция множило точок рсзриву яко! зб!гаеться з С. Брекенр1дк 1 Нш1ура (1ЭТ6) розглянули випадок добутку метризовних простор (в ( одержали результат типу Кешнера, який, як видно, зокрэма, з прикладу Маслюченка (1992), не характеризув множили точок розриву таких функЩй. Отже, Шлком актуальниг в досл1дяення обериено1 задач! в загальних тополог1чнюс просторах чи встановлоння необх1дних I достатн1х умов на мнокини точок розриву нар!зно неперервних ФупкцШ на добутку метризовних просторов". Для компактних просторов ця проблема поставлена у першому огляд! Пьотровського {I9861 про нар!зно неперервн! в1добра*ення.

Неперервн1 функцп на добутках та 1х залеянЮть В1д 51 ЗМ1Ш1ИХ такой досить популярна тема загально! теорп функЩй (М1бу (1944), Мазур (1962), Корсон 1 • 1збел (1960), Рос 1 Стоун (1964), Енгелыанг (1966), МИЦенко (1966), Нобл I Ульмер (1972)). Зокрема, кожна неперервна функцц на добутку компакт!в залегать в!д зл!ченного числа зм1нних. У. зв'язку з проблемою Пьотровського природно постае аналог 1чне питания 1 для нар!зно неперервнюс функшй на добутках. ■ ,

Мета робота. Розробити загальний п!дх1д до досл1джвння обернено! задач! для нар1зно неперервних в!доОражень у широкому клас1 тополопчних просторов, дати повний опис мнокин точок розриву нар!зно неперервних фуикщй на добутках метризовних простор!в чи добутк!в метризовних компакт!в 1 встановити умови залежногт! нар!зно

неперервних функтй на добутках в!д зл!ченного числа з.мшних.

1£зтоди ' досл1дяення. В ' робот! використовуютъся метода загально! топологи, зокрема, категорний метод 1 техн1ка локально сюнченнкх покритт1в, а також методи теорп дво;стост! ! деяк) комбшаторнг прийомн з твори мношн.

Нвукова новизна робота:

1} ггтср^- р"гл~;."тс с'орлзну аидачу дли ¿ость широкого клвс.у тополог1чних простор1в, названих автором сприятливими, куда входять, зокрема, метризовш, локально опукл1 простори в слабк1й - тополог1I з сепарабельними метризовними спряженими, деяк» строг! 1ндуктивн! границ}, з допокогою нового методу апроксимуючих послиовностей локально сшнченнкх с;мей;

2 ) одержано 1ЮВНИЙ опис множин точок розриву нвр!зко неперервних функцШ на добутках метризовних простор!в г термшвх локально скшченних с!мей;

3) знайдеш умови эалежюст! нар1зно неперервних функтй на доЗуткях р!д ЗЛ1ЧОШЮГО, чи, загальшше, В1Д дов1льного рпперлд ¡'чдгнего кардинального числа змиших;

д) V лп1 яяку ч пр"ллемоя Пьотропсысого автор дав п-викЯ отис множин точок розриву няр!зно неперервних функшй на добутках простор!в, що в добутками м.тризовних компакт1в, остановивши разом з там, що для ' багатьох Д',-":,,1К1в пз 1снув яар13НО неперервних функтй з г.щтсточковою множиною точок розриву.

Практична 1 теоретична ц1нн1сть. Дисертацтя мае тчоротич'пи;! .характер, П результата ■ .>южуть знайти

застосування в загальшй теорп функций, функциональному анал!31 1 бути використан! при читанн! спецкурс!в на математичних факультетах ун!верситет1в.

АпробаЩя роботи. Основн) результата роботи догов!дались на микнародшй математичн1й конференцп, присвячен!й стор!ччю народмення С.Банаха, в м.Львов! (1992 р.), на м!«народа 1й математичшй конференцп, присвяченШ пам'ят! Г.Гана, в м.Чер«.1вщ (1994 р.), на семжар) э анал1зу в Шт)фт Цветл) (Авотрш, 1994 р.), на наукових сес1ях НТШ (1993,1994), на на всеукра!нськ1й конференцп "Сучэсн) ф)зико-математичн) доел¡дження молодих иауковцгв вуз)в Укра1ни" у М.Киев! (1994 р.), на науковому сем1нар! з питань загально! теори функщй 1 ' функцюнального анал)зу в Черн)вёцькому ун1верситет1, на загальнофакультетському науковому сем1нар! в Черн1вецькому ун)верситет1, на тополопчному сем!нар! у Льв/вському ун!верситет1, на конференцп пам'ят! Михайла -Кравчука в Чершвецькому ушверситет).

Публ1кац11. Основн) результата дисертаци опублжЪван) у дев'яти роботах, список яких подано в к1нщ реферату.' Зокрема, в публ№ац!ях [1,2,4,5,?] Маслюченку В.К. належать тстановки задач, Собчуку О.В. - розробка розв'язання' дискрвтних обернених задач, все решта - автору.

Структура 1 об'см роботи. Дисертащя складаеться з) вступу, трьох глав, розбитих на параграф« 1 списку Л1тератури. 00'ем дисертацп 82 стор!нки машинописного, тексту. Б1бл)ограф1я складае 51 найменування.

7 .

ЗМ1СТ РОБОТИ

В парш1й глав1 дпсертацп розробляються два нов) тдаоди до розв'язання обернет! задач! для множил, проекцп яких е першо! категорп, в добутку метризовних просторгв: в 51.2 для сепарабельних мнокин (теорема 1.2.1/ 1 в 51.3 ¿а

ЛОПОМОГОК) ТЙППВМИ ПТПУНЯ Ттап пораипкгтрЧТНТ "Т! """"Г"?'!'""™

дай аагалыки о випядку т мои! анрокскмуютех. локально ск!нченних с!мей 1 доводиться теорема, яка була ранте встановлена Брекенр!джом 1 Шш1урою 1ншим методом.

Теорема 1.3.1. Нехай X 1 У дов1лы11 метризовй! простори, С множина типу яка МЮтиться в Добутку А'В множил 1 В=У поршо 1 категорп в X 1 У в1дпов!ДНо: Тод1 юнуе нар!зно неперервне воображения множина точок розриву якого

дор!внюе С.

Пошуки розв'язання обернепо! задач! для нар1зно нелере-рвшк. в!дображень для тополог!чшх векторних простор!в, зо-крема, для локально опуклих простор1в 1з слабкою тополоПею виявили, що метод нобудови нар!зно непере^вних функц1й, занропонований у Я .3, не - рвал!зував себе Ц1ЛКОМ у виПвдку метризовш« простор!в 1, як ноказуеться в друпй глав1 дисэртатйно! роботи, його можнэ пристосувати до ширшого класу простор!в, ув1вши поняття сприятливих пар 1 сприятливих простор!в. Досл!дженню властивостей цих 1 деяких итих понять та 1х взэемозв'язку присвячений 52.1.

Для ТОПОЛОГ!ЧНОГО простору К I ЙОГО П1ДМЯ03КИНИ

А посл1довн!сть (Н . с!мей и -(и (а):аеА) множив

Т1 П-= 7 П П

ип(а) з простору X будемо називати локально вЮокрелихючою, якщо для кокно1 точки хеХ 1 Д0В1ЛЬН0Г0 околу и 1 ц!е! точки юнують такий .ок 1л 112 точки х 1 такий номер п0€Ш, що ' Уп(а)П1/2>0 як! б то не були^п^ 1 аеЛ\У;.

НехаЙ X тихоновський просир 1 А шДмножина X. Пару (Х,А) називатимемо спритливою, якщо юнують локально в!докремлююча посл1довнють локально сюнченних

с1мей Цп-(Уп(а):а€Л) в!дкритих в X множин I

посл1довнють (Р )и , локально ск1нченних с!мей

П Т1— I

Рп-(рп(а):аеЛ) точок рп(а) з простору -X, як1 для довтних пеМ. 1 а.ЬеЛ задовольняють наступи! умови:

(2.1.1) рп(а)цип(а) 1 якщо'и^со-суЬ), то рп(а)-рп(Ь);

<2-1-2> ¿15 Рл(а)-а;

(2.1.3) и (а)ПА-0. » .

Прост!р X називатимемо сприятлибим, якщо для дов!льно! шде не-Щ!льно! мнокини АсХ юнуе така посл'1доен!сть

оо

мнокин Ап з простору X, що 4спу 1 Ап 1 пари (Х,Лп) сприятлив1 для вс1х пет.

У 52.2 показуеться як за допомогою сприятливих пар 1 сприятливих простора розв'язуеться обернена задача теорП нар!зно неперервних в!дображень. Зокрема, у випадку сприятлйвих пар мае м1сце настуина

Теорела 2.2.1. Нехай X 1 У тихоновськ! простори, АьХ, В^ так1, що пари (Х,/1) 1 (У,В) сприятлив!. Тод! для дов1льно1 множини СсА*В юнуе нар!зно неперервна функщя /:Х»У-*[о,а>), така, Що /(0) сСо) 1 множила ЖЛ точок розриву функцп / дор!внюе В.

Наступив теорема дае розв'язання оОорнено! задач! на добутку сприятливих простор!е, яке я поекп?.? у випадку, коли X 1 У простори першо! катепри.

Теорела 2.2.2. Нехай X 1 У спрййтл>ш! сг'гс;?ори. Тод? для ДОВ1ЛЬНОТ ? -множини С, що мютиться в дгоутр.у л В множил Лс" 1 В=У першо! категорп в X 1 У в1дюв!дно, юкус таке наши неиерврвне знияу няп|.чнп няпвт,ярвн° »•^"["•«•"гям ¡ЦО

ь

множила £(Я точок. розриву воображения / дор1внюе С.

Найзагальн!ше розв'язання обернено! задач! на добутках сприятливих простор (в дае результат, який, як показуеться в наступному параграф!, характеризув множили точок розриву на-р!зно неперервних функц!й на добутках метризовних простор1в.

Теореш 2.2.3. Нехай X 1 У сириятлив! простори, миоиина С£Х»У така, що юнують посл1довн!сть (С )" ,

П Т1— 7

Р -множин С В Х*У 1 НОСЛ1 довност! (11 , ! (V )т , локально

О П 'П п-1 П. П~ 1

с.кШчекних систем и 1 1>п функцЮнально в!дкритих множин в просторах X 1 У вIдпов1дно, для яких виконуються умовй:

СО

С:и,Сп; (2.2.1).

С си и (Ух У) для кожного пе!М; , - (2.2.2)

Н П

для до в I льних и^и 1 множина С П(11*У)

п п тъ

мютиться в добутку множин перо 1 катвгорн в в просторах X 1 У в1дпов!дно. (2.2.3)

Тод1 !снуе нар1зно неперервна функц!я для яко!

Шпля розв'язання обернено1 задач! ' на добутку сприятливих простор!в природно постае питания: наск!лыш

широким е клас сприятливих простор»в? У $2.3

встаиовлюеться, то метризавн! простори входять в цей

клас (касл1док 2.3.1) t добуток сприятдизого простору

пэршо! катвгорп на мвтризовний чи сприятливий 0 f ' просир. першо! катвгорп також . е сприятливим

(твэрдження 2.1.2, насл1док 2.1.2 t насл1док 2.3.2). KpiM

того, тут дано повний опис множин точок розриву нар1зно

наперерзних функщй на добутках матризовних простор1в.

Центральна мюце в доведешь необх!днях умов на

множину точок розриву займае наступна теорема, яка е новим

вар1антом розв'язання прямо» задач1 в локальних терм1нах.

Теорела 2.3.3. Нехай X дов1льний npoCTip, Y метричний

npocTip, f:X*Y-№ нар1зно неперервне воображения. Тод) (снуе

така зростаюча посл!довн!сть (Cn)"_f f -уножин Сп в добутку

< со

Х*У, що C'D(f)'nU1Cn 1 для кожного new 1 дов!льно! в1,цкрито! кул! V в лростор! Y, рад1ус яко! мёнший або р1вний 1 /п, (снуе множили А першо! катвгорп в X, така, ио С Лй«У)й)"У.

Основним результатом §2.3 в наступна теорема, що херактери?"е множини точок розриву наргзно нвпврервпих функшй. на добутках метризовних простор!в.

Теорела 2.3.4. Нехай X J У метризовн) простори.-ТоД1 мнокина С е множиною точок розриву деякого нар!зно неперервного воображения /:Х»У-Ч¡Г тод1 t т1лыш тод1, КОЛИ 1СНУЮТЬ ПООШДОВНЮТЬ (С F -множин С в X*Y 1

rl tl— 7 О Т1 ч

посл1довност1 (U )°а_. I (V )" , локально скшчешшх

ТЪ П— I tl ft= J

В1ДКРИТИХ П0КрИТТ1В Un 1 Vn npoCTOplB X ! У В1ДП0В1ДП0,

для яких виконуються умови:

С-пу ,0П; (2.3.1)

зуш дов1льних пс№, 1 »?цоккиа С П(1Г»?) мютиться в добутку мнокин по:":■.-> 1 н«тзгорм и просторах X 1 У в!дпов!дно. (2.3.?)

В $2.4 ДОСЛ1ДЛУ8ТЬСЯ сприятливюгь гзусдор*оиис тополог 1 инэт пяктплни* гтпстпг>1п яяп ттпляи в1йтя№ ицл.ал. Иаитпал:. Но в «оваденн! оиьоюии. роз^-.ь.ч. ¡.ього параграфа

заямзв яаступна

Теорет 2.4.1. Нэхай X гаусдорфовий локально о пук лий проспр, У опукла шдмножина простору X, яка в метризовною в тополог 1!, 1ндукован!й на У простором X, А компактна Н1де не щчльна в У мкожина» що в с?в-множиною в X, д з? 1 льна тдмнокина У- Тед! пара (Х.Л) сприятлива, тобто юкувть посл1довност1 (У , I (Р )м що задовольняють

П ТЪ= . ТТ. п~ I

в1дпов1дн! умови, причому 1х мокна вибрати так, щоб рп(а)?С для довь-ьних гсеМ 1 скЛ.

Основнкш результатами е настугш1 теореки Теорема 2.4.2. Кехай X сепарабельний кэтризозний локальйо опуклий прост!р. Год! прост!р Я*, спряжений до Я, е СЧфИЯТЛЙЬй'М в слабкЧЙ* тополог !!.

Теорела 2.4.3. Кехай X гаусдорфовий локально опуклий простер, X* сепарабельний 1 метризовний. ТоД1 Ха сприятливий.

У §2.5 доводиться сприятливюгь деяких ]ндуктивних границь, зокрема, з допомогою одного результату про сепарабольшсть 1 метризовнють сильного' опряженого до строго! 1ндуктивно! гранит 1 теореми 2.4.3 одержувться наслоок 2.5.1. строг! !ндуктйвИ1 гранит

посшдовностей локально опуклих простор!в !з сепарабельними мвтризовними спряженими, у випадку, коли кожний попередн!й прост1р замкнений у наступному, зокрема, просир ГС00 ф1н1тних посл!довностей, е сприятливими в сла£к1й топологи.

Сприятлив'1 сть 1 ндуктивних гранк;ь * в !ндуктивн1й' топологи дають наступи!*

Теорема 2.5.2. Нехай X-llmlnd Хп строга 1ндуктивна границя посл1довност1 метризовних локально опуклих просторов Хп, причому для кожного номера п 1снуе таке melN, що Хп н!де не Щ1льний п1дпрост1р Хт. Тод1 X сприятливий npocTip. Насл1док 2.5.3. Простори ф1н1тних посл!довностей неперервних ф1н1тних функц!й К 1 пробних функтй Шварца V сприятлив1.

На завершения друго! глави у 52.6» метод з 51.2 дютае св!й природний розвиток на неметризовний випадок, що приводить- до такого результату

Теорема 2.6.1. Нехай X 1 У тихоновськ! простори, множила

v

G мютиться в добутку А*В множин А 1 В першо1 категорп в X 1 У В1ДПОЕ.ДНО, 1 подаеться у вигляд! об'еднання зл1ченно1 к1лькост1 S -мкожин F ,'кожна з яких мютиться в добутку

о tl

А "В множин А Л В Н1де не Щ1льних в просторах X 1 У

fl tl п . п

в1дпов)дно, де nelN, таких, що для дов!льного номера п юнуе така зл!ченна множила О cX*Y, для яко! Ü-F i %(с Д'П^Н,

Tl tl п о

длг кожно! точки сеСп. Тод! юнуе нар1зно неперервна•.. функщя f.X'Y-AR, множина точок розриву яко! дор1Внш С.

HacutdoH 2.6.1. Нехай X 1 У тихоновськ! простори, так!, що Х»У - спадково сепарабельний досконало нормальний

13 ""

ГГрОС?*р 3 першою аксюмою З-МЧеННОСТ! . Тод! ДЛЯ ДОВ! ЛЫ1СI сэпарабельно! Р -множили С, що метиться в доОутлу А-В мжшш А 1 В першо! категорп в X 1 У Пдпов|дно, гонуе нярюне неперервна функтя /:Х*У-Ш, для й«1 В(/)-0.

В трат!й глав* розв'язуеться обэрневя задика для-нар1зв-,

иапопапош!« □ I и ПОТТО ПК V '/0 1Г1Ж- 11 .-^/' .-.Л, 1П» 1Г , V

гОПОЛОГ1ЧНИМИ ДООу ТНИМИ, I ДОСЛ1ДЖу1"ЧС''Я г •уОТИИОС'П НВр13Н'_>

неперервних в!дображень, як1 в зв'язку з цим виникають.

В §3.1 доводяться два допоМ1жн1 теоретико-множинн! результата, перший з яких (лема 3.1.1) в _блйзьким до одного результату - Шан1на, котрий, як правило, використовуеться в досл!дженнях на цю тему.

У зв'язку з проблемою Пьотровського про опис множин точек розриву нар!зно неперервних функщй на добутках компакт!в природно виникае питания про те, чи кожна Р -множила С, що мютиться в добутку А»В множин А 1 В першо! категорп в дов!льних компактних просторах X 1 У е множиною точок розриву деякого нар!зно неперервного воображения /г^У-К. В [3,51 встановлено, що у-загальному випадку в!дпов!дь на поставлене питания негативна. А само, показуеться, що_ на добутку двох тихоновських куб!в, один з яких мав незл!ченну вагу, не юнув нар юно неперервно! функцп, множила точок розриву яко! е одноточковою. Цей факт може бути одержаний 1 за допомогою одного результату Корсона про Е-добутки .

У §3.2 показуеться, що метод, запропонований у [5], Може бути перенесений на значно загальнш! просторй, як! не

шдпадають шд дш результату Норсона.

Теорела 3.2.г. Нехай Х-„{?дХв, для

кожного э€5, 151 >31, де 91 деяке нескшченне кардинальне число, {х0,у0)£Х*У, х(х0(э),Ха)<91 Для кожного а^в 1

Х(Уоа)Лг)<Л . для кожного гцТ, Ч регупярций тополопчний

прсст!р, Тодгне юнуе тако1 функцп для

яко! функтя / ) неперервна 1 множина !'(/)

<»о .

точок розриву функцп / дор!внюе {(х0,у0)).

У 83.3 досл!джуеться залежнють В1д 91 зм!нних нар!зно неперерйних функтй на добутках компакт 1в, що дае змогу огш-сати множили точок розриву нар1зно неперервних функц)й на до-бутку простор!в, кожен з яких е добутком метризовних компакт1в.

.Центрально мюцо серед результат!! цьрго параграфу займае наступна

Теорема 3.3.2. Нехай (X 1 (У.:{еГ) дан сш' I

# в х

компактних простор!в, а 1 ¡м! тополопчш

добутки, 9ЦН0 таке кардинальне число, що ё{Хд)^г 1 сДУ^ЗН для дов!льних зеБ .'1 1еТ, 1 /:Х*У-К нар1зно неперервне в1-дображейня. Тод( f залежить В1д 31 змгнних по першШ зм!нн!й.

Наступна теорема, е нескладним пасл!дком 1з пойереднього результату.

Теорема 3.3.3. Нехай (Хв:вб5) 1 (У{:иг) дв! с!мЧ компактних простор!в, а I , шп

тополог 1 чн 1 добутки, с2(Хв)0! 1 )С91 для дов 1 льних аеэ 1 1 деякого неск!нченного кардиналу 91, 1 /:Х»У-К нар[зно

неперервна функтя. Тод! функтя / залежить В1Д У! змпших.

Дал1 показуеться, шо оц!нка в теорем! 3.3.3, а, значить ! в теорем! 3.3.2, юлькост) зм1нних, в!д яких залежить функтя /, не може бути покращена. А саме, доведено, що ящо Й дискретний прост!р неск!нчешю1 ваги 91, ^»У-ай, де 3€Э 1 аЯ компактиф!кац!я Александрова простору Я,

,' <??»(У»чвий опимянт 1я Я, то функтя /:Х-Т-Л. ш означена таким чином: /(х,у)=/((ха)еез, у)ч, якщо у*» 1 х 'X ~у, та /(х,у)~о в 1ншому випадку, е нар!зно неперервною функц!ею, яка залежить р!вно в!д Я зм1нних.

Застосувавши теорему 3.3.2 до наризно неперервних функц!й на добутках метризоЕНих компакт1в, одержано повний опис мномн то"?ок розриву нароно неперервних функций у цьому випадку. Тим самим, для таких клас!в компакт!в, повшстю розв'язуеться проблема Г1ьлтровського.

Теорем! 3.3.4. Нехай У-^У^ де Хв I Уг

метризовш кошакти для дов!льних зс5 1 (е!Г. Тод! множила 0СХ*У е множиною точок розриву деякого пар!зно неперервного в!дображення тод! 1 т!льки тод1, коли юнують так!

«я б!ЛЫП НИК зл!4енн! МНОЖИЛИ Б0 I Г0 В 5 1 Т В1ДПОВ1ДНО 1 тяка -множина С() в * .у де X - Ц Хв, У0'$т Г,,

".о о

яка мютиться в добутку Л'В множин А ! В, першб1 .сатегор!I в Х0 1 У в 1дпов1дно, що множина С подавться у вигляд!

С-(рд «рг Г'(С ).

""о о

до РВп:Х-Х0, рд(.х)^дд. рГо:У-У0, рт(у)-у,^•

Список опусшков^них роб it по тем! дисертацп

1. Маслюченко В.К., Михейлюк В.В., Собчук О.В. Обернен! задач! теори нар»зно иперервних в!дображень // Укр. мат. иурн.- 1992.- М.Ю.- С.1209-1220."

2. Маслюченко В.К., Михайлюк В.В. Про нар!зно неперервн! функцп на добутках метризовних простор1в // Допов!д! АН УкраИШ,- 1993.- J*4.- С.28-31.

3. Михайлюк В.В. До питания про множину точок розриву нар!зно неперервного воображения// Математичн! студи.-1994, випуск 3.- 0.91-94.

4'. Маслюченко В.К., Михайлхж В.В. Нар!зно неперервн! функц!! на добутках ко«паят1в 1 !х залежнють в!д 91 зм1 нних // Укр. мат. журн.- 1995.- 47,ХЗ.- С.344-350.

5. Маслюченко В.К., Михайлюк В.В. Нар1зно неперервн1 функц!! з сепарабельною мноишою точок розриву // Черн!вець. ун-т.-Черн1вЦ1, 1990.- 11с.- Деп в УкрЩЩГП, *902-Ук90.

6. Михайлюк В.В. Про нар1зно неперервн! функцИ на добутках тихон!вських куб!в // Черн!вець. ун-т.- Черн1вц1, 1991.-. 8с.-Деп в УкрНЦ1НТ1, #1638-Ук91,

7. Maslyuchenko V.K., Mykhaylyuk V.V., Sobchuk O.V. On separately continuous mappings // Тези м1жнародно1. конференцп, присвячено! стор1ччю народження С.Банаха (6-8 травня 1952 року).- Льв1в, 1992.- С.27.

8. Михайлюк В.В. ХарактеризаЩя множин точок розриву нар!зно неперервних функщй на добутках метризовних простор!в// Тези м!жнародно! конференцп, прйсвячено1 пам'ят! Г.Гана (11-15 жовтня 1994 року).- Черн!ВЦ1, 1994.- С.103.

9.' Михайлюк В.В. Обернена задача теори нар!зно неперервних в!дображ8нь:загальний п1дх[д// Тези мшгародно! конференпп , присвячвно! пам'ят! Г.Гака (11-15 жовтня 1994 року).-Черн1вц1, 1994.- С.104.

Михайлтск В,В. Обратные задачи теории раздельно непрерывных отображений. Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01.- математический анализ,Львовский государственный университет, Львов, 1995.

Исследуются задачи построения раздельно непрерывных ото-сражоииЯ с заданым множеством.точек разрыва. Разработан общий подход к решению обратной пяттячи теории раздельно непрерыв-инх отображений для широкого класса топологических пространств. Кроме того, получены полное описанйё' множесв точек разрыва раздельно непрерывных функций на произведениях метри-зуемых пространств и условия зависимости раздельно непрерывных функций на произведениях от счетного числа координат.

HyKhallyuk V.V. Inverse problems of theory ol separately continuous mappings. Manuscript. Thesis for a degree oi candidate of Science (Ph. D) In Physics and Mathematics, speciality 01.01.01 - Mathematical Analysis. 1'vlv state university, L'vlv, 1995.

One Investigates the problems of construction of separa-' tely continuous mapping with a given set of of discontinuity pointy, liie general approach to solution of inverse problem of separately continuous mappings theory for a wide class of topological spaces has been developed. Besides, sets of discontinuity points ol separately continuous functions on products of K-etriaable spaces have been characterized and conditions of dependence of separately continuous mappings on products on countable number of coordinates have been obtained.

Ключов! слова: наргзно непврервн1 в1добракенйя, локально ск1нченн! clM'l, функцп на добутках.