Обтекание тонких тел потоком газа с частицами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Введение

Глава I. Постановка линейной задачи обтекания тонких тел потоком газа с частицами

§1. Линеаризованная система уравнений

§2. Получение граничных условий для линейной задачи

§3. Общее решение линейной задачи стационарного обтекания тонких тел потоком газа с частицами

Глава.2. Некоторые свойства решения плоской задачи

§1. Исследование функции f(P)

§2. Решение задали'обтекания тонких тел потоком газа с частицами

§3. Обтекание малых и больших тел

§4. Релаксация параметров потока при обтекании бесконечного клина fMeW)

§5. Глобальное поведение функции Kpfc) . в

Глава 3. Некоторые особенности решения плоской задачи

§1. Дозвуковое обтекание дужки

§2. Исследование зависимости решения от параметров (сверхзвуковой случай)

§3. Аэродинамические характеристики обтекаемого

Глава 4. Обтекание тел вращения

§1. Постановка линейной задачи . . . НО

§2. Решение линейной задачи

Вывыоды

Срёднее расстояние пробегаемое частицей J -ой фазы до соударения с частицами ( -ой фазы определяется из соотношения: d BLf ilL = Щг & , n 7/ щ-v/ff' Щ-ц№*аУ (16)

Когда это расстояние мало по сравнению с интервалом исследования, все частицы должны рассматриваться как единая фаза частиц, но уже с некоторым своим внутренним давлением. Тогда система уравнений (I) не годится для описания таких течений, если величина внутренного давления частиц не является пренебрежимо малой величиной.

Рассмотрим с этой целью задачу о возможности описания течения с одной фазой частиц. Для этого введем единые параметры для всех фаз частиц:

--zl^, Л'Н°, Q<--, (IV)

Fd -- г FfJ, Vrf=^'{J. ,

Здесь и далее ZJ означает суммирование по всем индексам частиц. Вслучае, когда C2l(xyrtyt , средняя температура Тj должна определяться через внутреннюю энергию частиц [l3] В линейных задачах молено считать, что С^-СОШ^ , следовательно для определения Т^ , нет необходимости привлекать выражение для средней внутренней энергии частиц. Из системы (i) суммированием по индексам частиц получается следующая система уравнений [j3]: if + ъ]=* ?if -z!v*Pj rf-irj) щ or (W^ €«sP dx?; n ^

9dcd iff =

Из системы (l8) видно, что в случае, когда можно пренебречь членами содержащими 21' > поток смеси можно описать уравнениями для системы с одном фазой частиц. При этом для того, чтобы существовали замыкающие соотношения типа (4-6,9J, необходимо кроме пренебрежения членами содержащими 21 также условия постоянности числа Нуссельта и коэффициента К

Следует отметить, что при рассмотрении смеси только как двухфазной, теряется подробность описания. В частности, нельзя вычислить такие параметры, как скорость падения частиц на тело, влияние коэффициента отражения к. на параметры потока на границе тела и т.д. В случае, когда ^ больше, чем параметр длины интересующего масштаба, параметры потока при попадании в область, содержащей отраженные частицы, будут иметь скачки, определяемые объемной концентрацией частиц и параметрами отражения.

Можно также ввести единые параметры для всей смеси, когда можно пренебречь соответствующими диффузионными членами типа членов с в соотношении (18), Полученная система дифференциальных уравнений совпадет с системой дифференциальных уравнений, используемой при описании течения однофазной идеальной системы. Однако замыкающие соотношения получаются лишь при равновесии фаз (скоростной и температурной ) (см. \13]).

Приведем вывод замыкающего соотношения при равновесии фаз. Из несжимаемости частиц следует, что объемная концентрация частиц меняется пропорционально плотности смеси. Из •уравнений сохранения внутренней энергии, при пренебрежении диффузионными членами, получается соотношение: р,с/г*р2с2т + *,/>) & (и)

Учитывая связь между р° и р^Р+р получаем: i-4z 1-аго9/ро ^ I Р - О т.е. с/р/ с19 - dz

20)

Из с учетом последнего соотношения определяется показатель адиабаты для равновесной смеси, а также отношение числа Маха для равновесной смеси к числу Маха для газа: f ^/оОоНо^о ^ ffoo+Zo) чг (21) к d.JQ.c^?^ е LP.0 Г'

Ъос2о) Ге fyo

Целью настоящей диссертации является теоретически анализ задач стационарного обтекания тонких тел дисперсной смесью . типа газ-твердые частицы; изучение явлений, связанных со скоростной и температурной неравновесностями фаз, а также изучение специфических особенностей, не присущих задачам обтекания тел однородной средой.

Задача обтекания тел дисперсной смесью изучается на всех уровнях исследования: экспериментальными методами (см. например главу 4 из [Зб] и цитированную там литературу^, численными методами (см. например [39-40] и главы 2,5 из [Зб] , и имеющийся там обзор литературы^), а также аналитическими методами [31-33, 35, 41-45, 69-70]. В более ранних работах [45, 69-7О] эта задача рассматривалась в режиме течения "одиночных" частиц (в условиях малой массовой концентрации частиц), когда влияние частиц на параметры потока газа несущественно. В работах [31, 4l] делаются первые попытки решить эту задачу, учитывая влияние частиц на движение газа, когда обе фазы ба-ротропны. В работе [43] впервые находится общее решение линеаризованной задачи. Там же впервые указывается немонотонность функции давления вдоль клина. В работах [43-44] объемной концентрацией частиц пренебрегается, а в качестве силы взаимодействия между фазами рассматривается только Стоксова составляющая этой силы. В работах [32-33, 35, 42] делаются попытки учесть объемную концентрацию частиц и силу Архимеда. В работе [44] получено решение задачи обтекания клина при некоторых определенных значениях отношения теплоемкостей фаз через специальные функции. Во всех этих работах исследуется только задача сверхзвукового обтекания тел. Дозвуковой режим течения, рассмотренный в работе [44], по сути сводится к модели течения с "одиночными" частицами, справедливой при малой массовой концентрации частиц. Полученные предыдущими авторами аналитические результаты тривиальны и сводятся к двум пр простым предложениям: при обтекании бесконечного клина сверхзвуковым потоком давление на бесконечности будет таким же, каким было бы, если бы клин обтекался однородной смесью с равновесным числом Маха; давление вблизи носика клина может убывать в зависимости от расстояния, отсчитываемого от носика.

В перечисленных работах, практически, не обосновывается постановка упрощенной линеаризованной задачи. Первая глава настоящей работы посвящена получению и обоснованию линеаризованной постановки с учетом объемной концентрации частиц, и эффекта их отражения. В отличие от указанных работ, система линейных уравнений получается с учетом всех четырех составляющих силы взаимодействия между фазами. Градиентные составляющие силы взаимодействия: сила Архимеда и сила присоединенных масс, влияют на наклон характеристик в потоке. При этом эти составляющие силы взаимодействия не усложняют систему уравнений, а меняют только такие постоянные, как УК и , характеризующие массовую концентрацию частиц и число Маха. Получено граничное условие, учитывающее наличие отраженных частиц и их влияние на параметры потока вбизи границы тела. Показано, что влияние отраженных частиц незначительно, если мала объемная концентрация частиц. Найдены простые формулы, выражающие возмущения таких параметров, как истинная плотность газа, температуры фаз через возмущение функции давления, а для последней - через значения функции (Я > 0-) .

Во второй главе изучается задача обтекания тонких плоских тел потоком газа с частицами. Доказано, что при L^ ( L - отношение характерного размера обтекаемого тела к длине зоны релаксации ^чее) значения параметров потока стремятся к их равновесным значениям, а при /, 0 влиянием частиц молено пренебречь. Показано, что давление около вершины клина убывает с удалением от нее, если число Маха М меньше некоторого значения , равного 'i~Z при учете силы Бассе. Но если сила Бассе не учитывается, то /I* ^ч^Г . Этому явлению дано физическое объяснение. Получены релаксационные соотношения для параметров потока при обтекании бесконечного клина. Эти соотношения показывают степенное убывание разностей значений параметров потока от их равновесных значений. Когда же сила Бассе равна нулю эти разности убывают по экспоненциальному закону. Из этих соотношений получается, например, что при достаточном удалении от вершины клина температура газа может расти. Показано, что в сверхзвуковом режиме ударная волна ослабевает в зависимости от удаления от тела по экспоненциальному закону.

Доказано, что когда сила Бассе не учитывается, распределение давления на клине имеет не больше одного максимума и не больше одного минимума. Разобраны все случаи, когда реализуются соответствующие виды распределения функции давления. Получены оценки для минимального и максимального значений функции давления на клине.

В третьей главе получено решение задачи обтекания дужки дозвуковым потоком. В этом случае решение задачи сводится к решению сингулярного интегрального уравнения, которое решается численно с помощью сплайн-функций. Показано, что за телом, при принятии постулата Жуковского, вообще говоря, появляется тангенциальный разрыв скоростей. Подробно исследуется зависит* мость решения сверхзвуковой задачи от параметров. Показано, что минимальное значение давления на клине всегда больше некоторой постоянной величины. А относительно давления на "носике" или относительно равновесного значения оно может быть сколь угодно мальм. Математически доказано, что давление при обтекании любого тела в передней части тела растет при увеличении отношения теплоемкости газа к теплоемкости частиц. Исследована зависимость аэродинамических характеристик от параметров задачи. Доказано, что сила сопротивления любого тела всегда положительна. Для дозвукового потока это означает, что пародокс Даламбера не имеет места.

В четвертой главе дается постановка линейной задачи обтекания тел вращения. Предложено решение соответствующей задачи и получены формулы, выражающие функцию давления на границе тела. Показано, что в случае,- когда Lт О или <х> значения параметров стремятся к значениям, получающимся из соответствующих классических решений.

Результаты диссертации докладывались на II Всесоюзной школе-семинаре по механике многофазных сред, на семинарах кафедры волновой и газовой динамики МГУ, на конференции молодых ученых ЦА.ПИ в 1979 г. Основные результаты опубликованы в работах [74-76].

ТМЖ I

Постановка линейной задачи обтекания тонких тел потоком газа с частицами.

вывода

Основными результатами диссертации являются следующие выводы:

1) Поставлена линейная задача обтекания тел потоком газа с частицами с учетом объемной концентрации частиц и эффекта их отражения, когда силой взаимодействия между фазами является сумма из четырех сил: силы Архимеда, силы присоединенных масс, силы Бассе и силы Стокса; таким образом получена замкнутая система уравнений для нестационарной задачи обтекания тонких тел и граничные условия, а также соотношения, позволяющие вычислить значения параметров на границе тела, используя решение задачи в основной двухфазной области.

2) Показано, что ударная волна затухает по экспоненциальному закону при удалении от тела в сверхзвуковом режиме обтекания.

3) Доказано, что при обтекании малых тел (L/K ^ /) влиянием частиц можно пренебречь, а при обтекании больших тел

С / >"7 j) можно считать, что обтекание происходит равновесной однофазной смесью.

4) Решение задачи получено при всех значениях числа Маха. Показано, что решение в зависимости от числа Маха Aj является непрерывньм и ограниченным во всех точках тела кроме носовой части и хвоста, а также точек излома. Наибольшее влияние частиц имеется при околозвуковом режиме течения. При этом не возникает трансзвуковой режим как в классическом случае, а появляется режим течения, названный переходным, при котором одновременно течение является дозвуковым по отношению к неравновесной скорости звука и сверхзвуковым по отношению к равновесной скорости звука в смеси. Обтекание малых тел в таком режиме больше похоже на обтекание чисто дозвуковым потоком, а по релаксационным свойствам переходной режим практически не отличается от сверхзвукового режима течения.

5) Показано, что при сверхзвуковом обтекании давление около вершины клина убывает с удалением от нее, если число Маха /Ч меньше значения nt равного УГ , при учете силы Бассе. Но если сила Бассе не учитывается, то ^ -УГ. Это объясняется тем, что сила взаимодействия между фазами, перпендикулярная плоскости ударной волны, которую можно рассматривать как объемную внешнюю силу для несущей фазы, стремится сжать газ при М и расширить при . Учитывая малость эффекта теплообмена при наличии силы Бассе, и то, что тепловой поток направлен от газа к частицам непосредственно после ударной волны, легко объясняется падение давления при

1 2 • А когда сила Бассе не учитывается, эффект теплообмена становится существенным, и поэтому падение давления происходит при числе Маха, меньшем чем М*- , которое в свою очередь больше 'Yz1 .

6) Получены релаксационные соотношения для истинной плотности и давления газа, температур и скоростей фаз при обтекании бесконечного клина потоком газа с частицами в режиме М<? ТУ • Эти соотношения, показывают степенное убывание отклонение значений параметров потока от их равновесных значений. Когда же сила Бассе не учитывается эти разности убывают по экспоненциальному закону. Из этих соотношений получается, например, что при достаточном удалении от вершины клина тепло может идти от частиц к газу. Дано физическое объяснение качественным эффектам, полученным из релаксационных соотношений.

7) Доказано, что когда сила Бассе не учитывается при обтекании бесконечного клина в режиме уd , распределение давления на клине млеет не больше одного минимума и не больше одного максимума. Разобраны все случаи, когда реализуются соответствующие виды распределения значений функции давления. Получены оценки для минимального и максимального значений давления на клине. Из этих оценок следует, что максимальное значение не намного отличается от разновесного значения, а минимальное всегда больше некоторой положительной постоянной величины, но также может оказаться, что это значение одновременно будет существенно меньше равновесного значения и значения, получаемого при обтекании чистым газом. Из этих рассмотрений получается, что значения параметров не всегда лежат между значениями, вычисленными при отсутствии частиц и по равновесной теории. При этом отклонения могут быть существенными как в одну сторону указанного интервала значений, тале и в другую.

8) В интегралах решается задача дозвукового обтекания симметричных плоских тел, а для дужки задача сводится к решению сингулярного интегрального уравнения. Получено численное решение последней задачи. Доказано, что при обтекании конечного тела дозвуковым потоком (М ^У) за телом при принятии постулата Жуковского, вообще говоря, появляется тангенциальный разрыв скоростей для внешнего решения, который, в действительности, состоит из нескольких тонких областей с разными составами фаз, и из нескольких тангенциальных разрывов на границах этих областей.

9) Доказано, что давление в передней части тела, при обтекании любого плоского тела, растет при увеличении отношения теплоемкости газа к теплоемкости частиц.

10) Доказано, что сила сопротивления любого плоского тела положительна. Для дозвукового потока это означает, что парадокс Даламбера не имеет места. Отсутствие парадокса Даламбера не связано с наличием силы Бассе, силы присоединенных масс, силы Архимеда. Оно не связано также с учетом теплообмена между фазами, или с учетом объемной концентрации частиц. Все эти факторы, хотя и влияют на силу сопротивления, тем не менее предложение о положительности силы сопротивления справедливо и при отсутствии указанных эффектов.

11) Получено решение задачи обтекания тел вращения под малым углом атаки при произвольных значениях числа Маха. Для этого решения указано справедливость свойств, перечисленных в пунктах 2-4 для решения плоской задачи.

1. Слезкин Н.А. Дифференциальные уравнения движения пульпы. Докл. АН СССР, 1952, 86, №6, с. 233-237.

2. Баренблатт Г.И. О движении взвешенных частиц в турбулентном потоке. ПММ, 1953, т.17, вып.З, с. 261-274.

3. Рахматулин Х.А. Основы газодинамики взаимопроникающих движений, сжимаемых сред. ПММ, 1956, т.20, вып.2, с. 184-195.

4. Шранкль ф.И. Уравнения энергии для движения жидкостей со взвешенными частицами. Докл. АН СССР, 1955, 102, N5, с. 903-906.

5. Франкль Ф.И. К теории движения взвешенных наносов. Докл. АН СССР, 1953, 92, №2, с. 247-250.

6. Телетов С.Г. Вопросы гидродинамики двухфазных смесей. Вестник МГУ, Ш, 1958.

7. Буевич Ю.А. Двухжидкостная гидродинамика взвешенного слоя. Изв. АН СССР, МЖР, №4, 1966.

8. Крайко А.Н., Стернин JI.E. К теории течений двухскоростной сплошной среда с твердыми и жидкими частицами. ПММ, 1965, т.29, вып.З, с. 418-429.

9. Нигматулин Р.И. Уравнения гидромеханики и волны уплотнения в двухскоростной и двухтемпературной сплошной среде при наличии базовых превращений. Изв. АН СССР, МЖГ, №5, 1967.

10. Механика многофазных сред.- "Итоги науки и техники". Сер. Гидромеханика, 1972, т.6, 174-6. Авторы: Крайко А.Н., Нигматулин Р.И., Старков В.К. и Стернин JI.E.

11. Нигматулин Р.И. Мелкомасштабные течения и поверхностные эффекты в гидродинамике многофазных сред. ПММ, 1971, т. 35вып. 3, с. 451-463.

12. Нишатулин Р.И. Осреднение при математическом моделировании многофазных и в частности, дисперсных смесей.- Аэрогазодинамика и физическая кинетика. Новосибирск. ИТПМ ССАН,- 1977, с. I73-2II.

13. Нишатулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. "Наука", 1978.

14. Мясников В.П. О динамических уравнениях движения двухком-понентных систем. ПМТФ, 1967, №2, с.58-67.

15. Мясников В.П., Левич.В.П. Кинетическая модель кипящего слоя. ПММ, 1966, т. 30, вып. 3, с. 467-475.

16. Мясников В.П. О распределении взвешенных частиц в кипящем слое. ГОШ, 1968, №3, с. II5-I20.

17. Мясников В.П. Кинетическая модель процессов теплопереноса в кипящем слое. Изв. АН СССР, МЖГ, 1967, Ш, с. 84-89.

18. Буевич Ю.А., Марков В.Г. Континиуальная механика монодисперсных суспензий. Интегральные и дифференциальные законы сохранения. ПММ, 1973, т. 37, вып. 6, с. 882-894.

19. Буевич Ю.А. Взаимодействие фаз в концентрированных дисперсных средах. ГОШ, 1966, №3, с. II5-II7.

20. Буевич Ю.А. К статической механике частиц, взвешенных в потоке газа. ПММ, 1968, т. 32, вып. I, с. 95-105.

21. Буевич Ю.А. Континиуальная механика монодисперсных суспензий. О свойствах суспензий сферических диполей во внешнем поле. ГОЖ, 1974, т. 38, вып. 2, с. 30I-3II.

22. Струминский В.В. Влияние диффузионной скорости на течение газовых смесей. ПММ, 1974, т. 38, вып. 2, с. 203-210.

23. Марон В.И., Медведев В.А. Вестник МГУ, математика и механика, 1963, Wl.

24. Стулов В.П. Об уравнениях ламинарного пограничного слоя в двухфазной среде. Изв. АН СССР, МЖГ, 1979, Ш.

25. Осипцов А.Н. К учету конечности объема и гидродинамического взаимодействия частиц в газовзвесях. Докл. АН СССР, 1964, 275, !1°5, с. 1073-1076.

26. Coy С. Гидродинамика многофазных систем. М., "Мир", 1971.

27. Бусройд Р. Течение газа со взвешенными частицами. М., "Мир", 1975.

28. Лохин В.В. Анализ постановки задачи обтекания тела гиперзвуковым двухфазным потоком. Институт механики МГУ. Отчет №2300, 1979.

29. Лохин В.В. Структура сильной ударной волны в запыленном газе с учетом дробления и испарения частиц. Институт механики МГУ. Отчет №2301, 1979.

30. Лохин В.В. Основные уравнения теории гиперзвуковых течений аэрозолей. Институт механики МГУ. Отчет №2302, 1979.

31. Рахматулин Х.А., Мамадалиев Н.А. Двухскоростная теория обтекания тонкого профиля. ИГО, 1969, №4.

32. Джалилова Т.А. Обтекание угла больше 180°двухфазным потоком с учетом теплообмена между фазами. Докл. АН Уз. ССР, 1975, №5.

33. Джалилова Т.А. Течение Прантдля-Майера для потока газа с твердыми частицами. Изв. АН Уз. ССР, Сер. техн. наук, 1976,. WI, с. 35-39.

34. Салтанов Г.А. Взаимодействие частиц с поверхностью обтека-мого клина. Изв. АН СССР, Энергетика и транспорт, №1,1971.

35. Джалилова Т.А. Сверхзвуковое обтекание тонкого клина и конуса потоком газа с частицами при учете теплообмена и отражения частиц. Изв. АН Уз. ССР, 1976, №3.

36. Сверхзвуковые двухфазные течения в условиях скоростной неравновесности частиц. Новосибирск. Изд-во 11 Наука"-Сибирское отделение. 1980.

37. Эрдейи А. Асимптотические разложения. М., "Шизматгиз", 1962.

38. Крайко А.Н. О поверхностях разрыва в среде, лишенной "собственного" давления. ПММ, 1979, №3.

39. Давыдов Ю.М., Липаевский М.В. Расчет двумерного внешнего обтекания тел гетерогенным потоком методом "крупных" частиц. Труды МФТИ. Сер. Аэрофизика и прикладная математика. Долгопрудный, 1979.

40. Матвеев С.К., Сенюкова Л.П. Расчет обтекания диска и плоского торца цилиндра потоком газовзвеси. В сб. "Газодинамика и теплообмен". Изд. ЛГУ, вып. 6, 1980.

41. Мамадалиев Набижат. Исследование обтекания тел плоским установившимся многоскоростным потоком многокомпонентной идеальной жидкости. Кандидатская диссертация. М., 1969.

42. Мевлюдов Сирап Изетович. Обтекание тонких тел сверхзвуковым потоком многокомпонентного газа. Кандидатская диссертация. Ташкент, 1972.

43. Ткаленко Р.А. К линейной теории сверхзвуковых течений газа и частиц. Изв. АН СССР, МЖГ, Т.971, №1.

44. Осипцов А.Н. Тонкий профиль в потоке дисперсной смеси. Изв. АН СССР, МЖГ, 1981, Иб.

45. Моргенталер Дх. Исследование сверхзвукового двухфазного течения. В кн. Детонация и двухфазные течения. М.,"Мир", 1966, с. 155-183.

46. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. "Наука", 1965.

47. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М., Физматгиз, 1961.

48. Франкль Ф.й. , Карпович Е.А. Газодинамика тонких тел. Огиз. Гостехиздат. 1948.

49. Нишатулин Р.И. Уравнения гидромеханики и волны уплотнения в двухскоростной и двухтемпературной среде при наличии фазовых переходов. Изв. АН СССР, МЖГ, 1967, №5.

50. Золотарев Л.М., Салтанов И.Д. Скачок уплотнения в двухфазной среде. ПМТФ, 1969, Р4, с. 93-100.

51. Клейман Я.З. О распространении разрывов в многокомпонентной среде. ПММ, 1958, т. 22, вып. 2, с. 197-205.

52. Пэнтон Р., Оппенгейм А. Релаксационные явления за ударной волной в двухфазной смеси с частицами при наличии массооб-мена между фазами. РТК, 1968, т. 6, ИТ., с. 29-33.

53. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М., "Наука", 1978.

54. Седов Л.И. Плоские задачи гидромеханики и аэродинамики. М., "Наука", 1966.

55. Цянь Сюэ-сень. Физическая механика. М., "Мир", 1965.

56. Мусхелишвили Н.й. Сингулярные интегральные уравнения. М., "Физматгиз", 1962.

57. Г&хов Ф.Д. Краевые задачи. М., "Физматгиз", 1963.

58. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ. Киев, "Наукова думка",1978.

59. Стечкин С.Б., Субботин Ю.И. Сплайны в вычислительной математике. М., "Наука", 1976.

60. Хьют, Росс. Абстрактный гармонический анализ, т.2, М., "Мир", 1975.

61. TiLtesde^C. Oft Ш famdaiwt of mecktma and emn^dtc Cott-imm пжкта. -, Ш. Ыта&Ч d965, v. //.

62. УчтМ C. tuM dm оШ& thwuxlmmca „ W ^ ^ Ш d. Sa. /fe. mt. e naM % d96'/ ^-22, M, p

63. Enhgen AC., Mjwm 1P Cwtdmm Uaoy of dwiuarffy wuUtpпшИа.-ЛШ bf- Ы", *96S, к

64. S. J, А cwticatf Re/uxMf of tk FmdawM Eq/acM&m ofa Atoto of а Ш and mill ttlidралЫсОм. ~

65. Р-ш^ш P, fnopmddet fw ik conimuc^ ш^оШ of a notimjttUilhuwt Cj^A-pendicle мЫклл л У- РШ. Meet "f /961,1. V. y)pd2)p27^30d66. £си$.т. ишЬшМ vfucMoM of a ^mimofa^md

66. Cfiimcd Ш pwiidh fam. Mfb >

67. Km- Ь. Tec/0. Цес Af>fl"? Ш, V./9Jd/p 6of-6V.67. hdUy. ,49ft .

68. Щит 'Жкощьклffyurofackd^jjmwM ф^Ыт cui^e. he. Ifd, dm % .69. з&гфй X s. toipiiupbfwri of шкл ckf&i or, mlft anddedvffcrnwdk ad. wpevmic tfwh.70. &1Ш1 Я.У- iirnd -dXojM Mifdi'w к efke иМ latt

69. Ш &f Ю and 0.1 MM, Xtfdbt, /з/7

70. MoM, F F. fynamti of dtad^ (jtcmt -, Annual Яттг fluid1. Med: 1970, v. p 19? -Ш.

71. Rudky&i Q. S&ju fyie^-oU^ of sAocA ча&шИщ f&ucosr

72. Xyvy wurf?ponticfa. ^ "> v, f>. Ш-Ш.73. шк^л f. ьфей^е dm^ coefficmd M fmfazddok flour кiMm. (/ ^ hm- ^. Med. Ef. \ /$9, Ш/FF p. d- F.

73. Айдагулов P.P. Обтекание тонких плоских тел потоком газа с частицами. ВИНИТИ, деп., 1983, №2023.

74. Айдагулов P.P. Обтекание тонких осесимметричных тел потоком газа с частицами. ВИНИТИ, деп., 1983, №2022.

75. Айдагулов P.P. Плоское обтекание тонких тел потоком газа с частицами. Докл. АН СССР, 1984, 277, №2.