Обтекание тел потоком газовзвеси тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

СМ 1КТ-1 ШТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Обтекание тел потоком газовзвеси

О! .02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

На правах рукописи

ЦИРКУНОВ Юрий Михайлович

Санкт-Петербург 2005

Работа выполнена на кафедре плагшогазодипамики и теплотехники Балтийского государственного технического университета "ВОЕНМЕХ" им Д Ф Устинова

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор

Головачев Юрий Павлович

доктор физико-математических наук, профессор

Матвеев Сергей Константинович

доктор технических паук, профессор

Стасенко Альберт Леонидович

Ведущая организация' Институт механики Московского

государстве! того у 11 и верситета им. М.В. Ломоносова

опционного сонета Д 212 232.30 но защите диссертаций на соискание ученой ( 1ЧЧКЧ1П доктора наук при Сапкт-ГГетербургском государственном университете но адресу: 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Упиверситет-( кий проспект, д. 28, математико-мехаппческий факультет Санкт-Петербургского государственного университета

С дп< ( ертдцней можно ознакомиться в Научной библиотеке имени М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета пор адресу Сапкч -Петербург. Университетская набережная, д. 7/9.

Автореферат разослан " " 2005 г.

Ученый секретарь

д и с:се рта циош I о го со вета,

доктор физико-математических наук,

профессор

С.А. Зегжда

£$00 "\ Общая характеристика работы

Диссертация посвящена разработке одной из основных проблем современной механики газовзвесей, а именно исследованию роли дисперсной примеси и формировании двухфазных течений. В работе построены и обоснованы модели двухфазных точений газа с примесыо твердых частиц около тел, а также выполнен анализ поведения примеси и несущей с роды в этом классе течений.

Актуальность темы. Изучение обтекания тел или преград потоком слабоконцентрированной газовзвеси представляет большой интерес для задач ¡»родинамнки летательных аппаратов при полете в запыленной атмосфере, для проектирования проточных трактов турбомашин при наличии в потоке дисперсной примеси, для разработки ракетных двигателей на твердом топливе, для совершенствования технологий нанесения покрытий и в других областях современной техники и технологий. Однако внимание к данному направлению, помимо прикладных аспектов, обусловлено и чисто научным интересом исследователей к физико-механическим явлениям при движении газовзвесей около тел и к свойствам таких двухфазных сред в целом.

Для описания течения газа с дисперсными частицами около тел и преград различными исследователями был предложен целый спектр математических моделей. Однако несмотря на значительные усилия предшественников, до работ автора диссертации и его учеииков-ряд важных вопросов фундаментального характера в рассматриваемом классе течений оставался открытым. Среди них нахождение количественных оценок для определяющих параметров, когда нельзя пренебречь обратным влиянием примеси па течение газовой фазы и когда столкновения между частицами существенно влияют на динамику примеси; моделирование воздействия несущего газа патонкодисперспис частицы в существенно пеизотермическом пограничном слое на обтекаемой поверхности и роль ногранслойных эффектов в задачах двухфазной аэродинамики; построение физически корректной модели ударного взаимодействия частиц с обтекаемой поверхностью при умеренных и больших скоростях, согласующейся с известными опытными данными; развитие численных моделей для изучения регулярных течений бссстолкновительной среды частиц с множественными пересечениями траекторий; моделирование рассеяния частиц нрн отскоке от шероховатых поверхностей и исследование его влияния на картину течения дисперсной фазы; роль полидисперспости примеси; разработка моделей двухфазных течений с учетом хаотического движения частиц п столкновений между ними; а также выявление общих закономерностей в поведении примеси на различных режимах ее течения около тел. Все эти и некоторые другие принципиально важные вопросы двухфазной а>родинами-

ки исследуются и разрабатываются в данной работа_______

РОС, НАЦИОНАЛЬНАЯ |

БИБЛИОТЕКА | С.1

Цель работы. Общая цель состояла в комплексном теоретическом и численном изучении поведения примеси при обтекании лобовой поверхности различных тел потоком газа с твердыми дисперсными частицами.

Она включала и себя

• выявление, анализ и классификацию типов возможных картин течения монодпеперсиой примеси;

• развитие и создание математических и вычислительных моделей, описывающих как собстнепно динамику примеси в несущем газе, так и взаимодействие частиц с обтекаемой поверхностью;

• систематическое численное исследование движения примеси около различных тел, установление определяющих факторов и общих закономерностей;

• получение априорных оценок для границ областей применимости тех или иных допущений фундаментального и частного характера, их проверку с помощью численного исследования

Используемые методы. Для решения поставленных задач используется общепринятая методология исследований по механике и прикладной математике, а именно

• безусловное выполнение физических законов сохранения массы, импульса, момента импульса, энергии,

• априорные и апостериорные оценки-справедливости принимаемых допущений и точности моделей,

• использование при разработке математических моделей известных стро-I их рсчультатов по механике и математике,

• использование новейших наиболее надежных опытных данных при создании иолузмпиричсских моделей "элементарных" процессов,

• применение асимптотических методов, сравнение получающихся результатов с численными решениями полных систем уравнений,

• повторяемость результатов при использовании различных численных процедур,

• физическая объяснимость получаемых результатов.

• качественное и количественное сравнение, где это возможно, с лкспери-мгптальпыми результатами и численными решениями подобных задач другими авторами

Достоверность результатов обеспечивается последовательным использованием па всех этапах выполнения работы сформулированной выше методологии исследований, которая широко апробирована в рассматриваемой предметной области.

Научная новизна. Дан комплексный анализ проблемы обтекания тел потоком rasa с твердыми частицами, выделены и разработаны критически важные направления в этой предметной области: предложены методы получения практических оценок значимости тех или иных факторов, развиты ноные подходы и модели для описания течений запыленного газа (раз-пи та численная модель, реализующая полный лаграижеп подход при описании сплошной среды бесстолкновительной примеси; предложена более точная модель силового взаимодействия несущего газа с дисперсной частицей i! пеизотермпчееком пограничном слое па обтекаемой поверхности; развита континуально-кинетическая модель запыленного газа с учетом столкновений между частицами примеси и ее обратного воздействия на течение газовой фазы), предложена новая полуэмпирическая модель ударного взаимодействия частицы с поверхностью, согласующаяся с известными опытными данными п не приводящая, как другие известные модели, к перезакрутке частиц при отскоке. В результате анализа и систематического численного исследования даны классификации глобальных картин течения примеси около лобовой поверхности затупленных тел и в пограничном слое около точки торможения. Полученные результаты систематизируют и существенно углубляю-!' физические представления о поведении примеси при обтекании тел запыленным газом.

Научная и практическая ценность выполненного исследования состоит в создании работоспособных математических и численных моделей дли решения задач обтекания тел и преград потоком газа с твердыми дисперсными частицами Использованный п работе полный лаграижеп подход к численному моделированию регулярного дпижепия примеси позволяет с очень высоким разрешением рассчитывать области со сложной структурой течения, в котором происходят множественные пересечения траекторий частиц и г,о шикают сингулярные поверхности (каустики и поверхности схлопывания ■шементариых трубок точа в континууме частиц). Развитая кинетическая модель столкновителыюй примеси и последующее ее использование совместно ( модифицированными уравнениями движения несущего газа как сплошной среды дает теоретическую основу для расчета двухфазных течений с умеренной концентрацией частиц, когда как столкновения между ними, так и их воздействие на несущую среду одновременно существенны. Полученные априорные оценки роли отдельных факторов и результаты систематических численных расчетов позволили понять многие аспекты того или иного поведения примеси в задачах двухфазной аэродинамики и значительно более обоснованно принимать различные допущения, которые неизбежно приходится вводить при моделировании такого сложного объекта механики, как газовзнееь

Основные положения, выносимые на защиту. Автор защищает следующие положения:

1 Систематизацию и классификацию глобальных картин течения мопо-дисперсной примеси около гладких затупленных тел.

2. Получение и обоснование априорных оценок для концентрации частиц к пабегающрм певозмущепном потоке, когда справедливы допущения, во-первых, о пренебрежении обратным влиянием примеси на течение несущего гала, а во-вторых, об отсутствии столкновений между падающими и отраженными частицами. Подтверждение тезиса о том, что в задачах обтекания затупленных тел потоком газа с примесью грубодисперсных твердых частиц учет обратного влияния примеси на течение несущего газа без одновременного учета столкновений между частицами физически некорректен (эта концептуальная ошибка была допущена ранее многими авторами).

3. Метод расчета плотности массового потока и функции его распределения по фракциям и произвольной точке лобовой поверхности затупленного мела при инерционном осаждении бссстолкновительной примеси.

4. Метод приближенного построения непрерывных полей параметров вязкого несущего газа около тел при больших числах Рейнольдса, основанный на использовании внешних и внутренних асимптотических разложений Оценку точности -этого метода как с точки зрения поля течения газа, так и с с точки зрения отдельных функционалов движения примеси в этом ноле.

5 Математическую модель силового воздействия несущего гада на топко-дисперсную сферическую частицу в несжимаемом и сжимаемом существенно неизотермическом пограничном слое. Обоснование представления межфаз-пой силы п виде суперпозиции по отдельным факторам И установление роли отдельных составляющих этой силы.

6. Результаты систематического численного исследования динамики и картин течения моподисперспой примеси в пограничном слое около точки торможения н широком диапазоне изменения температурного режима поверхности Классификацию типов картин течения и определение конфигурации областей существования каждого типа в плоскости определяющих параметров "температурный фактор-относительный размер частиц".

7. Полуэмпирическую модель ударного взаимодействия твердой дисперсной сферической частицы с поверхностью обтекаемого тела.

8. Численную модель, реализующую полный подход Лагранжа к описанию регулярного движения бссстолкновительной примеси.

9. Результаты систематического численного исследования структуры течения бесстолкновительной монодисперсной примеси около тел простой формы (сфера, цилиндр, конус, клип) при «супругом многократном отражении частиц от поверхности. Детальное описание и анализ особенностей в поле концентрации примеси Установление существенной роли силы Магнуса, возникающей вследствие сильной закрутки частиц при отскоке от поверхности,

и формировании картины течения примеси.

10 Математическую модель дисперсной примеси с учетом псупругих столкновений между частицами и модель двухфазного течения с учетом как столкновений между частицами, так и обратного влияния дисперсной фазы на несущий гая в задаче обтекал и я тела однородным потоком слабоконцентри-роиаипой глловзнесн (кипетичсскос уравнение больцмаповского типа относительно функции распределения дисперсных частиц по поступательным и вращательным скоростям и температурам с учетом столкновений между ними п соответствующие граничные условия; континуально-кинетическую модель течения Ггповзвеси).

Апробация работы. Результаты исследований по теме диссертации докладывались на 32 всесоюзных, всероссийских и меэюду народных форумах: Ш Всесоюзной школе-семинаре по механике многофазных сред (Хумсан, J 982); II Всесоюзной школе-семинаре "Методы малого параметра и их применение" (Минск, 1982), VIII Всесоюзной и XI, XII, XIII, XIV, XV и XVI Международных школах-семинарах но моделям механики сплошной среды (Омск, 1985, Владивосток, 1991; Казань, 1993; Сапкт-Пстербург, 1995, Жуковский, 1997, Санкт-Петербург, 2000; Казань, 2002), VIII Всесоюзном совещании семинаре по механике реагирующих сред (Кемерово, 1990); Всесоюзной конференции "Механика и теплообмен двухфазных сред в технике и порошковой '1ехиоло!ии" (Томск, 1991), Первой, Второй и Третьей Российских паци-ппплъпыу конференциях по теплообмену (Москва, 1994; 1998; 2002), 1-й и 2-й Международных школах-семинарах "Внутрикамсриые процессы, горение п ivi-ювая динамика дисперсных систем" (Санкт-Петербург, 1995, 1997); III Минском международном форуме по тепломассообмену (Минск, 199G), Всероссийской конференции но механике "Вторые Поляховские чтения" (Санкт-Петербург, 2000); Международной конференции по многофазным системам, посвященной 60-летию академика РАН Р.И.Нигматулина (ICMS'2000, Уфа, 2000), VIII Всероссийском съезде но теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001); Всероссийской конференции "Аэродинамика и г.иоиая динамика в XXI веке", посвященной 80-летию академика РАН Г.Г.Черпого (Москва, 2003), Европейских коллоквиумах по механике, посвященных теоретическому п экспериментальному изучения течений газа с частицами (EURO-МЕСН Colloqiiium-319, Таллинн, Эстония, 1994, EUROMECH Colloqunun-421, Гренобль, Франция, 2001); 2-й и 3-й Европейских конференциях по гидромеханике, проведенных под эгидой EUROMECII'a (EFMC'94, Варшава, Польша, 1994; EFMC'97, Геттипгеи, Германия, 1997), 3-й, 4-й Европейских конференциях по вычислительной гидродинамике (ECCOMAS'96, Париж, Франция, 199С, ECCOMAS'98, Афины, Греция, 1998); Европейском коп-11 )<■<•<е по вычислительным методам в прикладных науках и инженерном деле (ECCOMAS'2000, Испания, Барселона, 2000), 4-й Международной лег-

пей конференции "Численное моделирование в механике сплошных сред" (NMICM'2000, Чехия, Прага, 2000); 3-й и 4-й Международных конференциях по многофазным течениям (ICMF'98, Лион, Франция, 1998, ICMF'2001, Новый Орлеан, США, 2001); 5-м Всемирном конгрессе по вычислительной механике (WCCM-V, Вена, Австрия, 2002); Совместной Американо-европейской конференции по инженерной гидромеханике, проведенной под эгидой Американского общества инженеров-механиков (ASME FEDSM'02, Монреаль, Канада, 2002); 3-м Международном симпозиуме, по моделированию и экспериментальному исследованию двухфазных течений (ISTP'2004, Пиза, Италия, 2004);

а также на специализированных научных семинарах, в том числе научном семинаре кафедры аэрогазодипамики и динамики полета Ленинградского механического института под руководством проф И.П.Гинзбурга (Ленинград, 1982), научном семинаре отдела многофазных течений Института теоретической и прикладной механики СО АН СССР под руководством проф В М Фомина (Новосибирск, 1986); научном семинаре кафедры плаз-могазодипамики и теплотехники Балтийского государственного технического университета под руководством проф. В.И.Ускова (Санкт-Петербург, 1997, 2004); научном семинаре кафедры гидроаэромеханики Санкт-Петербургского государственного университета под руководством чл,-корр. РАН В Г.Дулова п проф. С К.Матвеева (Санкт-Петербург, 1997; 2004); научном семинаре Ин-гштута механики МГУ под руководством академика РАН Г.Г. Черного (Москва, 1999)

Публикации. По результатам диссертационного исследования опубликовано 42 работы общим объемом 363 стр. (33 статьи и тезисы 9 докладов), из них 34 работы написаны совместно с другими авторами В тексте отмечен вклад соавторов в результаты, представленные в диссертации. Основные публикации приведены в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы. В конце каждой главы сформулированы выводы и указаны статьи, п которых опубликован материал данной главы Диссертация изложена на 363 страницах и содержит 267 страниц текста (включая перечень основных условных обозначений и таблицы), 08 страниц рисунков и 28 страниц библиографии. Библиография включает 304 наименования. Иллюстраций - 77 Таблиц - 7.

Поддержки. Автор диссертации как руководитель девяти конкурсных научных проектов, выполненных по теме диссертации в 1994 2004 гг , с благодарностью отмечает финансовую поддержку Конкурсного Центра фундаментального естествознания при Санкт-Петербургском государственном уни-

верситете (гранты №№ 93-4 100-81, 95-0-4.2-5 и Е02-4.0-138), Российского фонда фундаментальных исследований (гранты №№ 94-01-01338, 96-01-01467, 9901-00674 и 02-01-01201), Международного научного фонда и Правительства России (грант № ЛЮ 100), ШТАБ (грант № 00-0309).

2. Содержание диссертации

Во введении обоснована актуальность темы диссертационного исследования, перечислены отечественные группы исследователей и отдельные ученые, работавшие в дайной предметной области за последние полвека, сфор-муиировяны вопросы, которые до работ автора оставались открытыми, сформулирована цель диссертационного исследования, приведена структура диссертации и ее краткое содержание по главам, дан перечень положений, выносимых па защиту, приведены сведения об апробации и публикациях по теме диссертации, даны ссылки на гранты от национальных и международных фондов, предоставленные для исследования тех или иных проблем механики газовзвесей, результаты которых вошли в диссертацию.

Первая глава является обзорно-аналитической. В ней проанализированы инженерны,е и физические проблемы двухфазной аэродинамики и их взаимосвязь. Отмечено, что непосредственный практический интерес представляют функционалы двухфазного течения (силовое, тепловое и эрозионное но »действие потока газовзвеси па обтекаемые поверхности, а также в ряде случаев определение массового потока примеси к поверхности). В то же время решение инженерных задач требует правильного понимания физических причин того или иного поведения частиц в зависимости от условий течения, взаимосвязи поведения примеси и характеристик воздействия потока на обтекаемую поверхность и знания относительной важности определяющих факторов течения, с точки зрения искомых функционалов. Последовательная декомпозиция сложных задач аэродинамического проектирования приводит в конечном итоге к необходимости рассмотрения так называемых "элементарны■/ " процессов в газонзвссях (взаимодействие отдельной, частицы с несущей средой, взаимодействие двух или более частиц между собой, взаимодействие частицы с твердой поверхностью при ударе), а также "коллективных" эффектов (влияние примеси на течение газовой фазы, поведение примеси при наличии столкновений между ними, суммарное воздействие дисперсной фазы па обтекаемую поверхность, приводящее в ряде случаев к ее разрушению). Перечисленные физические аспекты относятся к фундаментальным вопросам механики газовзвесей. В главе дан анализ состояния исследований каждого из них.

Рис. 1 Основные ]'ипы течения примеси моподисперспых твердых частиц при обтекании чатуплетю! о тела потоком газовзвеси (о) - течение без столкновений частиц цруг с другом и их инерционным осаждением на поверхности тела, (б) - течение при абсолютно »супругом отражении частиц с образованием приповерхностной нелепы, (о) - течение без столкновений частиц друг с другом, по с отскоком от поверхности; (?) - течение с отскоком частиц и последующими их столкновениями между собой; (д) - течение тонкодиспсрсиой примеси без инерционною осаждения чдетнц на поверхности теля

Газовзнесь в отличие от чистого газа янлястся значительно более сложным и более богатым в смысле физико-механических свойств объектом. В аэродинамике это проявляется, в частности, в разнообразии возможных картин течения примеси около лобовой поверхности 'тела, которые для случая мопо-дисиерсных частиц могут быть сведены к пяти основным типам [7, 24] (см. рис 1) Реализация той или'иной картины зависит от четырех независимых факторов (1) концентрации частиц в набегающем потоке; (2) инерционности частиц, которая определяется отношением характерной длины динамической релаксации частицы к характерному линейному размеру задачи, (3) относительного размера частиц (отношения диаметра частиц к характерному линейному размеру задачи); (4) особенностей взаимодействия частиц с поверхностью тела (поглощение, упругое или неупругое отражение)

Первые четыре типа течения примеси (рис 1, га-г) имеют место для достаточно инерционных (грубодисперсиых) частиц, а пятый (рис 1, 6) - для ма-

лоинсрцпонпых (тонкодпсперспых). Данная классификация справедлива при обтекании как затупленных, так и заостренных тел. Дан критический обзор швестных теоретических подходов к описанию каждого из типов течения. В последующих главах диссертации представлены уточненные и новые математические модели и полученные па их основе результаты систематических численных исследований четырех из пяти перечисленных типов течений (а) (глава 4), (о) (главы 2 и 5), (г) (глава С) и (<?) (глава 3).

В главе выполнен также анализ некоторых фундаментальных допущений механики газовзвесей, обычно принимаемых при рассмотрении данного класса течений, и получены оценки границ применимости важнейших из них. В частности, помучены простые априорные оценки для пороговых концентраций дисперсной фазы в натекающем однородном потоке газовзвеси, ниже которых можно не учитывать обратное влияние примеси на течение несущего газа, столкновения между грубодисперспыми падающими и отраженными частицами, влияние гидродинамического взаимодействия между частицами на их аэродинамическое сопротивление Показано, что оценки, относящиеся к ( голкпоиенням и обратному влиянию примеси па несущий газ ири обтекании штунленпих тел, согласуются с апостериорными оценками других автором, данными физических экспериментов и результатами прямых численных расчетов, представленных в диссертации.

Установлено, что столкновения меок-ду грубодисперспыми падающими и огпра наиными чистицами при обтекании запыленным /алом затупленный, тел I гпаповятсм важными при существенно меныией (на десятичный порядок) концентрации примеси в натекающем потоке, чем начинает,ся ее заметное влияние па теченье газовой фазы 'Это влечет'следующие важные следствия

если столкновения частиц в модели течения не учитываются, то заведомо не нужно учитывать и их обратное влияние на несущий газ;

можно рашивать модель течения газовзвеси около тел с учетом столкновений между частицами, по без учета влияния частиц па газовую фазу, л ткая модель будет применима в достаточно широком диапазоне концентрации примеси в натекающем потоке;

при отскоке частиц от тела учет влияния примеси па течение газа без учега ( (Ч)лкпоиепий между частицами фи шче.ски некорректен

Отдельный параграф посвящен об юру широко используемых в механике пиовшесой моделей ударного взаимодействия твердых сферических частиц со стенкой Отмечено, что все эти модели являются неудовлетворительными при умеренных и больших скоростях удара (от нескольких десятом до нескольких сотен метро» в секунду), которые являются гнничными для задач аэродинамики. Модели либо противоречат опытным данным но коэффициентам восстановления нормальной и касательной компонент скорости центра масс частицы при отскоке (ап и аТ), либо закону изменения момента

Рш 2 Зависимости коэффициентов восстановления нормальной («„) и касательной (лт) компонент вектора скорости центра масс частиц электрокорупда после оI( коки от пластины 111 различных пластичных материалов- жсиерпмептшп.нис ¡•очки получены В.Л. Лашкопым (ИФЖ, 1991, т. 00, № 2), кривые дли аг предложены н |10|, шиисимогтн для а„ соответствую! материалу пластины СтЧ (В А . Пашков) Уу, 1 = 50 -г 300 м/с, диаметр частиц 2гр = 23 109 мкм.

Рис 3 Схемы ударгюсо взаимодействия частицы со стенкой- (а) точечный контакт между частиней и стенкой (классическая схема); (б)- взаимодействие между твердой частицей и стенкой ич пластичного материала с образованием пятна контакта (преложена в [10] и используется в данной работе).

импульса для частицы, либо одновременное выполнение законов механики Ныотона и согласие с указанными опытными данными приводит к парадок-'■//, состоящему в перезакрутке частицы в момент отскока при пТ 5/7 Последнее неравенство выполняется для твердых частиц и стенки из пластичных металлов в очень широком диапазоне углов падения (3\ (см. рис 2) Причиной парадокса в последнем случае является, на наш взгляд, класси-

ческое допущение о точечном контакте частицы со стенкой (см. рис. 3, «), которое не выполняется при больших скоростях удара. Введение в модель пятна контак та (рис 3, б) позволяет избежать парадокса (подробности см в |Ю, 1С|).

Во второй главе рассматриваются вопросы математического и численного моделирования регулярного движения бесстолкпоаитслыюп дисперсной примеси в двухфазных течениях.

Дан сравнительный анализ различных подходов (континуального эйлерова, континуального лагранжевого и кинетического). Выделены две альтерна-'1НННЫХ ворсин лагранжевого подхода: (I) уравнения движения и теплообмена для частиц описываются в лагранжевых координатах, по уравнение неразрывное гп для всего континуума частиц в рассмотрение не вводится и плотность дисперсной фазы определяется путем подсчета моделирующих частиц в ячейках жлеровой сетки, построенной в расчетной области (такой подход был предложен Кроу (С.Т. Сите) с сотрудниками в 1977 году, он известен также как дискретпо-траекторпый подход, позже; был модифицирован многими авторами), и (II) все уравнения, включая и уравнение неразрывности для среды частиц, записываются в координатах Лаграпжа, при этом плотность примеси определяется непосредственно из уравнения неразрывности (это так п.мьнмемый полный лл?рчн:жем подход. Он восходит к работам Я.Б. Зельдовича и А.Д Мышкпса, позже был существенно развит Л II Осипцовым). Отмечено, что полный подход Лаграпжа является принципиально более точным, -1.1К как позволяет получить в расчетах топкую структуру течения при-мс< и с очень высоким разрешением даже при возникновении сингулярных поверхностей (каустик - огибающих непересекающихся траекторий, и "складок" геометрических мест точек схлопывания элементарных трубок тока). Появление таких поверхностей в поле течения около лобовой поверхностей тел является правилом, поэтому именно полный лаграпжеп подход развивается п используется в диссертации.

Подробно описана модель движения примеси около тел. Дан вывод уравнения неразрывности в лагранжевых координатах при использовании в физическом пространстве криволинейных ортогональных эйлеровых координат (такие координаты используются в носиедующих главах). Теоретически рассмотрены случаи трехмерного и двумерного (плоского и осссимметричного) течений Обсуждаются гпособы введения лаграпжевых координат для континуума диепергпой фалы Показано, что при рассмотрении устаиов-иатихгя течений специальный выбор ла?рапжевыт ■координат (для двумерного случая такие1 координаты ^ и £2 показаны па рис 4) вместо традиционного, когда за лаграпжевы координаты принимаются начальные эйлеровы координаты элементарных "жидких" частиц континуума, существенно упрощает решение задачи о движении дисперсной фазы, уменьшая число независимых

Рис 'I К нмГюру лагранженых координат fi и & дли устапоииншсгося плоского или осесимметрнчного течения около тела: ( - индивидуальное время частицы, от-г'ип'ыпломое or момента се входа в расчетную область, (1. = 'о + т), ( 0 - момент нхода частицы п расчетную область, г - общее время для всего "континуума" ча-<тиц (лаграпжево время), г = 0 - начальный момент при рассмотрении "ivua" частиц и представлении Лаграпжа, to индивидуальное прсмя частицы, соо-икч-гтвующее моменту т = 0.

переменных па единицу и позволяя сразу найти элементы второго столбца якобиана эйлерово-лагранжевого преобразования координат в уравнении неразрывности В этом случае оказывается возможным перейти от одной из лагранжевых координат (£2 = to lia рис. 4) и лагралжевого времени т к их сумме t = to + т, которая представляет собой 'текущее время движения индивидуальной частицы от момента се входа в расчетную область. В диссертации используются в физическом пространстве различные эйлеровы координаты декартовы, цилиндрические, сферические и пограпелойпыо В дальнейшем численно исследуются только двумерные течения В качестве иллюстрации ниже приводится система уравнений движения примеси при исноль ювапни в фншчсском пространстве пограпелойной системы координат и лагранжевых координат и £2, показанных па рис 4. Эта система включает в себя уравнение импульсов для частицы в проекциях па оси ж и у, уравнение момента импульса и проекции на нормаль к плоскости (х, у), уравнение, неразрывности и кинематические зависимости для текущих координат х и у частицы.

Djx.v)

а + у

п

с1х аир йу _

сИ а + у' (И Здесь тт)р и /р - масса и момент инерции частицы, и /ру - компоненты вектора силы, действующей на дисперсную частицу (эта сила моделировалась различным образом в зависимости от условий обтекания частицы), и>р угловая скорость частицы, 1Р - демпфирующий момент, действующий па вращающуюся частицу, ар(г00^) - объемная концентрация примеси на траектории, идентифицируемой координатой па входной границе, в точке, соответствующей моменту tl у,. - значение координаты у частицы при / = О (определяется из уравнения входной границы расчетной области), ] = 0 и 1 соответственно для плоского и осесимметричпого течений, остальные обозначения показаны к описаны па рис. 4 В обеих частях уравнения неразрывности берется абсолютная величина якобиана, а его элементы имеют вид

-D(w)

В диссертации рассматриваются также течения, когда важно учитывать зависимость силы fp от отношения температур частицы и несущего газа (па-пример, при сверхзвуковом обтекании тел) В этом случае приведенная система уравнений дополнялась уравнением изменения внутренней энергии частицы за счет теплообмена с несущей средой В работе описаны два метода вычисления элементов первого столбца якобиана в уравнении неразрывности (метод Оеипцова и конечно-разностный метод второго порядка, который окашвается заметно эфективнее в случае очень громоздких правых частей уравнений движения частиц, что имеет место, например, при движении тон-коднеперсной примеси в пеизоюрмическом пограничном слое).

По результатам обзора литературных источников выбраны и приведены наиболее точные в ожидаемых диапазонах параметров обтекания частиц ап-нрокеимацнопные соотношения для различных составляющих силового воздействии несущего газа на отдельную частицу: силы аэродинамического сопротивления, поперечной силы Магнуса и демпфирующего момента, действующего на вращающуюся частицу (Morsi & Alexander, 1972, Henderson, 197G; Oesterle & Bni Dinli, 1998; Dennis ct al., 1980).

11a основе анализа описанных в литературе методов численного иптегри-роиппия обыкновенных дифференциальных уравнений, априорного апали <а особенностей решения уравнений движения (и нагрева) частиц при малых числах Стокса, когда система уравнений становится "жесткой", а также предварительных тестовых расчетов выбраны экономичные методы ночшиенно-•><> порядка точности для численного интегрирования уравнений движения

ах <шр дгж а + у

ду

dz^

и нагрева частиц. Эти методы относятся к типу предиктор-корректор Они широко применяются в дальнейшем при получении численных результатов. Особенностью метода для случая очень малых чисел Стокса (для тонкодис-перспых частиц) является использование приближенного аналитического решения жестких уравнений системы на этапе предиктора и иногда па этапе корректора.

Третья глава посвящена исследованию эффектов пограничного слоя при движении примеси.

Предложен метод построения непрерывных полей параметров вязкого несущего газа около лобовой поверхности затупленного тела при больших числах Рейнольдса Re^ = p^V^a/¡л^, который представляет собой "сшивку" решений в пограничном слое и во внешней (невязкой) области. Продемонстрирована его высокая точность путем сравнения с численным решением полных уравнений Навье-Стокса, а также с помощью оценки точности определения критического размера частиц.

Отмечено; что условия обтекания частиц во внешней "невязкой" области и в пограничном слое совершенно различны Эти различия наиболее сильно сказываются на поведении тонкодисперсных частиц, которые движутся с мачыми числами Рейнольдса Rep Во-первых, в пограничном слое течение несущего газа имеет выраженный сдвиговый характер, что приводит к возникновению заметной поперечной силы (силы Сэффмана). Во-вторых, при движении частицы на очень малом расстоянии от тела (порядка нескольких диаметров) однородность потока па "бесконечном" удалении от частицы (в частности, однородность сдвига) существенно искажается ввиду условия прилипания на поверхности тела, в результате чего возникает "эффект стопки", который для стоксовой частицы состоит в многократном увеличении коэффициента ее аэродинамического сопротивления по сравнению с обтеканием безграничным потоком (Happel & Brenner, 1965) В-третьих, в псизотермиче-ском пограничном слое (в случае холодной или горячей стенки) на частицу действует термофорстическая сила, которая обусловлена градиентом температуры в несущем газе и эффектами динамического и теплового скольжения па поверхности частицы (Brock, 1962). В диссертации подробно проанализирована роль этих эффектов, а также эффектов нестационарное™ (< ил Архимеда и присоединенной массы) и наследственности (силы Бассэ) при обтекании частиц В результате анализа математических постановок задач об определении указанных сил, приближенных априорных оценок и численных расчетов предложена следующая модель силового воздействия газа па тон-кодисперспую частицу, движущуюся с малым скоростным запаздыванием по отношению к газовой фазе в пограничном слое;

fp = fü + fw + fsaf +

fD = \p*rlCD\v - vp|(v - Vp), fw = —6 + ^ fus 1 + + foyi,

12п(мигрС, ( — + Ct- J ^

fsaf = 0,343/D*rp^ fT

1 + 3C„

dT о ду .

T\J'

1 + 2— + 2 Ct— Fр/ \ rp/

где Co = Cn(Rep); e = гр/т/, у - текущая координата центра частицы; выра-жепис для /т представляет собой формулу Брока с коэффициентами предложенными 'Галботом и др. (Talbot et al., 1980); i и j - единичные векторы вдоль осей х и у пограпелойной системы координат (см рис 4). Эта модель обоснована эвристически.

(г,/а) х 10°

4.0

3.5

■ — 1........... 1

(о)

/ (С)

• - расчетные

точки 1

05

1.0

1.5 Г»/То

а X Ю3Г ал\

02 0

I х 103

0 4 0.2

ш IIIIIHWWV'w

4 ' / 1 t 1 1

0.04

0.08 х/о 0

0 04

0 08 х/а

Рис Г> Типы точения тоикодиспсрсиой примеси и пограничном елое около критической точки (иничу) и области их сущгстпопания (пнорху). Обтекание сферы, Мс = 2, ЯСоо = 107, частицы Si02.

С использованием этой модели выполнено параметрическое численное исследование детальной структуры течения примеси в неизотермичсском по-

граничном слое около точки торможения, выделены четыре качественно различных типа течения и найдена конфигурация областей существования каждого типа в плоскости определяющих параметров "температурный фактор-относительный размер частиц" (см. рис 5). Течения (У1) и (С) па рис. 5 отличаются тем, что в первом случае механизм выпадения частиц на поверхность тела в критической точке является инерционным, а во втором частицы выпадают под действием тсрмофоретической силы D диссертации уюнап критерий, по которому можно четко отличить эти режимы. Установлено также, что пограпелойпые эффекты очень слабо влияют на глобальную картину течения примеси около лобовой поверхности затупленного тела и дано объяснение этому результату.

В четвертой главе рассматриваются характеристики инерционного осаждения полидисперсиой примеси на лобовой поверхности гладкого затупленного тела.

Предложен метод расчета суммарной плотности массового потока частиц в любой точке лобовой поверхности и функции его распределения по фракциям. Метод основан на кинематических характеристиках движения отдельных фракций.

Приведены результаты численного параметрического исследования для критической точки сферы, обтекаемой до- и сверхзвуковым однородным потоком газовзвеси. Изучено влияние пограничного слоя на параметры осаждения мопо- и полидисперсиой примеси. В расчетах рассматривались одно- и двухпараметрический законы распределения частиц по размерам в натекающем потоке Во втором случае принималось, что частицы распределены по логарифмически-нормальному закону, который в берзазмерных переменных имеет вид'

Найдено, что

- наибольшую роль пограислойные эффекты играют для частиц, радиус которых ненамного превышает критический гр*, и для тонкодисперсных частиц (при г,, < Гр,). Во вСех случаях учет пограничного слоя приводит к уменьшению плотности потока частиц к телу (см. рис. О, слева);

- степень влияния пограничного слоя зависит от числа Рейпольдса Ле^ В случае несжимаемого несущего газа увеличение Пе^ (при прочих фиксированных параметрах задачи) ведет к уменьшению величины критического радиуса частиц (рис 6, справа). В случае сжимаемой газовой фазы влияние числа Рейпольдса более сложное, так в этом случае варьирование Иа» должно сопровождаться согласованным изменением плотности несущего газа, что в результате приводит к некоторому увеличению гр„ с ростом Г!е(Х);

I

Рис (> О мтси гельнан плотность массового потока падающих частиц в критической ючкс сферы (слева) и чаписимость критического радиуса частиц т,„ от числа Рейнольдел (справа). Поле течение несущего газа нотенцналыюе, Не^ = Ю"1, ча-( пщь1 ЯЮг, шачки - расчетные точки.

(Рис 7 Функции ра< нределсния плотности массового потока полидисперсных ча-сптп (SiO,>) но фракциям в невочмущенном потоке (штриховые линии) и в крити-'н'смга точке сферы (сплошные линии). Поле течении несущего ram "мотенциаль-i ное |ечеине ! ни жий пограничный слой", Не^ = 10s, кривые 1 Л соочнск-твуют

>, ('.,./«) ■ Л»' 0,-1, 0,0; 0,8 н 1,0.

при учете сжимаемости газа плотность потока тонкбдиснерсных частиц к поверхности существенно зависит от температурного фактора Tw/To (То темнера'1'ура адиабатического торможения). В случае "горячей" поверхности тела (при Tw/7o > 1) осаждение примеси с уменьшением гр, начиная с критического радиуса гр„ полностью прекращается, и плотность потока тон-коднеперспой примеси становится равной пулю. Если же поверхность "холодная", то зависимость <jo(г,,) при достаточно больших числах Рейнольдса (при Re«, > 10е) имеет в области rp < rpt выраженный минимум, и с дальнейшим уменьшением гр выходит на ненулевую горизонтальную асимптоту.

J9

Очень малый, но ненулевой поток примеси до возникает п этом случае из-за действия на частицы термофоретической силы, направленной к поверхности;

- функции распределения плотности массового потока примеси в критической точке по фракциям г/жо(гр) всегда смещается по сравнению с ^(г,,) в область более крупных частиц, причем тем сильнее, чем больше в смеси частиц докритического радиуса (рис. 7);

- при умеренном разбросе размеров частиц в натекающем потоке (при 1 < 5 < 1,5 й логарифмически-нормальном законе) среднеквадратическос отклонение радиусов грубодисперсных частиц в потоке является более консервативной характеристикой, чем математическое ожидание, причем с увеличением Ее« различие между одноименными параметрами в критической точке и натекающем потоке уменьшается.

В пятой главе рассматривается бесстолкновителыюе движение примеси около тел при отскоке частиц от поверхности.

В первом параграфе описана новая полуэмпирическая модель ударного взаимодействия твердой сферической частицы с преградой из пластичного материала. Эта модель основана па уравнениях импульса и момента импульса для частицы (обозначения па рис. 3)

Основным допущением является пропорциональность силы сопротивления движению частицы в касательном направлении величине нормальной реакции и характерной скорости проскальзывания частицы относительно преграды н пятне контакта (х > 0)

что представляется правдоподобным при умеренных и больших скоростях удара (от нескольких десятков до нескольких сотен метров в секунду). В качестве замыкающих соотношений используются условия того, что при отскоке первоначально невращаютцейся частицы коэффициенты восстановления нормальной и касательной скоростей ее центра майе а„ = —v^/vpi и «г = y-pï/upi равны экспериментальным значениям (в диссертации использовались экспериментальные данные В.А. Дашкова (см. рис. 2). При постоянных (рапных неким средним значениям за время удара) величинах /„, а н х получено аналитическое решение задачи, которое даст Up2, Vp2 и wP2. В работе исследуется зависимость решения от параметров модели а и х- Анализ полученного решения приводит к понятию критического угла падения Pt (при ftt > Р* взаимодействие частицы с преградой происходит без скольжения в пятне контакта, при pi < р„ частица может проскальзывать). Для

л!«,) _ /г dt тг

/т = -Х/пК + ШрГр)

'р'РЪ

обоих случае!! получены простые формулы, которые для ир2 и шр2 имеют вид: ' ир1аг + wpirp(ar - 1), < 0,,

пР2 = 2

"pi ir ~ тт.-—wpirp' 0*,

2 + 5 cos tt;

Wp2

I + n . g 1^pb Pi >P-

r r, , с "

I, 7-p 2 + 5 cos a; Здесь (У[ - предельное значение угла а, соответствующее х оо (отсутствие проскальзывания частицы относительно преграды в пятне контакта) Подробные эвристические рассуждения и выкладки приведены в [10].

В остальных трех параграфах главы 5 приводятся и анализируются результаты численных расчетов течения дисперсной фазы около лобовой поверхности тел различной формы, а также в решетке аэродинамических профилей при отскоке частиц.

Типичные картины траекторий частиц в потенциальном поле точения несжимаемого газа около кругового цилиндра и соответствующие поля концентрации примеси, полученные из уравнения неразрывности для дисперсной фазы, как описано в главе 2, показаны на рис 8 (слева для частиц, радиус которые незначительно превышает критический, справа для частиц, радиус которых в 10 раз больше) Видно, что в поле течения происходят множественные пересечения и сгущения траекторий частиц. В результате возникают сингулярные поверхности ("складки" АЛ и СС, кауйтики 13D и DD па рн< 8, /), па которых концентрация дисперсной фазы стремится к бесконечности Возникновение таких особенностей является характерной чертой течения /¡сгагюлкноаутпр.лыюй примеси в рассматриваемом классе задач, и здесь модель течения, основанная па полном подходе Лагранжа (см главу 2), позволяет в очень высокой точностью получить поле концентрации дисперсной фазы, в том числе конфигурацию сингулярных поверхностей и распределение концентрации в областях с большими градиентами. В работе выполнено исследование до- и сверхзвукового обтекания цилиндра и сферы, сверхзвукового обтекания клина и конуса. Установлена существенная роль силы Магнуса для отраженных частиц при небольших угла падения 0\ Рассмотрены различные материалы тел. Описаны особенности распределения примеси и дано объяснение ее поведения.

Иесмедование обтекания неподвижной плоской решетки аэродинамических профилей обнаружило существенное перераспределение примеси в самой решетке и за пей: в течении возникают области свободные от частиц, а также жгуты частиц, которые при последующих столкновениях с поверхностями аэродинамического тракта могут представлять серьезную опасность с

*

4

1м 0 1м О

Рис 8 Картины траекторий частиц, (вверху) и соответствующие им ноля концентрации примеси (ннту) Уоо = 100 м/с; течение несущего таза потенциальное, (г>) и (/5) - чнгло С1 оксд БЬк 0,013, (а) и (г) - БЬк = 51,3.

Рис. 0 Картина распределения монодисперсных (слева) и полидисперсных (справа) частиц, отраженных от шероховатой поверхности клина. <7оо(гр) функция распределения массовой концентрации частиц по их размерам в натекающем потоке

точки зрения их эрозионного разрушения. Показано, как с увеличением раз-мора частиц происходит взаимодействие через дисперсную фазу не только соседних, но и удаленных профилей в решетке,

Получены первые результаты по влиянию рассеяния частиц при отражении от шероховатой поверхности па дальнейшее движение примеси вниз по потоку. На рис. 9 показаны мгновенные картины отраженных моно- и тюли-дисперсиых частиц с логарифмически-нормальным законом распределения по размерам в натекающем потоке при обтекании клина с шероховатой поверхностью (профиль шероховатости взят из эксперимента и соответствует абразивной эрозии). Найдено, что и шероховатость клипа, и полидисперс-пость примеси существенно влияют на распределение отраженных частиц в потоке вниз по течению.

Шестая глава посвящена исследованию течений газовзвеси около тел с учетом столкновений твердых дисперсных частиц между собой.

В терминах одночастичной функции распределения сформулирована кинетическая модель слабоконцснтрированной дисперсной примеси из не абсолютно упруго сталкивающихся твердых сферических частиц, движущихся в несущем газе. Как показано в главе 1, учет столкновений падающих и отраженных частиц в задаче об обтекании затупленного тела газовзвесыо без одновременного учета обратного влияния примеси па течение газовой фазы является фишчески корректным в довольно широком диапазоне концентрации примеси в натекающем потоке (при ароо ~ 10~G -f 10~5 для рассмотренных далее параметрах течения) Математическая модель "столкновительно-ю" га «г частиц, с одной стороны, основана на допущениях, близких к допущениям кинетической теории разреженного газа (учитываются только парные столкновения, параметры сталкивающихся частиц не коррелировать и tu ), а с другой, в ней рассматриваются не абсолютно упругие столкновения между частицами, которые движутся поступательно и вращаются в {¡¡oiiotiov среде (в несущем газе), обмениваясь с ней импульсом и энергией. Рас* магриваемая система дисперсных частиц является открытой, и ее динамика сопровождается уменьшением кинетической энергии поступательного и вращательного движений частиц, что качественно отличается от поведения разреженного газа из бесструктурных молекул (которые иногда также моделируются твердыми шарами). Состояние дисперсной примеси в момент времени ¡ в фазовом пространстве (r,vp, ti>p,Tp,rp) (г - радиус-вектор, vp,

и Т'р поступательная и вращательная скорости и температура частицы) описывается нормированной па счетную концентрацию частиц функцией распределения /1 = /(х 1,У) (/(х),£)п!хi число частиц в элементарном объеме f/i'i c/Vpt du)р! ei7pi cb'pi и окрестности точки xj = (n, vpl) Wpi,r/pbT'pi) фазового пространства). При принятых допущениях динамика примеси описывается

кинетическим уравнением больцмановского типа [21]

дт+к'(V|,l/l) + ' + ¿' (ltfl)+ щ; {^pfi)=

сх>

^ j d2v¿ d,rv2 J - h f-ij |gi2 • ni2¡ sin X12 dxv¿ de 12 dy2,

(! g|2 I112<0

где q[tl - тепловой поток к частице, du = rpl -)- грг, П12 - единичный вектор, направленный от центра первой частицы к центру второй, у = (vp,wp, Тр), gi2 = vp2 — vp1, остальные обозначения описаны ранее или общепринятые. Модель столкновения пары частиц включает уравнения импульса и момента импульса, а также соотношения, связывающие нормальную и касательную относительные скорости точки контакта через коэффициенты восстановления ари и apí, как это предложено в книге А А. Шрайбера, В Н. Милютина и В П Яцепко (1980) При этом величина J в интеграле столкновений в правой части уравнения равна J = ipnap(. Коэффициенты а[т и nv, являются параметрами модели Величины этих коэффициентов считались постоянными. IIa начальном этане расчетов исследовалось их влияние на численные результаты В дальнейшем при параметрических исследованиях они были приняты равными соответственно 0,5 и 0,9. Для кинетического уравнения примеси по аналогии с задачами аэродинамики разреженного газа сформулированы граничные условия в задаче обтекания тела однородным потоком газовзвеси.

Гидродинамические параметры "газа" частиц (макропараметры дисперсной фазы) (Ф) выражаются через параметры одной частицы Ф = Ф(гх, уь гр1) и функцию распределения /(ri,yi,rpi,£) обычным образом

00

(Ф)(г,г)= J drvx У Ф(г,У1,Гр])/(г|у1,Гр11<)с/у1 . о

С увеличением концентрации примеси в натекающем потоке (при cvpoo > 10-s) начинает сказываться обратное влияние примеси на течение несущего газа Для описания такого рода течений в работе предложена континуальпо-кннетичеекпя модель газовзвеси с одновременным учетом столкновений между частицами и обратного влияния примеси на течение несущей среды. Эта м одел Ii включает в себя приведенное выше кинетическое уравнение для "raía" частиц и уравнения движения газовой фазы как сплошной среды (уравнения Эй пера пли уравнения Нанье Стокса), в которые добавлены источинко-выо члены, описывающие воздействие примеси. Предполагается, что силовое и тепловое воздействие примеси на несущий газ аддитивно по частицам Очевидно, такая модель справедлива только для достаточно разреженной среды частиц

I10 Картины распределения частиц около лобовой поверхности цилиндра при ранжчиой объемной концентрации примеси ароо в непочмушенпом потоке 1'ос, - 100 м/с; течения несущего газа потенциал!,нос; число Стокса Stk 51,3, учитываются столкновения между частицами.

Рис I] Распределения обьемпой концентрации примеси cvp и числа Киулсенд и "1.1 te" частиц Кпр1, вдоль критической линии тока Кривые 1 4 соотвегс i вуют "■pne, — 3 Ю-1*, 10-г', 3 • Ю-5 н 10"4 Параметры течения как па рис 10

Рис 12 Картины распределения частиц (а), (о) и линии тока несущего ra,ia (fi), (г) около цилиндра при различной объемной концентрации примеси cvpoo Параметры пеношущрнпого натекающего потока как на рис. 10 (Stk = 51,3), учитываются <"то'п<попепия между частицами и их обратное гцияпис на течение пиоиоП фа)ы

На основе указанных моделей были выполнены расчеты течений дисперсной и газовой фаз около тел. Поля макропараметров дисперсной фазы вычис -лямнсь методом прямого статистического моделирования (алгоритм и программа расчета были разработаны Л.П. Волковым). В диссертации для ил-шострации роли столкновений между частицами в рассматриваемом классе задач и для сравнения с априорными оценками пороговых значений концентрации (глава 1) приведены и анализируются картины распределения моделирующих частиц и поля параметров дисперсной и несущей фаз при обтекании цилиндра. Некоторые наиболее выразительные результаты представлены па рис 10-12). На рис. 10 поле течения несущего газа потенциальное (как и на рис. 8), и обратное влияние частиц не учитывается. Соответствующие распределения параметров примеси вдоль критической линии тока приведены па рис 11 Видно, что с увеличением ароо столкновения между частицами начинают играть заметную роль, начиная с ароо « 3 • 10~6 (штриховая линия на рис соответствует бесетолкновительпому движению частиц)

2G

и затем сильно видоизменяют картину течения примеси и ее распределение около тела. Изменяется также и режим течения "газа" частиц вблизи точки торможения от практически "свободно-молекулярного" при ароо — 3 ■ 10~б до режима сплошной среды при ароо = Ю-4 (см. рис 11, б). На рис. 12 приведены результаты расчетов с учетом обратного влияния частиц на несущий газ, течение которого описывалось модифицированными уравнениями Эйлера На рис. 12, б картина линий тока практически совпадает с таковой в случае1 потенциального обтекания цилиндра несжимаемым газом. Видно, что влияние примеси па газовую фазу начинает сказываться при ароо > 3 • 10~5, те при существенно ббльшей (па десятичный порядок) концентрации, чем та, при которой становятся существенными столкновения между частицами (ср. с рис 10) Этот результат полностью подтверждает приближенные априорные оценки, полученные в главе 1. В работе анализируются причины, приводящие к инерционному отрыву потока газа (рис. 12, г) и перестройке течения. Исследовано также влияние столкновений между частицами и воздействие примеси па поля параметров дисперсной и газовой фаз в вязком уд,арном слое при сверхзвуковом обтекании цилиндра. Установлены границы применимости модели бссстолкновителыгаго "газа" частиц и модели двухфазного течения без учета влияния примеси па течение несущей среды.

С Заключении сформулированы наиболее важные выводы, а также перечислены направления дальнейших исследований, которые открываются в сия ¡и с разработанными в диссертации подходами и моделями и достигнутым пониманием причин и особенностей того или иного поведения примеси.

3. Основные результаты работы

1. Дана классификация возможных картин течения моподисперспой примеси около лобовой поверхности тел, включающая в себя 5 основных типом течения (см. рис 1). Реализация того или иного типа зависит от четырех независимых факторов: концентрации частиц в набегающем потоке, их инерционности, относительного размера и закона взаимодействия с поверхностью Для топкодисперспых частиц дана дополнительная классификация картин течения в иеизотермическом пограничном слое около точки торможения. Она включает 4 различных типа картин, которые зависят от температурного режима поверхности (см рис 5). Найдены конфигурации областей существования каждого из четырех типов в плоскости определяющих параметров "температурный фактор-относительный размер частиц".

2. Для затупленных тел получены приближенные априорные оценки для концентрации частиц в набегающем потоке в терминах других определяющих параметров задачи, при которой справедливы допущения, принципиально важные с точки зрения выбора математической модели двухфазного

течения, а именно об отсутствии столкновений между падающими и отраженными частицами и об отсутствии обратного влияния примеси на течение несущего газа Эти оценки подтверждены прямым численным моделированием течений запыленного газа с учетом столкновений и обратного влияния ч.ктиц Полностью подтвержден тезис о том, что в задачах обтекания затупленных тел газовзвесыо с грубодисперсными частицами при их отскоке от лобовой поверхности учет обратного влияния примеси па несущий газ без одновременного учета столкновений между частицами физически некорректен.

3. Предложена математическая модель силового воздействия несущего газа на тонкодисперсную сферическую частицу в несжимаемом и сжимаемом существенно пеизотермическом ламинарном пограничном слое па обтекаемой поверхности. Модель включает аэродинамическую силу, подъемную силу Сэфмапа, силу из-за "эффекта стенки" и термофоретичсскую силу. На основе этой модели выполнено систематическое численное исследование течения примеси в сжимаемом и несжимаемом пограничном слое на сфере. С использованием предложеного метода расчета плотности массового потока инерционно осаждающейся полидисперсной примеси и функции ее распределения по фракциям на лобовой поверхности затупленного тела изучены характеристики осаждения частиц в критической точке сферы и влияние на эти характеристики пограпелойных эффектов.

4. Предложена новая полуэмпиричсская модель ударного взаимодействия твердой дисперсной частицы с поверхностью обтекаемого тела. Эта модель основана на законах механики и на опытных данных по коэффициентам восстановлении нормальной и касательной скоростей центра масс частицы при ее отскоке в диапазоне умеренных и больших (до 500 м/с) скоростей соударения с поверхностью и в отличие от других известных полуэмпирических моделей не приводит к парадоксу, состоящему в физически невозможной перезакрутке частиц в момент отскока.

5. Развита численная модель, реализующая полный подход Лаграпжа к описанию регулярного движения бссстолкновительпой примеси при наличии отражения частиц от поверхности и пересечений их траекторий Особенностью этого подхода является прямое использование в расчетах уравнения неразрывности для дисперсной фазы, рассматриваемой' как континуум, в координатах Лаграпжа. Дан методический анализ выбора лаграпжевых координат в задаче установившегося обтекания тела запыленным газом. Для вычисления компонент якобиана эйлерово-лагранжевого преобразования координат, входящего в уравнение неразрывности, в работе использован как известный метод Осипцова, так и предложенный конечно-разностный метод, основанный на расисте близких траекторий частиц. Данная численная модель в отличие от традиционных лагранжевых моделей, в которых уравнение неразрывности не вводится в рассмотрение, позволяет получитт. поле концеп-

грации примеси с очень высокой точностью даже в случае возникновения сингулярных поверхностей в "газе" частиц, па которых концентрация примеси стремится к бесконечности Эти поверхности являются либо каустиками, либо геометрическим местом точек "схлопынаиия" элементарных трубок тока 1! континууме дисперсной фазы. Возникновение таких особенностей является характерной чертой течения бесстолкновительной примеси.

0. Па основе систематического численного исследования структуры течения бесстолкновительной монодисперспой примеси около тел простой формы (сфера, цилиндр, конус, клин) при неупругом многократном отражении частиц от поверхности проведен анализ особенностей в поле концентрации примеси. Установлена существенная роль силы Магнуса, возникающей вследствие сильной закрутки частиц при отскоке от поверхности. Выявлены и описаны многочисленные сингулярные особенности в поле течения дисшфсноИ фазы Выполненное исследование обтекания плоской решетки аэродинамических профилей потоком газовзвеси показало, что в самой решетке и за ней могут возникать области, свободные от частиц, а также происходить аэродинамическая фокусировка частиц с образованием пелён, которые при последующих столкновениях с поверхностями аэродинамического тракта могут представлять значительную опасность с точки зрения эрозионного воздействия. Получены первые результаты о влиянии шероховатости обтекаемой поверхности па поведение примеси. Оказалось, что рассеяние частиц при отскоке от поверхности, шероховатость которой вызвана абразивной эрозией, можеч существенно изменить картину течения грубодисперсной примеси около поверхности и, как следствие, ее поведение вниз по потоку.

7. Сформулирована математическая модель двухфазного течения газа с твердыми частицами, в которой одновременно учитываются хаотическое движение частиц и столкновения между ними, а также их обратное воздействие; па течение1 несущей среды. Течение газовой фазы описывается модифицированными уравнениями сплошной среды (уравнениями Эйлера или Павье Стокса) с источпикоными членами, моделирующими воздействие дисперсной фазы, а движение примеси - столкновительным кинетическим уравнением больцмаповского типа для одночастичпой функции распределения частиц в фаювом пространстве, включающем в себя радиус-вектор частицы, ее посту -нагельную н вращательную скорости и температуру. По сравнению с известными работами других исследователей новым здесь является интеграл столкновений, в котором учитываются нсупругис парные столкновения между частицами Эти столкновения описываются уравнениями импульса и момента импульса для каждой из сталкивающихся частиц с введением двух коэффициентов восстановления для нормальной и касательной скоростей частиц в точке контакта. В результате анализа численных результатов, полученных на основе этой модели, достигнуто понимание того, как столкновения влия-

ют на перестройку картины течения примеси и поле течения несущего газа с увеличением концентрации частиц в натекающем потоке.

4. Список основных публикаций по теме диссертации

|1|. Циркуиов 10 M Влияние вязкого пограничного слоя на осаждение частиц при обтекании сферы газовзвесыо // Известия АН СССР, Механика жидкости и газа, 1982, № 1, с, 59-66

[2]. Циркуиов Ю М. Об аппроксимации полей параметров вязкой несущей среды при исследовании обтекания затупленного тела дисперсной смесыо с большими числами Рейпольдса // Динамика неоднородных и сжимаемых сред: Межвузовский сб. "Газодинамика и теплообмен", вып. 8 - JI.. Изд-во Лешнн'р. ун-та, 1984, с. 11-20.

[3|. Циркуиов Ю.М. Инерционное осаждение полидиспсрсиых частиц на затупленном теле. // Межвузовский сб. "Специальные вопросы аэрогазодипа-мики летательных аппаратов", вып. 173. - Л.: Изд-во ЛИАП, 1984, с.111-119

|4| Циркуиов Ю.М Исследование инерционного осаждения полидисперг-ных частиц в критической точке сферы // Журнал прикладной механики и технической физики, 1985, № 5, с. 94-102.

|5| Циркуиов Ю.М., Тарасова Н.В. О стратификации полидисперсиой прпмееи в пограничном слое на нагретой, поверхности вблизи критической точки // Сб. "Моделирование в механике", 1990 г., т. 4(21), № 2, с. 141 148 - Новосибирск- Изд-во ВЦ и ИТПМ СО АН СССР.

|G| Циркуиов Ю.М., Тарасова Н.В. Влияние температуры преграды на осаждение тонкодисперсной примеси из сверхзвукового потока газовзвсси // Теплофизика высоких температур, 1992, № 6, с. 1154-1162.

[7] Циркунов Ю.М. Моделирование течений примеси в задачах двухфазной аэродинамики. Эффекты пограничного слоя // Сб. "Моделирование в механике". 1993, т. 7 (24), № 2, с. 151-193. - Новосибирск. Изд-во ИТПМ СО РАН.

[8], Tsirkunov Yu.M., Tarasova N.V., Volkov A.N. Bonn (buy layer effect« in the dusty gas flow over a blunt body // Proc. EUROMECH Colloqnium-319 Pioc. Estonian Acad. Sei. Phys. Math., 1994, V.43, No. 4, pp. 250 262.

|9| Циркунов К).M., Тарасова H.В., Волков А.H. Влияние температурного режима поверхности на динамику и массоперсиос примеси при обтекании затупленного тела газовзвесыо // Дисперсные потоки и пористые среды Труды Первой Российской пац конф. по теплообмену. - М.: Изд-во МЭИ, 1994, т 7, с. 222 226

|10|. Циркунов Ю.М., Панфилом C.B., Клычпиков М.Б. Полуэмпирическая модель ударного взаимодействия дисперсной частицы примеси с поверхностью, обтекаемой потоком газовзвсси // Инженерно-физический журнал,

1994, т. 67, № 5-6, с. 379-386.

[11|. Циркунов Ю.М., Волков А.Н. Панфилов С.В. Движение твердых частиц примеси и эрозия поверхности при обтекании тел потоком слабокон-центрированиой газовзвеси. // Труды XIII сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды, С.-Петербург, 27 июня-3 июля 1995. -СПб: Изд-во СПб гос. ун-та, 1996, с. 109-110.

[12]. Циркунов Ю.М., Тарасова Н.В. Структура течения примеси в неизо-тсрмичсском газодисперсном ламинарном пограничном слое // Труды III Минского международного форума по тепломассообмену (20-24 мая 1990). Т. 5 "Теплообмен в дисперсных системах". - Минск: ИТМО им. А В.Лыкова АН Беларуси, 199G, с. 150-153.

[13| Volkov A.N., Tsirkunov Yn.M. Direct simulation Monte Carlo modelling of two-phase gas-solicl particle flows with inelastic particle-particle collisions // Pioc Third ECCOMAS Computational Fluid Dynamics Conference, 9-13 September 1996, Paris, France. - Wiley, 1996, pp. 662-668.

[14|. Волков A.H., Циркунов Ю.М Обтекание цилиндра газовзвееыо при шшични столкновений между твердыми частицами полидисперсной примеси // Сб. материалов Международной школы-семинара "Внутрикамерные процессы, трение и газовая динамика дисперсных систем", СПб, 30 июня-3 июля 1997 - СПб. Изд-во БГТУ, 1997, с. 97-100.

[15] Волков А.Н., Циркунов Ю.М. Кинетическая модель столкиовитель-ной примеси и ее применение для расчета течений запыленного газа // Труды XIV сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды, г. Жуковский Моек обл , 17-24 августа 1997. - М.: Изд-во Моск. физико-технического ин-та, 1998, с. 20-32.

¡16]. Tsirkunov Yu.M., Panfilov S.V. Modelling of particle-wall interaction in two-phase flows at moderate and high particle impact velocity // Proc. Third International Confeience on Multiphase Flow, 8-12 June 1998, Lyon, France. -CD-ROM Pioc. ICMF'98, 1998, paper No. 093. 8 p.

[17|. Volkov A.N., Tsirkunov Yu.M. Monte Carlo modelling of dusty gas flows ovet bodies // Pioc. Fourth European Computational Fluid Dynamics Conference (Eds.- K.D Papailiou, D.Tsahalis, J.Periaux, Ch.Hirsch, M.Pandolfi), 7-11 September 1998, Athens, Greece. Vol. 1, part I. - Chichester: Wiley, 1998, pp. 169-174.

[18]. Циркунов Ю.М., Тарасова Н.В. Исследование течения в пограничном слое на горячей поверхности затупленного тела, обтекаемого потоком слабоконцентрированной газовзвеси // Труды Второй Российской национальной конференции по теплообмену. - Т. 5. Двухфазные течения. Дисперсные потоки и пористые среды. - М.: Изд-во МЭИ, 1998, с. 303-306.

¡19]. Циркунов Ю.М., Панфилов С.В., Лисун Н.В. Рассеянно дисперсных частиц примеси при отражении от поверхности тела, обтекаемого двухфазным потоком // Вторые Поляховские чтения: Избранные труды. - СПб, Изд-во НИИ Химии С.-Петербургского ун-та, 2000, с. 208-226.

[20| Сухоруков А.Л., Циркунов Ю.М. Численное моделирование обтекания решетки профилей двухфазным потоком газа с твердыми частицами // Сб. материалов III Международной школы-семинара "Внутрикамерпыс процессы, горение и газовая динамика дисперсных систем", Санкт-Петербург, 2G-30 июня 2000. - Ижевск: Изд-во Ип-та прикладной механики УрО РАН, 2000, с 190-192.

¡21]. Волков А.Н., Циркунов Ю.М. Кинетическая модель столкновитель-пой примеси в запыленном газе и ее применение к расчету обтекания тел // Известия РАН, Механика жидкости и газа, 2000, № 3, с. 81-97.

[22j Tarasova N.V., Tsirkunov Yu.M. Full Lagrangian approach for numeiical modelling of collisionless particle-phase flow field in the non-isothermal two-phase boundary layer // Proc. 4th Summer Conf. "Numerical Modelling in Continuum Mechaincs"(Eds.: M.Feistauer, R.Rannachcr, K.Kozel), 31 July-3 August 2000, Prague, Czech Republic. - Prague: Matfyzpress, Charles University, 2001, pp. 283-294.

|23|. Volkov A.N., Tsirkunov Yu.M. Computational simulation of viscous two-phase Hows of a dense gas-particle mixture over bodies // Evuopean Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering, ECCOMAS'2000, 11-14 September 2000, Barcelona, Spain. - CD-ROM Proc. "ECCOMAS'2000", 2000, paper No. 309, 20 p.

[24j. Tsirkunov Yu.M. Gas-particle flows around bodies - key problems, modeling and numerical analysis // Pioc Fourth International Conference on Multiphase Flow (Ed • E Michaelides), May 27-June 1, 2002, New Orleans, LA, USA. - CD-ROM Pioe ICMF'2001, paper No. 609, 31 p.

|25j Volkov A N., Tsirkunov Yu M. Numerical investigation of the shock layer structuic and heat transfer at the surface of a body in a supeisonic dusty gas flow // Pioc. Fifth World Congress on Computational Mechanics (Eds : H.A. Mang, F G. Rainmerstorfcr, J. Eberhardsteiner), July 7-12, 2002, Vienna, Austiia, paper No. 80339. 11 p.

|2G| Volkov A.N., Tsirkunov Yu.M. CFD / Monte Carlo simulation of collision-dominated gas-particle flows over bodies // ASME 2002 Fluids Engineering Division Summer Meeting, Montreal, Quebec, Canada, July 14-18, 2002. - CD-ROM Proc. ASME FEDSM'02, paper No. 31222, 14 p.

[27]. Tsirkunov Yu.M., Volkov A N., Taiasova N V Full Lagrangian approach to the calculation of dilute dispersed phase flows: advantages and applications // ASME 2002 Fluids Engineering Division Summer Meeting, Montreal, Quebec, Canada, July 14-18, 2002. - CD-ROM Proc ASME FEDSM'02, papci No. 31224, 14 p.

[28] Волков A.H , Циркунов Ю M., Семенов В.В Влияние моно- и полидисперсной примеси па течение и теплообмен при сверхзвуковом обтекании ■гола потоком газовзвеси // Математическое моделирование, 2004, т. 16, № 7, с 6-12.

Подписано в печать 12.09.05 г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная Усл. печ. л. 1,86. Тираж 100 экз. Заказ Л"8 26.

ЦОП типографии Издательства СПбГУ. 199061, Санкт-Петербург, Средний пр., 41

05 - 2 2 6 13

РНБ Русский фонд

2006-4 28001

ОСНОВНЫЕ УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.

• ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ПОТОКОМ СЛАБОКОНЦЕНТРИРОВАННОЙ ГАЗОВЗВЕСИ: ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ.

1.1. Инженерные и физические проблемы двухфазной аэродинамики.

1.2. Классификация и математическое моделирование основных типов течения примеси около лобовой поверхности затупленного тела.

Ф 1.3. Основные допущения механики газовзвесей и проблема адекватности.

1.4. Моделирование отскока твердых частиц примеси от поверхности

У 1.5. Выводы по главе 1.

2. ЧИСЛЕННАЯ МОДЕЛЬ РЕГУЛЯРНОГО ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ МОНОДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ.

2.1. Полный лагранжев подход.

2.2. Модели силового взаимодействия фаз.

2.3. Методы численного интегрирования уравнений движения примеси. ф 2.4. Выводы по главе 2.

3. ЭФФЕКТЫ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ В ЗАДАЧАХ ДВУХФАЗНОЙ АЭРОДИНАМИКИ.

3.1. Построение полей параметров вязкого несущего газа около тел при больших числах Рейнольдса.

3.2. Особенности обтекания частиц примеси в пограничном слое. Модель силового воздействия несущего газа на дисперсную частицу.

3.3. Исследование течения примеси в пограничном слое на затупленном теле.

Ф 3.4. Классификация кинематических картин течения тонкодисперсной примеси в неизотермическом пограничном слое около точки торможения.

3.5. Выводы по главе 3.

4. РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ОСАЖДЕНИЯ ПРИМЕСИ НА ЛОБОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛ.

4.1. Метод расчета плотности массового потока полидисперсной примеси и функции его распределения по фракциям в произвольной точке лобовой поверхности.

4.2. Численное исследование характеристик осаждения монодисперсной примеси.

4.3. Численное исследование характеристик осаждения полидисперсной примеси в критической точке

4.4. Выводы по главе 4.

5. БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПРИМЕСИ ОКОЛО ТЕЛ ПРИ ОТСКОКЕ (ОТРАЖЕНИИ) ЧАСТИЦ ОТ ПОВЕРХНОСТИ. ф 5.1. Новая полуэмпирическая модель ударного взаимодействия твердых частиц с поверхностью тела.

5.2. Регулярное течение монодисперсной примеси около тел.

5.3. Интерференция аэродинамических профилей решетки через дисперсную фазу.

5.4. Влияние полидисперсности примеси и рассеяния частиц при их отскоке от шероховатой поверхности на течение дисперсной фазы.

5.5. Выводы по главе 5.

6. ДВИЖЕНИЕ ПРИМЕСИ ОКОЛО ТЕЛ ПРИ СТОЛКНОВЕНИЯХ МЕЖДУ ЧАСТИЦАМИ. ф 6.1. Кинетическая модель столкновительного "газа" частиц и метод Монте-Карло.

6.2. Анализ результатов численного исследования течения столкновительной примеси около цилиндра.

6.3. Влияние примеси на течение несущего газа.

6.4. Выводы по главе 6.

Газодинамика двухфазных течений с твердыми дисперсными частицами на протяжении последних четырех десятилетий является одним из быстро развивающихся направлений механики гетерогенных сред. Это связано, прежде всего, с многочисленными инженерными приложениями, а в последнее время и с задачами экологии. Однако внимание к данному направлению, помимо прикладных аспектов, обусловлено и чисто научным интересом исследователей к физико-механическим явлениям при движении газовзвесей и к свойствам таких двухфазных сред в целом. Определенным подтверждением важности развития фундаментальных аспектов течений газовзвесей является систематическая поддержка этого направления Российским фондом фундаментальных исследований (более 15 проектов), а также другими отечественными и межународными фондами и организациями (так, из семи научных проектов по гидромеханике, поддержанных ШТАЯ в 1993-1995 гг., два относились к газодинамике двухфазных сред [249]). Одним из важнейших классов двухфазных течений является течение газа с примесью твердых частиц около ограничивающих поверхностей и, в частности, обтекание тел и преград.

Интерес к проблеме обтекания тел потоком газа, содержащего дисперсные частицы, возник в конце 40-х - начале 50-х годов. Первоначально он был вызван задачами фильтрации примесей, отбора проб из запыленных потоков для их дисперсионного анализа, с различными аспектами динамики атмосферных аэрозолей (коагуляция частиц и др.).

Позже интерес к двухфазной аэродинамике появился в авиации в связи с обледенением самолетов и газокапельной эрозией винтов при полете в облаках и туманах.

В дальнейшем актуальность этого направления поддерживалась развитием аэрокосмической техники. В начале это были преимущественно задачи о течении двухфазных сред в соплах ракетных двигателей (введение в теорию таких течений и обширная библиография имеется, например, в [167]). Несколько позже появился интерес и к задачам внешнего обтекания тел, прежде всего, в связи с выявлением в экспериментах резкого увеличения теплового потока в передней точке затупленных головных частей, а также в связи с возникновением нового для аэродинамики явления абразивного разрушения поверхности тел при полете в запыленной атмосфере. В самое последнее время этот интерес был связан с международной Европейской программой полета на Марс, в которой принимала участие и Россия.

В настоящее время изучение динамики потоков газовзвесей около препятствий и их взаимодействия с обтекаемыми поверхностями представляет большой интерес для задач аэродинамики летательных аппаратов при их движении в запыленной атмосфере, для проектирования 1 проточных трактов турбомашин и ракетных двигателей, для совершенствования технологий нанесения покрытий и в других областях современной техники и технологий. С точки зрения инженерных приложений основными вопросами являются определение силового, теплового и эрозионного воздействия двухфазного потока на обтекаемые поверхности, а также определение массопереноса дисперсной фазы к поверхности. В ряде задач необходимо знать состояние дисперсных частиц после отра

1 жения от поверхности. Наконец, значительный интерес представляют вопросы управления движением примеси.

Технически грамотное решение перечисленных выше инженерных задач, очевидно, требует правильных физических представлений ® • о микромасштабных процессах в газовзвесях (силовом взаимодействии и тепло- и массообмене между несущим газом и отдельной частицей, гидродинамическом взаимодействии и столкновениях между части-^ цами),

• о глобальном поведении компонент двухфазной смеси в возмущенной области течения (в частности, о степени влияния фаз друг на друга, роли межчастичных столкновений, возможном возникновении тонких слоев с очень высокой концентрацией частиц в первоначально сильно разреженной среде частиц, роли эффектов пограничного слоя, влиянии отраженных частиц на картину течения и поля параметров дисперсной фазы, влиянии степени полидисперсности примеси на ее течение), а также об одиночном взаимодействии частицы и коллективных эффектах взаимодействия примеси с поверхностью (поглощаются частицы или отражаются, образуется ли пристеночная пелена в случае твердых частиц или жидкая пленка в случае капель, от чего зависят параметры частиц после их отскока, как изменяется поведение материала мишени и структура ее поверхности при множественных ударах частиц).

По своим физико-механическим свойствам газовзвесь, в отличие от чистого газа, является существенно более сложным объектом. С точки зрения математических моделей этот объект имеет большее число определяющих параметров и, значит, большее число степеней свободы. Ф В задачах аэродинамики, в частности, это проявляется в разнообразии возможных картин течения примеси около лобовой поверхности тел. Реализация той или иной картины зависит от многих факторов.

Основным предметом данного диссертационного исследования является динамика и свойства течений примеси твердых частиц около лобовой поверхности тел при обтекании их потоком слабоконцентрированной газовзвеси, когда собственным объемом примеси в двухфазной смеси можно пренебречь.

При изучении обтекания тел или преград с точки зрения механики условно можно выделить два аспекта:

• газодинамику двухфазной смеси в возмущенной области течения и

• взаимодействие дисперсных частиц с обтекаемой поверхностью при столкновениях.

I Конечно, во многих ситуациях эти аспекты тесно взаимосвязаны: результат взаимодействия частиц с поверхностью зависит от поведения примеси в потоке, которое в свою очередь определяется тем, что происходит с частицами при ударе о поверхность. Ф Второй из названных аспектов в настоящее время теоретически изучен сравнительно слабо, и хотя имеется ряд физических и математических моделей в той или иной мере опирающихся на опытные данные, надежные результаты получены здесь в основном экспериментальным пу-I тем. Подробный критический анализ известных моделей удара твердой частицы о поверхность тела или преграды дан ниже в п. 1.4. Газодинамическая же часть проблемы обтекания тел исследовалась теоретически многими авторами.

Первые теоретические представления об обтекании тел потоком газа с примесью частиц, а также результаты аналитических и расчетных исследований движения частиц в потенциальных полях течений несу-'ф щей жидкости около цилиндра и сферы были обобщены в монографии

Н.А.Фукса [183] (1955). Несколько позже на ту же тему вышла обстоятельная монография Л.М.Левина [ИЗ] (1961), а еще десятиление спустя книга В.М.Волощука [58] (1971), в которой рассматривались также многие "тонкие" вопросы мелкомасштабного движения вязкой несущей среды около частиц примеси. В последующей совместной монографии * В.М.Волощука и Ю.С.Седунова [59] (1975) эти вопросы, а также гидродинамическое взаимодействие частиц друг с другом и с твердыми поверхностями при малых числах Рейнольдса (при Rep < 1) были проанализированы столь подробно, что она явилась не только прекрасным дополнением к известной книге Хаппеля и Бреннера [184], но по обстоятельности изложения некоторых вопросов превосходила даже второе издание последней, вышедшее в 1973 году.

Систематическое теоретическое и экспериментальное исследование внешних задач двухфазной газодинамики началось в Советском Союзе с конца 70-х годов (в США с начала 70-х). Наиболее известные по этой тематике исследовательские группы и отдельные ученые работали в Институте механики Московского государственного университета им. ф М.В.Ломоносова (В.П.Стулов, А.Н.Осипцов, Е.Г.Шапиро и др. [170, 137, 139, 141, 91, 260, 264, 261, 262, 263, 86]; М.М.Гилинский, В.Н.Толстов [61, 62]; В.В.Лохин), Центральном институте авиационного моторостроения им. П.И.Баранова (А.Н.Крайко, С.М.Сулайманова [107, 108]), Центральном аэрогидродинамическом институте им. Н.Е.Жуковского (А.Л.Стасенко [165, 166]; Э.Б.Василевский [40, 292]; Е.С.Асмолов [12> 16]), Ленинградском (Санкт-Петербургском) государственном университете (С.К.Матвеев, Г.В.Кочерыженков, Л.П.Сеюкова, Н.Ж.Джайчибеков [123, 118, 161, 78, 79, 80, 162, 77, 124, 121]; Б.А.Баланин, В.А.Лашков [19, 20]), Физико-техническом институте им. А.Ф.Иоффе АН СССР (ныне ф РАН) (Ю.П.Лунькин, В.Ф.Мымрин, Ю.Е.Горбачев [115, 116, 71, 68, 69, 70]; Ю.П. Головачев, A.A. Шмидт, М.С.Рамм, В.Л.Белоусов [65, 66, 153, 154, 155, 152, 24, 26, 27, 25, 225]; И.А. Духовский, П.И. Ковалев [84, 85]), Институте высоких температур АН СССР (РАН) (Ю.В.Полежаев, I Д.С.Михатулин, А.Ю.Вараксин [143, 144, 145,146, 38]; Л.А.Домбровский, Э.П. Юкина [82, 83]), Томском государственном университете (А.М.Гришин, В.М.Агранат, А.В.Милованова, В.И.Забарин [73, 4, 5, 6, 92]; В.Е. Абалтусов, И.К.Жарова, Т.Н. Немова [1-3]), Институте теоретической и прикладной механики СО АН СССР (РАН) (В.М.Фомин, А.Н.Папырин, С.П.Киселев, А.П.Трунев [101, 102, 176, 177, 178, 179, 219, 220]), ЦНИ-ИМаш (А.В.Васин, В.Н.Шебеко и др. [42, 43, 213]) и Балтийском государственном техническом университете "Военмех" им. Д.Ф.Устинова (Ю.М.Циркунов, Н.В.Тарасова, А.Н.Волков, С.В.Панфилов - список из 42 публикаций приведен ниже).

К задачам двухфазной аэродинамики обращались Р.И.Нигматулин (Институт механики МГУ), Ю.М.Давыдов (Московский физико-технический институт и ВЦ АН СССР) и их аспиранты [75, 76, 87, 88], > А.П.Васильков [41], Ф.Е.Спокойный и З.Р.Горбис (Технологический институт холодильной промышленности, г. Одесса) [164], Л.И.Зак [95], Л.И.Каминская и Е.И.Соколов (БГТУ "Военмех" им. Д.Ф.Устинова) [99], В.А.Наумов (Институт гидромеханики АН Украинской ССР) [128-131], В.И.Тимошенко (Институт технической механики АН Украинской ССР) • [175].

Подробный анализ большинства из перечисленных работ, имеющих прямое отношение к настоящему исследованию, а также публикаций зарубежных авторов будет дан в обзорной главе 1 и в соответствующих параграфах диссертации.

Для описания течения слабоконцентрированной газовзвеси около тел и преград к настоящему времени предложен целый спектр математических моделей. Они различаются между собой способами описания динамики примеси, учетом или неучетом различных факторов, целевыми функциями и областями применимости.

Однако несмотря на значительные усилия предшественников, до работ автора диссертации и его учеников ряд важных вопросов фупдаментального характера в рассматриваемом классе течений оставался открытым. Среди них

• нахождение количественных оценок для определяющих параметров, когда влиянием примеси на течение газовой фазы можно пренебречь;

• определение пороговой величины концентрации примеси, начиная с которой столкновения между частицами играют существенную роль;

• создание математических и вычислительных моделей для описания

1 течений столкновительной среды частиц, изучение влияния столкновений между частицами на структуру течения примеси и несущего гпза;

• разработка модели ударного взаимодействия частицы с поверхностью тела при умеренных и больших скоростях удара (от нескольких десятков до нескольких сотен метров в секунду);

• моделирование рассеяния частиц при их отскоке от шероховатых поверхностей;

• численное моделирование регулярных течений бесстолкновитель-ной среды частиц с возникновением "складок" и "каустик" в "газе" частиц и выявление общих закономерностей поведения монодисперсной примеси в различных условиях ее течения;

• численное моделирование нерегулярных течений бесстолкнови-тельной примеси, когда частицы случайным образом рассеиваются при отскоке от шероховатой поверхности тел;

• роль полидисперсности частиц в формировании течения примеси;

• моделирование воздействия несущего газа на тонкодисперсные частицы в существенно неизотермическом пограничном слое на обтекаемой поверхности и роль погранслойных эффектов в задачах двухфазной аэродинамики.

Практически все названные вопросы являются предметом изучения в данной работе. Отмечу, что вопросы моделирования течений столк-новительной среды из твердых частиц были подробно изложены в кандидатской диссертации моего аспиранта А.Н.Волкова [44], и здесь рассматриваются сравнительно кратко с акцентом на анализ результатов более позднего и полного численного исследования, а также на модель двухфазного течения, в котором одновременно учитываются как столкновения между частицами, так и обратное влияние примеси на течение несущего газа. Вопросы, связанные с рассеянием частиц на шероховатых поверхностях и его влиянии на течение дисперсной фазы около тел, будут детально исследованы в диссертации моего ученика С.В.Панфилова, поэтому в данной работе они лишь затронуты.

Общая цель диссертационного исследования состояла в комплексном теоретическом и численном изучении поведения примеси при обтекании лобовой поверхности различных тел потоком слабоконцентрированной газовзвеси с твердыми дисперсными частицами.

Она включала в себя

• выявление, анализ и классификацию типов возможных картин течения монодисперсной примеси;

• развитие и создание математических и вычислительных моделей, описывающих как собственно динамику примеси в несущем газе, так и взаимодействие частиц с обтекаемой поверхностью;

• систематическое численное исследование движения примеси около различных тел, установление общих закономерностей и специфических особенностей;

• получение априорных оценок для границ областей применимости тех или иных допущений фундаментального и частного характера, их уточнение на основе численного исследования.

В первой главе проанализированы инженерные и физические проблемы двухфазной аэродинамики; предложена классификация типов картин течения примеси около лобовой поверхности тел; дан обзор существующих теоретических подходов и математических моделей для исследования задач обтекания тел потоком газа с примесью твердых частиц; выполнен анализ некоторых фундаментальных допущений механики газовзвесей, обычно принимаемых при рассмотрении данного класса течений, и получены оценки границ применимости важнейших из них, дан обзор моделей ударного взаимодействия частиц с поверхностью и показано, что все известные модели являются неудовлетворительными при умеренных и больших скоростях удара.

Во второй главе подробно описан полный лагранжев подход к описанию регулярного движения бесстолкновительной примеси около тел с учетом отражения твердых частиц от поверхности. Такой подход основан на том, что не только уравнения движения и теплообмена для отдельной ^ частицы, но и уравнение неразрывности для всего континуума частиц описываются в лагранжевых координатах. Обсуждаются способы введения лагранжевых координат для континуума частиц. Дан вывод уравнения неразрывности в лагранжевых переменных при использовании в физическом пространстве криволинейных ортогональных координат (такие координаты используются в последующих главах). Приведены аппрокси-мационные соотношения для коэффициента аэродинамического сопроти-1 вления отдельной частицы, коэффициента аэродинамического момента, возникающего при ее вращении относительно несущего газа, и коэффициента в выражении для поперечной силы Магнуса (эта сила становится существенной, если частица сильно закручивается, например, при от-ф скоке от поверхности). Рассмотрены методы численного интегрирования исходных дифференциальных уравнений с учетом того, что с уменьшением размера частиц появляется малый параметр при производных и система уравнений становится "жесткой". v

Третья глава посвящена исследованию так называемых погранслой-ных эффектов при движении примеси. Предложена и обоснована модель силового воздействия несущего газа на дисперсную частицу в несжимаемом и существенно неизотермическом сжимаемом пограничном слое на обтекаемой поверхности. Детально изучена структура течения примеси в неизотермическом пограничном слое около точки торможения, выде-( лены четыре качественно различных типа течения и найдена конфигурация областей существования каждого типа в плоскости определяющих параметров (температурный фактор - относительный размер частиц). Установлена роль погранслойных эффектов в формировании глобальной картины течения примеси около лобовой поверхности тела.

В четвертой главе рассматриваются характеристики инерционного осаждения полидисперсной примеси на лобовой поверхности гладкого затупленного тела. Предложен метод расчета суммарной плотности массового потока частиц в любой точке лобовой поверхности и функции его распределения по фракциям. Приведены результаты численного параметрического исследования для критической точки. Изучено влияние по® граничного слоя на параметры осаждения моно- и полидисперсной примеси.

В пятой главе предложена новая полуэмпирическая модель ударного взаимодействия твердой дисперсной частицы с поверхностью для умеренных и больших скоростей удара (до нескольких сотен метров в секунду) и с ее использованием выполнено систематическое численное исследование картин регулярного течения монодисперсной примеси. Построены поля концентрации примеси около различных тел (с учетом неупругого отражения частиц). Численная модель основана на полном лагран-жевом описании движения бесстолкновительной среды частиц, данном в главе 2. В результате анализа численных результатов выявлены особенности и установлены общие закономерности движения примеси в возмущенной области около лобовой поверхности затупленных и заостренных тел. Рассмотрена задача об интерференции аэродинамических профилей в решетке через дисперсную фазу. Получено представление о роли полидисперсности примеси и шероховатости поверхности в формировании течения дисперсной фазы около тела (на примере клина).

В шестой главе рассмотрена кинетическая модель примеси из неупруго сталкивающихся твердых сферических частиц и математически сформулирована задача об обтекании тела однородным потоком газовзвеси на основе уравнения больцмановского типа для функции распределения частиц по их поступательным и вращательным скоростям, температурам и радиусам. Предложена континуально-кинетическая модель для течения слабоконцентрированной газовзвеси с одновременным учетом столкновений между частицами и обратного влияния примеси на течение несущей среды. Приведены наиболее важные численные результаты, демонстрирующие влияние столкновнений между частицами на структуру течения примеси и на течение несущего газа.

Автор защищает следующие положения:

1. Систематизацию и классификацию глобальных картин течения монодисперсной примеси около гладких затупленных тел.

2. Получение и обоснование априорных оценок для концентрации частиц в набегающем невозмущенном потоке, когда справедливы допущения, во-первых, о пренебрежении обратным влиянием примеси на течение несущего газа, а во-вторых, об отсутствии столкновений между падающими и отраженными частицами. Подтверждение тезиса о том, что в задачах обтекания затупленных тел потоком газа с примесью грубо-дисперсных твердых частиц учет обратного влияния примеси на течение несущего газа без одновременного учета столкновений между частицами физически некорректен (эта концептуальная ошибка была допущена ранее многими авторами).

3. Метод расчета плотности массового потока и функции его распределения по фракциям в произвольной точке лобовой поверхности затупленного тела при инерционном осаждении бесстолкновительной примеси.

4. Метод приближенного построения непрерывных полей параметров вязкого несущего газа около тел при больших числах Рейнольдса, основанный на использовании внешних и внутренних асимптотических разложений. Оценку точности этого метода как с точки зрения поля течения газа, так и с с точки зрения отдельных функционалов движения примеси в этом поле.

5. Математическую модель силового воздействия несущего газа на тонкодисперсную сферическую частицу в несжимаемом и сжимаемом существенно неизотермическом пограничном слое. Обоснование представления межфазной силы в виде суперпозиции по отдельным факторам и установление роли отдельных составляющих этой силы.

6. Результаты систематического численного исследования динамики и картин течения монодисперсной примеси в пограничном слое около точки торможения в широком диапазоне изменения температурного режима поверхности. Классификацию типов картин течения и определение конфигурации областей существования каждого типа в плоскости определяющих параметров "температурный фактор — относительный размер частиц".

7. Полуэмпирическую модель ударного взаимодействия твердой дисперсной сферической частицы с поверхностью обтекаемого тела.

8. Численную модель, реализующую полный подход Лагранжа к описанию регулярного движения бесстолкновительной примеси.

9. Результаты систематического численного исследования структуры течения бесстолкновительной монодисперсной примеси около тел простой формы (сфера, цилиндр, конус, клин) при неупругом многократном отражении частиц от поверхности. Детальное описание и анализ особенностей в поле концентрации примеси. Установление существенной роли силы Магнуса, возникающей вследствие сильной закрутки частиц при отскоке от поверхности, в формировании картины течения примеси.

10. Математическую модель дисперсной примеси с учетом неупругих столкновений между частицами и модель двухфазного течения с учетом как столкновений между частицами, так и обратного влияния дисперсной фазы на несущий газ в задаче обтекания тела однородным потоком слабоконцентрированной газовзвеси (кинетическое уравнение больцмановского типа относительно функции распределения дисперсных частиц по поступательным и вращательным скоростям и температурам с учетом столкновений между ними и соответствующие граничные условия; континуально-кинетическую модель течения газовзвеси).

Результаты исследований по теме диссертации докладывались на 32 всесоюзных, всероссийских и международных форумах:

III Всесоюзной школе-семинаре по механике многофазных сред (Хум-сан, 1982); II Всесоюзной школе-семинаре "Методы малого параметра и их применение" (Минск, 1982); VIII Всесоюзной и XI, XII, XIII, XIV, XV и XVI Международных школах- семинарах по моделям механики сплошной среды (Омск, 1985; Владивосток, 1991; Казань, 1993; Санкт-Петербург, 1995; Жуковский, 1997; Санкт-Петербург, 2000; Казань, 2002); VIII Всесоюзном совещании-семинаре по механике реагирующих сред (Кемерово, 1990); Всесоюзной конференции "Механика и те® плообмен двухфазных сред в технике и порошковой технологии" (Томск, 1991); Первой, Второй и Третьей Российских национальных конференциях по теплообмену (Москва, 1994; 1998; 2002); 1-й и 2-й Международных школах-семинарах "Внутрикамерные процессы, горение и газовая динамика дисперсных систем" (Санкт-Петербург, 1995, 1997); III Минском международном форуме по тепломассообмену (Минск, 1996); Всероссийской конференции по механике "Вторые Поляховские чтения" (Санкт-Петербург, 2000); Международной конференции по многофазным системам, посвященной 60-летию академика РАН Р.И.Нигматулина (ICMS'2000, Уфа, 2000); VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001); Всероссийской конференции "Аэф родинамика и газовая динамика в XXI веке", посвященной 80-летию академика РАН Г.Г.Черного (Москва, 2003); Европейских коллоквиумах по механике, посвященных теоретическому и экспериментальному изучения течений газа с частицами (EUROMECH Colloquium-319, Таллинн, Эстония, 1994; EUROMECH Colloquium-421, Гренобль, Франция, 2001); 2-й и 3-й Европейских конференциях по гидромеханике, проведенных под эгидой EUROMECH'a (EFMC'94, Варшава, Польша, 1994; EFMC'97, Гёттинген, Германия, 1997); 3-й, 4-й Европейских конференциях по вычислительной гидродинамике (ECCOMAS'96, Париж, Франция, 1996; ECCOMAS'98, Афины, Греция, 1998); Европейском конгрессе по вычислительным методам в прикладных науках и инженер

• ном деле (ECCOMAS'2000, Испания, Барселона, 2000); 4-й Международной летней конференции "Численное моделирование в механике сплошных сред" (NMICM'2000, Чехия, Прага, 2000); 3-й и 4-й Международных конференциях по многофазным течениям (ICMF'98, Лион, Франция, 1998; ICMF'2001, Нью-Орлеан, США, 2001); 5-м Всемирном конгрессе по вычислительной механике (WCCM-V, Вена, Австрия, 2002); Совмест-^ ной Американо-европейской конференции по инженерной гидромеханике, ф проведенной под эгидой Американского общества инженеров-механиков

ASME FEDSM'02, Монреаль, Канада, 2002); 3-м Международном симпозиуме по моделированию и экспериментальному исследованию двухфазных течений (ISTP'2004, Пиза, Италия, 2004); а таксисе на 6 специализированных научных семинарах: научном семинаре кафедры аэрогазодинамики и динамики полета Ленинградского механического института под руководством проф. И.П.Гинзбурга (Ленинград, 1982); научном семинаре отдела многофазных течений Института теоретической и прикладной механики СО АН СССР под руководством проф. В.М.Фомина (Новосибирск, 1986); научном семина® ре Международного института межфазных взаимодействий под руководством проф. Г.В.Дубровского (Санкт-Петербург, 1994); научном семинаре кафедры плазмогазодинамических импульсных систем Балтийского государственного технического университета под руководством проф. В.Н.Ускова (Санкт-Петербург, 1997; 2004); научном семинаре кафедры гидроаэромеханики Санкт-Петербургского государственного университета под руководством чл.-корр. РАН В.Г.Дулова и проф. С.К.Матвеева (Санкт-Петербург, 1997; 2004); научном семинаре Института механики МГУ под руководством академика РАН Г.Г.Черного (Москва, 1999).

По результатам диссертационного исследования опубликовано 42 работы [45, 46, 47-53, 55, 172, 193-205, 207-209, 278, 280-289, 294-299] общим объемом 363 стр. (33 статьи и тезисы 9 докладов), из них 34 работы написаны совместно с другими авторами.

Автор диссертации как руководитель девяти конкурсных научных проектов по теме диссертации в 1994-2004 гг. с благодарностью отмечает финансовую поддержку Конкурсного Центра фундаментального естествознания при Санкт-Петербургском государственном университете (гранты NN 93-4.100-81, 95-0-4.2-5 и Е02-4.0-138), Российского Фонда Фундаментальных Исследований (гранты NN 94-01-01338, 96-01-01467, 99-01-00674 и 02-01-01201), Международного Научного Фонда и Прави-• тельства России (грант N JID 100), а также ИНТАС (грант N 00-0309). Эта поддержка позволила выполнить в последние 10 лет большой цикл исследований и получить новые результаты фундаментального характера, вошедшие в диссертацию.

Автор глубоко признателен профессору Ленинградского государственного университета и заведующему кафедрой Ленинградского механического института Исааку Павловичу Гинзбургу (1910-1979 гг.), который оказал огромное влияние на формирование научных принципов и вкусов соискателя, а также впервые привлек его внимание к проблеме, разработка которой привела в конце концов к настоящей диссертации.

Автор считает своим долгом отметить многолетнее плодотворное сотрудничество со своими аспирантами, а позже сотрудниками к.ф.-м.н. Н.В. Тарасовой, C.B. Панфиловым и особенно к.ф.-м.н. А.Н. Волковым, который внес очень большой творческий вклад в развитие кинетической модели столкновительной примеси и комбинированной континуально-кинетической модели двухфазных течений газа с частицами.

6.4. Выводы по главе 6

1. В терминах одночастичной функции распределения дисперсных частиц по поступательным и вращательным скоростям, температурам и размерам сформулирована математическая модель течения столк-новительной примеси в несущем газе при обтекании тел однородным потоком газовзвеси. Эта модель включает кинетическое уравнение Больцмановского типа и граничные условия на входной и выходной ф границах расчетной области, на плоскости (или оси) симметрии и на поверхности тела. Она справедлива как для очень разреженного "газа" частиц, когда их обратное влияние на течение несущего газа несущественно, так и для умеренно разреженной примеси, когда такое обратное влияние следует учитывать. В последнем случае кинетическая модель столкновительной. примеси входит составным элементом в модель двухфазного течения, в котором важны как столкновения между частицами, так и влияние примеси на течение несущего газа (при этом газ описывается моделью сплошной среды).

2. На основе анализа результатов систематического численного иссле-^ дования дозвукового и сверхзвукового поперечного обтекания цилиндра газом с примесью грубодисперсных частиц (поведение примеси моделировалось методом Монте-Карло) установлены границы применимости модели бесстолкновительного "газа" частиц и модели двухфазного течения без учета влияния примеси на течение несущей среды. Результаты прямых численных расчетов полностью подтвердили полученные ранее априорные оценки об относительной роли столкновений и обратного влияния примеси и позволили получить представление о количественном изменении полей параметров обеих фаз в зависимости от концентрации частиц в натекающем потоке и их инерционности (их размеров).

3. При одной и той же умеренной концентрации частиц в натекающем потоке степень их влияния на течение несущего газа существенно зависит от того, учитываются или нет столкновения между частицами в возмущенной области течения. Столкновительный "газ" частиц оказывает значительно более сильнее влияние и может качественно перестроить картину течения газовой фазы (например, он может привести к возникновению инерционного отрыва газового потока от поверхности тела с гладким контуром).

4. Развитая математическая модель вязкого двухфазного течения с учетом как столкновений между частицами, так и обратного влияния примеси на движение несущего газа открывает возможность физически корректного теоретического и численного исследования новых аспектов задачи обтекания тел (или преград) запыленным газом, в частности, изучения влияния параметров примеси на положение точки отрыва и структуру течения в следе за плохообтекаемым телом, теплообмен на лобовой поверхности, ламинарно-турбулентный переход в пограничном слое и в следе и др.

Материалы главы б опубликованы в статьях [48, 49, 51, 52, 53, 294, 295, 296, 297, 298, 299]

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя итог выполненному диссертационному исследованию, сформулируем основные результаты работы:

1. Дана классификация возможных картин течения монодисперсной примеси около лобовой поверхности тел, включающая в себя 5 основных типов течения:

• течение с инерционным осаждением частиц и их поглощением поверхностью;

• течение с абсолютно неупругим отражением частиц и образованием приповерхностной движущейся пелены;

• течение с отскоком частиц от тела, но без последующих столкновений между частицами;

• течение с отскоком частиц от тела и с последующими столкновениями между частицами;

• течение тонкодисперсной примеси, которая инерционно не осаждается на поверхнсти тела.

Реализация того или иного типа зависит от четырех независимых факторов: концентрации частиц в набегающем потоке, их инерционности, относительного размера и закона взаимодействия с поверхностью. Для последних трех типов указаны области их существования в терминах концентрации примеси и относительного размера частиц (при прочих заданных определяющих параметрах задачи). Для тонкодисперсных частиц дана дополнительная классификация картин течения в неизотермическом пограничном слое около точки торможения. Она включает 4 различных типа картин, которые зависят от температурного режима поверхности. Найдены конфигурации областей существования каждого типа в плоскости определяющих параметров "температурный фактор - относительный размер частиц".

2. Для затупленных тел получены приближенные априорные оценки для концентрации частиц в набегающем потоке в терминах других определяющих параметров задачи, при которой справедливы допущения

• отсутствуют столкновения между падающими и отраженными частицами;

• отсутствует обратное влияние примеси на течение несущего газа.

Эти оценки подтверждены прямым численным моделированием течений запыленного газа с учетом столкновений и обратного влияния частиц. Тем самым полностью подтвержден тезис о том, что в задачах обтекания затупленных тел газовзвесью с грубодисперсны-ми частицами при их отскоке от лобовой поверхности учет обратного влияния примеси на несущий газ без одновременного учета столкновений между частицами физически некорректен (эта концептуальная ошибка была допущена ранее многими авторами).

3. Предложена математическая модель силового воздействия несущего газа на тонкодисперсную сферическую частицу в несжимаемом и сжимаемом существенно неизотермическом ламинарном пограничном слое на обтекаемой поверхности. Модель включает аэродинамическую силу, подъемную силу Сэфмана, силу из-за "эффекта стенки" и термофоретическую силу. Такая модель обоснована как с физической точки зрения (все названные составляющие существенны и других нет), так и с точки зрения представления межфазной силы в виде суперпозиции по отдельным факторам. На основе этой модели выполнено систематическое численное исследование течения примеси в сжимаемом и несжимаемом пограничном слое на сфере. С использованием предложеного метода расчета плотности массового потока инерционно осаждающейся полидисперсной примеси и функции ее распределения по фракциям на лобовой поверхности затупленного тела изучены характеристики осаждения частиц в критической точке сферы и влияние на эти характеристики погранслойных эффектов.

4. Предложена новая полуэмпирическая модель ударного взаимодействия твердой дисперсной частицы с поверхностью обтекаемого тела. Эта модель основана на законах механики и на опытных данных по коэффициентам восстановления нормальной и касательной скоростей центра масс частицы при ее отскоке в диапазоне умеренных и больших (до 500 м/с) скоростей ее соударения с поверхностью и в отличие от других известных полуэмпирических моделей не приводит к парадоксу, состоящему в физически невозможной перезакрутке частиц в момент отскока.

5. Развита численная модель, реализующая полный подход Лагранжа к описанию регулярного движения бесстолкновительной примеси при наличии отражения частиц от поверхности и пересечений их траекторий. Особенностью этого подхода является прямое использование в расчетах уравнения неразрывности для дисперсной фазы, рассматриваемой как континуум, в координатах Лагранжа. Дан методический анализ выбора лагранжевых координат в задаче установившегося обтекания тела запыленным газом. Для вычисления компонент якобиана эйлерово-лагранжевого преобразования координат, входящего в уравнение неразрывности, в работе использован как известный метод Осипцова, так и предложенный конечно-разностный метод, основанный на расчете близких траекторий частиц. Данная численная модель в отличие от традиционных лагранжевых моделей, в которых уравнение неразрывности не вводится в рассмотрение, позволяет получить поле концентрации примеси с очень высокой точностью даже в случае возникновения сингулярных поверхностей в "газе" частиц, на которых концентрация примеси стремится к бесконечности. Эти поверхности являются либо каустиками, либо геометрическим местом точек " схлопывания" элементарных трубок тока в континууме дисперсной фазы. Возникновение таких особенностей является характерной чертой течения бесстолкновительной примеси как в рассмотренном классе задач, так и во многих других двухфазных течениях.

На основе систематического численного исследования структуры течения бесстолкновительной монодисперсной примеси около тел простой формы (сфера, цилиндр, конус, клин) при неупругом многократном отражении частиц от поверхности проведен анализ особенностей в поле концентрации примеси. Установлена существенная роль силы Магнуса, возникающей вследствие сильной закрутки частиц при отскоке от поверхности. Выявлены многочисленные сингулярные особенности в поле течения дисперсной фазы.

Было выполнено также исследование обтекания плоской решетки аэродинамических профилей потоком газовзвеси. В результате было найдено, что в самой решетке и за ней могут возникать области, свободные от частиц, а также происходить аэродинамическая фокусировка частиц с образованием пелен, которые при последующих столкновениях с поверхностями аэродинамического тракта могут представлять особую опасность с точки зрения эрозионного разрушения поверхностей. Получены первые результаты о влиянии шероховатости обтекаемой поверхности на поведение примеси. Оказалось, что рассеяние частиц при отскоке от поверхности, шероховатость которой вызвана абразивной эрозией, может существенно изменить картину течения грубодисперсной примеси около поверхности, как следствие, ее поведение вниз по потоку.

7. Сформулирована математическая модель двухфазного течения газа с твердыми частицами, в которой одновременно учитываются столкновения между частицами и их обратное воздействие на течение несущей среды. Течение газовой фазы описывается модифицированными уравнениями сплошной среды (уравнениями Эйлера или Навье-Стокса) с источниковыми членами, моделирующими воздействие дисперсной фазы, а движение примеси - столкновительным кинетическим уравнением больцмановского типа для одночастичной функции распределения частиц в фазовом пространстве, включающем в себя радиус-вектор частицы, ее поступательную и вращательную скорости и температуру. По сравнению с известными работами других исследователей новым здесь является интеграл столкновений, в котором учитываются неупругие парные столкновения между частицами. Эти столкновения описываются уравнениями импульса и момента импульса для каждой из сталкивающихся частиц с введением двух коэффициентов аккомодации нормальной и касательной скоростей частиц в точке контакта. В результате анализа численных результатов, полученных на основе этой модели, достигнуто понимание того, как столкновения влияют на перестройку картины течения примеси и поле течения несущего газа с увеличением концентрации частиц в натекающем потоке.

В целом, в данном диссертационном исследовании проблема обтекания тел запыленным газом получила законченное концептуальное оформление.

Теоретический анализ различных аспектов проблемы, разработка математических и численных моделей, а также выполненные систематические расчеты позволили получить ясное представление об особенностях поведения примеси при обтекании тел в широких диапазонах изменения концентрации и относительных размеров частиц, установить роль различных определяющих параметров задачи, а также сформулировать основные направления дальнейших исследований в области двухфазной аэродинамики, которые открываются в связи с завершением данной работы. Среди этих направлений выделим следующие:

• исследование течений около шероховатых поверхностей, включа-юшее в себя изучение рассеяния частиц при отскоке, поведение отраженной примеси в потоке и ее влияние на газодинамику течения, влияние шероховатости на сопротивление и теплообмен;

• исследование тонкой структуры пограничного слоя и теплообмена на обтекаемой поверхности в случае околокритического радиуса частиц;

• исследование аэродинамической интерференции тел в двухфазных потоках и интерференции следов за телами;

• исследование влияния примеси на крупномасштабную вихревую структуру течения несущей среды;

• исследование влияния примеси на ламинарно-турбулентный переход и уточнение наших представлений о роли частиц в генерации и подавлении турбулентности несущей среды.

Все названные задачи являются исключительно актуальными как для развития теории двухфазных течений, так и для многочисленных приложений.

1. Абалтусов В.Е., Жарова И.К., Мамонтов Г.Я., Немова Т.Н., Пинкин

2. Агранат В.М. Влияние градиента давления на трение и теплообмен в запыленном пограничном слое // Изв. АН СССР, МЖГ. 1988. N 5.1. C. 105-108.

3. Агранат В.М., Милованова A.B. Расчет трения и теплообмена в запыленном пограничном слое // Механика реагирующих сред и ее приложения. Новосибирск: Наука, 1989. - С. 164-171.

4. Агранат В.М., Милованова A.B. Квазизамороженный запыленный ламинарный пограничный слой на затупленном теле // Изв. АН СССР, МЖГ. 1990. N 6. С. 169-172.

5. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972. - 316 с.

6. Алхимов А.П., Нестерович Н.И., Папырин А.Н. Экспериментальное исследование обтекания тел сверхзвуковым двухфазным потоком // ПМТФ. 1982. N 2. С. 66-74.

7. Альбом течений жидкости / Под ред. М. Ван-Дайка. М.: Мир, 1985.

8. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: В 2-х т. Т. 2: Пер. с англ. М.: Мир, 1990. -384 с.

9. Антонов В.А., Гольдин В.Д., Гришин A.M. Сверхзвуковое обтекание тел вращения потоком газа при наличиии сильного локализованного двухфазного вдува с его поверхности // ПМТФ. 1984. N 1. С. 8289.

10. Асмолов Е.С. О поперечной силе, действующей на сферическую частицу в ламинарном пограничном слое // Изв. АН СССР, МЖГ. 1989. N 5. С. 66-71.

11. Асмолов Е.С. О динамике сферической частицы в ламинарном пограничном слое // Изв. АН СССР, МЖГ. 1990. N 6. С. 91-96.

12. Асмолов Е.С. О движении дисперсной примеси в ламинарном пограничном слое на плоской пластине // Изв. РАН, МЖГ. 1992. N 1. С. 66-73.

13. Асмолов Е.С. Движение частиц в ламинарном пограничном слое на масштабе релаксации поперечной скорости // Изв. РАН, МЖГ. 1993. N 1. С. 86-93.

14. Асмолов Е.С. О движении дисперсной примеси в ламинарном пограничном слое при обтекании клина // Изв. РАН, МЖГ. 1993. N 6. С. 34-42.

15. Баланин Б.А. О влиянии отраженных частиц на унос массы при обтекании тела двухфазным потоком // Изв. АН СССР, МЖГ. 1984. N 5. С. 193-196.

16. Баланин Б.А., Злобин В.В. Экспериментальное исследование аэродинамического сопротивления простых тел в двухфазном потоке // Изв. АН СССР, МЖГ. 1979. N 3. С. 159-162.

17. Баланин Б.А., Дашков В.А. Аэродинамическое сопротивление конуса в двухфазном потоке // Движение сжимаемой жидкости и неоднородных сред. JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1982. С. 218-227. ("Газодинамика и теплообмен". Вып. 7).

18. Баланин Б.А., Дашков В.А. Сопротивление плоского клина в двухфазном потоке // Изв. АН СССР, МЖГ. 1982. N 2. С. 177-180.

19. Бабуха Л.Г., Шрайбер А.А. Взаимодействие частиц полидисперсного вещества в двухфазных потоках. Киев: Наук, думка, 1972. -176 с.

20. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1969. - 368 с.

21. Белов И.А. Взаимодействие неравномерных потоков с преградами.- Л.: Машиностроение, 1983. 144 с.

22. Белоусов В.Л. Численное исследование сверхзвукового обтекания затупленного тела потоком вязкой газовзвеси. I. Модель взаимопроникающих континуумов. Л., 1988. 36 с. - (Препр./ АН СССР. ФТИ; N 1246).

23. Белоусов В.Л. Численное моделирование течений в вязком ударном слое при сверхзвуковом движении тел в неоднородных и неравновесных средах: Дисс. . канд. физ.-мат. наук / Ленингр. гос. технич. ун-т. Л., 1990. - 175 с.

24. Белоусов В.Л., Головачев Ю.П., Шмидт A.A. Численное исследование сверхзвукового обтекания затупленного тела потоком вязкой газовзвеси. II. Лагранжево-эйлеровская модель. Л., 1988. 21 с. -(Препр./ АН СССР. ФТИ; N 1247).

25. Белоусов В.Л., Рамм М.С., Шмидт A.A. Исследование структуры ударного слоя при обтекании затупленного тела потоком газовзвеси // Моделирование в механике. 1988. Т.2. N 1. С. 11-16.

26. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. М.: Наука, 1982. - 392 с.

27. Белоцерковский О.М., Яницкий В.Е. Статистический метод частиц в ячейках для задач динамики разреженного газа // ЖВММФ, 1975, т. 15, N 5, 1195-1208; N 6, с. 1553-1567.

28. Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Механика и прикладная математика: логика и особенности приложений математики. М.: Наука, 1983. - 328 с.

29. Богданов A.B., Горбачев Ю.Е., Дубровский Г.В. и др. К кинетической теории смеси газа с твердыми частицами. I. Л.: 1985. - 44 с.- (Препр./ АН СССР. ФТИ; N 941).

30. Богданов A.B., Горбачев Ю.Е., Дубровский Г.В. и др. К кинетической теории смеси газа с твердыми частицами. И. Л.: 1985. - 60 с.- (Препр./ АН СССР. ФТИ; N 989).

31. Богод А.Б., Замтфорт Б.С., Иванов М.Я., Крайко А.Н. Об использовании процесса установления по времени при решении задач стационарного обтекания газом решеток профилей // Изв. АН СССР,

32. МЖГ. 1974. N 4. С. 118-123.

33. Бусройд Р. Течение газа со взвешенными частицами: Пер. с англ. -М.: Мир, 1975. 384 с.

34. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики: Учебник в 2-х томах. Т.2. Динамика. М.: Наука, 1979. -544с.

35. Валландер C.B. Лекции по гидроаэромеханике. Л.: Изд-во Ленин-гр. ун-та, 1978. - 296 с.

36. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости: Пер с англ.- М.: Мир, 1967. 312 с.

37. Вараксин А.Ю. Турбулентные течения газа с твердыми частицами.- М.: Физматлит, 2003. 192 с.

38. Васенин И.М., Архипов В.А., Бутов В.Г., Глазунов A.A., Трофимов В.Ф. Газовая динамика двухфазных течений в соплах. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1986. - 264 с.

39. Василевский Э.Б., Осипцов А.Н., Чирихин A.B., Яковлева Л.В. Теплообмен на лобовой поверхности затупленного тела в высокоскоростном потоке, содержащем малоинерционные частицы // ИФЖ, 2001, т. 74, N 6, с. 29-37.

40. Васильков А.П. Окрестность критической точки затупленного тела в гиперзвуковом двухфазном потоке // Изв. АН СССР, МЖГ. 1975. N 5. С. 121-129.

41. Васин A.B., Деревщиков В.Б., Нарожный Ю.Г., Поздняк В.Е., Ше-беко В.Н. Эрозионное разрушение материалов // Космонавтика и ракетостроение. 1994. N 2. С. 58-65.

42. Васин A.B., Михатулин Д.С., Полежаев Ю.В. О влиянии теплового состояния материалов на их эрозионную стойкость в запыленном газовом потоке // Изв. АН СССР, МЖГ. 1985. N 6. С. 172-175.

43. Волков А.Н. Течения газовзвесей при неупругих столкновениях твердых частиц примеси между собой: Дисс. . канд. физ.-мат. наук / С.-Петербургский, гос. ун-т. СПб., 1996. - 248 с.

44. Волков А.Н., Циркунов Ю.М. О применении метода прямого статистического моделирования в задачах динамики газовзвеси при неф упругих столкновениях твердых частиц примеси между собой. //

45. Труды XIII сессии международной школы по моделям механики сплошной среды, С.-Петербург, 27 июня-3 июля 1995. СПб: Изд-во С.-Петербург, ун-та, 1996. С. 133-140.

46. Волков А.Н., Циркунов Ю.М. Кинетическая модель столкновитель-ной примеси в запыленном газе и ее применение к расчету обтекания тел // Изв. РАН, МЖГ. 2000. N 3. С. 81-97.

47. Волков А.Н., Циркунов Ю.М., Семёнов В.В. Влияние моно- и полидисперсной примеси на течение и теплообмен при сверхзвуковом обтекании затупленного тела потоком газовзвеси // Математическое моделирование. 2004. Т. 16, N 7. С. 6-12.

48. Волков В.А. Исследование параметров двухфазной среды при сверхзвуковом обтекании затупленных тел // Труды XIX научн. конф. Моск. физ.-техн. ин-та, 1973. Сер. Аэромех. и проц. управл. -Долгопрудный: МФТИ, 1974. С. 14-21.

49. Волощук В.М. Введение в гидродинамику грубодисперсных аэрозолей. Д.: Гидрометеоиздат, 1971. - 208 с.

50. Волощук В.М., Седунов Ю.С. Процессы коагуляции в дисперсных системах. Д.: Гидрометеоиздат, 1975. - 320 с.

51. Гавин Л.Б., Шрайбер A.A. Турбулентные течения газа с частицами. // Итоги науки и техники, серия МЖГ. Т. 25. М.: ВИНИТИ. 1991. - С. 90-182.

52. Гилинский М.М., Толстов В.Н. Численное исследование сверхзвукового обтекания цилиндрического торца двухфазным потоком //

53. Струйные и отрывные течения / Под ред. Г.Г.Черного и др. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981. - С. 77-83.

54. Гилинский М.М., Толстов В.Н. Дискретно-траекторный численный метод расчета неоднофазных течений с пересекающимися траекториями частиц // Струйные и отрывные течения / Под ред. Г.Г. Черного и др. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985. - С. 78-94.

55. Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. -М.: Наука, 1976. 400 с.

56. Головачев Ю.П. Численное моделирование течений вязкого газа в I ударном слое. М.: Наука. Фмзматлит, 1996. - 376 с.

57. Головачев Ю.П., Шмидт A.A. Сверхзвуковое обтекание затупленных тел запыленным газом. Д.: 1980. - 30 с. - (Препр./АН СССР. ФТИ/ N 690).

58. Головачев Ю.П., Шмидт A.A. Влияние вдува на сверхзвуковое обтекание затупленного тела запыленным газом // Изв. АН СССР, МЖГ. 1986. N 2. С. 178-181.

59. Гольдсмит В. Удар. М.: Стройиздат, 1965. - 448 с.

60. Горбачев Ю.Е. Газодинамические особенности течений запыленного газа // ЖТФ. 1985. Т. 55. Вып. 6. С. 1142-1149.

61. Горбачев Ю.Е., Круглов В.Ю. О двухскоростной модели в задаче обтекания затупленных тел гетерогенным потоком. Л., 1988. - 19 с. (Препр./ АН СССР. ФТИ; N 1202).

62. Ш 70. Горбачев Ю.Е., Круглов В.Ю. Расчет параметров течения двухфазной смеси при обтекании сферы с учетом столкновений частиц примеси между собой // Изв. АН СССР. МЖГ. 1989. N 4. С. 93-96.

63. Горбачев Ю.Е., Лунькин Ю.П. Граничные условия в задаче о течении гетерогенной смеси // Письма в ЖТФ. 1980. Т. 6. Вып. 5. С. 299-301.

64. Горшков Г.Ф. Исследование влияния дисперсного компонента на характер теплообмена при обтекании преграды гетерогенной струей // ПМТФ. 1986. N 6. С. 63-68.

65. Гришин A.M., Забарин В.И. Трение и теплообмен в двухфазном ® пограничном слое на пластине // ПМТФ. 1988. N 4. С. 78-86.

66. Гупало Ю.П., Полянин А.Д., Рязанцев Ю.С. Массотеплообмен peaгирующих частиц с потоком. М.: Наука, 1985. - 336 с.

67. Давыдов Ю.М., Липавский М.В. Расчет двумерного внешнего обтекания тел гетерогенным потоком методом "крупных" частиц // Труды МФТИ. Сер. Аэрофиз. и прикл. матем. Долгопрудный: МФТИ, 1979. - С. 131-134.

68. Давыдов Ю.М., Нигматулин Р.И. Расчет внешнего обтекания затупленных тел гетерогенным потоком газа с каплями или частицами. // Докл. АН СССР. 1981. Т. 259. N 1. С. 57-60.

69. Джайчибеков Н.Ж. Расчет обтекания затупленных тел газовзвесью с учетом хаотического движения частиц: Дисс. . канд. физ.-мат. наук / Ленингр. гос. ун-т. Л., 1986. - 129 с.

70. Джайчибеков Н.Ж., Матвеев С.К. Расчет обтекания сферы газовзвесью на основе трехкомпонентной модели двухфазной среды // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. "Матем. механ. астрон." 1985. N 22. С. 57-62.

71. Джайчибеков Н.Ж., Матвеев С.К. О расчете эрозии тел в двухфазном потоке с учетом экранирующего слоя отраженных частиц / / Деп. ВИНИТИ 26.08.85. N 6320-85 Деп. 18 с.

72. Джайчибеков Н.Ж., Матвеев С.К. Расчет обтекания тел потоком твердых частиц // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. "Матем. механ. астрон." 1986. Вып. 1. С. 118-121.

73. Динамика удара: Пер. с англ. / Зукас Дж.А., Николас Т., Свифт Х.Ф. и др. М.: Мир, 1985. - 296 с.

74. Домбровский Л.А. Инерционное осаждение частиц из газодисперсного потока в окрестности точки торможения // ТВТ. 1986. Т. 24, N 3. С. 558-563.

75. Домбровский Л.А., Юкина Э.П. Критические условия инерционного осаждения частиц из газодисперсного потока в окрестности точки торможения // ТВТ. 1983. Т. 21, N 3. С. 525-532.

76. Духовский И.А. Исследование сверхзвукового обтекания затупленных тел газом со взвешенными частицами, подверженными дроблению: Автореферат дисс. . канд. физ.-мат. наук / ФТИ АН СССР. -Л., 1991. 15 с.

77. Духовский И.А., Ковалев П.И., Рамм М.С., Шмидт А.А. Экспериментальное и численное исследование влияние дробления дисперсных частиц. на обтекание затупленного тела сверхзвуковым потокомзапыленного газа. Д., 1988. - 21 с. (Препр./ АН СССР. ФТИ; N 1300).

78. Егорова Л.А., Осипцов А.Н., Сахаров В.И. О границах режима инерционного осаждения частиц и теплообмене при сверхзвуковом обтекании тел вязким запыленным газом // Изв. РАН, МЖГ, 2001, N 6, с. 111-124.

79. Еникеев И.Х. Численное иследование обтекания затупленных тел потоком газовзвеси: Автореферат дисс. . канд. физ.-мат. наук / Моск. гос. ун-т. М., 1984. - 16 с.

80. Еремин А.Ю., Марьяшкин Н.Я. Пакет программ SOLVER: системы нелинейных функциональных и обыкновенных дифференциальных уравнений с разреженными якобиевыми матрицами. // Препринт ВЦ АН СССР, 1980. 37 с.

81. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982, 296 с.

82. Желева И.М., Запрянов З.Д., Осипцов А.Н., Стулов В.П. Течения дисперсных смесей в условиях скоростной неравновесности частиц // Успехи механики. 1982. Т.5, Вып. 1/2. С. 183-208.

83. Забарин В.И. Математическое моделирование некоторых задач пограничного слоя в газовзвесях: Автореферат . канд. физ.-мат. наук // ТГУ Томск, 2005. - 23 с.

84. Зак Л.И. Сверхзвуковое двухфазное течение около клина // Изв. АН СССР, МЖГ. 1986. N 1. С 61-66.

85. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы математической физики. Среда из невзаимодействующих частиц. М.: Наука, 1973. - 351 с.

86. Ь 97. Иванов М.С., Рогазинский C.B. Сравнительный анализ алгоритмовметода прямого статистического моделирования в динамике разреженного газа // ЖВММФ, 1988, т. 28, N 7, с. 1058-1070.

87. Иванов К.П., Ривкинд В.Я. Стационарное обтекание двух частиц вязкой несжимаемой жидкостью при умеренных числах Рейнольдса // Изв. АН СССР, МЖГ. 1982. N 1. С. 167-171.1.

88. Каминская Л.И., Соколов Е.И. Течение в приосевой части ударного слоя при натекании двухфазной сверхзвуковой недорасширенной струи на перпендикулярную преграду // Уч. зап. ЦАГИ. 1986. Т. 17. N 1. С.33-40.

89. Киселев С.П., Фомин В.М. Исследование каустик в двухфазной среде газ-частицы. // ПМТФ. 1987. N 4. С. 164-170.

90. Коган M.H. Динамика разреженного газа. -М.: Наука, 1967. 440 с.ф 104. Колмогоров А.Н. О логарифмически-нормальном законе распределения размеров частиц при дроблении // ДАН СССР. 1941. Т. 31. N 2. С. 99-101.

91. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. I и II. М.: Физматгиз, 1963. 584 с. и 728 с.

92. Коузов П.А. Основы анализа дисперсного состава промышленных пылей и измельченных материалов. JL: Химия, 1987. - 264 с.

93. Крайко А.Н. О поверхностях разрыва в среде, лишенной "собственного" давления // ПММ. 1979. Т. 43. Вып. 3. С. 500-510.

94. Ф 108. Крайко А.Н., Сулайманова С.М. Двухжидкостные течения смеси газа и твердых частиц с "пеленами" и "шнурами", возникающими при обтекании непроницаемых поверхностей // ПММ. 1983. Т. 47.1. Вып. 4. С. 619-630.

95. Кудрявцев H.A., Миронова М.В., Яценко В.П. Поперечное обтекание цилиндрической теплообменной поверхности двухфазным потоком // ИФЖ. 1991. Т. 59, N 6. С. 917-923.

96. Лапин Ю.В. Турбулентный пограничный слой в сверхзвуковых потоках газа. М.: Наука, 1982. - 312 с.

97. Лашков В.А. Об экспериментальном определении коэффициентов восстановления скорости частиц потока газовзвеси при ударе о поверхность // ИФЖ. 1991. Т. 60. N 2. С. 197-203.

98. Лашков В.А. Аэродинамическое сопротивление цилиндра в двухфазном потоке // Изв. РАН, МЖГ. 1992. N 1. С. 123-129.

99. Левин Л.М. Исследования по физике грубодисперсных аэрозолей. -М.: Изд-во АН СССР, 1961. 267 с.

100. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. -840 с.

101. Лунькин Ю.П., Мымрин В.Ф. Применение кинетической теории для получения замкнутой системы уравнений динамики газовзвеси // Письма в ЖТФ. 1979. Т. 5. Вып. 3. С. 146-149.

102. Лунькин Ю.П., Мымрин В.Ф. Кинетическая модель газовзвеси // Изв. АН СССР, МЖГ. 1981. N 1. С. 134-139.

103. Любимов А.Н., Русанов В.В. Течение газа около тупых тел. 4.2. -М.: Наука, 1970. 379 с.

104. Матвеев С.К. Математическое описание обтекания тел потоком газовзвеси с учетом влияния отраженных частиц // Движение сжимаемой жидкости и неоднородных сред. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1982. С. 189-201. ("Газодинамика и теплообмен". Вып. 7).

105. Матвеев С.К. Модель газа из твердых частиц с учетом неупругих соударений // Изв. АН СССР. МЖГ. 1983. N 6. С. 12-16.

106. Матвеев С.К. Динамика газа неполностью упругих частиц // Динамика неоднородных и сжимаемых сред. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1984. С. 3-11. ("Газодинамика и теплообмен". Вып. 8).

107. Матвеев С.К. Обтекание тел потоком газовзвеси с образованием "пелены" и "горки" из твердых частиц // Моделирование в механике. 1989. Т. 3, N 3. С. 111-116.

108. Матвеев С.К., Сеюкова Л.П. Расчет обтекания диска и плоского торца цилиндра потоком газовзвеси // Течение вязкого и невязкого газа. Двухфазные жидкости. JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981. С. 3-12. ("Газодинамика и теплообмен". Вып. 6).

109. Матвеев С.К., Сеюкова Л.П. Обтекание сферы потоком газовзвеси // Динамика однородных и неоднородных сред. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1987. С. 16-23. ("Газодинамика и теплообмен". Вып. 9).

110. Медников Е.П. Турбулентный перенос и осаждение аэрозолей. М.: Наука, 1981. - 176 с.

111. Милованова A.B. Математическое моделирование теплообмена и трения в запыленном и стратифицированном ламинарных пограничных слоях: Автореферат дисс. . канд. физ.-мат. наук / Томский гос. ун-т. Томск, 1991. - 19 с.

112. Найфэ А. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. - 456 с.

113. Наумов В.А. Расчет неизотермического ламинарного пограничного слоя на пластине с учетом подъемных сил, действующих на дисперсную примесь // ТВТ. 1990. Т. 28. N 4. С. 814-816.

114. Наумов В.А. Удар выпуклого твердого тела о шероховатую стенку // Прикладная механика. 1992. Т.28. N 4. С. 38-42.

115. Наумов В.А. Ламинарные и турбулентные течения полидисперсной газовзвеси с взаимодействием частиц и межфазным массообменом: Автореферат дисс. . д-ра техн. наук // Ин-т гидромеханики АН Украины. Киев, 1993. - 36 с.

116. Наумов В.А. Влияние подъемной силы Саффмэна на движение частицы в слое Куэтта // ИФЖ. 1995. Т. 68. N 5. С. 840-844.

117. Наумов В.А., Соломенко А.Д., Яценко В.П. Влияние силы Магнуса на движение сферического твердого тела при большой угловой скорости // ИФЖ. 1993. Т. 65. N 3. С. 287-290.

118. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978. - 336 с.

119. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. I. М.: Наука,1987. 464 с.

120. Осипцов А.Н. Исследование зон неограниченного роста концентрации частиц в дисперсных потоках // Изв. АН СССР, МЖГ. 1984. N 3. С. 46-52.

121. Осипцов А.Н. К учету конечности объема и гидродинамического взаимодействия частиц в газовзвесях // Докл. АН СССР. 1984. Т. 275, N 5. С. 1073-1076.

122. Осипцов А.Н. Пограничный слой на затупленном теле в потоке запыленного газа // Изв. АН СССР, МЖГ. 1985. N 5. С.99-107.

123. Осипцов А.Н. Течение запыленного газа на начальном участке плоского канала и круглой трубы // Изв. АН СССР, МЖГ. 1988. N 6, С. 80-87.

124. Осипцов А.Н., Шапиро Е.Г. Влияние мелкодисперсной примеси на структуру пограничного слоя при гиперзвуковом обтекании затупленного тела // Изв. АН СССР, МЖГ. 1986. N 5. С. 55-62.

125. Осипцов А.Н., Шапиро Е.Г. Обтекание поверхности аэродисперсным потоком с образованием жидкой пленки из осаждающихся частиц // Изв. АН СССР, МЖГ. 1989. N 4. С. 85-92.

126. Осипцов А.Н., Шапиро Е.Г. Обтекание сферы запыленным газом с большой сверхзвуковой скоростью // Исследование газодинамики и теплообмена сложных течений однородных и многофазных сред / под ред. В.П. Стулова М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990. С. 89-105.

127. Очеретяный С.А., Прокофьев В.В. Многоскоростные эффекты в разреженных пузырьковых средах при течении с большими градиентами давления // Изв. РАН, МЖГ. 1998. N 1, С. 87-100.

128. Полежаев Ю.В. Проблемы теплообмена в запыленных потоках // Труды Второй Российской национальной конференции по теплообмену. Т. 1. Пленарные и общие проблемные доклады. Доклады на круглых столах. М.: Изд-во МЭИ, 1998. С. 64-69.

129. Полежаев Ю.В., Михатулин Д.С. Эрозия поверхностей в гетерогенных потоках. М., 1989. 67 с. (Препр./АН СССР ИВТ, N 2-277).

130. Полежаев Ю.В., Репин И.В., Михатулин Д.С. Теплообмен в сверхзвуковом гетерогенном потоке // ТВТ. 1992. Т. 30. N 6. С. 11471153.

131. Прокофьев В.В. Задача о движении жидкости и газовых пузырьков с учетом их относительного перемещения // Изв. АН СССР, МЖГ. 1972. N 3. С. 87-96.

132. Прокофьев В.В. Обтекание угла смесью жидкости и пузырьков газа // Изв. АН СССР, МЖГ. 1973. N 3, С. 64-75.

133. Протодьяконов И.О., Цибаров В.А., Чесноков Ю.Г. Кинетическая теория газовзвесей. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985. - 200 с.

134. Райст П. Аэрозоли. Введение в теорию: Пер. с англ. М.: Мир, 1987. - 280с.

135. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979. - 208 с.

136. Рамм М.С. Численное исследование структуры двухфазного ударного слоя вблизи лобовой поверхности затупленного тела, обтекаемого сверхзвуковым потоком: Дисс. . канд. физ.-мат.наук // Ленингр. политехнический ин-т. Л., 1988. - 151 с.

137. Рамм М.С., Шмидт A.A. Влияние частиц, отраженных от поверхности, на картину сверхзвукового обтекания затупленного тела потоком газовзвеси // Числ. методы в механ. сплошной среды. 1986. Т. 17. N 6. С. 108-113.

138. Рамм М.С., Шмидт A.A. Обтекание затупленного тела потоком газовзвеси. I. Учет отражения дисперсных частиц от обтекаемой поверхности, оценка вклада столкновений между частицами. Л., 1987. 24 с. - (Препр./ АН СССР. ФТИ; N 1097).

139. Рамм М.С., Шмидт A.A. Влияние механизма эрозионного разрушения на обтекание затупленного тела потоком газовзвеси. Л., 1987. 24 с. - (Препр./ АН СССР. ФТИ; N 1045).

140. Рафф А.У., Видерхорн С.М. Эрозия при ударе твердых частиц // Эрозия / Под. ред. К.Присс: Пер. с англ. М.: Мир, 1982. С. 80-139.

141. Ромашов Г.И. Основные принципы и методы определения дисперсного состава промышленных пылей. Л.: ЛИОТ, 1938. - 176 с.

142. Салтанов Г. А. Взаимодействие частиц с поверхностью клина в сверхзвуковом двухфазном потоке // Изв. АН СССР, Энергетика и транспорт. 1971. N 1. С. 141-149.

143. Сарычев В.Д., Трунев А.П., Фомин В.М. Сверхзвуковое течение газовзвеси около клина при наличии отраженных частиц / / ПМТФ. 1985. N 5. С. 102-110.

144. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. II. М.: Наука, 1973. -584 с.

145. Сеюкова Л.П. Расчет обтекания сферы запыленным газом с учетом влияния отраженных частиц // Движение сжимаемой жидкости и неоднородных сред. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1982. С. 202-211. (" Газодинамика и теплообмен". Вып. 7).

146. Сеюкова Л.П. Исследование моделей обтекания затупленных тел сверхзвуковым потоком газовзвеси: Автореферат дисс. . канд. физ.-мат. наук / Ленингр. гос. ун-т. Л., 1986. 15 с.

147. Coy С. Гидродинамика многофазных систем. М.: Мир, 1971. -536 с.

148. Спокойный Ф.Е., Горбис З.Р. Особенности осаждения тонкодиспер-гированных частиц из охлаждаемого потока на поперечно обтекаемой поверхности теплообмена // ТВТ. 1981. Т.19, N 1. С. 182-199.

149. Стасенко А.Л. Газодисперсные течения в аэродинамике и летательной технике // Труды ЦАГИ. Вып. 2138. 1982. 48 с.

150. Стасенко А.Л. Модели дисперсных систем // Модели механики сплошной среды. Новосибирск: ИТПМ, 1983. С. 139-161.

151. Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах.- М.: Машиностроение, 1974. 212 с.

152. Стернин Л.Е., Маслов Б.Н., Шрайбер A.A., Подвысоцкий A.M. Двухфазные моно- и полидисперсные течения газа с частицами. -М.: Машиностроение, 1980. 172 с.

153. Стернин Л.Е., Шрайбер A.A. Многофазные течения газа с частицами. М.: Машиностроение, 1994. - 320 с.

154. Стулов В.П. Об уравнениях ламинарного пограничного слоя в двухфазной среде // Изв. АН СССР, МЖГ. 1979. N 1. С. 51-60.

155. Стулов В.П., Шапиро Е.Г. О силах взаимодействия между вязкой жидкостью и сферической частицей при относительном движении.- Институт механики МГУ, Отчет N 2485, 1981, 24 с.

156. Тарасова Н.В. Обобщение метода рядов Блазиуса-Хоуарта для расчета сжимаемых течений в пограничном слое и его приложения: Дисс. . канд. физ.-мат. наук // С.-Петербургский гос. ун-т. -СПб., 1995. 295 с.

157. Теоретические и экспериментальные проблемы взаимодействия частиц с поверхностью / Сб. научн. тр. Киев: Институт сверхтвердых материалов АН УССР, 1988. - 92 с.

158. Тимошенко В.И. Силовое воздействие сверхзвукового потока запыленного газа на тупое тело // ИФЖ. 1983. Т. 45. N 2. С. 226-231.

159. Трунев А.П., Фомин В.М. Обтекание тел двухфазным потоком типа газ-твердые частицы с учетом эрозии // ПМТФ. 1983. N 1. С. 6975.

160. Трунев А.П., Фомин В.М. Эрозия тупого тела в запыленном гиперзвуковом потоке // ПМТФ. 1984. N 4. С. 101-107.

161. Трунев А.П., Фомин В.М. Континуальная модель ударной эрозии // ПМТФ. 1985. N 6. С. 113-120.

162. Трунев А.П., Фомин В.М. Неустойчивость поверхности при эрозии в потоке газа с частицами // ПМТФ. 1986. N 3. С. 78-83.

163. Ушаков С.Г., Муромкин Ю.Н., Мизонов В.Е. Об ударе частиц зернистого материала о твердую поверхность // ИФЖ. 1978. Т. 34. N 5. С. 839-842.

164. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 4.: Пер. с англ. М.: Мир, 1967. - 262 с.

165. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х т.: Т. 2.: Пер. с англ. М.: Мир, 1991. - 552 с.

166. Фукс H.A. Механика аэрозолей. М.: Изд-во АН СССР, 1955. -351 с.

167. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рей-нольдса: Пер. с англ. М.: Мир, 1976. - 630 с.

168. Хейз У.Д., Пробстин Р.Ф. Теория гиперзвуковых течений: Пер. с англ. М.: ИИЛ, 1962. - 608 с.

169. Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1972. - 400 с.

170. Цибаров В.А. Кинетическая модель псевдоожиженного слоя // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1975. N 13. С. 106-111.

171. Цибаров В.А. Кинетическая модель газовзвеси при наличии мелкой и крупной фракций // Аэродинамика разреженных газов. Вып. 11. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1983. С. 74-92.

172. Цибаров В.А. Кинетическая модель взвеси и ее обоснование. I. Газ // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. 1992. Вып. 2 (N 8). С. 88-92.

173. Цибаров В.А. Кинетическая модель взвеси и ее обоснование. И. Частицы // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. 1992. Вып. 3 (N 15). С. 65-69.

174. Цибаров В.А. Кинетическая модель взвеси и ее обоснование. III. Обоснование// Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. 1993. Вып. 1 (N 1). С. 92-97.

175. Цибаров В.А. Кинетический метод в теории газовзвесей. СПб: Изд-во С.-Петербург, ун-та, 1997. - 192 с.

176. Циркунов Ю.М. Влияние вязкого пограничного слоя на осаждение частиц при обтекании сферы газовзвесью // Изв. АН СССР, МЖГ. 1982. N 1. С. 59-66.

177. Циркунов Ю.М. Инерционное осаждение полидисперсных частиц назатупленном теле // Специальные вопросы аэрогазодинамики летательных аппаратов. Вып. 173. JL: Изд-во Ленингр. ин-та авиац. приборостр., 1984. С. 111-119.

178. Циркунов Ю.М. Исследование инерционного осаждения полидисперсных частиц в критической точке сферы // ПМТФ. 1985. N 5. С. 94-102.

179. Циркунов Ю.М. Моделирование течений примеси в задачах двухфазной аэродинамики. Эффекты пограничного слоя // Моделирование в механике. 1993. Т. 7, N 2. С. 151-193. Новосибирск: Изд-во ИТПМ СО РАН.

180. Циркунов Ю.М., Панфилов C.B., Клычников М.Б. Полуэмпирическая модель ударного взаимодействия дисперсной частицы примеси с поверхностью, обтекаемой потоком газовзвеси // ИФЖ. 1994. Т. 67. N 5-6. С. 379-386.

181. Циркунов Ю.М., Тарасова Н.В. О стратификации полидисперсной примеси в пограничном слое на нагретой поверхности вблизи критической точки // Моделирование в механике. 1990. Т.4, N 2. С. 141-148. Новосибирск: Изд-во ВЦ и ИТПМ СО АН СССР.

182. Циркунов Ю.М., Тарасова Н.В. Влияние температуры преграды на осаждение тонкодисперсной примеси из сверхзвукового потока газовзвеси // ТВТ. 1992. Т. 30. N 6. С. 1154-1162.

183. Чернышенко С.И. О среднем расстоянии между частицами в запыленном газе при наличии особенностей "размазанной" плотности среды частиц // Вестн. Моск. ун-та. Сер. Матем. и механ. 1984. N 1. С. 69-70.

184. Чжен П. Отрывные течения, Т. 2.: Пер. с англ. М.: Мир, 1973. -280 с.

185. Чудов Л.А. О некоторых недостатках классической теории пограничного слоя // Сб. "Численные методы в газовой динамике", вып. II. / Под ред. Г.С.Рослякова и Л.А.Чудова М.: Изд-во Моск. ун-та, 1963. С. 98-109.

186. Шебеко В.Н. Экранирование поверхности отраженными частицами // ИФЖ. 1986. Т. 51. N 3. С. 428-435.

187. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя: Пер. с нем. М.: Наука, 1969. - 742 с.

188. Шрайбер А.А., Гавин Л.Б., Наумов В.А., Яценко В.П. Турбулентные течения газовзвеси. Киев: Наук, думка, 1987. - 240 с.

189. Шрайбер А.А., Милютин В.Н., Яценко В.П. Гидромеханика двух-компонентных потоков с твердым полидисперсным веществом. — Киев: Наук, думка, 1980. 252 с.

190. Эрозия: Пер. с англ. / Под ред К.Прис. М.: Мир, 1982. - 464 с.

191. Юрьев И.М. Осаждение частиц аэрозоля на цилиндре при наличии вихрей за ним. М., 1975. 15 с. - ( Препр./ АН СССР. Ин-т проблем механики; N 64).

192. Яненко Н.Н., Алхимов А.П., Нестерович Н.И., Папырин А.Н., Фомин В.М. Изменение волновой структуры при обтекании тел сверхзвуковым двухфазным потоком // Докл. АН СССР. 1981. Т. 260. N 4. С. 821-825.

193. Яненко Н.Н., Солоухин Р.И., Папырин А.Н., Фомин В.М. Сверхзвуковые двухфазные течения в условиях скоростной неравновестности частиц. Новосибирск: Наука, 1980. - 160 с.

194. Aerodynamic capture of particles: Proc. conf. held at B.C.U.R.A. Leatherhead, Surrey, 1960. Oxford: Pergamon press, 1960.

195. Asmolov E.S. Dusty-gas flow in a laminar boundary layer over a blunt body // J. Fluid Mech. 1995. Vol. 305. P. 29-46.

196. Barkla H.M., Auchterlonie L.J. The Magnus or Robins effect on rotating spheres // J. Fluid Mech. 1971. Vol. 47. P. 437-447.

197. Bart E. The slow unsteady settling of a fluid sphere toward a flat interface. Chem. Engng Sci. 1968. Vol. 23. N 3. P. 193-210.

198. Belousov V.I., Golovachev Yu.P., Ramm M.S., Sharov D.M., Schmidt A.A. Numerical simulation of two-phase supersonic flows about bodies // Gasdynamics. Ioffe Institute Research ser. Nova-Science, 1992, pp. 231-249.

199. Ben Salem M., Oesterle B. A shear flow around a spinning sphere: numerical study at moderate Reynolds numbers // Int. J. Multiphase Flow. 1998. Vol. 24. N 4. P. 563-585.

200. Bird G.A. Direct simulation of the Boltzmann equation // Phys, Fluids, 1970, vol. 13, N 11, p. 2676-2681.

201. Bird G.A. Molecular Gas Dynamics and the Direct Simulation of Gas Flows // Oxford: Clarendon Press, 1994, 458 p.

202. Bitter J.A. A study of erosion phenomena. Part I, II // Wear. 1963. Vol. 6. P. 5-21, 169-190.

203. Brenner H. The slow motion of a sphere through a viscous fluid towards a plane surface. // Chem. Engng Sci. 1961. Vol. 16. Nos. 3 and 4. P. 242-251.

204. Bretherton F.P. The motion of rigid particles in a shear flow at low Reynolds number. // J.Fluid Mech. 1962, Vol. 14. Part 2. P. 284304.

205. Brock J.R. On the theory of thermal forces acting on a aerosol particles. // J. Colloid Sci. 1962, Vol. 17. P. 768-780.

206. Cooley M.D.A., O'Neill M.E. On the slow motion generated in a viscous fluid by the approach of a sphere to a plane wall or stationary sphere. // Mathematika. 1969. Vol. 16. P. 37-49.

207. Cox R.G., Brenner H. The slow motion of a sphere through a viscous fluid towards a plane surface II. Small gap widths including inertial effects. // Chem. Engng Sci. 1967. Vol. 22. P. 1753-1777.

208. Crowe С.Т., Sommerfeld М., Tsuji Yu. Multiphase flows with droplets and particles. CRC Press, 1998. - 471 p.

209. Crowe C.T., Troutt T.R., Chung J.N. Numerical models for two-phase turbulent flows // Annu. Rev. Fluid Mech. 1996. Vol. 28. P. 11-43

210. Crowe C.T., Troutt T.R., Chung J.N., Davis R.W. and Moore E.F. A turbulent flow without particle mixing // Aerosol Sci. and Technology. 1995. Vol. 22. P. 135-138.

211. Dennis S.C.R., Singh S.N. and Ingham D.B. The steady flow due to a rotating sphere at low and moderate Reynolds numbers //J. Fluid Mech. 1980. Vol. 101. P. 257-280.

212. Drew D. The force on a small sphere in slow viscous flow. J.Fluid Mech. 1978. Vol. 88. Part 2. P. 393-400.

213. Fernandez de la Mora J. Two-dimentional stagnation point flow of a dusty gas near an oscillating plate // Acta Mechanica. 1982. V. 36. P. 261-265.

214. Goldman A.J., Cox R.G., Brenner H. Slow viscous motion of a sphere parallel to a plane wall II. Couette flow. // Chem. Engng Sci. 1967. Vol. 22. N 4. P. 653-660.

215. Hussein M.F., Tabakoff W. Dynamic behavior of solid particles suspended by polluted flow in a turbine stage //J. Aircraft. 1973. Vol.10. N 7. P. 434-440.

216. INTAS Catalogue of projects 1992-1995. Vol. 6: Engineering sciences, Aeronautics, Space. Blue Citron (Prance), 1996.

217. Ishii R., Umeda Y. and Yuhi M. Numerical analysis of gas-particle two-phase flows // J. Fluid Mech. 1989. Vol. 203. R 475-516.

218. Ishii R., Hatta N., Umeda Y. and Yuhi M. Supersonic gas-particle two-phase flow around a sphere // J. Fluid Mech. 1990. Vol. 221. P. 453-483.

219. Kitron A., Elperin T., Tamir A. Monte Carlo analysis of wall erosion and direct contact heat transfer by impinging two-phase jets // J. Thermophysics. 1988. Vol. 3. N 2. P. 112-122.r

220. Kurose R., Komori S. Drag and lift forces on a rotating sphere in a linear shear flow //J. Fluid Mech. 1999. Vol. . P.

221. Lee S.H., Leal L.G. Motion of a sphere in the presence of a plane interphase. Part 2. An exact solution in bipolar coordinates. // J.Fluid Mech. 1980. Vol. 98. Part 1. P. 193-224.

222. Maude A.D. End effects in a falling-sphere viscometer. // Brit. J. Appl. Phys. 1961. Vol. 12. N 6. P. 293-295.

223. Morsi S.A., Alexander A.J. An investigation of particle trajectories in two-phase flow systems //J. Fluid Mech. 1972. Vol. 55. Part 2. P.193.207.

224. O'Neill M.E. A slow motion of viscous liquid caused by a slowly moving solid sphere. // Mathematika (J. Pure Appl. Math.). 1964. Vol. 11. Part 1. N 21. P. 67-74. ( An Addendum: Mathematika. 1967. Vol. 14. P. 170-172. )

225. Oesterle B., Bui Dinh T. Experiments on the lift of a spinning sphere in a range of intermediate Reynolds numbers // Experiments in Fluids. 1998. V. 25. P. 16-22.

226. Osiptsov A.N. Mathematical modeling of dusty-gas boundary layers // Appl. Mech. Rev. 1997. Vol. 50. N 6. P. 357-370. (ASME Reprint No.• AMR 214.)

227. Osiptsov A.N. Lagrangian modelling of dust admixture in gas flows // Astrophysics and Space Science, 2000, vol. 274, p. 377-386.

228. Osiptsov A.N., Egorova L.A., Sakharov V.I., Wang B. Heat transfer in supersonic dusty-gas flow past a blunt body with inertial particle deposition effect // Progress in Natural Science, 2002, Vol. 12, N 12, p. 887-892.

229. Probstein R.F., Fassio F. Dusty hypersonic flows // AIAA J. 1970. V. 8. N 4. P. 772-779.

230. Rubinow S.I., Keller J.В. The transverse force on a spinning sphere moving in a viscous fluid // J. Fluid Mech. 1961. Vol. 11. P. 447459.

231. Saffman P.G. The lift on a small sphere in a slow shear flow. // J.Fluid Mech. 1965. Vol. 22. Part 2. P. 385-400. ( Corrigendum: J.Fluid Mech., 1968, vol. 31, part 3, p. 624. )

232. Sommerfeld M. Modelling of particle-wall collisions in confined gas-particle flows // Int. J. Multiphase Flow. 1992. Vol. 18. N 6. P. 905-926.

233. Sommerfeld M. Application of optical non-intrusive measurement techniques for studies of gas-solid flows // Gas-solid flows. FED-Vol. 166. -New York: ASME, 1993. P. 193-213.

234. Sommerfeld M. Review on numerical modelling of dispersed two-phase flows // Proc. 5th Int. Symp. on Refined flow modelling and turbulencemeasurements. Paris, Sept. 1993. P. 1-16.

235. Sommerfeld M., Huber N., Wachter P. Particle-wall collisions: experimental studies and numerical models // Gas-solid flows. FED-Vol. 166. -New York: ASME, 1993. P. 183-191.

236. Spurk J.H., Gerber N. Dust collection efficiency for power law bodies in hypersonic flight // AIAA J. 1972. Vol. 10. N 6. P. 755-761.

237. TabakofF W., Hamed A. Aerodynamic effects on erosion in turbomashin-ery // Joint Gas Turbine Conference, Tokyo, Japan, JSME/ASME Paper 70, May 1977.

238. Talbot L., Cheng R.K., Schefer R.W., Willis D.R. Thermophoresis of particles in a heated boundary layer //J. Fluid Mech. 1980. Vol. 101. Part 4. P. 737-758.

239. Tsibarov V. A kinetic model of gas-solids suspension with vapourizing particles //Proc. Bulgarian Acad. Sci. Theor. and Appl. Mech. 1988. Vol. XIX. N 3. P. 94-98.

240. Tsirkunov Yu.M., Panfilov S.V. Dusty gas flow around bodies: effects of non-elastic reflection of particles // 2nd European Fluid Mechanics Conference. September 20-24, 1994. Warsaw, Polland. Abstracts of Papers. Warsaw, 1994, p. 274.

241. Tsirkunov Yu., Tarasova N., Volkov A. Boundary layer effects in the dusty gas flow over a blunt body // Proc. Estonian Acad. Sci. Phys. Math. 1994. Vol. 43. N 4. P. 250-262.

242. Tsuji Y., Morikawa Y., Mizuno O. Experimental measurements of the Magnus force on a rotating sphere at low Reynolds numbers // Trans. ASME, J. Fluids Engng. 1985. V. 107. P. 484-488.

243. Van Dyke M. Higher approximations in boundary-layer theory. Part 1. General analysis // J. Fluid Mech. 1962. Vol. 14. Part 2. P. 161-177.

244. Wakiya S. Viscous flow past a spheroid. //J. Phys. Soc. Japan. 1957. Vol. 12. N 10. P. 1130-1141.

245. Waldman G.D., Reinecke W.G. Particle trajectories, heating and breakup in hypersonic shock layers // AIAA Journal. 1971. V. 9. N 6. P. 10401048.

246. Wang B.Y., Glass I.I. Compressible laminar boundary-layer flows of a dusty gas over a semi-infinite flat plate //J. Fluid Mech. 1988. V. 186. P. 223-241.