Однородные изотропные штеккелевы пространства в теории гравитации тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Филиппов Альтаир Евгеньевич

ОДНОРОДНЫЕ ИЗОТРОПНЫЕ ШТЕККЕЛЕВЫ ПРОСТРАНСТВА В ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ

01.04.02 Теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск - 2003

Работа выполнена в Томском государственном педагогическом университете.

Научный руководитель:

4 доктор физико-математических наук

Осетрин Константин Евгеньевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук профессор Эпп Владимир Яковлевич

доктор физико-математических наук профессор Бордовицын Владимир Александрович

Ведущая организация:

Томский политехнический университет

Защита состоится 9 октября 2003 г. в 14.00 часов на заседании диссертационного совета К 212.266.01 при Томском государствен....^ педагогическом университете по адресу: 634041, г. Томск, Комсомольский проспект, 75.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Томского государственного педагогического университета по адресу: 634041, г. Томск, Комсомольский проспект, 75.

Автореферат разослан 9 сентября 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Е.А. Румбешта

/ Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации

Задачей диссертации является классификация пространств (4-мерное пространство - время), допускающих, с одной стороны, интегрирование уравнения Гамильтона-Якоби методом полного разделения переменных, а с другой стороны, допускающих 3-параметрическую группу движений с пространственно - подобными орбитами.

Пространства, в которых уравнение Гамильтона-Якоби допускает полное разделение переменных, называются штеккелевыми. Их изучение и классификация были начаты П. Штеккелем и завершены в трудах томских ученых (В.Н. Шаповалов, В.Г. Багров, В.В. Обухов и др.). Разделение переменных достигается в специальной системе координат, называемой привилегированной. Штеккелево пространство характеризуется наличием абелевой группы движений, а также наличием (или отсутствием) изотропных переменных, соответственно этому введено обозначение для типов штеккелевых пространств: (N.N0), где N — размерность абелевой группы, N0 — число изотропных переменных. Интерес к изотропным штеккелевым пространствам связан с задачами о распространении гравитационных волн.

Наличие в пространстве 3-параметрической группы движений с пространственно - подобными орбитами является общековариантным признаком пространственной однородности. Роль однородных пространств в современной космологии трудно переоценить. На базе однородных пространств строят модели Большого взрыва, начальных сингулярностей, а также инфляционные модели. Однородные пространства используют в большинстве современных моделей гравитации для исследования общих закономерностей развития Вселенной.

Таким образом, актуальность поставленной задачи обусловлена, с одной стороны, развитием новых подходов к точному интегрированию дифференциальных уравнений в частных производных в задачах гравитации, а с другой стороны, тем что однородные пространства играют большую роль в современной космологии.

) Цель работы

1

( Целью работы является классификация изотропных штеккелевых про-

странств по признаку допускаемой ими 3-параметрической группы дви-

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ I БИБЛИОТЕКА { С-Пстербург 09 мт/

ш

жений с пространственно - подобными орбитами, то есть классификация пространственно - однородных моделей, допускающих интегрирование уравнений движения методом полного разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби.

Научная новизна работы

обусловлена получением в диссертации следующих оригинальных результатов:

1. Найдены все классы однородных штеккелевых пространств типа (3.1), проведена классификация найденных решений по Петрову и по Биан-ки;

2. Найдены все классы однородных штеккелевых пространств типа (2.1), проведена классификация найденных решений по Петрову и по Биан-ки.

Научная и практическая значимость работы

Нахождение пересечений классов штеккелевых и однородных пространств представляет с математической точки зрения самостоятельный интерес как развитие методов математической физики в искривленном пространстве - времени.

С другой стороны, метод полного разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби являются мощным инструментом для интегрирования полевых уравнений в современных физических теориях и получения точно решаемых моделей.

Результаты, выносимые на защиту:

1. Найдены все классы однородных штеккелевых пространств типа (3.1), проведена классификация найденных решений по Петрову и по Биан-ки;

2. Найдены все классы однородных штеккелевых пространств типа (2.1), проведена классификация найденных решений по Петрову и по Биан-ки.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы докладывались на региональной конференции "Сибирская школа молодого ученого" (Томск, 1999), на XI международной школе-семинаре по проблемам теоретической и математической физики (Казань, 1999), на международном конгрессе "Наука, образование, культура на рубеже тысячелетий" (Томск, 2000), на V международной конференции по гравитации и астрофизике стран азиатско-тихоокеанского региона (Москва, 2001), на III международной конференции "Квантовая теория поля и гравитация" (Томск, 2002), на общегородском семинаре по теоретической физике в г. Томске.

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 6 работ. Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, трех приложений и списка литературы. Список литературы содержит 143 источника. Общий объем составляет 130 страниц.

Содержание диссертации

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели работы, указаны научная новизна, научная и практическая значимость результатов работы, сделан краткий обзор по проблематике диссертации, перечислены результаты, выносимые на защиту, приведены структура и содержание диссертации.

Первая глава носит обзорный характер и и призвана обеспечить основу для дальнейшего изложения. Рассматриваются общие вопросы разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби

¿5,= т2

в искривленном пространстве-времени. Приведен конструктивный алгоритм построения метрического тензора штеккелевых пространств в привилегированных системах координат (привелечированными называются

системы координат, в которых достигается полное разделение переменных, таким образом, разделение переменных нековариантно). Показана связь условий полного разделения переменных с интегралами движения. Связь интегралов движения с векторными полями Киллинга, и, следовательно, с симметриями пространства, открывает возможность теоретико-группового подхода к определению штеккелева пространства на основе так называемого полного набора интегралов движения. Такое определение является общековариантным. Базовые результаты приведены для пространств произвольной размерности и сигнатуры, в параграфе 1.4 приведен явный вид метрик 4-мерных штеккелевых пространств с пространственно - временной сигнатурой.

Кроме того, в первой главе рассмотрены общековариантное определение однородного пространства и классификация однородных пространств по Бианки, а также общие свойства однородных и штеккелевых пространств.

В параграфе 1.6 приведена схема алгебраической классификации пространств по Петрову.

Во второй главе решается задача о нахождении и классификации метрик изотропных штеккелевых пространств типа (3.1) обладающих свойством пространственной однородности.

О 1 Ь2(х°) Ьз(х°) 10 0 0

Ых0) 0 а22(Ж°) а23(х°) • ' ^

0 о23(ж°) азз(х°),

Пространство типа (3.1) допускает 3-параметрическую абелеву группу движений,

Х1,Х2,Х3-, Хр = др, [Хр,Х,] = 0, р,я,г = 1,2,3, (2)

орбиты которой являются изотропными гиперповерхностями,

деЬ\М Хр* Хя>\ = 0,

поэтому для выполнения условия пространственной однородности группа движений расширена с помощью дополнительного генератора, не входящего в полный набор,

Х* = ?дь (3)

который должен отвечать требованию: два генератора из полного набора Х2, Х3 вместе с дополнительным Х4 образуют группу с пространственно - подобными орбитами

[Хих4\ = а1х4 + 01тХт + Х\ [Х1,Хгп]=0

[Хт, Х4] = атХ 4 + /3тпХп [х2,х3} = 0

(4)

(ар, ¡3р9 — структурные константы группы),

да Ха'Хь> (1ха(1хъ >0, а,Ь — 2,3,4. (5)

Алгебраическая классификация осуществляется на основании тождеств Якоби

/811аго=0

а2/?зп = аз/Зг" (6)

ат01п = афпп

и линейных преобразований

Хт — 5ТО Хп.

Уравнения Киллинга

1. £О,1+ЫО,2+ЫО,3 = 0

2- ^,0 + ^,1 + Ы1,а + Ь8е,з = 0

3. + е2д + а22е,2 + 023^,3 + Ь2е,2 + Ы2,з - № = О

4- Ъзе,о + £3д + «23^,2 + авз^°,з + Ы3,2 + Ьз£3,з - ¿V = О 5. = О

6- £2,0+022^ ,2 +«23^ ,3 = 0

7. ^,0 + 023^,2 +083^,3= О

8- Ьг¥,о + а22С2,2 + «2з£2,з - £°а22' = О

9- Ы2,о + Ы3,о + о23(е2,2 + £3,з) + а22£3,2 + азз^.з - £°а23' = О Ю. Ь3£3,о + <*2з£3,2 + а33£3,з - С0а33' = О

позволяют найти явный вид метрики пространства и дополнительного оператора. В результате ограничений, накладываемых на дополнительный вектор Киллинга коммутационными соотношениями (4), уравнения Киллинга представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений.

Найдено 12 типов пространств. В таблице приведена классификация найденных решений по Бианки

Тип Тип по Бианки

I II III IV V VI VII VIII IX

al.l + + +

al.2 + +

al.3 +

а2.1 + +

а2.2 +

аЗ +

Ы.1 + +

Ы.2 +

Ы.З +

Ь2.1 +

Ъ2.2 +

ЬЗ +

Пустые клетки означают отсутствие пересечений. Как видно из таблицы, в полученной классификации отсутствуют метрики VIII и IX типов по Бианки.

Согласно алгебраической классификации Петрова все найденные пространства относятся к типам N и D, типы I, II и III отсутствуют. Тип пространства по Петрову и скалярная кривизна пространства R связаны с видом функций £>2, &з:

1. Ъ2 = Ь3 = 0, тип N, R = 0;

2. иначе: тип D, R ф 0.

В третьей главе решается задача о нахождении и классификации метрик изотропных штеккелевых пространств типа (2.1)

к4 = — в Д

/10 0 0 \

0 0 fix1) 1

0 fix1) coix^ + dix1) bix°)

\0 1 Ъ{х°) aixV где Д = d0(ж0) + diix1) > 0.

9 = ~§i, D = a f2 — 2b f + с > Q,

обладающих свойством пространственной однородности. Полный набор пространства типа (2.1) содержит два вектора Киллинга,

Xi=£>3, Х2=д2 [ХьХ2]=0, (9)

(7)

(8)

для выполнения условия пространственной однородности необходимо ввести два дополнительных

Хз = Сдг, х4 = п%, (10)

оторые должны отвечать требованию: один оператор из полного набора Х2 вместе с двумя дополнительными Х4 образуют группу с пространственно - подобными орбитами

[Xi,X2] = 0

[X1,Xa]=aaX1+ßabXb+ßa2X2, а, Ь = 3,4 .

[Х2,Ха]=1а2Х2 + 'уаьХь {LL)

[Xz,Xi] - 75 Х3 + 76 Xi + 77 Х2 (a, ß, 7 — структурные константы группы),

9ij XjXJ dxpdx" >0, p,q = 2,3,4. (12)

Методика решения аналогична той, что применялась для пространства типа (3.1), однако уравнения Киллинга

1. 2А + А,о + A.ií1 = О

2. е,0+/е,2+е,з=о

4. е,0+е,1+ье,2+ае,з = о

5. Я1,2 + ^,3 = 0

6. се,2+/ (-2^о,о++e¿)+ъ?,3+- re=о

7. -2 е ,о+с1 д+ь е ,2+/ е ,2+а е ,3+е,3=о

8. 2(/e,i+c (-€%+е,2)+ье,3) - <*' - <*' е1 = о

3. e,i+¡е, 1+се,2+ае,г+к-+е,2+е,*)-

64° = о

10. 2 (£3,1 + ъе,2 + а (-■£% + е,з)) - а' = 0

представляют собой функциональные уравнения и имеют собственную классификацию решений, что несколько затрудняет алгебраическую классификацию на основе линейных преобразований и тождеств Якоби.

Найдено 29 типов пространств, удовлетворяющих поставленным требованиям.

Согласно классификации однородных пространств Бианки найденные решения относятся к типам I — VII, типы VIII и IX отсутствуют.

Согласно алгебраической классификации Петрова, все найденные решения относятся к типу D, типы I, II, III и N отсутствуют.

Скалярная кривизна R найденных пространств постоянна и неположительна, ее значение связано с функциональным видом конформного фактора Д:

1. Д = А(х°), R = 0;

2. Д = Д^1), R = const < 0.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

[1] В.В. Обухов, К.Е. Осетрин, А.Е, Филиппов. Метрики однородных пространств, допускающие полные наборы типа (3.1)// Известия ВУЗов, 2002, N1, С. 42-50.

[2] Филиппов А.Е. Пространственно-однородные модели, допускающие интегрирование уравнений Гамильтона-Якоби // Международный конгресс "Наука, образование, культура на рубеже тысячелетий": Труды "Второй Сибирской школы молодого ученого". Том II. Математика. Физика. Информационные технологии. - Томск: Издательство Томского государственного педагогического университета, 2000. - С. 6-9

[3] Обухов В.В., Осетрин К.Е., Филиппов А.Е. Однородные пространства, допускающие интегрирование уравнений Гамильтона-Якоби // Gravitation & Cosmsology. - Vol 5. No 4(20), Supplement, 1999. - С. 20-27.

[4] Багров В.Г., Обухов В.В., Осетрин К.Е., Филиппов А.Е. Штеккеле-вы пространства с дополнительными симметриями // Gravitation & Cosmology. - Vol 5. No 4(20), Supplement, 1999 . - С. 10-16.

[5] Осетрин K.E., Филиппов А.Е. Однородные штеккелевы пространства типа (2.1) // Новейшие проблемы теории поля. Труды Международной летней школы-семинара по современным проблемам теоретической и математической физики. Под ред. А.В. Аминовой. - Казань, 2000. - С. 244-250.

[6] Филиппов А.Е. Однородные штеккелевы пространства в теории гравитации // Труды региональной научно- практической конференции

ю

студентов, аспирантов и молодых ученых "Сибирская школа молодого ученого". Том IV. Физика, математика, информационные технологии. - Томск: Издательство Томского государственного педагогического университета, 1999. - С. 3.

»14328

«

Подписано в печать: 05.09.2003 г. Бумага: офсетная Тираж: 100 экз. Заказ: № 0125/Х

Печать: трафаретная Формат: 60x84/16

Издательство Научной литературы Томского государственного педагогического университета 634041, г. Томск, пр. Комсомольский, 75 ИвЯЯПМ1Л1Шв!!!1И

Тел. (3822) 20-81-66, E-mail: publish@tspu.edu.ni

&

шшш!шт

Введение

1 Введение в теорию штеккелевых пространств

1.1 Уравнения движения пробной частицы в гравитационном поле

1.2 Разделение переменных в уравнении

Гамильтона-Якоби.

1.3 Полное разделение переменных и интегралы движения.

1.4 Метрики штеккелевых пространств сигнатуры (—,+,+, +).

1.5 Однородные пространства.

2 Классификация однородных штеккелевых пространств типа (3.1)

2.1 Однородные штеккелевы пространства типа (3.1) — постановка задачи.

2.2 Классы метрик, допускаемых однородными штеккелевыми пространствами типа (3.1).

2.3 Метрики типа А.

2.4 Метрики типа В.42 ■

3 Классификация однородных штеккелевых пространств типа (2.1)

3.1 Однородные штеккелевы пространства типа (2.1).

3.2 Классы метрик, допускаемых однородными штеккелевыми пространствами типа (2.1).

3.3 Метрики типа A (f = 0)

3.3.1 Случай 734 ф 0.

3.3.2 Случай 734 =

3.4 Метрики типа В (f ф 0).

3.5 Сводка результатов классификации однородных штеккелевых пространств типа (2.1).

Развитие метрических теорий гравитации остается актуальной задачей современной физики, поскольку именно они служат низкоэнергетическим пределом для гравитационного взаимодействия в более общих теориях, в частности, в теориях великого объединения.

На настоящий момент имеется много различных полевых теорий, однако число точно решаемых моделей в таких теориях невелико (см., например, [1-9]). Известно, что точное решение полевых уравнений представляет собой крайне трудную задачу. Это объясняется тем, что в модельных теориях возникают системы уравнений в частных производных, для которых не существует общих методов решения. Имеется набор решений лишь для различных частных случаев [10-19].

Наиболее конструктивным методом получения точных решений является на сегодняшний день метод полного разделения переменных. Его основная идея заключается в сведении дифференциального уравнения в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

К настоящему времени установлены условия полного разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби в произвольном искривленном пространстве [20-24]. Пространство, которое допускает полное разделение переменных в одночастичном уравнении Гамильтона- Якоби, по определению называется штеккелевым. Известно, что принадлежность пространства к классу штеккелевых является также необходимым условием для полного разделения переменных во всех основных уравнениях математической физики: Клейна-Гордона, Дирака, Дирака-Фока-Иваненко и другие (см., например, [26-41]). Этим объясняется тот факт, что все известные точные решения уравнений математической физики были получены в классе штеккелевых пространств [25].

В теории гравитации метод полного разделения переменных дал хорошие результаты также в теории Бранса-Дикке [42-49]. Полное разделение переменных нековариантно, в том смысле что оно достигается только в некотором классе координатных систем специального вида, называемых привилегированными. Однако существует ковариантный критерий принадлежности пространства к классу штеккелевых. На математическом языке он выражается в наличии у пространства так называемого полного набора, состоящего из векторных и тензорных полей Киллинга, удовлетворяющих некоторым алгебраическим условиям [50-60].

Элементы полного набора имеют также ясную физическую интерпретацию как интегралы движения, линейные и квадратичные по импульсам [61]. Другими словами, возможность полного разделения переменных связана с наличием у пространства некоторой группы симметрий. Генераторы этой группы связаны с векторами Киллинга полного набора. Эта группа не обязательно исчерпывает все симмет- ' рии пространства, она может быть подгруппой в группе всех симметрий.

Классификация полей тяготения по группам симметрий начата достаточно давно (см., например, [62-64]).

Одной из наиболее важных симметрий является однородность трехмерного пространства, что является вообще одной из фундаментальных физических предпосылок [65]. Представление о симметрии физических законов возникло со времен Галилея и Ньютона, которые сформулировали постулат об эквивалентности всех инерциальных систем отсчета. Однако понимание того, что симметрия должна быть одним из требований при формулировке физических теорий, появилось в 1905 году после работ Пуанкаре, который установил инвариантность уравнений Максвелла относительно преобразований координат, названных им преобразованиями Лоренца, и работ Эйнштейна, установившего физический смысл этой инвариантности как внутреннего свойства пространства-времени. С тех пор принципы симметрии стали играть в физике все возрастающую роль и в настоящее время являются главными при построении физических теорий.

Оговорим использование термина "однородность пространства". В диссертации исследуется четырехмерное пространство-время, называемое просто пространством в тех случаях, когда не играет роли его пространственно-временная структура. Под однородностью пространства будет пониматься во всех случаях однородность трехмерного пространства, взятого в фиксированный момент времени.

Однородные космологические модели записываются как правило в системах координат, связанных с синхронными системами отсчета [62,66], преимуществом которых является отделение трехмерного пространства от временной координаты. Этот общепринятый подход удобен как для определения самого понятия однородности, так и для решения множества физических задач, однако решение задач, связанных с разделением переменных, требует перехода в привилегированные системы координат, что означает отказ от ясного представления о времени и трехмерном пространстве и требует введения ковариант-ного обобщения определения пространственной однородности. Такое определение дано, например, в работе [67].

Таким образом, как разделение переменных в уравнениях движения, так и пространственная однородность выражаются на языке симметрий, что указывает путь отыскания метрик пространств, обпадающих обоими указанными свойствами. Наиболее интересными для теории гравитации и космологии являются изотропные штекке-левы пространства благодаря наличию так называемой изотропной переменной, гиперповерхности уровня которой являются характеристиками уравнения Эйнштейна (Эйнштейна-Максвелла) и соответствуют фронту гравитационной волны [68,69]. Следовательно, данная переменная является волновой, и среди изотропных штеккелевых пространств следует искать волновые решения уравнений гравитационного поля, допускающие точное интегрирование уравнений движения. Таким образом, изотропные штеккелевы пространства могут служить точно интегрируемыми моделями пространства-времени при наличии гравитационного (и электромагнитного) излучения, что представляет собой значительный интерес и обуславливает выбор именно этих пространств в диссертационной работе. В диссертационной работе исследуется пересечение класса изотропных штеккелевых пространств с классом однородных пространств. Решается задача о классификации указанного пересечения для двух типов штеккелевых пространств: (3.1) и (2.1).

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и спис- . ка литературы.

Основные результаты работы доложены на двух международных конференциях и опубликованы в статьях [124-129].

В заключение мне хотелось бы выразить искреннюю благодарность моему научному руководителю К.Е. Осетрину за постановку задачи и всестороннюю помощь в работе. Глубоко признателен ему за проявленное ко мне внимание и терпение.

Заключение

Перечислим основные результаты, полученные в диссертации

1. Найдено 12 типов однородных штеккелевых пространств типа (3.1). Найденные пространства относятся к типам I — VII по классификации Бианки и к типам D, N по Петрову.

При этом тип по Петрову однородного пространства типа (3.1) и скалярная кривизна R зависят от функций &з> а именно:

1) &2 = = О? тип скалярная кривизна R = 0;

2) иначе: тип D, скалярная кривизна R ф 0.

2. Найдено 29 типов однородных штеккелевых пространств типа (2.1). Найденные пространства относятся к типам I — VII по классификации Бианки и к типу D по Петрову.

Конформный фактор Д однородных пространств типа (2.1) зависит только от одной из переменных х°,хг, а именно:

1) типы 1 - 10, 19 - 28 Д = d^x1);

2) типы 11 - 18 и 29 Д = do(x°).

Скалярная кривизна R однородных пространств типа (2.1) связана с функциональным видом конформного фактора Д

1) Д = d\(xl), R = 0;

2) Д = с?о(ж0), R = const < 0.

1. Обухов В.В. О некоторых классах точных решений уравнения Эйнштейна, Изв. вузов СССР, Физика, —1977, — 2.

2. Обухов В.В. Классы точных решений уравнения Эйнштейна, Изв. вузов СССР, Физика, —1977, — 5, 148—150.

3. Обухов В.В. Классы точных решений уравнения Эйнштейна: Дис. . канд. физ.-мат. наук. — Москва. МГУ, — 1978, — 99.

4. Багров В.Г., Обухов В.В. Классы точных решений уравнений Эйнштейна—Максвелла, Изв. вузов СССР, Физика, —1982, — 4, 13—16

5. Bagrov V.G., Obukhov V.V. Classes of exact solutions of the Einstein—Maxwell equations, Ann.Phys, —1983, —F.7, —Vol. 40,4/5, P. 181—188.

6. Обухов В.В. О некоторых классах точных решений уравнения Эйнштейна. II Изв. вузов СССР, Физика, —1978, — 5, 56—59.

7. Friedman A. Uber die Kriimmung des Raumes//Zs Phys. — 1922.1. Vol. 10. — P. 377 380.

8. Friedman A. Uber die Moglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Kriimmung des Raumes//Zs Phys. — 1924. — Vol. 21.1. P. 326.

9. Taub A.H. Empty space-time admitting a three parameter group of motions// Ann. Math. — 1951. — Vol. 53. — P. 472.

10. Крамер Д., Штефани X., Херльт Э., Мак-Каллум М. Точные решения уравнений Эйнштейна. — М.: Энергоиздат. — 1982. — 416 С.

11. Schwarzschild К. Uber das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie. Sitzungsber. Acad. Wis —1916, —P. 195.

12. Kottler F. Uber die physikalishen Grundlagen der Einsteinschen gravitations theorie, Ann. Phys. —1918, —S. 4, Vol. P. 401—462.

13. Kasner E. Geometrical theorems on Einsteins cosmological equations, Amet. Journ. Math. —1921, —Vol. 43.

14. Nordstrem C. On the energy of gravitational field in Einsthein theory, Proc. K. Acad. Wet. Amsterdam, —1918. —P. 1238.

15. Kerr R.P. Gravitational field of a spinning mass as example of algebraically special metrics, Phys. Rev. Lett. —1963, —Vol. II, —P. 237—328.

16. Newman E. Tamburino L., Unti T. Empty space generalization of the Schwarzshild metric, J. Math. Phys, —1963, —Vol. 4, — 7, —P. 915—927.

17. Demianski M., Newman E.A. Combined Kerr—NUT solution of the Einstein field equations, Bull. Acad. Polon Sci. Ser. sci. math, astronom at ptys., —1966, —Vol. 1'4, — II, —P. 653—670

18. Takweno H. On geometrikal properties of someplane wave solutionin general relativity, Tensor, —1959, —Vol. 9,-2. —P. 79—93

19. Garter B. New family of Einstein spaces, Phys. Lett, —1968, —A. 29, — 9, —P. 399—400.

20. Agostinelli S. Sulle equazioni di Hamilton—Jacobi integrabili per separazione di variabili,— Atti del R. Intituto. Veneto Scienze, Lettere ed Arti, Anno acc., 1936, 96, p. II, 151—161.

21. Багров В.Г., Мешков А.Г., Шаповалов В.Н., Шаповалов.А.В. Разделение переменных в уравнении Клейна—Гордона.// Изв. вузов СССР, Физика, — 1973, — 11, — С.66-72.

22. Шаповалов В.Н. Симметрия уравнений движения свободной частицы в римановом пространстве. —Изв. вузов. Физика. 1975, 12, 14—19.

23. Шаповалов В. Пространства Штеккеля, Сиб.мат. журнал, 1979, т. 20, 1117—1130.

24. Collinson C.D., Fugere J. Conditions for the separation of the Hamilton—Jacobi equation, J.Phys. A.: Vath. Gen., —1977, —Vol. 10, — II, P. 1877—1884.

25. Обухов В.В. Разделение переменных в скалярных и спинорных уравнениях в общей теории относительности: Дис. . докт. физ.-мат. наук. — Томск. —1990, —99.

26. Teukolsky S. Perturbation of a rotating black holl. I. Fundamental equations for gravitational electromagnetic and neutrino-field perturbation, Astroph. Journ, —1975, —Vol.185, P. 635—647.

27. McLenaghan R.G., Spindel Ph. Quantum numbers for Dirac spinor fields on a curved space.time, Phys. Rev. D., —1971, —Vol.20, P. 409—413.

28. Kamran N., McLenaghan R.G. Separation of variables and quantum • numbers for Weyl neutrino field on curved space, time, Lett. Math. Phys., —1983, —Vol.7, P.38I—386.

29. Kalnins E.G., Miller W.J., Williams G.C. Matrix operator symmetries of the Dirac equation and separation of variables, J. Math. Phys. —1986,—Vol. 27, — 7, P. 1893—1900.

30. Giiven R. The solution of Dirac's equation in a class of type D vacuum space.times, Proc. R. Soc. London, —1977, —A.356, P. 465—470.

31. Багров В.Г., Шаповалов А.В. Симметрия уравнения Дирака с внешним неабелевым калибровочным полем, Изв, вузов СССР, Физика, —1986, — 3, 95—103.

32. Багров В.Г., Обухов В.В. Разделение переменных в квадриро-ванном уравнении Дирака-Фока для изотропных штеккелевых пространств, Препринт ТО СО АН СССР, —1988, — 11, 11 С.

33. Мешков А.Г. Об одном методе решения уравнения Дирака, Изв. вузов СССР, Физика, —1980, — 12, 41—44.

34. Багров В.Г., Обухов В.В. Метод интегрирования уравнения Дирака, Препринт ТНЦ СО АН СССР, —1989, — 57, 11 С.

35. Багров В.Г., Обухов В.В. Нестандартный пример в проблеме разделения переменных в уравнении Дирака—Фока, Труды ИФАН, —1989, —т.65, 137-143,

36. Багров В.Г., Обухов В.В. Разделение переменных в уравнении Клейна-Фока. В кн. Гравитация и электромагнетизм, Минск.: Б ГУ, —1988, 11-14.

37. Шаповалов В.П., Экле Г.Г. Алгебраические свойства уравнений Дирака, Элиста: КГУ, —1972, —90 С.

38. Шаповалов В.Н. Симметрия уравнения Дирака-Фока, Изв. вузов СССР, Физика, —1975,— 6, 57—63. .

39. Carter В., McLenaghan R.G. Generalized total angular momentum operator for the Dirac equation in curved space-times, Phys. Rev. D., —1979, —Vol.19, P. 1093 1097.

40. Unruh W.G. Separability of the neutrino equations in a Kerr background, Phys. Rev. Lett., —1977, —Vol.31, P. 1265. 126

41. Vaidya P.C. Nonstatic solutions of Einstein s field theory equations for spheres of fluids radiating energy, Phys. Rev., —1951, —Vol.83, P. 10 -17.

42. Isaacson R.A. Gravitational radiation in the limit of high treottency, Phys. Rev., —1968, —Vol.166, — 5, P. 1263 -1280.

43. Benerjel A., Santos N.0. Conformalli flat static space.time in BDT., J. Math. Phys., —1981, —Vol.22, — 5, P. 1075 1080.

44. Benerjel A., Santos И.О. Static perfect fluid in BDT., Int. J. Theor. Phys, —1981, —Vol.20, — 5, P.315—329.

45. Benerjel A., Bhattacharya D. Plane symmetric static field in BDI., J. Math. Phys., —1979, Vol. 20, — 9, P. 1908 - 1910.

46. Rao P.P., Tiwari R.N. Stationary Brans-Dicke vacuum solutions in BDT., Acta Phys. Acad. Sci. Hung., —1979 (1980), — Vol.47, — 4, P. 281—291.

47. Багров В.Г., Обухов В.В., Осетрин К.Е. Штеккелевы пространства в теории Бранса—Дикке. В кн. Проблемы теории гравитации, релятивистской кинетики и эволюции вселенной, Казань, —1988, 105—110.

48. Багров В.Г., Обухов В.В., Осетрин К.Е. Штеккелевы пространства вакуума в теории Бранса—Дикке. В кн. Точные решения уравнений гравитационного поля и их физическая интерпретация, Тарту, ТГУ, —1988, 82—84.

49. Шаповалов В.Н. Разделение переменных в линейном дифференциальном уравнении второго порядка, Дифф. ур—ия. —1980. — т. XYI, — 10, 1864—1874.

50. Robertson Н.Р Bemerkung iieber separierbare systeme in der Wellenmechanik, Ann. Math. —1928. — Vol. 98, — 52, — P. 749— 752.

51. Eisenhart L.P. Separable systems of Stackel, Ann. Math. — 1934.1. Vol. 35, — 2, P. 284—305.

52. Eisenhart L.P. Separable systems in Euclidean 3 — space, Phys.Rev.1934. — Vol. 45, P. 427—428.

53. Eisenhart L.P. Separation of variables in one particle Schrodinger equation 3 — space, Proc. Nat. Acad. Sci. of USA. — 1949. — Vol. 35, — P. 412—418.

54. Carter B. Hamilton—Jacobi and Schrodinger separable solutions of Einsteins equations, Comm. math. phys. —1968. — Vol. 10. — P. 280—310.

55. Bagrov V.G., Obukhov V.V. Separation of variables for the Klein— Gordon equation in special Stackel spacetimes, Quant, and Ciass. Grav. —1989.

56. Багров В.Г., Обухов В.В. Классы точных решений уравнений ' Эйнштейна—Максвелла, Изв. вузов СССР, Физика, — 1981, — 12, 33—36.

57. Багров В.Г., Гитман Д.М., Тернов И.М., Халилов В.Р., Шаповалов В.Н. Точные решения релятивистских волновых уравнений, Новосибирск, Наука, —1982,—143.

58. Bagrov V.G., Obukhov V.V. Complexification of the complete varialble separation method in Hamilton—Jacobi equation, II Int. Conference on Gen. Relat. Grav. (Stokholm) Abstracts of contr. pap. —1986. —Vol. II. —P.531.

59. Багров В.Г., Обухов В.В. Комплексификация метода полного разделения переменных в уравнении Гамильтона—Якоби, Изв. вузов СССР, Физика. —1988, — 9, 23—27.

60. Woodhouse N. Killing tensors and the seperation of Hamilton— Jacobi equation, — Commun. Math. Phys., 1975, 44, 9—38.

61. Петров A. 3. Новые методы в общей теории относительности, М.: Наука 1966. — 496 С.

62. Багров В.Г., Обухов В.В., Шаповалов А.В. О полях тяготения III типа по классификации Петрова, Изв. вузов СССР, Физика,— 1981, — 10, 102—103.

63. Kinnersley W. Type D vacuum metrics, J.Phys. A.: Vath. Gen., —1977, —Vol. 10, — 7, P. 1195—1203.

64. Ryan M., Shepley L. Homogeneous Relativistic Cosmologies. — Princeton Univ. Press, Princeton. — 1975.

65. Ландау JI., Лившиц E. Теория поля, М.: Наука. 1988.

66. Богоявленский О.И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике, М.гНаука 1980.

67. Багров В.Г., Обухов В.В. Гравитационные волны в изотропных штеккелевых пространствах. В кн. Гравитационная энергия и гравитационные волны, Дубна, ОИЯИ, —1989, 88—92.

68. Stackel P. Uber die Integration der Hamiltion — Jacobischen Differentialgleichung mittelst Separation der Variabeln. Habilitations — schrift, Halle, 1891.

69. Stackel P. Uber die Bewegung eines Punktes in einer n—fachen Mannigfaltigkeit, — Math. Ann., 1893, 42, 537—563.

70. Stakel P. Sur I'integration de I'equation differential^ de Hamilton, — C. R. Acad. Sc. Paris, 1895, 121, 489—492.

71. Stakel P. Sur des problem de dynamique se reduisent a des quadratures, Comptes rendus hebd, S. Acad. Sci. (Paris), — 1893, —Vol. 116, — P. 1284 — 1286.

72. Stakel P. Sur une classe de problemes de dynamique, Comptes rendus hebd, S. Acad. Sci. —1893, —Vol. 116, P. 485—487.

73. Stackel P. Uber die Integration der Hamiltionschen differentialgleichung mittelst Separation der Variabeln, Math. Ann. —1897.Vol. 49, —P. 145-147.

74. Levi—Chivita T. Sulla integrazione della equazione di Hamilton— Jacobi per separazione di variabili, — Math. Ann., 1904, 59, 383— 397.

75. Levi—Chivita T. Sulle trasformazioni delle equazioni dinamiche, — Ann. Mat., 1896, s. 2, 24, 255—300.

76. Levi—Chivita Т. Integrar. della equar. di Hamilton—Jacobi per separatione di variabili, Math. Ann., — 1908. Vol. 66. — P. 398— 415

77. Яров-Яровой M.C. Об интегрировании уравнения Гамильтона— Якоби методом разделения переменных, П.М.М. — 1963. —: Т. 27.— 6.—973—219.

78. Шаповалов В.Н. Симметрия и разделение переменных в линейном дифференциальном уравнение второго порядка I., Изв. вузов СССР, Физика, —1978, — 5, 116—122.

79. Шаповалов В.Н. Симметрия и разделение переменных в линейном дифференциальном уравнении второго порядка II., Ив. вузов СССР, Физика, —1978, — 6, 7—10.

80. Шаповалов В.Н. Симметрия и разделение переменных в уравнение Гамильтона—Якоби I., Изв. вузов СССР, Физика. —1978, — 9, 18—24.

81. Шаповалов В.Н. Симметрия и разделение переменных в уравнении Гамильтона—Якоби II., Изв. вузов СССР, Физика. —1978,9, 25—27.

82. Havas P. Separation of variables in the Hamilton—Jacobi, Schro— dinger and related equations. II Partial separatin, —J. Math. Phys.,1975, 16, 2, 2476—2483.

83. Panagiotis M.P. Separabilite et integrales premieres des equations de Klein—Gordon et Hamiltin—Jacobi en espace courbe, Phys. Mag., —1977. — Vol. 7. — 1, P.41—46.

84. Boyer C.P., Kalnins E.G., Miller Jr.W. Separable coordinates for four—dimensional riemannian spaces, Comm. math phys. — 1978,1. Vol. 59, — P.285—302.

85. Kalnins E.G., Miller Jr.W. Separation of varibles on n—dimensional riemannian manifolds, J.Mfth. Phys., —1986, — Vol. 27, 7, — P.1721—1731.

86. Boyer C.P., Kalnins E.G., Miller Jr.W. Stackel—equivalent integrable Hamiltonian systems, Siam J. Math. Anal., —1986. — Vol. 17, 4, —P. 778—797.

87. Benenti S. Separable dinamical systems: Characterization of • separability structures on riemannian mani — folds, Reports Math. Phys. — 1977. —Vol. 12, — 3, — p. 311—316.

88. Захоров В.Д. Гравитационные волны в общей теории относительности, М,: Наука, —1972. —200 С.

89. Lichnerovicz A. Theories relativistes de la gravitation et de 1 electromagnetism, relativite generate et theories, Paris, —1955, — 299 P.

90. Багров В.Г., Евсеевич A.A., Обухов B.B., Осетрин К.Е. Штеккелевы пространства электровакуума с изотропными полными наборами. Постановка задачи и основные соотношения, Изв. вузов СССР, Физика, —1987, — 5, 17—21.

91. Багров В.Г., Евсеевич А.А., Обухов В.В., Осетрин К.Е. Штеккелевы пространства электровакуума с изотропными полными наборами. Интегрирование уравнений поля для метрик, обобщающих пространства типа (I.I), Изв. вузов ССС, Физика, —1987, — 12, 17-20

92. Багров В.Г., Обухов В.В., Осетрин К.Е. Классификация изотропных штеккелевых пространств электровакуума, Препринт ТФ СО АН СССР, —1986, — 25, 19 С.

93. Багров В.Г., Обухов В.В., Осетрин К.Е. Штеккелевы пространства электровакуума типа (I.I), Гравитация и теория относительности, —1987, — 24, 3—11.

94. Bagrov V.G., Obukhov V.V., Osetrin К.Е. Classification of the null Stackel electrovac space times with cosmological constants, Gen. Rel. Grav, —1988, —Vol.20, — 10, P. 1141—1154

95. Багров В.Г., Обухов В.В., Осетрин К.Е. Штеккелевы пространства электровакуума с изотропными полными наборами типа (1.1)./ Изв. вузов СССР, Физика, —1988, — 10, 79—83.

96. Багров В.Г., Обухов В.В., Шаповалов А.В. Поля тяготения в проблеме Вайдья, допускающие разделения переменных в уравнении Гамильтона—Якоби, Изв. вузов СССР, Физика, —1986, — 10, 3—8.

97. Багров В.Г., Обухов В.В., Шаповалов А.В., Осетрин К.Е. Электровакуумные пространства Штеккеля-Вайдья типа (N .1). В кн. Проблемы гравитации, М.:МГУ, —1986, 159—167.

98. Керес X. Принцип соответствия в общей теории относительности, ЖЭТФ, —1965, —т. 46, 5, 1741—1754.

99. Керес X. К физической интерпретации решений уравнений Эйнштейна, ЖЭТФ, —1965, —т. 52, 3, 758—779.

100. Обухов В.В. О физической интерпретации пространств Эйнштейна, Изв. вузов СССР, Физика. —1979, — 3, 121—134

101. Логунов А.А. Мествиришвили. Основы релятивисткой теории гравитации, ЭЧАЯ, —1986, —Т. 17,— 17, 5—159.

102. Iwata G. Emptynspeces of Stackel, Natur. Sci. Rept. Ochonomisu univ., —1969, —Vol. 9, — 2, —P. 79—93.

103. Вейнберг С. Гравитация и космология, М.: Мир, —1975, 696 С.

104. Шаповалов В.Н., Экле Г.Г. Полные наборы и интегрирование линейной системы 1-го порядка, Изв. вузов СССР, Физика, — 1974, — 2, 83—92.

105. Bagrov V.G., Obukhov V.V. Complexification of the complete variable separation method in the Hamilton- Jcobi equation, Proc. 5 Marcel Grossman meet. Gen. Relat. Abstracts, Australia. —1988.

106. Багров В.Г., Обухов В.В., Шаповалов А.В. Специальные штек-келевы пространства электровакуума, Изв. вузов СССР, Физика, —1984, — 8, 20—22.

107. Багров В.Г., Обухов В.В. Полное разделение переменных в свободном уравнении Гамильтона-Якоби // Теор. мат. физика. — 1992, — т.97, 250 256.

108. Багров В.Г., Обухов В.В., Шаповалов А.В. Штеккелевы пространства электровакуума с двухпараметрической абелевой группой движений. Постановка задачи и наборы типа (2.0), Изв. вузов СССР, Физика, —1983, — 1, 6—10.

109. Багров В.Г., Обухов В.В., Шаповалов Д.В. Штеккелевы пространства вакуума с двухпараметрическсй абелевой группой движений, Изв. вузов СССР, Физика, —1983,— 12,104—106.

110. Bagrov V.G., Obukhov V.V., Shapovalov A.V. Special Stackel electrovac space times, J. Phys.,—1986,—Vol.26, — 2, P. 93—108.

111. Багров В.Г., Обухов В.В., Шаповалов А.В. Специальные штеккелевы пространства электровакуума, Гравитация и теория относительности, —1986, — 26, 10-29.

112. Багров В.Г., Обухов В.В., Шаповалов А.В. Штеккелевы пространства электровакуума с двухпараметрической абелевой группой движений. Постановка задачи и наборы типа (2.1), Изв. вузов СССР, Физика, —1983, — 1, 6—10.

113. Багров В.Г., Обухов В.В., Осетрин К.Е. Штеккелевы пространства электровакуума типа (1.1) // Гравитация и теория относительности. —1987, — 24, — С. 3—11.

114. Багров В.Г., Обухов В.В., Осетрин К.Е. Штеккелевы пространства электровакуума с изотропными полными наборами. В кн. Гравитация и фундаментальные взаимодействия, М.:МГУ, — 1982, 42—43.

115. Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований, М.: И.Л., —1947, 359 С.

116. Bianchi L. Lezioni sulla teoria dei gruppi cotinui finiti di transformazioni sperri, Pisa, 1918.

117. Кручкович Г. Классификация трехмерных римановых пространств по группам движений. УМН 9, вып. 1 (59), 1954, стр. 9.

118. Кручкович Г. О движениях в римановых пространствах, Матем. сб. 41 (83):2, 1957, стр. 209.123.

119. В.В. Обухов, К.Е. Осетрин, А.Е, Филиппов. Метрики однородных пространств, допускающие полные наборы типа (3.1). Изв. ВУЗОВ, 2002, N1, С. 42-50.

120. Багров В.Г., Обухов В.В., Осетрин К.Е., Филиппов А.Е. Штеккелевы пространства с дополнительными симметриями // Gravitation & Cosmsology. Vol 5. No 4(20), Supplement, 1999 . -С. 10-16

121. Обухов В.В., Осетрин К.Е., Филиппов А.Е. Однородные пространства, допускающие интегрирование уравнений Гамильтона-Якоби // Gravitation & Cosmsology. Vol 5. No 4(20), Supplement, 1999. - С. 20-27

122. Wyman M., Trollope R. Null fields in Einstein-Maxwell field theory, J. Math. Phys., —1965, —Vol. 6, — 12, P. 1995—2007.

123. Wyman M.Trollope R. Null fields in Einstein-Maxwell field theory, J. Math. Phys., —1967, —Vol.18, — 4, P. 938—941.