Ограничения состояниезависимого квантового клонирования тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 531:530.145; 530.1:51-72

Растегин Алексей Эдуардович

ОГРАНИЧЕНИЯ СОСТОЯНИЕЗАВИСИМОГО КВАНТОВОГО КЛОНИРОВАНИЯ

01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидатафизико-математических н а у к

Иркутск — 2004

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Иркутского государственного университета

Научный руководитель:

доктор физ.-мат. наук, профессор Парфенов Ю. В.

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, профессор Андрианов А. А.

доктор физ.-мат. паук, профессор Хрусталев О. А.

Ведущая организация:

Институт автоматики и электрометрии СО РАН, г. Новосибирск

Защита диссертации состоится 5 апреля 2004 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 212.074.04 при Иркутском государственном университете по адресу: 664003, г. Иркутск, бульвар Гагарина, 20

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Иркутского государственного университета.

Автореферат разослал 27 февраля 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Квантовое клонирование является одним из важнейших разделов нового направления физики — квантовой теории информации. Эта быстро развивающаяся научная дисциплина возникла на стыке квантовой механики, квантовой оптики, криптографии, теории вычислительных алгоритмов, дискретной математики и включает в себя широкий спектр теоретических и экспериментальных проблем, связанных с использованием квантового состояния как информационного ресурса. Проведенные в минувшем десятилетии исследования ясно показали, что на квантовом уровне можно конструировать новые, гораздо более мощные по сравнению с классическими средства для передачи и обработки информации. Независимо от того, насколько быстро квантовые информационные технологии будут реализованы на практике, квантовая теория информации заслуживает внимательного изучения, так как дает ключ к пониманию тех фундаментальных законов Природы, которые до недавнего времени оставались вне поля зрения ученых. Без сомнения, открывающиеся на этом пути весьма заманчивые перспективы послужат хорошим стимулом для такого развития экспериментальной техники, которое значительно расширит потенциальные возможности по манипулированию состояниями микросистем.

Как хорошо известно, индивидуальный квантовый объект оказывается довольно "чутким", ускользающим от попыток получить о нем какое-либо знание элементом реальности. Соотношение неопределенностей Гей-зенберга является одним из проявлений такой чувствительности. Другое яркое проявление указанной лабильности выражается теоремой Вуттерса-Зурека (1982 г.), согласно которой осуществить идеально точное клонирование неизвестного квантового состояния невозможно. Тем не менее, использование той или иной приближенной формы клонирования оказывается необходимым для оптимизации преобразований, выполняемых квантовомеханическими устройствами при хранении, передаче и обработке информации на квантовых носителях. Некоторые из разрабатываемых сейчас квантовых технологий, в парную оноргщт пштросы стой-

РОЬ НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

С.Петер 09 «О

кости различных кванговокрипотрафичсских протоколов, требуют детального анализа возможностей и ограничений квантового клонирования Действительно, для взлома кваптовокриптографического канала связи подслушиватель может применить клонирование состояний, которые используются легитимшши пользователями кшала. Заметим, что квантовая криптография является паиболее продвинутым в область практических приложений разделом квантовой теории информации в настоящее время удается осуществлять стабильное квантовое распределение секретного ключа на расстояния вплоть до нескольких десятков км, а некоторые квантовые криптосистемы уже предлагаются для коммерческого использования.

По своему предназначению квантовые клонирующие машины принято делить на такие два класса: универсальные клонеры, предназначенные для клонирование любого состояния с одной и той же точностью, и состояниезависимъи клонеры, предназначенные для клонирования состояния, принадлежащего некоторому наперед заданному множеству состояний С другой стороны, по признаку используемой квантовой операции квантовые клонирующие машины мотут быть разделены на следующие два класса. Детерминированные клонеры генерируют клоны приближенные, но с вероятностью единица; вероятностные клонеры генерируют клоны точные, по с меньшей единицы вероятностью. Заметим, что схема вероятностного клонирования применима только к множеству линейно независимых состояний. Так что вероятностные кло-неры автоматически шляются состояпиезависимыми, а универсальные клонеры могут быть лишь детерминированными. По этой причине, а также вследствие того, что первоначально термин "состояниезависимые клонеры" был введен для наименования определенного класса детерминированных клонеров, под состояниезависимым клонированием обычно подразумевают именно детерминированное состояниезависимое клонирование Здесь термин "состояниезависимое клонирование" будет использоваться лишь в такой интерпретации. Итак, существует три вида квантовых клонеров: универсальные клонеры, состояниезависимые клонеры и вероятностные клонеры. Отметим также, что в процессах передачи и

обработки квантовой информации состояниезависимое клонирование по многим позициям оказывается более важным, чем клонирование упивер-сальпое. Это связано в первую очередь с тем, что большинство квантовых технологий оперируют с конечным числом некоторых специально подобранных состояний.

Таким образом, актуальность рассматриваемых в диссертации задач обусловлена новым, использующим последовательно квантовый подход этапом развития средств передачи и обработки информации, уже самые первые достижения которого позволяют надеяться на качественный прорыв в вычислительной технике и методах защиты информации от несанкционированного доступа. Работы по созданию и воплощению в жизнь квантовых информационных технологий только начинаются, и на этом пути необходимо систематически и всесторонне исследовать ряд дисциплин, в том числе квантовое клонирование. Но полученаые ранее в области квантового клонирования результаты не исчерпывают проблемы оптимального клонирования квантовых состояний в целом и не охватывают всех ее многочисленных аспектов. Действительно, большинство из уже проведенных исследований ограничивалось случаем чистых состояний и отсутствия априорного знания о клонируемом состоянии. Основные работы по состояниезависимому клонированию опираются на традиционно используемый критерий глобальной точности воспроизведения; Несмотря на имеющийся значительный задел, в комплексе проблема оптимального клонирования до конца не разработана, и здесь можно сформулировать целый ряд открытых вопросов.

Цель работы.

Основной целью диссертационной работы является исследование некоторых открытых вопросов состояниезависимого квантового клонирования. Практически все полученные ранее в этой области результаты были основаны на традиционно используемом критерии глобальной точности воспроизведения, касались клонирования только чистых состояний и не предполагали наличия какой-либо априорной информации о клонируемом состоянии. Поэтому для достижения поставленной цели рассматривались следующие задачи.

1. Найти и обосновать новый критерий для измерения точности состо-яниезависииого клонирования, пзвотоляющий оцениватьте аспекты проблемы, которые не охватываются традиционно используемыми критериями.

2. Получить границы для состояниезависимого клонирования смешанных состояний, используя как критерии глобальной точности воспроизведения и абсолютной ошибки, так и новый, дополнительный к указанным, критерий.

3. Исследовать более общую ситуацию, в которой вспомогательная система содержит априорную информацию о клонируемом состоянии и которая интересна, в частности, с точки зрения приложений к квантовой криптографии.

Научная новизна

Научная новизна рассматриваемых задач обусловлена сформулированной выше целью диссертационного исследования и отражена в следующих приведенных ниже утверждениях.

1. Развит новый подход к задаче состояниезависимого клонирования, использующий впервые предложенный критерий относительной ошибки клонирования и дающий иное, дополнительное по отношению к традиционному оценивание качества состояниезависимого клонирования.

2. Разработан новый метод исследования ограничений, налагаемых на состояниезависимое клонирование законами, квантовой теории, выявивший основную, помимо роли унитарности эволюции, роль неубывания функции точности воспроизведения при взятии парциального следа.

3. Впервые получены границы для состояниезависимого клонирования

смешанныхсостояний. Впервые рассмотрена ситуация, в которой вспомогательная система содержит некоторую априорную информацию о клонируемом состоянии.

Научная и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Изучение остояниезависи-мого клонирования пары состояний с точки зрения нового критерия относительной ошибки позволяет выработать практические ркомендации по выбору наиболее защищенных от прослушивания значений параметров в квантовокриптографическом протоколе В92 распределим секретного ключа. Результаты, полученные при основанном на нескольких различных критериях исследовании клонирования в случае, когда состояния имеют произвольные априорные вероятности и воспомогательной системе уже запасена некоторая предварительная информация о клонируемом состоянии, целесообразно использовать при оценивании стойкости тех или иных квантовых криптосистем по отношению к атакам типа "Троянского коня".

Личный вклад автора

Все идеи и результаты, представленные в диссерташонной работе, являются оригинальными и принадлежат лично автору.

Положения, выносимые на защиту

1. Критерий относительной ошибки дает возможносъ изучить те аспекты проблемы состояниезависимого клонировашя, которые не охватываются традиционно используемыми критериями. В частности, исследование относительной ошибки четко выявляет связь между степенью размножения при клонировании и качеством клонов. Кроме того, этот новый критерий позволяетболее адекватно оценить возможность распознавания вводимого состояния путем измерений, проводимых над выводом состояниезавиимого клонера.

2. Установленные для чистых состояний границы наглобальную точность воспроизведения, абсолютную ошибку и относительную ошибку состояниезависимого клонирования распространяются на смешанные состояния заменой квадрата модуля внутреннего произведения на функцию точности воспроизведения.

3. Развитый в диссертации подход, использующий углы между состо-

алиями и сферическое неравенство треугольника, ясно показывает, что все известные ограничения на точность состояниезависимого клонирования возникают как результат минимизации либо максимизации соответствующей данному критерию функции угловых неременных в той области допустимых значений, которая фиксируется унитарностью преобразования и общими свойствами функции точности воспроизведения.

Апробация работы

Результаты представленных в диссертации исследований докладыва-. лись и обсуждались на Байкальской молодежной научной школе по фундаментальной физике (Иркутск, 2002 г.), на Международной конференции "Dynamical Chaos in Classical and Quantum Physics" (Новосибирск, 2003 г.), на семинарах кафедры теоретической физики Иркутского государственного университета (Иркутск, 2003 г.) и Учебно-научного центра "Квантовая оптика" Института автоматики и электрометрии СО РАН (Новосибирск, 2004 г.).

Публикации

По результатам исследований опубликовано б работ, перечень которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из Введения, 7 глав, Заключения и содержит 145 страниц, 1 таблицу и 5 рисунков. Список литературы включает 123 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении дается обзор современного состояния квантового клонирования, включая сведения по квантовой криптографии и теории квантовых вычислений, обосновывается актуальность выбранной темы. Здесь сделана попытка показать, где пролегает граница между знанием и незнанием об изучаемом предмете, после чего формулируются цели и задачи исследований, отмечено, в чем заключается научная новизна полученных результатов, перечислены положения, выносимые на защиту.

Целью главы 1 является доказательство нескольких вспомогательных утверждений, используемых для обоснования развитого в диссертации подхода к изучению состояниезависимого клонирования. Некоторые из этих утверждений имеют самостоятельную ценность, вне контекста квантового клонирования вообще и проводимых в диссертации исследований в частности. Как обычно, угол 5(Ф, Ф) 6 [0; ж/2] между двумя единичными векторами |Ф) и |Ф) определяется соотношением

Для краткости мы часто будем писать ¿фф . Р а в е н с 0 в и в а -

лентно тому, что состояния идентичны, то есть

(подразумевается что состояния описываются нормированными векторами). Лемма 1 носит подчиненный характер и используется в доказательстве следующего полезного соотношения, которое играет в нашем методе ключевую роль..

Лемма 2 Для любого триплета состояний {|Ф), |Т), справедливо неравенство

причем компланарность триплета есть необходимое условие для до-стиженияравенства.

Утверждение леммы 2 естественно назвать "сферическим неравенством треугольника". Это становится ясным, если представить векторы ¡Ф), |Т) и |Ф) тремя точками на сфере единичного радиуса. Тогда величины являются сторонами сферического тре угольника, образованного этими точками. Формулировка задачи в терминах углов между состояниями и использование сферического неравенства треугольника (2) позволяет сделать вывод той или иной границы на точность состояниезависимого клонирования исключительно простей и ясной процедурой. Далее, имеет место такое полезное соотношение.

Лемма 3 Для произвольного проектора П и любых двух состояний |Ф) и |Ф) справедливо неравенство

5(Ф,Ф) = агссов |(Ф|Ф)|.

(1)

(2}

(Ф|П|Ф)-(Ф|П|Ф) <вш5м.

№

Согласно лемме 3, малость синуса угла между двумя состояниями означает близость вероятностных распределений, генерируемых этими состояниями для произвольного измерения. Так что синус угла между состояниями обеспечивает разумную меру близости для чистых состояний. Этот факт применяется в главе 2 для обоснования нового критерия для оценивания качества состояниезависимого клонирования. Чтобы показать упрощения, достигаемые использованием леммы 3, мы на основе (3) доказываем одно утверждение из теории квантовых схем, вывод которого иными методами оказывается непростой задачей. Завершается глава 1 доказательством леммы 4, в которой рассмотрена задача элементарного анализа, возникающая при изучении клонирования смешанных состояний с точки зрения глобальной точности воспроизведения.

В главе 2 даны основные определения. Вводится и мотивируется новое понятие относительной ошибки клонирования. Чтобы обосновать потребность в новом критерии, обсуждение проводится в форме игры. Фиксированными параметрами игры являются пара ,М — {|</>), К'')} неортогональных состояний, число N вводимых ^-битов и число Ь выводимых ц-битов. В игре участвуют две персоны, Алиса и Клара. Параметры игры известны каждому участнику. Сначала Алиса в тайне от Клары выбирает одно состояние из множества М, приготавливает каждый из N «[-битов в избранном состоянии и отправляет их Кларе. Клара с помощью состояниезависимого клонера генерирует Ь > N ^-битов из полученных -битов. Путем измерений над выводом клопера Клара должна угадать выбранное. Алисой состояние. Игра многократно повторяется. Каковы шансы Клары на выигрыш? Отметим, что проблема угадывания выбранного Алисой состояния играет подчиненную роль, и целью Клары не является поиск оптимального измерения, различающего состояния Важно то, как в свете этой проблемы выглядит состояниезависимое клонирование.

Итак, первоначально Клара имеет N полученных от Алисы ^ битов. Каждый из этих N ц-битов приготовлен в одном и том же состоянии, секретно выбранном Алисой из множества М = Чтобы сде-

лать свой ход, Клара использует дополнительных "пустых"

q-битoв и, может быть, вспомогательную систему (тал: называемую ан-циллу). Копирующее преобразование защитится в виде

V |в) 6 М : и ® ¡0®м) В» |а) = |У«>, (4)

где |0) — начальное состояние "пустого" q-6итa, |в) — начальное состояние анциллы. Подействуем на вывод проекционным оператором ® 1, где 1 — единичный операюр. Обозначив результат этого действия через |в®£) ® , представим вывод как

Ц/М) = |.,®£) ® |9М) +|1(')) . (5)

Введем, далее, нормированный вектор

1*М> = 1«(,)>/11|9М>11

и определим состояние

|/М) = |в®£> ® |*И). (6)

Согласно данному определению, является идеальным выводом, соответствующим выбору состояния (в). Пусть, для краткости,

¿М =Л(уМ,/М).

Нетрудно установить, что справедливо равшетво

|||±М)|| = 8т*М. (7)

Бучек и Хиллери использовали норму (7) гак меру ошибки, сделанной при клонировании состояния ¡в). Но они не указали связь (7) с разностью между актуальным вероятностным ропределением и тем распределением, которое имело бы место в "идеале". В силу (3), для любого измерения над комбинированной системой Т q-битoв 4- анцилла"

| Р(Е | V«) - Р(К | /«) | < |||±«)||.

Таким образом, норма (7) оценивает по порядку величины разность между результирующим вероятностным распределением и тем вероятностным распределением, которое имело бы место в "идеале". Сумму таких норм, соответствующих состояниям \ф) и Бучек и Хиллери выбрали как меру полной ошибки, сделанной при клонировании. Мы назовем эту величину "абсолютной ошибкой" клонирования (сами авторы не ввели для нее какого-либо наименования).

Определение 1 Мера А[М) — + бш^М есть абсолютная

ошибка N Ь клонированиямножества М- — {|0)> IV1)}-

Несколько позднее был введен другой, ставший общеупотребительным критерий — глобальная точность воспроизведения. В наших обозначениях эта величина записывается как

Предположим, что состояния достаточно близки друг к другу.

Тогда нижняя граница на абсолютную ошибку близка к 0, а верхпяя граница на глобальную точность воспроизведения близка к 1. Оба эти критерия утверждают, что процесс клонирования можно приблизить к идеалу. Кларе известны оба идеальных вывода, отвечающих выбору \ф) и выбору \ф) соответственно. Она будет соотносить сгенерированный вывод с тем и с другим идеальными выводами. Казалось бы, в этих условиях Кларе удастся без труда распознать выбранное Алисой состояние. Но не следует быстро соглашаться с таким утверждением. В самом деле, близость состояний означает близость соответствующих

идеальных выводов. Сможет ли Клара решить, что полученный вывод соответствует тому идеальному выводу, а не этому? Как шансы Клары зависят от параметров игры? Для обсуждения таких вопросов нужен новый критерий для оценки качества клонирования. Ведь ни абсолютная ошибка, ни глобальная точность воспроизведения не учитывают степени близости состояний | ф) и |гр) (правые части определения 1 и (8) не содержат слагаемых, зависящих от одновременно). По характер игры между Алисой и Кларой изменяется в зависимости от того, близки или нет друг к другусостояния и

(8)

В самом деле, Клара сравнивает данный актуальный вывод ¡уМ) с идеальными выводами и Если идеальные выводы не явля-

ются хорошо различимыми, она встречает известные затруднения. Чтобы выразить это количественно, нужно использовать некоторую меру близости состояний и J/M). В силу (3)

¡ | /(«) - Р(Д|7<*>) | < sin S(lWjW) f

поэтому в качестве такой меры разумно взять величину sin .

Пусть достаточно мал. Будет ли Клара способна ре-

шить, что полученный вывод лежит ближе, скажем, х идеальному выводу а не к |/W}? Близость состояния |VM) к измеря-

ется значением sin<J^ , близость к — sin¿W . Заметим, что siná(jW,/W) является величиной того же рода. Поэтому целесообразно сравнить абсолютную ошибку с указанной величиной.

Определение 2 Относительная ошибка N —> L клонирования множества М = {|<£), IV*)} есть _

R{M) = А(М) /sin .

(9)

При обосновании пового критерия — относительной ошибки клонирования, — мы опирались на то, что синус утла между состояниями обеспечивает для них разумную меру близости. Далее в главе 2 приводится еще одно подтверждение этого свойства. А именно, для вероятности РгоЬ(0)5; ¿) перехода системы 1 под внешним воздействием из какого-то состояния |5) в состояние |в) за время t справедливо неравенство

РгоЬ(©|<М)-РгоЬ(в|Ф;«)

< sin5$í.

(10)

Соотношения (3) и (10) показывают, что если синус угла между двумя состояниями является малой величиной, то экспериментально наблюдаемые проявления этих состояний окажутся близкими друг к другу. Мы еще раз убедились в том, что синус угла между состояниями действительно является естественной мерой для сравнивания этих состояний.

Этот факт лежит в основе рассуждений, которые приводят к новому критерию относительной ошибки клонирования. Поэтому (10) следует расценивать как еще одно свидетельство того, что относительная ошибка клонирования заслуживает внимательного изучения. В конце главы 2 выводятся угловые соотношения, из которых легко получить нижние границы па относительную ошибку и абсолютную ошибку. Пусть, для краткости,

Применяя (2) дважды и обозначение (11), нетрудно получить

«(/М, №) < № + + йг • (12)

Далее, справедливо неравенство

Условия (12) и (13) выражают ограничения, налагаемые законами квантовой теории на процедуру состояниезависимого клонирования.

В главе 3 установлены точные нижние границы на относительную ошибку клонирования и абсолютную ошибку клонирования. Основной результат, полученный при исследовании введенного в главе 2 критерия относительной ошибки клонирования, выражается следующей теоремой.

Теорема1 Относительная ошибка Л(.М) N Ь клонирования множестваМ = не меньше, чем величина

Сравнительно элементарное доказательство этой теоремы опирается на определение (9) и соотношения (12) и (13). Для примера показана па рис. 1 как функция г для М= 1 и пяти значений Ь. В большей части интервала она возрастает и лишь в окрестности

правой граничной точки становится убывающей. Максимум функции и предельное значение есть величины одного

1.00

0.75

•л

0 50

£ Ь.

0.25

ООО

' '"Г" ' 1------ -'--1-■--- 11=39

/Ь-13

1.-8 ^

^^ Ь-5

- /Г V- 3

1.1.1.

0.0 0.2 0.4 Об 08 1.0

Рис. 1: Функция Ь) для N —1-а пяти значепий Ь.

порядка. Поэтому величину (1 — \fNfL) можно рассматривать как индикатор возможностей по состояниезависимому клонированию. Если степень размножения невелика, т.е.

нижняя граница на относительную ошибку также нала. Теоретически, в этом случае можно достичь хорошего качества клонирования. Напротив, если степень размножения значительна, т.е. N/1; < 1, то относительная ошибка заметна (исключая случай почти ортогональных состояний).

В пределе Ь —> оо (бесконечное число клонов) ииеем /?(.г|Л'', оо) = гы . Если взять значения Ы\ и N2 такие, ч Л^т -фЛ^т, о для каждого справедливо Зпачит, чем больше

исходное число оригиналов, тем меньше относительная ошибка и тем качественнее окажется бесконечное их размножение. Такой вывод согласуется с интуитивно ожидаемым, что служит еще одним свидетельством разумности предложенного нами критерия — относительной ошибки клонирования. Итак, новый критерий позволяет выявить связь между качеством клонов и степенью размножения. При небольшой степени размножения пара М ~ {|<А}, хорошо поддается N Н Ь клонированию; при

высокой степени размножения добиться хорошего качества клонов можно лишь в случае полти ортогональных состояний (г 1).

Развитый подход можно использовать для изучения нижней границы на абсолютную ошибку А(М) клонирования множества М = •

Теорема 2. Абсолютная ошибка N —» Ь клонирования множества М = {¡<А)> имеет нижнюю границу:

Этот критерий для оценки качества состояниезависимого клонирования был предложен Бучеком и Хиллери. Однако полученная ими нижняя граница на абсолютную ошибку является приближенной, в отличие от установленной неравенством (15) точной границы. Сделанное для простого случая 1 —> 2 клонирования сопоставление этих границ показывает, что выведенная Бучеком и Хиллери нижняя граница на абсолютную ошибку приемлема только для малых г. Таким образом, развитый в диссертации подход к изучению состояниезависимого клонирования позволил улучшить полученный ранее результат.

По отношению к критериям глобальной точности воспроизведения и абсолютной ошибки новый критерий относительной ошибки является дополнительным. Это подтверждается проведенным в главе 3 сравнительным обсуждением различных критериев для оценки качества N Ь клонирования множества М — . Нас, в конечном счете, инте-

ресует только один вопрос: "Насколько хорошо, с точки зрения того или иного критерия, пара состояний \ф) и IV») поддается операции клонирования?" Поэтому мы включили в рассмотрение вероятностную процедуру клонирования. Этот метод позволяет генерировать точные клоны вводимого состояния, но с меньшей (кроме случая ортогональных состояний) единицы вероятностью. Итак, добавим к перечисленным выше критериям (глобальной точности воспроизведения, абсолютной ошибке и относительной ошибке) еще одну величину — вероятность того, что точное клонирование множества М окажется удачпым. Отличия между теми или иными критериями обнаруживают себя наиболее ярко при сопоставлении двух крайних областей

Таблица 1: Асимптотическое поведение при с —> + Ü

Критерий для оценки клонирования (i) Оптимум при \т\ = е (ii) Оптимум при \{ФШ = 1~е

I. Глобальная точность воспроизведения II. Абсолютная ошибка клонировапия III. Вероятность точного клонирования IV. Относительная ошибка клонирования 1 - 0{eiN) 0(eN) 1 -0{eN) 0(eN) 1 -0(е) 0(еУ2) N/L + 0{t) 1 ~^N/L + 0{e)

(|) состояния из множества М почти ортогональны, т.е. =

(¡¡) состояния из множества М почти идентичны, т.е. = 1 —с •

Рассмотрим поведение критериев в каждой из областей при £ -> + 0.

Нужные асимптотические выражения приведены в таблице 1. Как видно из второго столбца таблицы, в случае (1) (состояния почти ортогональны) можно достичь хорошего качества клонирования при любой степени размножения. Действительно, оптимальное значение каждого из критериев близко к тому значению, которое имело бы место при идеальном клонировании: глобальная точность воспроизведения близка к единице, абсолютная ошибка близка к нулю, вероятность точного клош-рования близка к единице, относительная ошибка близка к нулю. Это закономерно, поскольку два ортогональных состояния могут быть идеально точно (и с вероятностью единица) клонированы. Итак, в случае (¡)нет различий в оценках того, насколько хорошо пара состояний Щ и \ф) поддается N Ь клонированию. Но в случаев остояния полги идентичны) различия в оценках видны очень четко. Из третьего столбца таблицы 1 видно, что, согласно критериям I и II, почти идентичные состояния (как и состояния почти ортогональные) хорошо поддаются кло-

нированию при любой степени размножения: глобальная точность вос-произведния близка к единице, абсолютная ошибка близка к нулю. Критерии II и IV рисуют более сложную картину взаимоотношений между степенью размножения и качеством клонирования. При невысокой степени рамножения вероятность точного клонирования близка к единще и относительная ошибка близка к нулю; лишь здесь эти критерии подтверждают, что можно добиться хорошего качества клонирования почти идентичных состояний. С увеличением степени размножения верятность точного клонирования уменьшается, а относительная ошибка возрастает. При высокой степени размножения ве-

роятность точного клонирования близка к пулю, относительная ошибка близка к единице: с точки этик критериев, достичь здесь высокого качества клонирования почти идентичных состояний нельзя.

Отметим ряд существенных моментов. Во-первых, глобальная точность воспроизведения и абсолютная ошибка не видят разницы между клонирванием почти ортогональных состояний и клонированием почти идентичных состояний, тогда как вероятность точного клонирования и относительная ошибка четко выявляют это различие. Во-вторых, критерии малочувствительны к степени размножения, в то время как критерии позволяют отследить зависимость качества клонов от

степени размножения. И в-третьих, есть хорошее согласие между оцени-ваниемс точки зрения вероятности точного клонирования и оцениванием с точкизрения относительной ошибки того, насколько хорошо пара состояний {(¡\ и \ф) поддается N —^Ь клонированию. Но эти два критерия относятся к двум различным процедурам состояниезависимого клонирования. Потому относительная ошибка, как новый критерий для оценки качества детерминированного состояниезависимого клонирования, вполне заслуживает право на существование и позволяет изучать те аспекты задачи, которые не охватываются критериями глобальной точности вос-произвдения и абсолютной ошибки.

Критерий относительной сшибки может быть полезен для оценки стойкости протокола В92 квантовой криптографии. Здесь Алиса и Боб, легитимные пользователи квантового канала, используют для кодирования

два неортогональных состояния \ф) и \ф). Подслушиватель Ева пытается извлечь информацию о секретном ключе, причем сделать это так, чтобы канал связи не был дискредитирован. Для этого она может применить клонирование состояний и Как понизить шансы Евы на усяех? Так как нижняя граница на относительную ошибку возрастает в большей части интервала г € [0;1] (см. ряс. 1), можно сказать, что чем ближе состояния тем сомнительнее шансы Евы на извлечение нужного

знания без дискредитации канала связи. Итак, критерий относительной ошибки рекомендует Алисе и Бобу сделать кодирующие состояния \ф) и как можно ближе, вплоть до той области, где нижняя граница начинает убывать. Дополнительный характер нового критерия виден из следующих соображений. Пусть значение г\ лежит в окрестности точки а значение лежит в окрестности точки Предположим

также, что и дают одну и гу же величину оптимальной глобальной точносги воспроизведения. Тогда, с точки зрения этого критерия, в смысле секретности квантового канала выбор = ¿2 равноценен

выбору |<#)| = Но изучение относительной ошибки показывает, что будет боле» разумным выбрать значение в окрестности точки величина нижней границы на относительную ошибку заметно больше, чем в окрестности точки (см. рис. 1).

В главе 4 построен асимметричный квантовый клонер, который достигает нижних границ, установленных теоремами 1 и 2. Эти границы могут быть достигнуты без анциллы, когда унитарный оператор действует в пространстве состояний системы из

|уМ) = и ® |0®м)} , (16)

|0*))=и{№®")®|О®м)} • (17)

Унитарное преобразование сохраняет углы, поэтому

¿(у^уМ) , щт @ о®^®" ® о®"). (18)

Если состояния не являются ортогональными или идентичными,

то угол больше, чем правая часть (18), так что идеальное

копирование неосуществимо: увеличить должным образом угол между

\<¡>®N ® 0®AÍ> и \P®N ® 0®w) нельзя. Bibtnee, чего мы сможем добиться — совместить пюскость span{|0®^ ® \rjj®N ® 0eAÍ)} с плоскостью spaa{|0®£), IV1®^]} • Асимметричный гонер, минимизирующий относительную ошибку и абсолютную ошибк] задается соотношениями

Span{|^W),|VW)} = Spi{|^I),l^í')}) (19)

¿M =0 л 6M--5i-Sn. (20)

Этот клонер осуществляет идеальное ширование одного из нары состояний М (в дапгом случае состояния |<Ц, то есть он полностью асимметричный. Генерируемая им относитешая ошибка Ra(JA) равна величине F(z|N,L),абсолютная ошибка А{М) равна правой части (15).

Далее заданный уравнениями (19) з(20) клонер сравнивается с симметричным клонером, максимизируюцм глобальную точность воспроизведения. Ecni состояния \ф) и Iф) [еортогоналъны и неидентичны, то генерируема! этим симметричнымшонером ■ относительная ошибка Rs(M) больше минимума Ra(M) , аб|лютная ошибка As{M) больше минимума Ла{М) - Насколько сущесгенно это различие? Рассмотрим относительную 1еличину разности меду Rs(M) и RA(M):

f\z\N,L) = (i?s(M) - ЦМ)) / Ra(M) . (21)

¡величина f(z|/V,L) дает также относишьное различие между А${Л4) и А,\{М). Для пршера величина f(z\N, | показана на рис. 2 как функция z для N — 1 и 1ескольких значений I Как видно из рис. 2, различие между Rs{M) в Ra(M) с ростом стони размножепия. становится все более и более зшетным. Так что шгроенный нами асимметричный клонер не является бессодержательны!

Заданное уршнениями (19) и (20) гаетрическое описание полностью определяет оптимальный асимметричнй клонер. Но для сравнения с литературой такая нотация не вполне yfltea. Ниже мы дадим определение нашего клонерав стандартных термшх, ограничиваясь случаем 1 —► 2 клонирования. Множество М = {|<£), |(} параметризуется так:

\ф) = cos0 |O)fsin011), (22)

№) = sin0|O)(cos0|l), (23)

где А = sin2ö(2+cos 26)/ [1+ sin^]1/2, В = cos в sin Ö cos 20/[1+án220] С = cos20(2 - cos2Ó)/[l +sina2fl]1/2.

В главе 5 исследуется 1 2 клонираание множества, содержащего два равновероятных смешанных состояшя. Задача состоит в следующем. Квантовая. система АВ состоит в двух физически идеатичных частей, А и В, каждая из которых имеет d-мерное пространстю состояний. Система А секретно нриготовлепав некотором смешанном состоянии из множества М. — {pufo} ■ Систма В, предназначенная стать клоном, изначально паходится в стандартном состоянии а. Tai что исходное состояние системы АВ описываете оператором плотности где j == 1 или 2. Воздействие на АВ загаочается в том, чтобы позво-

лить АВ унитарно ыровзаимодействовать с анцяллоя С, чье начальное состояние обозначим через Е. Финальное состояпие системы АВ есть

р^ТУс^®^^^), (26)

т.<. парциальный след над пространством анциллы С. Для оценки качества клонирования мы должны сравнить финальное состояние р^ с эталоном р3 ® р} , который имел бы место при идеальном клонировании. Мера различимости смешанных состояний обеспечивается функцией точности воспроизведения /'(х,^') — аналогом для возведенного в квадрат модуля внутреннего произведения чистых состояний.

Используем определение функции точности воспроизведения в терминах пурификаций (Джозса, 1994 г.). Согласно теории декогеренции, смешанное состояние на самом деле есть редуцированное состояние подсистемы 8, перепутанной с окружением Е. Вся система ЗЕ пребывает в чистом состоянии, которое описывается лучом в гильбертовом пространстве. Концепция "пурификаций" является естественным развитием этой точки зрения: Пусть Хиш — операторы плотности, описывающие состояния системы 8. Представим, что X и ш возникают в результате взятия парциального следа от операторов плотности, описывающих чистые состояния расширенной системы

Х = Ъв(\Х){Х\), из = Тг£(|У)(У|). (27)

Чистые состояния и |К) называются пурификациями смешанных состояний соответственно. Функция точности воспроизведения мшду операторами плотности определяется выражением

Р(х^) = тах|{Х|У)|2, (28)

где максимум берется над всеми пурификациями оператора оператора Используя функцию (28), определим глобальную точность воспроизведения следующим образом.

Определение 3 Глобальная точность воспроизведения клонированы множества /Л = {рьрг} есть

= | ® (Ч) + НРъРч® л)) • (29)

Определение 3 обобщат понятие "глобальной точности воспропзве дешя" на смешанные соояния. Верхняя граница на определенную со отшпением (29) величинустанавливается следующей теоремой.

Георема 3 Глобалъншточностъ воспроизведения FQ клонированы множества М. — {Р1,Р2} имеет верхнюю границу:

Чтобы,доказать теорегу 3, мы вводим понятие угла между двум! смешанными состояниями Используя концепцию пурификаций, опреде лия угол Д(х,и) € [0; зг/2](лежду смешанными состояниями х п и путе1 естественного обобщения савнения Ш:

гдеминимум берется надвсеми пурификациями оператора % и |У] оператора Отметим, го угол между смешанными состояниями н явлется полноценным "улом", поскольку сделанное обобщение не со хржяет многие свойства Бычного угла между векторами. Но для полЛ чегая верхней границы Н4глобальную точность воспроизведения важн то, что угол между сметнными состояниями удовлетворяет сферич* сксиу неравенству треутаьника (аналогу (2)).

Лемма 5 Для любогоприплета смешанных состояний {х,р,ь>}

д Ы<а(Х,/») + ДКР).

В этом смысле угол м«ду смешанными состояниями можно рассм! тргоать просто как пекоэрую удобную параметризацию функции тот носги воспроизведения, равнения (28) и (31) дают связь

Дх.«) = соз2Д(х,и). (3|

По1тому основные свойсза угла между двумя сметанными состояш ям1 вытекают из общих сойств функции точности воспроизведения. О гласно (33), определение |9) можно представить как

^ (соа2Д! + соз2Д2) ,

где Д, = Д(р^р] ® р}). Видна явная аналогия с определением (8) глобальной точности воспроизведения для клонирования чистых состояний.

Если состояния Р1ЖР2 чистые, то правая часть (30) сводится к известной границе на глобальную точность воспроизведения клонирования чистых состояний, так что теорема 3 обобщает предшествующий результат на случай сметанных состояний. Но тогда возникает резонный вопрос: достигает ли верхней границы в общем случае клонер, построенный для оптимального клонирования чистых состояний? Как показано в конце главы 5, ответ отрицательный. Симметричный клонер, максимизирующий глобальную точность воспроизведения клонирования двух чистых состояний, имеет два характерных свойства: (а) отсутствует вспомогательная система С и (6) начальное состояние а системы В чистое. Оказывается, эти два свойства не позволяют достичь установленной верхней границы (правой части (30)) для каждой пары вида

В главе 6 исследуется глобальная точность воспроизведения N Ь клонирования смешанных состояний в случае, когда клонируемые состояния имеют произвольные априорные вероятности и в анцилле запасена какая-либо предварительная информация о вводимом состоянии. Регистр .4 состоит из N систем, кажда! из которых имеет мерное пространство состояний (й >1). Изначально каждая система приготовлена в состоянии Р], одном и том же для всех систем регистра А. Состояние р3 выбирается из множества М = {р1,...,рп}, вероятность такого выбора равна Р:. Цель состоит в том, чтобы произвести Ь> N копий из имеющихся Лг оригиналов. Для этого нужна аяцилла ВЕ, состоящая из дополнительного регистра В и окружения Е. Анцилла содержит некоторую априорную информацию о вводимом состоянии р}. То есть, анцилла изначально приготовлена в состоянии из множества помечен-

ного тем же индексом. Регистр В содержит М — Ь — N дополнительных с/-уровневых систем, каждая из которых должна перейти в состояние р}. Итак, финальное состояние двух регистров

= (34)

где взят парциальный след над пространством окружения Е.

Для оценки аккуратюсти клонирования мы сравниваем конечнсК состояние (34) с эталоном р®1, который имел бы место при идеальном клонировании. Функция точности воспроизведения обобщает квадрат модуля скалярного произведения, поэтому, по аналогии со случаем чистых состояний, определим повальную точность воспроизведения так.

Определение 4 Глобальная точность воспроизведения N —> Ьсло-нгрованиямножества М. = {р\,/зп} есть

Сначала рассмотрим клонирование пары состояний. М' = {р\,р-г} ■ Начальное состояние анциллы есть .Тх или Т2 сответственно вводимому состоянию, которое есть рх или ръ. Будем считать, что выполняете*

ПРГ.РГ)<^(ТьТ2). (36)

Мотивировка этого состоит в следующем. Если условие (36) не выполнено, то есть состояния апциллы, достаточные для идеального клонирования. Л именно, существуют состояния Т1 и Т2 такие, что

для у = 1,2. В этом случае мы можем только указать тривиалшую границу Если условие (36) справедливо, то возникает следухщая

нетривиальная верхняя граница.

Теорема 4 Глобальная точность воспроизведения ^ N —> Ьело-шрованиямножества М. = {р\,рч} с произвольными априорнымъ вероятностями состояний ограничена сверху величиной

ь {1 + [1 - 4р1р28т2(4) - а12)] ,/2| . (37)

Здесь для краткости введены следующие обозначения:

Лежащий п интервале [0;тг/2] уголопределяется равенством

а]к = агссоз рГ) Т*)]1/2 . (39)

Доказательство (37) опирается на общие свойства функции точности воспроизведения, неравенство (32) и лемму 4 из главы 1. Если состояния и р2 чистые и всякая априорная информация о вводимом состоянии отсутствует, то правая часть (37) сводится к известной границе па глобальную точность воспроизведения клонирования чистых состояний. Тем самым теорема 4 дает обобщение предыдущего результата в двух аспектах. Во-нервых, она распространяет известный предел на случай смешанных состояний. Во-вторых, рассматривается более общая ситуация, в которой анцилла содержит априорную информацию о состоянии, подлежащем клонированию. Граница, установленная теоремой 4, является убывающей функцией величины р\р^ и поэтому возрастает, когда различие между априорными вероятностями увеличивается. Для чистых < осгояний этот факт уже известен. Поэтому сосредоточим внимание на зависимости границы (37) от параметра -Г(Тх,Т2). Он характеризует верхний уровень информации, которая может быть предварительно запасена в анцилле. Чем больше ^(ТьТг), тем ниже данный уровень. Пусть ^(ТЬТ2) изменяется между Р(р®\р®м) и 1; тогда

В этом интервале правая часть (37) является возрастающей функцией углаа^. Согласно (39), уголуменьшается при возрастании параметра Р(ТьТ2). Поэтому, если F(Tl,Y2) увеличивается (что соответствует уменьшению уровня априорной информации), то верхний предел из теоремы 4 уменьшается. При можно до-

стичь идеально точного клонирования. В согласии с этим обстоятель-сгвом предел из теоремы 4 становится равным 1. К примеру, равенство достигается состояниями анциллы когда вся

информация, необходимая для точного клопировалия, уже целиком запасена в анцилле. Напротив, при стандартном клонировании какая-либо априорная информация отсутствует: Тх = Тг и Р(Т1,Тг) = 1. Здесь

верхняя граница из теоремы 4, как функция параметра дости-

гает своего минимума. Эти "заключения согласуются с сильной формой теоремы о невозможности клонирования и существенно ее дополняют.

Далее выведена верхняя граница на глобальную точность воспроизведения клонирования множества, содержащего больше двух состояний Для простоты изложения примем, что какая-либо аредваритель-ная информация о вводимом состоянии отсутствует.

Теорема 5 Глобальная, точность воспроизведения Гд стандартного N —> Ь клонированиямножества М, — {/?ь.-.,р1} ограничена сверху величиной

Эта граница наследует ряд характерных черт границы (37). Так, если варьируются только две вероятности, скажем а другие пара-

метры фиксированы, то граница из теоремы 5 есть убываощая функция и возрастает, когда различие между увеличивается. Когда

одна из вероятностей близка к 1 и остальные вероятности малы, граница из теоремы 5 также близка к 1. Это вполне предсказуемо, так как единственное и известное состояние всегда можно клошровать точно. Рассмотрен вопрос о том, является ли установленная граница достижимой во всех случаях, и показано, что ответ отрицательаый. Поэтому граница из теоремы 5 является несколько грубой; Более строгий подход — максимизировать Ра = 12} Р] сое2Д.; в области п-мерюго пространства, заданной условиями Это типичная задача нелинейного программирования (простеяший нетривиальный случай п = 2 исследован в лемме 4). Для задаяных значений параметров максимум можно найти одним из численных методов. Получить же для максимума точное аналитическое выражеше, охватывающее все возможные случаи, вряд ли удастся. Причина этого кроется в сложности границы той области, где ищется максимум. Но даже если бы и удалось выписать такое аналитическое выражение, мы все еще не решили бы полностью задачу состояниезависимого кло1ирования сме-

шанных состояний, гак как вопрос о достижимости найденного максимума по-прежнему был бы открытым. Так мы ограничились получением границы из теоремы 5, имеющей простую структуру и позволяющей оценить то, как с изменением параметров меняется качество клонирования. Оптимизация клонирующего преобразования является независимой задачей, подлежащей рассмотрению в будущих исследованиях. Результаты глав 5 и б поддерживают интуитивную веру в то, что использование смешанных состояний вряд ли добавит что-то новое к нашим возможностям по передаче и обработке квантовой информации. Скорее, мы изучаем смешанные состояния потому, что все реальные устройства неизбежно подвержены действию шумов, что приводит к декогерешдии чистых состояний в смешанные.

Глава 7 исследует клонирование смешанных состояний с точки зрения критериев относительной ошибки и абсолютной ошибки. Сначала доказаны два полезных утверждения, которые свидетельствуют о том, что величина обеспечивает разумную меру близости смешанных

состояний х и w.

Лемма G Для любого триплета состояний и, р} справедливо

|F(x,p)-F(w,p)|<anA(x,w). (40)

Следующая лемма обобщает утверждение неравенства (3). Пусть {Е„} — положительная операторно-значнаямера, описывающая некоторое обобщенное измерение. Такое измерение, проведенное над системой S в состоянии />, дает результат о с вероятностью

Лемма 7 Для произвольного обобщенного измерения и любых двух состоянийх и и справедливо неравенство

| PÍa\x) ~ *>(ЯИ ¡ < sin Ахи. (41)

Регистр JI, имеющий d-мернос пространство состояний (d > 1), изначально приготовлен в состоянии pj из множества М. = {р1,рг}. Состояние анциллы из множества содержит некоторую

априорную-информацию об исходном состоянии регистра Л. Аяцилла BE состоит из дополнительного регистра В и окружения Е. Финальное состояние двух регистров описывается оператором плотности

Для оценки аккуратности клонирования сравним конечное состоявие (42) с эталоном соответствующим идеальному клонированию. По-

нятие относительной ошибки для.преобразования описанного типа вводится и мотивируется по аналогии с понятием относительной ошибки клонирования чистых состояний. Леммы б и 7 показывают, что синус угла между двумя смешанными состояниями является разумной мерой близости этих состояний: при малой его величине наблюдаемые экспериментальные проявления окажутся близкими друг к другу. Обозначим Д, — А(р^,р} ® р]) , где } — 1,2. Согласно (41), для любого измерения, проводимого над финальным состоянием двух регистров,'

Итак, мера sin Д'у характеризует отклонение реального вероятностного распределения от того вероятностного распределения, которое было бы получено при идеальном клонировании. По аналогии с определшисм 1, абсолютную ошибку естественно ввести так.

Определение 5 Абсолютная ошибка состояниезависимого клони-рованиямножества М. = {ръръ} есть

Данный критерий, однако, не учитывает степени близости состояний Рх и рч. Желая распознать исходное состояние регистра А-путем измерений над выводом (42), мы соотносим конечное состояние р^ с обоими идеальными выводами р\® р\ и ® Р2 и-пытаемся решить, к какому из ш1х состояние р ^ ближе. Но если идеальные выводы различимы недостаточно хорошо, то принять решение будет трудно. В силу (41) инеем

(42)

(43)

A{M\S) =sinAi + sinA2.

(44)

р(а | pi ® pi) - р(а | р2 ® ръ) < smA(pi®pUf>2®pi)

для произвольного измерения, так что для-оценки близости идеальных выводов разумно взять sin A(pi ® pi,fb ® P2) • Близость состояния p\ к состоянию pi ® pi измеряется величинтйблизостьр2к sin Д2. По аналогии с (9) определим относительную ошибку так.

Определение 6 Относительная ошибка клонирования множества М = {piiPí} есть

R(M|«S) = (sin Ai + sin Д2) j sin Д(pi ®Pi,P2® P2) ■ (45)

Данное определение обобщает понятие относительной ошибки в двух аспектах. Во-первых, указанный критерий распространяется на клонирование смешанных состояний. Во-вторых, рассматривается ситуация, в которой анцилла содержит априорную информацию о вводимом состоянии. Нас интересует нетривиальная нижняя граница на величину . Она устанавливается следующей теоремой.

Теорема 6 Пусть / = \/ЩръРг) « Ф = х/^Т^ТЩ•

(i) Если f <ф<1, то

R(M\S) >/ф- / n/W"* ; (46)

(ii) Если 0 <Ф<},то R(M |5) > 0.

Доказательство исходит из определения (45), общих свойств функции точности воспроизведения и неравенства (32). Попутно выводится следующая нижняя граница на абсолютную ошибку:

(i) Если f <ф< 1, то

> Н v/W* - /Vi -РФ*; (47)

(и) Если 0 <ф < f, то А(.М|5) > 0.

При фиксированном правая часть (46) является возрастающей функцией параметра ф, который характеризует верхний уровень дополнительной информации, что может бьпь предварительно запасена в анцилле. Чем больше ф, тем ниже этот уровень. Для ф = / нижняя граница есть нуль. Так, равенство fí(.M|5) = 0 имеет место, когда Tj — p¡© о и вся информация о вводимом состоянии регистра А a priori запасена в

анцилле. В случае обычнго клошфования, наобфот, пет никакой апр1-орной информации: Здесь нижняя граница из теоремы

б, как функция достигает своего максимума. В общем, эти

заключения также согла<рются с сильной формсй теоремы о певочмоя-пости клонирования. Раштый подход дает возможность рассмотреть также и N Ь клонирошие. Полученные пр1 этом нижние границы имеют аналогичные свойгва.

Заключение суммирет полученные в диаертации результаты и выводы из них. Здесь перчислены характерные черты и преимущества развитого подхода к изучнию состояниезависимого клопирования, сообщается, в чем состоит теистическая значимость и прикладная ценность цолученных результатовЛтмечено, каковы наиболее перспективные, го мнению автора, направлаия дальнейших исследований.

1. A. E. Rastegin, Sort bounds for quantum <opying // LANL e-priit quant-ph/0108014, 11 p.

2. A. E. Rastegin, Sombounds for quantum copying with multiple copits // LANL e-print quant-phplll08o, 10 p.

3. A. E. Rastegin, R4tive error of state-dependent cloning // Phys. Rev. A 66, 2002, 042304,6p.

4. A. E. Rastegin, Uper bound on the global fidelity for mixed-stale doning // Phys. Rev. A 6^2003, 012305, 3 p.

5. A. E. Rastegin, Gbal-fidelity limits of stite-dependent cloning if mixed states // Phys. Rev A 68, 2003, 032303, 6 p.

G. A. E. Rastegin, A Iwe.r bound on the relative error of mixed-stale cloning and related operatons // J. Opt. B: Quaitum Semiclass. Opt. 5, 2003. p. S647-S650

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

%19Г)

Редакционно-издательский отдел ГОУ ВПО ИГУ Лицензия ЛР № 020592 от 09.07.1997 г. 664000, Иркутск, бульвар Гагарина, 36

Подписано в печать 11.02.2004 г. Формат 60x84 1/16. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,0. Тираж 100 экз.

Введение

Глава 1 Предварительные леммы

Глава 2 Относительная ошибка клонирования

Глава 3 Точные нижние границы

Глава 4 Оптимальный асимметричный клонер

Глава 5 Верхняя граница на глобальную точность воспроизведения клонирования смешанных состояний I

Глава 6 Верхняя граница на глобальную точность воспроизведения клонирования смешанных состояний II

Глава 7 Нижняя граница на относительную ошибку и абсолютную ошибку клонирования смешанных состояний

В настоящее время происходит создание теоретических и экспериментальных основ новой научной дисциплины — квантовой теории информации [1, 2, 3, 4]. Ее возникновение и развитие — результат постепенного осознавания тех глубоких и весьма нетривиальных следствий, к которым приводит очевидное и, на первый взгляд, совершенно безобидное утверждение о том, что информация хранится, передается и обрабатывается физическими устройствами [2]. Во второй половине XX века человечество стало свидетелем небывалого доселе развития средств для передачи и обработки информации, что было связано, в первую очередь, с изобретением компьютеров и быстрым прогрессом микроэлектроники. Так, согласно эмпирическому закону Мура, скорость микропроцессоров удваивается примерно каждые 18 месяцев (см. [2], стр. 16). Но совершенно очевидно, что прогресс в этом направлении имеет свои естественные пределы. Как отмечают во введении к своей книге авторы [5] (см. с. 9) "Трудно предположить, что размер транзистора или аналогичного элемента будет меньше 10~8 см (диаметр атома водорода), а рабочая частота — больше 1015 Гц (частота атомных переходов)". Повышение мощности вычислительных ресурсов было обусловлено, в основном, тем, что со временем детали элементной базы становились все меньше и меньше. Возможно, что уже в недалеком будущем логические элементы будут состоять всего лишь из нескольких атомов, а квантовомеханические эффекты станут преобладающими. Таким образом, существующие ныне классические технологии должны быть вытеснены квантовыми технологиями, использующими в качестве информационного ресурса состояние микроскопических объектов.

Но оказывается, квантовые технологии способны дать нам не просто более миниатюрные и более быстрые микропроцесоры, а нечто принципиально новое. Недавние теоретические исследования показали, что на квантовом уровне можно создать качественно иные средства вычислений и коммуникаций, в ряде случаев гораздо более мощные, чем их классические аналоги. В сфере экспериментальных разработок также имеются значимые успехи — новые методики позволяют хранить и обрабатывать информацию, закодированную в индивидуальных квантовых системах [2]. Однако в целом наиболее впечатляющие результаты, особенно в области квантовых вычислений, все еще носят по большей части теоретический характер [3, 5]. Реализация этих амбициозных проектов, обещающих грандиозный прорыв в технике передачи и обработки информации, займет, по-видимому, несколько десятилетий. Но, несмотря на такие, пока не вполне ясные, перспективы, квантовая теория информации заслуживает пристального изучения, поскольку является ключом к пониманию тех фундаментальных законов Природы, которые до недавнего времени оставались вне поля зрения исследователей. Независимо от того, насколько быстро будут реализованы на практике технологии, использующие квантовое состояние как информационный ресурс, квантовая теория информации дает оригинальное и неожиданное освещение как самих квантовомеханических закономерностей, так и сравнительно давно изучаемых проблем передачи и обработки информации. Вне всякого сомнения, открывающиеся на этом пути грандиозные перспективы будут стимулировать развитие экспериментальной техники с целью значительно расширить возможности манипулирования микросостояниями.

Одним из примеров целенаправленного воздействия на микросостояние является открытый в конце 70-ых годов квантовый парадокс Зенок а [С, 7] (его называют также эффектом сторожевой собаки [б], или еще более образно эффектом непрерывно наблюдаемого чайника, который никак не закипает [7, 8]). Такое название Мизра и Сударшан дали следующему утверждению: повторяющееся (в предельном случае непрерывное) измерение квантовой системы препятствует ее переходу в другое состояние [9]. С теоретической точки зрения, квантовый эффект Зенона является прямым следствием проективного постулата [8, 9]. Для экспериментальной проверки эффекта Зенона были предложены различные схемы, одна из которых была реализована в работе [10]. Авторы этой работы обнаружили очень хорошее согласие результатов эксперимента с предсказаниями теории. По существу, данная схема эксперимента точно повторила ситуацию, которая теоретически описывается проективным постулатом. Таким образом, существует экспериментально проверенный метод замораживания микроскопической системы в исходном состоянии [6], который можно использовать в процессах передачи и обработки квантовой информации. Заметим также, что изучение непрерывных квантовых измерений имеет вполне реальное прикладное значение (например, для методов фотодетектирования [11]).

Положительный результат эксперимента по обнаружению квантового эффекта Зенона был весьма удовлетворительным и в другом отношении. Характеризуя квантовую механику как "теорию с наиболее слабой философией", видный буржуазный мыслитель М. Бунге (именовавший свои философские взгляды критическим реализмом) в числе прочих выдвигал следующий аргумент. По его мнению, ". все фактические вычисления в квантовой механике, в частности те, которые уже проверены экспериментом, относятся к процессам . , удовлетворяющим уравнению Шредин-гера" (см. [12], с. 116). Но, кроме причинной эволюции в соответствии с уравнением Шредингера, в квантовой механике есть второй путь изменения волновой функции — редукция вектора состояния при измерении, которая ". выбирает из бесконечно большого числа состояний смеси некоторое вполне определенное, как действительно реализованное" (см. книгу Гейзенберга [13], с. 51). По мнению Бунге, этот второй (аказу-алъный по терминологии фон Неймана — см. с. 306 его классической книги [14]) путь изменения волновой функции не имеет никакого экспериментального статуса. Возможно, что во время написания Бунге своей книги [12] (оригинальное издание на английском языке вышло в свет в 1973 г.) ситуация действительно была именно такой, но после теоретических и экспериментальных исследований квантового эффекта Зенона она изменилась. В самом деле, результаты экспериментов находились в хорошем согласии с предсказаниями теории, основанными на проективном постулате [10].

Рассмотрение непрерывных квантовых измерений естественным образом подводит нас к важнейшему понятию "декогеренции" [6]. Значительный вклад в развитие этой концепции был внесен работой Цее [15]. Представление о декогеренции — быстром превращении чистого состояния в смесь (т.е. разрушении интерференционных членов в матрице плотности) — является ключевым для понимания многих непривычных свойств квантовомеханического описания реальности, в том числе коллапса волновой функции [G] и парадокса шредингеровского кота [10]. В конечном счете, разумное решение проблемы декогеренции необходимо при реализации любого процесса передачи и/или обработки квантовой информации [2, 4]. Как оказалось, процесс декогеренции обладает некоторыми общими закономерностями, которые не зависят от особенностей взаимодействия и объясняют, почему суперпозиционные состояния, легко наблюдаемые на микроуровне, при переходе на макроуровень становятся труднодоступными [17, 18]. Явление декогеренции хорошо известно в физике разного рода двухуровневых систем и, в частности, в динамике ядерных спинов, которые относятся к числу наиболее естественных кандидатов на роль q-битов [19]. Следует отметить, что в научной литературе встречаются различные толкования термина "декогеренция" [6]. Одни понимают под "декогеренцией" неконтролируемую и практически необратимую декогеренцию, вызываемую взаимодействием наблюдаемой системы с макроскопическим окружением [15]. Другие используют термин "декогеренция" в более широком смысле, включающем "мезоскопи-ческую ситуацию" (когда наблюдаемая система находится под воздействием небольшого числа внешних степеней свободы).

По мере того, как исследования в области квантовой теории информации становились все более интенсивными, возрастал интерес и к одному из ее разделов — квантовому клонированию. История развития этой дисциплины началась в 1982 г., когда Вуттерс и Зурек опубликовали свою известную работу [20], в которой, собственно, и был впервые (применительно к состоянию квантового объекта) употреблен термин "клонирование". Основной вывод авторов состоял в том, что неизвестное квантовое состояние не может быть клонировано (no-cloning theorem). Под клонированием они подразумевали создание точной копии исходного объекта при сохранении его в том состоянии, в котором он был до операции клонирования и которое изначально неизвестно. Основные доводы Вуттерса и Зурека довольно просты и опирались на принцип суперпозиции состояний [20]. Ниже мы приведем, с некоторыми изменениями п упрощениями, данное Вуттерсом и Зуреком доказательство. Но перед этим полезно ввести терминологию, которая будет систематически использоваться в дальнейшем.

Простейшей квантовой системой, выполняющей функцию, аналогичную биту классического компьютера, является система, которая имеет двумерное пространство состояний. Такая двухуровневая система традиционно именуется термином "q-бит" [1, 4], а состояния ортонормированного базиса принято обозначать через |0) и |1). Таким образом, пространством состояний q-бита является span{|0), |1}} , а произвольное состояние q-бита есть суперпозиция

5) = со|0> + С1|1>, (0.1) где комплексные числа со и с\ связаны только одним условием — условием нормировки |со|2 + |ci|2 = 1 . В процессе клонирования мы можем использовать некоторую вспомогательную систему, которую принято называть анциллой (от лат. "ancilla" — служанка, прислужница, рабыня, см. словарь [21], с. 57). Итак, в нашем распоряжении имеются: первый q-бит, приготовленный в неизвестном нам состоянии |s), второй q-бит, который нужно перевести в то же самое состояние |s) без разрушения состояния первого q-бита, и некоторая вспомогательная система — ан-цилла.

Предположим теперь, что мы умеем клонировать любое состояние q-бита, то есть V |s) Е span{|0), |1}} осуществлять преобразование s) 0 \Ь) 0 |а) I—> |s) 0 |s) 0 |а^). (0.2)

Здесь через |Ь) (от англ. "blank" — чистый, незаполненный) обозначено то состояние, в котором мы изначально приготавливаем второй q-бит и которое, разумеется, нам известно, а через |а) обозначено исходное состояние анциллы. Но тогда мы умеем копировать и базисные состояния |0) и |1), то есть выполнять операции

0) 0 \Ь) ® |а) ь—> |0) 0 |0) ® |о(°)), (0.3)

1) 0 |Ь> 0 |о) у—> |1) 0 |1) 0 |аМ). (0.4)

В соответствии с (0.2), суперпозиция |+) = {|0) + |1)}/\/2 трансформируется как 0 |Ь) 0 |а) > |+) 0 |+) 0 |а<+>). (0.5)

С другой стороны, в силу линейности квантовой динамики и соотношений (0.3) и (0.4) имеем <8> |Ь) 0 \а) = (|0) <g> |Ь) <g> \а) + |1) 0 |Ь) ® |а))/\/2 (|0> <8> |0> <8> |в(0>> -Ь |1> <8> |1> <S> |a(1)>)/V^, (0.6) что противоречит (0.5). Даже если состояния анциллы |а(°)) и идентичны (то есть = en и система из двух q-битов не перепутана с анциллой, мы все равно приходим к противоречию, поскольку тогда конечным состоянием двух q-битов будет, согласно (0.6),

-J=(|0)®|0> + e*|l>®|l>), что полностью отлично от суперпозиции

1+> ® 1+> = \ (|0> (8) |0> + |0) ® |1> + |1) ® |0) + |1> ® |1>) , которая должна возникать после идеального клонирования. Таким образом, предположение о выполнимости операции клонирования (0.2) для всех состояний q-бита приводит к противоречию и должно быть отвергнуто. (Заметим, что противоречие возникает при рассмотрении любой суперпозиции вида (0.1) с отличными от нуля коэффициентами со и с\.) Отсюда следует, что неизвестное квантовое состояние не может быть клонировано [20]. Приблизительно в то же время и независимо аналогичные соображения были высказаны в работах [22, 23].

Заметим, что физический интерес к проблеме клонирования квантовых состояний первоначально был стимулирован исследованиями по возможностям и характеристикам усилителей света. Усилитель света является необходимым звеном любого оптического квантового генератора [24, 25], поскольку ". действие лазера является результатом объединения усилителя света с оптическим резонатором и источником накачки" см. [24], с. 777). Изучение многих вопросов квантовой оптики, включая процессы фотодетектирования и работу лазеров, удобно (по крайней мере в качестве первого приближения) проводить в рамках так называемого полуклассического подхода [24, 25], физические основы которого были заложены А. Эйнштейном еще в 1905-1906 гг. в его знаменитых работах по теории квантов света [26, 27]. С точки зрения полуклассической теории излучения запрет на клонирование фотона есть следствие того, что в квантовых системах, обладающих дискретными энергетическими уровнями, кроме индуциированных переходов происходят также и спонтанные переходы. Как отмечено в фундаментальном руководстве [24] (см. с. 777): "Именно вследствие спонтанного излучения не существует линейного усилителя, способного точно клонировать падающий фотон .". Однако спонтанное излучение является ". эффектом принципиально квантовым, не допускающим классической трактовки" ([25], с. 13). Поэтому, в конечном счете, любые процессы должны анализироваться на основе последовательно квантового подхода.

Дальнейшие шаги по осознанию проблемы клонирования квантовых состояний были сделаны в работе [28] (см. также [29]), автор которой подчеркнул значение того, что временная эволюция изолированной системы описывается унитарным оператором. Из унитарности преобразования следует, что даже пара неортогональных состояний (не говоря уже о множестве всех состояний) квантовой системы не может быть клонирована идеально точно. Докажем это утверждение. Пусть первый q-бит секретно приготовлен в некотором состоянии из множества j\4 = , содержащего два различных неортогональных состояния. Слово "секретно" в данном контексте означает, что мы не знаем, в каком именно состоянии, | ф) или |ф), изначально находится первый q-бит, хотя сами состояния, образующие множество Л4, нам известны.

Рассуждая от противного, допустим, что идеальное клонирование множества М. возможно. А именно, существует преобразование U такое, что выполняются равенства

U |ф) ® |Ь) ® |а) = |ф) ® |ф) ® |а^), (0.7)

U |ф) <g> |b) ® |а) = <2> \Ф) ® • (0.8)

Включая, при необходимости, окружающее пространство в анциллу, мы всегда можем рассматривать всю систему "два q-бита + анцилла" в целом как изолированную. Поэтому оператор преобразования U унитарен и сохраняет внутреннее произведение векторов. Взяв произведение левой части (0.7) на левую часть (0.8) и, соответственно, правой части (0.7) на правую часть часть (0.8), имеем ф\ф) = (ф\ф)* (аМ\аМ). (0.9)

Далее, согласно неравенству Шварца, < 1 , что вместе с (0.9) дает ш>|<ш>|2. (0-Ю)

Однако в силу того, что состояния |ф) и |ф) неортогональны и различны, мы должны иметь о<Ш>|<1, чему неравенство (0.10) явно противоречит. Следовательно, наше предположение о выполнимости соотношений (0.7) и (0.8) неверно, и пара неортогональных состояний не может быть идеально точно клонирована. С другой стороны, требование унитарности не накладывает никаких ограничений на клонирование ортогональных состояний.

Итак, в общем случае нельзя скопировать квантовое состояние идеально точно. С точки зрения повседневного опыта такое заключение, как и сам вопрос, выглядит по меньшей мере неожиданным. В самом деле, если мы имеем перед собой оригинал (то есть некоторый объект, о котором заранее нам ровным счетом ничего не известно) и располагаем достаточными запасами времени и ресурсов, то, казалось бы, мы в состоянии досконально его изучить и на основе полученного знания изготовить сколько угодно копий со сколь угодно высокой точностью. Разумеется, влияние шумов и помех, неизбежно сопутствующих любому реальному процессу, будет приводить к тому или иному несовершенству копий. Но, с позиций классической физики, это влияние всегда может быть уменьшено совершенствованием техники и/или искусством экспериментатора. Весь "доквантовый" период развития науки и техники говорит в пользу такого утверждения. По словам Дирака, для классического мировоззрения характерно то обстоятельство, что ". большое и малое являются лишь относительными понятиями ." (см. [30], с. 14). Имея дело с макроскопическими предметами, мы привыкли считать, что можем изучать какой-либо объект, не изменяя его состояния. Но в действительности акт изучения неизбежно сопровождается тем или иным возмущением изучаемого объекта. С логической точки зрения причина этого очевидна и заключается в том, что ". мы можем наблюдать объект, лишь заставляя его взаимодействовать с чем-нибудь внешним" ([30], с. 14). Фундаментальное различие между классической физикой и физикой квантовой как раз и состоит в придании данному обстоятельству принципиального значения. А именно, ". существует предел тонкости наших средств наблюдения и малости сопровождающего возмущения — предел, который присущ природе вещей и никогда не может быть превзойден совершенствованием техники или искусства экспериментатора" ([30], с. 14). Как хорошо известное соотношение неопределенностей, так и запрет на идеальное клонирование являются, образно выражаясь, "потомками"

13— этого фундаментального принципа.

Теорема о невозможности клонировать отдельный квантовый объект указывает нам на то, что квантовая теория вкладывает в понятие "состояние объекта" совершенно иной, нежели физика классическая, смысл. Наиболее выпукло данное различие проявляется в статистической механике, которая оперирует как с классическим, так и с квантовым пониманием термина "состояние физической системы", и ". роль которой заключается в переносе информации с микроскопического уровня на макроскопический" (см. [31], с. 8). Во избежание двусмысленности следует четко отличать макроскопическое состояние от микроскопического состояния. Более того, довольно часто несколько расплывчатый термин "макроскопическое состояние" вообще не используется, а вместо этого предпочитают говорить о "макроскопических параметрах" системы. Действительно, ". с заданным макроскопическим условием одинаково хорошо совместимо необозримо большое число микроскопических конфигураций" ([31], с. 49). Следовательно, когда мы изучаем макроскопический оригинал, мы фактически получаем информацию только о его макросостоянии. Микросостояние же оригинала остается при этом неизвестным и, вообще говоря, меняется в процессе изучения. Так что все изготовленные нами копии оригинала с подавляющей вероятностью будут находиться в различных микросостояниях. С другой стороны, в большинстве случаев ". наблюдаемые на макроскопическом уровне явления нечувствительны к этим различиям" ([31], с. 49). Именно поэтому жизненнный опыт, практически всегда относящийся к макроскопическим явлениям, и убеждает нас в том, что, располагая достаточными ресурсами, мы можем воспроизвести сколько угодно копий оригинала со сколь угодно высокой точностью. Но, как явствует из приведенных выше соображений, данное утверждение справедливо только в некотором "макроскопическом смысле" и при переходе на квантовый уровень теряет силу.

Вместе с тем следует отметить, что квантовый мир со всеми его "парадоксальными" свойствами не столь уж далек от нашего макроскопического восприятия. Интересная схема наблюдения, с помощью которой можно обнаружить квантовую природу света невооруженным глазом, описана С. И. Вавиловым (см. [32], с. 100-102). Проведенные опыты дали ожидаемые результаты, так что человеческий глаз ". действительно "воочию" позволяет убедиться в квантовой, прерывной структуре света" ([32], с. 102). Учет квантовых эффектов оказывается необходимым и при планировании "чисто макроскопических" экспериментов. Одними из первых это поняли специалисты, занимавшиеся постановкой тонких физических опытов с пробными телами и, в частности, разработкой детекторов гравитационных волн от космических источников. Значительную роль в развитии данной области исследований сыграли идеи В. Б. Брагинского, по инициативе которого и было начато изучение кван-товомеханических ограничений в гравитационных экспериментах [33, 34]. Именно он первым обратил внимание на тот факт, что, несмотря на принципиальную неустранимость тепловых флуктуаций, их влияние молено нейтрализовать в рамках такой экспериментальной схемы, когда время, затраченное на измерение, много меньше времени тепловой релаксации. Таким образом, например, ". макроскопический механический осциллятор . можно поставить в условия, при которых его поведение будет существенно квантовым" (см. [33], с. 53). Это возможно благодаря тому, что имеются резонаторы с очень высокой добротностью и, как следствие, большим временем релаксации. По некоторым теоретическим оценкам, добротность сапфировых резонаторов может достигать столь высоких значений, что при должной стратегии опыта (см. [35], с. 11): "В течение нескольких секунд тепловое изменение амплитуды осциллятора было бы меньше неопределенности амплитуды в квантовом когерентном состоянии!". Дальнейшее развитие этих идей привело к созданию оригинального раздела квантовой механики — теории невозмущающих измерений [35]. Основы теории невозмущающих измерений были заложены в работах [36, 37]. Примеры физических систем, в которых экспериментально реализуются невозмущающие измерения, описаны в [11, 24, 35]. Многочисленные эксперименты, проведенные с начала 70-ых годов, ясно показали, что совершенствованием измерительной техники и стратегии эксперимента можно нейтрализовать влияние флуктуаций макроскопического характера (в том числе и тепловых) и вплотную приблизиться к уровню, на котором квантовые эффекты и ограничения становятся значимыми.

В некоторой степени это подтверждается быстрым развитием микроэлектроники и вычислительной техники, имевшим место во второй половине XX века [38, 39]. Если бы, к примеру, ". авиационная промышленность развивалась столь же стремительно, как и вычислительная техника, то Боинг-767 можно было бы приобрести . за 500 долл и облететь на нем земной шар за 20 мин, израсходовав при этом 19 л горючего" (см. [38], с. 31). Такой впечатляющий прогресс был связан, в первую очередь, с тем, что составляющие элементной базы компьютеров становились все меньше и меньше. Например, за период с 1960 г. по 1990 г. ". размер транзистора уменьшился от 1 мм до 1 мкм" (см. [39], с. 94), то есть на три порядка. Если микроэлектроника будет развиваться прежними темпами, то сравнительно быстро наступит тот день, когда логические элементы окажутся столь малыми, что каждый из них будет состоять всего лишь из нескольких атомов. Разумеется, в этот момент станет необходимым последовательный учет квантовомеханических эффектов. Таким образом, ". новая, квантовая технология должна заменить пли

16— дополнить то, что существует сейчас" (см. [2], с. 16).

В обычной постановке вопроса о клонировании подразумевается, что мы не располагаем никакой предварительной информацией о состоянии, подлежащем клонированию. Однако возможна и такая ситуация, в которой анцилла заранее содержит какую-либо предварительную информацию о клонируемом состоянии. Изучение этой более общей ситуации представляет интерес, в частности, с точки зрения приложений к квантовой криптографии. До некоторой степени положение дел здесь проясняется сильной формой утверждения о невозможности клонирования (stronger no-cloning theorem), доказанной в работе [40]. А именно, пусть {|?/'j)} — произвольное конечное множество неортогональных чистых состояний, {Т^} — любое другое множество (вообще говоря, смешанных) состояний анциллы, помеченных тем же индексом. Согласно "stronger no-cloning theorem", физическая операция

Ш <8> Тj > \ф;) ® ш осуществима тогда и только тогда, когда осуществима операция

Иными словами, вся информация о вводимом состоянии |ipj) должна а priori содержаться в состоянии Тj анциллы [40]. Заметим, что сильная форма теоремы о невозможности клонирования ничего не говорит нам о промежуточной ситуации, когда состояние Тj анциллы содержит лишь частичную информацию о клонируемом состоянии. Таким образом, здесь открывается новое направление для исследований.

Сильную форму теоремы о невозможности клонирования целесообразно рассмотреть в едином контексте с "принципом неуничтожения" (no-deleting principle) А. Пати и С. Браунстейна [41]. Этот принцип является дополнительным по отношению к теореме Вуттерса-Зурека и рассматривает процедуру "уничтожения" в следующем смысле. Пусть {\ipj)} — произвольное конечное множество неортогональных состояний, для каждого из которых мы желаем выполнить операцию

Фз)®\Фз) —> hW®|b), (0.11) где |6) — "пустое" состояние q-бита. Иными словами, изначально мы имеем два q-бита, секретно приготовленных в одном и том же состоянии а цель наша состоит в уничтожении состояния \ipj) второго q-бита. Включая окружающее пространство в анциллу, мы можем рассматривать процесс (0.11) как унитарное преобразование комбинированной системы "два q-бита + анцилла":

U |ipj) О <g> |а) = ® |Ь) ® |aw).

Принцип неуничтожения утверждает [40, 41]: вторая копия не может быть уничтожена в том смысле, что состояние всегда может быть реконструировано из финального состояния |а^) анциллы. Рассматривая совместно операции клонирования и уничтожения, мы видим, таким образом, что запасенная в неортогональных состояниях квантовая информация обладает свойством перманентности: сотворения копии можно достичь только импортированием информации из некоторой иной части Вселенной, уничтожения копии можно достичь только экспортированием информации в некоторую иную часть Вселенной, но во Вселенной в целом эта информация пребывает непрерывно [40].

В определенном смысле запрет на идеальное клонирование квантовых объектов аналогичен хорошо известному в квантовой механике принципу неопределенностей. Действительно, и тот, и другой отрицают некоторые "очевидные" представления, вытекающие из макроскопического повседневного опыта. Однако сами по себе эти результаты еще не могут составить содержание какой-либо научной дисциплины. Как отмечают Ландау и Лифшиц (см. [42], с. 14), ". принцип неопределенностей обладает, можно сказать, отрицательным содержанием". То же самое в равной степени применимо и к теореме о невозможности клонировать отдельный квантовый объект. Между тем в основе любой теории должны лежать какие-то утверждения положительного характера. Поэтому истинное становление квантового клонирования как научной дисциплины со своими задачами и методами следует относить ко второй половине 90-ых годов прошлого века. Оно было вызвано, в первую очередь, нуждами бурно развивающихся в те годы квантовой криптографии и теории квантовых вычислений. Но перед тем, как перейти к изложению основных задач и достижений теории квантового клонирования, нельзя не упомянуть еще одного результата " отрицательного содержания", который является расширением и обобщением теоремы Вуттерса-Зурека.

Речь идет о теореме, которая была доказана в 1996 г. в работе [43] и касалась копирования смешанных состояний. Дело в том, что в теореме Вуттерса-Зурека и последующих (до 1996 г.) исследованиях рассматривалось копирование только чистых состояний. Распространение этих результатов на смешанные состояния потребовало введения ряда новых понятий. В частности, стало ясно, что клонирование не является самым общим типом процедуры копирования, допустимым в квантовой теории [43]. Рассмотрим квантовую систему АВ, состоящую из двух физически идентичных частей, An В, каждая из которых имеет cZ-мерное пространство состояний. Система А секретно приготовлена в некотором состоянии из множества j\4 = {pi,p2} двух смешанных состояний. Система В, предназначенная нами для перевода в это неизвестное состояние, изначально находится в стандартном состоянии ст. Таким образом, исходное состояние системы А В описывается оператором плотности pj <g) сг, где j = 1 или 2. Согласно [43], наиболее общее воздействие на систему АВ заключается в том, чтобы позволить ей унитарно провзаимодействовать с некоторой вспомогательной системой С, чье начальное состояние обозначим через Е. В результате преобразования мы получаем систему АВ в состоянии pj = Trc(v(Pj ® а ® £)и*) , (0.12) которое является парциальным следом над пространством анциллы С. Финальные состояния частей А и В по отдельности получаются из pj взятием соответствующего парциального следа: финальное состояние А описывается оператором

TrB(Pj), финальное состояние В описывается оператором

TrA(Pj) •

Идеальному копированию отвечает преобразование, в результате которого исходное состояние части А не изменилось, а часть В перешла в то состояния, в котором изначально находилась часть А. Формально это выражается в виде двух равенств

Trb(Pj) = Pj A TrA(pj) = Pj . (0.13)

Здесь, следуя [44, 45], мы обозначрши конъюнкцию символом "А".) Преобразование с такими свойствами авторы работы [43] назвали бродка-стингом (broadcasting) множества Л4. Клонирование, по их терминологии, является лишь некоторой частной формой бродкастинга, когда выполняется более жесткое, чем (0.13), условие

Pj=Pj®Pj- (0-14)

Разумеется, (0.14) влечет за собой (0.13), однако конверсия этой импликации неверна. Основной результат работы [43] заключается в том, что бродкастинг множества М. осуществим в том и только в том случае, когда операторы р\ и р2 коммутируют. Таким образом, бродкастинг множества, которое содержит некоммутирующие состояния, невозможен (по-brodcasting theorem). Доказательство этого факта, по сравнению с простыми рассуждениями Вуттерса и Зурека, оказывается довольно сложным, и здесь мы не будем его пересказывать. Кроме того, авторы [43] показали, что множество М. = {pi,p2} можно клонировать, если и только если состояния р\ и р2 являются идентичными {р\ = р2) или ортогональными {р\р2 = 0). Последнее утверждение, как можно заметить, является хорошим обоснованием того, что под клонированием смешанных состояний нужно подразумевать именно (0.14). Подобно тому, как соотношение неопределеннностей устанавливает предел тонкости средств наблюдения, который нельзя превзойти совершенствованием эксперимента, утверждения о невозможности квантового клонинга и бродкастинга постулируют фундаментальные ограничения на копирование квантовых состояний.

Изучение приближенного клонирования было начато Бучеком и Хил-лери. В серии из трех работ [46, 47, 48] они заложили основу для дальнейших исследований в области квантового копирования. В первой статье на эту тему [4G] Бучек и Хиллери выдвинули идею об универсальном клонировании (universal cloning) и рассмотрели пример квантового 1 —> 2 клонера, клонирующего одинаково хорошо любое (чистое) состояние q-бита. Слово "универсальное" в данном контексте означает, что качество приближенного клонирования не зависит от того, какое именно состояние подвергается клонированию. Разумеется, любые утверждения о точности копирования основаны на том или ином оценочном критерии. В работах [49, 50] было показано, что сконструированное в [46] преобразование является оптимальным с точки зрения критерия "локальной точности воспроизведения". Авторы [49], кроме этого, построили универсальный клонер для N -> L клонирования q-битов, максимизирующий локальную точность воспроизведения. Проблема универсального клонирования чистых состояний многоуровневых систем была решена в работах [51, 52].

Во второй своей статье [47] Бучек и Хиллери исследовали ограничения на точность клонирования множества М. = {\ф),\ф)} , содержащего два различных неортогональных состояния. Для оценки качества клонирования они избрали величину, которую мы предпочитаем называть абсолютной ошибкой (сами авторы не ввели какого-либо наименования для этого критерия). Далее Бучек и Хиллери вывели нижнюю границу на абсолютную ошибку 1 —У 2 (а также 1 —> L) клонирования множества Л4. Следует отметить, что эта нижняя граница является приближенной и может быть улучшена. Устройство, предназначенное для клонирования состояний, принадлежащих некоторому известному набору, авторы [50] предложили называть состояниезависимым клонером (state-dependent doner). Чтобы оценить качество состояниезависимого клонирования множества из двух равновероятных состояний, в работе [50] был введен критерий "глобальной точности воспроизведения". Далее, авторы [50] получили точную верхнюю границу на глобальную точность воспроизведения.

Следующий важный шаг по изучению состояниезависимого клонирования был сделан в работе [53]. Авторы [53] обобщили понятие "глобальной точности воспроизведения" на случай, когда состояния из множества Л4 имеют произвольные априорные вероятности, и вывели точную верхнюю границу на глобальную точность воспроизведения для N L клонирования набора из двух чистых состояний. Кроме того, в той же статье было показано, как реализовать полученное оптимальное преобразование, используя двух^-битовый вентиль С NOT и локальные унитарные преобразования над одним q-битом. Несколько позднее и независимо глобальная точность воспроизведения для N -» L клонирования множества из двух чистых состояний была исследована в работе [54], но только в случае, когда клонируемые состояния имеют равные априорные вероятности.

Ограничиваясь для простоты 1 —> 2 клонированием без анциллы множества из двух равновероятных состояний, поясним смысл этого важного критерия. Пусть единичные векторы \ф) и |ф) описывают состояния, подлежащие клонированию. В результате действия копирующего преобразования U получаются актуальные выводы и \VМ): и Iф) ® IЬ) = \VW), и Iф) о IЬ) = |VM).

Эти актуальные выводы, генерируемые клонером, следует сравнить с идеальными выводами \фф) = \ф) ® \ф) и |фф) = \ф) ® \ф) соответственно. Как хорошо известно, естественной мерой для сравнения двух чистых состояний является квадрат модуля их внутреннего произведения. Поэтому глобальная точность воспроизведения Fq определяется как арифметическое среднее двух мер:

Fg = \ \(УМ\фф)\2 + \ \{УМ\фф)\2. (0.15)

Это выражение предполагает, что состояния |ф) и |ф) a priori равновероятны, то есть вероятность появления каждого из них на входе клонера равна 1/2. Если же априорные вероятности состояний |ф) и \ф) равны р и q соответственно (разумеется, р + q = 1), то, следуя идеологии работы [53], в определении (0.15) множители 1/2 нужно заменить на р н q соответственно.

В третьей работе [48] Бучек и Хиллери в соавторстве с Брассом и Браунстейном исследовали вопрос о построении квантовых схем, реализующих оптимальные преобразования для универсального клонирования. Всякая реализация предполагает использование того или иного набора базисных квантовых логических элементов, из которых будет строиться нужное преобразование. Существует несколько способов выбора такого базиса. Изучение различных базисов и методов конструирования требуемых квантовых преобразований составляет содержание теории квантовых схем, и первоначальный интерес к этой дисциплине был связан с проблемами реализации квантовых вычислений (см. основополагающую работу [55]). В статье [48] данная тематика рассматривается в контексте универсального квантового клонирования. Для состояниезависи-мого клонирования аналогичные вопросы были исследованы в работе [53]. Оказалось, что конструирование состояниезависимых клонеров удобнее проводить в терминах вентиля переноса различимости (distinguishabil-ity transfer gate) и вентиля разделения состояний (state separation gate) [53]. Там же показано, как реализовать указанные вентили на базе двух-q-битового вентиля С NOT и локальных унитарных операций над одним (/-битом.

Все упомянутые выше результаты были получены при изучении тех возможностей и границ квантового копирования, которые могут быть достигнуты с использованием унитарных преобразований. Кроме унитарной эволюции, однако, в квантовой механике есть еще один, принципиально иной, путь изменения состояния системы — редукция вектора состояния при измерении. Эти два процесса были совершенно четко обозначены в классическом труде фон Неймана [14]. Изменение состояния, вызываемое измерением, фон Нейман называет термином "процесс 1", а автоматическое изменение состояния, вызываемое течением времени, — термином "процесс 2" (см. разд. V.1 книги [14], в особенности с. 261). Для нас будет более удобным использовать терминологию Р. Пенроуза (см. гл. G его книги [56], с. 205), который редукцию вектора состояния называет R-процедурой (reduction of state vector), а унитарную эволюцию вектора состояния называет U-процедурой (unitary evolution of state vector). Следует отметить, что U-процедура является детерминированной, и именно R-процедура привносит неопределенности и вероятности в квантовую теорию [56]. Хотя большая часть физиков имеет дело с той стороной квантового формализма, которая использует в основном U-процедуру, для ". согласия квантовой теории с наблюдательными фактами необходимы оба процесса: и U, и R" (см. [56], с. 205). Так как все описанные выше подходы к изучению возможностей квантового клонирования использовали лишь U-процедуру, возникает естественный вопрос: может ли использование R-процедуры (наравне с U-процедурой) добавить что-либо новое к нашим возможностям по клонированию квантовых состояний? Положительный ответ на этот вопрос был дан Дуаном и Гуо в работах [57, 58].

В первой статье [57] Дуан и Гуо показали, что использование более общего процесса (U+R) дает возможность клонировать два неортогональных состояния идеально точно. Естественной платой за применение R-процедуры является вероятностный характер всей операции — вероятность получения точных клонов оказывается меньше единицы (в отличие от основанного на U-процедуре детерминированного клонирования, когда генерируются клоны приближенные, но с вероятностью единица). Ключевая идея работы [57] очень проста и состоит в том, чтобы вслед за реализацией специально подобранного унитарного преобразования U выполнить измерение над анциллой. Как оказалось, при благоприятном исходе измерения удается сгенерировать точную копию исходного состояния. В дальнейшем нам будет удобно для обозначения клонируемых состояний прибегнуть к нотации "±". Для вероятностного (или, как еще говорят, точного) 1 —> 2 клонирования двух неортогональных состояний |ф+) и \ф~) q-бита преобразование U должно иметь вид

U |ф+) ® |6> (2) |а) = //+ |ф+) <g> |ф+) <g> | т) + I/+ |W+) ® |п) , (0.16)

U |ф-) ® |Ь) <g> |а) = |ф) <g> |ф) <g> \т) + v.\W.) ® \п). (0.17)

Здесь |т) и |п) — ортогональные друг к другу состояния анциллы, а на коэффициенты налагается (ввиду унитарности) требование

Ы2 + Ы2 = 1.

Производя измерение той наблюдаемой, для которой \т) и |п) являются собственными состояниями, мы получаем либо значение т (с вероятностью |//±|2), либо значение п (с вероятностью |z/±|2). Результат m благоприятствует клонированию, так как после измерения система из двух q-битов окажется в состоянии |ф±) ® \ф±). Эту операцию принято записывать как

I Ф±) ® I щ | Ф±) ® | Ф±) .

Результат п означает, что клонирование претерпело неудачу. Если состояния |ф+) и |ф-} a priori равновероятны, то вероятность успешного клонирования равна

Pluck = ^(l/'+P +1/1-!2) • (0-18)

Вероятность (0.18) ограничена сверху величиной 1

1 + К<Ы*->1 ' которая и является оптимальным значением вероятности успешного клонирования [57]. В следующей работе [58] Дуан и Гуо расширили свою схему на клонирование множества из конечного числа линейно независимых состояний. Там же они ввели для обозначения своей процедуры термин "вероятностное клонирование" (probabilistic cloning).

Авторы статьи [59] предложили вероятностную процедуру более общего типа — разделение квантовых состояний (quantum state separation), которое включает в себя клонирование как частный случай. Задача формулируется следующим образом. Рассмотрим q-бит, секретно приготовленный в одном из двух состояний \ф±). Нашей целью является трансформация \ф+) в \ф+) и в \ф~) соответственно, причем

В работе [59] было показано, что этой цели можно достичь, используя определенную (U+К)-процедуру, то есть

В случае успеха мы получаем состояния \ф±), которые ввиду (0.19) разделены сильнее, чем исходные состояния \ф±), что и оправдывает использование термина "разделение состояний" для обозначения такого процесса.

Подводя итог всему вышесказанному, мы можем заметить, что, с одной стороны, по своему предназначению квантовые клонирующие машины делятся на следующие два класса.

Ф+\Ф-)\2 > \(Ф+\Ф-)\2 ■

0.19)

UCM Универсальные квантовые клонеры, предназначенные для клонирование любого состояния с одной и той же точностью.

SCM Состояниезависимые квантовые клонеры, предназначены для клонирования состояния, принадлежащего некоторому наперед заданному множеству М = . • •, \Фк)} из к состояний.

Говоря о состояниезависимых клонерах, нужно иметь в виду, что, поскольку ортогональные друг к другу состояния можно клонировать идеально точно, наиболее интересен случай, когда множество М. содержит неортогональные состояния.) С другой стороны, по признаку используемой квантовой операции квантовые клонирующие машины могут быть разделены на такие два класса.

DCM Детерминированные, но приближенные квантовые клонеры, использующие U-процедуру.

РСМ Вероятностные, но точные квантовые клонеры, использующие (и+11)-процедуру.

Как уже было сказано выше, схему (U+R) можно применять для клонирования только множества линейно независимых состояний. Так что вероятностные клонеры автоматически являются состояниезависимыми, а универсальные клонеры могут быть лишь детерминированными. По этой причине, а также вследствие того, что первоначально (в работе [50]) термин "состояниезависимые клонеры" был введен для наименования определенного класса детерминированных клонеров, под состояни-езавнспмым клонированием обычно подразумевают именно детерминированное состояниезависимое клонирование. В настоящей диссертации всюду (кроме заключительной части главы 3) термин "состояниезависимое клонирование" используется лишь в такой интерпретации. Итак, вместо ожидаемых (после дихотомии по двум различным признакам) четырех существует три вида квантовых клонеров: универсальные клонеры, состояниезависимые клонеры и вероятностные клонеры.

Квантовое клонирование представляет интерес с различных точек зрения. Некоторые из разрабатываемых сейчас квантовых технологий, в первую очередь вопросы надежности квантового распределения секретного ключа, требуют детального анализа возможностей и ограничений квантового клонирования. Действительно, для взлома квантовокрипто-графического канала связи подслушиватель может применить клонирование состояний, используемых легитимными пользователями канала. Следует отметить, что квантовая криптография является наиболее продвинутым в область практических приложений разделом квантовой теории информации [2, 4]. Первый пример квантовокриптографической системы — так называемый "ВВ84 протокол" — был разработан еще в 1984 г. [60], а первая экспериментальная реализация этого протокола на дистанции около 1 км была осуществлена в 1993 г. [61]. В дальнейшем было предложено множество различных квантовокриптографическнх протоколов и способов их физической реализации [62]. Оказалось, в частности, что квантовое распределение секретного ключа можно организовать, используя только два неортогональных состояния (так называемая "В92 схема") [63]. Приятно отметить вклад наших соотечественников, исследовавших релятивистскую квантовую криптосистему на ортогональных состояниях [64]. В настоящее время удается осуществлять стабильное квантовое распределение ключа на расстояния вплоть до 70 км, а некоторые квантовые криптосистемы уже предлагаются для коммерческого использования [65]. Прогресс квантовой криптографии был столь впечатляющим, что Б. Шнайер включил краткое изложение основных ее идей во второе, вышедшее в 1996 г. английское издание (с которого и сделан русский перевод [66]) своей нашумевшей книги энциклопедического характера "Прикладная криптография". Описание квантовой криптографии начинает проникать и в учебную литературу — см., напр., гл.

29—

18 книги [67] или п. 17.1 книги [68].

Далее, квантовое клонирование целесообразно использовать для такого распределения квантовой информации, которое способно улучшить выполнение некоторых квантовых вычислений [69]. Еще один пример того, как клонирование может использоваться в процессе квантового вычисления, описан в работе [70]. Рассмотренный автором [70] пример интересен также в том отношении, что сконструированные для оптимального клонирования чистых состояний клонеры не могут выполнить поставленную задачу с наибольшей достижимой эффективностью, и необходимо прибегнуть к клонированию смешанных состояний. Как уже было сказано выше, рождение теории квантовых вычислений стало результатом осознавания весьма нетривиальных следствий того простого факта, что информация обрабатывается физическими устройствами. Коль скоро любое вычисление — это процесс физический, ответ на вопрос о том, что можно вычислить математически, а что нельзя, полностью зависит от законов физики (см. [71], с. 135). Исследование множества проблем, связанных с фундаментальными физическими ограничениями на возможности вычислительных устройств (в самом широком понимании термина "вычислительное устройство"), заняло несколько десятилетий, и здесь мы не в состоянии провести сколь-нибудь полное их обсуждение. Укажем лишь обзоры [72, 73], в которых приводятся сведения по истории предмета, а также ценный сборник [74], содержащий переводы наиболее важных работ, которые заложили основы современного понимания природы вычислений и раскрыли удивительные возможности квантовых компьютеров.

Потенциальная мощь использования квантовых эффектов в процессе вычисления была впервые предсказана Р. Фейнманом в начале 80-ых годов XX века ([2], с. 134). В своей первой статье на эту тему [75] Фейнман рассмотрел вопрос об имитации квантовой системы на обычной цифровой ЭВМ и пришел к такому выводу: ресурсы быстродействия и памяти классических компьютеров недостаточны для такого рода моделирования. Иными словами, компьютерное моделирование квантовой эволюции сопряжено с экспоненциальным замедлением по сравнению с естественной эволюцией. Опираясь на этот негативный результат, Фейнман высказал предположение о том, что, вероятно, квантовый компьютер мог бы эффективно решать указанные задачи. Действительно, уж саму то себя, по крайней мере, любая квантовая система "имитирует" вполне успешно. И впоследствии гипотеза Фейнмана подтвердилась. В работах [76, 77] было показано, как на квантовых компьютерах можно эффективно промоделировать временную эволюцию многочастичных квантовых систем. Подчеркнем, что речь здесь идет не о вычислении собственных значений какой-либо наблюдаемой (например, гамильтониана), а о решении нестационарного уравнения Шредингера, которое и определяет изменение волновой функции многочастичной системы, вызываемое течением времени.

Вполне возможно, что открытый Д. Дойчем в 1985 г. принципиально новый механизм быстрого счета — квантовый параллелизм (см. основополагающую работу Дойча [78]) — позволит эффективно решать "труд-норешаемые" на классических компьютерах задачи. Так как повышение вычислительной мощи обычных компьютеров за счет увеличения ресурсов быстродействия и памяти имеет свои естественные границы, именно сложность алгоритма, в конечном счете, определяет тот размер вычислительной задачи, который "решаем" при допустимых затратах времени и памяти. Несмотря на то, что за полувековой период развития классических ЭВМ было разработано множество чрезвычайно эффективных алгоритмов [79, 80], ситуацию в этой области нельзя признать удовлетворительной. Действительно, существует немало вычислительных задач, таких как задача коммивояжера или задача целочисленного линейного программирования, которые постоянно возникают в практической деятельности человека, но для решения которых мы не располагаем какими-либо эффективными алгоритмами. Эти задачи изучались в течении десятилетий, и ни для одной из них не удалось построить алгоритм полиномиальной сложности, поэтому большинство специалистов полагают, что такого алгоритма вообще не существует [79, 81]. (Подчеркнем, что речь здесь идет об алгоритме, позволяющем найти оптимальное решение во всех возможных случаях.) Но, поскольку на практике нам все равно необходимо располагать хоть каким-то решением, обычно прибегают к разного рода эвристикам. Как правило, это либо алгоритмы, которые всегда приводят к нахождению оптимального решения, но в наихудшем случае требуют для этого недопустимо большого числа операций (например, алгоритмы ветвей и границ — см. в книгах [82, 83] главы, посвященные задаче коммивояжера), либо алгоритмы, которые не всегда приводят к нахождению оптимального решения, но требуют для получения такого решения приемлемого числа операций (например, так называемые жадные алгоритмы — см. главу 17 в [80]).

Не спасает положения и чрезвычайно интересная концепция рандомизированного, или вероятностного, алгоритма, четко оформившаяся к концу 70-ых годов прошлого века (см., напр., главу 10 книги [81]). При разработке вероятностного алгоритма ключевая идея состоит в том, чтобы стремиться к получению точного решения, допуская при этом некоторую, желательно малую, вероятность неблагоприятного исхода (заметим, кстати, что здесь просматривается явная аналогия с основной идеей вероятностного, но точного клонирования). Наибольшую пользу концепция рандомизации дала при решении алгоритмических задач теории чисел, важных для криптографии с открытым ключей, — достаточно упомянуть вероятностный тест Миллера-Рабина на простоту целого числа и р -метод Полларда для разложения целого числа на простые сомножители (см. [80], гл. 33, или [84], гл. V). Однако в настоящее время большинство исследователей полагают, что если и удастся создать эффективные алгоритмы для решения "трудных" задач, то это будут алгоритмы, основанные на квантовом параллелизме. Хотя квантовые компьютеры и не могут вычислять функцию, которая "не вычислима" по Тьюрингу, они обеспечивают новые типы вычислений для многих классов задач [85].

Наиболее впечатляющим из известных на сегодня примеров превосходства квантовых алгоритмов над классическими является алгоритм П. Шора для разложения целого числа на простые сомножители. Этот результат, анонсированный в 1994 г. (но опубликованный несколько позже — см. [8G, 87]), вызвал бурный рост исследований по теории квантовых вычислений. Шор показал [86, 87], что с помощью квантового параллелизма факторизация целого числа экспоненциально ускоряется по сравнению с любым из известных ныне классических алгоритмов. Заметим, кстати, что именно на трудоемкости разложения большого числа на простые сомножители (разрядностью порядка сотен десятичных цифр [66, 88]) основана криптосистема RSA (Rivest, Shamir, Adleman), ставшая ". единственной получившей широкое признание и практически применяемой схемой шифрования с открытым ключом" (см. [88], с. 226). Л. Гровер нашел еще один пример задачи, решение которой ускоряется при использовании квантовых вычислений, — поиск в неупорядоченном списке элементов [89, 90]. Правда, алгоритм Гровера дает лишь ускорение в квадратный корень из числа шагов, а не экспоненциальное ускорение. Тем не менее это очень гибкий инструмент, вариации которого могут находить наибольшее или наименьшее число в списке, оценивать среднее и медиану и т.д. [2]. Алгоритм Гровера можно использовать также в криптоанализе для эффективной атаки на повсеместно используемые блочные криптографические схемы ([2], с. 133), такие как DES (Data Encryption Standard), который ". за 20 лет превратился во всемирный стандарт" ([66], с. 303), или ГОСТ 28147-89, утвержденный в бывшем СССР стандарт шифрования данных [66]. Такая неожиданная связь наиболее важных квантовых алгоритмов с криптографией вполне может означать, что создание полномасштабных квантовых компьютеров заставит человечество отказаться от традиционно используемых криптосистем и приведет к повсеместному распространению криптосистем квантовых. А стойкость последних, как уже было отмечено выше, тесно связана с возможностями и ограничениями квантового клонирования.

По сравнению с квантовой криптографией, в области физического осуществления квантовых вычислений наблюдается заметное отставание. Многочисленные варианты уже реализованных прототипов квантовых компьютеров и нереализованных пока предложений описаны, с той или иной степенью детализации, в книгах [2, 19]. Хотя на пути выполнения квантового вычисления в масштабе, дающем практическую выгоду от его использования, стоят значительные трудности, в настоящее время они считаются, по крайней мере в принципе, преодолимыми [5]. Тем не менее ". задача столь трудна, что ее можно сравнить с задачей об управляемом термоядерном синтезе" ([5], с. 13). Но нет никаких поводов отказываться от столь заманчивой идеи квантового компьютера. Вполне возможно, что во времена Ч. Бэббиджа его проект того, что сто лет спустя назвали "компьютером", воспринимался как еще более нереалистичный. Настоящая история квантовых компьютеров, как и квантовой теории информации в целом, только начинается, и было бы неразумным пытаться ее предсказывать. Единственное, что можно себе позволить — повторить вслед за Цезарем: " ALEA J АКТА EST". Работы по созданию и воплощению в жизнь квантовых информационных технологий будут, несомненно, только расширяться и углубляться. И на этом пути необходимо систематически исследовать ряд дисциплин, в том числе и квантовое клонирование. Сделанный чуть выше довольно многословный экскурс в историю квантовых вычислений имел своей целью продемонстрировать то, насколько неожиданными могут оказаться связи между теми или иными разделами квантовой теории информации, между абстрактными идеями и практической деятельностью человека. Поэтому список упомянутых выше задач, которые требуют изучения различных вопросов квантового клонирования, ни в коей мере нельзя считать исчерпывающим.

Впрочем, можно указать и более привычные ситуации, в изучении которых целесообразно обратить внимание на квантовое клонирование. Так, определенный интерес как для теории, так и для эксперимента представляют совместные измерения некоммутирующих наблюдаемых [91, 92, 93]. Как было показано в работе [94], один из возможных методов проведения таких измерений опирается на квантовое клонирование. Кроме того, клонирование квантовых состояний может быть полезным для изучения ряда концептуальных вопросов, связанных с интерпретацией квантовой теории, позволяя взглянуть на природу квантовых состояний под несколько необычным углом зрения. Как хорошо известно, задача получения информации о состоянии квантового объекта принципиально отличается от того, с чем имеет дело классическая физика. Соотношение неопределенностей Гейзенберга и запрет на клонирование неизвестного квантового состояния являются фундаментальными проявлениями данного отличия. Тем не менее, для изучения неизвестного состояния мы вполне можем прибегнуть к квантовому клонированию, несмотря на то, что клоны неизбежно будут приближенными, а полученная об исходном состоянии информация, как следствие, лишь частичной. Заметим также, что в процессах передачи и обработки квантовой информации состояниезависимое клонирование по многим позициям оказывается более важным, чем клонирование универсальное [95]. Это связано в первую очередь с тем, что большинство квантовых технологий оперируют с конечным числом некоторых специально подобранных состояний. В этом смысле возможности универсального клонирования можно рассматривать как своеобразную нижнюю границу для потенциальных возможностей состояниезависимого клонирования [95].

Цель работы.

Основной целью настоящей диссертации является исследование некоторых открытых вопросов теории состояниезависимого квантового клонирования. Практически все результаты, полученные ранее, были основаны на традиционно используемом критерии глобальной точности воспроизведения и касались клонирования чистых состояний. Поэтому для достижения поставленной цели рассматривались следующие задачи.

1. Найти и обосновать новый критерий для измерения точности состояниезависимого клонирования, позволяющий оценивать те аспекты проблемы, которые не охватываются традиционно используемыми критериями.

2. Получить границы для состояниезависимого клонирования смешанных состояний, используя как критерии глобальной точности воспроизведения и абсолютной ошибки, так и новый, дополнительный к указанным, критерий.

36— '

3. Исследовать более общую ситуацию, в которой аицилла содержит априорную информацию о клонируемом состоянии и которая интересна, в частности, с точки зрения приложений к квантовой криптографии.

Научная новизна.

1. Развит новый подход к задаче состояниезависимого клонирования, использующий впервые предложенный критерий относительной ошибки клонирования и дающий иное, дополнительное по отношению к традиционному оценивание качества состояниезависимого клонирования.

2. Разработан новый метод исследования ограничений, налагаемых на состояниезависимое клонирование законами квантовой теории, выявивший основную, помимо роли унитарности эволюции, роль неубывания функции точности воспроизведения при взятии парциального следа.

3. Впервые получены границы для состояниезависимого клонирования смешанных состояний. Впервые рассмотрена ситуация, в которой анцилла содержит некоторую априорную информацию о клонируемом состоянии.

Положения выносимые на защиту:

1. Критерий относительной ошибки дает возможность изучить те аспекты проблемы состояниезависимого клонирования, которые не охватываются традиционно используемыми критериями. В частности, исследование относительной ошибки четко выявляет связь между степенью размножения при клонировании и качеством клонов. Кроме того, этот новый критерий позволяет более адекватно оценить возможность распознавания вводимого состояния путем измерений, проводимых над выводом состояниезависимого клонера.

2. Установленные для чистых состояний границы на глобальную точность воспроизведения, абсолютную ошибку и относительную ошибку состояниезависимого клонирования распространяются на смешанные состояния заменой квадрата модуля внутреннего произведения на функцию точности воспроизведения.

3. Развитый в диссертации подход, использующий углы между состояниями и сферическое неравенство треугольника, ясно показывает, что все известные ограничения на точность состояниезависимого клонирования возникают как результат минимизации либо максимизации соответствующей данному критерию функции угловых переменных в той области допустимых значений, которая фиксируется унитарностью преобразования и общими свойствами функции точности воспроизведения.

Личный вклад автора.

Все идеи и результаты, представленные в данной диссертации, получены автором лично.

Апробация работы.

Результаты представленных в настоящей диссертации исследований докладывались и обсуждались на Байкальской молодежной научной школе по фундаментальной физике (Иркутск, 2002 г.), на Международной конференции "Dynamical Chaos in Classical and Quantum Physics" (Новосибирск, 2003 г.), на семинарах кафедры теоретической физики Иркутского государственного университета (Иркутск, 2003 г.) и Учебно-научного центра "Квантовая оптика" Института автоматики и электрометрии СО РАН (Новосибирск, 2004 г.).

Публикации.

По результатам исследований опубликовано б работ [96-101].

Содержание работы.

Диссертация состоит из Введения, 7 глав, Заключения и содержит 145 страниц, 1 таблицу и 5 рисунков. Список литературы включает 123 наименования.

Заключение

В настоящей диссертации развит новый подход к исследованию границ и возможностей состояниезависимого квантового клонирования, который активно использует углы между состояниями и допускающие наглядную интерпретацию соотношения типа сферического неравенства треугольника. Для этого потребовалось, в частности, расширить понятие "угол между двумя состояниями" на случай смешанных состояний. В рамках предложенного метода было совершенно четко проде-монстроировано, что все известные ограничения на точность состояние-зависимого квантового клонирования получаются в результате минимизации или максимизации соответствующей данному критерию функции угловых переменных в той области допустимых значений, которая фиксируется унитарностью преобразования и общими свойствами функции точности воспроизведения. Разработанная техника вывода ограничений дала возможность без труда распространить установленные для чистых состояний границы на смешанные состояния путем простой замены квадрата модуля внутреннего произведения на функцию точности воспроизведения для операторов плотности, описывающих клонируемые состояния. Более того, новый метод позволил рассмотреть более общую, чем это обычно принято, ситуацию, в которой анцилла заранее содержит некоторую информацию о состоянии, подлежащем клонированию.

В рамках предложенного подхода удалось естественным и непротево-речивым образом сформулировать новый критерий для оценивания качества состояниезависимого клонирования, а именно критерий "относительной ошибки", и продемонстрировать целесообразность применения этого критерия для изучения тех вопросов, которые с трудом поддаются анализу на основе традиционно используемых критериев "гло

129— бальной точности воспроизведения" и "абсолютной ошибки" клонирования. Так, проведенное в заключительной части главы 3 с привлечением (и+Г1)-метода Дуана и Гуо сравнительное обсуждение различных критериев для оценивания качества состояниезависимого N —Ь L клонирования множества М = {|</>),|^)} из двух чистых состояний ясно показывает следующее. Исследование относительной ошибки позволяет совершенно четко проследить взаимосоотношение между степенью размножения при N —У L клонировании и точностью клонов, в то время как изучение клонирования с точки зрения критериев "глобальной точности воспроизведения" и "абсолютной ошибки" такой связи не обнаруживает. Целесообразность использования относительной ошибки для анализа этой связи подтверждается тем фактом, что наблюдается замечательное качественное согласие между оцениванием с точки зрения вероятности точного клонирования и оцениванием с точки зрения относительной ошибки того, насколько хорошо пара состояний |ф) и \ф) поддается операции N —> L клонирования. Поскольку эти два критерия — вероятность точного клонирования и относительная ошибка клонирования — относятся к двум принципиально различным методам состояниезависимого клонирования, относительная ошибка вполне заслуживает право на существование как новый критерий для оценки качества детерминированной процедуры состояниезависимого клонирования. Другое преимущество критерия "относительной ошибки клонирования" выражается тем обстоятельством, что он позволяет более адекватно оценить возможность распознавания вводимого состояния путем измерений, производимых над выводом состояниезависимого клонера.

Далее, установлена точная нижняя граница на относительную ошибку Лг —> L клонирования множества, содержащего два чистых состояния. Кроме того, путем незначительной модификации рассуждений была улуч

130— шена нижняя граница на абсолютную ошибку клонирования, выведенная ранее Бучеком и Хиллери. Сконструирован оптимальный асимметричный клонер, который одновременно минимизирует относительную ошибку клонирования и абсолютную ошибку клонирования множества М = {\ф),\ф)} из двух состояний. Описание этого асимметричного кло-нера дано как в "бескоординатных", геометрически наглядных терминах, так и (ограничиваясь 1 —> 2 клонированием) в рамках традиционно используемого алгебраического формализма, в котором оптимальное унитарное преобразование задается результатом своего действия на состояния ортонормированного базиса в пространстве ®L span{|0),|^)}

Было проведено сравнение данного асимметричного клонера, минимизирующего относительную и абсолютную ошибки, с оптимальным симметричным клонером, который максимизирует глобальную точность воспроизведения N —» L клонирования множества ЛЛ . Это сравнение продемонстрировало, что с увеличением степени размножения отличия между указанными клонерами становятся все более и более значительными и, следовательно, представление об оптимальном асимметричном клонере, который минимизмирует относительную и абсолютную ошибки, не является бессодержательным.

Показано, каким образом следует обобщить критерий глобальной точности воспроизведения в случае клонирования множества, состоящего из произвольного числа смешанных состояний с произвольными априорными вероятностями, и при наличии в анцилле некоторой предварительной информации о клонируемом состоянии. Далее, выведена верхняя граница на определенную таким образом глобальную точность воспроизведения, что потребовало расширения понятия "угол между состояниями" на случай смешанных состояний. Отметим, что угол между смешанными

131— состояниями не является полноценным "углом" в традиционном понимании данного слова, поскольку сделанное в главе 5 обобщение этого понятия на смешанные состояния не сохраняет многие свойства обычного угла между векторами. Но для получения верхней границы на глобальную точность воспроизведения (как и границ на другие критерии) важно лишь то, что угол между смешанными состояниями удовлетворяет сферическому неравенству треугольника. В этом смысле угол между двумя смешанными состояниями можно рассматривать просто как некоторую удобную параметризацию функции точности воспроизведения.

В случае обычного (то есть при отсутствии априорной информации о клонируемом состоянии) клонирования пары чистых состояний выведенная нами граница сводится к хорошо известной границе на глобальную точность воспроизведения N —> L клонирования чистых состояний. Тем самым продемонстрировано, что установленная для чистых состояний граница на глобальную точность воспроизведения распространяется на смешанные состояния заменой квадрата модуля внутреннего произведения на функцию точности воспроизведения. Показано также, что состо-яниезависимый клонер, максимизирующий глобальную точность воспроизведения при клонировании пары чистых состояний, не всегда достигает указанной границы в общем случае смешанных состояний. Причина этого состоит в том, что унитарное преобразование, оптимальное при клонировании чистых состояний, имеет два характерных свойства:

Р1 Оно не задействует вспомогательную систему — анциллу;

Р2 Начальное состояние системы, которой предстоит стать клоном, чистое.

Таким образом, для построения состояниезависимого клонера смешанных состояний, оптимального с точки зрения критерия глобальной точности

132— воспроизведены я, нужно отказаться от этих упрощающих предположений. Кроме того, показано, что в случае клонирования множества, содержащего более двух состояний, выведенная граница не является, вообще говоря, точной. Предложен один способ улучшения границы, который подходит для численной реализации с конкретными данными, характеризующими множество подлежащих клонированию состояний.

Выведены нижняя граница на относительную ошибку и нижняя граница на абсолютную ошибку клонирования пары смешанных состояний, причем также рассматривается более общая ситуация, когда в анцилле предварительно запасена некоторая информация о клонируемом состоянии. Для этого дается обобщение указанных критериев на случай смешанных состояний и наличия априорной информации о клонируемом состоянии. В случае обычного (без предварительной информации о клонируемом состоянии) клонирования чистых состояний выведенные границы сводятся к полученным ранее границам на относительную и абсолютную ошибки состояниезависимого клонирования двух чистых состояний. Тем самым показано, что установленные для чистых состояний границы на относительную ошибку и абсолютную ошибку распространяются на смешанные состояния заменой модуля внутреннего произведения на квадратный корень из функции точности воспроизведения для клонируемых состояний. Показано также, что построенный нами в главе 4 асимметричный клонер, минимизирующий относительную ошибку и абсолютную ошибку в случае клонирования чистых состояний, не всегда достигает установленных границ в общем случае смешанных состояний. Причина этого заключается в следующем. Унитарное преобразование, минимизирующее относительную и абсолютную ошибки при клонировании чистых состояний, имеет три характерных свойства:

Р1 Оно не задействует вспомогательную систему — анциллу;

133—

Р2 Начальное состояние системы, которой предстоит стать клоном, чистое;

РЗ Одно из пары состояний клонируется идеально точно.

Таким образом, для построения состояниезависимого клонера смешанных состояний, оптимального с точки зрения критериев относительной ошибки и абсолютной ошибки, нужно отказаться по крайней мере от одного из этих упрощающих предположений.

Подводя итог, мы видим, что установленные для чистых состояний границы на глобальную точность воспроизведения, абсолютную ошибку и относительную ошибку состояниезависимого клонирования обобщены в двух аспектах. Во-первых, уже известные пределы распространены на случай смешанных состояний. Во-вторых, рассматривается более общая ситуация, когда в анцилле запасена априорная информацию о состоянии, подлежащем клонированию. Изучение этой более общей ситуации, в которой анцилла заранее содержит некоторую частичную информацию о клонируемом состоянии, представляет интерес, в первую очередь, для анализа стойкости различных квантовокриптографических систем по отношению к атакам типа "Троянского коня" (Trojan horse attacks). Как уже было отмечено во Введении, сильная форма теоремы о невозможности клонирования проясняет только два крайних случая, либо когда вся необходимая информация о вводимом состоянии уже запасена в анцилле, либо когда любая априорная информация вообще недоступна. Поэтому сильная форма "no-cloning" теоремы ничего не говорит нам о промежуточной ситуации, когда исходное состояние анциллы содержит какую-либо частичную информацию о клонируемом состоянии. Как показывают результаты глав б и 7, при повышении уровня доступа к предварительной информации о клонируемом состоянии верхняя граница на глобальную точность воспроизведения возрастает, а нижние границы на

134— относительную и абсолютную ошибки клонирования, наоборот, убывают. Такое поведение границ выглядит весьма правдоподобно, оно согласуется с сильной формой теоремы о невозможности клонирования и существенно ее дополняет.

В настоящей диссертации был исследован ряд открытых вопросов теории состояниезависимого квантового клонирования. Был найден и обоснован новый критерий для оценивания качества состояниезависимого клонирования — относительная ошибка клонирования. Критерий относительной ошибки позволяет изучать те аспекты задачи, которые не охватываются традиционно используемыми критериями глобальной точности воспроизведения и абсолютной ошибки клонирования. Большинство из проведенных ранее исследований касаются клонирования исключительно чистых состояний. В диссертации были получены некоторые значимые результаты по состояниезависимому клонированию смешанных состояний. Кроме того, был рассмотрен более общий случай, в котором начальное состояние анциллы заключает в себе априорную информацию о клонируемом состоянии и который до сих пор оставался практически неизученным. Разумеется, настоящая диссертация не содержит (да и не могла бы содержать) полного и всестороннего исследования проблемы состояниезависимого квантового клонирования. Ниже приведен, в порядке возрастания ожидаемой трудоемкости, список вопросов, несомненно заслуживающих дальнейшего изучения.

1. Построение оптимальных (с точки зрения того или иного критерия) квантовых схем для состояниезависимого клонирования чистых состояний при наличии запасенной в анцилле предварительной информации о клонируемом состоянии.

2. Вывод точных границ для состояниезависимого клонирования смешанных состояний и построение достигающих этих границ опти

135— мальных преобразований, хотя бы в простейшем случае клонирования множества из двух состояний.

3. Исследование до сих пор фактически неизученной проблемы оптимального приближенного бродкастинга, хотя бы в простейшем случае двухуровневых систем — q-битов.

Маловероятно, что разработанный в диссертации новый подход даст возможность исчерпывающе ответить на все перечисленные вопросы. Тем не менее, некоторые из уже полученных в рамках этого подхода результатов указывают те направления, прогресс в которых мог бы дать, по-видимому, ответы на сформулированные выше вопросы. А напоследок уместно произнести вслед за Учителем (одним из действующих лиц книги [123]) такие слова ([123], с. 145): "Сочувствую вам. . Но научное исследование начинается и кончается проблемами".

1. Физика квантовой информации / Под ред. Д. Боумейстера, А. Экерта, А. Цайлингера.- М.: Постмаркет, 2002, 376 с.

2. J. Preskill, Course Information for Physics 219 / Computer Science 219 Quantum Computation (Formerly Physics 229), 2000-2001, available online at http://www. theory, caltech. edu/people/preskill/ph229/

3. С. Я. Килин, Квантовая информация // УФН 169, 1999, с. 507-526

4. А. Китаев, А. Шень, М. Вялый, Классические и квантовые вычисления М.: МНЦМО, ЧеРо, 1999, 193 с.

5. М. Б. Менский, Квантовые измерения и декогеренция.- М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2001, 232 с.

6. Р. В. Ведринский, Квантовый эффект Зенона // Соросовский Образовательный Журнал 9, 1997, с. 71-77

7. A. Садбери, Квантовая механика и физика элементарных частиц.-М.: Мир, 1989, 488 с.

8. B. Misra and Е. С. G. Sudarshan, The Zeno's paradox in quantum theory // J. Math. Phys. 18, 1977, p. 756-763

9. W. M. Itano, D. J. Heinzen, J. J. Bollinger and D. J. Wineland, Quantum Zeno effect // Phys. Rev. A 41, 1990, p. 2295-2300

10. C. Я. Килин, Квантовая оптика: поля и их детектирование.- М.: Едиториал УРСС, 2003, 176 с.

11. М. Бунге, Философия физики.- М.: Прогресс, 1975, 352 с.

12. В. Гейзенберг, Физические принципы квантовой теории.- M.-JL: Гостехтеориздат, 1932, 146 с.

13. И. фон Нейман, Математические основы квантовой механики.- М.: Наука, 1964, 368 с.137—

14. H. D. Zeh, On the interpretation of measurement in quantum theory // Found. Phys. 1, 1970, p. 69-76

15. M. Б. Менский, Квантовая механика: новые эксперименты, новые приложения и новые формулировки старых вопросов // УФЫ 170, 2000, с. 631-648

16. W. Н. Zurek, Decoherence and the transition from quantum to classical // Physics Today 44, 1991, p. 36-44

17. W. H. Zurek, Preferred States, Predictability, Classicality and the Environment-Induced Decoherence // Prog. Theor. Phys. 89, 1993, p. 281-312

18. К. А. Валиев, А. А. Кокин, Квантовые компьютеры: надежды и реальность Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2002, 320 с.

19. W. К. Wootters and W. Н. Zurek, A single quantum cannot be cloned // Nature 299, 1982, p. 802-803.

20. И. X. Дворецкий, Латинско-русский словарь.- M.: Русский язык, 2002, 846 с.

21. D. Dieks, Communication by EPR devices // Phys. Lett. A 92, 1982, p. 271-272

22. P. W. Milonni and M. L. Hardies, Photons cannot always be replicated // Phys. Lett. A 92, 1982, p. 321-322

23. JI. Мандель, Э. Вольф, Оптическая когерентность и квантовая оптика М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000, 896 с.

24. Н. В. Карлов, Лекции по квантовой электронике.- М.: Наука, 1988, 336 с.

25. A. Einstein, Uber einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt // Ann. Phys. 17, 1905, p. 132-148 (Имеется русский перевод: см. А. Эйнштейн, Собрание научных трудов. Т. Ill М.: Наука, 1966, с. 92-107)138—

26. A. Einstein, Zur Theorie der Lichterzeugung und Lichtabsorption // Ann. Phys. 20, 1906, p. 199-206 (Имеется русский перевод: см.

27. A. Эйнштейн, Собрание научных трудов. Т. III.- М.: Наука, 1966, с. 128-133)

28. Н. P. Yuen, Amplification of quantum states and noiseless photon amplifiers // Phys. Lett. A 113, 1986, p. 405-407

29. G. M. D'Ariano and H. P. Yuen, Impossibility of Measuring the Wave Function of a Single Quantum System // Phys. Rev. Lett. 76, 1996, p. 2832-2835

30. П. A. M. Дирак, Принципы квантовой механики.- М.: Наука, 1979, 480 с.

31. Р. Балеску, Равновесная и неравновесная статистическая механика. Т. 1.- М.: Мир, 1978, 408 с.

32. С. И. Вавилов, Глаз и Солнце М.: Наука, 1976, 128 с.

33. В. Б. Брагинский, А. Б. Манукин, Измерение малых сил в физических экспериментах.- М.: Наука, 1974, 152 с.

34. В. Б. Брагинский, Ю. И. Воронцов, Квантовомеханические ограничения в макроскопических экспериментах и современная экспериментальная техника // УФН 114, 1974, с. 41-53

35. Ю. И. Воронцов, Теория и методы макроскопических измерений.-М.: Наука, 1989, 280 с.

36. К. S. Thorne, R. W. P. Drever, С. М. Caves, М. Zimmerman and V. D. Sandberg, Quantum Nondemolition Measurements of Harmonic Oscillators // Phys. Rev. Lett. 40, 1978, p. 667-671

37. В. Б. Брагинский, Ю. И. Воронцов, Ф. Я. Халили, Оптимальные квантовые измерения в детекторах гравитационного излучения // Письма в ЖЭТФ 27, 1978, с. 296-301

38. Х.-М. Д. Тунг, А. Гупта, Персональные компьютеры // Современный компьютер: Сб. науч.-попул. статей; Пер. с англ. / Под ред.

39. B. М. Курочкина М.: Мир, 1986, с. 31-46139—

40. Д. Буа, Э. Розеншер, Физические границы возможного в микроэлектронике // Физика за рубежом 1991: Серия А (Исследования); Сб. статей; Пер. с англ., франц. / Под ред. А. С. Боровика-Романова-М.: Мир, 1991, с. 93-119

41. R. Jozsa, A stronger no-cloning theorem // LANL e-print quant-ph/0204153

42. A. K. Pati and S. L. Braunstein, Impossibility of deleting an unknown quantum state // LANL e-print quant-ph/9911090

43. JI. Д. Ландау, E. M. Лифшиц, Квантовая механика- M.: Наука, 1989, 768 с.

44. Н. Barnum, С. М. Caves, С. A. Fuchs, R. Jozsa and В. Schumacher, Noncommuting mixed states cannot be broadcast // Phys. Rev. Lett. 76, 1996, p. 2818-2821

45. А. Тейз, П. Грибомон, Ж. Луи, Д. Снийерс, П. Водон, П. Гоше, Э. Грегуар, Э. Санчес, Ф. Дельсарт, Логический подход к искусственному интеллекту: от классической логики к логическому программированию.- М.: Мир, 1990, 432 с.

46. Дж. А. Андерсон, Дискретная математика и комбинаторика.- М.: Издательский дом "Вильяме", 2003, 960 с.

47. V. Buzek and М. Hillery, Quantum copying: Beyond the no-cloning theorem // Phys. Rev. A 54, 1996, p. 1844-1852

48. M. Hillery and V. Buzek, Quantum copying: Fundamental inequalities // Phys. Rev. A 56, 1997, p. 1212-1216

49. V. Buzek, S. L. Braunstein, M. Hillery and D. Bruft, Quantum copying: A network // Phys. Rev. A 56, 1997, p. 3446-3452

50. N. Gisin and S. Massar, Optimal Quantum Cloning Machines // Phys. Rev. Lett. 79, 1997, p. 2153-2156

51. D. Brufi, D. P. DiVincenzo, A. Ekert, C. A. Fuchs, C. Macchiavello and J. A. Smolin, Optimal universal and state-dependent quantum cloning // Phys. Rev. A 57, 1998, p. 2368-2378

52. R. F. Werner, Optimal cloning of pure states // Phys. Rev. A 58,1998, p. 1827-1832

53. M. Keyl and R. F. Werner, Optimal cloning of pure states testing single clones //J. Math. Phys. 40, 1999, p. 3283-3299

54. A. Chefles and S. M. Barnett, Strategies and networks for state-dependent quantum cloning // Phys. Rev. A 60, 1999, p. 136-144

55. C. Macchiavello, Bounds on the efficiency of cloning for two-state quantum systems //J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt. 2, 2000, p. 144-148

56. A. Barenco, С. H. Bennett, R. Cleve, D. P. DiVincenzo, N. Margolus, P. Shor, T. Sleator, J. A. Smolin and H. Weinfurter, Elementary gates for quantum computation // Phys. Rev. A 52, 1995, p. 3457-3467

57. P. Пенроуз, Новый ум короля: о компьютерах, мышлении и законах физики М.: Едиториал УРСС, 2003, 384 с.

58. L.-M. Duan and G.-C. Guo, Two non-orthogonal states can be cloned by a unitary-reduction process // LANL e-print quant-ph/9704020

59. L.-M. Duan and G.-C. Guo, Probabilistic Cloning and Identification of Linearly Independent Quantum States // Phys. Rev. Lett. 80, 1998, p. 4999-5002

60. A. Chefles and S. M. Barnett, Quantum state separation, unambiguous discrimination and exact cloning //J. Phys. A: Math. Gen. 31, 1998, p.10097-10103-1* ^

61. С. H. Bennett and G. Brassard, Quantum cryptography: public key distribution and coin tossing // Proceedings of the IEEE International Conference on Computers, Systems and Signal Processing, Bangalore, India, December 10-12, 1984, p. 175-179

62. A. Muller, J. Breguet and N. Gisin, Experimental demonstration of quantum cryptography using polarized photons in optical fiber over more 1 km // Europhys. Lett. 23, 1993, p. 383-388

63. N. Gisin, G. Ribordy, W. Tittel and H. Zbinden, Quantum cryptography // Rev. Mod. Phys. 74, 2002, 145, 51 p.141—

64. С. Н. Bennett, Quantum cryptography using any two nonorthogonal states // Phys. Rev. Lett. 68, 1992, p. 3121-3124

65. С. H. Молотков, С. С. Назин, Простое доказательство безусловной секретности релятивистской квантовой криптографии // ЖЭТФ 119, 2001, с. 1001-1010

66. P. Grangier and I. Abram, Single photons on demand // Physics World 16, February 2003, p. 31-35

67. Б. Шнайер, Прикладная криптография. Протоколы, алгоритмы, исходные тексты на языке Си.- М.: Изд-во ТРИУМФ, 2002, 816 с.

68. А. П. Алферов, А. Ю. Зубов, А. С. Кузьмин, А. В. Черемушкин, Основы криптографии: Учебное пособие.- М.: Гелиос АРВ, 2001, 480 с.

69. Ю. С. Харин, В. И. Берник, Г. В. Матвеев, С. В. Агиевич, Математические и компьютерные основы криптологии: Учебное пособие.-Мн.: Новое знание, 2003, 382 с.

70. Е. F. Galvao and L. Hardy, Cloning and quantum computation // LANL e-print quant-ph/0002053

71. H. Fan, Quantum cloning of mixed states in symmetric subspace // Phys. Rev. A 68, 2003, 052301, 4 p.

72. Д. Дойч, Структура реальности.-Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001, 400 с.

73. D. Aharonov, Quantum Computation // LANL e-print quant-ph/9812037

74. A. Ekert, P. Hayden and H. Inamori, Basic concepts in quantum computation // LANL e-print quant-ph/0011013

75. Квантовый компьютер и квантовые вычисления II. Сб. статей; Пер. с англ. / Под ред. В. А. Садовничего Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 1999, 288 с.

76. R. Feynman, Simulating physics with computers // Int. J. Theor. Phys. 21, 1982, p. 467-488 (Имеется русский перевод: см. 74], с. 96-124)142—

77. С. Zalka, Efficient Simulation of Quantum Systems by Quantum Computers // LANL e-print quant-ph/9603026

78. S. Wiesner, Simulation of Many-Body Quantum Systems by a Quantum Computer // LANL e-print quant-ph/9603028

79. D. Deutsch, Quantum Theory, the Church-Turing Principle and the Universal Quantum Computer // Proc. Roy. Soc. A 400, 1985, p. 97117 (Имеется русский перевод: см. 74], с. 157-189)

80. А. Ахо, Дж. Хопкрофт, Дж. Ульман, Построение и анализ вычислительных алгоритмов М.: Мир, 1979, 536 с.

81. Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест, Алгоритмы: построение и . анализ М.: МЦНМО, 2001, 960 с.

82. Дж. Э. Хопкрофт, Р. Мотвани, Дж. Д. Ульман, Введение в теорию автоматов, языков и вычислений.- М.: Издательский дом "Вильяме", 2002, 528 с.

83. Н. Кристофидес, Теория графов. Алгоритмический подход.- М.: Мир, 1978, 432 с.

84. Э. Майника, Алгоритмы оптимизации на сетях и графах.-М.: Мир, 1981, 323 с.

85. Н. Коблиц, Курс теории чисел и криптографии.- М.: Научное изд-во ТВП, 2001, х+254 с.

86. D. Deutsch and R. Jozsa, Rapid solution of problems by quantum computation // Proc. Roy. Soc. A 439,1992, p. 553-558 (Имеется русский перевод: см. 74], с. 190-199)

87. P. W. Shor, Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer // LANL e-print quant-ph/9508027

88. P. W. Shor, Polynomial-time algorithms for prime factorization and discrete logarithms on a quantum computer // SIAM J. Сотр. 26, 1997, p. 1484-1509 (Имеется русский перевод: см. 74], с. 200-247)

89. В. Столлингс, Криптография и защита сетей: принципы и практика М.: Издательский дом "Вильяме", 2001, 672 с.143—

90. К. Grovcr, Quantum Mechanics Helps in Searching for a Needle in a Haystack // Phys. Rev. Lett. 79, 1997, p. 325-328

91. K. Grover, From Schrodinger's Equation to the Quantum Search Algorithm // LANL e-print quant-ph/0109116

92. C. Y. She and H. Heffer, Simultaneous measurements of noncommuting observables // Phys. Rev. 152, 1966, p. 1103-1110

93. К. Хелстром, Квантовая теория проверки гипотез и оценивания.-М.: Мир, 1979, 344 с.

94. А. С. Холево, Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории М.: Наука, 1980, 320 с.

95. G. М. D'Ariano, С. Macchiavello and М. F. Sacchi, Joint measurement via quantum cloning // J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt. 3, 2001, p. 44-50

96. Y.-J. Han, Y.-S. Zhang and G.-C. Guo, Bounds for state-dependent quantum cloning // LANL e-print quant-ph/0209094

97. A. E. Rastegin, Some bounds for quantum copying // LANL e-print quant-ph/0108014

98. A. E. Rastegin, Some bounds for quantum copying with multiple copies // LANL e-print quant-ph/0111085

99. A. E. Rastegin, Relative error of state-dependent cloning // Phys. Rev. A 66, 2002, 042304, 6 p.

100. A. E. Rastegin, Upper bound on the global fidelity for mixed-state cloning // Phys. Rev. A 67, 2003, 012305, 3 p.

101. A. E. Rastegin, Global-fidelity limits of state-dependent cloning of mixed states // Phys. Rev. A 68, 2003, 032303, 6 p.

102. A. E. Rastegin, A lower bound on the relative error of mixed-state cloning and related operations // J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt. 5, 2003, p. S647-S650

103. А. Мессиа, Квантовая механика. Т. 1.- M.: Наука, 1978, 480 с.144—

104. А. Боум, Квантовая механика: основы и приложения.- М.: Мир, 1990, 720 с.

105. Справочник по специальным функциям / Под. ред. М. Абрамовица, И. Стиган- М.: Наука, 1979, 832 с.

106. В. А. Садовничий, Теория операторов.- М.: Дрофа, 2001, 384 с.

107. С. W. Helstrom, Detection theory and quantum mechanics (II) // Inform. Contr. 13, 1968, p. 156-171

108. N. J. Cerf, Asymmetric quantum cloning machines in any dimension // LANL e-print quant-ph/9805024

109. N. J. Cerf, Pauli cloning of a Quantum Bit // Phys. Rev. Lett. 84, 2000, p. 4497-4500

110. J. I. Cirac, A. K. Ekert and C. Macchiavello, Optimal Purifications of Single Qubits // Phys. Rev. Lett. 82, 1999, p. 4344-4347

111. R. Jozsa, Fidelity for mixed quantum states // J. Mod. Optics 41, 1994, p. 2315-2323

112. R. Jozsa and B. Schumacher, A new proof of the quantum noiseless coding theorem // J. Mod. Optics 41, 1994, p. 2343-2349

113. H. Barnum, C. A. Fuchs, R. Jozsa and B. Schumacher, General fidelity limit for quantum channels // LANL e-print quant-ph/9603014

114. P. Галлагер, Теория информации и надежная связь.- М.: Советское радио, 1974, 720 с.

115. A. Uhlmann, The "transition probability" in the state space of a *-algebra // Rep. Math. Phys. 9, 1976, p. 273-279

116. A. Uhlmann, On "Partial" Fidelities // Rep. Math. Phys. 45, 2000, p. 407-418

117. P. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник, Конкретная математика М.: Мир, 1998, 703 с.

118. Дж. Хедли, Нелинейное и динамическое программирование М.: Мир, 1967, 508 с.145—

119. Д. Химмельблау, Прикладное нелинейное программирование.- М.: Мир, 1975, 536 с.

120. P. Busch and P. G. Lahti, Correlation properties of quantum measurement //J. Math. Phys. 37, 1996, p. 2585-2601

121. M. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ.- М.: Мир, 1977, 359 с.

122. П. Халмош, Конечномерные векторные пространства- Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2002, 264 с.

123. М. А. Наймарк, Спектральные функции симметрического оператора // Изв. АН СССР (серия матем.) 4, 1940, с. 277-318

124. И. Лакатос, Доказательства и опровержения М.: Наука, 1967, 152