Ограниченное управление механическими системами с несколькими степенями свободы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ

На правах рукописи , ДОБРЫНИНА Ирина Станиславовна ^

ОГРАНИЧЕННОЕ УПРАВЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

01.02.01 - теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1995

Работа выполнена в Институте проблем механики РАН

Научный руководитель:

академик РАН Ф.Л.Черноусько

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А.М.ФормальскшЧ. кандидат физико-математических наук Б.Н.Соколов.

Ведущая организация:

НИН прикладной математики и кибернетики (Нижний Новгород).

Зашита диссертации состоится деесгЯря^ г. в ^ часов на заседании диссертационного совета Д002.87.01 при Институте проблем механики РАН по адресу: 117526, Москва, проспект Вернадского. 101. ИПМ РАН. . '

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем механики РАН.

Автореферат разослан ноября г.

Учёный секретарь диссертационного совета Д 002.87.01 кандидат физико-математических наук

А.Н.Меняйлов

/

Диссертация посвящена построению рациональных, практически приемлемых законов управления для сложных механических систем со многими степенями свободы.

Актуальность работы. В современной математической теории управления сложились два основных подхода к построению законов управления. Один из подходов дает классическая теория авлголшти-ческого управления. Он состоит в построении управления и в виде линейного оператора от фазового вектора х системы: и — Ь х. Если х мал, и также мало, используются не все возможности управления, и, как следствие, время приведения управляемой системы в терминальное состояние бесконечно. При большом х могут нарушаться ограничения, налагаемые на управляющую функцию.

Другой подход дает ггеория оптимального управления. Ее методы позволяют построить ограниченное управление, приводящее систему в терминальное состояние за конечное время, причем это время может быть минимизировано. Однако, для каждого нового начального состояния системы приходится решать краевую задачу принципа максимума заново.

Как попытаться совместить достоинства этих подходов и избежать их недостатков? В последнее время были предложены методы построения управлений, позволяющие ответить на поставленный вопрос. Среди них: применение известного подхода Р.Калмана построения управления (без учета ограничений) для линейных систем в случае наличия ограничений на управление, использование метода декомпозиции для нелинейных систем, динамика которых описывается уравнениями Лагранжа, и другие. Исследование и развитие подобных методов является актуальной задачей теории управления.

Цель работы заключается в разработке подхода к расчету управлений на основе комбинации методов теории автоматического регулирования и теории оптимального управления и подтверждении, па

основании результатов численного моделирования, работоспособности и эффективности этих управлений. Предъявляются следующие требования к законам управления: они должны

1) обеспечивать выполнение ограничений, налагаемых па управляющие переменные;

2) приводить систему в заданное состояние за конечное время;

3) быть достаточно простыми в вычислительном отношении и пригодными для управления техническими системами в реальном масштабе времени.

Методы исследования. В диссертации использовались методы аналитической механики, теории оптимального управления, теории дифференциальных игр, математической физики, а также методы компьютерной атгебры и компьютерное моделирование.

Научная новизна заключается, прежде всего, в сочетании методов теории автоматического регулирования, оптимального управления п декомпозиции динамических систем для эффективного построения законов управления, приводящих механические системы со многими степенями свободы в заданное состояние за конечное время при ограничениях на управления. Отметим, что декомпозиция осуществляется не за счет конструктивных особенностей механической системы, а за счет выбора соответствующего алгоритма управления.

На основе указанных принципов построены достаточно простые законы управления (программные и с обратной связью), решающие поставленную задачу. Эффективность этих законов управления подтверждается многочисленными примерами и компьютерным моделированием.

Практическая ценность работы. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы как элементы алгоритмического и программного обеспечений робототехнических систем. Исследуемые в работе законы управления могут быть использованы в реальных си-

стемах управления движением манипуляторов.

Достоверность полученных результатов базируется на корректности постановок исследуемых задач, строгом и обоснованном использовании математических методов, на сравнении результатов компьютерного моделирования с теоретическими выводами.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 статей [1, 2, 4, 5, 6] в журнале "Изв. РАН. Теория и системы управления" (до 1995 г. "Изв. РАН. Техническая кибернетика").

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре Института проблем механики РАН "Теория управления и динамика систем'' (руководитель семинара — академик Ф.Л.Черноусько), а также представлялись на всероссийских н международных научных конференциях, среди которых XII Юбилейная конференция молодых ученых института машиноведения "Актуальные проблемы машиноведения" (Москва, 1989) [3], III Конференция "Нелинейные колебания механических систем" (Нижний Новгород, 1993) [7], международная конференция "Сингулярные решения и возмущения в системах управления" (Переславль-Залесский, 1993) [8], Симпозиум ШТАМ по оптимизации механических систем (Штутгарт, Германия, 199о) [9, 10].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения. четырех глав , заключения и списка цитируемой литературы (46 наименований). Общий объем работы 107 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении формулируется цель работы, приводятся сравнительные характеристики классических методов автоматического регулирования и оптимального управления, отмечаются их достоинства и недостатки н обосновывается идея построения практически приемлемых управлений для систем со многими степенями свободы на основе указанных методов.

В первой главе исследуется линейная управляемая система четвертого порядка, содержащая колебательное звено (осциллятор) и имеющая при отсутствии управляющих воздействий пару чисто мнимых п пар у пулевых корнем:

¿о -и

Здесь г = 0,1 — обобщенные координаты, и > 0 — собственная частота осциллятора. Управляющая переменная этой системы и — скалярная функция, на модуль которой наложено ограничение:

|«(01 < «

где а — заданная постоянная.

Данная система является упрощенной моделью различных двух-массовых динамических объектов. При соответствующих допущениях она описывает динамику подъемно-транспортных машин (например, подъемных кранов), роботов с учетом упругой податливости их конструкций и других систем с маятниковыми и .упругими элементами.

Ставится задача построения программного управления, приводящего систему из любого начального состояния в нулевое положение равновесия за конечное время.

Управление строится на основе комбинации линейно независимых решений (собственных движений) соответствующей системы однородных дифференциальных уравнений. Впервые такой прием был использован в работах Р.Калмана для построения управлений, приводящих линейную систему в заданное терминальное состояние за конечное время, но без учета ограничений на управления. В диссертации используется модификация этого подхода, позволяющая строить управление, приводящее линейную систему из произвольного начального состояния в заданное конечное состояние при геометрических ограничениях, наложенных на управляющие функции.

В работе исходная система рассматривается в безразмерных переменных и приводится к нормальной форме Коши:

х = Ах + В и, А =

( 0 1 0 0 \

-10 0 0

0 0 0 1

\ 0 0 0 0 /

И < 1

в =

/ 0 \ 1

о

V 1 /

(1)

(2)

Выражение для управления, построенного по схеме Калмапа, имеет

вид

u(t) = siní — ip-2iX° COS t + <P3iX°¡t — ip4iX° )

(3).

1=1

Здесь — компоненты начального фазового вектора нашей системы (.х — фазовый вектор системы), ¡р^, г, ] — 1,..., 4, — элементы обратной матрицы /?-1(Т),

( (Т — se)/'2 -s2/2 s-Tc с — 1 \

—S1 /2 (Т + .se)/2 1 -c-Ts s

s-Tc l-c-Ts Г3/3 -T-/2

\ с- 1 s -T2/2 T

s = sinT, с — cos T, T > 0 — время окончания процесса. Управление (3) при любом Т > 0 переводит систему (1) из любого заданного начального состояния в терминальное состояние покоя за время Т. Однако, это управление, вообще говоря, не удовлетворяет ограничению

(2). Для того, чтобы учесть это ограничение, применим к соотношению

(3) неравенство Коши-Буняковского

«1< £(*?)2

¿=1

1/2

lí SÍ» t + ip2i COS t - (p3it + <¿4;)2

.¡'=1

1/2

Введем вспомогательные функции

4

p(t, T) - sin t + ip2¡ COS í - ip3it + <^4¿)2

i=l

r(T) =

max pit, T) о<«r v '

-1/2

Будем выбирать время окончания процесса, исходя из условия

1/2

(Х>?)2) = г(Г). (5)

При выборе Т согласно (5) наложенное на управление ограничение (2) будет удовлетворено при всех t 6 [О, Г].

Таким образом, приходим к следующей процедуре построения управления u(t). Сначала найдем элементы <Çij(T) обратной матрицы Я~г (Г) и подсчитаем функции p{t,T) и г(Т). Эти построения выполняются один раз для данной системы. Далее, для любого начального вектора х° можно построить искомое ограниченное управление, переводящее систему в начало координат. Для этого сначала определим время Т из условия (5), а затем найдем управление и из (3). В расчетах используется язык аналитических вычислений REDUCE.

Таким образом, для любого начального состояния системы построено управление, удовлетворяющее наложенному ограничению и переводящее систему в заданное состояние. Определено время процесса управления. Приводятся результаты моделирования движения системы.

Во второй главе исследуется способ построения управления, ограниченного по величине, нелинейной механической системой, динамика которой описывается уравнениями Лагранжа:

= + + i = l.....п. (6)

at aqi aqi

Здесь q = (gi,... ,qn) — вектор обобщенных координат, п — число степеней свободы системы, Т — кинетическая энергия системы, которая представляется в виде

Т= ^{A(q)q,q) = i ^ hj = 1,

•j

Здесь А(д) — симметрическая положительно-определенная матрица размера п х п с элементами а^(д) считаем непрерывно диффе-

ренцируемыми функциями в области £) С Лп, в которой происходит движение системы: д(£) 6 -О при t > to. Предполагается, что все собственные числа матрицы А(д) при любом д лежат на отрезке [т,М]. Кроме того, считаем, что выполнены ограничения

I дац(д)/ддк \<С, д£ £>; г,к = 1,..., щ

т, Л/, С — заданные положительные постоянные.

Правые части соотношений (6) представляют собой суммы обобщенных сил: Д д, £) — неуправляемые обобщенные силы, заданные в виде известных функций координат, скоростей и времени, 5,-(<г, д, Ь) — неопределенные внешние возмущения, о которых известно лишь то, что они ограничены:

N<5?, 5°> О, ¿ = 1,...,п.

Слагаемые Ф,(д, д, в (2.1.1) представляют собой диссипатнвные силы, относительно которых предполагается следующее:

1) мощность этих сил неположительна

]ГФ,д,-<0 У{д <= В, 4, ( > 0}

г

(свойство диссипативности);

2) диссипатнвные силы достаточно малы при малых скоростях, т.е. существует такое достаточно малое число £о > 0, что если |<7,| < £ < £о для всех г = 1,... ,п, то

|Ф,-|<Ф°(0. = 1.......

где Ф;(£) — некоторые монотонно возрастающие непрерывные функции, определенные на отрезке £ £ [0, £0] " такие, что Ф° (0) = 0.

Через Г, обозначены управляющие силы. Предполагается, что управляющие силы можно представить в виде

=-Р,+<?; ¿ = 1,..., п.

Это означает, что управлением можно компенсировать действие известных внешних сил, и, кроме того, остается еще вектор управления в = (бь ..., Сп), который выбирается из множества И7, содержащего некоторую окрестность начала координат 1Г0:

\у э И'0 = {с,}, 1 = 1,

Предполагаем также выполнение неравенств:

1 = 1,...,п.

Систему требуется перевести из произвольного начального состояния в заданное терминальное состояние за конечное (нефиксированное) время; скорость в терминальном состоянии в общем случае не равна нулю.

Применяется метод построения управления по обратной связи. Этот метод использует декомпозицию исходной нелинейной системы со многими степенями свободы на простые подсистемы с одной степенью свободы, в которых члены, описывающие взаимодействие данной степени свободы с другими, можно трактовать как достаточно малые возмущения. Такая декомпозиция возможна, если обобщенные скорости системы достаточно малы. Поэтому в общем случае управление осуществляется в два этапа. На первом этапе каждая обобщенная сила направлена против соответствующей обобщенной скорости, а величина ее постоянна. Доказывается, что приведение в область малых скоростей происходит за конечное время, и дается оценка этого времени. На втором этапе происходит декомпозиция, и для каждой подсистемы на основе теории оптимального управления и дифференциальных игр

строятся в явном виде управления, приводящие систему i/терминальное состояние. Объединение описанных этапов дает управление, решающее поставленную задачу, в форме синтеза, т.е. с обратной связью по фазовым переменным системы.

Третья глава диссертации посвящена описанию алгоритма составления программ для моделирования динамики механических систем методами компьютерной алгебры. В работе используется система компьютерной алгебры Maple.

Рассматриваются механические системы связанных твердых тел. Для каждого тела составляются в символьном виде матрицы перехода из локальной системы координат в глобальную; определяется выражение кинетической энергии каждого тела и всей системы. Далее формируются уравнения Лагранжа, которые приводятся затем к форме Кошн.

В четвертой главе рассмотренные выше методы управления применяются к моделям маннпуляционных роботов.

В первом, втором и третьем разделах четвертой главы рассматриваются модели роботов-манипуляторов, работающих в поле сил тяжести. Методами компьютерной алгебры выводятся уравнения движения. Решается задача моделирования транспортных движений роботов; применяется способ построения синтеза ограниченного управления, основанный на декомпозиции системы (этот способ подробно описан во второй главе), позволяющий перевести исследуемые системы из произвольного начального состояния в заданное терминальное состояние за конечное (нефиксированное*) время. Для конкретных значений параметров каждого робота представлены графические результаты численного моделирования процесса управления, подсчитано время прихода системы в терминальное состояние.

В первом разделе проводится моделирование транспортных движений напольного робота с выдвижной рукой (телескопической конструк-

ции), работающего в сферической системе координат. В предположении отсутствия внешних возмущений и диссппатнвных сил решается задача перевода данной механической системы в терминальное состояние покоя.

Второй раздел посвящен решению задачи перевода двузвешшка, который служит моделью руки антропоморфного манипулятора, в терминальное состояние с ненулевой скоростью; на систему в процессе движения действуют возмущающие внешние силы. Предложен модифицированный закон управления, в котором параметры, определяющие его, вычисляются в каждый момент времени. Показано, что в этом случае система приходит в терминальное состояние быстрее, чем при использовании исходного закона управления, параметры которого вычисляются заранее.

В третьем разделе исследуются транспортные движения робота с многозвенной рукой с учетом динамики электромеханических приводов. Система приводится в терминальное состояние покоя. Задача решается и без учета динамики электромеханических приводов, приводятся сравнительные результаты расчетов. На основании данных численного моделирования делается вывод о том, что игнорирование динамики приводов вносит большую погрешность в результаты расчетов.

Четвертый раздел посвящен расчету н анализу программных режимов управления вращением звена руки маннпуляционного робота. Управление должно осуществлять поворот звена на заданный угол и гасить упругие колебания, возникающие в процессе движения. В качестве расчетной модели выбрана управляемая механическая система, состоящая из тонкого прямолинейного упругого стержня кольцевого или кругового сечения и абсолютно твердого тела (груза), жестко закрепленного в торцевом сечении стержня. Стержень может вращаться вокруг неподвижной оси с ортом е, проходящей через центр О другого торцевого сечения перпендикулярно касательной к упругой линии

> . стержня в точке ее пересечения с осыо вращения. На систему действует 1 управляющий момент сил М(£) относительно оси е.

Рассматриваются плоскопараллельные движения описанной системы, при которых траектория каждой ее точки параллельна плоскости тг, проходящей через точку О и перпендикулярной е. Такие движения возможны, если тт — плоскость материальной симметрии системы. Предполагается, что упругие деформации стержня, возникающие при движении, малы, и можно пользоваться линейной теорией слабого изгиба тонких прямолинейных нерастяжнмых стержней.

Описанная механическая система может служить моделью руки робота-манипулятора, работающего в невесомости, а также при вращении руки вокруг вертикальной осн. В последнем случае на стержень с грузом действует сила тяжести, вызывающая вертикальны!! против стержня. Однако, при малых деформациях движение системы в горизонтальной плоскости тг можно рассматривать независимо от вертикальных колебаний.

Введем в плоскости ~ три системы координат: инерциальную систему Ох'у'] вращающуюся систему Оху с осыо Ох, направленной по касательной к упругой линии стержня в точке О; систему координат Ах"у", полюс которой совпадает с центром торцевого сечення, соединенного с грузом, а ось Ах" направлена по касательной к упругой линии стержня в точке А. Обозначим: I — длина стержня; х £ [0,/] — координата точки упругой линии стержня; — упругое смещение точки стержня с координатой х в момент времени V, р — линейная плотность стержня; Е — модуль Юнга; J(x) — момент инерции поперечного сечения стержня, соответствующего координате х, относительно оси, проходящей через центр этого сечения и перпендикулярной плоскости <г; тп — масса груза; /с — момент инерции груза относительно оси, проходящей через его центр масс и перпендикулярной плоскости тг\ а,Ъ — координаты центра масс груза в системе Ах"у"; <р — угол поворота стержня

/ (угол между прямыми Ох и Ох')\

Применяя стандартную методику вывода уравнений динамики упру гого стержня с грузом, вращающегося вокруг неподвижной оси, получим дифференциальное уравнение в частных производных с краевыми условиями. Рассматриваем в дальнейшем уравнения движения с краевыми и начальными условиями в безразмерной форме, вводя новые безразмерные переменные и параметры и полагая р — const, Е J = const.

При решении задач управления рукой робота обычно начальные условия полагаются нулевыми, и рассматриваются повороты на угол порядка единицы (в радианной мере). В этом случае слагаемые в полученных соотношениях, в которые входят произведения ф и (р на величину и или ее производные, имеют порядок о(и) и должны быть опущены. Тогда уравнения движения рассматриваемой системы упрощаются и принимают вид:

Utt(x,t) + uxxzx(x,t) — -хф, (7)

tx(0,i) = ux(0,i)=0, Ux,{0,t) = -M, (8)

uxx{l,t) + I& + uxtt{l,t)] + ii[ç + uu{l,t)}+te2 = 0, , ,

Uxxx{l,t)-l[v + Utt{l,t)]-1l[? + UxU{l,t)]+Ç<p2 =0. К '

Здесь

I = [IC + т(а2 + b2)]/(pl>), Ç = тЬ/р12, 7] = ma/pl2, j — m/pl.

Краевая задача (7)-(9) нелинейна из-за присутствия в краевых условиях (9) слагаемого £ф2. Если груз в руке робота расположен так. что его центр масс лежит близко к касательной к руке в точке крепления груза (£ 1), то указанным слагаемым можно пренебречь, и задача становится линейной. В дальнейшем полагается £ = 0. Обозначим

V5(i) = v(t) 14

В работе показано, что краевая задача (7)-(9) эквивалентна следуга-ш,ей счетной системе дифференциальных уравнений:

Тк +р\Тк = /и-г-'М. 11к = -{х,Хк(х)), к = 1,2,...,

где рк — собственные частоты колебаний стержня с грузом при V = 0; Хк(х) — собственные функции однородной краевой задачи; угловыми скобками обозначено скалярное произведение двух функций, определенных на отрезке 0 < х < 1:

1

+^[^'(1)1^(1) + К(1)1Г(1)] + Д/'(1)И" (1).

Закон изменения угла поворота стержня не зависит от его колебаний и определяется из уравнения ф = V. Обозначим

¡¿>=г0, Тк/цк = ^к, к = 1,2,....

Тогда уравнения движения системы принимают вид

Ставится следующая задача. Найти программное управление г(<), ограниченное по абсолютной величине, которое переводит систему (10) за конечное время из начального состояния покоя в терминальное состояние покоя с поворотом стержня на заданный угол и гашением N первых мод упругих колебаний, а также при условии обеспечения заданного уровня остаточных колебаний (при £ > Г), характеризующих точность приведения системы в конечное положение.

Используем схему Калмана построения управления в виде линейной комбинации собственных движений системы. Алгоритм построения такого управления для системы с двумя степенями свободы описан в первой главе. Это управление, однако, не гарантирует выполнение ограничений на управление и на уровень остаточных колебаний.

В работе для конкретных значений параметров системы установлены зависимости максимума модуля управления г)^(Т) и верхней оценки остаточных колебаний г^(Т) от времени Т процесса управления и числа N мод колебаний, которые требуется погасить. Эти завнснмосп позволяют найти время процесса управления То, при котором выполняются указанные ограничения. Для этого следует: найти значение Т\ такое, что г/дг(7\) = V0 (ь° — ограничение на управление); найп значение Т2 такое, что г^(Тг) — е (е — заданный уровень остаточные колебаний); вычислить То = тах(Т1,Т2). Управление при Т — То, опре деленном согласно изложенному алгоритму, представляет решение по ставленной задачи. Представляется целесообразным выбирать числ( мод колебаний, которые требуется погасить, исходя из минимизацш времени То = То (М), при заданном допустимом уровне остаточных ко лебаний.

Аналогично в диссертации решена задача управления в случае, ко гда управляющей переменной является момент сил, приложенный I оси вращения (динамическое управление).

В заключении резюмированы результаты диссертационной рабо

ты.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

• При помощи модифицированного подхода Калмана (построенн управлений для линейной системы в виде линейной комбинации ее соб ственных движений) строятся управления, удовлетворяющие задан ным ограничениям, для ряда механических колебательных систем.

1) Получено программное управление для колебательной систем! четвертого порядка, приводящее данную систему в положение равнове сия при любых начальных условиях за конечное время. Дается оценк времени процесса. Приводятся результаты численного моделирование

2) Решена задача управления упругой рукой маннпуляционного рс

бота при ограничении на управляющую переменную. Для случаев кинематического и динамического возбуждения колебаний решена задача о собственных частотах и формах системы. Найдены программные управления, способные осуществить требуемый поворот балки с заданной точностью приведения в терминальное состояние при условии гашения конечного числа мод упругих колебаний. Приведена оценка остаточных колебаний, исследована нх величина в зависимости от времени процесса и числа демпфируемых мод колебаний.

• Исследован способ построения управления по обратной связи, основанный на методе декомпозиции. Построено управление, переводящее систему, динамика которой описывается уравнениями Лагранжа, из произвольного начального состояния в заданное терминальное состояние за конечное (нефиксированное) время; скорость в терминальном состоянии, в общем случае, не равна нулю. На систему действуют внешние силы, заданные известными функциями координат и времени, днсснпатнвные силы, а также неконтролируемые, но ограниченные возмущающие силы.

Построенный закон управления по обратной связи применяется в задачах моделирования динамики маннпуляцнонных роботов, работающих в поле сил тяжести:

1) напольного робота с выдвижной рукой (телескопической конструкции), работающего в сферической системе координат,

2) антропоморфного робота с двузвенной рукой,

3) манипулятора с многозвенной рукой.

Методами компьютерной алгебры выводятся уравнения движения. Решается задача моделирования транспортных движений роботов.

В задаче моделирования динамики робота с двузвенной рукой использован модифицированный закон управления, в котором параметры, определяющие его, вычисляются в каждый момент времени. Показано, что в этом случае система приходит в терминальное состояние

быстрее, чем при использовании исходного закона управления, пар; метры которого вычисляются заранее.

Задача моделирования динамики робота с многозвенной рукой р< шена с учетом и без учета динамики электромеханических приводо] На основании данных численного моделирования делается вывод том, что игнорирование динамики приводов вносит большую погреи ность в результаты расчетов.

Основные материалы диссертации опубликованы в следующих р; ботах:

[1] И.М.Ананъевский, И.С.Добрынина, Ф.Л. Черноусъко, Метод деко.\ позиции в задаче управления динамической системой.//Изв. РАЬ Теория и системы управления. 1995. N0 2.

[2] Н.Н.Болотник, И.С.Добрынина, Управление поворотом упругог звена манипулятора с гашением конечного числа мод колебаний/ Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1989, N0 4.

[3] И.С.Добрынина, Активное гашение упругих колебаний звена м; нипуляционного робота// XII Юбилейная конференция молоды ученых института машиноведения "Актуальные проблемы мани поведения". Тезисы докладов. Москва, 16-18 января 1989 г.

[4] И.С.Добрынина, Моделирование динамики манипуляционных р< ботов с применением метода декомпозиции управления//Из! РАН. Техн. кибернетика. 1995. N0 4.

[5] И.С.Добрынина, И.И.Карпов, Ф.Л. Черноусъко, Компьютерное м< делнрование управления движением системы связанных тверды тел//Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1994. N0 1.

[G] Н.С.Добрынина, Ф.Л.Черноусъко, Ограниченное управление линейной системой четвертого порядка. Изв.РАН. Техническая кибернетика, 1992, No G.

[7] И.С.Добрынина, Ф.Л. Черноусым, Ограниченное управление колебательной системой четвертого порядка. III Конференция "Нелинейные колебания механических систем". Тезисы докладов. Нижний Новгород, 21-23 сентября 1993 г.

[S] I.S. Dobrynina and F.L.Chernousho, Constrained Control in a Linear System of Fourth Order// Singular Solutions and Perturbations in Control Systems, Pereslavl-Zalessky, Russia, August 23-27, 1993, Abstracts.

[9] I.S. Dobrynina and F.L.Chernousho, Constrained Control in a Mechanical System with Two Degrees of Freedom// Proceedings of IUTAM Symposium on Optimization of Mechanical Systems, in print.

[10] I.S. Dobrynina and F.L.Chernousho, Constrained Control in a Mechanical System with Two Degrees of Freedom// IUTAM Symposium on Optimization of Mechanical Systems, Stuttgart. Germany, 2G-31 March, 1995, Abstracts.