Об устойчивости положения равновесия неавтономной механической системы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ЮРЬЕВА Ольга Дмитриевна

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ НЕ А ВТОНОМНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ

СИСТЕМЫ

0i.02.ui - Теоретическая механика

ЛМ

:, и од

1 5 ФЕЗ 1999

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учетгоп- степеш» кандидата физико-математических наук

Ульяновск - 1999

Работа выполнена в Ульяновском государственном университете.

Научный руководитель - доктор физико-математических nayi

профессор A.C. Андреев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических нау

профессор С.Д. Фурта доктор физико-математических на> профессор В.Н. Тхай

Ведущая организация - Вьтчксдительшлй центр

Российской Академии Наук

Защита диссертации состоится "_"_1999 года в_

часов на заседатгки диссертационного совета К 053.18.02 Московского государственного авиационного института (технического университета ).

Приглашаем принять участие в обсуждении диссертации или прислать отзыв в одном экземпляре, заверепный печатью, по адресу: 125871, Москва, Волоколамское шоссе, дом 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан "Я6 " 1999 г

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук A.B. Муслаев

ОСУДЛРСТВЕННЛЯ БИБЛИОТЕКА

% & " & Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Теория устойчивости, основанная великим русским ученым A.M. Ляпуновым, имеет широкое применение в различных областях науки и техники: в исследовании устойчивости физических и химических процессов, в исследовании устойчивости существования различных биологических систем, при проектировании и конструиро-

Tt^TTnrtr ЛТТЛГПЛ1 ш />т»\^ттяттог1Т7тгту npwwotmii ^71лм/1ПТУ *tруатщиргУрГУ

ектов, в решении задач автоматического управлепия техническими системами и т. д. К числу йктуйлыгых направлении р*хо£пт~я теории устойчивости относятся исследования по устойчивости движений неавтономных систем. Эти исследования имеют ваашые врпложснзя в решении задач робототехники и расчета гироскопических систем, в

рёШвНип .1г1..1<-|.'| О ( im/nji11,5 (liVu и Н*;СТлЦйОПа.рКЫХ ДВНллСННг! уПра1}ЛЯС

мых механических систем.

К числу классических задач теории устойчивости относится задача об устойчивости линейных систем и задача об устойчивости положения ра.внояесия нелинейной мёднНйческои системы одной степенью свободы.

Исследование устойчивости линейных систем с переменными коэффициентами проводилось в многочисленных работах, начиная с работ A.M. Ляпунова. Подробный анализ и развернутое изложение соответствующих результатов имеется в ряде обзоров, монографий и учебников. Исследования этой задачи являются актуальными и в нас гоящее время, так как служат осповой для обоснования новых методов решения задач об устойчивости и асимптотическом поведении решений нестационарной нелинейной системы при t +00.

Достаточные условия асимптотической устойчивости и неустойчивости положения равновесия нелинейной механической системы со стационарными связями устанавливаются на основе функции Ляпунова в виде полной энергии и теорем Варбашина-Красовского и Красовского. Устойчивость положения равновесия нестационарной

механической системы как с одной, так и со многими степенями свободы интенсивно изучается только в последнее время в трудах российских и зарубежных механиков и математиков. При этом основным методом исследования является прямой метод Ляпунова.

Целью настоящей диссертационной работы является:

— вывод новых способов исследования асимптотической устойчивости нулевого решения системы линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами, зависящими от времени;

---- т1т »11/1 и 1г/чгпг1тгг1 -|;-[1и11г1'/у|.тш/./ч'ич ч/>м /м1111 п1 ii ч

левого решения системы линейных уравнений с коэффициентами, зависящими от врсллсшх и координат;

— получение новых методов исследования устойчивости положения Р^шЯОиССшл ис'сТицИимиришл лиисниЫх мсхашгчсских систем;

— исохедоваии« условий устойчивости положения равновесия нелинейной нестационарной механической системы с одной степенью

— решение задачи об устойчивости положения равновесия математического маятника неремлишой длины с перемещающейся точкой подвеса, а. также нескольких других прикладных задач.

Научная новизна. В диссертации представлены новые методы исследования асимптотической устойчивости линейной системы с переменными коэффициентами, новые способы исследования устойчивости положения равновесия неавтономной механической системы, новые результаты по исследованию устойчивости нулевого положения равновесия механической системы с одной степенью свободы или нулевого решения неавтономного нелинейного уравнения второго порядка.

Положения, выносимые на защиту. Автором защищаются следующие научные положения:

— новые способы исследования асимптотической устойчивости нестационарных линейных систем дифференциальных уравнений и систем, сводящихся к ним;

— новые способы исследования устойчивости положения равновесия неавтономных линейных механических систем;

• - новые результаты в исследовании задачи об устойчивости положения равновесия механических систем с одной степенью свободы при различных предположениях относительно коэффициента вязкого трения и нелинейной силы уцругости.

Практическая ценность. Результаты, полученные в диссер-татшгтгтн работе, могут быть нспользог.аиы при изучении асимптотической устойчивости и неустойчивости движений систем, описываемых неавтономными дифференциальными уравнениями, для исследования устойчивости движений неавтономных механических си-стсм, длл обсглоп2Л1И51 методов стабилизации программных л пи жени й управляемых механических систем.

Апробация работы. Отдельные разделы диссертации докда.-дывались и обсуждались на:

— Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем" (Киев, 1995, 1996 года»;

— Международной конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем" (Киев, 1997 год);

— VII Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 1997 год);

—- IV Международной конференции "Пространство, время, тяготение" (Санкт-Петербург, 1996 год)

— XVIII, IX конференции молодых ученых механико-математического факультета. МГУ (Москва, 1996, 1997 года);

— III-VII ежегодной научно-практической конференции Ульяновского госуниверситета, (Ульяновск, 1994, 1995, 1996, 1997, 1998 года);

Личпый вклад автора. Раздел 1.1. содержит результаты A.C. Андреева, являющиеся'базовыми для вывода основных результатов диссертации. Все остальные разделы диссертации содержат результаты, полученные автором самостоятельно.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 12 работах [1-12].

V7 1 L»V XV X Y иа> t.fCK\J\J х Dil ,u ПЪ vCi/T«Ц»i/Г СОСТОТТТ »Го ипСДСГШЯ« ,ц«ух

глав, заключения, списка литературы из 126 наименований неточна кон отечег.тншгш.тх и зарубежных авторов. Общин объем — 107 страниц машинописного текста.

Ос д ерж u tiüc р ¿¿б о т ш

Во введении дается краткий обзор работ по теме диссертации и краткое изложение полученных результатов.

В первой глаи« иесл«дуются задачи об асимптотиялткой устойчивости неавтономных линейных и сводящихся к ним систем дифференциальных уравнений; об асимп тотической устойчивости Положения равновесия неавтономных линейных механических систем.

В разделе 1.1. этой главы приводятся основные методы исследования асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решепия неавтономной системы дифференциальных уравнений, используемые в диссертации.1

Во разделе 1.2. рассматривается задача об асимптотической устойчивости линейной неавтономной системы

х = A(i)x. (1)

d

Здесь х — —, х G Rn — n-мерный вектор-столбец, t € R+, A(i) G

Ub

1Андреев A.C. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы // 1IMM. 1984. T.48. Вшт.2, С.225-232.

цпхп — функциональная матрица размерности п х п, для которых выполнены следующие предположения.

Предположим. что матрица A(t) является ограниченной, то есть j¡/l(f)|j < ai = canst, ¡¡ • ¡¡ — норма в Änx".

Допустим, что для системы существует положительно определенная функция Ляпунова в виде квадратичной формы

V(x,t) = xTG(t)x,

где G(i) £ IT™, (-)т — операция трапспспЕрованкя, иатрнда G € С1, такая что G(t) > до — cansí >0, Е — едипичная матрица размерности я х к; неравенство вида G{i) > д^Е сзпялагт матричное неравенство, то есть х1 G(i)x > 0Dj|x||2.

Пусть производная данной функции Ляпунова ь салу систеыы (1) ссть неположительная квадратичная форма

i,- — .-.-Ж гг/í'i... — < Í» vFJ-'/J\ . ¿ít J\ i гу! i\ л /> \ п ¡'ч\

где Bit) — ограниченная функциональна« матриц*..

Из условия ограниченности матриц A(t) и Bit) можно определи 1'* предельную rv ti/ сисхсму

d 4

X = A'(t)x. A*U) = т- lim I A(tki + T)dT

4 ' ' nt. J

• П

и предельную к V(/., x) функцию

/ f'

Sl(t, x) = xTB*(t)x, B*(t) = ~ Дш J B{ikj + r)dr

где матрицы A"(t) и 0*(t) определяются для почти всех t 6 [0, л] при каждом з > 0.

Используется следующее определение типа определения управляемости линейной системы2.

Пусть U (■/) и V(t) — две матрицы, размерностей тхп нпхп соответственно, имеющие непрерывные производные до порядка n—1

'Афанасьев H.H., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления . М.: Высшая школа. 19S9. 448 с.

включительно в интервале (т -- 6,т + S), г £ 11+, ё > 0. Построим матрицу К = [Кх К-2, ... Кп]т следующим образом. Положим К\ -

Щт), К{ = Ki-i{r)V{r) + dKi~fT\ 2 <i<n.

Матрицу K(t) называют матрицей наблюдаемости пары (U(t), V(t)), определяемой в интервале (т ~ ё,т + 6).

Определение 1. Говорят, что пара матриц (U(t),V{i)) наблюдаема, если для любой точки t из интервала (т — 6,т 4- 6), (т G R',6 > 0), выполнено rank К (г ) = п.

Пусть для каждой предельной пары (Л*(г), Й~{г)) существует точка т £ Jt+, в окрестности (т - 5,т + 6) (S > 0) которой матрицы I> (i) И A*\t) имеют ПеирирНЙНЫй ПрОЕДИОДаЫС ДО ПОрЯДКа, п — 1 включительно.

ДикшсшЫ СЛйДуККЦКС ТСОрЕЬлЫ.

Тгг;т;г";.:г. 1 f..™jt ка^иа? «пополпаи т«»пя ( Л*lt\} пя-

блюдаема, то тривиальное решение системы (1) асимптотически устойчиво (равномерно асимптотически устойчиво, если матрица G(t) ограничена).

Теорема 2. Если cyuifn/гвубт хотя бы одна наблюдаемая пара (B*(t),A*(l)), тогда тривиальпое решение системы (1) асимптотически устойчиво равномерно по х0.

Следующее определение позволяет получить достаточные условия асимптотической устойчивости в предположениях относительно исходных матриц A(t) и B(t).

Определение 2. Пару матриц (B(t),A(t)) назовем строго наблюдаемой, если:

1) существует число Т > 0, такое что для любого момента а > 0 существует точка t*(a) G (а, а + Т) и ее окрестность (t* - e,t* + е) (е > 0), в которой матрицы B{t) и A(t) пепре-

рывпо дифференцируемы до порядка п включительно;

2) ранг матрицы наблюдаемости Kit) пары {B(t), A(t)) равен п (в той же окрестности). При этом, этот ранг определяется одним и тем же минором A(i), | Л (£)| > S > 0 матрицы

Можно показать , что существует интервал (V — e,t* + е), па котором | Л* {t)\ > S > 0 в предельном случае, и для наблюдаемости предельней пары (£*(l), A*(i)) достаточно, строгая наблюдаемость пары (B(t),A(t)).

Отсюда следует теорема.

Теорема ?>, Пусть для системы (1) существует функция Ляпунова вида V = xrG(t)x. удовлетворяющая условию (2).

Если пара матриц (Bit), Ait)) строго наблюдаема, тогда тривиальное решение системы (1) асимптотически устойчиво (равномерно йгпистст1г:сс:а5 устаетяпс, ссл" матрика 0(t) огргкнгсена).

Далее в этом разделе доказаны несколько более общих теорем аналогичного типа, изучены частные случаи, рассмотрены конкретные примеры, в частности, проводится обобщение известного примера П.Г. Четаева к теореме Ляпунова об асимптотической устойчивости.3

В разделе 1.3. рассматривается задача об устойчивости пулевого решения системы

т = A(t, х)х, (3)

где а: € IP, t G R+, A(l,x) <E Rn*n.

Исследование проводится на основе функции Ляпунова вида

V(t,x) = xTG(t,x)x, где G(t,x) € С1, дйЕ < G(t,x), ||G(i,s)|| < дц до, gi— const> О,

3Четаев И-Г. Устойчивость движения. М. Л: Гостсхи^дат, 1955,240 с.

производная которой в силу (3) яшшстся неположительной

V(t,x) = х7' ^A7,(t,»)G(t,®) + G{t,x)A{t,x) +

п/. \ ,4 _ __ _ ____1___._________________

здесь jtJ^l, X) ^ и — неотрицательна» фуиьцииилпьиш иа1рпца jjcu-мерности п х п.

Предположим, что матрицы A(i, ж) u J3(i, г) непрерывно дифференцируемы до порядка гг включительно и ограничены вместе со своими частными производными.

Для системы (3) вводим определение наблюдаемости пары матриц в точке х — 0, аналогичное определению наблюдаемости нары матриц линейных систем.

Доказаны теоремы об асимптотичсскои устойчивости и равномерной асимптотической устойчивости нулевого решения таких систем, аналогичные теоремам 1.-3.

В разделе 1.4. полученные результаты применяются в исследовании устойчивости лоложгашя равновесия неавтономной механической системы. Выведены достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого положения равновесия механической системы, движение которой описывается следующими уравнениями

х + B(t)x + C(t)Px = О

Здесь х — n-мерпый вектор обобщенных координат, ||ii(i)|j < Ь — const, Р = Рт, C(i) = (^'(i), ||C(t)|| < с = const — есть матрицы размерностей п х п, определяющие действие внешних сил, линейных относительно скоростей и координат.

Приведены следующие примеры. Исследована устойчивость положения равновесия механической системы, состоящей из двух твердых тел, связанных пружинами и демпферами. Определены достаточные условия асимптотической устойчивости положения равновесия материальной точки, движущейся под действием линейных сил

притяжения и вязкого трения но горизонтальной плоскости, которая вращается с переменной угловой скоростью относительно вертикальной оси.

Важным объектом исследования но теории устойчивости является задача об устойчивости нулевого положения равновесия механической системы с одной степенью свободы или задача об устойчивости нулевого решения дифференциального уравнения второго

ИЛП(Т Tin Ii ----

т. 4- hit. 3!. är)|i|a3i -t- nit x X\f(t.4 ж) = О

Ее исследование па основе прямого метода. Ляпунова рассматривали 15..М. матросов, В.В. Козлов, й. Горски и Л. Хатвани, Z. Artstein, E.F. Iufanter, R.J. Ballein and К. Peiffer, J. Karsai, N. Onuchic,

i i__ J ----------- ...________ ___________

ljt .?aivrtuuu л мnwi иг: Д^ухли.- ri iv j wj / ¡u.

Новые методы исследования устойчивости4 позволяют иолу-ЧИ'ХЬ ДОСТи-ТОТНЫСyC'IOUuH аспмитотичсскоя уСТ(»ИТ1ЯПОСТИ ii IlCVCivJi" чивости нулевог о положения равновесия неавтономной механической системы с; одном степенью свободы н бод«е общем случае по далин«-ттпто с имевшимися рапее. Это исследование и сравнительный анализ проводятся во второй главе диссертации.

В разделе 2.1. дается обзор имевшихся ранее результатов исследований указанной задачи. Здесь же проводится исследование устойчивости в случае переменного ограниченного коэффициента вязкого трения к = k(t,x,x).

Ii разделе 2.2. проводится исследование устойчивости нулевого положения системы и случае изменяющихся коэффициентов вязкого трения и упругости.

Вначале рассматривается система вида

X + ш, х, х)х + g(t)f(x) = 0, (4)

где к(1,х,у), /(ж) есть функции, определенные и непрерывные для

4Лндреев Л.С. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы //ПММ. 1984. Т.48. Пия.2. С.225-232.

нссх значений /. € R+ и всех (х,у) € R?, и

xf(x) > О (Vx ^ 0), /(0) = 0.

Допустим, что для всех t е R+ и (х, у) 6 {|х|, |у| < H — const} имеют место соотношения

П <Г fl(t\ < f»> = г mixt.

- ~ it Ч-/ - J J ------7

2fc(«,»,y) , ait)

ы ruîjifii"T'«yOT ПОСДОДГОЧ'ТЛльплгтт. 4- .«..1^ —V -t-rv>_

5,, > л > 0, для которой выполнены следующие условия

Î,. + S..

Ш.х.у) < я - const, lim inf J k^tjdt > 0,

in-»-H» t„ (5)

û(i) > r/n — const. > 0.

Теорема 4. Если выполнены перечисленные условия, то пулевое положение равновесия i — х — 0 системы (4) асииитотн чески устойчиво равномерно по (хо, ¿о).

v- ... ......... _ _ /"г4" .....-________ . ..... ...... - — г>-Ь

l .v- l u i VJ yivHUiiin ! ..(ufiv1.1 n id. : J ч i льсл J- 14

t+T

k(t, X, y) < N — const, lim inf j k\ (r)dr > 0,

i—f+oo. 7'-++cx> ? > Уй — consi > 0,

то положение равновесия i = x ~ 0 системы (4) равномерно асимптотически устойчиво.

Теорема 5. Если в условиях теоремы 4 вместо /(х)х > 0 предположить, что f(x)x < 0 для х < 0 или для х > 0, то наложение равновесия х — х — 0 системы (4) неустойчиво.

Далее рассматривается случай, когда коэффициент диссипации k{t,x,x) неограничен, и для всех t £ R+ и (х,у) 6 {|x),|yj < 11} выполнены следующие соотношения:

2 k(t,x,y) g(t) . ,

м ' + ^fAr > ak(t, x, у) >0, oi — const > 0, <7W ÎTW (6)

о < 9o < g{t) < au go, ai - const > о

а также существует последовательность отрезков

+ Цп +оо, «„ > в > 0) такая, что для любой непрерывной функции («!(<), : !у| < Я} имеют место соотношения

со / \ »„+»„

£ / *М<И =оо, ИшЫ / к[т]Лт> 0, (7)

\ ♦.„ / г„

Доказана следующая теорема.

л п _____ ____„ _ /"7\ фЛ

I оорема О. динусшм, ЧТО ЪьииОлПсиЫ ' /" ¿о-

гда. положение равновесия х — х = 0 системы (4) асимптотически устойчиво равномерно но (»¡¡»¿о).

В следующей части раздела 2.2. рассматривается случай, когда д{1) — функция, с теми же свойствами, что и выше, но це ограниченная сверху, и такая, что д{1) > 0, ] \/д(т)с1т — оо.

Показано, что с поькпцьго замены переменных этот случай можно свести к уже исследованному. На этой основе получен следующий результат.

Теорема 7. Допустим, что для всех I е и (ж, у) € {|ж|,|у| <

о < Ш < ЩЛй/1 + < N = «m-f,

- UV ' --i I ш\ Г> -

МЯУ.Ч ¿\iy-\4

t+T ,

Hm inf f kois)ds > 0

t-» + oo, J'-f+oo t

Тогда положение равновесия x — x — 0 равномерно асимптотически устойчиво по {x,x}\Jg{i)).

Аналогичные результаты получены при исследовании пулевого положения равновесия механической системы в случаях зависимостей g= cj{t,x), д - g(t,x,x).

В разделе 2.3. исследовало положение равновесия системы с нестационарной нелипейностыо

x + ff(t,x,x) + f(t,x) = 0, ' (8)

где функции g(t,x,x), f(t,x) (как и выше) определены в области G = {/ > 0, \х\ < Я > 0, |ж| < Я}, д € Cl{G),f G C2(G), ограничены

ц удовлетворяют условию Липшица по х и х на каждом множестве Gh. — {i > 0, |z| < h < Н,\х\ <h< II}, при этом

flr(/, ar.O) = 0, f(i, 0) = О,

так что система (8) имеет нулевое положение равновесия х — х — 0.

Получен ряд результатов, основным из которых является следующий.

Допустим, что функции g{t, х,х) и Д£, х) удовлетворяют следующим условиям:

1) мрн Некотором hs 0 ,'yrt*r лтйлта TinrTii'mMTin малого £ > 0 существует '5 = (5(e) > ü такое, что для всех i > 0 и х : s < ja;] < ha выполняется неравенство

fit,x) > 6]

2) для достаточно малых х и всех t > 0

< fa] ft, h, /з - const > 0

п - f < < f

TL

дх2

где функция kit) такова, что

t -l-T

lim inf f к(т)(1т > 0. i-H-co, T->+oo J

При таких условиях нулевое положение jiauHoaecti« s — i — 0 системы (8) равномерно асимптотически устойчиво.

В этом же разделе рассмотрена механическая система, с одной степенью свободы, кинетическая энергия которой нредставима в виде Т = Т3 + Тх + Т0, где Г2 = ~r(t, х)х*, 7\ = a(i, х)х, Т0 = T0(t, х). Определены условия асимптотической устойчивости положения равновесия такой системы.

В разделе 2.4. исследованы следующие задачи — задача о стабилизации положения равновесия маятника переменной длины /(£), точка подвеса которого совершает перемещения в вертикальной плоскости по закону х = х({), у — у(1). Маятник находится в однородном поле тяжести. Вторая задача — задача об использовании плоского математического маятника как простейшего указателя вертикали.

ТЧл*зт"1. в то ттл/читтлп'л иггчгтг,п -»тттхг,-^ тглгпатгтттгплпл гттт/тттглттттп,»■«,

Л. ^ «. ж-г+л. 1.14 иц'^шч'^ишиинч/ ^ V. х ии. хиио! и и^^иишцуи"

вания гироскопов Фуко с двумя степенями свободы.

В разделе 2.5. проведен сравнительный анализ полученных результатов с результатами, полученными другими авторами.

Показано, что предложенный во второй главе метод исследования асимптотической устойчивости может использоваться для исследования широкого класса уравнений при дсстаточпо общих предположениях относительно коэффициентов и нелинейности. При этом получаемые условия асимптотической устойчивости н неустойчивости аналогичны, а в ряде случаев и более общие, чем в исследованиях других авторов. Таким образом, иолучениые единообразными методами результаты разделов 2.1-2.4 дополняют и обобщают ре-

различных методов и вспомогательных оцепок.

Заключение.

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1) получены повые методы исследования асимптотической устойчивости системы линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами, зависящими от времени. Проведено развитие и обобщение соответствуущих результатов Н.Г. Чета.ева по исследованию условий асимптотической устойчивости таких систем на основе прямого метода Ляпунова;

2) получены достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого решения системы линейных уравнений с козффици-

еатами. зависящими от времени и координат;

3) исследована задана об устойчивости положения равновесия линейной нестационарной механической системы. В качестве примеров решены две конкретные задачи об устойчивости положения равновесия линейных нестационарных механических систем с тремя степенями свободы;

4) всесторонне исследована задача, об устойчивости положения равновесия нестационарной механической системы с одной степенью свободы. Проведен сравнительный анализ с имевшимися ранее многочисленными результатами, который показал эффективность раз-работаипых методов ддя исследования самого широкого класса та -кщ; задач. При :jtuü получаемые условия асимптотической устойчивости и неустойчивости аналогичны, а в ряде случаев и более общие, чем в имевшихся ранее работах;

5) в пелипейной постановке получены решения задач об асимптотической устойчивости и неустойчивости положения равновесия маятника переменной длины с перемещающейся точкой подвеса; ги-пг>'-|;пг'-> сЪуко парного it нтпргн'п пода.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Юрьева О.Д. Исследование асимптотической устойчивости линейной механической системы с учетом ее структуры // Тез. док.». студентов и аеппраптон на III ежегодной научно-практической конференции. Ульяновск: филиал МГУ в г. Ульяновске. 1994. С. 19.

2. Юрьева О.Д. Об устойчивости нулевого решения нелинейного уравнения второго порядка // Тез. докл. студентов и аспирантов на IV ежегодной научно-практической конференции. Ульяновск: филиал МГУ в г. Ульяновске. 199Б. С. 34.

3. Андреев A.C., Юрьева О.Д. Об условии асимптотической устойчивости для линейной неавтономной системы. // Тезисы докладов Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем ". Киев. 1995. С.6.

4. Юрьева О .Д. О свойствах частичной устойчивости // второго порядка // Тез. докл. студентов и аспирантов на V ежегодной научно-практической конференции. Ульяновск: филиал МГУ в г. Ульяновске. 1906. С. 20.

5. Юрьева О.Д. Об устойчивости механической системы с бесконечным коэффициентом демпфирования. // Тезисы докладов

Wrv 1 ТТТГГТ'ПТ! Т/П TTfbrmcrfimri " ЯйТЛ/ПЛиОППЛ IT ХХСП ТТЛ ТТЛИ'ЛТГТХЛ гттт_

W 4.vj£>«-4JU11V.1VUJ1 XlWUI^lЦ>И<. ХГХVJfM<S»и1|/ЦЦЦ111Д| Xi (I.WVAIIU^WUU-IJ.»^ j VX «Jil 111

вости систем". Киев. 1996. C.136.

6. Юрьева О.Д. Об устойчивости линейных систем. /'/ Ученые записки Ульяновского государственного университета "Фундаментальные проблемы математики п механики". Улъяпоиск: Ульян, гос. упив. 1990. Часть 2. Вып. 1. С. 134-139.

7. Борисова Т.Д., Юрьева. О.Д. О влиянии структуры сил на устойчивость положения равновесия неавтономной механической си-гттш // TV'"! t.TV г--'::vizим vrmrh^ri^rrrrnTi "ГГпп-

........... / t ■ .......... ■ V....... rM---- ' ' ■■ -----[' ....... .......T t----'---- ' ' I

странство, время, тяготепие". Санкт- Петербург. 1996.

8. Юрьева О.Д. Об устойчивости механической системы с одной степенью свободы под действием нестационарных сил. // Тезисы

вание устойчивости систем". Киев. 1997. С.129.

Г Г\----Г\ 7Г Г Л---- ------------------------------- г !

СТ. t V/ |II>r ti(t V_/. .' I , V/W I Uil'inmn. 111 tii'tlll 1 ujujr/ltiwn L11L 1 СГЛП!. j I

Тезисы докладов VII Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением". Казань. 1997. С.69.

10. Юрьева О.Д. Об устойчивости нулевого решения уравнения вида х + g(t, х, х) + f(t,x) = 0. // Ученые записки Ульяновского государственного университета "Фундаментальные проблемы математики и механики". Ульяновск: Ульян, гос. упив. 1997. Вып.4. С.99-102.

11. Андреев А.С., Юрьева О.Д. Об устойчивости механической системы с одной степенью свободы. // Известия РАЕН. МММИУ. Т.1. N2. 1997. С. 102-115.

12. Andreev A., Yurjeva O.D. On stability of a mechanical system with one degree of freedom.// Facta Universitatis, Series Mechanics,

Automatic., Control and Robotics, vol. 2, N7/2, 1997, Special issue, pp. 409-420.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант N 96-01-01067).