Операторы типа свертки в некоторых пространствах аналитических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РОСС/ЫСКЛЯ Академия Наук Институт математики Уфимского научного центра

на правах рукописи

Соломещ Михаил Израйлевич

ОПЕРАТОРА ВША СЛ'Л'ТО! В НЛКОТОРЛ ПРОСТРАНСТВАХ

АНАлитатш олшда

01.01.01. (математический анализ)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа. 1995

Работа выполнена в Институте математики Уфимского научного центра РАН

Научный руководитель? чл.-корр.. РАН В.В.Напалков

Официальные оппоненту« д.ф.-м.н. Р.С.Юлмухаметов ..

к.ф.-м.н. И.С.Елисеев

Ведущая организация; Нижегородский государственный университет

Защита состоится '_'_1993 г. в_часов

на заседании специализированного совета К 003.59.01 при Институте математики Уфимского научного центра РАН (450000, г.Уфа, ул.Чернышевского, 112)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики ЛЩ РАН

Автореферат разослан '_*_ 1995 г.

Ученый секретарь специализированного совета к.ф.-м.н.

С.В.Попенов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность теми. Операторы свернет .имеют широкое пттомстсисто т. мптмм»-«*« ^ ni. Б ДйСиерТйИИИ Пр«Д.<!"ГЯ®Т?,Я

обобщение оператора све;гки на случай, когда носитель определяющего его функционала не компактно лежит в заданной области. Введенный оператор далее будем называть оператором типа свертки. Он рассматривается в двух классах пространств аналитических функций в ограниченной выпуклой области комплексной плоскости С, Первое-пространство аналитических функций заданного роста вблизи границы.Оно исследовалось в работах F.Beuermann HI, М. Fujlwara [21, G. Н. Mac Lane 13], А. Ф. Леонтьев [4],

1. Beuermann P., Wachstmisordnimg, Koeiiisientenwachatum 'tfullatellendlichte Dei PoteiMreichen mlt endlichem Konvergenzkreis, Math.Z., 1931, V.33, p.93-103.

2. iujiwara M., On the relations between M(r) and the coefficients of a power series, Prec. Imp. Асай. Japan, 1932, V.S, N 6, p.220-223.

3. мак-Лейн Г., Асимптотические .'значения голоморфных функций, М.: Мир, 1966, 104 с. ■

4. Леонтьев' А.Ф., Ряда ."сспонёнт для функций с определенным ростом вблизи границы,' Изв. АН СССР. Сер.матем., 1980, Т.44, N б, 0.1308-1328.

3

Р.С.Епмухаметов t5],B.B.Напалков [6], О.В.Ешфанов (7J и. др.

Второе-пространство функций с заданными оценками производных.

Оно,в случае бесконечно дифференцируемых функций, исследовалась е

работах C.Roumieu 181, H.Komatsu [91 и др. Случай аналитических

функций исследовали Е.М.Дынькин С10Î. Б.А.Державец [111 и.др.

5. Юлмухаметов P.C., Пространства ' аналитических . функций, имеющих заданный рост вблизи границы, Матем. заметки, 19Q2, Т.32, H 1С.41-5Т. • *

6. Напалков В.В., Пространства аналитических функций заданного роста вблизи 'Границы, Изв. АН СССР. Сер.матем., 1987; Т.51, N 2, 0.287-305.

7. Епифанов О.В.; Двойственность одной пары пространств аналитических функций ограниченного роста, ДАН .СССР, 1991, Т.319, N б, С.1297-1300.

■ 8» Roufflleu 0., Ultra-diBtributlons, definles sur К" et sur certaines classes üe varietés diííerentiables, J.Anal. Math., 1962-63, V.1Q» p.153-192.

94 Koma tau H., U1 tradls tribut ions. I. Structure theorems and a characterisation, J.Fac. Sei. Univ. Tokyo, Sec.IA, 1973,V.20, p.25-105. ' ; •

10. Дынькин E.M. .Псевдоаналитическое продолжение гладких функций. Равномерная шкала, сб. Математическое программирование и смежные вопросы. Труда Седьмой Зимней школы, Дрогобыч, 1974, Москва, 19Гб, С.40-74.

11. Державец Б.А., Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами в пространствах аналитических функций многих комплексных переменных, Канд. дисс., Ростов-на-Дону, '1933i

л

Цель работа. Огисрть ядро оператора тала свертки в пространствах аналитических функций заданного рост вблизи границы. Описать ядро и образ оператора типа свертки в пространствах аналитически* функций с заданными оценками производных.

Научная новизна. Основные ресу&ыаи» х&йцры•«« лэдям-ся нови«™;

;. сообщено понятие оператора' свертки на случай произвольного инвариантного при дифференцировании пространства,

2. Описано действие оператора типа свертки в двух указанных выше классах пространств. •

Метода исследования. Использованы методы теории уравнений свертки, теории функций и функционального анализа.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Результаты могут сыть использованы в теории уравнений свертки.

Апробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались автором на семинаре по теории функций в Институте Математики с ВЦ УНЦ РАН.

Публикации. По теш диссертации депонированы дев работы и опубликованы две статьи. Список публикаций приведен в конца автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из 'введения ц трех глав, разделенных па 15 параграфов. Объем 110 страниц. Библиография 28 названий.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация состоит из трах глав.

В Главе 1 вводятся указанные выше пространства аналитических функций, а тМкжв, вводятся пространства целых функций, изоморфные соответствующим сопряженным пространствам. Доказываются некоторые свойства введенных пространств.

В Главе 2 доказываются утверждения вспомогательного характера. Изучается поведение целой функции при изменении ее нулевого множества, доказывается результат дающий дополнительную информацию об ■ исключительном множестве при аппроксимации субгармонических функций (си.[12]).

В Главе 3 доказываются основные результаты диссертации.

.Краткое содержание Главы I.

п.1. Пусть D - ограниченная выпуклая область комплексной плоскости <Е, H(D) -пространство аналитических в сэбласти D функций с топологией равномерной _ сходимости на ■ компактах, • d(e) -расстояние от, точки séD до границы ÖD области В.- Введем убывающую последовательность выпуклых функций <рт:В-»(0,ю), те(Н, удовлетворяющую условиям ■

Фт(2)-<Рт+1(2)ЯП{1/(1(2>), d(Z)iöm , (Ф.1)

<pm(z)xpmt1(c), !C-a|<d(z)/2, d(z)<öm , ' (Ф.2) где 6m>0 -некрторые постоянные, mclN.

12. Влмухаметов P.C., Аппроксимация субгармонических функций,

Analysis Mathenatica, 1985, V.11, N 3, р.25?-282.

Рассмотрим семейство подагростраяств пространства Н(Ш:

Н (D)=ífeH(D):|fS =sup(|í(3)|/exp ц> (а) )<■«>, т(Ш,

% zCD т

Н ¡D)=llra рг Н (D).

Пространство Н (Г) принадлежит классу пространств (М*), введенному Себаштьяном-и-г.ип<-»с* Г. ÍÍSÍ.- н ""r—r.fzz&i ¿,нкшя» яь«амоя луяхг^уга ú(aj, пространство Н (D) введено и

Р + Е

изучено В.В.Напалковым £61. В случав фт(г)=(1/<1(г)) т, р>0, s -»0, ш-»!л оно исслвдсьано А.Ф. Леонтьевым Г41 и P.O.

Ш

ЮШмухамэтовым С51. Наиболее общий случай рассмотрен О. В.

Епифановым в 171, где изначально предполагается йнвариантность

пространства H^D) относительно дифференцирования.

.Предложение 5. Пространство Н (D) инвариантно относительно диф$ереицирования-

Предложение б. Экспоненты (ехр Яг).^ полны в пространстве Н (D).

rug. Каждой функции ф бф сопоставим сопряженную п ó Юнгу функцию

<p*(\)=sup(Re (z)), Д.«®, mí«.

m z€t> ■

Предположим, что для каждой функции Ф*ЕФ* найдется функция

р=р(ш)€Ш такая, что

где Gm>0 -некоторая постоянная, me!N. Условие (®?1) всегда будет 13. Себаштьян-и-Сильва Я., О некоторых классах локально выпуклых ггространств, важных в приложениях, сб. Математика, 1957, Т.1, ' N 1, 0.60-77.

выполнено, если на систему <р наложено некоторое дополнительное условие (см. п.1 Главы 2).

В пространстве'целых функций Н(С) введем подпространства •. Р * ={;ГеН(С):|íL=sup(|f(Д,)¡/ехр <p*(A.))<»}, melN,

'ra m ш

. _ . P * -Или lnd P » .

Пространство P^* принадлежит классу пространств (1Л*),

введенному Себаштьяном-и-Сильвой Ж. t13l. ■ ' ' '

р

' Аналогом Предложения 5 является

Предложение 10. Пространство Р^* инвариантно относительно умножения на аргумент, т.е.

Ш)€Рф* * М<Х)еР * . В [7] устанавлено, что прЬстранство Р^* топологически изоморфно сопряженному к H^fD). .

п.З. Пусть Н=СМ }" -последовательность положительных --р р=о

чисел, М0=1. Назовем ее регулярной, если при .некотором Q>G выполняются следующие два условия: .

рМр./Мр \,0, р—' СМ.1)

Mp+r<Qp+rMpMr , р,г€и0 . (м.г:

Функцию

М(г)=эир'1п(гр/МГ1), г>0; М(0)=0 р>о р

назовем ассоциированной функцией ' , последовательности М. .

Рассмотрим семейство Мт=йГ)™=0 , meW . регулярны:

< последовательностей, удовлетворяющих при любом Q>'0 условиям

• í^vM/m—оо, <М.З

р • Р

р—оо, тем, (!i.4)'

где M=fMp>p_Q -регулярная последовательность. Через ¡^(г), ,г>0 обосначим, соответственно, . * ассоциированные ' функции последовательностей М™, mtfN. Приводятся -некоторые свойству регулярных последовательностей и ассоциированных о ними функций-

п.4. С каждой регулярной посда>»сСаыа й14,. ■

введенной в п.З, ««••iCSureo подпространств пространства .

a (П)=тП(С):Ш Q=sup sup|i'p)(z)|/(QPM™)<«}, Q>0, m'4 m'4 рзо ztD p

H^-ltraprJ^tD). ^(Di.llra .pr Hm(D).

Предложение 13. Пространства Hm(D),'mc!N iiHM<D) ■ инвариантны относительно дифференцирования.

Предложение 14. Экспоненты (exp полны в

пространствах Н (D), гп€Ш и HM(D).

п,5. Пусть Hg(M -опорная функции компакта D-D U £Ш , т.е. H=(\)=sup Re \г, ,\е£.

Пусть М (г),r>Q,mtiN -введенные в п.З ассоциированные функции. В пространств* целых Фуш<ций Н(С) введем подпространства

meifi, Q.-0. V -11т tndP ,, , P=llm lnd Р .

т Q--.0 ш'4 М т—>та га

аналогом Предложения 13 является

Предложение 18. Пространства Р , якШ и к,

1 [Ti м

инвариантны относительно умножения на аргумент, т.е.

i(X)tPm Xi(X)tPm ,mtW, 1(Х)еРи » Xf(X)ePH .

В Теореме 2,3.1 £111 установлено, чта при dDeC2 пространстве Ри изоморфно сопряженному к пространству H^D).

Пространства Hm(D),meM и Hy(D) являются (Ы*)-пространствами, пространства Рга , шеШ и Рм являются (LH* ^пространствами.

Краткое содержание Главы 2.

п.1. В условиях . (Ф. 1) п.1 Гл.1 и ) п.2 Гл.1 замени индекс ш+1, соответственно, на т+р и m+q, p=p(m)tfN, q=q(m)eM, Пусть <p (a)<a(l/d(z))A, гед, о>0, А>0,госШ. Тогда (Ф.1МФ?1

(Предложение 1). Пусть <pm(2)?3(l/d(z))B, ■ а>0,- В>0, ж®. Тогд <Ф!1МФ,1) (Предложение 2).

п.2. В данном пункте рассматриваются нижние оценки цело функции вблизи ее нулевого множества.

п.З. Пусть N(X) -произвольная целая функция с нуляк Л=(Л,3'}™_,с(С, 0/А соответствующих кратностей Ст^^сШ. Разложаш

. Вейарштрасса функции N(X) имеет вид

<» т.

H(X)=g(X) П (1-Х/Х.) Jexp р,<Х/Х.), ХеС, •3,1 3 з з

где. g(X) -целая функция не имеющая нулей, р^(^./Х^) -полиномы < ,X/\Jf'JeW. Рассмотрим последовательность d={d3)"=1i<E с'услови! Xj+dj^O, Jew. Функции JHX) сопоставим произведете

» т.

• Nd(X>=gU) П^ (l-x/tx^d^)) Зехр р^Х/Х.,), {

рассмотрим кружки В^ШС:¡'х-Х^Иг^), r^Q,'ЗеМ.

Предложение 7. Пусть OA^+d сВ^ , ЗеМ, и

10

со ^ ______________

.. -—S Trf Jd' |/г <00.

. ..... ~

------------------ш

Тогда вна множества fc к в призведание (•) определяет

аналитйческую функцию, причем

lln|Nd(Ä,)|-lnlHa)|HO, XiCSE,

где С>0 -некоторая постоянная.

Близкие вопроси для целы! *»nsu»ui mr.u%u}n> тсрлдна рассматривав, п^римет4, 'Д.*. Нг^с'лчкиа-терновский [141 и Б.Н. liöi.

п.4. Согласно Теореме 6 1121, произвольную субгармоническую' функцию из достаточно широкого класса вне . некоторого исключительного множества можно приблизить логарифмом, модуля целой Функции с точностью до логари4ма модуля аргумента, в Главе 3 потребуется, чтобы исключительное множество на задевало нулей некоторой наперед заданно!! целой функции. В данном пункте показано, что выполнения этого дополнительного условия можно добиться, уменьшением радиусов кружков, составлнщих исключительное множество, и сдвигом нулей целой функции, логарифм которой аппроксимирует заданную субгармоническую Функции,

14. Красичкоь-'Герноьский И.Ф., Сравнение цодах функций конечного порядка по распрепел^жтг) их корней, Мптом.сб, ,1966,'Г.70(112),

Н г, 0.198-230,

15. Хибибуллин Б.Н., Разложение целой функции конечного порядка на эквивалентные множители, Уфа: ВФАН, 1983, С.161-181.

11

n'.S. В данном пункте рассматриваются весовые пространства последовательностей и доказываются некоторые их свойства, необходимые в дальнейшем.

Краткое содержание Глады 3.

п.1. Пусть Dc€ -ограниченная выпуклая область, Н(В> -пространство аналитических в области D ■ функций с топологией равномерной сходимости на компактах, H*(D) -сильное сопряженное к Н№). Пусть S -функционал из H*(D), KccD -его определяющее множество. С функционалом S связывается оператор свертки:

S^D^S.f^Sj. ,I(z+t)>, f€H(D), (1)

который действует по переменной z и сопоставляет функции Кг) некоторую аналитическую в области U=(tet: t+KcD) функцию gît).

Пусть OeD, a BcD -круг с центром в О. Тогда

<S, ,i(z+t)>= S «S^ ,ilp) (2)>/pl )tp при trt ,

: .

причем ряд сходится равномерно на компактах из В. Из единственности разложения , Тейлора получаем эквивалентное« следующих утверждений: ■

.1? <S2 , î(z+t)>=g(t), tcU. .г? fSs , i'p,(z)>=g'p,(û), ptMQ .

Пусть'H -некоторое пространство аналитических в области 1 • функций инвариантное относительно дифференцирования, . H* -ег< сильное сопряженное, SeH*.

Определение .1. Оператором тип; свертки назовем оператор S сопоставляющий каждой функщс ГеИ последовательность :

_________" В\Г)■!'", , ?(р)(2>->>^0 . (2)

Определение 2. Системой типа свертки назовем бесконечную систему

Определение 3. Характеристически«» функцией системы (3) назовем

¿Ал»**'*.,* _ , ^Тр Л£>,

3 ч г.; з ч а и и е. Есп Н/Н(В), то определяющее множество К функционала БеН* может не лежать компактно в В, и, в частности, не исключается случай К=Б, 1Ы0). Отсюда следует,' что оператор свертки в форме <1) при М(П) не всегда может быть определен. Однако, для произвольного инвариантного при дифференцировании пространству Н оператор свертки может быть определен в форме (2), которая при Н=Н(В) эквивалентна форме (1). неоднородное уравнение свертки в этом случае принимает вид (3).

п._2. Рассмотрим ядро V оператора Э в случае Н=Н{р(0).

Пусть 1(Х) удовлетворяет условиям

|Ь(А.)КС,ехр{1а)+а(?0}, Ш, ¡V ар1>0гехр{1(\рчх(Х;!}), Зет, где С1,Сг>0 -некоторые постоянные, 1,а:С-»К -некоторое функции, для которых найдется постоявшая С>0 такая, что

|1(\)-1(ц)|,|а{Х)-а(ц>1<5С при|Л-ц|«1'.

Пусть для каждой функции- Ф*6Ф* найдется функция ф*+ре<Р*. р»р(т)««, субгармоническая функция фт:С-»5( еС2 и постоянные Ст , С' , р >0 такие, что

тп ш ,

• (ФГ1)

ПМ+<|)т(М<аСР(М+ст , <Ф!З)

I <5фт (2) I, I дфт (г) /52 КСт I г | %-<Г , . (®) Обозначим к (*.)=ехр ХеС.тсЛ.

ш * Ш

В пространстве последовательностей С®- ' комплексных чи(?ел введем подпространства'(тсИ):

ае»

Р.=11т 1п<1 Р л , Р?=11т рг Р* . , Р:=11т рг Р' . л т-к» л т-** т>л л

• Показывается, что Р>Р* .

л л

Имеет место следующая теорема об интерполяции.

Теорема 2. Для любой последовательности (а3)"=1еРЛ найдется функция шеР * такая, что . , ЗеШ.

ф V 3

И V

Кйадой целой функции ^ . ЯеС.^еС.Не^ сопоставим

■ множество : » к€Ш0>.

При выполнении свойства

|рЬ|го<«>■» вир 1рЬ|т+ч<®. (А)

тсМ, q=q(ш,p)eW0 , р€Н(С), справедлива следуицая теорема.

Теорема 3. Функция ГеНср<0 принадлежит И тогда и только тогда, когда

u»

J

(б)

t(z)= 2 b.exp X.z , zeD, 1 J

где (Ьл)"еРд и ряд сходится в Н?(1)). п.З. Пусть

iL(Ä.)KÜ1exp{Hc(X)tMn^(|A.|/QT )},- ht.

(T^MjrfG.enniu'XJ-U (!> '/Q, ¡3, XtiV U В. , С U - "Q- j . Ь . J

BJ»iA.€C:|*.-XJ|<rJ}, г4=о/ехр M (l^jl/Q^), Je«, (6)

где ö,0, .Og.Q^iO, nQf!N -некоторые постоянные.

Обозначим km Q(X)=exp{Hs(X)+Mro(|?i|/Q), Ш, meN, Q>0. Введем пространства последовательностей (mfW, Q>0):

Имеет место следующая теорема об интерполяции. Теорема 4. 1? Пусть т»п . (а„)"_, «Р„ .. Тогда найдцтся

О J J») Ш|Л

функция wcPm такая, что ,

2? Пусть (а^)еРд. Тогда найдется функция wtP^ такая, что , JilM.

В пространстве целых фугетциЯ Hit) введем подпространства {mein, Q>0):

^.m.a^^^JMrio^^sugdraJI/exp Mm(|X|/Q))<«},

Pn =lim Ind Pn п , Р.-11Ш irid P„ . Имеет мг,сто следующая теорема деления.

Теорема 5. 1? Пусть nön0, fcP , (Г/ЬШЦО. Тогда (t/b)eP0im . 2? Пусть f€Pu , (f/LKH<£). Тогда (i/L)€?0

п.4. Рассмотрим образ 8 при действии на 1^(0, Пусть выполнены условия (4)-(6). Введём пространства последовательностей (гаеИ, 0>0):

П=11го рг Пт о ,• П=Х1т рг п . т 0-.0 т-*0 . в

Теорема .6, Оператор ЗгНуф)-*!! объективен.

Таким обрезом, система типа свертки (3) о правой честью из П

разрешима в Ну(Б).

п.5. Рассмотрим ядро 3 в пространстве Н^П).

■ Пусть выполнены условия <4)-<6). Обозначим

кю^(?1)=е1р{Н5(Х)+«)п(|Х|/(1), Ш, тоги, 0>0.

Введем пространства последовательностей (теШ, 0>0):

Р*=11т рг V* . , Р>11т рг Р' . . , Показывается, что ,=Р*, те|Я и Р'А=Р!.

го,л го,л л л

Теорема 8. функция 1еНи(В) принадлежит И тогда I только тогда, когда

ю

Х(а)= 2 Ь.ехр Х.г , аеВ, ¿»1 3 я ■ •

где и ряд сходится в {^(П).

Автор выражает глубокую .признательность своему руководител Валентину Васильевичу Напалкову.

РАБОТЫ ABIOPA

1. Соломещ M.Ii., К теореме P.C. Юямухамэтова об аппроксимации субгармонических функмдй, Ин-т Математики УрО РАН,Уфа, 1992, 14 с. Деп. в ВИНИТИ. 24.07.92, М 244Г-В92. , ' Р (VuifiMftffl M.W. - Ort игатоптто m«rv>«eir,"» ,«л —

pcciu, üi-i Загоматкки УрО РАН, УФе, 199?, бо.- Деп. а ВЙРЯЙ. 24.07.92, N 2448-В92.

3. Napalkov V.V., *Solomeäh' M.I., Convolution type systems In some spaces ol analytic functions, SERD10A -Bulgaricae Mathematicae Publications, 1993, V.19, p.167-174'.

4. Напалков B.B., Соломещ М.И., Оценка изменений целой функций при сдвигах ее нулей, ДАН, 1995, Т.Э42, N б, 0.739-74-1.

17