Определение коэффициента ослабления уравнения переноса при разрывном типе источника тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Прохоров Игорь Васильевич

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ОСЛАБЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА ПРИ РАЗРЫВНОМ ТИПЕ ИСТОЧНИКА

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владивосток - 1995

УДК 517.953

Работа выполнена в Институте прикладной математики Дальневосточного отделения РАН.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор

Аниконов Дмитрий Сергеевич Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук, профессор Дубинин Владимир Николаевич - кандидат физико-математических наук, доцент Чеботарев Александр Юрьевич

Ведущая организация - Вычислительный центр Сибирского отделения РАН

Защита состоится 1995 года . на заседании

диссертационного совета К 002.06.12 при Президиуме ДВО РАН по адресу: г.Хабаровск, ул.Шевченко 9, Хабаровское отделение Института прикладной математики ДВО РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Хабаровского отделения Института прикладной математики ДВО РАН.

■ к - и1ргУ-

Автореферат разослан "_; <±_" *Л-Ш^Я^ 1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета / и у"

кандидат физико-математических наук /ЬЧлР И.М.Новицкий

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В настоящее время, в связи с широким применением вычислительной техники, одним из перспективных способов неразрушакнцего контроля объектов является принцип компьютерной томографии, который находит свое применение в медицине, дефектоскопии, микроскопии, астрофизике и физике атмосферы Земли. При построении математической модели томографии используют обратные • задачи для уравнения переноса, состоящие в определении параметров среды по известному радиактивному излучению на границе среды.

Первая работа по обратным задачам для уравнения переноса принадлежит Г.И.Марчуху (1964) и была вызвана интересом по интерпретации информации с искусственным спутников Земли. Следующая по хронологии публикация принадлежит А.И.Прилешсо (1973), в которой были приведены различные постановки оадач и обсуждались способы исследования.

Настоящая работа продолжает исследования Д.С.Акиконова, связанные с использованием специальных типов источников внешнего излучения для определения важнейших характеристик среды.

Цель работы - исследование возможности определения коэффициента ослабления уравнения переноса по его решению, известному только на границе области. Для этого предлагается использовать специальный тип источника, создающего разрывное излучение. Кроме проблем единственности, рассматриваются вопросы создания соответствующих алгоритмов и программ, и проверки их качества.

Методика исследования. При изучении свойств решения краевой задачи для уравнения переноса применяются некоторые разделы теории интеграла Лебега, а также предельные свойства непрерывных и ограниченных функций.

Обратная задача, рассматриваемая в диссертации, сводится к задаче обращения преобразования Радона от искомой функции, которая достаточно хорошо исследования и в диссертации не рассматривается.

Научная новизна. Результаты, полученные в диссертации, состоят ио следующих.

1. Изучена непрерывность краевой задачи для стационарного мовоэнергетиче-схого уравнения переноса при возможной разрывности функции, входящей в краевое условие. Ранее подобные результаты получены Т.А.Гермогеновой, Д.С.Авихоновым при-ограничениях, которые, вообще говоря, в диссертации не выполняются.

2. Доказала единственность решения обратной задачи об определении коэффициента ослабления уравнения переноса при специальном типе источника.

3. Исследованы достаточные условия разрыва решения уравнения переноса и описан внешний источник, моделирующий излучение разрывного типа.

4. Создан алгоритм вычисления приближенного решения и проведена его численная реализация.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты автора представляют теоретический интерес н могут быть использованы в других задачах, в частности, при исследовании непрерывных свойств краевой задачи для уравнения переноса.

Практическая значимость работы заключается в исследовании математической модели томографии. Наличие в диссертации вычислительного алгоритма и его численная реализация позволяют надеяться в перспективе на практическое использование результатов.

Аппробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзной конференции "Условно-корректные задачи" (Новосибирск, 1992), на международном симпозиуме по компьютерной томографии (Новосибирск, 1993), на Россииско - Японском семинаре "Дифференциальные уравнения в прикладной математике" (Хабаровск,1994). Автор выступал с докладами на семинаре член-

корреспондента РАН Г.А.Михайлова в ВЦ СО РАН (1993), на семинаре профессора Ю.Е.Авиконова в ИМ СО РАН (1993).

Диссертация докладывалась автором на семинаре "Дифференциальные уравнения и математическая физика" в ИПМ ДВО РАН.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1-4].

Структура диссертации. Диссертация наложена, на 64 страницах машинописного текста, состоит из введения и трех глав, разбитых на девять параграфов. Список литературы содержит 71 наименование работ отечественных и зарубежных авторов.

Содержание диссертации

Во введении излагается предмет исследования диссертации, основные цели н пути их достижения. Дается кратхое содержание разделов диссертации и обзор работ по теме диссертации.

В главе 1 исследуются свойства неоднородной краевой задачи для стационарного моноэнергетического уравнения переноса

ы ■ Vr/(r, и) + n(r)f(r, к(т, и .У)Дг. ¿W + J(r,«) (1)

Здесь г 6 G, (7-выпуклая, ограниченная область в Ru£il, il = {и 6 R3, | и [= \/ы ■ ш = 1} - единичная сфера в Л1. Функция f(r,u>) интерпретируется как плотность потока частиц в точке г = (rbr3,Tj) с направлением ы = (ы1,ы2,о/з). Функция J(r,u>) описывает внутренние источники, а коэффициенты /х(г), fc(r,ш • и'), характеризующие среду G, называются соответственно коэффициентом полного ослабления и индшсатриссой рассеяния.

Под выражением и • V,f(r,u) в уравнении (1) понимается производная по пространственной переменной г в направлении и.

Формулируются основные ограничения на коэффициенты p,k,J уравнения (1). Наиболее существенные из них следующие.

Пусть <7о некоторое открытое, плотное в (7 подмножество области G, то есть Ga С G,Ua Множество G<¡ называется разбиением области G.

Предполагается, что p[r) Е C»(Go), J(r, и) 6 Ci(G0 х П), где через G» обозначено пространство функции, непрерывных и ограниченных на соответствующем множестве. Индихатрисса рассеяния к{г,ы • и'), цредставима в виде конечной суммы

m

k(r,w • w') = X) ^МяС" •<A . «i

где функции сг<(г) 6 Ci(G0),j;(u.</) = д(и) 6 £i[-l,l],t = l,m.

Относительно разбиения Go предполагается следующее: любая прямая KrJU = {г+ш(, —оо < t < +оо}, имеющая общую точку с множеством Go, пересекает границу 8G<¡ = Go \ Go не более чем в счетном числе точек. Вводятся следующие множества

Г+ = {r¡,w) G 8G х n,v = r + d(r,u)w,r £ G0,w е П},

• г" = {{.?) edGx n,í = г -¿(г,-ш)и»,г е G0,u> e n},

где через d[r, ±ш) обозначено расстояние от точки г 6 G до границы области G(3G = \ G) в направлении луча = {г + wí, < С [0, ±оо)}. К уравнению (1) присоединяется краевое условие

/(f, *) = /.(*, w), (íiW) £ Г-. (2)

Относительно функции характеризующей внешние источники, предпола-

гается, что она принадлежит по переменной {, где

в измерима по переменной и>.

Все функции ¡i,k,J,h неотрицательны в области их определения.

Далее формулируется определение решения краевой задачи (1),(2), которая в диссертации также называется прямой задачей. Краевая оадача (1),(2) заключается в следующем.

По заданным функциям ¡i, к, J, h определить функцию удовлетворяющую уравнению (1) и краевому условию (2).

В §2 главы 1 показывается эквивалентность решения краевой задачи (1)',(2) решению следующего уравнения

f(r,u>) = /0(г,ы) + AJ(r,u) + Л5/(г,и»), (г,и) £ М. (*)

Здесь /о(г, ш) обозначает выражение

¿(г,—)

}a(r,w) = A(f,u>)exp(- J /i(r -

о

а через Л и 5 обозначены операторы, определяемые следующими равенствами

<'.-») , i Лу>(г,ы) = J ехр(— У /i(r — u/r)dr)ip(r — u/t,w)dt

Sti(r,u») = j~l к{т,и-и'Щт,ы')<1ы'.

Г)

Множество Ai, Ra котором удовлетворяется уравнение (*), следующее /Л = {(г,ы) £ 5 х П, (г.ы) = (е + «i,w),({,w) 6 Г", ¿6 [0, <f(f ,")]}• Предполагается, что выполнено условие

(1 - в"*)! < 1,

где

= sup | /i(r) I, A = sup —2-—-, d — диаметр области G,

'«С, ,6Ct /i(r)

которое обеспечивает существование и единственность краевой задачи (1),(2).

В параграфе 3 главы 1 исследуются непрерывные свойства краевой задачи (1),(2). Устанавливаются сглаживающие свойства операторов А, Б и доказывается теорема (о представлении), являющаяся основным результатом главы 1. Он состоит в следующем: решение краевой задачи (1),(2) можно представить в виде

Я«-.") = /о(г,ш) + Ф(г,ш),

причем Ф(г,ы) 6 Сь(М). Заметны, что первое слагаемое в атом представлении, ввиду возможной его разрывности, не принадлежит пространству Сь{М). . Из этой теоремы, в частности, вытекает, что интеграл столкновений

Щт,и) = в Кии) = Д( г,» ■ </)/(г, «^«Ь/, п

принадлежит классу Сь(С,»Л). А если функция решение краевой задачи

(1),(2) /(г,ы) принадлежит классу Сь(М).

Ранее вопросы гладкости решения краевой задачи (1),(2) изучались Т.А.Гермоге-новой и Д.С.Аниконовым при условиях, некоторые из которых в работе не выполняются.

В §4 главы 1 устанавливаются некоторые достаточные условия разрыва решения краевой задачи (1),(2). Результаты §4 имеют и прикладное значение: приводится такая конструкция среды (3, то есть такие условия на коэффициенты уравнения, чтобы выходящее излучение при переходе через горизонтальную плоскость испытывало скачок.

Таким образом описывается конструкция источника, создающего излучение разрывного типа.

В главе 2 рассматривается обратная задача заключающаяся в следующем. По решению краевой задачи (1),(2) с некоторыми неизвестными коэффициентами и удовлетворяющему дополнительному условию

/(?,«) = 2Г(ч,ы), (*/,") ег-, (з)

определить функцию р(г) в области {?.

Обратим внимание, что функция к, J не предполагаются известными и, в то же время, не подлежат определению в этой задаче.

В силу эквивалентности решения краевой задачи (1),(2) решению уравнения (*), рассматриваемую обратную задачу можно сформулировать следующим образом.

Определить функцию из уравнения

о

в котором известны только функции Ли Н.

В §1 главы 2 показывается, что наличие дополнительного условия на входящее излучение Л(£, ш)

I (¿(¿."о)] |> 0, (4) •

где через обозначен скачок функции в точке (£,ы0) = ((, (ш], 0))

при —> 0, существенно облегчает задачу определения функции р(г.).

Физически условие (4) обозначает, что входящее излучение терпит скачок при переходе через горизонтальную плоскость.

Основным результатом §1 главы 2 является следующая формула

где и>о = (и>1,а>2,0), 6 Г", (т/,ш0) € Г+.

Во втором параграфе доказывается единственность определения функции ¿¿(г) по формуле (5), при условии выполнения неравенства (4).

Ранее вопросы единственности рассматриваемой обратной задачи исследовались в работах Д.С.Аниконова. Было доказано, что наличие интегрируемой особенности по переменной и> у фунхции при ш3 = 0, обеспечивает единственность определения функции /х(г) и получена формула, аналогичная (5). При этом класс единственности, в котором рассматривались функции р, к, был менее широким,

чем в настоящей диссертации. В частности, предполагалось существование частных производных по переменной г от функции ц,к, У на разбиении СоВ третьей главе рассматривается численная реализация алгоритма решения обратной задачи, исследуется приближенное решение обратной задачи и его близость х точному. На основе результатов главы 2 создан алгоритм определения интегралов от функции ц{т) вдоль прямых лежащих в горизонтальной плоскости, то есть алгоритм, определяющий преобразование Радона в зтом сечении от функции

Кг)-

Для нахождения фунхции /х(г) достаточно произвести обращение преобразования Радона. Для этого используется модификация алгоритма свертки и обратной проекции, которая была программно реализована научным сотрудником ИПМ ДВО РАН А.В.Зацерковным.

Для проверки алгоритма решения обратной задачи необходимо знание функции Н(т;,ш), которая на практике считается заданной.

Для вычисления функции Н(т^,и), достаточно решить прямую задачу (1),(2) с известными коэффициентами р, к, 7, полученные при этом значения функции Н(т],ш) использовать для проверки алгоритма решения обратной задачи.

Для решения прямой задачи использовался метод Монте-Карло, который применительно к нашей задаче кратко описан в §2 главы 3. Программная реализация этого метода проводилась совместно с сотрудником ИПМ ДВО РАН А.Е.Ковтанюком.

В третьем параграфе рассматриваются два варианта те стов, приведены результаты численных расчетов, проведено сравнение с точным решением.

В заключении, хочу выразить благодарность научному руководителю профессору Д.С.Аниконову за ценные советы и постоянное внимание к работе.

Список работ по теме диссертации

1. Прохоров И.В. Разрыв входящего излучения для нахождения коэффициента ослабления уравнения переноса. - Тезисы Всес. конф. "Условно-корректные задачи", Новосибирск, 1992.

2. Аниконов Д.С., Прохоров И.В. Определение коэффициента уравнения переноса при энергетических и угловых особенностях внешнего излучения. .- Доклады РАН, 1992, 327, N2, с.205-207.

3. Аниконов Д.С., Прохоров И.В., Ковтанюк А.Е. Исследование рассеивающих и поглощающих сред методами рентгеновской томографии. - Жувн. Обратн. у сл.-корр. задачи, 1993, т.1, N4, с.259-281, (на англ.).

- 4, Прохоров И.В. Некоторые достаточные условия разрыва решения уравнения переноса. - Препринт ИПМДВО РАН, Владивосток, 1993, 6с.