Определение структуры, управление и анализ систем в задачах смертности организмов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Структура семейства вероятностных моделей с изменяющимися пространствами элементарных исходов и их место в задачах смертности

1.1. Оценка для условного математического ожидания значений непрерывного процесса до момента пересечения некоторой границы

1.2. Соотношение для процесса размножения и гибели, порождаемого событиями пересечений границы допустимой области.

1.3. Описание структуры семейства вероятностных моделей с изменяющимися пространствами элементарных исходов

1.4. Доказательства теорем и следствий главы

Глава 2. Анализ структур неоднородных популяций в моделях с процессами с разладкой

2.1. Идентификация структуры популяции по целевой функции

2.2. Доказательство результатов главы

Глава 3. Определение структуры целевых функций и оптимальное управление в популяционной системе по данным смертности

3.1. Максимизация целевой функции, соответствующей компромиссу между продолжительностью жизни и основным для жизни физиологическим показателем

3.2. Соответствие целевой функции плотности вероятности

3.3. Доказательства теорем главы 3.

Глава 4. Применение теорем ических результатов

4.1. Определение оптимальных значений параметров в задаче управления воспроизводством в популяции.

4.2. Дуальный способ представления структурных объектов системы: дискретный и непрерывный.

Попытки математически описать и промоделировать живой организм или сообщество (популяцию) живых организмов заложили основы для появления кибернетики. Первым, кто сформулировал постановку этой исконной задачи кибернетики и получил существенные результаты, был Норберт Винер [1]. И сегодня не угасает интерес к решению подобного рода задач. Применение современного технического оборудования при проведении экспериментов в различных областях науки помогает детально исследовать показатели рассматриваемых систем. В биологии и медицине в результате этого получают все более обширные данные о физиологических показателях и закономерностях в популяциях организмов. В ходе проведения экспериментов накапливаются большие объемы полученных новых данных, и применение при их анализе математических методов позволит улучшить методы диагностики, лечения различных заболеваний и, вследствие чего, приведет к увеличению продолжительности жизни человека.

Определение структуры (идентификация) системы, ее анализ и нахождение оптимального управления популяционными показателями являются важными задачами при описании популяций живых организмов. При исследовании численности систем зачастую применяются различные вариации описаний в терминах процессов размножения и гибели, которые были получены в классических работах Феллера В. [2] и Кокса Д. [3].

В этой диссертационной работе рассматриваются два основных класса задач определения структуры (идентификации) систем: на основе анализа численности объектов системы и по результатам оптимизации целевых функций.

Рассмотрим способ исследования структуры системы по результатам анализа ее численности. Наблюдение за индивидуумами в популяции в ходе проведения эксперимента или в течение жизни происходит по их физиологическим показателям. При этом приходы и уходы индивидуумов в популяции случаются в различные моменты времени, вследствие чего получаем набор траекторий процессов физиологических показателей, начинающихся и заканчивающихся в разные моменты. При стохастическом описании популяций организмов на основе процессов размножения и гибели формируется пространство таких «раекторий, а, как известно, элементарными исходами полного вероятностного пространства являются траектории процессов (в соответствии с традициями функционального представления в современной теории случайных процессов [4]). Но функциональные пространства траекторий с различающимися моментами их «рождений» и «смерти» структурировано в должной степени не рассматривались. Таким образом, семейства вероятностных моделей с изменяющимися (во времени) пространствами элементарных исходов - траекторий являются адекватным описанием эволюций индивидуальных процессов-показателей в популяции, поскольку эти процессы и имеют траектории с различными моментами рождений и смерти. При этом, вообще говоря, невозможно задать вероятностную меру на объединении всех этих пространств траекторий, но можно построить ненормированную меру так, чтобы ее сужение на каждом из пространств являлось вероятностью или по заданным вероятностным мерам на каждом из пространств построить меру на их объединении. Поэтому разработка нового вероятностного описания для такого рода систем, а также исследование их свойств является актуальной задачей.

Перейдем к следующему способу определения структуры систем -на основе идентификации целевых функций и нахождения оптимального управления. При исследовании объекта в технических областях зачастую сформулированы ожидаемые цели, и экспериментатор сам производит построение целевой функции. Однако в прикладных областях также присутствует ряд задач, в которых полностью или частично не известны цели описываемой системы, и возникает задача идентификации неизвестной целевой функции. Постановки такого рода прошли свой путь развития в задачах экономики (см., например, работы Айвазяна С.А. [5] и ссылки в них). И особенно актуальны такие задачи в фундаментальных разделах биологии и биокибернетики (например, задача нахождения целевой функции, по которой природа осуществляет эволюционный отбор). Но на данный момент недостаточно рассмотрены задачи анализа, идентификации и оптимизации целевых функций для стохастических систем в этих областях. Хотя в последние годы попытки решения этих задач в детерминированном случае для экологических систем предпринимались (см., например, работы Терехина А.Т. [6-8] и ссылки в них).

Рассмотрим системы с разладками. Наиболее полезным при анализе таких систем оказывается определение их структуры (выделение подсистем), а также решение обратной задачи - идентификации целевой функции по результатам анализа структуры. В прикладных областях находится широкий класс задач, в которых исследуются системы с разладками. При формулировке задачи о разладке выдвигаются гипотезы о структурных изменениях в системе или качественных изменениях в величинах ее параметров. Примером такой задачи в технических приложениях может рассматриваться проблема выбора оптимального момента перехода прибора или машины в форсированный режим работы. Момент разладки в этом случае - момент перехода в форсированный режим. В биологии в качестве момента разладки может интерпретироваться время начала приема человеком стимуляторов или адаптогенов, а также как момент перехода из одной стадии развития в другую. Классическая задача с разладками сформулирована еще в 60-е годы Вальдом А. [9] и Ширяевым А.Н. [10-12]). Далее это направление развивалось в работах Пресмана Э.Л. [13], Яшина А.И. [14], Роббинса Г. [15], а на сегодняшний день развитие этой задачи отражено в работах

Николаева M.JI. [16-18], Мазалова В.В. [19]. В классической постановке формулируется задача определения момента рарладки, но наряду с этим, актуальны задачи о поведении системы после разладки, даже если момент ее известен. Такого рода системы присутствуют в различных прикладных задачах, например, в биологии момент разладки - переход из личиночной стадии развития в стадию зрелого организмг сопровождается полной его перестройкой, а сроки переходов для многих разновидностей животных известны. В технике момент разладки - время перехода двигателя в форсированный режим работы может быть назначено в фиксированный момент времени. И в предложенной диссертационной работе предлагается следующая постановка задачи: оптимизация целевой функции при помощи управления моментом разладки. Момент разладки в этом случае предполагается известным, а структуру формируемой популяции определяет целевая функция, которая зависит от показателей смертности.

Таким образом, возникает необходимость построения математически корректного описания систем (популяций) не только с переменной численностью, но и неоднородных, в которых моменты прихода и ухода индивидуумов происходят в различные моменты времени. Также необходим анализ популяций (и их структур) в терминах целевых функций и индивидуальных процессов-показателей, определяющих состав этих популяций. Поэтому диссертационная работа направлена на построение и обоснование способов определения структур систем в задачах смертности организмов по результатам оптимизации целевых функций, а также создание адекватного описания семейства вероятностных моделей с изменяющимися пространствами траекторий процессов.

Описания систем в семимартингальных терминах, основанных на анализе характеристик точечных и диффузионных процессов, используются при формулировке и доказательстве теоретических результатов диссертационной работы. В ходе исследования предложен оригинальный метод при описании структуры семейства вероятностных пространств, являющийся основой при исследовании численных характеристик популяций. Применяется дуальное представление объектов системы (популяции) для сфуктурной идентификации (исследования заполненности ткани клетками). В случае большого числа клеток ткани применяется метод диффузионной аппроксимации, представленный в работе Ширяева Р.Ш. '20-21]. Определение структуры системы осуществляется на основе идентификации неизвестной целевой функции и решения задач управления моментом разладки с целью оптимизации этой функции.

Все основные результаты настоящей диссертации являются новыми и сформулированы в следующих основных положениях:

1) Теорема об образовании структуры популяции в модели с управляемой разладкой.

2) Способ идентификации целевой функции в задаче о компромиссе между продолжительностью жизни и плодовитостью особи в популяции.

3) Теорема о продольных исследованиях популяции в случае изменяющихся во времени пространств траекторий-показателей особей на основе задач смертности.

4) Теорема для процесса размножения и гибели, порождаемого событиями пересечений границы допустимой области.

5) Дуальный способ представления структурных объектов системы: дискретный и непрерывный.

Результаты исследований по этим основным положениям опубликованы в 15 работах [22-36].

Научная ценность работы заключается в том, что в ходе исследований по теме работы разработаны способы математического описания и определения структуры систем, а также идентификации неизвестных целевых функций в задачах анализа смертности в популяциях. На основе полученных теоретических результатов построены математические и компьютерные имитационные модели развития живых организмов, которые адаптированы к экспериментальным данным, что отражает практическое применение результатов диссертационной работы при моделировании систем в биологии, медицине, экологии, а также экономике, физике.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов и заключения, списка литературы из 84 наименований источников отечественных и зарубежных авторов, а также приложений.

Основные результаты работы можно сформулировать следующим образом:

1) Доказана теорема об образовании структуры популяции в модели с управляемой разладкой. Определение структуры осуществлено посредством оптимизации целевой функции, а также решена обратная задача - на основе структуры популяции идентифицированы параметры целевой функции в ее линейном приближении.

2) Приведен способ идентификации целевой функции в задаче о компромиссе между продолжительностью жизни и плодовитостью особи в популяции по данным смертности. Сформулирована и доказана теорема о нахождении оптимального управления в этой функции.

3) Доказана теорема о продольных исследованиях популяции в случае изменяющихся во времени пространств траекторий-показателей индивидуумов. Приведено описание структуры семейства вероятностных моделей с изменяющимися пространствами элементарных исходов - траекторий и определено их место в задачах смертности организмов.

4) Доказана теорема для процесса размножения и гибели, порождаемого событиями пересечений границы допустимой области. Получено соотношение для среднего значения численности популяции, что может быть использовано для вычисления средних популяциончых характеристик.

5) Предложен дуальный способ описания структурных объектов системы: дискретный и непрерывный. На его основании произведена идентификация численности клеток ткани в различных фазах деления и трансформации в модели старения и канцерогенеза.

Некоторые вопросы остались за рамками рассмотрения в связи с ограниченностью объема работы. Приведенные результаты могут быть исследованы на более широком классе, чем рассматриваемые в работе функции и процессы. В частности вопросы анализа смертности на основе описаний в терминах процессов с разладкой могут получить свое дальнейшее развитие при изучении множественных разладок, процессов с возмущениями отличных от гауссовских, диффузионных процессов с различными обратными связями и т.д. Также необходимо отметить, что вопросы идентификации целевых функций могут выходить за рамки определения коэффициентов в их линейном приближении (например, задачи непараметрической идентификации и оптимизации).

Выводы и заключение

Полученные в диссертационной работе теоремы применимы для решения широкого класса прикладных задач в различных областях математической кибернетики. Описаны два способа определения структуры: на основе оптимизации целевых функций и по результатам анализа численности объектов системы. Дано новое описание семейства вероятностных моделей с изменяющимися пространствами элементарных исходов - траекторий. Представлен оригинальный способ исследования систем на основе дуального представления: дискретного и непрерывного.

1. Винер Н. Кибернетика или управление и связь в животном и машине.-М.: Советское радио, 1958.2 j Feller W. The birth and death processes as diffusion processes // Journal de Mathematiques Pures et Appliquees, Vol. 38, 1959, pp. 301-345.

2. Кокс Д., Смит В. Теория восстановления.-М.: Советское радио, 1967.

3. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер.-М.:Наука, 1977.

4. Айвазян С.А. Об опыте применения экспертно-статистического метода построения неизвестной целевой функции. В кн: «Многомерный статистический анализ в социально-экономических исследованиях». М.: Наука, 1974, с.56-86.

5. Терехин А.Т., Будилова Е.В. Сетевые механизмы биологической регуляции // Успехи физиологических наук, т. 26(4), 1995, с. 75-97.

6. Терехин А.Т., Будилова Е.В. Эволюционная оптимизация нейроэндокринной сети, управляющей распределением энергии в организме // Третья Всероссийская научная конференция Нейроинформатика-2001.-М.:МИФИ, т.62, 2001.

7. Терехин А.Т. Оптимизационное моделирование эволюции жизненного цикла. Автореферат диссертации на соискание ученой степени д.б.н., Москва, 2001.

8. Вальд А. Последовательный анализ, пер. с английского.-М., 1960.

9. Ширяев А.Н. Статистический последовательный анализ.-М., 1976.

10. Пресман Э.Л., Сонин И.М. Последовательное управление по неполным данным.-М.: Наука, 1982.

11. Яшин А.И. Теоретические и прикладные задачи оценивания скачкообразных процессов. Препринт. М.: Институт проблем управления, 1978.

12. Роббинс Г., Сигмунд Д., Чао И. Теория оптимальных правил остановки.-М.: Наука, 1977.

13. Николаев M.J1. Задача о «сбое» стохастической последовательности // Обозрение прикладной и промышленной математики том 9, вып.-1, М.:ТВП, 2002, с. 128.

14. Николаев M.JI. Оптимальные правила многократной остановки // Обозрение прикладной и промышленной математики том 5, вып.-2, М.:ТВП, 1998, с. 309-348.

15. Николаев M.JI. Об оптимальной многократной остановке марковских последовательностей // Теория вероятностей и ее применения том 43, вып.-2, М.:ТВП, 1998, с. 374-382.

16. Мазалов В.В., Домбровский Ю.А., Перрин Н. Теория оптимальной остановки: приложения к экологии поведения // Обозрение прикладной и промышленной математики. Серия «Математические методы в экологии» том 1, вып.-б, М.:ТВП, 1994, с. 893-900.

17. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Теория мартингалов.-М.: Наука, 1986.

18. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов.-М.: Наука, 1974.

19. Волков М.А. Стохастическая модель процесса развития // Ученые записки УлГУ, серия Фундаментальные проблемы математики и механики: Сб. статей, 8 (1), Ульяновск: УлГУ, 2000, стр. 45-50.

20. Бутов А.А., Волков М.А., Носова А.Е. Семимартингальное представление для процессов с корреляционной функцией с финитным носителем // Обозрение прикладной и промышленной математики, том 7, вып. 2, М.:ТВП, 2000, с. 326.

21. Бутов А.А., Арбеев К.Г., Жданов Д.А., Волков М.А., Носова А.Е. Стохастическая модель метаболизма на основе разделения белковой и углеводной компонент питания // Вестник УлГТУ, 11 (3), Ульяновск: УлГТУ, 2000, стр. 15-17.

22. Бутов А.А., Волков МА., Санников И.А. Стохастическая модель эффекта хормезиса // Труды Ульяновского научного центра "Ноосферные знания и технологии" (РАЕН), 3 (1), Ульяновск: УлГТУ, 2001, стр. 124-126.

23. Бутов А.А., Волков М.А., Анисимов В.Н., Sehl М.Е., Yashin A.I. Модель ускоренного старения, индуцированного 5-бромо-2'-дезоксиуредином // Biogerontology, вып. 3 (3), Kluwer Academic Publishers 2002, стр. 175-182 (на англ.).

24. J.R. Carey, P. Liedo, H.G. Muller, J.-L. Wang, J.W. Vaupel, Dual modes of aging in Mediterranean fruit fly females // 1998, Science 281 (5379), p. 996-998.

25. B. Charlesworth, Evolution in Age-structured Populations // 1994, Cambridge University Press, Cambridge, UK.

26. Деллашери К. Емкости и случайные прощссы.-М.:МИР,1975.

27. Krylov N.V. Introduction to the theory of diffusion processes .-USA: American Mathematical Society, 1995.

28. Гихман И.И., Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов.-М.:Наука, 1974.

29. Strehler B.L., Mildvan A.S., General theory of mortality and aging. A Stochastic model relates observations on aging, physiological decline, mortality, and radiation. Science Vol. 132,1960, pp. 14-21.

30. Романовский Ю.М., Степанова H.B., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. М., 1984.

31. Базыкин А.Д. Математичесакая биофизика взаимодействующих популяций. М., Наука, 1985.

32. Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Математические модели биологических продукционных процессов. М., Изд. МГУ, 1993.

33. Ризниченко Г.Ю. Популяционная динамика, M., Изд. МГУ, 1995.

34. Ризниченко Г.Ю. Биология математическая, М., Изд. МГУ, 1994.

35. Жакод Ж., Ширяев А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов.-М.: Физматлит, т. 1, 1994, 544 с.

36. Горбунов В.К. Индексы рационального потребления // Обозрение прикладной и промышленной математики. Серия «Финансовая и страховая математика» том 4, вып.-1, М.:ТВД 1997, с. 66-85.

37. Аркин В.И., Евстигнеев И.В. Вероятностные модели экономической динамики.-М.: Наука, 1979.

38. Гихман И.И., Скороход А.В. Управляемые случайные процессы.-Киев: Наукова думка, 1977.

39. Дынкин Е.Б., Юшкевич А.А. Управляемые марковские процессы и их приложения.-М.: Наука, 1975.

40. Севастьянов Б.А. Ветвящиеся процессы.-М.: Наука, 1971.

41. Крылов Н.В. Управляемые процессы диффузионного типа.-М.: Наука, 1977.

42. Скулачев В.П. Эволюция, митохондрии и кислород. // Соровский образовательный журнал, 1999, №9, с. 4-10.

43. Интриллигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория.-М.: Прогресс, 1975.

44. Левич А.П., Алексеев В.Л., Рыбакова С.Ю. Оптимизация структуры экологических сообществ: модельный анализ II Биофизика, Т.38, Вып.5, 1993, с. 877-885.

45. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969.

46. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

47. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления // Итоги науки и техники. Мат. анализ. 1977. Т. 14.

48. Afanasiev V.N., Kolnnnovskii V.B., Nosov V.R. Mathematical Theory of Control Systems Design. Dordrecht: Kluwer, 1996.

49. Swan G.W. Application of Control Theory in Medicine. N.Y.: Dekker, 1984.

50. Брокате M. Оптимальное управление системами гистерезисного типа // Автоматика и телемеханика. № 1, 1992.

51. Голицын Г.А., Петров В.М. Гармония и алгебра живого. В поисках биологических принципов оптимальности.-М.: Знание, 1990.

52. Зуев С.М. Статистическое оценивание параметров динамики процесса функционального восстановления. В кн. «Математическое моделирование в иммунологии и медицине» гл. ред. Марчук Г.И.-Н.: Наука, 1982, с. 93-99.

53. Перцев Н.В. Стохастическая модель для исследования динамики популяции стволовых клеток. В кн. «Математическое моделирование в иммунологии и медицине» гл. ред. Марчук Г.И.-Н.: Наука, 1982, с. 59-74.

54. Погожев И.Б., Зубикова И.И., Романюха А.А. Математические модели функционального восстановления печени и их приложения. В кн. «Математические методы в клинической практике».-Н.: Наука, 1978, с. 40-55.

55. Марчук Г.И. Простейшая математическая модель вирусного заболевания. В кн. «Математические методы в клинической практике».-Н.: Наука, 1978, с. 7-19.

56. Романюха А.А. Сопоставление математической модели инфекционного заболевания в клинических данных. В кн.

57. Математическое моделирование в иммунологии и медицине» гл. ред. Марчук Г.И.-Н.: Наука, 1982, с. 27-32.

58. Перцев Н.В. Математическое моделирование механизмов регуляции процесса кроветворения. В кн. «Математическое моделирование в иммунологии и медицине» гл. ред. Марчук Г.И.-Н.: Наука, 1982, с. 75-87.

59. Анисимов В.Н. Роль индуцируемой 5-бромодезоксиуридином нестабильности генома в механизмах ускоренного старения и канцерогенеза //Успехи геронтологии, вып. 1, 1997, с. 50-56.

60. Anisimov V.N. 5-Bromo-2'-deoxyuridine-induced sole perturbation of DNA is sufficient for initiation of both aging and cancer in vivo. // J. Exp. Clin. Cancer Res, Vol. 13,1994, p. 13-38.

61. Michishita E., Nakabayashi K., Suzuki T. Et al. 5-Bromodeoxyuridine induces senescence-like phenomena in mammalian cells regardless of cell type or species. // J. Biochem., Vol. 129,1999, pp. 1052-1059.

62. Анисимов B.H., Соловьев M.B. Эволюция концепций в геронтологии.-СПб: Эскулап, 1999.

63. Ширяев А.Н. Вероятность.-М.: Наука, 1989.

64. Butov А.А. Random walks in random environments of a general type // Stochastics and Stochastics Reports, Vol. 48,1994, pp. 145-160.

65. Alexander S., Bernasconi J., Schneider W.R., Orbach R. Exitation dynamics in random one-dimensional systems. // Rev. Modern Phys., 1981, V.53,№2, pp. 175-198.

66. Kawazu K., Kesten H. The birth and death process in symmetric random environment. //J. Statist. Phys., 1984, V.37, №516, pp. 561-576.

67. Сингер M., Берг П. Гены и геномы: В 2-х т. Т. 1 ,-М.: Мир, 1998.

68. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Главный редактор Прохоров Ю.В.-М.: Большая Российская энциклопедия, 1999.105001. Age (days) С1030I30a>a. о