Численные методы решения обратных задач для некоторых моделей популяции тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА

на правах рукописи

Макеев Алексей Сергеевич

УДК 519.634

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ МОДЕЛЕЙ ПОПУЛЯЦИИ

Специальность 01.01.07 - "Вычислительная математика"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2006

ОБЯЗАТЕЛЬНЫМ БЕСПЛАТНЫЙ ЭКЗЕМПЛЯР

Работа выполнена на кафедре математической физики факультета Вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор А.М.Денисов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Братусь A.C. доктор физико-математических наук, профессор Ягола А.Г.

Ведущая организация - Институт вычислительной математики РАН

Защита диссертации состоится "_" _ 2006 г.

в_, час--мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.43

при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-ой гуманитарный корпус, ВМиК, ауд._

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ф-та ВМиК

Автореферат разослан "_" _ 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физико-математических наук Е.В. Захаров

л

Актуальность темы. В настоящее время одной из наиболее важных сфер приложения математических методов является биология. Многообразие и сложность возникающих в биологии задач обуславливают необходимость использования численных методов и современных ЭВМ для их решения. Математическое моделирование используется при исследовании разнообразных биологических процессов. При этом, во многих случаях некоторые параметры математических моделей, являющиеся важными характеристиками изучаемого процесса, неизвестны и могут быть определены только на основе косвенных измерений. Это означает, что необходимо решать обратные задачи состоящие в определении параметров математических моделей по имеющейся дополнительной информации о решении соответствующих задач.

Теория обратных задач - одна из быстро развивающихся областей современной математики. Обратные задачи возникают при обработке и интерпретации результатов экспериментов, ставящих своей целью исследование различных свойств процессов и объектов, непосредственное наблюдение которых либо невозможно, либо связано с весьма крупными финансовыми затратами. Одна из основных проблем, которую нужно преодолевать при решении обратных задач, состоит в том, что, как правило, такие задачи являются некорректно поставленными. Решение обратных задач может не существовать, быть не единственным и неустойчивым по отношению к исходным данным. Последнее особо существенно, поскольку дополнительная информация используемая при решении обратных задач известна не точно, а лишь приближенно. В связи с этим построение устойчивых методов решения обратных задач имеет большое теоретическое и прикладное значение.

Важным направлением в математическом моделировании биологических процессов являются модели популяции. Модели популяции применяются для описания, как простых однородных групп объектов, так и сложных сообществ. При исследовании моделей популяции часто воз-

РОС. НАЦИОНАЛЫ! \Я БИБЛНОГьКА

оа ИС^зм

никает необходимость в решении обратных задач. Поэтому разработка устойчивых численных методов решения обратных задач популяции актуальна для развития математических методов биологии.

Цель работы. Целью работы является исследование обратных задач для некоторых моделей популяции и разработка численных методов их решения.

Научная новизна и практическая ценность. Поставлены и исследованы обратные задач для двух моделей популяции, доказана единственность решения обратных задач, разработаны численные методы их решения. Практическая ценность полученных результатов определяется возможностью их использования при анализе математических моделей популяции.

Апробация. Результаты работы докладывались на конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи" в г. Москве, 2003г., на международной конференции "Ломоносов 2005" в г. Москве, 2005г., на научной конференции "Тихоновские чтения" в г. Москве, 2005г., на международной конференции "Тихонов и современная математика" в г. Москве, 2006г., а также на семинарах кафедр математической физики и системного анализа факультета Вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова, научных семинарах НИВЦ и Института вычислительной математики РАН.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [2]-[7].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав и содержит 77 страниц, в том числе 14 графиков, список литературы из 52 наименований.

Содержание работы. Во введении дается краткий обзор работ, связанных с тематикой диссертации и сжато излагается ее содержание.

Первая глава посвящена двум обратным задачам для модели попу-

ляции с постоянной скоростью роста объектов

Ut + Ux^-ßU, 0<х<1, 0 < í < 1, (1)

i

u(0,t) = J q{s)u(s,t)ds, 0 < t < 1, (2)

о

и( х, 0) = <р(х), 0<х<1, (3)

где u(x,t) — плотность объектов размера х в момент времени í, ц{х) — коэффициент скорости смертности объектов, <р(х) — начальное распределение плотности объектов и q(x) — относительный коэффициент скорости рождения объектов. Функции ß(x), ip(x) и q(x) непрерывны и положительны.

Обратные задачи состоят в определении коэффициента скорости смертности объектов ¡i{x) или плотности начального распределения объектов (р(х) по дополнительной информации о плотности популяции, являющейся функцией времени и имеющей вид

и(х0 ,t) = c(t), 0<х0<1, 0<t<l, (4)

где c(t) известная положительная функция и Хо фиксированная точка.

В первом параграфе находится решение задачи (1)-(3). При х > t решение имеет вид

u(x,t) = tp(x — í)exp|— J /Lí(o-)dcrj, 0 < t < х < 1, (5)

x-t

а для х < t решение находится из интегрального уравнения 1 X t—x

и(х, t) = exp¡r-m(a)da\ íq(s)u(s,t—x)ds+ о о

i $ X

+ / t+z)expí- ju{cr)dcr-[ii(a)da\ds, 0 < x < t < 1. (6)

t-x 3-t+x 0

Если функции q(x) и <p(x) таковы, что

i

<p(0) = J q{s)<p{a)ds, (7)

o

1 Banks H.T., Kappcl F. Transformation semigroups and ^-approximation for size structured population models // Semigroup Forum. 1989. 38. P.141-155.

то функция и{х, £), определяемая формулой (5) и уравнением (6), непрерывна в квадрате 0 < < 1. Если условие (7) не выполнено, то и(х, ¿) имеет на диагонали х = t разрыв.

Во втором параграфе построен итерационный метод для численного определения коэффициента ц(х) по дополнительной информации (4). При этом предполагается, что функции д{х) и ¡р(х) известны. На чаг сти области определения [0, яо] функция ц(х) может быть получена из соотношения

с(х о-х) <р(х)

При х € [хо, 1] обратная задача сведена к нелинейному интегральному уравнению для функции ц{х)

/1{х) = (Вц){х), х0 < х < 1, (8)

где оператор В определен следующим образом

{х) exp

(*) + д(1Мх) lPlt

_____________1-оИсо

ехр|- J /i(<j)rf(jj - I (Р2)хх{1-Х+Хй s) expj— J 1л(а)с1а}йз +

if

(.Вц)(х) = + J \Pi(1 -х+хо)~Ы*(1 - ®+®а 1 ■х

X л '

Хо ' хо хо

X 2+1-Х

+ Jq'(z + 1 - x)\^p\z) 4- (£>(z)/i(z)j expj— J /j,(cr)da\dz -

xo z

X z+1-х

- J q(z + 1 - x)\ip'(z) + <p(z)ii(z)\n(z + 1 - ж) expj— j n(a)da\dz\,

xo z

где функции pi (re) и P2(x,s) известны. На основании уравнения (8) построен итерационный метод

Ип{х) ={Bnn-i){x), х0<х<1% п = 1,2..., (9)

и доказана теорема о его сходимости на классе непрерывных функций li{x) таких, что \ц(х) + < Cm, хо < ж < 1, где с,,, положительная постоянная,

В третьем параграфе обосновано применение метода регуляризации Тихонова для нахождения функции ц(х). Из дополнительного условия (4) следует, что обратная задача (1)-(4) эквивалентна решению операторного уравнения

(А(л)(г) = ф), 0<t<l, (10)

где оператор (Ац)(Ь) = а и(х, £; д) решение задачи (1)-(3)

при известной функции (г(х). Оператор А рассматривается действующим из множества непрерывных неотрицательных на [0,1] функций в пространство £г[0,1]. Для решения и(х,1;ц) задачи (1)-(3) получена оценка устойчивости по коэффициенту (¿(х).

Лемма 2.3.3 Пусть функции ^(х) и неотрицательны и непрерывны на [0,1], а функции ц(х) и <р{х) положительны и непрерывны на [0,1]. Тогда

\и{х,г\т) ~и(х,Ь;ц2)\ < 1%1 -/¿2||с[о,1], 0 < х,Ь < 1,

где Б положительная константа.

Из устойчивости решения задачи (1)-(3) по коэффициенту /л(х) следует непрерывность оператора А. Приближенное решение операторного уравнения (10) может быть найдено с помощью минимизации функционала Тихонова

М*Ш) = \\(А„Ш - ч + а(,5)||м(а;)||^[011], (11)

где а(5) > 0 должным образом зависит от <5.

В четвертом параграфе приведены результаты численных экспериментов нахождения функции ц(х) с использованием итерационного метода (9) и метода регуляризации Тихонова (11).

В пятом параграфе построен итерационный метод для численного определения коэффициента р(х) по дополнительной информации (4). При этом предполагается, что функции и ц{х) известны. На части

области определения [0, сто] функция <р(х) может быть вычислена по формуле

<р(х) = с(жо — х) exp^ ¡j,(a)da}, 0<x<xq. (12)

При х € [жо, 1] задача сведена к интегральному уравнению Вольтерра 2-го рода для функции <р(х)

1 гг

ф) = F{x) +-—j-- f[q'{s +1 - х) - q{s + 1 - х) х

g(l)exp[-//i(a)cfo-j*o

8+l-Z

x./j.(s + 1 — ж)Ms)expj— J ii{cr)d<j\ds, a?o < x < 1, (13)

где функция F(x) известна. Пусть функции q(x), /¿(х), c(t) положительны и таковы, что q <= С^О, 1], ц <= С[0,1],с £ С^а^ПСЧжоЛ]- Тогда для любой непрерывной на [жо> 1] функции tpo(x), последовательность функций <рп{х), определяемая итерационным методом построенным на основании уравнения (13). сходится равномерно на отрезке [жо, 1] к единственному непрерывному решению <р(х) уравнения (13).

В шестом параграфе обосновано применение метода регуляризации Тихонова для нахождения функции <р{х). Из дополнительного условия (4) следует, что обратная задача эквивалентна решению операторного уравнения

(A<p){t) = c(t), 0 < t < 1, (14)

где оператор (A<p)(t) = u(xo,t;ip), a u(x,t;<p) решение задачи (1)-(3) при известной функции <р(х). Оператор А рассматривается действующим из множества непрерывных неотрицательных на [0,1] функций в пространство ¿г[0,1]. Для решения u(x,t\ ф) задачи (1)-(3) получена оценка устойчивости по коэффициенту <р{х). Из устойчивости решения задачи (1)-(3) по коэффициенту ip(x) следует непрерывность оператора А. Приближенное решение операторного уравнения (14) может быть

найдено с помощью минимизации функционала Тихонова

МаШ) = ||(^)(i) - CiWII^Q.u + (15)

где а(8) > 0 должным образом зависит от 5.

В седьмом параграфе приведены результаты численпых экспериментов нахождения функции <р(х) с использованием итерационного метода основанного на интегральном уравнении (13) и метода регуляризации Тихонова (15).

Во второй главе изложены методы численного решения обратной задачи одновременного определения двух коэффициентов для модели популяции с постоянной скоростью роста. В первом параграфе поставлена обратная задача состоящая в одновременном определении коэффициента скорости смертности объектов ¿¿(я) и плотности начального распределения объектов (р(х) по дополнительной информации о плотности популяции, имеющей вид

u(0,t) = a(t), 0<t<l, u{l,t) = b{t), 0 < t < 1, (16)

где a(t) и b(t) известные положительные функции. Если одна из функций ц(х) или <р{х) известна, то вторая может быть найдена из уравнения

В втором и третьем параграфе предложены два подхода для численного решения этой обратной задачи. Первый состоит в сведении обратной задачи к линейному интегральному уравнению для функции <р(х) и решению этого уравнения итерационным методом. Далее функция ц{х) определяется по функции <р{х). Во втором выводится нелинейное интегральное уравнение для /л(х), которое также решается итерационным методом, а функция <р{х) определяется по найденной /г{х). И в первом и во втором подходе выведены два интегральных уравнения и построены два итерационных метода, соответствующие случаю разрыва решения

(17)

u(x, t) на диагонали и случаю, когда решение непрерывно. И в том и другом случаях предполагается, что известно значение функции <р{х) в нуле.

Во втором параграфе построены два итерационных метода для нахождения функции ¡л{х) для случаев когда условие (7) не выполнено и выполнено соответственно. Для случая, когда условие (7) не выполнено, для неизвестной функции ¡л(х) получено интегральное уравнение

fi(x) = (Ацх)(х), 0<х<1, (18)

где оператор А\ задан следующим образом

{Ащ)(х) - Fi(x)+pi{x)<sq>{-fti{<r)(b} +

А

X I в

+/ii(®) J q(s)a"(x — s) expj—J ¡i{a)da — J fj,(cr)dcr\ds + о se о

+hj(x) Jq(s)b"(l — s + x) expj- jfj,(cr)do^ds,

X X

где функции Fi(x),pi(x) и hi(x) известны. Построен итерационный процесс

fin{x) ={Al^-l)(x), 0 < х < 1, п = 1,2.... (19)

Установлены условия сходимости этого итерационного процесса к положительному решению уравнения (18). Пусть Cm к см некоторые положительные постоянные. Рассмотрим функцию

Дх(®;Cm) = biiiJle-^1-*) + \h1(x)\fq(s)\a"(x - а)\е^'-^Л+

о

1

+1М*)| /- s + 0 < X < 1.

х

Доказана следующая теорема.

Теорема 3.2.1. Пусть функции д(х), a(t), b(t) положительны и таковы, что q € Cl[0, 1], а, 6 6 С2(0,1], а(0) Ф </>(0) и существуют

положительные постоянные Ст, см такие, что справедливы, неравенства

тт {^(я) - Пу(х\ Ст)} > Ст, тах {^(я) + С»п)} < см, хе/од] 1€|о,1)

тах {|Р1(я)|_ х) + М®)!|а"(® - в)| е"^1"^ х х(1 - ® + а)Ж» + Мх)\Iq{s)\b"{l + х)\е~Ст^"~х\з - »)&} < 1.

X

Тогда для любой непрерывной функции ¡ло(х) такой, что Сщ < Цо{х) < см, последовательность функций ¡хп{х), определяемая (19), сходится равномерно на отрезке [0,1] к единственному непрерывному решению //(х) уравнения (18), удовлетворяющему условию с,„ < ¡л(х) < см-

После определения функции ¡л{х) неизвестная функция </з(ж) находится из формулы (17).

Аналогичные результаты получены для задачи определения функции ц(х) при выполнении условия (7).

В третьем параграфе второй главы выведены два итерационных метода для нахождения функции ц>(х) для случая когда условие (7) не выполнено и выполнено соответственно. Для обоих итерационных методов доказаны теоремы сходимости при определенных условиях, наложенных на известные функции. Неизвестная функция ц(х) находится из уравнения (17) при подстановке полученной с помощью итерационных методов функции х).

В четвертом параграфе обосновано применение метода регуляризации Тихонова для одновременного нахождения функций ц>(х) и ц(х). Из дополнительных условий (16) следует, что обратная задача (1)-(3),(16) эквивалентна решению операторного уравнения

№;#>})(«) = {а(*);*(<)}, 0<t<l, (20)

где оператор А задан следующим образом

<р})(£) = {и(0, ц, <р);и(1, ¿;Л <?)}, 0 < £ < 1,

а /х, 93) решение задачи (1)-(3) при известных функциях /¿(ж) и <р(х). Оператор А рассматривается действующим из пространства С+{0,1] X С+[0,1] в пространство 1^0,1] х Ьг[0,1], где С+[0,1] множество непрерывных неотрицательных на отрезке [0,1] функций с равномерной метрикой. Получена оценка устойчивости решения задачи (1)-(3) по коэффициентам ц(х) и <р(х). Из устойчивости решения задачи (1)-(3) по коэффициентам /г(ж) и ¡р(х) следует непрерывность оператора А. Приближенное решение операторного уравнения (20) может быть найдено с помощью минимизации функционала Тихонова

= !№; <?})(*) - + +а(<0 (| 1МЖ)1 1^(0,1] + 1^(^)11^(0,1]). (21)

где а(6) > 0 должным образом зависит от 6.

В пятом параграфе приведены результаты численных экспериментов нахождения функций ц(х) и р(х) с использованием полученных итерационных методов и метода регуляризации Тихонова (21).

Третья глава посвящена обратной задаче для модели популяции биологических объектов с переменной скоростью роста. Рассмотрена модель популяции с переменной скоростью роста объектов

Щ + (ди)х = -ци, 0 < х < 1, Ь > 0, (22)

1

д(0)и(0, ¿) = I г(5)и(5, ¿)(?5, 4 > О, (23)

о

и(х, 0) = <р(х), 0 < х < 1. (24)

Здесь и(х, £) — плотность объектов размера х в момент времени <, д{х) — коэффициент скорости роста объектов, (¿(х)—коэффициент скорости смертности объектов, <р(х) — начальное распределение плотности объ-

ектов и ц(х) — относительный коэффициент скорости рождения объектов. Функции д(х),(л(х),(р(х) и д(х) непрерывны и положительны.

Обратная задача состоит в определении коэффициента скорости роста объектов д{х) по дополнительной информации о плотности популяции, являющейся функцией времени и имеющей вид

и(х0,Ь)=с{г), 0<х0<1, 0<г<1, (25)

где с(Ь) известная положительная функция и хц фиксированная точка.

В первом параграфе найдено решение задачи (22)-(24) для положительных непрерывных функций q(x), ¡л,(х), <р(х) и д(х).

Во втором параграфе построены итерационные методы для численного определения коэффициента д(х) по дополнительной информации (25). Пусть функции ц(х)^(х) и ф(х) заданы, а д(х) неизвестна. Требуется определить эту функцию, если задана дополнительная информал ция (25) о решении задачи (22)-(24). Метод решения основан на выводе нелинейного интегрального уравнения для функции д(х) сначала на отрезке [0,жо]» а затем построении другого нелинейного интегрального уравнения для определения этой функции на отрезке [жд, 1]. Предполагается, что значение д(хо) известно. Получено нелинейное интегральное уравнение

Хо ^

д(х) = д(х0)Цш! ехр{/^у^}. О < я < (26)

и на его основе построен итерационный процесс для определения неизвестной функции д(х) на отрезке [0, а'о]

9п(х) = д(хо) ехр{/0<х<хо, п= 1,2... .(27)

Доказана теорема устанавливающая условия сходимости итерационного процесса (27).

Теорема 4.2.1. Пусть выполнены следующие условия: функции ц{х) и <р{х) положительны и непрерывны на отрезке [0, го]/ существует положительная постоянная дт такая, что функция c(i) положительная на отрезке [0, удовлетворяет условию Липшица на этом отрезке и

Тогда уравнение (26) имеет единственное непрерывное на [0, а?о] решение д(х), удовлетворяющее условию д{х) > дт> х € [О, аг0] и для любой непрерывной функциидо(х) такой, чтодо(х) >дт, х е [0,жо]( последовательность функций дп(х), определяемая итерационным процессом (27), сходится кд{х) равномерно на отрезке [0, жо].

Для определения функции д(х) на отрезке [жо, 1], в предположение о том, что известные функции ¡г(х),д(х) и (р(х) являются постоянными, также получено интегральное уравнение, построен итерационный процесс и доказана теорема о его сходимости. Приведены результаты численных экспериментов с использованием полученных итерационных методов.

В третьем параграфе главы для определения неизвестной функции д(х) применен метод регуляризации Тихонова. Из дополнительного условия (25) следует, что обратная задача (22)-(25) сводится к решению операторного уравнения

где оператор (Ад)(1) = и(хо,Ь]д), а и(х,Ь,д) решение задачи (22)-(24) при известной функции д(х). Оператор А рассматривается действующим из пространства непрерывных положительных на отрезке [0,1] функций с равномерной метрикой в пространство Хг[0,Т]. Приближенное решение операторного уравнения (28) может быть найдено с помощью минимизации функционала Тихонова

(Ag)(t)=c(t), 0 <t<T,

(28)

Ма(д) = Ц(Ш) - ^(i)llL[o,n + (29)

где а(5) > 0 должным образом зависит от S. В конце параграфа приведены результаты численных экспериментов с использованием метода регуляризации Тихонова (29).

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Основные результаты. Поставлены и исследованы обратные задачи для модели популяции с постоянной скоростью роста объектов, состоящие в определении скорости смертности объектов или плотности их начального распределения. Получены интегральные уравнения для неизвестных функций. Предложены, обоснованы и реализованы итераг ционные методы и метод регуляризации Тихонова для численного определения неизвестных коэффициентов. Проведен ряд вычислительных экспериментов.

Изучена обратная задача одновременного определения скорости смертности объектов и плотности их начального распределения для модели популяции с постоянной скоростью роста объектов. Исследованы и реализованы итерационные методы и метод регуляризации Тихонова для численного решения обратной задачи. На основе полученных итерационных методов и метода регуляризации Тихонова получены численные результаты.

Поставлена и исследована обратная задача для математической модели популяции с переменной неизвестной скоростью роста биологических объектов. Выведены нелинейные интегральные уравнения для функции скорости роста, предложены и обоснованы численные методы для определения функции скорости роста. С помощью предложенных методов проведены вычислительные эксперименты.

Список публикаций:

[1] Денисов A.M., Макеев A.C. Обратная задача для модели популяции // Тез. докл. VIII конференции "Обратные и некор-

рекгно поставленные задачи", Москва, МГУ, ф-т ВМиК. М: МАКС Пресс, 2003. С.20.

[2] Денисов А.М., Макеев A.C. Итерационные методы решения обратной задачи для одной модели популяции // ЖВМиМФ.

2004. 44. №8. С.1480-1489.

[3] Макеев А. С. Методы решения обратных задач для модели популяции // Вест. Моск. Ун-та. Сер. 15. Выч. матем. и киберн.

2005. №3. С.3-16.

[4] Макеев А. С. О численном решении двух обратных задач для модели популяции // Материалы Международ, конф. студ. и аспиран. по фундамент, наукам "Ломоносов 2005", секция "Вычислительная математика и кибернетика", Москва, МГУ. М: МАКС Пресс, 2005. С.36.

[5j Денисов A.M., Макеев A.C. Численный метод решения обратной задачи для модели популяции // ЖВМиМФ. 2006.46. №3. С.490-500.

[6] Макеев A.C. О численном решении обратной задачи для одной модели популяции // Тихонов и современная математика: Обратные и некорректно поставленные задачи: Международная конференция, Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 19-25 июня 2006г.: Тезисы докладов секции №4. - М: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова, 2006. С.123.

[7] Макеев А. С. Применение метода регуляризации Тихонова для решения обратных задач для двух моделей популяции // Прикл. матем. и информ. 2006. №23. С.5-14.

Напечатано о готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 30.08.2006 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печл. 1,0. Тираж 70 экз. Заказ 577. Тел. 939-3890. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

¿fff-J-

Ç 2 1 В 71' »2187^

1 Введение

2 Глава 1. Обратные задачи определения одного из коэффициентов в модели популяции с постоянной скоростью роста объектов.

2.1 Модель популяции с постоянной скоростью роста объектов.

2.2 Задача определения скорости смертности объектов ц{х) и итерационный метод ее решения.

2.3 Метод регуляризации Тихонова для нахождения коэффициента fi(x).

2.4 Численные результаты решения задачи нахождения коэффициента ц(х).

2.5 Задача определения плотности начального распределения объектов ц>(х) и итерационный метод ее решения.

2.6 Метод регуляризации Тихонова для нахождения плотности <р(х).

2.7 Численные результаты решения задачи нахождения начальной плотности ip(x).

3 Глава 2. Обратная задача одновременного определения двух неизвестных коэффициентов в модели популяции с постоянной скоростью роста объектов.

3.1 Задача одновременного определения скорости смертности объектов ц(х) и плотности их начального распределения Ф).

3.2 Итерационные методы для определения коэффициента ц(х).

3.3 Итерационные методы для определения плотности <р(х).

3.4 Метод регуляризации Тихонова для нахождения коэффициента ц(х) и плотности ip(x).

3.5 Численные результаты решения задачи одновременного нахождения коэффициента ц(х) и плотности <р{х).

4 Глава 3. Обратная задача определения скорости роста объектов в модели популяции с переменной скоростью роста объектов.

4.1 Модель популяции с переменной скоростью роста объектов.

4.2 Задача определения скорости роста объектов д(х) и итерационный метод ее решения.

4.3 Метод регуляризации Тихонова для нахождения коэффициента д(х).

В настоящее время одной из наиболее важных сфер приложения математических методов является биология. Многообразие и сложность возникающих в биологии задач обуславливают необходимость использования численных методов и современных ЭВМ для их решения. Математическое моделирование используется при исследовании разнообразных биологических процессов. При этом, во многих случаях некоторые параметры математических моделей, являющиеся важными характеристиками изучаемого процесса, неизвестны и могут быть определены только на основе косвенных измерений. Это означает, что необходимо решать обратные задачи состоящие в определении параметров математических моделей по имеющейся дополнительной информации о решении соответствующих задач.

Теория обратных задач - одна из быстро развивающихся областей современной математики. Обратные задачи возникают при обработке и интерпретации результатов экспериментов, ставящих своей целью исследование различных свойств физических объектов и процессов, вызывающих затруднение для непосредственного наблюдения. Одна из основных сложностей, возникающая при решении обратных задач, состоит в том. что по большей части такие задачи являются некорректно поставленными. Решение обратных задач может не существовать, быть не единственным и быть неустойчивым по отношению к изменениям исходных данных. Это создает существенные трудности при решении обратных задач поскольку дополнительная информация известна не точно, а лишь приближенно. Поэтому построение устойчивых численных методов решения обратных задач имеет большое значение. Развитие теории и методов решения некорректных задач началось с фундаментальной работы А.Н.Тихонова [24]. в которой был предложен принцип устойчивого решения обратных задач. В дальнейшем теория обратных задач и методы их решения были развиты в работах А.Н.Тихонова, М.М.Лаврентьева. В.К.Иванова и целого ряда других авторов [2], [3], [6]. [8], [12], [13], [15], [19], [20], [23], [25], [27], [28], [29].

Важным направлением в математическом моделировании биологических процессов являются популяционные модели, основанные на дифференциальных уравнениях в частных производных. Модели популяции биологических объектов описывают поведение совокупности объектов, которая задается функцией плотности объектов. Плотность объектов популяции характеризуется параметром, которым объекты отличаются друг от друга, это может быть размер или возраст объекта, и временем. Итак, функция плотности объектов популяции - это плотность объектов определенного размера (возраста) в момент времени. Также моделями популяции описываются биологические процессы, которым подвержены объекты популяции, например, смертность объектов, их рождаемость, рост объектов во времени и многие другие. Количество коэффициентов описывающих поведение объектов модели может варьироваться от двух-трех до десятков. В настоящее время в этой области поставлено и исследовано большое количество моделей популяций биологических объектов.

Рассмотрим некоторые модели популяций. В работе [50] изучена одна из моделей популяций, в которой учитываются только две характеристики объектов — смертность и рождаемость. п(а, t)а + п(а, t)t = —/i(a)n(a, t). Aq < a < a\. 0 < t, ai n(0.t) = J q(s)n(s,t)ds, 0 < t, a0 n(a, 0) = no (a), ao < a < a j, где n(a, t) — плотность объектов возраста а в момент времени t, ji(a) — коэффициент скорости смертности объектов, Lp(a) — начальное распределение плотности объектов и g(a) - относительный коэффициент скорости рождения объектов. Следует заметить, что переменную а можно трактовать и как возраст объектов популяции, и как размер объектов популяции, тогда при одинаковой математической записи можно получить две разные по смыслу описываемых физических процессов модели.

В работе [43] в вышеописанную модель добавляется характеристика д(х). описывающая скорость роста объектов популяции. и(х, t)f, + (д(х)и(х. t))x = -fi(x)u(x, t). О < х < 1, t > О, 1 p(0)u(0, t) = J q(s)u(s. t)ds, t > 0, о u{x,0)=(p{x), 0<x<l.

В данном случае переменная х описывает размер объекта популяции.

В ряде математических моделей популяций учитывается вероятностный характер популяционных процессов, например, таких как вероятность соединения двух объектов популяции в один или вероятность разделения одного объекта на два меньших по размеру [32].[36]. Некоторые другие модели популяций биологических объектов можно найти в [33], [34], [35], [40], [41], [42], [44].

Для моделей популяции биологических объектов ставятся обратные задачи, состоящие в определении неизвестных коэффициентов модели по дополнительной информации о решении краевой задачи. Не смотря на то, что широко применяются различные математические подходы и методы к решению популяционных задач, обратные задачи определения неизвестных коэффициентов для этих моделей исследованы в меньшей степени. Поэтому постановка и исследование таких обратных задач, а так же построение численных методов решения обратных задач для моделей популяций видятся актуальными для развития математических методов анализа биологических процессов.

В работе [32] и некоторых других ставятся обратные задачи определения неизвестных коэффициентов моделей популяции. Так в [32] обосновывается применение метода наименьших квадратов для определения скорости роста объектов, относительной скорости рождения объектов, вероятностей соединения и разделения объектов по дополнительной информации о структуре популяции в некоторые моменты времени.

Диссертационная работа посвящена исследованию и численному решению некоторых обратных задач для двух моделей популяции биологических объектов. Такие модели популяций возникают при исследовании свойств популяций фитопланктонов, являющихся одними из важных участников производственного процесса в мировом океане [35],[43].[44],[50],[51]. Из-за увеличения содержания углекислого газа в земной атмосфере и его влияния на глобальное изменение климата, важно понимать поведение популяций фитопланктонов, участвующих в процессе переработки углерода в мировом океане, Поэтому изучение задач такого типа представляет несомненный интерес как с практической так и с теоретической точки зрения. Диссертация состоит из трех глав.

Первая глава посвящена обратным задачам для модели популяции биологических объектов с постоянной скоростью роста и разработке численных методов их решения.

В первом параграфе рассмотрена модель популяции биологических описываемая уравнением щ + их = -ф)и, 0<х<1, 0 < t < 1, (1) краевым условием 1 u(0,t) = J q{s)u{s,t)d.s., 0 <t <1. (2) о и начальным условием ф,0) = ф), 0<х<1, (3) где u(x,t) — плотность объектов размера х в момент времени t, fi(x) — коэффициент скорости смертности объектов. <р(х) — начальное распределение плотности объектов и q(x) — относительный коэффициент скорости рождения объектов. Для модели (1)-(3) рассмотрены две обратные задачи. Обратные задачи состоят в определении коэффициента скорости смертности объектов ц(х) или плотности начального распределения объектов (р(х) по дополнительной информации о плотности популяции; являющейся функцией времени и имеющей вид u{x0.t) = c(t), 0<х0<1, 0<£<1, (4) где c(t) известная положительная функция и xq фиксированная точка.

Во втором параграфе строится итерационный метод для численного определения коэффициента /л(х) по дополнительной информации (4). Для этого задача (Г)-(4) сводится к нелинейному интегральному уравнению для функции ji{x). На основании полученного уравнения строится итерационный метод и доказывается теорема о его сходимости при некоторых ограничениях на известные функции q(x) и (р(х) на классе непрерывных функций ц{х).

В третьем параграфе обосновывается применение метода регуляризации Тихонова для нахождения функции fi(x) для обратной задачи (1)-(4). Для этого получена оценка устойчивости решения и(х, t) задачи (1)-(3) по коэффициенту fi(x).

В четвертом параграфе приведены результаты вычислительных экспериментов решения обратной задачи нахождения коэффициента ц{х).

В пятом параграфе строится итерационный метод для численного определения коэффициента ip(x) по дополнительной информации (4). Для этого задача (1)-(4) сводится к интегральному уравнению Вольтер-ра 2-го рода для функции (р(х).

В шестом параграфе обосновывается применение метода регуляризации Тихонова для нахождения функции ip(x) для обратной задачи

1)-(4).

В седьмом параграфе приведены результаты вычислительных экспериментов решения обратной задачи нахождения коэффициента ip(x).

Во второй главе изложены, методы численного решения обратной задачи одновременного определения двух коэффициентов для модели популяции с постоянной скоростью роста.

В первом параграфе поставлена обратная задача, состоящая в одновременном определении коэффициента скорости смертности объектов jj,{x) и плотности начального распределения объектов ip(x) по дополнительной информации о плотности популяции, имеющей вид и(0, t) = a{t), 0<t<l, и{ 1, t) = bit), 0 < t < 1, (5) где a(t) и b(t) известные положительные функции.

Во втором параграфе выводятся два итерационных метода для численного нахождения функции ц(х) для случая непрерывности решения задачи (1)-(3) и случая его разрыва на диагонали х = t Для обоих итерационных методов доказаны теоремы сходимости при определенных условиях, наложенных на известные функции. Показано, что неизвестная функция (р(х) может быть найдена из некоторого уравнения при подстановке в него полученной с помощью итерационных методов функции /л(х).

В третьем параграфе, таким же как и во втором параграфе образом, строятся два итерационных метода для численного нахождения функции <р(х). Для обоих итерационных методов доказаны теоремы сходимости при определенных условиях, наложенных на известные функции.

В четвертом параграфе обосновывается применение метода регуляризации Тихонова для решения обратной задачи (1)-(3),(5). Для этого получена оценка устойчивости решения u(x,t) задачи (1)-(3) по коэффициентам ji{x) и <р(х).

В пятом параграфе приведены результаты вычислительных экспериментов решения обратной задачи одновременного нахождения коэффициента <р(х) и плотности <р(х).

Третья глава посвящена обратной задаче для модели популяции биологических объектов с переменной скоростью роста.

В первом параграфе рассмотрена модель популяции биологических описываемая уравнением

Щ + (ди)х = -/ли, 0 < х- < 1, t> 0, (6) краевым условием 1

0)u(0, t) = f q{s)u{s, t)ds, t > 0. (7) о и начальным условием и{х, 0) = ф), 0 <х < 1, (8) где u(x.t) — плотность объектов размера' х в момент времени t, д(х) — коэффициент скорости роста объектов, ф) — коэффициент скорости смертности объектов. <р(х) — начальное распределение плотности объектов и q(x) — относительный коэффициент скорости рождения объектов. Обратная задача состоит в определении коэффициента скорости роста объектов д(х) по дополнительной информации о плотности популяции. являющейся функцией времени и имеющей вид и{х о, t) = c(t), 0 < х0 < 1, 0<t<l, (9) где c(t) известная положительная функция и xq фиксированная точка.

Во втором параграфе строятся итерационные метода для численного определения коэффициента д(х) по дополнительной информации (9). Метод решения основан на выводе нелинейного интегрального уравнения для функции д(х) сначала на отрезке [О.жо], а затем построении другого нелинейного интегрального уравнения для определения этой функции па отрезке [xq. 1]. На основе обоих нелинейных интегральных уравнений построены итерационные методы и доказаны теоремы устанавливающие условия сходимости итерационных методов при некоторых ограничениях наложенных на известные функции.

В третьем параграфе главы для определения неизвестной функции д(х) применяется метод регуляризации Тихонова.

Для всех рассмотренных численных методов решения обратных задач приведены результаты вычислительных экспериментов, показавшие эффективность разработанных численных методов.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [9], [10], [11], [16], [17], [18].

5 Заключение

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертационной работе:

1. Поставлены и исследованы обратные задачи для модели популяции с постоянной скоростью роста объектов, состоящие в определении скорости смертности объектов или плотности их начального распределения. Получены интегральные уравнения для неизвестных функций. Предложены, обоснованы и реализованы итерационные методы и метод регуляризации Тихонова для численного определения неизвестных коэффициентов.

2. Изучена обратная задача одновременного определения скорости смертности объектов и плотности их начального распределения для модели популяции с постоянной скоростью роста объектов. Исследованы и реализованы итерационные методы и метод регуляризации Тихонова для численного решения обратной задачи.

3. Поставлена и исследована обратная задача для математической модели популяции с переменной неизвестной скоростью роста биологических объектов, Выведены нелинейные интегральные уравнения для функции скорости роста, предложены, обоснованы и реализованы численные методы для решения обратной задачи.

1. Агошков В,И, Методы оптимального управления и сопряженных уравнений в задачах математической физики. М: ИВМ РАН, 2003.

2. Бакушинский А.Б. Гончарский А.В. Итеративные методы решения некорректных задач. М: Наука. 1989.

3. Бакушинский А.Б., Гончарский АВ. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М: Изд-во Моск. ун-та, 1989.

4. Братусъ А. С., Новожилов А.С., Мещсрин АВ. Математические модели взаимодействия загрязнений с окружающей средой // Вест. Моск. Ун-та. Сер. 15. Выч. матем. и киберн. 2001. 1. С.23-28.

5. Братусъ А. С. О свойствах решений одного класса изоперимет-рических задач оптимизации устойчивости // Прикл. Матем. и Мех. 1994. 54. 28. С. 86-95.

6. Бухгейм А.Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние. 1983.

7. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М: Наука, 1988.

8. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. М: Изд-во Моск. ун-та, 1994.

9. Денисов A.M. Макеев А.С. Итерационные методы решения обратной задачи для одной модели популяции // ЖВМиМФ. 2004. 44. №8. С.1480-1489.

10. Денисов A.M. Макеев А.С. Обратная задача для модели популяции // Тез. докл. VIII конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи". Москва. МГУ, ф-т ВМиК. М: МАКС Пресс, 2003. С.20.

11. Денисов A.M., Макеев А. С. Численный метод решения обратной задачи для модели популяции // ЖВМиМФ. 2006. 46. .№3. С.490-500.

12. Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах. // Матем. сб. 1963. 61. 2. С. 211-223.

13. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М: Наука, 1978.

14. Колмогоров А.Н. Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1968.

15. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.

16. Макеев А. С. Методы решения обратных задач для модели популяции // Вест. Моск. Ун-та. Сер. 15. Выч. матем. и киберн. 2005. .№3. С.3-16.

17. Макеев А. С. О численном решении двух обратных задач для модели популяции // Материал Международ, конф. студ. и ас-пиран. по фундамент, наукам "Ломоносов 2005", секция "Вычислительная математика и кибернетика". Москва, МГУ. М: МАКС Пресс, 2005. С.36.

18. Макеев А. С. Применение метода регуляризации Тихонова для решения обратных задач для двух моделей популяции // Прикл. матем. и информ. 2006. №23. С.5-14.

19. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М: Наука, 1987.

20. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М: Наука, 1984.

21. Самарский А.А. Теория разностных схем. М: Наука, 1989.

22. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М; Наука,1989.

23. Тихонов А.Н.О регуляризации некорректно поставленных задач // Докл. АН СССР. 1963. 153. 1. С.49-52.

24. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // Докл. АН СССР. 1943. 39. т.5. С.195-198.

25. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М: Наука, 1974.

26. Тихонов А.Н. Васильева А.В. Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М: Наука, 1980.

27. Тихонов А.Н. Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Регуляризирующие алгортмы и априорная информация. М: Наука, 1983.

28. Тихонов А.Н., Гончарский А.В. Степанов В.В. Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М: Наука,1990.

29. Тихонов А.Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. М: Наука, 1995.

30. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М: Наука, 1977.

31. Шутяев В.П. Операторы управления и итерационные алгоритмы в задачах вариационного усвоения данных. М: Наука. 2001.

32. Ackleh A.S. Parameter estimation in size-structured coagulation-fragmentation phytoplankton population model // Nonlinear Anal. 1997. 28. P.837-854.

33. Ackleh A.S. Parameter estimation in the nonlinear size-structured population model // Advances in Systems Science and Applications. Special Issue. 1997. P. 315-320.

34. Ackleh A.S. Parameter identification in size-structured population models with nonlinear individual rates // Math. Comput. Modelling. 1999. 30. P.81-92.

35. Ackleh A.S.} Deng K. Monotone method for first order nonlocal hyperbolic initial-boundary value problems // Applic. Analys. 1997. 67. P.283-293.

36. Ackleh A.S., Fitzpatrick B.G. Modeling aggregation and growth processes in ail algal population model: analysis and computation // J. Math. Biol. 1997. 35. P.480-502.

37. Agoshkov V. Quarteroni A. Rozza G. Shape design in aorto-coronaric bypass anastomoses using perturbation theory // SIAM J. Numer. Anal. 2006. 44. 1. P.367-384.

38. Agoshkov V.I. Optimal control methods in inverse problems and computational processes // J. Inv. Ill-Posed Problems. 2001. 9. 3. P.205-218.

39. Agoshkov V.I. Dubovski P.B. Solution of the reconstruction problem of a source function in the coagulation-fragmentationequation // Russ. J. Numer. Anal. Math Modelling. 2002. 17. 4. P.319-330.

40. Banks H.T. Some remarks on estimation for size-structured population models // Springer-Verlag. Berlin. Lecture Notes in Biomathematics. 1994. 100. P.609-623.

41. Banks H.T. Botsford L.W., Kappel F., Wang C. Estimation of growth and survival in size-structured cohort data: An application to larval striped bass (Morone Saxatilis) // J. Math. Biol. 1991. 30. P.125-150.

42. Banks H.T,, Fitzpatrick B.G. Estimation of growth rate distributions in size structured population models // Quart. Appl. Math. 1991. 49. P.215-235.

43. Banks H.T., Kappel F. Transformation semigroups and Ll~ approximation for size structured population models / / Semigroup Forum. 1989. 38. P.141-155.

44. Banks H.T., Kappel F. Wang C. Weak solutions and differentiability for size structured population models // Internat. Ser. Numer. Math. 1991. 100. P.35-50.

45. Bratus A. Condition of Extremum for Eigenvalue of Elliptic Boundary value Problem // IJour. Optimization Theory and Appl. 1991. 3. P. 413-441.

46. Bratus A. On Static Stability of Elastic Nonconservative Mechanical Systems with Small Damping // Dynamical Problems of Rigid-Elastic Systems and Structure Spriger-Verlag. '1991. P. 37-42.

47. Bratus A. On Various Cases of Instability for Elastic

48. Nonconservative Systems with Damping // Intern. Journ. Solids and Structures. 1993. 30. 24. P. 3431-3441.

49. Kochikov I. V., Kuramshina G.M. Yagola A.G. Inverse problems of vibrational spectroscopy as nonlinear ill-posed problems j j Surveys on Mathematics in Industry. 1998. 8. P. 63-94.

50. Leonov A.S. Yagola A.G. Special regularizing methods for ill-posed problems with sourcewise represented solutions // Inverse Problems. 1998. 14. P. 1-12.

51. Murray J.D. Biology. New York: Springer, 1993.

52. Sinko J.W. Streifer W. A new model for age-sized structure for a population // Ecology. 1967. 48. P.910-918.