Восстановление граничной функции в задаче распространения поверхностных волн в открытой акватории

Дементьева, Екатерина Васильевна

Восстановление граничной функции в задаче распространения поверхностных волн в открытой акватории тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Дементьева, Екатерина Васильевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Красноярск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Восстановление граничной функции в задаче распространения поверхностных волн в открытой акватории»

Автореферат диссертации на тему "Восстановление граничной функции в задаче распространения поверхностных волн в открытой акватории"

На правах рукописи

Дементьева Екатерина Васильевна

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ГРАНИЧНОЙ ФУНКЦИИ В ЗАДАЧЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН В ОТКРЫТОЙ АКВАТОРИИ

01.01.07 — вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

9 ЯНВ 2014

Красноярск — 2013

005544412

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте вычислительного моделирования Сибирского отделения Российской академии наук (ИВМ СО РАН)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

член-корреспондент РАН Шайдуров Владимир Викторович

Официальные оппоненты: Кабанихин Сергей Игоревич,

доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, заведующий лабораторией Агошков Валерий Иванович, доктор физико-математических наук, профессор,

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт вычислительной математики Российской академии наук, главный научный сотрудник

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

учреждение науки Институт прикладной математики Дальневосточного отделения Российской академии наук

Защита состоится 22 января 2014 года в 16 часов 30 минут па заседании диссертационного совета Д 003.061.01 па базе Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук (ИВМиМГ СО РАН) по адресу: 630090, г. Новосибирск, просп. академика Лаврентьева, 6.

С диссертацией можно ознакомиться и библиотеке ИВМиМГ СО РАН.

Автореферат разослан 18 декабря 2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, У

д.ф.-м.н. —' Рогазинский Сергей Валентинович

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Описание динамики распространения поверхностных воли в открытых акваториях, связанных с мировым океаном, является актуальной задачей численного моделирования. Широко распространены модели на основе уравнений мелкой воды (Вольцигтгер H. Е., Гшгл А., Железняк М. И., Каган Б. А., Марчук Г. И., Пелиновский Е. Н., Федотова 3. И., Хакимзянов Г.С., Чубаров Л. Б. Stoker J. J., Whitham G. и др.). Введение в модель открытой границы по морю позволяет учитывать влияние океана на рассматриваемую область, которое обычно описывается граничной функцией в краевом условии (Агошков В. И., Баклановская В.Ф., Quarteroni A., Öliger J., Saleri F. и др.). На практике граничная функция, как правило, неизвестна и ее следует найти вместо с другими неизвестными модели (скоростями и возвышением свободной поверхности). В связи с этим актуальна обратная задача о восстановлении граничной функции с использованием дополнительной информации, полученной в ходе наблюдений за поведением свободной поверхности на границе по морю. При разработке методик решения обратной задачи необходимо учитывать, что данные наблюдений могут быть известны только на части открытой границы или с некоторой погрешностью. Такие задачи в большинстве случаев некорректны, поэтому для их решения с приемлемой точностью необходимо использовать методы решения некорректных задач (Агошков В. И., Алексеев Г. В., Бакушинский А. Б., Вайникко Г. М., Васильев Ф. П., Васин В.В., Иванов В. К., Кабанихин С. И., Лаврентьев М.М., Пененко В. В., Романов В. Г., Тихонов А. Н., Ягода А. Г., Engl H. V., Klibanov M., Uhlman G., Wang Y.-F.. Yang С. и др.).

Численное решение обратной задачи о восстановлении граничной функции требует большого объема вычислений, что делает актуальным создание эффективного параллельного программного обеспечения.

Цель исследования - разработка, исследование и реализация на SMP-узловом кластере итерационного численного алгоритма решения обратной задачи о восстановлении граничной функции для уравнений мелкой воды в открытой акватории.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи.

1. Доказаны существование и единственность решения обратной задачи о восстановлении граничной функции для уравнений мелкой воды.

2. Некорректная обратная задача сведена к корректно поставленной Задаче оптимального управления на минимизацию функционала, включающего стабилизирующий по А. Н. Тихонову функционал.

3. Предложены и обоснованы три вида стабилизирующего по А. Н. Тихонову функционала для задачи минимизации.

4. Построен итерационный численный метод восстановления граничной функции на границе по морю.

5. Доказана теорема о сходимости предложенного итерационного алгоритма к решению исходной обратной задачи в слабом смысле.

6. Разработано эффективное параллельное программное обеспечение для SMP-узлового кластера с использованием технологий MPI, ОрепМР и MPI-f ОрепМР для численного решения обратной задачи о восстановлении граничной функции.

7. Проведены вычислительные эксперименты для акватории Охотского моря по восстановлению граничной функции по данным наблюдений различного качества — гладким, с наложением белого шума, с пропусками.

Методы исследования. В диссертации используются фундаментальные результаты и методы теории некорректных и обратных задач, оптимального управления и сопряженных уравнений, функционального анализа и уравнений математической физики, теории итерационных методов, вычислительный эксперимент.

На защиту выносятся следующие результаты, соответствующие паспорту специальности 01.01.07 — вычислительная математика.

1. Предложен и реализован итерационный численный алгоритм решения обратной задачи о восстановлении граничной функции для уравнений мелкой воды в открытой акватории по данным наблюдений о возвышении свободной поверхности на границе по морю.

2. Доказана теорема о сходимости предложенного итерационного алгоритма к решению обратной задачи о восстановлении граничной функции.

3. Создан эффективный параллельный программный комплекс для SMP-узлового кластера с использованием технологий MPI, ОрепМР и МР1+ОрепМР, предназначенный для решения обратной задачи о восстановлении граничной функции.

Научная новизна иыносимых на защиту результатов заключается в следующем.

1. Для обратной задачи о восстановлении граничной функции для уравнений мелкой воды в открытой акватории впервые разработан, обоснован и численно реализован итерационный метод, позволяющий восстановить граничную функцию по данным наблюдений о возвышении свободной поверхности, заданным с погрешностью или только на части границы по морю.

2. Создан оригинальный программный комплекс, предназначенный для эффективного решения обратной задачи о восстановлении граничной функции на высокопроизводительных системах с общей, распределенной памятью и на SMP-узловом кластере.

Достоверность и обоснованность результатов обеспечивается применением строгих математических доказательств и верификацией построенных алгоритмов на задачах с известными решениями.

Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая значимость диссертационной работы состоит в обосновании предлагаемого алгоритма, а также в примененной методике на основе теории оптимального управления и сопряженных уравнений, позволившей восстановить неизвестные данные на всей границе по дополнительной информации с части границы. Практическая ценность работы заключается в возможности применения разработанного программного комплекса при решении широкого класса задач моделирования поверхностных волн в больших открытых акваториях.

Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на научном семинаре ИМФИ СФУ «Компьютерное решение многомерных задач» и на следующих конференциях: Международная конференция, посвященная 90-летию со дня рождения академика H.H. Янсн-ко (Новосибирск, 2011); Международная конференция «Математические и информационные технологии, MIT-2011» (Сербия, Черногория, 2011); 11th International Conference on Parallel Computing Technologies, PaCT-2011 (Казань, 2011); XII, XIII и XIV Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2011, 2012, 2013); Шестая международная конференция «Inverse Problems: Modeling and Simulation» (Турция, 2012); 5th Conference on Numerical Analisis and Applications (Болгария, 2012); Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева (Новосибирск, 2012); Международная молодежная научная школа-конференция «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» (Новосибирск, 2012, 2013); Международная конференция «European Numerical Mathematics and Advanced Applications, ENUMATH» (Швейцария, 2013).

Основные результаты диссертации опубликованы в 15 печатных работах, включая (в скобках в числителе указан общий объем этого типа публикаций в печатных листах, в знаменателе - объем принадлежащий лично автору) 4 статьи в периодических изданиях, рекомендованных ВАК (3.4/2.2), 1 статью в международном рецензируемом журнале (1.68/0.8), 10 статей в трудах конференций (5.7/4.0).

Личный вклад. Результаты, составляющие основное содержание диссертации, получены автором самостоятельно. Во всех совместных работах автор участвовал в формулировках постановок задач, совместно осуществлял теоретические исследования по ускорению вычислений, самостоятельно обосновывал итерационные алгоритмы, реализовывал параллельный программный

комплекс, выполнял численные расчеты и осуществлял анализ результатов.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации составляет 123 страницы, включая 26 рисунков, 3 таблицы. Список цитируемой литературы содержит 168 наименований.

Содержание диссертации

Во введении дана общая характеристика работы, сформулирована ее цель и научные задачи исследования, обоснована актуальность, представлены результаты работы, выносимые па защиту, а также определена научная новизна, теоретическая к практическая значимость работы.

Первая глава носит обзорный характер. В ней рассмотрены вопросы обоснования корректной постановки краевых задач для уравнений мелкой воды и основные методы решения некорректных и обратных задач, в частности, нормально разрешимых и существенно некорректных.

Вторая глава посвящена разработке и исследованию итерационного алгоритма решения обратной задачи о восстановлении граничной функции для уравнений мелкой воды в открытой акватории.

В разделе 2.1 сформулированы постановки прямой и обратной задач для уравнений мелкой воды.

Пусть (г, Л, 0) — сферическая система координат с началом в центре Земного шара, где 0 < Л < 2тг, - -7г/2 < в < п/2, а г равен среднему радиусу Земли Re- Будем рассматривать вместо угла в утя уэ = в + к/2 € [0; 7г]. Обозначим через Q некоторую область в плоскости переменных (Л, ip) с кусочно-гладкой границей Г класса С^ без пересечений и нулевых углов сопряжения участков гладкости. Причем Г=Г1иГ2, где -береговая граница, а Г2 = Г\Гх — морская граница, разделенные общими точками. Предположим, не теряя общности, что и Г9 разделены только двумя общими точками 7ь 72 £ Г. Обозначим через xi и Хг характеристические функции соответствующих участков границы. Считаем, что полюсы !/з = Ои^ = 7гне входят в

Разобьем рассматриваемый временной отрезок [0, Т] па К интервалов точками 0 = ¿о < ij < ■■• < i/i = Гс шагом т — Т/К. Относительно неизвестных функций и = u{tk, A, ip), v — v(tk. Л, <р) и £ = £(ib Л, ip) в каждый момент времени t^, к = 1,..., К, запишем в i2 дискретизированные но времени уравнения баланса импульсов и уравнение неразрывности:

(I + = h + \uk~\ + Rfy+lu-ng^ = h+l~vk~\

где и, v — компоненты вектора скорости U по осям Ли ip соответственно; £ — отклонение свободной поверхности от невозмущенного уровня; H(\,ip) > 0 — глубина водоема в точке (Л,<р); функция R; = r*\\Jk~l\/H учитывает силу трения о дно, г» — коэффициент трения; I = —2wcos </? — параметр Кориолиса; m = l/(fl£sin<^); п = 1/Re\ 9 ~ ускорение силы тяжести; /i = fi(tk,\,ip), /2 = /¡¡(ifcAv) и /3 = Î3(tk,\,ip) - заданные функции внешних воздействий. Здесь и далее верхний индекс (к — 1) у произвольной функции }к~1 = /(ijt-i, A, ip) означает, что значение берется с предыдущего шага по времени и поэтому считается известным.

Краевые условия рассмотрим в следующем виде:

HUn + Px2^/gH(i = X2VgHd на (О, Т\ х Г, (2)

где Un = uni + vn2 sin ip, a n = (пь n2) — единичный вектор внешней нормали к границе в координатах (А,<^); /3 € (0,1] — заданный параметр; d = d(tk, A, ip) — некоторая граничная функция, заданная на границе Г2 и равная нулю на Гь

Из физических соображений функцию d в краевом условии (2), вообще говоря, не задать. Поэтому для компенсации недостающих данных используем данные из наблюдений о возвышении свободной поверхности

£ = на Г0, (3)

где Го — некоторая часть границы Г. Функция Ç0bs известна по данным наблюдений

на Го G 1 и доопределена нулем на остальной части I.

Задача 1 (Обратная задача). Пусть на фиксированном шаге по времени tkt k = 1 ,К, функция наблюдений £0ьв задана на Го, функция d неизвестна на Г2 и d= 0 на Tj. Найти функции и, v, Ç, d в момент времени tk, удовлетворяющие системе (1), граничному условию (2) и условию замыкания (3).

В разделе 2.2 прямая задача (1) - (2) сформулирована в слабом смысле и показана корректность ее постановки. Обратная задача (1) - (3) записана в операторной форме и для нее доказаны теорема существования и единственности решения.

Сформулируем прямую задачу (1) - (2) в слабом смысле: вектор-функцию Ф = (u, v, <Ç) е W = (Z/2(ii))2 х VVg (Q) будем называть решением задачи (1) - (2) в слабом смысле, если интегральное равенство

а(Ф,Ж) = f(W)+b{d,W) (4)

выполняется для любой вектор-функции W = (wu, w", 11/) € W.

Вид билинейных форм а(Ф, W), b(d,W) и линейной формы /(W) представлен в разделе 2.2 диссертации.

Теорема 1. Задача (1) - (2) разрешима в слабом смысле.

На основании Теоремы 1 показано: задача (1) - (2) корректно поставлена.

Запишем равенства (3), (4) в виде операторных уравнений

АФ = F + Bd, (5)

СФ = и* на Г0 (6)

с операторами А : W —> (L2(i]))3 и В : Ь2(Г2) -» (L2(fl))3 и линейным функционалом F е (L2(ii))3 в (5); с оператором следа С : W —> 1¥21/2(Г0) и правой частью f0(,s £ Ь2 (Г0) в (6). Поскольку Г0 — Липшицева граница, пространство И^^Го) компактно вложено в ¿2 (Го) и, следовательно, задача (5) - (6) существенно некорректна. Для нее верна следующая теорема.

Теорема 2. Если Го = Г2, то задача (5) - (6) единственно и плотно разрешима.

В разделе 2.3 задача (5) - (6) сформулирована в виде задачи оптимального управления. Предложены три вида стабилизирующего функционала. Задача (5) - (6) заменяется следующей задачей оптимального управления. Задача 2. Пусть £0f,s задана на Гц, функция d неизвестна на Г2 и равна нулю наГь Найти вектор-функцию Ф = (u,v, £) €Е W и граничную функцию d € Ь2(Г), которые удовлетворяют операторному уравнению (5) и решают задачу минимизации

JQ(d, Ф^)) = aC(d) + \\СФ - Ы11(г„) - inf. (7)

Здесь C(d) — стабилизирующий (по А.Н. Тихонову) функционал.

В разделах 2.3.2 - 2.3.4 предложены стабилизирующие функционалы следующего вида (нормы в пространстве поиска X функции d):

6'\d) = |М|о,г2 = \ J sT^H (d)2 ds = J A(1) (d)2 ds, d 6 L2(T2), (8)

r2 r2

£{II)(d) = ||d||?iri = | J y/^H (¿w)2 ds = J (A(2)d) d ds, d e W}(T2),

r2 r2

cm(d) = \\d\\^(V2) = (Ai3)d,d)L2{T2) = ((I + A^Md)^, dewl'2{T2).

В (10) оператор A : Wf(r2) -> Ь2(Г2) такой, что А =

Лемма 1. ОператорыЛ(1)= |л/дН\ Ь2{Т2) Ь2(Г2), Л(2)=-|

(Г2) —» ¿2(Г2) и Л(3) = I+ А1/2: ^'^(Гг) —> ¿2(Г2) положительно определение и самосопряжепые.

В разделе 2.3.5 выписаны три задачи оптимального управления, отличающиеся видом стабилизирующего функционала в целевом функционале (7).

После применения необходимого условия оптимальности Эйлера к задаче оптимального управления (7) с учетом операторного уравнения (5) получаем прямую, сопряженную задачи и задачу на уточнение функции (1а:

Задача 3. Пусть задана на Го. Для фиксированного а > 0 найти вектор-функции Фа = (иа,уа,£а) € IV, Фа = (йа,уа,£а) £ IV и граничную функцию йа на Г2, такие что

о(Фа,\¥) = /(Л¥) + Ь(сга,Л¥) (11)

a{W,Фa) = gJ уДн^-^^ОГ = (12)

Го

Задача 3.1: айа + £а = 0 па Г2; (13) Задача 3.2:

= на Г2' = = (14)

Задача 3.3: айа + аЛ1/2йа = на Г2, сга|аг2 = 0. (15)

Имеет место следующая

Теорема 3.

(1) задачи (И) - (12), (13) и (11) - (12), (14), а также (11) - (12), (15) корректно разрешимы для любого а > 0;

(2) если (Ф.й) € (IV х X), X = {¿2(Г2), И^Г,), Ж21/2(Г2)} С Ь2{Г2), является решением задачи (5), (6) в слабом смысле, то

||Ф - Фа|| + ||сг - йа\\х + - Ы1ыГо) -»О при а -> +0.

В разделе 2.4 предложены и обоснованы итерационные алгоритмы решения обратной задачи. С целью выбора более эффективной реализации предложены и проверены две различные итерационных схемы и три способа выбора основного итерационного параметра.

Итерационный алгоритм 1

1. Зададим некоторое й«' на Г2. Положим ' = ик~1, г;^ = ук~1, ^ =

2. Пока условие завершения итерационного процесса не будет выполнено,

выполняется следующий шаг итерации:

2.1. Решая прямую задачу (11), находим Ua\ Va\

2.2. Используя решение прямой задачи решаем сопряженную за-

-40 -40 ítO дачу (12) и находим гга , vé, , c¿ ■

-т

2.3. Используя решение сопряженной задачи и одну из итерационных схем, уточняем граничную функцию d.

Для Задачи 3.1. Используем (13) и решение сопряженной задачи £!_!' для итерационного уточнения d® по одной из следующих итерационных схем. Итерационная схема 1: = d^ — 7¡ (§,'')■

Итерационная схема 2: ¿C+1) = ¿(0 _ -уг(QC¿(0 +

Для Задач 3.2 и 3.3. Полагаем а = 1 в уравнениях (14) и (15), а затем находим решение w® краевой задачи для уравнения (14) или, используя дискретную аппроксимацию А1/2 в (15), находим решение w® системы полученных при дискретизации (15) алгебраических уравнений.

Затем используем найденное решение w® задачи 3.2 или 3.3 для итерационного уточнения ¿а по одной из следующих схем. Итерационная схема 1: d4+r> = d^ — 7i{u>£).

Итерационная схема 2: = d® — 7i{ad^ + w^).

2.4. Полагаем := сй+1), I := I + 1, и переходим к пункту 2. Параметр 7; итерационных схем 1-2 выбирался методом подбора

(7¡ = const), минимальных невязок (требует на каждой итерации дополнительного решения прямой и сопряженной задач для вычисления 7¡) и методом из теории экстремальных задач (требует на каждом шаге итерации дополнительно вычислять отношение норм уже найденных решений). Соответствующие формулы для 7; приведены в разделе 2.4 диссертации. С учетом теорем 1 - 3 и леммы 1 доказан следующий результат. Теорема 4. Для достаточно малых 7¡ > 0 Итерационный алгоритм 1 сходится, причем при использовании итерационной схемы 1

- Ф|| + IML0 - rfllx + llii0 - íob,IU2(r0) — 0 при /-> 00;

при использовании итерационной схемы 2

ЦФ? " *Н + II44 " d\\x + lid0 - Ык(г„) ->0 при I -» оо, а +0.

Третья глава посвящена численным экспериментам по восстановлению граничной функции и сравнению эффективности параллельных реализаций

алгоритма.

В разделе 3.1 кратко описаны особенности численной реализации Итерационного алгоритма 1, диктуемые методом конечных элементов. Рассматривается согласованная неструктурированная триангуляция области П. Прямая и сопряженная задачи решаются методом Якоби на каждом шаге по времени при сборе невязки с использованием элементов локальных матриц жесткости, причем только их диагональные элементы зависят от времени и перевычисляются на каждом временном шаге.

В разделе 3.2 представлены численные результаты по восстановлению граничной функции по данным наблюдений различной гладкости.

Тестовые расчеты проводились для акватории Охотского моря на неструктурированной согласованной сетке с использованием модельных данных наблюдений. Для их определения сначала при заданной на всей "жидкой" части границы функции <1 решалась задача (1) - (2) на установление. За наблюдаемые данные на границе Го принимались значения свободной поверхности £ из установившегося решения, а значения граничной функции <1 "забывались".

Приведем некоторые результаты по восстановлению граничной функции (I в пространствах £2(Г2), И7;!(Г2) и И^^Гг) по данным наблюдений различного качества — гладкими, с наложенным 10%-ным белым шумом, с пропусками в данных (рис. 1).

Рис. 1. Наблюдаемые данные 1, 3 - гладкие; 2 - зашумленные на 10%; 4 - с пропуском на одной из жидких границ П.

Гладкие пезашумленные данные наблюдений. Численные эксперименты показывают восстановление с хорошей точностью функций <1 и Причем в тестовом примере в ¿г(Гг) восстановление происходит за 9 итераций, в Щ/2(Г2) - за 11, а в И^(Г2) - за 45 итераций.

Рисунки 2 и 3 демонстрируют процесс восстановления функций <1 и £ на морской границе по Тихому океану области П.

Зашумленные данные наблюдений. Если граничная функция с1 восстанавливается в ^2(Г2) или в пространстве Г2), то £ на границе восстанавливается к зашумленным значениям, т.е. к заданным "наблюдаемым" данным (рис. 2 Ь, {). Процесс восстановления функции <:1 является чувствительным к

Рис. 2. Восстановление функций с! (слева) и £ (справа) на одной из жидких границ П по зашумленным данным наблюдений. В пространстве - а) и Ь); в пространстве

(Гг) - с) и <1); в пространстве Гг) - е) и Г). Приведены графики для первой и последней итераций. Кривая, помеченная "О", соответствует точным значениям <1 и

погрешностям, внесенным в наблюдаемые данные (рис. 2 а, е).

При восстановлении с1 в пространстве Ил21(Г2) функции й и £ сохраняют свою гладкость и стремятся к точному решению (рис. 2 с, с1).

Данные наблюдений с пропусками. Показано, что в Ь2(Г2) функции в, и £ восстанавливаются только в точках, где наблюдения были заданы (рис. 3 а, Ь). При восстановлении й 6 И^1 (Г2) функции й и ( восстанавливаются во всех точках жидкой границы, включая пропущенные (рис. 3 с-<1). При восстановлении й из И^2(Г2) уровень свободной поверхности £ восстанавливается с небольшой погрешностью (около 3%) в точке, в которой наблюдаемые данные не были заданы. Функция <1 восстанавливается менее точно; отклонение от точного решения достигает 16% на месте пропуска (рис. 3 е). При этом итерационный процесс сходится быстрее, чем при восстановлении в Гг)-Результаты экспериментов показывают, что на характер восстановленных значений (1 и £ главным образом влияет выбор пространства поиска граничной функции (I. При восстановлении по данным наблюдений с наложенным белым шумом и пропусками некоторое преимущество показывает восстанов-

а) 4,5 3

тэ

1,5

— 1 9 -^0

__ % \

—1 -•-13 — 0

У/ К\

42 44 46 48 50 52 54 <Р

Рис. 3. Восстановление функций в. (слева) и £ (справа) на одной из жидких границ П по данным наблюдений, заданным с пропусками. В пространстве 12(Т2) - а) и Ь); в пространстве И^Гг) - с) и (1); в пространстве 1У21/2{Г2) - е) и Г). Приведены графики для первой и последней итераций. Кривая, помеченная "О", соответствует точным значениям й и

ление (I из пространства И^ЧГг).

В разделе 3.2 представлены также результаты динамического восстановления граничной функции с1 в каждый момент времени к = О,..., К, при распространении некоторого начального возмущения уровня свободной поверхности £ в течение времени (от момента времени 10 до 1[<).

В работе проведено численное исследование скорости сходимости Итерационного алгоритма 1 для итерационных схем 1 и 2 при различном выборе параметра 7методом подбора, методом минимальных невязок и методом из теории экстремальных задач. Показано, что метод для вычисления оптимального параметра 7; следует выбирать в зависимости от пространства восстановления граничной функции <1.

Раздел 3.3 посвящен исследованию эффективности разработанного программного обеспечения для решения обратной задачи о восстановления граничной функции с помощью метода конечных элементов (МКЭ) на согласованной неструктурированной триангуляции акватории. Созданы три версии

параллельного программного обеспечения для SMP-узлового кластера: MPI, OpenMP, MPI+OpenMP.

Наиболее вычислительноемкой операцией в МКЭ является сборка невязки в методе Якоби на основе локальных матриц жесткости элементов, которая производилась: 1) по элементам (традиционный способ, наиболее выгодное распределение памяти); 2) по точкам сетки (требует размещения в памяти дополнительных, в общем случае, нерегулярных структур).

Перечислим основные выводы, которые можно сделать на основе теоретического и численного анализа (рис. 4).

MPI (сбор невязки по треугольным элементам) —MPI {сбор невязки по узловым точкам)

60,00 -1 50,00 ■ -о- ОрепМР (сбор невязки по узловым точкам) МР1+ОрепМР (сбор невязки по треугольным элементам) ^^^ -л- МР1-ЮрепМР (сбор невязки по узловым точкам) ^^^^—

S X QJ Q_ 30,00

О > 20,00 -

0.00 - ^^^^.....

О 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 Количество ядер

Рис. 4. Графики зависимости времени выполнения от количества используемых ядер для MPI-, OpenMP- и МР1+ОрепМР-версий программ.

1. Реализации для вычислительных систем (ВС) с общей памятью на основе, технологии OpenMP. При параллельной реализации поэлементной сборки невязки на общей памяти необходимы дополнительные затраты на синхронизацию нитей, которые занимают до 40% общего времени выполнения программы; эффективность распараллеливания около 25%. При сборке невязки по точкам сетки дополнительной синхронизации нитей не требуется, что дает явные преимущества этого подхода. Эффективность распараллеливания составляет около 90% при использовании до 30 нитей и около 80% при использовании более 30 нитей (одна нить на ядро).

2. Реализация для ВС с распределенной памятью на основе технологии MPI. Поскольку используется подход, связанный с декомпозицией вычислительной области без теневых граней, то при обоих способах сборки невязки на каждой итерации неизбежно возникают следующие накладные расходы:

1) время, затрачиваемое на обмены типа точка-точка между соседними процессами для сборки полной невязки на разрезах вычислительной области;

2) время на коллективную операцию глобальной редукции для расчета критерия останова итерационного процесса. Численные эксперименты показали преимущество сборки невязки по элементам. Следует отметить, что эта вер-

сия MPI-программы по времени выполнения выигрывает и но сравнению с самой быстрой ОрепМР-версией.

3. Совмещение технологий MPI и ОрепМР для SMP-узлового кластера (рис. 4). Наиболее эффективной оказалась МР1+ОрепМР-версия программы при сборке невязки по точкам сетки. Однако она является наиболее сложной в реализации (требует создания, храпения и обработки дополнительных структур). При этом наименьшее время выполнения показывает MPI-версия со сборкой по элементам.

Заключение содержит основные результаты и выводы диссертации.

Список публикаций по теме диссертации

Публикации в периодических изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Дементьева, Е. В. Эффективность численного моделирования на кластерных системах распространения поверхностных волн / Е. В. Дементьева, Б.Д. Карепова, A.B. Малышев /'/ Вестник НГУ, Сер. Информ. технологии.

- 2011. - Т. 9, вып. 1......С. 11-20.

2. Karepova, Е. Solution of Assimilation Observation Data Problem for Shallow Water Equations for SMP-Nodes Cluster / E. Karepova, E. Dementyeva ,// Lecture Notes in Computer Science. — Springer Berlin Heidelberg, 2011.

- V. 6873. - P. 444-451.

3. Karepova, E. The Numerical Solution of the Boundary Function Inverse Problem for the Tidal Models / E. Karepova, E. Dementyeva /./ Lecture Notes in Computer Science. — Springer Berlin Heidelberg, 2013. — V. 8236.

- P. 345-354.

4. Дементьева, E. В. Восстановление граничной функции по данным наблюдений для задачи распространения поверхностных воли в акватории с открытой границей / Е. В. Дементьева, Е. Д. Карепова, В. В. Шайдуров // Сиб. жури, и иду стр. математики. — 2013. — XVI, №1. — С. 10-20.

Публикации в рецензируемых научных журналах:

5. Karepova, Е. The numerical solution of data assimilation problem for shallow water equations / E. Karepova, V. Shaidurov, E. Dementyeva // Int. J. of Num. Analysis and Modeling, Series B. - 2011. - V. 2, № 2-3. - P. 167-182.

Публикации в трудах конференций:

6. Дементьева, E.B. Анализ параллельных реализаций МКЭ для моделей мелкой воды / Е. В. Дементьева, Е. Д. Карепова /7 Труды пятой Сибирской конф. по параллельным и высокопроизводительным вычислениям.

- Томск: Изд-во Том. ун-та, 2010. - С. 87-91.

7. Дементьева, Е. В. Сравнение реализаций MPI: управление памятью, обмены данными в SMP-узловых кластерах / Е.В. Дементьева, Е.Д. Каре-

попа, А. В. Малышев /7 Материалы междунар. научно-технической конф. «Суперкомпыотерные технологии: разработка, программирование, применение (СКТ-2010)». - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010. - Т. 1. - С.68-72.

8. Дементьева, Е. В. Параллельные реализации МКЭ для начально-краевой задачи для уравнений мелкой воды / Е. В. Дементьева, Е. Д. Ка-репова // Труды VI Всссибирского конгресса жепшин-матсматиков. — Красноярск, 2010. - С. 100 -104.

9. Дементьева, Е, В. Параллельные реализации метода конечных элементов для уравнений мелкой воды / Е. В. Дементьева // Труды XLIII краевой научной студенческой конференции по математике и компьютерным наукам. - Красноярск: ИПК СФУ, 2010. - С. 33-37.

10. Karepova, Е. Comparison of MPI implementatíons memory management and data exchange for SMP-nodes chistera j E. Karepova, E. Dementyeva, A. Malyshev // Proceedings of the Fifth International Conference Finite Difference Method: Theory and Applications. — Bulgaria: University of Rousse «Angel Kanchev», 2011. - P. 88-96.

11. Карепова, E. Д. Решение, задачи на ассимиляцию данных наблюдений для уравнений мелкой воды на. SMP-узловых кластерах [Электронный ресурс] / Е.Д. Карепова, Е. В. Дементьева // Труды междунар. конф. «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика». — № гос. регистрации 0321101160, НТЦ «Ипформрегистр». — 2011. — Режим доступа: http://conf.nsc.ru/niknik-90/reportview/38086.

12. Дементьева, Е. В. Численное моделирование распространения длинных воли в больших акваториях с помощью SMP-узловых кластеров [Электронный ресурс] / Е.В. Дементьева. Е.Д. Карепова // Труды междунар. конф. «Математ. и шгформац. технологии, MIT-2011». — № гос. регистрации 0321102644. — 2011. — Режим доступа: http://conf.nKC.ru/files/conferences /MlT-2011/fulltcxt/42116/56787/Dementyeva.pdf.

13. Карепова, Е.Д. Решение задачи на ассимиляцию данных наблюдений для уравнений мелкой воды на SMP-узловом кластере / Е. Д. Карепова, Е. В. Дементьева // Труды междунар. конф. по математическому моделированию. — Якутск: Изд-во «Сфера», 2012. — С. 314 320.

14. Карепова, Е.Д. Численное решение задачи на ассимиляцию данных наблюдений для уравнений мелкой воды / Е. Д. Карепова, В. В. Шайду-ров, Е. В. Дементьева //' Zbornik radova Konferencije MIT [Matematicke i informacione tehnologije] — Beograd: Alfa univerzitet, 2011. — C. 179-184.

15. Дементьева, E. В. Обратная задача с неизвестной граничной функцией для уравнений мелкой воды / Е. В. Дементьева, Е. Д. Карепова /'/ Труды пятой междунар. конф. «Системный анализ и информационные технологии», САИТ-2013. - Красноярск: ИВМ СО РАН, 2013. - Т. 1. - С. 56-65.

Подписано в печать 10 декабря 2013 г. Формат 60 х 84/16 Объем 1 п. л. Тираж 100 экз. Отпечатано на ризографе ИВМ СО РАН С60036, Красноярск, Академгородок, 50/44

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Дементьева, Екатерина Васильевна, Красноярск

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ ИНСТИТУТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СИБИРСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

04201 *5601 3 правах рукописи

Дементьева Екатерина Васильевна

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ГРАНИЧНОЙ ФУНКЦИИ В ЗАДАЧЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН В ОТКРЫТОЙ АКВАТОРИИ

01.01.07 - вычислительная математика

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН Шайдуров В. В.

Красноярск - 2013

Оглавление

Введение ................................................................4

1 О корректно и некорректно поставленных задачах..........12

1.1 О корректной постановке граничных условий для уравнений мелкой воды..............................12

1.2 Обзор методов решения некорректных и обратных задач.....16

2 Обратная задача о восстановлении граничной функции для уравнений мелкой воды в открытой акватории ..............26

2.1 Дифференциальная постановка задачи...............26

2.1.1 Начально-краевая задача для уравнений мелкой воды ... 26

2.1.2 О корректной постановке краевых условий для уравнений мелкой воды...........................27

2.1.3 Обратная задача о восстановлении граничной функции

для уравнений мелкой воды..................32

2.2 Слабая постановка задачи. Теорема существования и единственности ..................................33

2.2.1 Функциональные пространства и нормы...........33

2.2.2 Доказательство разрешимости задачи............35

2.3 Задача оптимального управления с регуляризацией........42

2.3.1 Задача на минимизацию функционала............42

2.3.2 Поиск граничной функции из пространства ¿^(Гг).....44

2.3.3 Поиск граничной функции из пространства И^Гг) .... 45

"—1 /2

2.3.4 Поиск граничной функции из пространства Иу (Гг) ... 46

2.3.5 Сходимость решения регуляризированной задачи оптимального управления к решению обратной задачи.....48

2.4 Итерационный численный алгоритм. Теорема о сходимости ... 56

3 Численные эксперименты ........................................65

3.1 Численное решение прямой задачи .................65

3.1.1 Дискретизация по пространству................65

3.1.2 Численное решение прямой задачи..............67

3.2 Численные эксперименты по восстановлению граничной функции по модельным данным наблюдений...............70

3.3 Параллельная реализация ......................84

3.3.1 Оценка потенциального ускорения параллельного алгоритма с использованием технологии MPI ..........84

3.3.2 Оценка потенциального ускорения параллельного алгоритма с использованием технологии ОрепМР........88

3.3.3 Исследование ускорения параллельной MPI-программы на высокопроизводительных кластерных системах.......91

3.3.4 Сравнение двух реализаций MPI и стратегий управления памятью.............................94

3.3.5 Сравнение ускорений параллельных версий программы: ОрепМР, MPI и их совмещения МР1+ОрепМР.......99

Заключение..............................................................106

Список литературы....................................................107

Введение

Диссертационная работа посвящена разработке, исследованию и реализации численного алгоритма решения обратной задачи о восстановлении граничной функции для уравнений мелкой воды в открытой акватории.

Актуальность темы исследования. Описание динамики распространения поверхностных волн в открытых акваториях, связанных с мировым океаном, является актуальной задачей численного моделирования. Широко распространены модели на основе уравнений мелкой воды [34-36, 46, 72, 96, 98, 103, 104, 110, 120, 122, 123, 125, 139, 149]. Введение в модель открытой границы по морю позволяет учитывать влияние океана на рассматриваемую область, которое обычно описывается граничной функцией в краевом условии [13, 133, 134, 136-138, 147, 167]. На практике граничная функция, как правило, неизвестна и ее следует найти вместе с другими неизвестными модели (скоростями и возвышением свободной поверхности). В связи с этим актуальна обратная задача о восстановлении граничной функции с использованием дополнительной информации, полученной в ходе наблюдений за поведением свободной поверхности на границе по морю. При разработке методик решения обратной задачи необходимо учитывать, что данные наблюдений могут быть известны только на части открытой границы или с некоторой погрешностью. Такие задачи в большинстве случаев некорректны, поэтому для их решения с приемлемой точностью необходимо использовать методы решения некорректных задач [1,2,4-8,14-16,20,22,29,30,45,62,67-71,85,86,105,113,116,117,127,130,145,152].

В диссертационной работе для дискретизированных по времени уравне-

ний мелкой воды исследуется и решается обратная задача о восстановлении граничной функции по данным наблюдений за возвышением свободной поверхности на открытой границе по морю. Задача впервые была поставлена в работе [133]. Там же предложен численный алгоритм решения для подобной обратной задачи для уравнений относительно неизвестных возвышения свободной поверхности и граничной функции, но отсутсвует его численная реализация и верификация. В работе [135] для рассматриваемой в диссертации обратной задачи предложен и численно реализован алгоритм ее решения для данных наблюдений, заданных на всей границе по морю. Однако в нем не учтено, что данные наблюдений о возвышении свободной поверхности могут быть известны с погрешностью или не во всех точках границы расчетной области. Поэтому при разработке и реализации численного метода решения обратной задачи о восстановлении граничной функции актуально наличие методик, позволяющих восстановить граничную функцию по данным наблюдений о возвышении свободной поверхности, заданным только на части границы по морю или с погрешностями.

Для разработки численного алгоритма решения обратной задачи применяется подход, основанный на методах оптимального управления и сопряженных уравнений, который был предложен в монографии В. И. Агошкова [1].

Цель исследования — разработка, исследование и реализация на БМР-узловом кластере итерационного численного алгоритма решения обратной задачи о восстановлении граничной функции для уравнений мелкой воды в открытой акватории.

Объектом исследования выступает обратная задача о граничной функции для уравнений мелкой воды в открытой акватории и численный алгоритм ее решения.

Предметом исследований являются свойства и особенности обратной задачи о восстановлении граничной функции для уравнений мелкой воды; свойства и особенности численного алгоритма решения обратной задачи и его параллельной реализации.

Для достижения поставленной цели были решены следующие

основные задачи.

2. Некорректная обратная задача сведена к корректно поставленной задаче оптимального управления на минимизацию функционала, включающего стабилизирующий по А. Н. Тихонову функционал.

3. Предложены и обоснованы три вида стабилизирующего по А. Н. Тихонову функционала для задачи минимизации.

4. Построен итерационный численный метод восстановления граничной функции на границе по морю.

6. Разработано эффективное параллельное программное обеспечение для SMP-узлового кластера с использованием технологий MPI, ОрепМР и MPI+OpenMP для численного решения обратной задачи о восстановлении граничной функции.

Методы исследования. В диссертации используются фундаментальные результаты и методы теории некорректных и обратных задач, оптимального управления и сопряженных уравнений, теории функционального анализа и уравнений математической физики, теории итерационных методов, вычислительный эксперимент.

3. Создан эффективный параллельный программный комплекс для БМР-узлового кластера с использованием технологий МР1, ОрепМР и МР1+ОрепМР, предназначенный для решения обратной задачи о восстановлении граничной функции.

Научная новизна выносимых на защиту результатов заключается в следующем.

1. Впервые разработан, обоснован и численно реализован итерационный метод решения обратной задачи о восстановлении граничной функции для уравнений мелкой воды, позволяющий восстановить граничную функцию по данным наблюдений о возвышении свободной поверхности, заданным с погрешностью или только на части границы по морю.

Достоверность и обоснованность результатов обеспечивается применением строгих математических доказательств; верификацией построенных алгоритмов на задачах с известными решениями.

Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая значимость диссертационной работы состоит в обосновании предлагаемого алгоритма, а также в примененной методике на основе методов оптимального управления и сопряженных уравнений, позволившей восстанавить неизвестные данные на всей границе по дополнительной информации с части границы. Практическая ценность работы заключается в возможности применения разработанного программного комплекса при решении широкого класса задач моделирования поверхностных волн в больших открытых акваториях.

Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на научном семинаре ИМФИ СФУ «Компьютерное решение многомерных задач», на расширенном семинаре ССКЦ, НГУ, Центра Ком-

петенции СО РАН — INTEL «Архитектура, системное и прикладное программное обеспечение кластерных суперЭВМ» и на 24 конференциях, включая 14 международных, 5 всероссийских и 4 сибирских. Основные из них: Пятая и Шестая международная конференция «Inverse Problems: Modeling and Simulation» (Турция, 2010, 2012); 5th International Conference on Finite Difference Methods: Theory and Applications (Болгария, 2010); Международная конференция, посвященная 90-летию со дня рождения академика H.H. Яненко (Новосибирск, 2011); Международная конференция «Математические и информационные технологии, MIT-2011» (Сербия, Черногория, 2011); 11th International Conference on Parallel Computing Technologies, PaCT-2011 (Казань, 2011); Международная конференция «Суперкомпьютерные технологии математического моделирования, СКТММ-2011» (Якутск, 2011); XII, XIII и XIV Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2011, 2012, 2013); 5th Conference on Numerical Analisis and Applications (Болгария, 2012); Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева (Новосибирск, 2012); Международная молодежная научная школа-конференция «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» (Новосибирск, 2012, 2013); First China-Russia conference on Numerical Algebra with Applications in Radiative Hydrodynamics (Китай, 2012); Международная конференция «European Numerical Mathematics and Advanced Applications, ENUMATH 2013» (Швейцария, 2013); Пятая Международная конференция «Системный анализ и информационные технологии, САЙТ-2013» (Красноярск, 2013).

Основные результаты диссертации опубликованы в 18 печатных работах, включая (в скобках в числителе указан общий объем этого типа публикаций в печатных листах, в знаменателе — объем принадлежащий лично автору) 4 статьи в периодических изданиях, рекомендованных ВАК [55,56, 156,157] (3.4/2.2), 1 статью в международном рецензируемом журнале [159] (1.68/0.8), 10 статей в трудах конференций [48-50,52-54,75,76,78,158] (5.7/4.0)

и 3 публикации в тезисах конференций [51,142,155] (0.45/0.4).

Во введении дана общая характеристика работы, сформулирована ее цель и научные задачи исследования, обоснована актуальность, представлены результаты работы, выносимые на защиту, а также определена научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы.

Первая глава носит обзорный характер. В разделе 1.1 главы приведены основные сведения из теории корректной постановки граничных условий для уравнений мелкой воды. В ней описаны основные подходы к доказательству корректности задачи, в том числе классический энергетический метод, анализ нормальных колебаний Крейса и доказательство с помощью априорной оценки. В разделе 1.2 главы приведен обзор методов решения некорректных и обратных задач. Здесь введено определение корректно поставленной задачи по Адамару, и затем некорректные задачи разделены на нормально разрешимые и существенно некорректные; описаны возможные методы их решения, включая итерационные.

Вторая глава посвящена разработке и исследованию итерационного алгоритма решения обратной задачи о восстановлении граничной функции для уравнений мелкой воды.

В разделе 2.1 сформулированы постановки прямой и обратной задач для уравнений мелкой воды.

В разделе 2.2 прямая задача записана в слабом смысле и показана корректность ее постановки. На основе слабой формулировки прямой задачи обратная задача сформулирована в операторной форме. Для обратной задачи доказаны теорема существования и единственности решения.

В разделе 2.3 обратная задача сформулирована в виде задачи оптимального управления с стабилизирующим по А.Н. Тихонову функционалом. Предложены три вида стабилизирующего функционала. Доказана теорема о сходимости решения задачи оптимального управления к решению исходной задачи в слабом смысле.

В разделе 2.4 разработаны и обоснованы итерационные алгоритмы решения обратной задачи. С целью выбора более эффективной реализации алгоритма предложены и проверены два различных итерационных процесса на основе методов решения некорректных задач и три способа выбора основного итерационного параметра. Доказана теорема о сходимости предложенного итерационного алгоритма к решению исходной задачи в слабом смысле.

Третья глава посвящена численным экспериментам по восстановлению граничной функции и сравнению эффективности предложенных параллельных реализаций алгоритма.

В разделе 3.1 кратко описаны особенности численной реализации предложению алгоритма, диктуемые методом конечных элементов.

В разделе 3.2 представлены численные результаты по восстановлению граничной функции из трех пространств по данным наблюдений различного качества — гладким, зашумленным и с пропусками. Там же приведены результаты численного исследования скорости сходимости предложенного итерационного алгоритма для двух итерационных процессов при различном выборе основного итерационного параметра: методом подбора, методом минимальных невязок и по методу из теории экстремальных задач.

параллельного программного обеспечения для SMP-узлового кластера: MPI, OpenMP, MPI+OpenMP.

В разделах 3.3.1 - 3.3.3 описаны особенности реализации параллельного алгоритма для систем с распределенной и общей памятью с учетом возникающих при этом накладных расходов. Проведен теоретический анализ потенциального ускорения и эффективности MPI и ОрепМР-версий программ.

В разделе 3.3.4 исследовано влияние используемого программного обеспечения на эффективность MPI-реализации: сопоставлена эффективность двух ши