Определение внутренней структуры среды методом многократного облучения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

с;

На правах рукописи

С..

Г.::

О XI

Ковташок Андрей Егорович

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНУТРЕННЕЙ СТРУКТУРЫ СРЕДЫ МЕТОДОМ МНОГОКРАТНОГО ОБЛУЧЕНИЯ

01.02.01 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат

Д1!ссср7ации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Владивосток - 1997

Работа выполнена в Институте прикладной математики Дальневосточного отделения РАН.

Научный руководитель - доктор физико-математических паук, профессор Аникопов Дмитрий Сергеевич

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук, профессор

Буренин Анатолий Александрович - кандидат физико-математических наук 'Гахтсев Владимир Алексеевич

Ведущая организация — Дальневосточный Государственный Университет

(г.Владивосток)

Защита состоится ¿¿¿с /Р 1997 года в_на заседании диссертационного совета Д 002.0G.u7 в Институте автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения РАН по адресу:

090041, г.Владивосток, ул.Радио, 5, ИАПУ ДВО РАИ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института автоматики п процессов управления Дальневосточного отделения РАН.

Автореферат разослан 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук М.А. Гузен

Общая характеристика работы

Актуальность темы. 13 настоящее время, в связи с широким применением ишп-мштельной техники, одним т перспективных способом иеразрушаюте! о контроля >бьектов является принцип компьютерной томографии, который находит снос прпме-юппе в меднниие, дефектоскопии, микроскопии и других областях науки н техники. Iрп построении математической модели томографии испочьзуют обратные задачи 1ЛЧ уравнения переноса, гостящие в определении некоторых параметров среды по пвестиым характеристикам излучения на се границе.

Первая работа по обратным задачам для уравнения переноса принадлежит Г.И.Марчуку (1%'1) п была, вызвана проблемой интерпретации информации с искусственных спутников Земли. Следующие по хронологии публикации, в которых' фпводплись различные постановки задач и обсуждались способы исследовании, нрп-ыдлежаг Л.И.Прплснко(1У7.'!) и Д.С.Лппкопову (197-1). 13 1!)8Я юду Д.С.Липкоиовым Зил предложен и в последующие годи разнит перспективный иоцход к проблеме1 шределеппя важнейших характеристик исследуемой среды, связанный с использованием специальных типов источников внешнею излучения. Предлагаемая дпссер-га.цпоппая работа продолжает исследования Д.С.Аппкопона. Интересные резулыа-гы в этом направленнп в последние годы получены также Л.П.иопдарспко (1!*9'_!), И.13.Прохоровым (1992) и В.Г.Романовым (19У()). Принципиально важным в ном юдходе является то , что авторами предлагаются и математически обосновываю г-:я возможные конструкции внешнего излучателя, использование которого пошоляег тределнть некоторые харак теристики среды.

Одной из важнейших величин , описывающей внутренние свойства среды, в те->рни переноса излучения является коэффициент полного взаимодействия. Проблему ■го определения можно трок говать как проблему воссIапомлеппя внутренней г[рук-гуры среды, поскольку коэффпнпен] полного взаимодействии являегся функцией хо-ю1ио описывающей различные неоднородности и дефек п.1 сре./п,1. И ряде с.г, чаев

эту проблему можно интерпретировать как проблему определения плотности среды. Например, если имеющиеся в среде вещества имеют относительно небольшую плотность, то коэффициент полного взаимодействия и плотность связаны лиисГшми образом с известным коэффициентом пропорциональности. Определение плотности среды возможно также в случае, если нам известны материалы, из которых состоит среда.

Таким образом, проблема определения коэффициента полного взаимодействия занимает большое место в промышленности (поиск скрытых дефектов - трещин, пузырей, раковин), в медицине (зондирование пораженных участков, опухолей, уплотнений) и других научно-технических областях.

Цель работы - исследование возможности определения коэффициента полного взаимодействия уравнения переноса по его решению, известному только па границе области. Для этого предлагается осуществить серию облучений исследуемой среды, воспользовавшись специальным внешним источником излучения.

Методика исследования. При проведении сравнительного анализа моделей теории переноса излучения использовалась теория эллиптических уравнений, н в частности, теория гармонических функций. При изучении свойств решения краевой задачи для уравнения переноса и при решении обратной задачи применились некоторые разделы теории интеграла Лебега, предельные свойства непрерывных и ограниченных функций, свойства функциональных рядов, теория множеств.

Научная новизна. В диссертации предлагается и математически обосновывается метод многократного облучения для восстановления внутренней структуры среды. Он основывается на использовании внешнего источника излучения специального типа. Описана возможная конструкция внешнего излучателя, позволяющего решать поставленную в работе задачу.

Практическая ценность. Предложенный и обоснованный в работе метод многократного облучения может быть использован практически в различных паучпо-

технических областях, например, в медицине, дефектоскопии, микроскопии, где возникает проблема определения внутренней структуры некоторых объектов. Изложенный в работе метод позволяет , в частности, восстанавливать структуру сред с сильными рассеивающими свойствами, для которых использование традиционных методов рентгеновской томографии как правило не дает эффекта.

Аниробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзном конференции "Условно-корректные задачи" (Новосибирск, 1992), на международном симпозиуме но компьютерной томографии (Новосибирск, 19!);}), на 1'осспйско - Японском семинаре "Дифференциальные уравнения в прикладной математике" (Хабаровск,1994), на международной конференции 1РЕЭ-91 (Осака. 199-1), на международной конференции "Математическое моделирование и криптография" (Владивосток, 1995).

Диссертация докладывалась автором на семинаре "Дифференциальные уравнения н математическая физика" в ИПМ ДВО РАН.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1-8].

Структура ц объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на восемь параграфов, списка литературы и приложения. Основное содержание составляет 95 страниц , включая 10 рисунков. Синеок литературы содержит 71 наименование работ отечественных и зарубежных авторов.

Содержание диссертации

Во введении излагается предмет исследования диссертации. Проблема определения внутренней структуры среды формулируется в терминах, используемых в теории переноса излучения. С этой целыо вводится понятие коэффициента полного взаимодействия /;, который определяется как обратная величина от свободного пробега радиоактивной частицы в рассматриваемой среде. Очевидно, что введенный таким образом коэффициент/! является функцией , зависящей ог простраиствепной и энергетической переменной. Ограничимся двумя возможными видами взаимодействий

радиоактивных частиц с томами вещества: рассеянием рлднолктиииих частиц и их поглощением. Определим коэффициенты, характеризующие рассеивающие и поглощающие свойства среды. Представим коэффициент полного взаимодействия как сумму величин /1„ п /1,, которые мы назовем коэффициентами поглощения и рассеяния соответственно, и таких что есть вероятность того,что при взаимодействии радиоактивной частицы со средой произойдет поглощение, а ^ есть вероятности рассеяния радиоактивной частицы. Проблема определения внутренней структур!, среды ставится как проблема нахождения коэффициента полного взаимодействия, поскольку он хорошо описывает различного вида неоднородности, а в ряде случае! но известному значению коэффициента полного взаимодействия мы можем определить плотность вещества, из которого состоит среда.

Пусть исследуемая среда заполняет ограниченную выпуклую область С. Дли описания процесса движения радиоактивных частиц в рассматриваемой среде воспользуемся уравнением переноса. В качестве основной характеристики излучения I уравнении переноса используется функция / пространственной, угловой и энергетической переменной, описывающая плотность потока радиоактивных частиц (плотность излучения). Задача определения внутренней структуры среды формулируете» как обратная задача для уравнения переноса: найти значение коэффициента нолпогс взаимодействия по заданной плотности излучения па границе области С.

В качестве возможного подхода для решения поставленной задачи предлагаете» провести серию облучений исследуемой среды. Для описания многократного характера облучения в уравнение переноса вводится параметр. Таким образом, основные обьсктом исследования в диссертационной работе будет являться параметризованное уравнение переноса.

В главе 1 проводится сравнительный анализ двух основных моделей теории переноса излучения : уравнения переноса и уравнения диффузии. Эти уравнения имеют различный тип. Так уравнение переноса является питсгродпфферепцнальпии

С

уравненном первого порядка, в то время как уравнение диффузии представляет собой уравнение второго порядка эллиптического типа. Каждая из указанных моделей имеет свои преимущества и недостатки. Так, например, считается, что уравнение переноса наиболее точно н полно описывает процесс переноса излучения, однако, оно является довольно сложным для исследования. Уравнение днффузнп представляет собой сравнительно более простую модель, к тому же уравнения такого типа в настоящее время достаточно хорошо изучены. Недостатком уравнения диффузии является то, что оно является по су) н некоторым приближением уравнения переноса , и соответственно менее точно описывает процесс переноса излучения. Таким образом, по видимому, проблема сравнительного анализа этих двух моделей должна вызывать определенный научный интерес. Первые два параграфа имею т и основном реферативный характер. 13 них подробно рассматривается вывод обоих моделей, вводятся основные величины и функции теории переноса. Также указываются ограничения, в рамках которых предложенные модели работают.

1! третьем параграфе проводится сравнение моделей. Для приведения сравнения рассмотрены сравнительно простые случаи моделей со сферической и плоской симметрией. Причем функции, описывающие внутренние свойства, сред, были взяты кусочпопостояппыми. Аналитически показано, что при отсутствии внутренних источников излучения, при постоянной величине входящего в среду излучения и при 100 - процентном рассеянии = /1) обе модели прекрасно согласуются. При увеличении поглощающих свойств среды аналитический анализ становится затруднительным. Поэтому для этого случая был проведен численный эксперимен т, который демонстрирует , п частности, ухудшение согласованности моделей при уменьшении рассеяния в среде. Поскольку, как это следует из §2, уравнение диффузии является некоторым приближением уравнения переноса, то ухудшение согласованности моделей нужно объяснять тем, что диффузионное уравнение является более грубой моделью. 1! заключении третьего параграфа делается вывод о предпочтительности

уравнения переноса как модели , описывающей процесс прохождения радиоак тивных частиц через некоторую среду.

В главе 2 исследуются свойства решения неоднородной краевой задачи для стационарного уравнения переноса с параметрической зависимостью

и; • V,./(r, ш,Е,\) + ,i(r, E)f(v, и, Е, А) =

1 Б2

— jj к[г,ш, Е,ш', Е')/{г,ы', E',X)duj'dE' + J(r,w, Е, А). (1)

Е, !1

Здесь пространственная переменная г € G, G - ограниченная выпуклая область в Я1. Выпор направлений u£fi, где П есть единичная сфера в Л3. Энергетическая переменная В определена па интервале [i.\, /?г], а параметр А, определенный на интервале [О, I]. введен для описания многократного характера облучения.

Первое слагаемое в правой части (1) называется интегралом столкновений и обозначается функцией A'(r,u>, Е, А). Функция /(г,и\/•,', А) интсрнретпруеiся как плотность потока частиц в точке г — (>'i,7-2,r3), движущихся в направлении и; — (oj 1,, ), с энергией Е, при облучении среды, которое соответствует' параметру А. Функция J{'\ w, Е, А) описывает внутренние источники, а коэффициенты /<(/', /;'), /ф',и\ Ii,и', ¿"), характеризующие среду G, называются соответственно коэффициентом полного взаимодействия и ииднкатриссой рассеяния. Под выражением из ■ Vrf(v,w,E,\) в уравнении (1) понимается производная по пространственной переменной V в направлении ш.

В §1 второй главы формулируются основные ограничения на коэффициенты /1,1; уравнения (1) и на структуру области G. Наиболее существенные нз них следующие. Пусть замыкание области G есть объединение конечного числа множеств (!,, то есть

¡=1

ч все Gi есть области с кусочно-гладкой границей класса С, причем пересечение множеств G'i допускается только по их границам. Пусть G» - объединение всех областей

Gj. Предположим, что для любых í' 6 Go, и 6 Í! прямая А',.,^ = {>• + /и.'}, — оо < I < со пересекает границы областей G; в конечном числе точек г + ¡¡(г,и>)и>, i = 1,. .., /(г,к;). Условимся считать

í 1 (г, (ij) < í2(r,U)) < ■ • • < sup 1(г,ш) < оо.

г€<~;<,

«еп

Это условие, называют условием обобщенной выпуклости .

Пудем считать, что функция принадлежит пространству C(I') на некотором множестве Р, если она па нем непрерывна и ограничена.

Пусть функция ц(г,Е) непрерывна и ограничена для любого г £ G,-,í = 1 ,...,;> н может иметь разрывы na. границах областей G;. Что же касается непрерывности /|(i', Е) но переменной Е, предположим, что /<(г, Е) непрерывна и ограничена на всем [El, E-i]- Таким образом, /i(r, Е) принадлежит пространству C(GU х [ZCj, Е?)).

Функция к(г,и;, Е,и)', Е') неотрицательна, п если //.(г, Е) — 0, то 1с(г,ш, Е') =

О и этой же точке 7-, Предположим также, что равномерно но г G G'u, u.- G Í! н Е € \Ei, ¿2] (функция A(r,a), E,ui',E') принадлежит пространству L\(íl х [Е\, Е-2J) по переменным uj', Е'. Поскольку по предположению шшпкатрисса рассеяния является абсолютно интегрируемой функцией по переменным и/, Е\ то возможно наличие у нее интегрируемых по и/, Е' разрывов первого н второго рода. Обозначим через Vi множество разрывов функции к{г,и>, Е,ш\ Е') но переменным ш',Е', и пусть Г = П х[£ч, Е{\. Дополнительно будем полагать, что шшпкатрисса рассеяния непрерывна по 7* е Gu , (ш, Е) € Y и К Е') 6 Г\К,.

В §2 второй главы вводится краевое условие для уравнения (1)

/(г - г/(г, —о>)ш, w, Е, А) = /ф- - (/(г, —lü)U.\U), Е, А), (2)

где г £ Go, a d(r,—u) есть расстояние от точки г в направлении —и' до границы области G. Далее вводятся ограничения на функции Л и ./, описывающие плот пост ь излучения, исходящего от внешних н внутренних источников соответственно. Введем

подмножество множества П следующим образом:

П„ = {ш € П :ш3 6 [-1,-«]иМ1}. » > О-

Обозначим через А'„ множество Си X х , /¿2] х [0,1 ] , о > 0. При о- = 0 будем, как правило, вместо Ха писать А'. Потребуем, чтобы функция плотности внутренних источников и се производная по параметру являлись непрерывными и ограниченными на множестве А', а па функцию плотности входящего излучения наложим следующие условия:

(Ы) функция к(г — (1(г, —и>)и>,и, Е, А), как функция неременных (г,и;, 1С, А), принадлежит пространству С(А'),

(Ь2) функция Лд(г — (/(7-, —и>)и:,и, Е, А), как функция переменных (г,и, 1С, А), принадлежит пространству С(А'„), при а > 0,

(М) функция /».\(г — <1(т, — Е, А) неограниченно возрастает по абсолютной

величине при = 0 и А -> 0,

(М) функция к\(г — <1{г, — и>)и!,и>, ГС, А) равномерно по г € С о, А ё [0,1] принадлежит пространству Л, 1 (1''),

(115) выражение Лд(г — ¿(г, Е', А) к(г, ш, Е,и;', Е') , равномерно по г 6 ('ни

ь> е П, Е е \Е\, ¡С-г], А € [0,1] принадлежит пространству Л|(К).

Краевая задача (1),(2) заключается в следующем. По заданным функциям /I, к, .1, Л определить функцию /, удовлетворяющую уравнению (1) и краевому условию (2). При фиксированном значении параметра А формулируется определение решения краевой задачи (1),(2), которая в диссертации также называется прямой задачей. Известно, что решение краевой задачи (1), (2) эквивалентно решению следующего интегрального уравнения

/(»МЛ Л, А) = Мг,ы, Е, А) + ЛиДг,и, Е, Л), (:1)

где

/„(>•,и>, Е, А) = Л(г-г/(г, -и;)и>,и>, /л, А)ехр ^ ,ф- - ты, Л')</г^ + Л./(/-,ы. /•,'. А),

;v ни тегральние операторы Л и В определяются следующим образом

Лф(г,ш, К, А) = j^'' U'! exp - - tuj.u, /■;, A)dt,

1Щг,ш,Е,Х)= -1- f k(r,w, E,w', Е')ф(г,ш', E',A)r/uA/£". 4тг JI'

[l|)ii выполнении условия, которое в случае рассматриваемой задачи заведомо выполняется (/(, < //), решение интегрального уравнения ('!) может Сыть представлено в виде: сходящегося равномерно ряда Неймана

/(г,и, Е, А) = /„(г,ш, Е, А) + ¿(/\В)п/о(г.и», А). ( I)

п=|

Подействовав на обе части равенства (4) оператором В, приходим к следующему представлению для интеграла столкновений

Щг,и,Е,Х) = В/0(г,ы,Е,А) + £(ZM)K/?/0(r,w,b\A). (Г,)

ч = |

I! §2 второй главы исследуются непрерывные свойства решения краевой задачи (1),(2), интеграла столкновении п их производных по параметру. I! силу преде I авле-инй (4) и (5) необходимо предварительно установить некоторые свойства нптеграль пых операторов Л и В, что и делается в §2 . Определим интегральный оператор 1\ как оператор, для которого справедливы следующие утверждения:

(a) Опера тор А' действует из С(А'„) в С(Х„) , где о > О,

(b) Пусть некоторая функция v?(r,u.', ft', А) и ее производная по парамет ру являются непрерывными и ограниченными па множестве Л'„ , а > 0 . тогда производную по параметру можно вносить под знак интегрального опера тора Л, действующе! о на функцию <р(г,и>, Е,У) .

Во вюром параграфе доказывается, что в качестве К может быть взят любой и> операторов Л, В или ЛВ.

Ис1ю.|||,зуя свойства, операторов /1 и /У, в заключении второю параграфа jiok.i ii.i ваются следующие тео])емы.

Теорема 1. Плотность излучения f(r,u, Е, А) принадлежит пространству С'(Л'), а. ее производная по параметру принадлежит пространству С(Л*„), а > 0, и имеет' при А = 0, о>з = 0 интегрируемую по множеству Y особенность.

Теорема 2. Интеграл Столкновений Л'(г,и>, Е, А) и его производная по параметру принадлежат пространству С(Л').

Основной результат второго параграфа можно сформулировать следующим образом: решение краевой задачи (1),(2) иредставимо в виде

/(г,и, Е, А) = /0(г,и>, Е, А) + ф{г,и>, Е, А),

причем функция ф(г,и, Е, А), ее производная по параметру п функция J'u{r,uj, Е, принадлежат пространству С(А'), а производная по параметру от функции /¡¡(г,и), Е, А) принадлежит пространству С(Л'„), а > 0 н неограниченно возрастает но абсолютной величине при о.'з = О, А —> Ü.

Ранее вопросы непрерывности н гладкости решения красной задачи (1),(2) изучались Ji. С. Владимировым, Т.А.Гермогсповои, Л.С.Лннконовым, И.В.Прохоровым н другими авторами при условиях, некоторые из которых в работе не выполняются.

Глава 3 посвящена проблеме определения коэффициента полного взаимодействия по известной плотности входящего н выходящего из среды потока излучения. 15 на чале первого параграфа определяются множества точек и , на которых определен; плотность входящего и выходящего излучения.

Пусть Г+ есть множество точек (г, ад) таких, что w € П, а г можно предсташгп в виде г — J'o + d(r0,u)cj, где r0 t С о- Аналогично этому Г" - множество такп: (г,и>), что и? € Í2, г = Гц — </(|"о> — Го 6 Си- Введем также множества Г(7> Гц

как подмножества соответствующих множеств Г-, Г+, отвечающих горизонтальны» направлениям и. У введенной ранее функция li(r,ui, Е, А), переменные ?•, и определи ны именно на множестве Г" . Полагая для (г,и) 6 Г+ /(г, иг, Е, А) — //(>■, и, Л', А^

из уравнения переноса в интегральной форме имеем

/ ГЦг,-ш) \

li(r,ui, Е, Л) = li(r — d(r, —w)lü,(¿, Е,Х) схр I — I /<(г - ти>, Е)<!т ) +

Обычно функции /г, II называют плотностью входящего н выходящего излучения соответственно.

Сформулируем следующую образную задачу:

Пусть для коэффициентов /', к, У, характеризующих внутреннюю « рук гуру среды, выполнены все ранее указанные ограничения, п функция плотности входящего излучения удовлетворяет условиям (Ы) ~(1|5) . Ставится задачами» известным значениям функций /|{)',и>, /'/', А) и //(»',и.', Е, А), заданных на соотвезс 1 вующпх множествах Го п Г,}, определить значение коэффициента /<(?'. Е) для г 6 &'о, Е С

Основным результатом §1 третьей главы является следующая формула

где (г,и) € Го, Е € [E¡, Е?]. Формула (G) позволяет получить значение интегралов от коэффициента полного взаимодействия по почти всем горизонтальным прямым, проходящим через исследуемую среду. Если же взять интегралы от /< по прямым, которые лежат в конкретной горизонтальной плоскости, то, используя процедуру обращения преобразования Радона, мы можем восстановить значение коэффициента полного взаимодействия в указанной плоскости. Таким образом, применяя процедуру обращения преобразования Радона для различных горизонтальных плоскостей, мы можем "послойно" определить структуру всей среды. Следует также отметить, ч то для восстановления коэффициента полного взаимодействия ним требуется значение входящего и выходящего излучения только в горизонтальных направлениях.

13 заключении первого параграфа третьей главы доказывается теорема о единственности определения функции /1 по формуле (0). Пусть функции fi(r,¡j, Е, А),

/|Л(г — </(?■, —и;)и.\ Е,ы, А) lh(r,w,E, А)

(С)

Е, А) есть решения уравнения (I) с краевым условием

Е, А) = Е, А) = /¡(,-,0;, Е, А), (г,и.-) € Г", Е € [Л',, /'Л].

соответствующие наборам коэффициентов {/!,,/ч,-Л} и {/(.¡,А.\г,.^} соотве к- темно. Согласно теореме единственности, если для функции /|(г,Л', А) выполняются условия (Ы) - (1,5), и /,(|-,а>, Е, Л) = /2(г,и>, Я, А) для (г,и>, Е, А) € и Г+ /•,',) х[1), 1], го /(1(г, Ь) = /'2(1', Е) почти всюду в С.

Напомним, что для осуществления определения внутренней структуры среды были сделаны некоторые ограничения на коэффициенты, характеризующие внутренние свойства среды, и ограничения па входящее в среду излучение. Уели ограничения им среду являются вполне фиэпчиымп и носят довольно общий характер, то требования, наложенные на внешний источник излучения,являются оригинальными. Таким образом, встает вопрос о принципиальной возможности осуществления условий, наложенных па входящее излучение. В §2 третьей главы дается возможная конструкция внешнего источника излучения, в качестве которого взят единичный шар, заполненный "чисто поглощающей" средой (ннднкатрисса рассеяния равна нулю), со «ледующпм распределением внутренних источников

Дг,ы,Е, А) = </| |+А.

Во втором параграфе главы 3 показывается, что предложенный источник итерирует излучение, которое удовлетворяет требованиям, пред,.являемым к входящему излучению. Использование этого источника позволяет восстановить коэффициент полного взаимодействия в плоскости гз = 0. Далее, перемещая источник вдоль вертикальной оси, мы восстанавливаем функцию /1 и в других сечениях.

Н §3 главы 3 описаны три численных эксперимента, которые демонстрирую! эффективность предложенного метода определения внутренней структуры среды. Восстановление проводится водной плоскости. Наибольший интерес представляет треши эксперимент, в котором в качестве исследуемого обьсктл взят флпюм Кормака.

Предложенная модель описывает внутреннее отросши? головы человека при наличии пораженных участков в мягких тканях. Фатом Кормака является тестовым обьектом, который нередко используется специалистами, занимающимися вычислительной томографией, при проверке различных алгоритмов. В предложенном тосп' исследуемая среда имеет сильные рассеивающие свойства (рассеяние состлвлие i !Н| - I()i) процентов), что обычно заметно снижает эффективность т радиционных мет-дов рентгеновской томографии. Однако использование предложенного в дисссрпщип метода многократного облучения позволяет успешно преодолеть эту трудность. Все ■гесты снабжены наглядными иллюстрациями.

При проведении численных экспериментов, представленных в главе .4, использованы программа по решению прямой задачи для уравнения переноса методом Монте-Карло и программа обращения преобразования Радона, разработанные в Пнет и iy го прикладной математики ДВО РАН.

Основные результаты

1. Проведен сравнительный анализ двух основных моделей теории переноса излучения: уравнения переноса и уравнения диффузии. Указаны случаи, когда диффузионное уравнение хорошо согласуется с уравнением переноса. Однако, в общем случае, уравнение переноса является более предпочтительной моделью, описывающей процесс переноса излучения.

2. Изучена непрерывность решения краевой задачи и его производной по параметру для стационарного параметризованной» уравнения переноса при достаточно общих ограничениях па коэффициенты среды и фупкпню;оппсывающув> плотность входящего в среду излучения.

¡3. Доказана, единственность решения обратной задачи определения коэффициента полного взаимодействия уравнения переноса при использовании источника специального типа.

4. Предложен алгоритм, позволяющий восстанавливать коэффициент ионного взаимодействия (определение внутренней структуры среды)- Проведены численные эксперименты , демонстрирующие эффективность предложенного подхода.

5. Предложена и обоснована возможная конструкция внешнего источника излучения, который позволяет решать поставленную обратную задачу.

Личный вклад автора

Псе результаты, составляющие основное содержание диссертации, получены автором самостоятельно. В работах, выполненных в соавторстве, Л.Е.Ковташок инее следующий вклад: в работе [I!], в отдельном разделе, предложен и обоснован (теоретически и численно) метод многократного облучения для определения внутренней структуры среды и случае, когда процесс переноса излучения описывается одиооко-ростиым уравнением переноса (отсутствует зависимость от энергетической переменной); в работе [4] предлагается метод многократного облучения в случае многоско-ростпого уравнении переноса.

Список работ по теме диссертации

1. Ковгашок А.Е. Использование параметра для нахождения коэффициента ослабления уравнения переноса // Тезисы докл. Всесоюз. конф. "Условно-корректные задачи математической физики и анализа". Новосибирск, 1-5 июня 1992 г.

2. Kovtauyuk А.Е. Л formula for determination of attenuation coefficient, of transport, equation // Abstracts of Intern, syinp. on сотр. tomography. Novosibirsk, August. 10-14, 1993.

:i. Anikonov D.S., Prokhorov I.V., Kovtanyuk Л.Е. Investigation of scattering and absorbing media by the methods of X-ray tomography // .Journal of Inverse and Ill-Posed Problems, 199,'?, N4, pp.259-2Sl.

4. Anikonov D.S., Kovtauyuk Л.Е., Nazarov V.G., Prokhorov I.V. Direct and inverse problems of transport theory and their application in tomography // Abstracts IPES-9-1, Osaka, Japan, 1991.

5. Ковгашок А.Е. Определение внутренней структуры среды путем многократного облучения // Дальневосточный математический сборник, Вын.1, 1995, с 101118 .

(i. Kovtauyuk А.Е. Special boundary condition for the t ransport equation // Abstracts PMMC-95, Vladivostok, August 13-20, 1995.

7. Ковгашок А.Е. Сравнение основных моделей теории переноса излучения // Препринт 12-199G, ИПМ ДВО РАИ, 199G, 12 с.

8. Ковгашок А.Е. Специальные граничные условия для уравнения переноса излучения // Дальневосточный математический сборник, Вып.2, 1990, с.99-109.