Оптические свойства и флуктуации в жидких кристаллах с крупномасштабной одномерной периодичностью тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Поле точечного источника в средах с крупномасштабной одномерной периодичностью

1.1. Постановка задачи.

1.2. Функция Грина в среде с крупномасштабной периодичностью

1.3. Структура поля на больших расстояниях.

1.4. Возникновение запрещенной зоны в одномерно периодической среде с большим периодом.

1.5. Запрещенная зона как планарный волновой канал.

Глава 2. Особенности оптических свойств геликоидальных сред с большим шагом спирали

2.1. Основные уравнения,.

2.2. Асимптотическое решение волнового уравнения.

2.3. Функция Грина.'.

2.4. Поверхности волновых векторов.

2.5. Волновой канал с точки зрения геометрической оптики.

2.6. Предельный переход к нематическому жидкому кристаллу

Глава 3. Корреляционная функция флуктуаций директора в холестерических жидких кристаллах

3.1. Основные уравнения.

3.2. Применение метода типа ВКБ для решения проблемы.

3.3. Вычисление корреляционной функции.

3.4. Решение в окрестности точки поворота.

3.5. Учет точек поворота в функции Грина

В настоящее время жидкие кристаллы (ЖК) являются объектом интенсивного изучения как экспериментального, так и теоретического. Это связано с тем, что ЖК часто встречаются в природе, легко могут быть получены искусственно и обладают уникальными оптическими и статистическими свойствами. Особый интерес вызывают геликоидальные жидкие кристаллы, поскольку их активно используют в качестве систем отображения информации. К таким средам, в частности, относятся холестерические жидкие кристаллы (ХЖК), закрученные нематические жидкие кристаллы (НЖК) и некоторые виды смектических жидких кристаллов (СЖК).

С оптической точки зрения геликоидальные ЖК представляют собой одномерно периодические анизотропные среды. Проблема распространения и рассеяния волн в средах с одномерной периодичностью встречается в аку-стооптике [1, 2], полупроводниковых сверхрешетках [3], задачах геофизики, физики атмосферы и океана, когда среда может рассматриваться как слоистая [4]. Подобные проблемы возникают в оптике при изучении дифракции света [5], оптической голографии [6], распространения света в многослойных покрытиях.

Обычно при исследовании распространения волн в периодических системах основное внимание уделяется квазиплоским волнам [5,7-10]. Хотя этой проблемой занимаются довольно давно, здесь существуют серьезные математические трудности, связанные с тем, что задача сводится к решению системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, не допускающих в общем случае точного решения. Точное решение задачи распространения волн в одномерно периодической среде было найдено только для случая распространения волн вдоль оси симметрии системы [11,12,13]. В случае наклонного падения применялись в основном численные методы [5, 14]. Точное аналитическое решение для наклонного падения [15-18] имеет вид бесконечного ряда и достаточно сложно для анализа. По этой причине в оптике слоистых ЖК широко используются различные приближенные методы. Основное внимание при этом уделялось случаю, когда длина волны больше периода структуры [5]. В ХЖК такое приближение является основным до настоящего времени [19, 20]. Характерным для этого случая является появление запрещенных зон. В этом приближении изучаются как задачи распространения волн, так и вопрос о поле точечного источника (функции Грина) [21-25].

В последнее время повышенное внимание уделяется задачам нахождения функции Грина в системах со сложной структурой. Таких, как анизотропные среды [26, 27, 28], слоистые периодические среды [29, 30, 31], пароэлектрические хиральные среды [32], сверхрешетки [33]. Для одномерно-периодических сред эта проблема рассматривалась в работах [21, 22]. Сложность здесь состоит в том, что, в отличие от однородных изотропных и анизотропных сред, функция Грина в периодических системах зависит не только от разности пространственных координат, но и от их абсолютных значений. Для слабонеоднородной среды с мелкомасштабной периодичностью функция Грина была рассмотрена в работе [22].

Противоположному случаю, когда длина волны много меньше периода структуры ЖК, заметного внимания не уделялось. Для таких систем известно, что при распространении волн вдоль оси спирали имеет место адиабатический режим, когда поляризация волн испытывает поворот вместе с поворотом оптической оси [34]. В общем случае наклонного падения здесь представляется естественным использовать метод ВКБ, поскольку размер неоднородно-стей значительно больше длины волны. Однако непосредственное применение метода ВКБ затруднено тем, что здесь возникает система связанных уравнений [15, 16, 35].

Вместе с тем закрученные НЖК и ХЖК с большим шагом спирали в последнее время стали объектами интенсивных экспериментальных исследований в связи с их широким практическим применением. С точки зрения эксперимента эти среды мало отличаются от пространственно-однородных. Поэтому при анализе и обработке экспериментальных данных возникает проблема адекватного описания и определения параметров среды. Кроме того при диагностике методами рассеяния необходимо иметь последовательное теоретическое описание как оптических, так и статистических свойств. В частности для решения задач рассеяния и дифракции необходимо знать собственные волны среды, функцию Грина волнового уравнения и корреляционные функции флуктуирующих величин [36].

Изучение флуктуаций директора в ЖК позволяет получить важную информацию о строении и свойствах среды. ЖК очень чувствительны ко внешним полям и изменениям температуры. Это делает их интересным объектом как для экспериментального, так и для теоретического исследования. Для описания флуктуаций используют разные методы. Одним из основных является гауссова теория флуктуаций. В рамках этой теории изучается корреляционная функция [37-40], а также эффект Фредерикса - ориентационный фазовый переход под действием электрического или магнитного поля. Распределение директора в ХЖК при таком переходе получено в работе [41]. Кроме гауссовой теории для описания флуктуаций применяют и статистическую теорию. Это позволяет описывать поведение директора вблизи точек фазовых переходов. В работе [42] с помощью теории среднего поля описан фазовый переход из изотропной фазы в ХЖК, при этом были учтены пространственные корреляции молекул. Новое направление изучения флуктуаций директора - численное моделирование [43, 44]. Оно дает возможность прямого изучения флуктуаций директора. Так как на практике изучение флуктуаций возможно лишь по результатам экспериментов по рассеянию света.

При изучении флуктуаций директора в ХЖК возникают трудности, связанные с наличием пространственно-неоднородной структуры. В рамках гауссовой теории флуктуаций был изучен случай мелкомасштабной периодичности [37, 38]. Малость шага спирали по сравнению с длиной волны флуктуаций позволяет производить усреднение по большому числу периодов и применять методы теории Флоке. Другая половина проблемы - случай крупномасштабной периодичности - изучена слабо. Методы теории Флоке здесь уже неэффективны. В работе [45] показано, что некоторые свойства ХЖК с плавной периодичностью могут быть описаны с точки зрения НЖК, которые являются "предельными" ХЖК с бесконечно большим шагом спирали. Однако такой подход не всегда эффективен. Так, в НЖК радиус корреляции бесконечен даже вдали от критической точки, а наличие периодической структуры ХЖК позволяет ограничить этот радиус. Поэтому для решения проблем, связанных с плавно меняющимися свойствами представляется эффективным использовать методы типа ВКБ.

Настоящая работа посвящена исследованию систем, для которых период структуры велик по сравнению с длиной волны. Изучается распространение волн, функция Грина, корреляционная функция флуктуирующих величин. Исследование проводится в рамках метода ВКБ и его многомерного обобщения. Этот метод позволяет избежать трудностей, с которыми сталкивается теория Флоке в случае крупномасштабной периодичности. Обобщение метода ВКБ на многомерный случай позволяет учесть поляризационные эффекты и анизотропию среды.

Диссертационная работа построена следующим образом.

Первая глава посвящена изучению функции Грина волнового уравнения (поля точечного источника) в безграничной одномерно периодической среде с крупномасштабными неоднородностями. Показано, что поверхность волновых векторов имеет разрыв, а поверхность лучевых векторов - излом. Ограничение на направления волновых векторов связаны с захватом лучей и образованием плоского волнового канала. Исследуются асимптотики функции Грина внутри и вне волнового канала.

Во второй главе исследуется распространение света в геликоидальных жидких кристаллах с шагом спирали значительно большим длины световой волны. С помощью многомерного аналога метода ВКБ вычислена функция Грина электромагнитного поля в такой среде. Она содержит слагаемые, отвечающие обыкновенной и необыкновенной волнам. Проанализировано поведение функции Грина в дальней зоне. Показано, что для необыкновенного луча на поверхности волновых векторов существует запрещенная зона, которая в силу периодического изменения показателя преломления соответствует условию поворота луча и образованию плоского волнового канала. Как внутри, так и вне волнового канала траектория необыкновенного луча, определяемая его лучевым вектором, не является плоской. Асимптотики функции Грина внутри и вне волнового канала существенно различны.

В третьей главе рассматриваются флуктуации директора в холестериче-ских жидких кристаллах. Рассмотрен случай холестериков с большим шагом спирали. При помощи многомерного аналога ВКБ метода исследованы коротковолновые флуктуации. Построена корреляционная функция флуктуаций директора. Исследованы флуктуации в окрестности точек поворота. Изучены две проблемы: построение решений в окрестности точки поворота и проблема сшивания решений при проходе через точку поворота. Изучено влияние точек поворота на корреляционную функцию.

Основные результаты, полученные в данной работе, изложены в следующих публикациях:

1. Aksenova Е. V., Romanov V.P., VaVkov A. Yu. Green's function of wave field in media with one-dimensional large-scale periodicity. Physical Review E, 1999, V.59, N.l, p.1184-1192

2. Aksenova E.V., Romanov V.P., VaVkov A.Yu. Green's function of electromagnetic field in cholesteric liquid crystals with large-scale periodicity. Proceedings of the International Seminar "Day on Diffraction", 1999, p.7-15

3. Aksenova E.V., Romanov V.P., VaVkov A.Yu. Waveguide propagation of light in cholesterics with large pitch. Molecular Crystals and Liquid Crystals, 2001, V.359, p.351-364

4. Aksenova E.V., Romanov V.P., VaVkov A.Yu. Green's function of electromagnetic field in cholesteric liquid crystals with large-scale periodicity. Тезисы докладов международного семинара "Day on Diffrac-tion'99", Санкт-Петербург, 1999, c.47

5. Aksenova E.V., Romanov V.P., VaVkov A.Yu. Structure of forbidden zones in problems of wave propagation in media with large-scale periodicity. Тезисы докладов международного семинара "Day on Diffrac-tion'2000", Санкт-Петербург, 2000, с. 13

6. Aksenova E.V., Romanov V.P., VaVkov A.Yu. WKB method in the problem of thermal fluctuations in anisotropic media with one-dimensional periodicity. Тезисы докладов международного семинара "Day on Diffraction'2001", Санкт-Петербург, 2001, c.39 а также доложены на Международных семинарах "Day on Diffraction'99" (Санкт-Петербург, 1999г.), "Day on Diffraction'2000" (Санкт-Петербург, 2000г.), "Day on Diffraction'2001" (Санкт-Петербург, 2001г.) и Международной конференции "Physics of Liquid Matter: Modern Problems" (Киев, 2001г.).

Заключение

В данной работе получены следующие результаты:

1. Построена функция Грина скалярного волнового уравнения (поля точечного источника) в безграничной одномерно периодической среде с крупномасштабными неоднородностями.

2. Показано, что в такой среде поверхность волновых векторов имеет разрыв, а поверхность лучевых векторов - излом. Ограничение на направления волновых векторов связаны с захватом лучей и образованием плоского волнового канала.

3. Получены асимптотики функции Грина в дальней зоне внутри и вне волнового канала. Рассчитано распределение энергии, запертой в волновом канале.

4. Построена функция Грина электромагнитного поля в геликоидальных жидких кристаллах с большим по сравнению с длиной световой волны шагом спирали. Проанализировано поведение функции Грина в дальней зоне.

5. Показано, что функция Грина содержит слагаемые, отвечающие обыкновенной и необыкновенной волнам. Для необыкновенного луча на поверхности волновых векторов существует запрещенная зона, которая соответствует условию поворота луча и образованию плоского волнового канала.

6. Показано, что внутри и вне волнового канала траектория необыкновенного луча не является плоской.

7. Коротковолновые флуктуации директора в холестерических жидких кристаллах с большим шагом спирали рассчитаны с помощью многомерного аналога метода ВКБ.

8. Построена корреляционная функция флуктуаций директора в безграничном холестерическом жидком кристалле.

9. Получены флуктуации директора в окрестности точки поворота. Проведено сшивание решений при проходе через точку поворота. Рассчитана корреляционная функция флуктуаций директора с учетом точек поворота.

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям В.П.Романову и А.Ю.Валькову за долготерпение, поддержку и доброе отношение.

1. Гуляев Ю.В., Проклов В.В., Шкердин Г.Н. Дифракция света на звуке в твердых телах. УФН, 1978, т. 124, №1, с.61

2. Яковкин И.Б., Петров Д.В. Дифракция света на акустических поверхностных волнах. Новосибирск, Наука, Сиб. отд., 1979

3. Силин А.П. Полупроводниковые сверхрешетки. УФН, 1985, т. 147, №3, с.485

4. Бреховских JI.M. Волны в слоистых средах. М., изд-во АН СССР, 1957

5. Беляков В.А. Дифракционная оптика периодических сред сложной структуры. М., Наука, 1988

6. Колъер Р., Беркхарт К., Лин JI. Оптическая голография. М., Мир, 1973

7. Беляков В.А., Сонин А.С. Оптика холестерических жидких кристаллов. М., Наука, 1982

8. Карпов С.Ю., Столяров С.Н. Распространение и преобразование волн в средах с одномерной периодичностью. УФН, 1993, т. 163, №1, с.63

9. ОЫапо С., Ponti S. Acoustic wave propagation in structurally helical media. Phys. Rev. E, 2001, V.63, N.l, 011703

10. Pi-Gang Luan, Zhen Ye Acoustic wave propagation in a one-dimensional layered system. Phys. Rev. E, 2001, V.63, N.6, 066611

11. Oseen C.W. Trans. Faraday Soc., 1933, V.29, p.883

12. De Vries H. Rotatory power and other optical properties of certain liquid crystals. Acta Crystallogr., 1951, V.4, N.3, p.219

13. Кац Е.И. Оптические свойства холестерических жидких кристаллов. ЖЭТФ, 1970, т.59, №5(11), с.1854

14. Чандрасекхар С. Жидкие кристаллы. М., Мир, 1980

15. Berreman D. W., Scheffer T.J. Order versus temperature in cholesteric liquid crystals from reflectance spectra. Phys. Rev. A, 1972, V.5, N.3, p. 1397

16. Berreman D.W. Optics in stratified and anisotropic media: 4X4-matrix formulation. J. Opt. Soc. of Am., 1972, V.62, N.4, p.502

17. Berreman D. W. Stratified media: optics in smoothly varying anisotropic planar structures: application to liquid-crystal twist cells. J.

18. Opt. Soc. of Am., 1973, V.63, N.ll, p.1374

19. Sah Yuvaraj, Suresh K.A. Anomalous transmission at oblique incidence in absorbing cholesterics liquid crystals. J. Opt. Soc. Am. A., 1994, V.ll, N.2, p.740

20. Galatola P. Spatial dispersion and rotatory power of short-pitch periodic dielectric media. Phys. Rev. E, 1997, V.55, N.4, p.4338

21. Hubert P., Jagemalm P., Oldano C., Rajteri M. Optic models for short-pitch cholesteric and chiral smectic liquid crystals. Phys. Rev. E, 1998, V.58, N.3, p.3264

22. Peterson M.A. Light propagation and light scattering in cholesteric liquid crystals. Phys. Rev. A, 1983, V.27, N.l, p.520

23. Вальков А.Ю., Романов В.П., Шалагинов А.Н. Рассеяние волн на случайных неоднородностях в одномерно периодических средах. Акуст. журн., 1991, т.37, №4, с.636

24. Nicorovici N.A., McPhedran R.C., Petit R. Efficient calculation of the Green's function for electromagnetic scattering by gratings. Phys. Rev. E, 1994, V.49, N.5, p.4563

25. Nicorovici N.A., McPhedran R.C., Bao Ke-Da Propagation of electromagnetic waves in periodic lattices of spheres: Green's function and lattice sums. Phys. Rev. E, 1995, V.51, N.l, p.690

26. Galatola P. Light scattering in anisotropic stratified media. Phys. Rev. E, 1994, V.49, N.5, p.4552

27. Вакулин А.В., Тюриков JI.Г. Поле точечного источника в упругой однородной анизотропной среде. Акуст. журн., 1996, т.42, №6, с.741

28. Moskvin D.N., Romanov V.P., Valkov A. Yu. Green function of the electromagnetic field in biaxial media. Phys. Rev. E, 1993, V.48, N.2, p. 1436

29. Dajun Cheng, Wei Ren Green dyadics in reciprocal uniaxial bian-isotropic media by cylindrical vector wave functions. Phys. Rev. E, 1996, V.54, N.3, p.2917

30. Paulus M., Gay-Balmaz P., Martin O.J.F. Accurate and efficient computation of the Green's tensor for stratified media. Phys. Rev. E, 2000, V.62, N.4, p.5797

31. Paulus M., Martin O.J.F. Green's tensor technique for scattering in two-dimensional stratified media. Phys. Rev. E, 2001, V.63, N.6, 066615

32. Morozov G.V., Maev R.Gr., Drake G.W.F. Green's function analysis of electromagnetic waves in two-layered periodic structures with fluctuations in thickness. Phys. Rev. E, 2001, V.63, N.5, 056601

33. Dajun Cheng Eigenfunction expansion of the dyadic Green's function in a gyroelectric chiral medium by cylindrical vector wave functions. Phys. Rev. E, 1997, V.55, N.2, p.1950

34. Alvarado-Rodriguez I., Halevi P., Sanchez A.S. Dipole radiation in a one-dimensional photonic crystal: ТЕ polarization. Phys. Rev. E, 2001, V.63, N.5, 056613

35. Mauguin M.C. Bull. Soc. Franc. Miner. Crist., 1911, V.34, p.71

36. Вальков А.Ю., Гринин P.В., Романов В.П. Распространение света в хиральных жидких кристаллах с большим шагом спирали. Опт. и спектр., 1997, т.83, №2, с.239

37. Рытое С.М., Кравцов ЮА., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. Ч. 2. Случайные поля. М., Наука, 1978

38. Lubensky Т. С. Hydrodynamics of cholesteric liquid crystals. Phys. Rev. A, 1972, V.6, N.l, p.452

39. Stephen M.J., Straley J.P. Physics of liquid crystals. Reviews of Modern Physics, 1974, V.46, N.4, p.617

40. Стратонович P. JI. Пространственная корреляционная функция тепловых флуктуаций в холестерических жидких кристаллах.

41. ЖЭТФ, 1977, т.73, №3(9), с.1061

42. Вещунов М.С. Рассеяние света в холестерических жидких кристаллах. ЖЭТФ, 1979, т.76, №5, с.1515

43. Chatterjee A., Van Winkle D.H. Metastable structures of cholesteric liquid crystals with negative diamagnetic anisotropy in magnetic fields. Phys. Rev. E, 1997, V.55, N.4, p.4360

44. Liangbin Ни, Yonggang Jiang, Ruibao Tao Spatial correlation effects of molecules on the helical structure of cholesteric liquid crystals. Phys. Rev. E, 1998, V.57, N.4, p.4289

45. Andrienko D., Germano G., Allen M.P. Liquid crystal director fluctuations and surface anchoring by molecular simulation. Phys. Rev. E, 2000, V.62, N.5, p.6688

46. Watson P., Anderson J.E., Bos P.J. Twist-energy-driven Helfrich modulations in cholesteric liquid crystals illustrated in the transient-planar to planar transition. Phys. Rev. E, 2000, V.62, N.3, p.3719

47. Harris А.В., Kamien R.D., Lubensky T.C. Molecular chirality and chi-ral parameters. Reviews of Modern Physics, 1999, V.71, N.5, p.1745

48. Якубович В.А., Старжинский B.M. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их применения. М., Наука, 1972

49. Бриллюэн Л., Пароди М. Распространение волн в периодических структурах. М., Иностранная литература, 1959

50. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М., Наука, 1973

51. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., Наука, 1977

52. Ландау Л.Л., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М., Наука, 1982

53. Фелсен JI., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. т. 2. М., Мир, 1978

54. Де Жен П. Физика жидких кристаллов. М., Мир, 1977

55. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М., Наука, 1988

56. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М., Наука, 1969

57. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Наука, 1983

58. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородныхсред. М., Наука, 1980

59. Железняков В. В., Кочаровский В. В., Кочаровский В л. В. Линейное взаимодействие электромагнитных волн в неоднородных слабоанизотропных средах. УФН, 1983, т. 141, №2, с.257

60. Lax М., Nelson D.F. Linear and nonlinear electrodynamics in elastic anisotropic dielectrics. Phys. Rev. B, 1971, V.4, N.10, p.3694

61. Lax M., Nelson D.F. In Proc. of III Rochester Conference on Coherent and Quantum Optics, New York, Plenum, 1973

62. Kuz'min V.L., Romanov V.P., Zubkov L.A. Propagation and scattering of light in fluctuating media. Physics Reports, A Review Section of Physics Letters, 1994, V.248, N.2-5, p.71

63. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т.2. Справочная математическая библиотека. М., Наука, 1966

64. Перель М.В. Взаимодействие мод при трансэкваториальном распространении радиоволн. Проблемы дифракции и распространения волн, вып.23, Ленинград, изд-во Ленинградского университета, 1990, с.58

65. Перель М.В. Перевозбуждение мод в анизотропном волноводе земля ионосфера на трансэкваториальных трассах при наличии двух близких точек вырождения. Радиофизика, 1990, т.ЗЗ, №11, с.1208

66. Список основных обозначений

67. А (£) матрица с периодическими элементами1. Ci 1 Кзз/Кц

68. Ct доля энергии, уходящей в волновой каналd период структурые^1) вектор поляризации обыкновенной волные^2) вектор поляризации необыкновенной волны

69. Е(а) нормальный эллиптический интеграл Лежандра второго рода

70. Е напряженность электрического поля (ЕХ: Еу, Ez)

71. G корреляционная функция флуктуаций директора

72. Н напряженность магнитного поля (Нх, Ну, Hz)1. U q2/k20e±1.единичная матрица1.(a) модифицированная функция Бесселя первого рода

73. J интенсивность в волновом канале

74. К (а) нормальный эллиптический интеграл Лежандра первого рода

75. S(e) лучевой вектор необыкновенной волныs единичный лучевой вектор необыкновенной волныt единичный волновой вектор необыкновенной волны1. Т температура1. Т(г, ri) функция Грина

76. Тдг(г, ri) вклад в функцию Грина волн, испытавших N отражений

77. T(r, ri) тензорная функция Грина ТW (г, п) функция Грина НЖКщр флуктуационные моды

78. Фр свободная энергия Франкаx(z) угол падения на плоскость, перпендикулярную оси z1. Ф1 собственные вектора

79. Ф, tyj изменение фазы вдоль луча

80. О, ко/а, большой безразмерный параметр

81. Q q/a, большой безразмерный параметр