Оптимальная политика фирмы с несколькими технологическими процессами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Институт математики Национальной академии наук Беларуси

ттт РТо ОД

Габасова Ольга Рафанловна

ОПТИМАЛЬНАЯ ПОЛИТИКА ФИРМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ

01.01.09 — математическая кибернетика

Автореферат диссертации па соискание ученой степени капдидата физико-математических наук

Минск, 2000

Работа выполнена в Белорусском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профе*

сор Калинин А.И.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, пр<

фессор Минченко Л.И.,

кандидат физико-математических наук, д< цент Белых Ю.Э.

Оппонирующая организация: Санкт-Петербургский государственны

университет

Защита состоится 3.11.2000 в 12°° на заседании совета по защите ди< сертаций 01.02.02 в Институте математики Национальной академи наук Беларуси по адресу: 220072, Минск, ул. Сурганова 11, тел. учёног секретаря — 284-19-63.

^^диссертацией_можно_ознакомиться в библиотеке Институтаматемг тики Национальной АН Беларуси

Автореферат разослан " ¿¿и-тлТ/гЯ. 2000 г.

Учёный секретарь совета по защите диссертаций, доктор физико-математических наук профессор

9 Щ ! о

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Настоящая работа посвящена применению методов оптимального управления к оптимизации динамических моделей фирмы. Статическая теория фирмы разработана d настоящее время весьма полно. Динамические модели, которые формализуются как задачи математической теории оптимального управления, значительно труднее поддаются исследованию (методами оптимального упрапления) из-за наличия в них фазовых л смешанных ограничений.

Первые оптимизационные задачи, связанные с динамическими моделями фирмы, появились в 60-е годы XX века и решались методами классического вариационного исчисления, хотя в те годы математическая теория оптимальных процессов была разработана достаточно полно. Это объясняется тем, что в рассматриваемых задачах игнорировались прямые ограничения на управления, что позволяло использовать технику и результаты классического вариационного исчисления. Учет прямых ограничений наряду с фазовыми и смешанными ограничениями ррзко усложнял задачу и переводил ее из класса задач вариационного исчисления в самый трудный класс задач оптимального управления. В конце 60-х годов XX века были получены первые результаты по оптимальному управлению динамическими моделями фирмы с помощью принципа максимума Понтрягина. Юргепсон (Jorgenson, 1967 г.) исследовал производственную модель фирмы па бесконечном промежутке времени. Главным недостатком его модели считается то, что решение существует только для капитала, удовлетворяющего определенному условию. Гулд (Gould, 1968 г.) развил модель Юргенсона путем введения затрат на внедрение инвестиций и смог решить задачу Юргенсона для всех начальных объемов капитала.- D 1972 г. Леландом (Leland) была предложена первая динамическая модель фирмы, учитывающая наряду с производством процессы финансирования. Она и послужила фундаментом для исследования производственных и финансовых процессов. Модель Людвига (Ludwig, 1978 г.) является наиболее Злнзкой к современным моделям динамической теории фирмы. Лесорн и Лебан (Lesournc, Leban, 1978 г.) предложили учитывать ограничения на объем кредита, а также ввели налоги на прибыль. Методы, использованные Людвигом, и модель Лесорна - Лебапа явились основой для исследовании многих экономистов (Hilten, Kort., Loon, Jorgensen). Однако, при этом исследовались лишь программные решения и результаты этпосились к очень узкому множеству начальных состояний. Позици-энные решения (или, другими словами, оптимальные управления типа эбратной связи) в известных работах по динамической теории фирмы

совсем не рассматривались.

В динамической теории фирмы остается ряд актуальных псрешеп-пых проблем. Естественным средством решения этих проблем по общему призпапию является математическая теория оптимальных процессов.

Связь с крупными научными программами, темами. Исследования проводились п рамках НИР кафедры методов оптимальпого управления Белгосуниверситета (199С - 2000 гг.), а также в соответствии с договором с Белорусским республиканским фондом фундаментальных исследований N Ф98-014 от 1 марта 1999 года по теме "Математические методы оптимального синтеза для динамических моделей экономики".

Цель и задачи исследования. Цслыо диссертационной работы является обоснование и построение оптимальных программных к позиционных решений для производствецпо-фицапг.овой модели фирмы с несколькими технологическими процессами — одной из актуальных задач микроэкономики. Для этой цели были рассмотрены и решены следующие задачи: доказательство достаточных условий оптимальности для одной задачи оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями, построение оптимальных программных и позиционных управлений для определения оптимальной политики фирмы с одним технологическим процессом в классе обобщенных функций, построение й анализ моделей фирмы с двумя технологическими процессами, развитие подхода магистральных задач для динамической модели фирмы с двумя технологическими процессами, обоснование и построспие опти-т«алы1ъ1х~программпыхги~позициопных реи1спий в классе обоби;епных управлепий для динамической модели с двумя технологическими процессами, обоснование построения оптимальных программных и нози. циопных решений в классе кусочно-пепрсрывных допустимых управлений.

Объект и предмет исследования. Объектом и предметом исследования являются задачи оптимальпого управления и математические модели м акроэкономики.

Методология и методы исследования. В диссертации используются теэрия обыкновенных дифференциальных уравнений, методь математической теории оптимальных процессов, методы и результать экономической динамики.

Научная новизна полученных результатов. Все результаты иолученпые в диссертации, являются повыми. Впервые с помощью до

статочных условий оптимальности, полученных па основе метода приращений, обоснованы методы построения оптимальных программных и позиционпых решений для производствсппо-фипансовых моделей фирмы с несколькими технологическими процессами.

Практическая значимость полученных результатов. Полученные результаты можпо использовать при анализе и сиптезе математических (динамических) моделей экопомики. Достаточные условия оптимальности, полученные для общей задачи оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями, могут оказаться полезными для решения других прикладных задач.

Экономическая значимость. Выполиенпая работа имеет теоретическое значение. Определение экономического эффекта от использования результатов диссертационной работы в пастоящее время затруднительно.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

На защиту выносятся следующие результаты

— Доказательство достаточных условий оптимальности управлений в одной задаче оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями.

— Построение оптимальных программных и позициопных управлений для динамической модели фирмы с одним технологическим процессом в классе обобщенных управлений.

— Построение и анализ математической модели фирмы с двумй технологическими процессами; развитие подхода магистральных задач для оптимизации динамической модели фирмы с двумя технологическим процессами.

— Построение оптимальных программных управлений и сиптез оптимальной политики фирмы с двумя технологическими процессами к классе обобщеппых управлений.

— Синтез оптимальпой политики фирмы с двумя технологическими процессами в классе кусочпо-пепрерывпых фупкций.

Личный вклад соискателя. Работы, на основании которых написана диссертация, выполнены лично соискателем или в соавторстве с Р.Ф. Габасовым, Н.М. Дмиртрук (1 статья (2 части)). Из совместной с Р.Ф. Габасовым и Н.М. Дмитрук статьи в диссертацию включен полу-чеппый автором совместно с Н.М. Дмитрук базовый материал (разделы 2.1 и 2.2.), как вспомогательный для последующих рассмотрений.

Апробация результатов. Основные результаты докладывались

на:

— 15 Международном конгрессе IMACS по научным вычислениям, моделированию и прикладной математике (Берлин, Гермапия, 1997г.)

[5];

— XX Международном научном симпозиуме студентов и молодых ученых (Зелепа Гура, Польша, 1998г.) [б];

— XIII Международной копферепции "Systems Science"(Вроцлав, Польша, 1998 г.) [7];

— Междупародпой конференции по проблемам управления, посвященной 60-летию Института проблем управлепия РАН им. В. А. Трапезникова (Москва, Россия, 1999) [12];

— 6-ом Международном симпозиуме по теории адаптивных систем (Санкт-Петербург, Россия, 1999) [8];

— 11 Международном семипаре ИФАК "Control Applications of 0ptimization"(CaiiKT-nerep6ypr, Россия, 2000) [9];

— Международной VIII Белорусской математической конференции (Минск, Беларусь, 2000) [13];

— Международной межвузовской научной конференции "Региональная экономическая школа"(Гродпо, Беларусь, 2000) [11].

— 1С Международном конгрессе IMACS по научным вычислениям, моделированию и прикладной математике (Лозанна, Швейцария, 2000).

Опубликованность результатов. По теме диссертации опубликовано 14 работ ([1] - [14] в списке использованных источников). Среди них 4 статьи в международных и отечественных журналах, 5 статей в материалах конференций, 5 - тезисы конференций. Общее количество страниц опубликованных материалов составляет 81 страницу.

Структура и объем диссертации. В диссертации имеется Введение, Общая характеристика работы, Обзор литературы, 4 Главы, Список использоваиных источников и Приложение. Полный объем 109 е., из них 8 с. занимает список использованных источников (92 наименования), ft с. - Приложение. В работе 16 таблиц, 18 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Первая глава содержит обзор литературы по теме диссертации.

Вторая глава посвящепа исследованию оптимальной политики динамической модели фирмы, использующей в производстве один технологический процесс, в классе обобщенных управлений. Математическая модель задачи имеет вид:

V(D,I) = ae~izX(z) + / e~HD{t)dt max,

J о

X = rX + S - {a + r +wl)K - D, К = -aK + /; (1)

X(0) = Xo, X(0) = Ko-, О < D(t) < Dmax, Tmin < I{t) < I max', X(i) < K(t) < (1 + k)X(t), t e T.

Здесь X = X(t),K = K(t) — собствеппый и общий капиталы к моменту t; D = D(t),I = I(t) — дивиденды и инвестиции в момент t\ S = S(qK) — функция выручки; q — производительность единицы капитала, а — весовой коэффициент предпочтения (если а > 1, то акционеры отдают предпочтение собственному капиталу; если а < 1, то — дивидендам), а, г — нормы амортизации и дисконтирования, г, w — ставки процента по кредиту и заработной плате, I — трудоемкость реализации единицы капитала, к — отпошепие максимального кредита к собстпенпому капиталу, 2 — горизопт плапировапия.

Функциопал V(D,I) представляет собой ценность фирмы с точки зрения акционеров; X, К — фазовые переменные; Z>, I — перемеппые управления.

Магистралями Xm(t),Km(t), t е Т. задачи (1) называются оптимальные траектории специальной задачи, которая получается из задачи (1) после удалепия из пее ограничений па инвестиции (дивидепды). Рассмотрим случай, когда удалены ограничения па инвестиции:

V{D,I) = ae-izX(z) + f e~HD{t)di шах, Jo

X = rX + S - (a + Г + wl)K -D, К = -aK + I, (2)

Х(0)=Хо,К(0) =K0, О < D{t) < Dmax,t е]0,г], X(t) <K{t) < (1 + k)X{t), t £jT= [0,z].

Для достаточно больших z магистрали представляют оптимальные траектории лишь для начальиых состояний (Хо,Кд), лежащих на одпой та изолированных траекторий Xa(t),Ka(t),t £ Т, которые являются эешепиями вспомогательной задачи оптимального управления (раздел 1.2), Хо = Ха(т),Ко = Ка(т),т G Т . Для остальных допустимых на-1альпмх состояпий задача (2)в классе кусочно - непрерывных управлений не имеет решения. С целью формирования оптимальной политики

G

фирмы модели (2) для всех допустимых начальных состояний расширим класс доступных управлений и будем считать, что он состоит из функций вида

D(t) = D0S{t) + D(t), î(t) = I0S(t) -f Щ, t б Г, (3)

где Dr,Iq — параметры обобщенных управлений, подлежащие вычислению; S(t),t G R, — 5 - функция Дирака.

С экономической точки зрения расширение класса доступных управлег ий до управлений вида (3) озпачает, что в пачалъпый момент t = 0 для каждого начального состояния (Xq,Kq) имеется возможность мгновеиьэ выдать конечный объем дивидендов и произвести инвестирование в конечном объеме. Конкретные (допустимые) значения для указанных конечных изменений определяются фазовыми ограничениями и условием неотрицательности дивидендов:

Х0 - Do < Ко + 10 < (1 + k){X0 - Do), Xo-Do> X„D0 > 0.

При таких зпачепиях параметров траектория системы (2) с начальным условием Х(—0) = Хо,К(—0) = Ко под действием управлений (3) в начальный момент t = 0 совершает скачок и в момент t = +0 оказывается в состоянии Х(+0), JT(-f-O), которое удовлетворяет ограничениям

х, < Х(+0) < Х„, Х(+0) < К(+0) < (1 + к)Х(+0).

Чтобы для задачи (2) не доказывать достаточные условия опти-мальпости-в расширеппом-классе-доступпых-управлспий (3),-замсним-задачу (2),(3) на эквивалентную задачу оптимального управления в исходном (раздел 2.1) классе доступных управлений, по с измененными условиями па левом конце допустимых траекторий:

Х0 - Х(0) + ae~"X{z) + f e-HD{t)dt -> max,

J о

X = rX + S-(a + r+ wl)K -D, К = -aK + (4)

X, < X(0) < X*, X(0) < K{0) < (1 + k)X{0), D{t) > 0,

X(t) < K(t) < (1 + k)X(t),t € T.

В задаче (2), (3) левый конец траектории закреплен, в задаче (4) он подвижен и может принимать любое положение, допускаемое неравенствами X, < Х(0) < Х%Х(0) < ÜT(O) < (l+fc)X(0). Задача (4) является

частным случаем общей задачи оптимальпого управления, исследованной в Приложепии.

Теорема 2.2. Если найдутся такие кусочпо - пепрерывпые фуп-кции /¿(4), (¿),^ 6 Т, непрерывные функции А^(<), А2(£),£ € Т, числа £1,... ,£4, и выполняются следующие соотношения:

1) сопряженная система

А1 =А1(г'-г) + ^1 -1/2(1 +/с), А2 = А2(г' + а + гу/) - А1 [дБ/Ж - (а + г)] - щ + ь>2;

2) условия трапсверсальности па левом копце траектории

-1+ + ^ + =0, -6 -6 + А2(+0) = 0;

3) условия трансверсальности на правом конце траектории

А!(г) = 1,А2(г) = 0;

4) условия неотрицательности

/¿(£) > 0, 1/1(0 > 0, !*(*) > 0,г € Т; (г > 0, £2 > 0, 6 > 0, & > 0;

5) условия дополняющей пежесткости

6(Х0 - А(0)) = 0, 6(^(0) - Х(0)) = 0, 6((1 + ВД0) - К{0)) = 0, £4(Х(0) - А») = 0;/х(4)Л(«) = 0, ^(£)(#(£) - *(*)) = 0,

6) условия стационарности управлений

1 - Аа(£) + fi.it) = 0, А2(*) = 0,« € Г;

7) условие вогнутости

[ А1(£)о(|ДЛГ|)Л < 0, о(|ДВД|) = 3{Ч(К+АК))-3(дК)-АКд8/дК; ¿о

то допустимые начальные состояния Х(0),/С(0), управления £>(<),/(£),( £ Т, траектория Х{Ь),1 Е Т, оптимальны в задаче (4).

Эта теорема используется для сиптеза оптимальной политики фирмы в задачах (2)-(3), (4). Множество пачальпых состояний (Хц, Ко)' для которых существуют допустимые управления (2)-(3) в расширенном классе доступпых управлений или задачи (4) в исходпом классе доступных управлений, состоит из точек принадлежащих множеству

Я = { (Хо,Ко) :Х.<Х0< Х*,Х0 < К0 < (1 + к)Х0 }.

К К'

К,

Кху

О

___Х_1 ____уХ

Е /

/С' \? Жуъ \3' \ \ м

№у ■ /1/ 1 \ V

К\ \ х

к

А» А*у Хху А* А.

Рис.2.3

В задаче (4) реализуется 5 типов дуг. Дуги 4 и 5 являются стационарными состояними для ситуации дорогого (г < г) и дешевого кредитов (г > г) соответственно. Опи палпаим состояниями блажеп-стпа. Отдельно рассматриваются 4 ситуации. 1е) г < г, а > ^(дорогой кредит, предпочтение капиталу), 1<г) г < г, а < 1— (дорогой кредит,предпочтение дивидендам), 2е) г > г, о: > 1— (дешевый кредит, предпочтение капиталу), 2л) г > г, а < 1— (дешевый кредит, предпочтение дивидендам). Для каждой из этих ситуаций существует единственная оптймальпая траектория (едипствеппая магистраль X'"(£), К"1(£). < £ Г): 1е) 1 ^ 2 3 4 3е; 1"*) 1 2 3 -> 4 -»• З'1 2е 1-*: 2е) 1 -> 5 1е -> 2е 3е; Г*) 1 -> 5 1*. Дуги 1е - 3е являются продолжениями дуг 1 - 3 за состояние блаженства 4 или 5.

1. Ситуация дорогого кредита.

Для каждой части из произвольных точек построим допустимые траектории (рис.2.3):

\ ио — -Лх —Ло,1о — лх -Ло у

2. Ситуация дешевого кредита.

Построим допустимые траектории для произвольных точек из каждой области А, В, С (рис. 2.4):

. ( ад = *0,*(о) = (1 + вдо));

(6)

В,С : ( п *<°> - 3-.

\ иа — Ху — = Ку — Ка у

Для доказательства оптимальности построеппых на рис. 2.3 и 2.4. траекторий проверяются условия трансверсальности па их левых концах.

Экономическая интерпретация.

I. Случай дорогого кредита.

1. (Хо,Ко) € А. Фирма в начальпый момент { = 0 с помощью кредита расширяет производство с пачального Ко до максимально возможного уровня (1 + /г)А'о и далее следует по магистрали.

2. (Хо,1^о) £ В. Фирме пет смысла в начальный момент брать максимально возможный кредит, достаточно ограничиться объемом КххI ~ -Ко-

3. (Хо,Ко) £ С. Начальпый капитал Ко избыточен для оптимальной политики, надо в начальпый момепт его сократить до уровня Кху.

4. (Хо,Ло) 6 В. В начальный момепт надо полпостью избавиться от долга {К(0) = Х(0)).

5. (Хо,-Ко) € -Б. В начальный момепт надо выдать дивиденды в объеме Хо — Хх и сократить капитал с К а до Кх •

II. Случай дешевого кредита.

1. (Хо, Ко) 6 Л. Фирма в начальный момепт < = 0 с помощью кредита расширяет производство с начального капитала Ко до максимально возможного уровня (1 + к)Хо и далее следует по магистрали.

2. (Ха,Ка) £ В. В начальный момент фирма выдает дивиденды Ху — Хо и расширяет производство с Ко до Ку.

^ -» 1 -»■ 5 Iе 2е 3е,

3. (Хо,/Го) G С.В начальный момент фирма выдаст дивиденды Ху — Хо, при этом сокращает объем общего капитала с Kg до Ку.

В разделе 2.4 описан синтез оптимальных позиционных управлений.

В главе 3 исследопапы основные факторы влияющие па поведение фирмы, использующей дна технологических процесса производства. На базе трех оспоппых финансовмх документов фирмы составляется математическая модель задачи об оптимальном поведении фирмы.

Пусть фирма функционируют па конечном промежутке времени Т = [0, г], где z - горизонт планирования, и использует для производства однородной продукции два технологических процесса. Капитал фирмы в момепт времени t 6 Т обозначим через К = K(t). С помощью этого капитала фирма в момент t производит Q = Q(t.) единиц продукции. Эта продукция может выпускаться двумя технологическими процессами (T1I). При использовании первого ТП (1 ТП) от вложения единицы капитала получается q\ единиц продукции (производительность 1 ТП), второго — <12•

Таким образом, если в момент t фирма, имея капитал К, направляет его часть Ki = K\{t) в 1 ТП, остальную часть К2 = K2{t) во 2 ТП, т.е.

K(t) = Kiit) + K2{t),K1(t),K2(t) > о, то объем Q — Q(t) произведенной в момент t продукции будет равен

Q(t)=q1K1{t) + q2K2{t).

_Реализация капитала в каждом из ТП сопряжена с затратой трудовых ресурсов. Обозначим через íj объем трудовых ресурсов, необходимых для реализации единицы капитала в 1 ТП, через 12 - во 2 ТП. Тогда для реализации всего капитала K(t) в момент времени t потребуется L = L(t) = l\K\ (i) + l2K2(t) единиц трудовых ресурсов.

Пусть w — ставка ппработпой платы. Тогда финансовые затраты фирмы па реализацию капитала К окажутся равными

wL = wl\K\ +'wl2K2.

Мачзматичекая модель фирмы с двумя технологическими процессами имеет вид:

I(D,I,u) = e~izX{z) + f. e~uD{t)dt max, . (7)

J о ■

X = (1 - f)[rX + 5 - (a+r)K] - (1 -,f)wL - D,K ——aK + /,

и

L= -haK + l2I - {k - h)u, X(0) = Xo,K[0) = Ko,m = ЬКо - (h - h)K10, X{z)=X*,K[z)=K',L{z)=L\

imax min ^ ^ "î'maa;?

X{t) < K{t) < (1 + k)X(t),hK(t) < L(t) < l2K(t),t G T.

Наряду с этой задачей исследуется упрощеппая математическая модель:

J(D,I,Kx) = e-izX{z)+ / е-\0(*)<Йmax, (8)

Jo

X^rX+S-{a + r + wï2)K + (h - h)wKi -D,K = ~aK + /, X(0)=Xo,K(0) = Ko, D(t) > 0,X(i) < K{t) < (1 + k)X(t), Q<K,(t)<K(t),teT.

Для задачи (8) доказываются достаточные условия оптимальпости в классе кусочпо-непрерывпых фупкций. Проведеп анализ экстремальных дуг, из которых в силу сделанных в диссертации предположений реализуются 12 дуг. Свойства дуг 1-12 используются для построения экстремальных траекторий.

С целью формирования оптимальпой политики фирмы для модели (8) при всех допустимых начальных состояниях расширим класс доступных управлений и будем считать, что он состоит из функций вида

D{t)=D05{t)+D{t),ï{t) = + еТ, (9)

где .Do До — параметры обобщенных управлений, подлежащие вычислению; S(t),t & Т, — S - функция Дирака, D(t),I(t),Kj(t),t 6 Т, — кусочно-непрерывные функции.

Каждой тройке D(t), I(t),Ki(t),t G Т, доступных управлений соответствует траектория X(t),K(t),t € Т, прямой системы (8), которая в начальный момент времени t = 0 совершает скачок ДХ(0) = —Dq,AK(Q) — 70, а далее представляется непрерывными функциями X(t), K(t),t g]0,z]. Таким образом, в начальный момент имеется возможность на конечную величину изменить объемы собственного и общего капиталов фирмы.

Заменим задачу (8), (9) иа эквивалентную задачу оптимального управления с подвижным левым концом допустимой траектории:

Х0 - Х(0) + e~"X(z) + Г e~uD(t)dt -> шах,

J о

X = rX + S - (а + г + wl2)K + (l2 - h)wl<i - D,

К = —а А' + /, (10)

X* < Х(0) < Х0, Х(0) < Л'(0) < (1 + к)Х{0), D{t) > 0,

; < (1 + ВД0, 0 < < i е т.

В задаче (10) левый конец траектории подвижен и может принимать любое положение, допускаемое неравенствами X» < Х'(0) < Хо,Х(0) < Л'(0) < (1 4- ¿)Х"(0). Достаточные условия оптимальности для управлений D(t), I(t), Ki(t), t G T, остаются такими же, как и для задачи (8). Новым элементом будут условия трансверсальности палевом конце траектории. Теорема 3.3, доказанная в диссертации, содержит достаточные условия оптимальности управлений для задачи (10).

Множество начальных состояний, для которых существуют допустимые управления задачи (8), (9) в расширенном классе доступных управлений или задачи (10) в исходном классе доступных управлений, состоит из точек (Хо, Ко), принадлежащих множеству

П = {(Х0, Хо) : X* < Х0 < Х*,Х0 < К0 < (1 + ¿-)Х0}.

Ситуация дорогого кредита.. 1. Множество допустимых начальных состояний Q разобьем на части А, В, С, D, Е, F, G-

Для каждой части из произвольных точек построим допустимые траектории:

( Х(0) = Хо, Л'(0) = (1 + Ar)X(O) N Лш\ Do = 0,ro = {l + k)Xo-I<Q )

-> 1 -» 3 ->• 4 9 ->■ 11 ->• 12,

. ( Х(0) = Хо, К(0) = (1 -ь А-)Х(0) ^ и • ^ D0 = Q,I0 = (l + k)X0-K0 )

—>4—>9—>11—>12,

ДВ: = ) —9 11 -> 12, (И)

\ П0 = 0,10 = А1ХУ - Ло )

> с V х(о) = х1Х, к(0) = л^х А 12_

^ Оо = Х\х - А"0) /о = К\х ~ К0 )

Скачки (ДЛ'(О), ДЛ'(О)) фазовых переменных задачи (8) в начальный момент I = 0 равны:

А : АХ(0) = 0, ДЛ'(О) = (1 + к)Х0 - Ко;

В : ДЛ'(О) = О, ДЛ'(О) = (1+ А-)Л'о - А'0;

С : ДХ(0) = О, ДЯ(0) = (1 +■ к)Хо - Л'о;

Д Е : ДЛ'(О) = О, АК{0) = К1Ху ~ Л'о;

^ : ДЛ'(О) = О, ДЛ'(О) = Аг(0) -

С : ДХ(О) = Х1Х, АА'(О) = К\х ~ К0.

Чтобы доказать оптимальность траекторий, достаточно проверить условия оптимальности (трансверсальности) на их левых концах.

Область А. Х(0) = АГ0,Л'(0) = (1+ £•)*„. Точка (Х(0),Л'(0)) лежит на дуге 1, вдоль которой Ах(0) > 1\е\ = Хо — А(0) = 0,=» ¿ц > 0, е2 = Л'(0)-Х(0) > 0 Ь = 0,е3 = (1+А-)А'(0)-ЛГ(0) = 0, => > 0, е4 = = Х0 - X, > 0 => £4 = 0.

Проверим условия стационарности : £3 + А2 = 0, т.к. А2(+0) = 0,=>

& = 0;-1-6+6(1 + Л) + М+0) = 0=>-1-£1 = -А1(+0)=>6 > 0.

Таким образом, все условия оптимальности на допустимой траектории, выходящей из области А, выполняются. Значит, она является оптимальной.

Область В. Х{0) = Х0,К(0) = (1 + А)Х0. Точка (Х(0),К(0)) лежит на дуге 3, на которой А^) > 1; — Хо — Х(0) = 0 => £1 > 0,е2 = К(0) - А'(0) > 0,=» 6 = 0, е3 = (1 + к)Х(0) - К(0) = 0, > 0,е4 = А'0 - А. > 0 => = 0-

Из условий стационарности получаем £з + А2 = 0, — 1 — £1 4- £з(1 4-к) + Ат(4-0) = 0, т.е. £1 > 0, и все условия оптимальности на допустимой траектории, выходящей из области В, выполняются, что означает, что она оптимальна.

Область С. А'(0) = А'о, К{0) = (1 + *г)Х0. Точка (Х(0),/С (0)) лежит надуге4,где Х1[г) > 1; ^ = Х0-Х(0) = 0 =>• 6 > 0, е2 = К(0) — А'(0) >

О & = 0, е3 = (1 + А)Х(0) -^(0) = 0, <£з > 0,е4 = Х0 - X, > О =Ф 6 = 0.

Из условий стационарпости имеем + А2 = 0, —1 — £1 + £з(1 4 Щ АЦ+О), т.е. 6 > 0. Следовательно, все условия оптимальности н; допустимой траектории, выходящей из области С, выполняются.

Область Х(0) = Х0,К(0) = Кгхг- Точка (Х(0),К(0)) лежит па дуге 9, где ¿1(4-0) > 1; а = Х0 - Х(0) = 0 & > 0, «а = К[0) -Х(0) > 0,6 = 0, е5 = (1+ +к)Х(0)~К(0) > 0 =» 6 = 0,е4 = Х0 -X, > 0 =Ф- 6 = 0. Из условий стациопарпости имеем — 1 — & + А^+О) — 0 => £1 > 0. Таким образом, псе условия оптимальности на допустимых траекториях, выходящих из областей £>,£?, выполняются.

Область Х(0) = Хо>К(0) = Х(0). Точка (Х(0),^(0)) лежит на дуге 11, где М*) > 1; С1 = Х0 - Х(0) = 0, е2 = К{0) - Х(0) = О =» 6 > > о, е, = (1+ +к)Х{0)-К(0) >0=*Ь = 0,СА=Хъ-Х.> о и = 0. Из условий стационарности имеем -1 - £1 - £2+ А^+О) = 0

Л2 = 0 (1 > 1, т.е. все условия оптммальпости на допустимой траектории, выходящей из области Г, выполняются. Поэтому она является оптимальной.

Область (?. Х(0) = Х1Х,К(0) = Кис-Точка (Х{0),К{0)) лежит па Дуге 12, где Аа(<) > 1; ех = Х0 - Х(0) > 0 =*• 6 - 0, с2 = К(0) -Х(0) = 0, 6 > 0, е3 = (1+ +к)Х{0) - ^(0) > 0 =» & = 0,с4 =

Х0 - X, > 0 6 = 0. Из условий стационарности имеем -1 - £2 + АД+О) = 0, 6 + А2 = 0 А: (+0) = 1. Таким образом, все условия оптимальности на допустимой траектории, выходящей из области б, выполняются. Следовательно, она является оптимальпой.

Приведем экономическую интерпретацию оптимальной политики

фирмы для различпых начальпых состояний.

1. (Хо,-Ко) € А. Фирма в начальный момент ¿ — Ос помощью кредита расширяет производство с начального Ко до максимально возможного уровня (1 + к)Х0, выбирая при этом второй технологический процесс производства, и далее следует по магистрали.

2. (Хо,Ло) 6 В, С. Фирма берет максимально возможный кредит, использует первый процесс производства.

3. (Хо,) £ Ю. Фирма ограничивается объемом капитала в размере Кху - Ко.

4. (Хо)-К'о) 6 Е. Начальпый капитал К0 избыточеп для оптимальпой политики, надо в начальный момспт его сократить до уровня Кту.

5. (Х0,К0) £ Г. В начальпый момент надо полностью избавиться от долга (К(0) = Х(0)). Производство расширяется за счет собственных средств.

6. (Лго, К0) £ С. Б начальный момент надо выдать дивиденды в объеме Хо — Хх и сократить капитал с Ко до Кх.

Остальные случаи исследуются апалогичпо.

В ралделе 3.7 рассмотрел сиптсз оптимальных позициоппых управлений. Определим дна числа:

— наибольшее время, необходимое для того, чтобы под воздействием оптимального управления система из начального состояпия (считаем область начальных состояний замкнутой) вдоль траектории задачи (1) достигла состояпия блаженства :

10(&,) — тах ¿о(Хо,Ко), (х0,ка)еп.

— наибольшее время, необходимое для выполнения условия Ах (г) — 1 при движения по магистрали:

¿° = тах

а» <ос< а*

Если г > ¿о + и 0 < г < ¿о? то выполняются соотношения: 2?°(т|т,Р) = и°(0,Р) = Х?°(Р), /°(г|т,р) = /°(0,Р) = 1°(Р), (12)

К%(т\т,Р) = К?(0,Р) = К?{Р), если 0 < т < ¿о.

Свойство (12) озпачаст, что оптимальные управления типа обратной связи не зависят от т, поскольку оптимальпые траектории для любых пачальпых состояний совпадают с траекториями для т = 0. Вид функций В0(Р},1°(Р),К^(Р) определяется соотношениями (11), которые и определяют синтез оптимальпой политики фирмы как для случая дорогого, так и для случая дешевого кредита. Оптимальпое поведение фирмы подчиняется принципу магистрали: для каждого начального состояпия из Я фирма сначала движется к магистрали и после достижения ее до конца процесса управления следует по ней.

В главе 4 задача оптимизации политики фирмы, рассмотренная рапсе в классе обобщенных управлений, решается в классе кусочно-непрерывных управлений.

Решение задачи основано па построении оптимальных траекторий двух вспомогательных (магистральных) задач: 1) первая магистральная задача — удалены ограничения на инвестиции и верхнее ограничение на дивиденды; 2) вторая магистральная задача— удалены ограничения на дивиденды и верхнее ограничения на инвестиции.

Рассмотрим первую магистральпую задачу:

V(D,I) = e~uX{z) + [ e~HD(t)dt —шах,

Jo

X = rX +S- (a + r + wl2)K + (l2 - h)wKi -D,K= -aK + I,

X(0)=Xo,K(G)=Ko, (13)

0<jD(i),jf(t) <K(t)<{l+k)X(t), 0<K1(t)<K(t),teT = [0,z].

При некоторых дополнительных предположениях в первой магистральной задаче реализуется только С типов дуг. Дан анализ прямых и сопряжепных переменных па дугах 1-6. Если в задаче (1) горизонт планирования z достаточно велик (число z должно быть больше, чем время движения по траектории 1—> 2 —>3—> 4 —>5 от начального состояния (Х,,(1 + k)X,) до стациопарпого состояпия {К\х,Кц<)), то траектория

1—»2-»3-+4->5—»6

является решением магистральной задачи.

Траектория 7 6 представляет решение второй магистральной задачи (магистраль).

Пусть Г& - траектория прямой системы (1) при D = 0,1 = IminiKi = К, касающаяся луча Y (К = (1 + к)Х)\ точка касания (Кь/{ 1 + к),Кь), где Кь - корень уравнения (1 + k)(S(qKi) — -ш1гК) — k(a. + r)K — I7njrl. Кривая Ki разбивает допустимую область fî между лучами Х(К = X) и Y па две подобласти: iîj и О» (рис.4.1). При любых законах управления D(t),(t),Ki(t),t G Т, и большом горизонте планирования z траектории, начинающиеся в области iîj, покидают допустимую область il. Поэтому назовем Пь областью банкротства.

Допустимая область Q, с помощью магистралей 1—>2—>3— 5 —> 6 и 7 6 разбивается па подобласти A—I (рис. 4.1). Для начальных состояний (Xq,Kq) из А — I построены участки выхода на магистрали. Оптимальные траектории имеют вид:

A: (D = О, I = Imax,Ki = 0)->-l->2-+3->4-+5->6;

В : (2? = 0,J = Jme*,ATi = 0)2-» 35-> 6;

С : (£> = 0,J = Inin,Ki = 0)->-2->3->4->5->6;

D: (D — 0,1 — I,nin,K\ = 0) 3 —> 4 —>• 5 6;

Рис. 4.1

Е: (О =0,/ = /™»,^ =(«»К-<Эи)/(92 -<71)) (14)

(Б = 0,1= 1ты,Кг =0)—>3-44—>-5—>6;

Р: (1> = 0,/12)/(92-д1))_»4-^5-»-6;

С: =

(-0 = 0,/ = 1т1п,К\ = (дг^ — <^12 — 91)) —> 4 —> 5 —> 6;

Я: (П = 0,1 = 1т{„,К1=К)-+5->6;

I: (£> = 0,1 = /„,-„,/Г, = /¡Г) -4 7 -> 6.

Из (14) и рис. 4.1 следует, что оптимальпая политика фирмы подчиняется магистральному принципу: все оптимальные траектории задачи (1) на начальном участке движения выходят па одпу из магистралей и до окончания промежутка планирования движутся по ней.

В диссертации построены проекции оптимальных траекторий задачи (1) на плоскости (Х.К) и (К\ ,К). Если до начала функционирования фирмы задано некоторое распределение (Кю,К2о) начального капитала Ко между технологическими процессами, то в момент 4 == 0 производится перераспределение капитала по правилам: К\ = 0, ЛГг (0) — Ко, если Ко £ [Х.,К12]-, #1(0) = (ъК0 - ЯпЖъ - 91 №(0) = (Я 12 - йЯо)/(© -й), если Ко ^К^К^К^О) = К0,К2{0) = 0, если Ко 6 [К}2,К1']. Эти правила изображены стрелками из точек (К\, К)

между лучами ЦК — К\) и П(К\ = 0).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации разработан метод построения программных рсшс-пий для пелинейпой задачи оптимального управления с фазовыми г смешанными ограничениями, к которой сводится ряд задач оптимизации экономических динамических моделей фирмы. Построена и проанализирована математическая модель фирмы с двумя технологическими процессами. Метод исследования динамических моделей фирмь с одним и двумя технологическими процессами основан на доказанные автором диссертации достаточных условиях оптимальности и решети вспомогательных (магистральных) задач.

С помощью указанного подхода построены оптимальные программ пые и позиционные решения для следующих задач микроэкономики:

1. Оптимизация производственно-финансовой модели фирмы с однил [2] и двумя технологическими процессами [4, 5, 6, 7, 9] в классе обоб щепных управлений.

2. Оптимизация производственно-финансовой модели фирмы с двум} технологическими процессами в классе кусочно-непрерывных функци? [5, 8, 13, 14].

3. Синтез оптимальной политики фирмы с двумя технологическим» процессами [6, 7, 9, 11, 13, 14].

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Габасова O.P., Габасов Р., Дмитрук Н.М. Синтез оптимальной по литики для производственно- фипапсовой модели фирмы. I. По строение магистралей // Автомат, и телемех. - 1998. - N 9. — С 100-117.

2. Габасова O.P., Габасов Р., Дмитрук Н.М. Синтез оптимальной но литики для производственно- финансовой модели фирмы. II. Про граммпые и позиционные решения // Автомат, и телемех. - 1998 -N 10. - С. 95-112.

3. Габасова O.P. Достаточные условия оптимальности в задаче опти мизации фирмы с двумя технологическими способами производ ства // Вестник БГУ. Сер. 1. - 1999. - N 3. - С. 72 - 74.

4. Габасова О.Р. Оптимальная политика фирмы с двумя технологическими способами производства // Вестник БГУ. Сер. 1. - 2000.

- N 2. - С. 49 - 52.

5. Gabasova O.R. Optimal Policy of the Firm with Two Production Activities. // 15-th IMACS World Congress on Scientific Computation, Modelling and Applied Mathematics: Book of Proc. / Wissenschaft & Technic Verlag. - Berlin, 1097. - Vol. 2. - P. 7G7-770.

6. Gabasova O.R.Synthesis of Optimal Policy of the Firm with Two Production Activities. // 20-th International Scientific Symposium of Students and Young rcsearcli workers: Book of Proc. / Politcclmika Ziclonogorska. - Zielona Gura, 1998. - Vol. V, part. II: management,.

- P. 211-215.

7. Gabasova O.R. An Optimal Control Problem Originating from the Dynamic Theory of the Firm. // The 13th International Conference on Systems Sciencc (Computer Systems - Information Systems. Technical Applications. Nontechnical Applications): Book of Proc. -Wroclaw, 1998. - Vol. III. - P. 270-277.

8. Gabasova O.R. Optimal Synthesis of a Nonlinear Control System. // The 6th Sb. Petersburg Symposium on Adaptive Systems Theory: Book of Proc. - St. Petersburg, 1999. - Vol.1. - P. 94 - 97.

9. Gabasova O.R. Synthesis of Optimal Policy of the Firm Using Two Production Activities. // 11-th IFAC Workshop "Control Applications of Optimization": Book of Proc. - Saint Petersburg, 2000. - Vol. 1. - P. 126-131.

10. Gabasova O.R. Optimal Policy of the Firm with Two Production Activities. // 15-th IMACS World Congress on Scientific Computation, Modelling and Applied Mathematics: Book of Abstacts, Berlin, August 24 - 30, - Berlin. 1997. - P. 80S.

11. Габасова О.P. Об оптимальной политике фирмы с двумя технологическими способами производства. // Междупар. межвузовск. научи, конф. "Региональная экономическая школа": Тез. докл., Гродно, 27 - 28 мая 2000 г. - / ГрГУ. - Гродно. 1999 - С. 32 - 34.

12. Габасова О.Р., Дмитрук Н.М. Построение оптимальных управлений тина обратной связи для задач дипамической теории фирмы.

// Междунар. конф. по пробл. управления: Тез. докл., Москва, 29 июня - 2 июля 1999 г. / Ипст. проб л. управлепия РАН. - М.: Фонд "Проблемы управлепия". 1999. - Т. 1. - С. 121-123.

13. Габасова О.Р. Об оптимальной политике фирмы, использующей в производстве два технологических способа. // Международная VIII Белорусская математическая конференция: Тез. докл., Минск, 19-24 июня 2000 г. - / Институт математики НАНБ. -Мгнск. 2000. - Ч. 4. - С. 60 - Gl.

14. Gabasova O.R. Synthesis of Optimal Policy of the Firm Using Two Production Activities. // 11-tli IFAC Workshop "Control Applications of Optimization": Book of Abstracts - Saint Petersburg. 2000. - P. 79 - 80.

РЕЗЮМЕ Габасовой Ольги Рафаиловны Оптимальная политика фирмы с несколькими технологическими процессами

Ключевые слова: оптимальные управления, фазовые и смешап-пые ограничения, программные и позициоппые решения, обобщенные управления, достаточные условия оптимальности, производствеипо-финапсовая модель фирмы, магистрали, несколько технологических процессов, сиптез.

Диссертационная работа посвящена обоснованию и построению программных и позиционных решений для производственно-финансовой модели фирмы с одним и: двумя технологическими процессами. Метод, предложенный в диссертации, основан на достаточных условиях оптимальности и принципе магистральных задач.

Осповпые результаты диссертации:

— с помощью метода приращений доказаны достаточные условия оптимальности управлений для одпой задачи оптимальпого управлепия с фазовыми и смещаппыми ограничениями, возникающей в экономической динамике;

— построепы оптимальные программные и позициоппые управления для динамической модели фирмы с одпим и двумя технологическими процессами в классе обобщенных управлепий;

— с помощью подхода магистральных задач осуществлен синтез оптимальной политики фирмы с двумя техпологическими процессами в классе кусочпо-пепрерывпых функций.

Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Они могут быть использовапы при анализе и синтезе математических (динамических) моделей экономики, а также для решения различных прикладных задач.

РЭЗЮМЕ ГаБАСАВАЙ Вольп РАФА1ЛАУНЫ Аптымальная пал1тыка фдрмы з некалыим! техналаг!чпым1

працэсам1

Ключавыя слоны: аптымальпас шраванис, фазавыя i змсшапыя аб-межавапт, прагрампыя 1 пазщыйпыя рашэпт, абагульпепыя юрапашп, дастатковыя умовы антымальпасщ, вытворча-фшапсавая мадэль ф1р-мы, мапстрал1, искальш тэхналапчпых працэсау, сштэз.

Дыссртацыйная работа прысвсчана абгруцтаваншо 1 пабудовс нра-грампых 1 пазщыйных рашэппяу для вытворча-фшансавай мадэт фф-мы з адпым I двума тсхпалапчным! працэсамь Метад, праиапавапы у дысертацьн, заснавапы на дастатковых умовах антымальпасщ 1 прын-цыпе мапстральпых задач.

Аспоуныя рэзультаты дысертацьп:

— з дапамогай мстада лрырашчэпняу даказаны дастатковыя умовы антымальпасщ для адной задачи аптымальнага иравапня з фазавым! 1 змешапым1 абмежаваппям1, узшкаючай у эканам1чнай дынамщы;

— пабудаваны аптымальпыя прагрампыя I пазщыйпыя юрапашп для дыпам1чпай мадэ л 1 ф^рмы з адпым 1 двума тэхиалагЬпн>ш1 працэ-сам! у класс абагул1>исных к1равапняу;

— з дапамогай падыхода мапстральпых задач ажыццеулспы сштез аптымальпай палггыш ф1рмы з двума тсхпалапчпым! працэсам1 у класс кусочпа-безупыппых фупкцый.

Усс рэзультаты, атрымапыя у дыссртацьп,-з'яуляюцца новым!. Япы могуць выкарыстоувацца пры анализе I сштэзе матэматычных (ды-пам1чных) мадэляу экапом1к1, а таксама для рашэння розных прыклад-ных задач.

SUMMARY Gabasova Olga Rafailovna Optimal Policy of the Firm with Several Production Activities

Keywords: optimal control, phase and mixed constraints, open-loop and closed-loop solutions, generalized controls, sufficient optimality conditions, production-financial model of the firm, turnpikes, several production activities, synthesis.

In the thesis methods of constructing optimal open-loop and closed-loop controls for the production-financial model of the firm with several production activities are justified and constructed. The methods suggested are based on sufficient optimality conditions and the turnpike principle.

Main results of the tliesis are as follows:

— sufficient optimality conditions for one optimal control problem with phase and mixed constraints originating from the economic dynamics are proved with the help of the increment method;

— optimal open-loop and closed-loop controls for a dynamical model of the firm with one and two production activities in the class of generalized controls are constructed;

— with the help of the method of turnpike problems the synthesis of optimal policy of the firm with two production activities in the class of pieccwise-continuous functions is realized.

All the results arc new. They can be used for analysis and synthesis of mathematical (dynamical) models of economics and also for the solution of the various applied problems.