Оптимальное преследование в некоторых дифференциальных играх тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

т од

п г ¡шщибтерство высшего и средного

^спёциа'Льного образования республики

узбекистан

ташкентский государственный университет

НА ПРАВАХ РУКОПИСИ

КУЧКАРОВ Атамурат Шамуратович

удк 517.977.8

ОПТИМАЛЬНОЕ ПРЕСЛЕДОВАНИЕ В НЕКОТОРЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИГРАХ

01.01.02 — Дифференциальные уравнения

авто реф ерат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ч ТАШКЕНТ— 1994

Работа выполнена в институте математики им. В. И. Романовского АН РУз.

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук Б. Б. Рихсиев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор А. А. Азамов

кандидат физико-математических наук Б. К- Эшмаматов

Ведущая организация: Самаркандский государственный университет им. А. Навоий.

Защита состоится « 30 » ¿¿/т9/^Ь 1994 г в /Г .часов на заседании специализированного совета Д 067.02.21 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при ТашГУ по адресу: 700095, Ташкент—95, ВУЗгородок, ТашГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ТашГУ.

Автореферат разослан « 30 »¿¿¿¿¿¿^ 1994 Г-

Ученый секретарь у /

специализированного совета У/^З/

доктор физ.-мат. наук. с. Р. Умаров

ОНЯАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория дифференциальных жр является разделом математической теории управления, которая занимается азученжм упразлеахя объекта?® в хоЕфгккткнх ситуациях, огаснЕземаз: д;ф5еренга-'.аль2нки ураннэгиямк. К настоящему времена в теор:гя дгСФерез'Дяалъных: и? дсстлгпута зна-чигельзае

УСПЭЕ!.

СуЕдамеатальжа вклад з развитие теория дай^резииальязх жр придадлегит школам академиков Я.Н.Крэсовского я Л.С.Поется-

N

гнна. ОсаовсполагзиЕае результата з теоржг дзЭЗербнцйальаыз' игр получзян в трудах А-Азймоеа, Р.АЯзекса, В.Д.Еерхсвичз, А,Брайтона, Р.В.Гамкрияядге, Е.Д.Грягсреяхэ, П.З.Гусятнжозз, М.И.Зйлжйнэ, Д.Л.Нелвцяяеридзе, Н.Н.Красовсхого, А.В.Курзая-схого, В.Н.ЛагузоЕэ, А.А.Меяикяна, г.Ф.Миаезхс, Л.А.Петросяна. В.С.Еоловинкан, Л.С.Понтрягзгаа, Б.Н.ЕсензчныЯ; Я-Сатамова. А.И. Суббоетаа, В.ЗЛр&тякова» У.Сбреминга, ¿.ФриамаЕЗ, А-ГЛенцона, ■З.Д.Черноусъко, А.А.Чикрия я др.'

В последние -годы стали появляься исследования, посвяиввзив сроблемв-задэчз оптимального Ервследоваггя 'в' дя^ренциальназ: ■играх со многая! преследухйл-ет. .Среди ша отметил труды В.Н.Швнзгшого, П.Б.ГусятникоЕза, М.С.Никольского, Л.А.Петросяза, Р.П.'ИваноБа, Ю.С.Лздяева, В.В.Разсиевз, Л.Пзшкоеа и др. а

Стремлеа;тэ к большой адекватзоста матемзтаэсксг моделей к грактачоска! задачам обусловило зеобзсохииос-гь изтчеэги реагдалыжх дар с йнтзградйшиа 01рзнгчзшшз. Такгэ агри лзкз-б-да* зсззжаю?, аслг, ззггрпнер, упжывзтаСг ограничэннссть ре-"

сурсов в процессе движения объектов. В этом направлении ваяние результата получена в работах Н.Н^Красовского, М.С.Никольского, В.В.Остапенко, Б.Б.Рихсиева, Н.Сатаыова, В.Ё.Третьякова и др.

Цель работы. Построение оптимальных стратегии преследования и уклонения, нахождение цены или оптимального времени преследования в некоторых дн^фзренциальЕых играх.

Методы исследования. В работе используются метода теории дифференциальных уравнения, математической теории оптимальных процессов, функциавального анализа и выпуклых множеств.

Научная новизна. I. Исследована зздачи оптимального преследования с несколькими преследователями одного убегавдего с простым дапением. При этом в явном виде описаны ценз игра (оптимальное время преследования) и оптимальные стратегии преследующих и'преследуемого объекта.'

2. Рассмотрена линейная дифференциальная игра с интегральными ограничениями на управления объектов. Исследованы некоторые свойства мнояестЕО достижимости объектов. Построены оптимальные стратегия объектов и а явном виде описано цена игры.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы для дальнейшего теоретического исследования дяффе-. ренциальЕШ игр, в частности, проблеме оптимального преследования. Практическая ценность работы заключается в возможности-, драаенения полученных результатов к решения задач. Еозвикаюиих в технике,экономике и др.

Апробация работы. Результаты диссертации до-

-кладнвзянсь и обсусдались на секкваре по дифференциальным играм в Ташкентском государственном университете, Всесоюзной конференции "Дифференциальные уравнения и оптимальное управления" (г.Ашхабад,19ЭС г.), на VIII конференции СНГ "Качественная теория дифференциальных уравнения" (Самарканд, I9S2 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовало 5 работ, в которых отражено оснсЕное содержание диссертации.

Объем и структура работ н. Диссертационная работа изложена на 116 страницах мапкнного текста к состоит из введения, трех глав, разделенных Еа 9 параграфов.Список литература содержит 123 наименований.

СОДЗКШИЕ РАБОТЫ о

Во введение приведены краткий обзор работ по диссертационной работе к постановка задач.

Б главе I рассматривается дифференциальное игры, в которых движения преследукют объектов ?., Р_,..., Р и.преследуемого

* ' i С. IL

объекта Б в пространстве Кп описиваотся уравнениями Pt: x\(t) = uta;, X^IC) = xt0, i = 1. г, .... я;

И)

Е: y(t) = v(t), у(0) = у0. f

Здесь Uj- параметр управления преследуешего a v - преследуемого Е. Будем предполагать, что параметры управления удовлетворяют условиям |U¡ ^ О, |Ц{| § Pit í - 1, 2, я.

Стратегии и двкгения игроков определим в соответствии cl). I). Субботин ¿.И., Ченцов А.Г. Оптижзация гарантии в задачах управления.-М.:Наука, I9SI, 288с.

В | I рассматривается следушвя дифференциальная ктрг. Движения преследователей ,Рг , .... к преследуемого Ев В? ош-сгваптся уравнениями (I). Плата шра'задается равенством

ТГЕГ-Л =1, где. гМ = хг(-), У(-)),

% ~*моыент времени, когда шерваз выполняется соотношения

I х^г) -> уги I « г{

для некоторого г,. 1 с £ ^ п+7. Здесь г,, 12, 1п+1 - эафлк-сирозанные числа.

Рассмотрим систему уравЕзний

- х,р\ - = [а - - г? = Ю - - (2) Рг Р2 ' ' ' Рп*»

относительно неизвестного вектора а с. Е? ,'

Л е к к г 1.1. Пусть р4 > О, >. О, 1 = 1,2, .... п-И. 1огда система уравнении (2) икеет не более двух решений.

Пусть К(г,Ь) - шар радиусом Ь - ис центром в точке х. Бологим К - с си» ю, х20.....,

Т(20) »= iair.fi ^ 0:-Е(^о, с!; с= ДНГг{"0, р{1 (3)

г-

2 е о .р е м а.1.1. Пусть 1-1, 2, .... ти-1,

£ 1гс£К к система уравнений (2) имеет единственное рвие-вие . ¿огда, если существует индексы: , 1г, 1 < £ ?, £2 £ тм-?, такие, что р. ? р. , то число Т(г„) (см.(З)) является де-ной ¡при (оптимальном временем преследования).- *-

П р е. д б о л о х е е к я IЛ. Система уравнений (2) имеет дзз различий решения с, и а£ , а, 1 а,,.

Обозначим

♦ >с' " - Ь , - - Ь _ ,

г.

Теорема 1.2. Пусть 1,20, 1 = 1,2* .... п+1, л

э-

вшолненопЕрвдпэлоавЕие Г.1. .Тогда если

и0 ф шк Д. (Щаг ог^хягс^,

тс число Т(Л0) (см.(3)) является ценой игры (оптимальном временем преследования) в паре классов стратегии Ид03* . .

В £ 2 рассматривается оптимальнее преследование объектов Р1, ?2, ..., ?п объекта. 2 на полупространстве, йри рт -р2 = ,,..■= р = а 7 .Найдено условие на начальные позиции объектов,. для которых, возмолшо вычислять цены игры. 3 явном. ЕИДе опиеззн оптимальные стратегии объектов в паре классов стратегии

В £ 3 рассматривается оптимальное сблиэешыЭ двух' объектов к одному объекту на факсяровавйЬм отрезке времени, т.е. .плата игры имеет вид

7*2,го. 3(•» » яй» 1хг(-»г —(4)

1=1. г * 4,

где Ъ - фиксированное число.. ■ -

Теорема 1.4. Пусть < ст, рг < а .Тогда цена игра : (I),(4> совпадает'с программкам-максимиаом, т.а.,число -

лох я1л 7Г-Г (•), у(>))

а>Н «■(•). . .....

является ценой игры, где и( ■) £ и(-)-(и}С'), 1Г,,

7т и и, - классы программных стратегии'.>, • *

В дифференциальных играх, рассматриваем^* з главе IX, дни-

женил преследующих объектов Р(. Р2, Ря и преследуемого объекта 2 описываются уравнениями

I

х{ + 1а)х1 = = х1а, I =1, 2, .... т;

(5)

2: и + Аа)у = и, Ц(г0) = У0,

где у, и<р V € Еп , 1.= 7, 2.....я; и,, и2, ..., иж и

га

V - соответственно управляйте параметра преследователей. и преследуемого; А(Г) - п*п матрица зависящая от времени £ непрерывном образом. Предпологается, что управлящие параметра удовлетворяет условиям ^

X «О2. " ltt.fiЛ2« =5 р?. С = 1, 2, .... я. (6)

*о -о

В- | 4 доказывается рад лемм о свойствах множества достизи- .

моста объектов. Через Н(у0, а, -в) обозначим множество достижи-

• « ■

мости объекта 1 из начального положения у<г0) = у0 к моменту времени Ч. •

Лемма 2.1. Множество а, -в) является эллипсо-

идом в В".

Пусть Н{ (-в) - гиперплоскость с нормалью содержащая

непустого мнохестЕО ( п - 1 мершга эллипс)

= е&{у0, о. -в> п ен(х<0, -в) , 1 $ I « т .

Лемма 2.2. Пусть множество является (п - 1) мерным эллипсом ... Гагда выпол няется равенство

I | т>шг |

* 'л

Г РГ-д.ГУпкаг = - х10)-2- , 1 < I < л.

0

где FCti.t) = X' X(-Q,t), 2(i,t) - является решением матричного дифференциального уравнения е

<2(t,t)

~3t

= zci.t)A(t)

и удовлетворяет условию 2(г,1)=1, I -единичная матрица, X'(-6,t)~ транспонирования матрица. X(t,t).

Предположение 2.1. Существует число Т = Т(20) такое, что

T(z0) = rain im0: B(y0.a,t) <= ДН(z{0,pt.t)>. (7)

Гиперплоскость Rt(3), проходяпий через (ti-1) - мернШ эллипс S{ разделяет пространство If на два полупространства: R*(T) и R~(T), при это«,

Н(у0, а, Т) П »+(!)<= Н(х0, р^Г), i € i S а .

Лемма 2.3. Пусть у^LintZ = tnt comix ю, хго, ....

s^) и выполнено предположение 2.1. Тогда исполняется вклшеЕия

Н(у-.аЛ) <= " i=i

Б |5 рассматривается дифференциальная игра (5) с платой

КХ^-), Хг(-).....Хш(-), у(')) = V* г , (8)

где г - момент времени, когда5 впервые вполнится равенстве x{lt) = y(t) при некотором {, 1 < i $ я .

Теорема 2.1. Пусть y^tintZ и выполнено предположение 2.1. Тогда для цена c(ic,zQ) игра (6),(8) вшгслаяется

неравенство C(t0,zp) < 1(tc,zc} - t0, где. Ht0,z0) зачисляете.0. формулой (?).

Пусть е,, е, z К,, к......Я. - собственные *

ic TÍ ; ¿ п

I

вмстош к соответствушие собственные числа матрицы J F(T,tWt и

' • 4о

FfT, í j - U(1)Z'(1:,t), где^кагрлца М(Т) уравлетворя&т равенство

M(Det = еч, i = Ч, 2. 3, Положим

í.fTJ = якs vs2Z \Y(l,t)e\ viin \Y(1,t)e\ í0$re? |e|«7

Неореке 2.2. Пусть . у0 X i^iíK и выполнено предположение 2.1. Ioives, если

р4 £ (í + ЯГГ))а, i = Í, .2, .... je, то тесло Т - í0 является цево2 игры (6), (8).

Отметим,' что в процессе докгзетелства теорем 2.1 к 2.2 в явном Екие списываетея оггшкальнле кратегки Ьбьектов. Б конце параграф хризеден^ примеры.

Б - f 6 исследуется оптимальное сближения многих объектов к д.

одному стенту» т.е., рассматривается дифференциальная игра

(5)-(6) с платой .

(•), Z {■), .... г |i w - ywj. (9)

7 ¿ * ísiea 1

тде в - фиксированное "число (момент оканчания игры). Пусть ■

TW = jkíji {a * О: Е(у0,а,-е) с: U В(г10',р4+а,-в^ (10)

■е :

к , .\ - собственные числа матрицы /fce.íídí.

"¿o

- 11 -

Теорема 2.3. Пусть р , р2, .... р к о - шлоей-тельнне числа, у0 £ IntK , у«) - число исчисляемое формулой (10). Тогда для цени с(*„,г_) ди^фепешшальвоИ кгрк (5)-(S),(9) справедлива оценка ° ""

ц;/27(«) « c(te.z0) W.

где ц = min iX.J. р = ягг й J.

Из теоремы 2.3, легко вытекает

Теорема 2.4. Пусть р,, р2, .... р и о - пологи-тельные числа, у0 £ tntZ, - число, вычисляемое формулой (10)

Тогда число является ценой игры (5)-(6),(9),если

выполнено одно из условий

1. H(j/0,о,в) шар в Eft

2. 7W = 0. °

В дифференциальной игре, рассматриваемой в главе III, днк-генкя преследующих объектов , ?2 , ... ,Рж к преследуемого объекта Б в R* описываются уравнениями

Р{: ; + a^dtefC" + ... + o^ftJa, = u{ ^ Cxtft0J, ...........x(tpi~n(t0J ) =t){0, l = T7i

2: iW * a0, (ttytoo* f ... + aos0(t)y = v'

( yfi0;. y<V- y^c-'htj) = r^,

где x , у, u , ti € Rn; u,. v - векторы управления объектов P, и В, 1 = 1,2,..., к, соответственно, - Функции,

зависящие от Бремени t непрерывном образом.

- 12 - >

Время окакчания игры фиксировано . а плата игры задается равенством - 0

хЛ-"). у(-)) = Мп |х.(«; - (113

С тюмодье стандартной замене переиеЕШ1г2-> исходную игру мс£но сзести к игре, имеющей следупцкЯ ецд

р<: ¿1 а^-едд^л = * = 771 ,

(12:

. I: .¡Г = Ъ&ЛЫ,

72(-) = . стаз

"3 дальнейшем будем преддологать, что движения объектов ош-'скаатся сравнениями (13), а (О опускать, чтобы: неуслохнять формул, .

В £ 7-предполагается, что управлящие . параметры удовлетворяет условиям ■ •

.... 1ижГ£Л<Р». (143

I « о р е м а 3.1, Пусть у^ ШК = Ш сапя1х10, х20, . .... х^) .и наполнены соотношения

I I а ) .

-;- , -J- У. С, Ь< =

Г |bfe,ij|tft i0 J f

тогда цена дифференциальной Eras (II)-(I4) совпадает с программным максшином . ___:_t_

■ г.КрасОвский Е.Е-.. Субботин А.И. Погиидонше да^рениавльвне'

игры. М.:Ичука, 1974. 456с.

са ,2 ) = с*а) = тех Шп

0 0 0 . ус-) т-)

* *

где Р{0 = + с*(Ч0,г0.)/ Г|I = 1. 2, .... я. - Л -о

Пример, - Пусть двшееедя объектов описываются уравнениями . Р{: х, + и{, сс{ > О, I = 7,2;

2: У = ¡Зу + и, 3 -> О,

Л

Элементзряне вычисления показнваот, что если ¡3 л с^сг то условия теорема 3.1 выполняется. Следовательно^ цена игрн совпадает с программннм максимияом. с,

В 8-9 предполагается, что управляющие- параметры удовлетворяют условиям

Г ¡и^Л Со2, | « I = 1.2!...,я,. (15)

"о о

и рассматривается дифференциальная 1?гра (П)-(13), (15).

е о р е м а 3.2. Пусть яг= 7 функция не-

убыБзщая на отрезке Тогда ценз игра (II)-(13),(15) ■

совпадает с программным махеиминзм.

Теорема 3.3. Пусть у^ШК я функция. Ь(9ДЛ неубывающая на отрезке,' Тогда цена игрп (II)-

(13), (15) совпадает с программном.максимином. в

Следствия. Пусть а, (А, и = ... = а^Ъ.г) = и т/0£<п:х. Тогда цена игры совпадает с программннм максишном. Пример. Пусть движения объектов описываются уравнениями вР€: с^г + £ = 7Г 2,

У ~ -&/ * V (620).

Упраздните параметры удовлетворят условиям (15). Легко проверяется, что если a € р, то условия теоремы.3.3 выполняется. Сле-

t

дозателъно, цена игры совпадае-т с программным максимином.

' Отметим, что в процессе доказательства теорем 3.1-3.2 з явном виде описываются оптимальные стратегии объектов.

Основное содержание диссертации опубликовано в еле дупла работах соискателя:

1. Кучкароз А.Ш., Акбарова М.Х. К задаче преследования'в дийфэрен-циальЕсЯ игре с простым дзихзнием//Уз.мат.журнал. 1991.N4.С.39-42.

2. Акбарова М.Х., Кучнаров А.Ш. К задаче преследования в дифференциальной игре с простом дзизением/Лез.докл.Всес.конф. "Дифференциальные уравнения и оптимальное управление".Аихабат.IS9C.С.-148.

3. Кучкарсв А.Ш. К. задаче оптимального преследования несколькими линейными объектами //Докл.АЯ РУз.1992Л4.С.7-М. '

4.Рихсиез Б.Б., Кучкароз Д.Ш.' Задача качества в дифференциальной игре преследования с несколькими объектами//Тез.докд.7111 кенф. СНГ "КачестйэЕЕэя теория дифференциальных уравнений*. Самарканд.' I9S2. С.-34.

5. Кучкаров А.. 12. Оптимальнее сближения двух объектов к одному объекту //Докл.АН РУз.1993.Я4. '

АСрим дифференциал уйинлэрда оптинал кувлаш АННОТАЦИЯ

Диссертация куп кувловчилар ва бкттз кочувчк булган колдзгк айрик дифференциал уЯзнлзрдз опткыал кувлзз мзсзла-ларига багизлангзв. Хурхлган даф^еренцкзл уйквлардэ обьект-ларнинг оптимал стратегиялзри ва уйавнЕнг Ssïocîï (огггикал ' ту тис вактк) топилган.

Мазкур кзда куйщага яеги някпй нзтггзлар олизган:

1). Одтаа харакатли обьектларынг ¿ - атрофкга тугнз yZxsz-да тутиш вактини сптнкаллжги учув етарли иартлар олинган. Тайзлааган вактда лккнлаакш иасаласи учун уйнни баяоси топилган.

2). Бошкгрув пзргче-трлгригз интеграл чегаралар булгаида бир екзслк. чкзикли обьектлар срасвда тутиш bs тз&кланган вактда яккзлаш-зш уйинлари таджик кклиаган. Уйинни Сзгоскнз топки учун етарли картлар олинган.

3).Хар екл еинсли динамик обьектлар ораскда тайянланган вактда ккинлашка мзсаласи уртанилган.

1ESTR1CS Optimal pursuit problem lor sons , differential games

Dissertation Is devodei to the optimal pursuit problem ior Che differential games with many pursuers and one evader. Optimal strategies and value of the gaaoe (or optimal pursuit time) 'or the considered dliferentlal gapes have deen defined.

2he following new scientific results have been obtained In dissertation:

1). Sufficient conditions have been obtained for op nasality of pursuit time in C - catch sinplemotion differential gaaes. The value of the differntlal game of eneounter with preserlbed duration has deen defined.

2). When Integral constraints are imposed on control parameters, differential games of pursuit and eneouter with preseribed duration are. Investigated, motion of the objects being described by homogeneous linear equations. Sufficient conditions haye been obtained for fljtialing the value of the game.

3). A encoounter problem with discrlbed duration between different dynamic ofcjerts have been, investigated.