Оптимальное проектирование стержней и подкрепленных пластин на основе минимизации энергии деформации тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

рРВ АД

РАСТОРГУЕВ Геннадий Иванович

ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ СТЕРЖНЕЙ И ПОДКРЕПЛЕННЫХ ПЛАСТИН НА ОСНОВЕ МИНИМИЗАЦИИ ЭНЕРГИИ ДЕФОРМАЦИИ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого теля

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Новосибирск - 2000

Работа выполнена на кафедре «Прочность летательных аппаратов» Новосибирского государственного технического университета.

Научные консультанты: член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор Б.Д. Линии:

доктор технических наук, профессор Н.В. Пустовой.

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор В.О. Каледин;

доктор технических наук, профессор E5.II. Максименко;

доктор физико-математических наук, профессор Ю.И. Соловьев.

Ведущая организация: ГУДП КБ «Полет», г. Омск.

Защита диссертации состоится 27 ноября 2000 г. в 1 500 на заседании диссертационного совета Д 002.55.02 в Институте гидродинамики СО РАН по адресу: 6300090, г. Новосибирск, проспект академика М.А. Лаврентьева, 15.

С диссертацией можно ознакомиться и библиотеке Института гидродинамики СО РАН.

Отзывы на автореферат в 2-х экземплярах, заверенные печатью, просим направлять по указанному адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета.

Автореферат разослан « У^» октября 2000 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.55.02

кандидат технических наук Г. Торшснов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Жесткость - это способность конструкции сопротивляться образованию деформаций при воздействии внешних нагрузок. Все конструкции должны иметь жесткостные свойства, гарантирующие ее безопасную эксплуатацию. В связи с этим обеспечение необходимой жесткости конструкции относится к одним из основных разделов теории оптимального проектирования. При проектировании конструкции максимальной жесткости при заданном объеме материала возможны два подхода. В первом локальном подходе минимизируются перемещения в характерной точке конструкции. Во втором интегральном подходе, принятом в диссертации, в качестве меры жесткости используется потенциальная энергия деформации конструкции. Достоинство данного подхода заключается в простоте и естественности получения условий оптимальности. Эти условия получаются на основе минимизации расширенного функционала полной энергии Лагранжа за счет дополнительного управления параметрами конструкции. В настоящей работе минимизация энергии деформации осуществлялась за счет варьирования границы области, толщины пластины и жесткостей усиливающих ребер. Кроме условий оптимальности из этого же функционала получается полная система уравнений данной задачи.

В настоящей диссертационной работе предложены новые постановки задач оптимизации для следующих элементов конструкций: пластины с подкрепленными отверстиями, пластины с ребрами жесткости и стержни с продольными полостями. Для перечисленных элементов, имеющих явные ослабленные места, применение интегрального критерия оптимальности - условия минимума энергии деформации при заданном объеме материала, — как показали расчеты, приводит к существенному снижению максимальных перемещений. При этом из расчетов следует, что концентрация напряжений в полученных оптимальных проектах элементов конструкций, как правило, снижается.

Цель работы заключается в разработке методов решения задач оптимального проектирования элементов конструкций на основе минимизации энергии деформации, решение с помощью этих методов практически важных задач оптимизации стержней и подкрепленных пластин, а также исследование свойств полученных оптимальных проектов при значительном уровне внешних нагрузок, приводящем к образованию пластических зон.

Научная новизна работы.

• Развит интегральный критерий - условие минимума энергии деформаций - для оптимального проектирования пластин с подкрепленными отверстиями и ребрами жесткости. Управляющими параметрами при оптимизации выступают граница области, толщина пластины и распределение жесткостей ребер.

• На основе предложенного критерия получены условия оптимальности в задачах:

- оптимизации форм подкрепленных отверстий в пластинах;

- оптимизации пластин с ребрами жесткости;

- оптимизации форм поперечных сечений стержней с полостями, рабо-

тающих в условиях кручения и изгиба. -

• Для решения указанных задач разработаны следующие методы: аналитические, использующие теорию функций комплексного переменного, и численные, основанные на приведенных в диссертации итерационных алгоритмах и МКЭ.

• Получены решения новых задач оптимизации для стержней и подкрепленных пластин.

• Исследованы свойства найденных оптимальных проектов элементов конструкций при упругопластичсском поведении материала.

Методы исследований основаны на получении условий оптимальности при варьировании соответствующих данным задачам расширенных функционалов Лагранжа в областях с подвижными границами. Далее строится решение сформулированной задачи оптимизации с помощью аналитических методов, основанных на теории функций комплексного переменного, и численных итерационных методов, использующих найденные условия оптимальности и МКЭ.

Достоверность научных положений, результатов и выводов, содержащихся е работе, основывается на:

• корректном использовании известных уравнений механики деформируемого твердого тела, методов вариационного исчисления, теории функций комплексного переменного и конечных элементов;

• исследовании сходимости разработанных численных алгоритмов;

• совпадении полученных результатов с известными аналитическими и численными результатами в частных случаях.

Практическая значимость и реализация результатов исследований заключается:

• в разработке численных алгоритмов проектирования элементов конструкций максимальной жесткости;

• в численных результатах оптимизации пластин с подкрепленными отверстиями и ребрами жесткости и форм поперечных сечений стержней, работающих в условиях кручения и изгиба; в выводах и рекомендациях, содержащихся в диссертации;

• во внедрении отдельных результатов и пакетов программ в ФГУП СибНИА им. С.А. Чаплыгина (г. Новосибирск), Новосибирском филиале АООТ «ОКБ Сухого» (г. Новосибирск), ОАО ЭЛСИБ (г. Новосибирск).

Работа проводилась по договорам с ФГУП СибНИА им. С.А. Чаплыгина и другими предприятиями Минавиапрома в соответствии с правительственными научно-техническими программами «Икарус-МАП», программой Минвуза РСФСР «Полет», а также выполнялась в рамках федеральной целевой программы «Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки на 1997-2000 годы».

На защиту выносятся:

• разработанный метод оптимального проектирования элементов конструкций, основанный на интегральном условии минимума энергии деформации и примененный к подкрепленным пластинам и стержням с продольными полостями;

• разработанные алгоритмы и результаты оптимизации пластин с подкрепленными отверстиями и ребрами Жесткости при упругом и упругопластическом поведении материала пластины; рекомендации по проектированию указанных конструкций;

• метод решения и результаты оптимизации формы поперечных сечений однородных (изотропных и анизотропных) и составленных из различных материалов стержней.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Межвузовском совещании-семинаре молодых ученых «Проектирование и оптимизация элементов, устройств и систем JIA с использованием ЭВМ» (Харьков, 1977г.); на Всесоюзной конференции по теории упругости (Ереван, 1979 г.); на IV Научно-технической конференции молодых ученых (Новосибирск, 1979 г.); на XII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин (Ереван, 1980г.); на Всесоюзной школе молодых ученых и специалистов по проблемам оптимизации в машиностроении (Харьков-Алушта, 1983г.); на YII1, IX, XI, XII Дальневосточных научно-технических конференциях по повреждениям и эксплуатационной надежности судовых конструкций (г. Владивосток, 1981г., 1984г., 1990г., 1996г.); на IX Бубновских чтениях по эксплуатационной и конструктивной прочности судовых конструкций (Нижний Новгород, 1991г.); на Международной научно-технической конференции «Расчетные методы механики деформирования твердого тела» (Новосибирск, 1995г.); на межфакультетском семинаре СГУПС по прочности (Новосибирск, 1995г.); на I, II, III, IV Международных российско-корейских научно-технических конференциях CORUS «Научные основы высоких технологий» (Ульсан, Корея, 1997г., Томск, 1998г., Новосибирск, 1999 г., Ульсан, Корея, 2000г.); на IV Всероссийской конференции «Проблемы прочности и усталостной долговечности материалов и конструкций» (Томск, 1997 г.); на Международной конференции «Всесибирские чтения по математике и механике» (Томск, 1997г.); на Межвузовской научно-технической конференции «Численно-аналитические методы решения краевых задач» (Новокузнецк, 1998г.); на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование процессов в синергетических системах» (Улан-Удэ-Томск, 1999г.); на Всероссийской научной конференции «Современные проблемы механики машин» (Улан-Удэ-Томск, 2000г.); на II, III школах-семинарах СО РАН «Математические проблемы механики сплошных сред» (Новосибирск, 1998г., 1999г.); на Международной конференции по численным методам BEM-FEM 2000 (Санкт-Петербург, 2000г.); на семинарах кафедры механики твердого тела ИГУ (Новосибирск, 1999г., 2000г.); па семинаре отдела механики деформируемого твердого тела Института гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН (Новосибирск, 2000г.); на объединенных семинарах кафедры прочности летательных аппаратов НГТУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 40 печатных работ. Результаты исследований автора, выполненные по заказам промышленности, отражены в ряде научно-технических отчетов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованных источников из 384 наименований. Объем диссертации - 382 е., включая 184 рис., 15 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение

Во введении обоснована актуальность проблемы, сформулированы цель и задачи исследования, кратко изложены основное содержание и результаты диссертационной работы.

1. Обзор литературы и постановка задачи оптимизации стержней и подкрепленных пластин

В первой главе дается обзор литературы по теме "диссертации. В обзор включены как работы по проектированию элементов конструкций максимальной жесткости, так и работы, имеющие отношение к конкретным методам решения задач, рассмотренным в диссертации. Указывается, что интегральный критерий оптимальности применительно к проектированию конструкций минимальной податливости (максимальной жесткости) использовался в работах Аннина Б.Д., Баничука Н.В., Вельского В.Г., Бирюка В.И., Братуся А'.С., Вигдергауза С.Б., Грошева Г.П., Диденко Н.И., Епураша Д.М., Картвелишвили В.М., Кобелсва В.В., Комарова A.A., Комарова В.А., Куршина JIM., Липнна Е.К., Лурье К.А., Миронова A.A., Михайловского Е.И., Немировского Ю.В., Петухова Л.В., Прагера В., Самсонова A.M., Сейраняна А.П., Селюгина C.B., Сокова К.Е., Троицкого В.А., Фролова В.М., Черкаева В.В., Шарашока A.B., Huang N.C., Lepic U., Martin J.В., Olhoff N., Reiss R., Sheu C.Y., Wasiutynsky Z. и др. В связи с исследованием задач оптимизации формы отмечаются работы Баничука Н.В., Вигдергауза С.Б., Каледина В.О., Картвелишвили В.М., Кобелева В.В., Краснощека Н.В., Куршина Л.М., Лурье К.А., Монахова В.II., Петухова Л.В., Самсонова A.M., Троицкого В.А., Хлуднева A.M., Хуторянского Н.М., Черепанова Г.П., Yamazaki К. и др.

Из проведенного обзора исследований сделан вывод, что необходимо дальнейшее развитие известных и создание новых методов решения задач оптимизации элементов конструкций. Одним из наиболее эффективных методов является применение условия минимума энергии деформаций к конкретным практически важным задачам оптимизации. Отмечается, что в работах автора диссертации интегральный критерий - условие минимума энергии деформации - используется для пластин с подкрепленными отверстиями и ребрами жесткости. При этом исследования автора диссертации по оптимизации подкрепленных пластин и стержней на основе минимизации энергии деформации являются новыми. Для рассмотренного класса задач разработаны аналитические методы решения, основанные на теории функций комплексного переменного, и численные, использующие полученные условия оптимальности и МКЭ.

В первой главе приводится также общая постановка задачи максимизации жесткости конструкции с использованием условия минимума суммарной энергии деформации. Как известно, действительное поле перемещений доставляет минимум функционалу полной энергии Лагранжа по сравнению со всеми кинематически допустимыми перемещениями. Если кроме перемещений варьировать грани-

цу тела, распределение жесткостей ребер и толщину пластины, то получаем дополнительную возможность дальнейшей минимизации энергии деформации. При варьировании тех или иных параметров для того, чтобы задача не выродилась, необходимо задать некоторые физические ограничения, связанные с конкретным параметром. В частности, при варьировании формы отверстия необходимо зафиксировать площадь, охватываемую контуром отверстия; при варьировании жесткости ребра задается его «жесткостной» объем (интеграл от жесткости по длине ребра); при варьировании толщины пластины предполагается фиксированным объем материала. В соответствии с правилом Лагранжа задача на условный экстремум сводится к задаче на безусловный экстремум функционала

Ч> = П-А + \ \dF + X2 Jg(i)c/j + A,3 pv. (1)

F L V

Здесь П - потенциальная энергия деформации пластины с ребром, А - работа внешних сил, F - область, охватываемая варьируемым контуром, g(s) - жесткость ребра, V - объем материала пластины, X], 12, ^з - постоянные множители Лагранжа. За счет минимизации функционала (1) путем управления формой границы области, толщиной и распределением жесткостей усиливающих ребер находятся соответствующие условия оптимальности. Следует отметить, что условия оптимальности получаются в качестве дополнительных ко всем необходимым уравнениям задачи в рассматриваемом случае. Таким образом, основная идея диссертации - минимизация энергии деформации конструкции за счет управления ее параметрами.

2. Оптимизация подкрепления отверстий в пластинах из условия минимума энергии деформации

Во второй главе метод оптимального проектирования применен к пластинам с подкрепленными отверстиями. Как известно, отверстия в тонкостенных конструкциях образуют ослабленные места, приводящие к существенному снижению жесткостных и прочностных свойств конструкции. Для компенсации потерь применяют различные подкрепляющие элементы. Задачи оптимизации подкреплений краев отверстий в тонкостенных конструкциях исследовались в работах Александрова А.Я., Валуйских В.П., Вигдергауза С.Б., Грошева Г.П., Дудченко А.А., Елпатьевского А.Н., Комарова В.А., Косенюка В.К., Куршина Л.М., Лазарева И.Б., Липина Е.К, Малкова В.П., Миронова А.А., Михайловского Е.И., Оноприенко П.Н., Савина Г.Н., Толкачева И.Н., Тульчего В.И., Фильштинского Л.А., Флейшмана Н.П., Шереметьева М.П., Hicks R., Mansfield Е.Н. и др. Практически все исследования указанных авторов по оптимальному и рациональному подкреплениям краев отверстий в тонкостенных элементах направлены на снижение концентрации напряжений, и полученные в них решения имеют недостатки. В частности, эквивалентное подкрепление, полностью устраняющее концентрацию напряжений, имеет очень узкую область существования решения и большой вес, а также способствует повышению податливости конструкции. Во второй главе диссертации для оптимизации подкрепленных отверстий впервые использовано условие минимума энергии деформации

пластины с подкреплением. В качестве управляющих функций выступают форма контура отверстия, распределение усиливающего материала и толщина пластины. Подкрепление моделируется либо широким кольцом, либо тонким стержнем.

2.1. Применение модели плоского широкого кольца для подкрепления края отверстия в пластине В работе принято, что пластина и подкрепление в виде широкого кольца находятся в условиях плоского напряженного состояния. Разыскивается форма дву-связной области, занимаемой подкреплением, из условия минимума суммарной энергии деформации конструкции при следующих ограничениях: задаются площади отверстия и подкрепления. Сформулированная задача сводится к задаче о стационарном значении функционала при варьируемых контурах Lt, Lh ограничивающих подкрепление:

Ф = П+П'- A + ll jjdxdy-X2jjdxdy. (2)

fi, n'

Здесь П, П - потенциальные энергии деформации пластины и подкрепления; А - работа внешних сил, П, Q - области, занимаемые пластиной и подкреплением. Из условия стационарности функционала (2) за счет варьирования контуров Li, i2 при вариации точек контура по нормали 5n получаются следующие условия оптимальности:

L, : о, = const, (3)

L,: +2(1 +v)t,2„]--^-[(ct*)2 ~(о')2 + 2(l + v')(t"j2 ] = С (C = const). (4)

h Ь

Здесь h, Е — толщина и модуль упругости пластины, звездочкой помечены соответствующие величины подкрепления. При этом условие (3) на внутреннем контуре означает, что контур L/ должен быть равнопрочным (тангенциальная компонента напряжения с, вдоль всего внутреннего граничного контура подкрепления должна быть постоянной). В диссертации показано, что если рассмотреть задачу об определении формы контура неподкрепленного отверстия в пластине, то из условия минимума энергии получается требование равнопрочное™ отверстия. Таким образом, известные равнопрочные контуры отверстий соответствуют минимуму энергии деформаций. Ранее Н.В. Баничуком доказано, что равнопрочные контуры отверстий соответствуют и минимуму концентрации напряжений в пластине.

Для определения формы двусвязной области подкрепления принята модель неограниченной пластины, растянутой на бесконечности в двух направлениях (о,=р, ay~q тлу=0). Решение задачи разыскивалось вблизи точного решения, соответствующего всестороннему растяжению пластины (p=q), для которого оптимальное решение - пластина с круговым кольцом. Для построения решения введен параметр V=(p-q)/(p+q), характеризующий несимметрию нагружения. Значение F=0 соответствует всестороннему растяжению. В работе используются функции, конформно отображающие внешности граничных контуров Lh L2 подкрепления на внешности единичных кругов, и комплексные потенциалы пластины и

подкрепления. Коэффициенты в этих представлениях разыскивались в виде разложений по степеням малого параметра V. П результате краевая задача сведена к последовательному решению систем линейных алгебраических уравнений. При практическом решении ограничивались вторым приближением.

Для проверки достоверности результатов и оценки границы применимости данного метода проверялась точность выполнения краевых условий. Найдено, что до значения У= 0.2 погрешность не превышает 4%.

Сравнение полученного решения с решением задачи об эквивалентном подкреплении, полностью устраняющим концентрацию напряжений в пластине (решением Л.М.Куршина, П.Н.Оноприенко), приведено на рис. 1 (ввиду симметрии изображена 1/4 часть). Из рис. 1 следует, что направления наибольшей ширины для эквивалентного и оптималыюго в энергетическом смысле подкрепления ортогональны. Установлено, что эквивалентное подкрепление соответствует значительно более податливой подкрепленнои конструкции по сравнению с найденным подкреплением.

В диссертации проведено исследование концентрации напряжений в пластине с эквивалентным и полученным подкреплениями отверстия, результаты которого отражены в таблице 1. Из анализа этих данных следует, что оптимальный в энергетическом смысле проект для конструкции в целом (пластина плюс подкрепление) оказывается более выгодным с точки зрения концентрации напряжений.

Таблица 1. Концентрация напряжений для различных подкреплений

Концентрация напряжений

Энергетич. подкрепление Эквивал. подкрепление

У=0Л пластина 1.06 1.00

подкрепление 0.96 1.Н

К-0.2 пластина 1.12 1.00

подкрепление 1.17 1.33

Рассмотрены частные случаи задачи оптимизации, когда один из контуров, ограничивающих подкрепление, является заданным, а другой разыскивался из условия минимума энергии деформации конструкции.

1.0

у/В

0.5

О

N \ ГЮ.2

— — ■ эквива подкре - ">нерге1 подкре \Ч ^ пентное \\ пление ическое * \ пленне | 1

0.5

1.0 х/В

Рис. 1. Сравнение экеиватентпого подкрепления и подкрепления, соответствующего условию минимума энергии деформации

2.2. Оптимальное подкрепление края отверстия в пластине при использовании модели тонкого стержня Здесь проведено исследование для модели подкрепления края отверстия в виде тонкого стержня, представленного безмоментным стержнем переменной жесткости на растяжение K(s). Принято, что пластина находится в условиях плоского напряженного состояния, а подкрепление расположено симметрично относительно срединной плоскости пластины. Разыскивалась как форма отверстия L, так и распределение жесткости подкрепления K(s) из условия минимума суммарной энергии деформации конструкции. Из условия стационарности расширенного функционала Лагранжа за счет варьирования жесткости подкрепления в работе получено условие оптимальности

L: s(s) = С, (С , = const), (5)

означающее, что распределение жесткости подкрепления K(s) должно быть таким, чтобы деформация стержня e(s) была бы постоянной вдоль всего контура. Варьирование контура отверстия L приводит к условию

L:

1

(а„ + а,)2 +- (.1 + v) (т,2„ + а „а,) + 2(1 + v) < +

,<Эст„ да, + c„p[(2 + v)—¿ + -

(6)

- - ] = С2 (С2= const), on on

Метод решения аналогичен изложенному в п. 2.1 диссертации и строился для бесконечной пластины, растянутой в двух направлениях введением конформного отображения и комплексных потенциалов пластины с последующим разложением коэффициентов в ряды по степеням малого параметра нагружения У. Для проверки достоверности, результатов и исследования границы их применимости контролировалась точность выполнения краевых условий. Установлено, что до значения V=03 точность выполнения краевых условий не превышает 3.5%.

.0

у/В

0.5

0.25

т ^ L: ^=0.1 =1.429

F= 0.3 K=0.2 V/-

— - — зквивал подкрег ентпое 1ленис Ж К=0 WI

энергетическое подкрепление I Р=0.1 J У=0.2 = ft

2.0 1.5 1.0 0.5

ч i 1.429 1

\ w s 0.3 \

s ^

j /'=0

0.25

0.5 0.75 х/В

1.0

л/4 е . л/2 эквивалентное подкрепление ■ энергетическое подкрепление

Рис.2. Контуры оптимального и эквивалентного подкрепленных отверстий и соответствующие им распределения жесткостей подкрепления

Дано сравнение полученного оптимального решения с решением E.H.Mansfield задачи об эквивалентном подкреплении, выбранным в виде безмо-

о

менгного стержня. На рис. 2 представлены контуры отверстий и соответствующие им распределения жссткостей подкрепления (вследствие симметрии решение дано для Va части). При сравнении наблюдается такое же качественное различие, как для модели подкрепления п виде широкого кольца: направления максимальных жесткостей у оптимального в энергетическом смысле и эквивалентного подкреплений ортогональны, что приводит к значительному повышению жесткости оптимально подкрепленной конструкции.

При плоском напряженном состоянии пластины в работе учитывалась и из-гибная жесткость подкрепляющего стержня. Обозначим через K(s), g(s) жесткости на растяжение и изгиб стержня в своей плоскости. В этом случае вследствие варьирования жесткостей из условия минимума энергии в диссертации получены 2 условия оптимальности:

L: 8 = С, (С, = const), а; = С2 (С2 = const). (7)

Согласно (7) жесткости подкрепляющего стержня должны изменяться таким образом, чтобы относительное удлинение Е и изменение кривизны ж было бы постоянным вдоль всего края отверстия.

Для бесконечной пластины, растянутой в двух направлениях напряжениями ах=р, <sy~q в работе получено аналитическое решение для распределений жесткостей подкрепления кругового отверстия радиуса R, обеспечивающих выполнение условий (7). Решение найдено с помощью разложений в ряды комплексных потенциалов пластины и распределений жесткостей подкрепления К, g и имеет вид ... а + 1 Л/, „ а-1 Оi 02

Ф(Т)= +—L, Т(Т)= + + (8)

4 V 2 х х

* i (6) = - ~ = 1 + c°s(2G), g, (9) = = 1 + G, cos(2G). (9) K0 go

Здесь t =z/R, z=x+iy; a~q/p - параметр внешнего нагружения пластины (при а=1 имеем равномерное растяжение пластины, при а=0 - одноосное, при а= -1 -сдвиг). Коэффициенты в (8), (9) зависят от параметра нагрузки а, коэффициента Пуассона v и параметров \=К0 /(EhR), (3 =gn /(EhR3), определяющих задаваемые интегральные характеристики жесткостей на растяжение и изгиб подкрепления (Kfí, go - средние значения жесткостей). Таким образом, распределения жесткостей подкрепления (9) соответствуют изменению тангенциального напряжения вдоль контура неподкрепленного отверстия: наиболее нагруженным участкам края отверстия соответствует большая жесткость. Полученное решение существует, если коэффициенты F¡, G{ в (9) не превышают по модулю 1. В результате приходим к неравенствам

l-2A.(l-v) + P(l + v) 1 - 2(3 (1 - v) + Х(1 + v)

а >--------—------=<*., а>----—-------------- =а7, (10)

l + 4A. + P(l + v) 1 1 + 4(3 + X. (1 + v)

из которых найдена следующая область существования решения:

а*= тах(ai, а2)<а<1. В частности, при значении коэффициента Пуассона v=0.3

нижняя граница области равна а „,„= - 0.019 (д= - 0.019р).

При сравнении полученного оптимального подкрепления с подкреплением постоянной жесткости выявлены следующие достоинства: снижение максималь-

ных перемещений краев отверстий (выигрыш до 5% для нормальной компоненты v„ и до 84% для v,); локализация концентрации напряжений; для диапазона параметра нагрузки 0.45<ос=<7/р< 1 концентрация напряжений понижается до 15%.

В общем случае распределение жесткости подкрепляющего стержня вдоль контура отверстия заданной формы в пластине из условия постоянства деформации не имеет аналитического решения и определяется численно. В работе предложен итерационный алгоритм определения оптимальных жесткостей подкрепления K(s) на основе МКЭ. При использовании алгоритма задавалось начальное распределение жесткостей, после конечно-элементного расчета происходило перераспределение жесткостей пропорционально деформации: наиболее нагруженным элементам подкрепления назначается большая жесткость. При этом полученное распределение умножалось на поправочный коэффициент для сохранения «жесткостного» объема подкрепления. Итерационный процесс продолжался до выполнения условия (7) с точностью 0.5%, принятой в работе.

Для проверки сходимости итерационного алгоритма и достоверности результатов численно тестировалось аналитическое решение (8), (9). На рис. 3 ступенчатые линии соответствуют численному решению, а гладкие линии - аналитическому решению. Совпадение решений подтверждает достоверность результатов. Кроме того, установлено, что для различных начальных распределений жесткостей итерационный процесс приводил к одному оптимальному решению.

Прямые численные конечно-элементные расчеты при итерационном процессе в диссертации проводились как с помощью программ, составленных автором, так и на основе лицензионного пакета COSMOS/M.

В аналогичной постановке в работе оптимизировалось подкрепления края отверстия в пластине при действии изгибающих нагрузок. Подкрепление принималось в виде тонкого стержня, имеющего жесткость на изгиб g(s). Жесткостью на кручеиие пренебрегали, что допустимо для тонких стержней. Распределение жесткости g(s) разыскивалось из условия минимума суммарной энергии деформации при заданной величине интегральной жесткости подкрепления. Из условия стационарности соответствующего расширенного функционала Лагранжа за счет варьирования жесткости подкрепления получено условие оптимальности

ш =С (C=const), (11)

означающее требование постоянства изменения кривизны зг.

Для пластины, содержащей подкрепленное круговое отверстие и изгибаемой на бесконечности нагрузками

к = р. к = ч, н" = о, er = е; = о, (12)

в диссертации получено аналитическое решение для оптимального распределения жесткости подкрепления из условия равнодеформированности, имеющее вид, аналогичный (8), (9). Найдено условие существования решения а'<а<1, а=q/p, где

а* = [2(1 + v) (1 - v + ß) - ß(5 + v)]/[2(l + v)(l-v + ß) + ß(5 + v)]. (13) Здесь ß-gt/(EhR3) - параметр, характеризующий «жссткостной» объем подкрепления. Нижняя граница, определяемая из (13) при ß->oo, соответствует значению параметра нагрузки а „„„«-0.342 для v=0.3. При сопоставлении оптимального подкрепления с подкреплением постоянной жесткости получено снижение прогиба края отверстия при а=0.75 - на 54%, при сх=0.5 - на 44%.

В работе для отверстия заданной формы предложен аналогичный предыдущему конечно-элементный алгоритм определения оптимальных жесткостей подкрепления, удовлетворяющих условию постоянства изменения кривизны (11). Алгоритм основан на итерационном процессе, на каждом шаге которого происходит перераспределение жесткостей на изгиб элементов подкрепления пропорционально изменению кривизны. Алгоритм протестирован на найденном в диссертации аналитическом решении для бесконечной пластины с оптимально подкрепленным круговым отверстием. Получены численные результаты для оптимальных распределений жесткостей на изгиб подкрепления вдоль края эллиптического отверстая " в изгибаемой прямоугольной пластине. При сравнении с подкреплением постоянной жесткости установлены эффекты снижения прогиба края отверстия (на 25%) и концентрации напряжений в пластине (на 36%).

2.3. Оптимизация подкрепчения при управлении толщиной пластины вокруг подкрепленного отверстия В данном разделе проведено исследование оптимизации края отверстия за счет управления толщиной пластины. Принято, что пластина находится в условиях плоского напряженного состояния, а подкрепление моделируется безмомент-ным стержнем. В общей вариационной постановке задачи минимизации энергии деформации при управлении формой контура отверстия, распределением жесткости подкрепления и толщиной пластины вокруг подкрепленного отверстия получаются 3 условия оптимальности. Два из них найдены в п. 2.1 диссертации (соотношения (5), (6)). Третье условие получается за счет варьирования толщины пластины и представляет требование постоянства всюду в пластине удельного потенциала:

а \ + стг2 - 2v аха}. + 2(1 + v )т~у - const. (14)

При радиальном растяжении бесконечной пластины найдено аналитическое решение для распределения толщины вокруг подкрепленного кругового отверстия, удовлетворяющее условию оптимальности (14). Постоянная в (14) в этом случае определяется из условия на бесконечности и равна 2р2(1-\>), где р - значе-

ние радиального напряжения на бесконечности. Решение основано на параметрическом представлении напряжений, которое удовлетворяет условию (14). При интегрировании уравнений равновесия и совместности получается следующее параметрическое решение для оптимального распределения толщины:

h ехр[у (ф-гс/2)] г- Ф (ф) ехр(-уф/2) fl^v

Т~- = —.-. = -Г.ф (Ф) =-¡=-—>Y = J--• (15)

й„ эщф —у cos(р R Ф (<р0) д/соэф \ 1 +v

Параметр ф изменяется в диапазоне ф0 <ф<п/2. Нижняя фаница ф{, определяется жесткостью подкрепления К>0 и находится из решения уравнения, приведенного в работе. Наименьшее значение фо = arctg) соответствует отсутствию подкрепляющего кольца. Найдены относительные весовые затраты для эквивалентного подкрепления в пластине постоянной толщины, для распределений толщины пластины из условий постоянства интенсивностей напряжений по Треска-Сен-Венану, Мизесу (данные взяты из работы Е.Н.Mansfield) и полученному в работе из условия постоянства удельного потенциала. В частности, для значения коэффициента Пуассона v=l/3 весовые затраты для перечисленных вариантов равны 3.00, 2.31, 1.63, 1.59. Таким образом, найденное распределение толщины из условия постоянства удельного потенциала имеет наименьшие весовые затраты. В рассмотренной задаче минимизируется энергия деформации пластины с подкреплением при постоянстве в пластине удельного потенциала, то есть фактически минимизируется объем пластины. Именно поэтому значение весовой оценки для этой задачи минимально.

Рис. 4. Сравнение аналитического и Рис. 5. Оптимальная толщина численного решений для оптимального пластины вокруг подкрепленного распределения толщины пластины кругового отверстия

В общем случае для отыскания распределения толщины вокруг подкрепленного отверстия в пластине из условия постоянства удельного потенциала в работе предложен итерационный конечно-элементный алгоритм поиска толщины пластины. После расчета определяются удельные потенциалы в центрах каждого конечного элемента, далее происходит пересчет толщины элементов с сохранением общего объема материала. Для проверки сходимости и достоверности алгоритма было найдено оптимальное распределение толщины пластины вокруг подкрепленного кругового отверстия при радиальном растяжении, имеющее анали-

тическое решение (15). На рис. 4 ступеньками изображено численное решение, а гладкой линией - аналитическое решение (15). Получено хорошее совпадение.

На рис. 5 дано оптимальное распределение толщины вокруг подкрепленного кругового отверстия при двухосном растяжении пластины напряжениями <зх-р, ау=0.7р. Приведены распределения толщины при удалении от края отверстия вдоль сечений, указанных на рисунке. Наибольшая оптимальная толщина реализуется вдоль оси у (9=7t/2), наименьшая - вдоль оси х (0=0). В работе найдены также оптимальные распределения толщины вокруг подкрепленного эллиптического отверстия и вокруг двух симметрично расположенных круговых отверстий в конечной пластине.

2.4. Применение функций комплексного переменного и МКЭ в задачах опттшизации формы В разделе предложен способ построения сстки конечных элементов на примере двусвязной области с использованием функций комплексного переменного. При этом полагаем, что известны функции комплексного переменного, отображающие граничные контуры на единичную окружность вспомогательной плоскости. Задаваясь разбиением в окружном и радиальном направлениях и строя по специальной методике дополнительные функции, получаем семейство точек, которые принимаются за узловые конечно-элементной сетки.

Описанный способ построения сетки является полезным в задачах оптимизации формы тела, причем формой можно управлять путем изменения коэффициентов отображений соответствующих граничных линий с автоматическим перестроением конечно-элементной сетки. В работе этот способ применен в задачах определения формы равнопрочных контуров отверстий в конечной квадратной пластине, растянутой в двух направлениях. Равнопрочные контуры отверстий обладают рядом полезных свойств и, как показано в диссертации, доставляют минимум энергии деформации пластине. Для конечной квадратной пластины при определении формы равнопрочных контуров использовался итерационный алгоритм, согласно которому минимизировалась функция

„ / max „min \//„max „rnin\ flA-*

s = (o, -ст, )/(a, +ü, ) (lo)

путем последовательного изменения коэффициентов отображения искомого равнопрочного контура. В (16) через ст, обозначена тангенциальная компонента напряжения вдоль края отверстия. При численных расчетах достигнута точность е=2%. Установлено, что если заменить полученный оптимальный контур на эллипс, соответствующий точному решению Черепанова Г.П. для бесконечной пластины, то погрешность возрастает до 40%. Определению равнопрочных форм отверстий посвящены работы Баничука Н.В., Богана Ю.А., Бондаря В.Д., Вигдергауза С.Б., Ворожцова J1.A., Гоца Л.А., Космодамианского A.C., Краснощека Н.В., Куликова И.В., Мартыпенко A.B., Мирсалимова В.М., Окишева В.А., Пустового Н.В., Суздальницкого И.Д., Толкачева H.H., Хуторянского Н.М., Черепанова Г.П., Черкаева A.B. и др.

Таким образом, во второй главе исследована новая постановка задачи оптимизации подкрепленных отверстий в пластинах, использующая условие миниму-

ма энергии деформации конструкции. В качестве управляющих функций использовались форма контура отверстия, закон изменения подкрепляющего материала и распределение толщины вокруг отверстия. Разработаны методы, с помощью которых найдены аналитические и численные решения. На основе анализа полученных результатов даны практически важные рекомендации по проектированию подкреплений краев отверстий с целью повышения жесткостных свойств конструкций. Достоверность результатов подтверждена сравнением результатов с аналитическими решениями, известными результатами других авторов и исследованием сходимости предложенных численных методов.

3. Оптимальное проектирование тонких ребер в пластинах

Подкрепления тонкостенной конструкции в виде ребер значительно улучшают ее жесткостные и прочностные свойства. Дальнейшее совершенствование конструкции с ребрами возможно путем изменения параметров подкрепляющего набора. Задачи оптимизации тонкостенных конструкций, содержащих ребра жесткости, исследовались в работах Аннина Б.Д., Баничука Н.В., Бирюка В.И., Воровича И.И., Заруцкого В.А., Картвелишвили В.М., Каца. М-Л-, Липина Е.К., Лурье К.А., Максименко В.Н., Миронова A.A., Моисеенко Р.П., Немировского Ю.В., Никифорова А.К., Ощипко Л.И., Почтмана Ю.М, Савина Г.Н., Самсонова A.M., Скалозуба В.В., Флейшмана Н.П., Фролова В.М., Чедрик В.В., Черкаева A.B. и др. В третьей главе диссертации с использованием условия минимума энергии деформации решены задачи оптимизации для пластин, содержащих тонкие усиливающие ребра. Получены условия оптимальности и разработаны методы, на основании которых решены новые практически важные задачи оптимизации подкрепленных конструкций.

3.1. Оптимизация положения и распределения жесткости ребра в пластине из условия минимума энергии деформации

При исследовании возможности оптимизации подкрепленной конструкции как за счет изменения положений ребер, так и за счет перераспределения их жест-костей в работе принято, что пластина находится в условиях плоского напряженного состояния и содержит тонкое ребро, расположенное вдоль замкнутого контура L. Контур L и распределение жесткости безмоментного ребра K(s) разыскивались из условия минимума энергии деформации подкрепленной конструкции. Из условия стационарности расширенного функционала Лагранжа за счет варьирования жесткости ребра получаем то же условие равнодеформированности (5), а за счет варьирования контура L - условие оптимальности, связывающее напряжения пластины в областях, прилегающих к ребру.

Для пластины с напряжениями на бесконечности ст,=р, ay=q Ttv,=0 решение строилось путем разложения в ряды по малому параметру V=(p-q)!(p+q) коэффициентов комплексных потенциалов пластины и конформного отображения. На рис. 6 сплошной линией изображены оптимальные контуры L и соответствующие им распределения жесткости ребра. Штриховой линией изображено решение для подкрепленного отверстия (п. 2.2). Таким образом, оптимальные контуры и рас-

пределения жесткостей для ребра обладают большей чувствительностью к изменению нагрузки по сравнению с решением для подкрепления отверстия в пластине.

1.0

у/В

0.5

^ТГТ4^

Ч. \"К„/(ЕИВ)=2.0

- ч

Г' 0.1 ' ^'0 2

—■—

У= с\ 1 « \ 1 > \ N 1 > \ \ 1 1 \ \ 1 1 \ 1

2.0 К.%, 1.0

^=0.1 ! 1Х~02

0 [

0.5

1.0 ш 1.5

-/4

71/2

Рис. 6. Оптимальные контуры ребер (сплошные линии) и подкрепленных отверстий (штриховые) и соответствующие им распределения жесткостей

3.2. Оптимизация жесткостей ребер, расположенных вдоль контуров заданной формы (плоское напряженное состояние)

В диссертации рассмотрены задачи оптимизации для фиксированного положения ребер в пластине. Показано, что при учете жесткости ребра на изгиб из условия минимума энергии деформации конструкции за счет варьирования жесткостей получаются 2 условия оптимальности (7). Если число ребер больше одного, то для каждого из них в процессе решения определяется своя константа в (7), зависящая от задаваемых величинах интегральных жесткостей ребер.

Для растянутой в двух направлениях бесконечной пластины, содержащей конечное число ребер, расположенных вдоль концентрических окружностей (рис.7), в работе получено аналитическое решение для распределений жесткостей, удовлетворяющих условиям постоянства деформаций (7).

Выражения для комплексных потенциалов пластины ц>к, \\>к {к = 0,//;) в соответствующих областях Ол. (к =0,т) и оптимальные распределения жесткостей ребер Кк,%к (к = 0, т) имеют вид:

\1ис- \\ 1 V 1 1

^ту/ /

I ( г

Рис. 7. Пластина с ребрами, расположенными вдоль окружностей

* т г

1 + а М™ , 1-а £Г, О7)

4 г 2

Г г

< (9) = 7Г- = 1 + С05(29), (0) = = 1 + С?,1 соз(2Э) (к = Г^л

В диссертации получены решения для одного ребра, двух ребер и комбинации ребра с подкрепленным внутри него круговым отверстием. Определены области существования решения, зависящие от внешнего нагружения и задаваемых «жесткостных» объемов ребер. При сравнении найденного оптимального решения с решением для ребер постоянной жесткости установлено снижение максимальных перемещений при несущественном изменении концентрации напряжений в пластине.

В общем случае распределения жесткостей ребер вдоль контуров заданной формы из условия равнодеформированности определяется численно. В работе для этих целей использовался конечно-элементный итерационный алгоритм. Было проведено тестирование аналитического решения (17) для растянутой бесконечной пластины с одним оптимальным ребром, расположенным вдоль окружности. Получено хорошее совпадение численного и аналитического решений. Найдены оптимальные распределения жесткостей ребра, расположенного вдоль эллипса, в растянутой в двух направлениях конечной прямоугольной пластине. При сравнении с ребром постоянной жесткости установлено уменьшение максимальных перемещения до 14%.

3.3 Оптимальное проектирование изгибаемых пластин с ребрами жесткости

В разделе дано решение задач оптимизации пластин с ребрами жесткости при действии изгибающих нагрузок. Принято, что контур ребра задан. Тогда из условия минимума энергии деформации подкрепленной конструкции за счет варьирования жесткости ребра следует условие оптимальности (11). Для бесконечной пластины, нагруженной усилиями (12) и содержащей конечное число ребер, расположенных вдоль концентрических окружностей, в диссертации получено аналитическое решение для оптимального распределения жесткостей ребер. Общее решение имеет вид, аналогичный (17). При сопоставлении этого решения с решением для пластины, содержащей ребра постоянной жесткости, установлены снижение максимального прогиба на 18% и локализация возмущенной зоны.

В общем случае распределения жесткостей ребер, расположенных вдоль заданных контуров и удовлетворяющих условию (11), определялись численно на основе итерационного алгоритма и МКЭ. На рис. 8 приведены результаты расчета оптимального распределения жесткостей ребра, расположенного вдоль эллипса в изгибаемой по краям прямоугольной пластины. При сравнении найдено, что для

х!4 9 к12

Рис. 8. Оптимальное распределение жесткости на изгиб ребра, расположенного вдоль эллипса, в прямоугольной пластине

пластины с оптимальным ребром происходит не только снижение максимального прогиба на 21%, но и уменьшается концентрация напряжений на 11%.

Для оценки эффекта оптимизации жестко-стей ребер при действии поперечной нагрузки была рассмотрена квадратная пластина, содержащая два пересекающихся в центре ребра

(рис.9). Пластина нагружалась либо сосредоточенной силой Р в центре, либо постоянным давлением р. На рис. 10 приведены оптимальные распределения жест-костей на изгиб ребра для обоих случаев нагружения и различных величинах параметра р, определяющего объем ребра. Вследствие симметрии изображено изменение жесткости g от точки пересечения ребер до края пластины. При сопоставлении с ребрами постоянной жесткости получено снижение прогиба и концентрации напряжений. Особенно большой эффект имел место при действии сосредоточенной нагрузки (прогиб снизился на 24% при одновременном уменьшении концентрации напряжений в пластине на 44%).

2.6 г

К

0

9»

1.5

■-Р

F 0.5

-Ъд

Рис. 9. Квадратная пластина, усиленная двумя пересекающимися ребрами

Оптимальное жесткости реб распределение ра в квадратной згибной пластине

0=4.55^"

рТ9.ю '■V. ^аспределе нмое давление

Сосред< точенная сипа в

х/гг 1.о

Рис. 10. Оптимальное распределение жесткости на изгиб ребра в квадратной пластине при действии распределенных и сосредоточенных сил

Таким образом, в третьей главе разработан метод оптимизации тонкостенных конструкций с ребрами жесткости, основанный на использовании условия минимума энергии деформации. Получены новые аналитические и численные результаты, имеющие важное практическое значение, даны оценки эффекта оптимизации (снижение максимальных перемещений и во многих случаях - концентра-

У

ции напряжений). Наибольший эффект установлен для сосредоточенных изгибающих нагрузок.

4. Оптимизация подкрепленных пластин при упругопластическом поведении материала

При значительном уровне внешних нагрузок в тонкостенных конструкциях вблизи подкрепленных отверстий и ребер жесткости могут возникать пластические зоны. В 4-ой главе диссертации проведено исследование свойств оптимальных в энергетическом смысле элементов конструкций при упругопластическом поведении материала пластины и при упругом поведении подкрепляющих стержней и ребер жесткости.

4.1. Численное исследование пластических зон вокруг подкрепленных отверстий в пластинах В разделе проведено исследование влияния подкреплений краев отверстий на пластические зоны вокруг них. Пластические зоны вокруг неподкрепленных отверстий определялись в работах Галина Л.А., Аннина Б.Д., Черепанова Г.П., Ивлева Д.Д., Космодамианского A.C., Мирсалимова В.М., Монахова В.Н., Остросаблина Н.И., Перлина П.И., Савина Г.Н. и других. Влияние подкреплений на пластические зоны вокруг отверстий ранее не проводилось. Для оценки влияния подкреплений краев отверстий на размеры пластических зон исследованы квадратная пластина с одиночным круговым отверстием и прямоугольная пластина с двумя симметрично расположенными отверстиями. Принято, что материал пластины - идеальный упругопластический с линейным упрочнением, а подкрепление работает упруго. Поведение пластины в пластической области описывалось уравнениями теории течения. Расчет проводился методом конечных элементов.

Получены пластические зоны вокруг одиночного подкрепленного отверстия и вокруг двух симметрично расположенных отверстий в конечной прямоугольной пластине при одноосном растяжении. Из результатов найдено, чю при возрастании жесткости подкрепляющего кольца происходило существенное уменьшение пластической зоны, что способствовало повышению несущей способности конструкции.

В работе также исследовано влияние перераспределения жесткости подкрепления вдоль края кругового отверстия па размеры пластической зоны. Для площади подкрепляющего стержня принимался закон изменения F=Fq (1+йг cos29), качественно соответ-

р=0.75 от

_У

R Эволюция пласшческой юны при изменении плошлци подкрепляющего С1ержня пи закину

F=F,[1+a cos(2e)]

1 - a = 1

2 - 2 = 0 3 • а = -1

кг

01 з хт б

Рис 11. Эволюция пластический зоны вокруг подкрепленного отверстия в пластине при перераспределении жесткости подкрепления

Р

стпующий полученным ранее оптимальным распределениям жесткостей из условия минимума энергии (9). На рис. 11 изображены пластические зоны для значений коэффициента а= 1,0,-1 при растяжении пластины вдоль оси Как видно из рисунка, наиболее выгодным с точки зрения размера пластической зоны является' случай а= -1, при котором наибольшая жесткость подкрепления реализуется в точке пересечения контура с осью у, а наименьшая - с осыо л\ Эго качественно совпадает с найденными в гл. 2, 3 диссертации оптимальными распределениями жесткостей.

Для проверки достоверности полученных результатов, во-первых, исследовалась их сходимость при сгущении сетки конечных элементов. Получено, что при сгущении сетки упругопластическая граница несколько сглаживается без существенного изменения. Уточнение границы при этом соизмеримо с размером сетки. Во-вторых, достоверность проверялась путем сравнения численных результатов с известным аналитическим решением Л.Л. Галина. Получено, что численные и аналитические решения для пластических зон хорошо совпадают, то есть приведенные в работе результаты являются достоверными.

4.2. Оптимизация подкрепленных отверстий в пластинах при упругопластическом поведении материала

В работе получены необходимые условия оптимальности для задачи об определении формы контура отверстия и закона изменения жесткости подкрепления из условия минимума энергии деформации при упругопластическом поведении материала пластины и упругом - подкрепления. Этот результат обобщает результаты гл. 2 диссертации. Рассмотрена пластина при плоском напряженном состоянии с отверстием, подкрепленным тонким стержнем. Область пластины О разбивалась на две часта: П, - упругая, и П2 - пластическая. Поведение пластины в пластической области описывались уравнениями теории малых упругопластиче-ских деформаций. Для определения формы отверстия и закона изменения жесткости подкрепления из условия минимума энергии деформаций записан расширенный функционал Лагранжа. При этом потенциальная энергия пластины складывалась из энергии упругой части и пластической. Варьируемыми величинами являлись жесткость подкрепления, контур отверстия и граница раздела между упругой и пластической областями. Из условия стационарности функционала за счет варьирования жесткости подкрепления получено такое же условие равнодеформиро-ванности стержня (5). Условие оптимальности на варьируемом контуре отверстия задается двумя выражениями: для участков контура подкрепленного отверстия, прилегающих к упругим зонам пластины, и для участков, прилегающих к пластическим зонам.

Для фиксированных контуров отверстий па основе итерационного конечно-элементного алгоритма найдены оптимальные распределения жесткостей подкрепления кругового отверстия, удовлетворяющие условию постоянства деформаций, при упругопластическом поведении материала пластины. Принималось, что пластина находится в условиях плоского напряженного состояния. Исследовано влияние изгионой жесткости подкрепления на размеры пластических зон пластины. При сопоставлении с подкреплением постоянной жесткости получено, что

применение равнодеформированного подкрепления края отверстия приводит: к локализации пластической зоны вблизи отверстия (до 44% уменьшается максимальное расстояние от края отверстия до границы пластической зоны), к снижению максимальных перемещений (до 15%) и к небольшому уменьшению концентрации напряжений. При учете изгибной жесткости подкрепляющего стержня незначительно изменяются максимальные перемещения, напряжения в пластине и распределение жесткости па растяжение. При этом упругопластическая граница несколько изменяется.

В диссертации проведено аналогичное исследование для пластин при действии изгибающих нагрузок. На основе итерационного алгоритма получено распределение жссткостей подкрепляющего стержня вдоль кругового отверстия в

пластине, удовлетворяющее условию постоянства деформаций (11). При сравнении с подкреплением постоянной жесткости установлено, что происходит существенное снижение прогиба края отверстия пластины (на 30%) и значительное уменьшение площади пластических зон, приводящее к повышению несущей способности конструкции. На рис. 12 для 'А квадратной пластины, изгибаемой по краям распределенными моментами, сплошной линией нанесена граница пластической зоны вблизи оптимально подкрепленного кругового отверстия, а штриховой - для подкрепления постоянной жесткости.

4.3. Оптимальное распределение жссткостей тонких ребер при упругопластическом поведении материала пластины В данном разделе проведено исследование для пластин с ребрами жесткости. Численно найдены оптимальные распределения жесткостей ребра, расположенного вдоль окружности и эллипса в прямоугольной пластине. Получено, что при переходе материала в пластическое состояние градиент изменения жесткостей ребер для достижения их равнодеформированности уменьшается. При сопоставлении с ребром постоянной жесткости того же объема найдено, что пластические зоны при использовании оптимального ребра уменьшаются примерно в 2 раза, что свидетельствует о повышении несущей способности конструкции.

Исследовано влияние равнодеформированных ребер на напряженно-деформированное состояние пластины при действии поперечных нагрузок. Схема нагружения соответствует рис. 9. На рис. 13 сплошные линии соответствуют границам пластических областей в пластине с оптимальными ребрами, а штриховые - с ребрами постоянной жесткости (изображена 'А часть). Таким образом, при действии поперечных нагрузок при использовании оптимальных ребер существенно уменьшаются размеры пластических зон и повышается несущая способ-

2

а=д/р=0.6 р=я,/(Щ1=0.455

у/Я

.-Подкрепление

ч постоянной жесткости

Г у

Равнодеформ ированное подкрепление

о 1 х/я 2

Рис. 12. Упруготастическая граница вокруг подкрепленного кругового отверстия в квадратной пластине при изгибе

—

ность конструкции. При этом, как и в упругом случае, для оптимальных ребер наблюдается значительное снижение прогиба (до 25%) и концентрации напряжений (до 8%) в пластине. Наибольший эффект соответствует сосредоточенной нагрузке.

Рис. 13. Пластические зоны в пластине, усиленной двумя пересекающими ребрами, при действии сосредоточенной и распределенной нагрузок

Таким образом, в четвертой главе установлено, что оптимальные в энергетическом смысле подкрепления краев отверстий и ребра жесткости в пластинах при высоком уровне внешних нагрузок приводят как к снижению максимальных перемещений, так и к локализации пластических зон и повышению несущей способности. Кроме того, уменьшается концентрация напряжений.

5. Оптимальные формы поперечных сечений стержней с продольной полостью

Пятая глава посвящена разработке методов решения задач оптимизации форм поперечных сечений стержней с полостью. Стержневые элементы широко используются в авиационных и машиностроительных конструкциях. Оптимизация форм поперечных сечений стержней позволяет значительно улучшить их характеристики и снизить вес. Задачи оптимизации стержневых элементов являются классическими и рассматривались в работах Арутюняна Н.Х., Баничука Н.В., Бараненко В.А., Кандобы И.Н., Кобелева В.В., Куршина Л.М., Лаврова H.A.,-Ларионова Г.И., Ларичева А.Д., Лурье К.А., Медникова А.Ю., Мельникова Ю.А., Николаи Е.Л., Оноприенко П.Н., Петухова Л.В., Радаева Ю.Н., Сен-Венана Б., Титаренко С.А., Черкаева A.B., Denis К., Doblare M., Gracia L., Karihaloo B.L., Polya G., Weinstein A. и др. Наибольший вклад в исследование этих задач внесен Н.В. Баничуком. В 5-ой главе диссертации разработан метод оптимизации формы поперечных сечений стержней с продольной полостью, основанный на введении аналитических функций комплексного переменного. Определялась форма граничных контуров сечения из условия максимизации крутильной и изгибной жест-костей и минимизации веса стержня при различных ограничениях. Получены ре-

шения новых практически важных задач для однородных стержней и стержней, составленных из различных материалов.

5. /. Оптимальные формы поперечных сечений однородных стержней с продольной полостью

В диссертации рассмотрен работающий на свободное кручение стержень с продольной полостью. В качестве оптимизируемых параметров принимались крутильная, изгибная жесткости и площадь сечения. Использовались основные уравнения свободного кручения, записанные с помощью функции напряжений ф(ху). Основу выражения для полной энергии составляет функционал

Ф= Л(4ф-фх2-ф 1)<Шу. (18)

п

В работах Н.В. Баничука и Л.М. Куршина показано, что функционал (18) с точностью до постоянной совпадает с выражением для крутильной жесткости и позволяет избавляться от дифференциальных связей при получении условий оптимальности.

В диссертации поставлены и решены задачи максимизации жесткости кручения К стержня при заданных изгибных жесткостях J„ и площади Р внутренней полости. Эта задача сведена к вариационной задаче о стационарном значении функционала

V = ||(4ф-ф2-ц2у)с1хс1у + \х ]]Ус&Л> + А.2 §хгс!х<1у-\з Цлф. (19) п п п о

Здесь Г2 - область двусвязного сечения стержня, ограниченного внутренним Ь, и внешним ¿2 контурами; В - область, ограниченная внутренним контуром. Из условия стационарности функционала (19) за счет варьирования контуров I/, Ь2 получены условия оптимальности

Ф 1+Х,у2 +Х2х2 +Х}+4С = 0

ф2 +А, у2 + \2х2 = 0 (х,у) еЬ2.

Показано, что условиям (20) удовлетворяет сечение стержня, ограниченное двумя геометрически подобными эллипсами.

В работе автора диссертации совместно с Л.М.Куршиным, П.Н.Оноприенко разработан метод решения задач оптимизации двусвязных сечений стержней при заданном одном из граничных контуров. Для сформулированной выше задачи принято, что форма внутреннего граничного контура Ь/ задана в виде окружности, а определяется форма внешнего контура сечения стержня из условия максимума крутильной жесткости при заданных изгибных жесткостях. Из ранее полученных условий оптимальности остается условие (20) на внешнем контуре Ь2. В соответствии с разработанным в диссертации методом вводятся функции комплексного переменного, осуществляющие конформное отображение внешностей контуров ¿ь на каноническую область. В рассматриваемом случае отображение для внутреннего контура известно, а отображение для искомого контура 12 разыскивается в виде ряда с неизвестными коэффициентами.

Для решения задачи в настоящей работе введена гармоническая функция и(х,у)=$(х,у)+{х2+у2)12 в области поперечного сечения и аналитическая функция

комплексного переменногоДг)=и(х,у)+п(х,у), являющаяся комплексной функцией кручения (г=х+1у). Краевые условия записаны для ]{г). Функция кручения {{х) представлена с помощью интеграла типа Коши и некоторой специально построенной функции, аналитически продолжимой через внешний контур и равной нулю на бесконечности. Из условия существования аналитической в области сечения функции удовлетворяющей всем краевым условиям, включая условие оптимальности, получена система нелинейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов функции, осуществляющей конформное отображение внешности искомого контура. Эта система дополнена уравнением, связывающим задаваемые ограничения.

достоверности полученных численных результатов при приближении граничных контуров друг к другу.

Для задачи максимизации изгибной жесткости при заданных другой пзгиб-ной и крутильной жесткостях получены условия оптимальности и показано, что в общем случае оптимальный контур ограничен геометрически подобными эллипсами. В частном случае на основе предложенного численного метода оптимизировалась форма внешнего граничного контура сечения стержня, содержащего внутреннюю круговую продольную полость.

В задаче минимизации площади сечения стержня 5—>т 'т при ограничениях на крутильную К>К0 > изгибную жесткости Jx>Ja и фиксированной площади полости /7=/го используется известный результат: максимальную жесткость кручения при заданной площади сечения имеет стержень с сечением в виде кругового кольца. В результате при Кп оптимальным сечением будет сечение в виде кругового кольца, при Кц<23а - сечение, ограниченное геометрически подобными эллипсами. Этот результат получен для сплошных стержней Н.В.Баничуком, Б.Л.Карихаллой, а для стержней с полостью - в опубликованной автором совместно с Н.В.Баничуком и Л.М.Куршиным работе [15]. Лнатогично исследованы задачи максимизации крутильной жесткости К-^тах при ограничениях ¡¡^¡о, JX>J'^,

у/В

0.5

0 0.5 ,.0 х/п ,;5

Рис. 14. Форчы сечения стержня максимальной крутильной жесткости при различном соотношении изгибных жесткостей

На рис. 14 нанесены оптимальные очертания внешнего контура сечения при заданной круговой полости, обеспечивающие максимум крутильной жесткости для различных соотношений изгибных жесткостей. В работе найдено, что если граничные контуры относительно далеки друг от друга, то получающиеся оптимальные формы внешнего контура близки к эллипсам, соответствующим точному решению при разыскании обоих контуров. Даны оценки

1.5

у/В

1

0.5

0

5=А /В=0.6

¿2

ь\

0.5 х/В 1.0

Рис. 15. Формы сечения стержня минимального веса при ограничении на крутильную и изгибную жесткости

F=.F,) и максимизации изгибной жесткости Jx -+тах при ограничениях ¿"=50, К=К0,

Для фиксированной формы внутреннего граничного контура сечения I/ в виде окружности в задаче минимизации площади стержня 8-^тт при ограничениях на крутильную К>К0 и изгибную жесткости в области задаваемых параметров К0 <2У0 внешний граничный контур сечения Ь2 определялся численно. В этом случае ограничения записывались в виде равенств К=К0, Л=7о. На рис.15 приведены формы сечений стержня минимального веса при ограничениях на изгибную и крутильную жесткости, найденные с помощью метода, использующего конформные отображения. Даны численные оценки точности выполнения краевых условий. Получено, что при приближении граничных контуров друг к другу (О=Кпи0 <1) точность метода падает. Установлены оценки эффекта оптимизации при сравнении найденных оптимальных сечений с круговым кольцом, удовлетворяющим тем же ограничениям. Наибольший эффект снижения веса в рассмотренных примерах составил 75%. В работе приведены также результаты решения аналогичных задач оптимизации внешнего контура сечения при заданном в виде окружности внутреннем £/ контуре из условий максимума крутильной жесткости К при ограничениях 5,=5'о, Jx~Jo и максимума изгибной жесткости ^ при ограничениях 5=5"о, К=К0-

5.2. Оптимальное проектирование форм поперечных сечений стержней, составленных из различных материалов

Решены задачи оптимизации сечений стержней, составленных из различных материалов (рис. 16). С помощью функций напряжений в соответствующих областях выведены уравнения и найдены условия оптимальности для всех задач, аналогичных рассмотренным выше. Показано, что при определенных соотношениях между задаваемыми параметрами оптимальным сечением является сечение, ограниченное геометрически подобными эллипсами или окружностями.

Рассмотрены частные задачи, в которых форма внутренних контуров Ьц известна, а разыскивается внешний контур Ь2. В частности, получено решение задачи оптимального распределения материала вокруг круговой трубы (¿/, ¿¡2 - окружности). Минимизировался вес составного стержня при ограничениях на его

Рис. 16. Поперечное сечение стержня, составленное из различных материалов

изгибную СХ>С0 и крутильную К>К0 жесткости. Если не учитывать ограничения на изгибную жесткость Сх>Сд, то при заданной крутильной жесткости К=Ко минимальный вес будет иметь стержень с сечением, ограниченным окружностями Ь12, ¿2. Крутильная К и изгибная Сх жесткости такого сечения связаны равенством (А7Сг)/(С,/£2)=2Р, где Е2 - модули сдвига и растяжения усиливающего материала, р - параметр, зависящий от материалов и размеров составного стержня. Если ограничения Ко , Со таковы, что д=(Ко/С2)/(Со/Е2)>2р, то оптимальным внешним контуром по-прежнему будет окружность, так как активным остается только ограничение на крутильную жесткость (С,>С0, А'-Ко). При <2<2Р оба ограничения становятся активными, и контур определяется на основе полученного условия оптимальности и разработанного в диссертации метода, использующего конформные отображения. На рис. 17 приведены оптимальные распределения внешнего слоя, удовлетворяющие условию минимума веса составного стержня при ограничениях на его изгибную и крутильную жесткости.

О 0.5 х/В 1.0

Рис 17. Распределение усиливающего материала вокруг круговой трубы из условии минимума веса при ограничениях на К и С(

5.3. Оптимальное проектирование формы поперечного сечения анизотропных стержней с пуодочьной полостью В данном разделе приведены методика и результаты оптимизации формы сечения анизотропного стержня из условия максимума крутильной жесткости при заданной площади сечения. Предполагалось, что материал имеет плоскость упругой симметрии, перпендикулярную образующей. Тогда при действии крутящего момента в поперечном сечении будут возникать только касательные напряжения. Условие оптимальности для анизотропного стержня получено Н.В.Баничуком.

Идея метода заключается в переходе с помощью линейного преобразования поперечного сечения во вспомогательную плоскость и в решении задачи оптимизации для изотропного стержня с помощью предложенного в диссертации метода. Обратное преобразование определяет оптимальную форму для исходного анизотропного стержня. В работе приведены результаты максимизации крутильной жесткости анизотропного стержня с круговой полостью и ортотропного стержня с квадратной полостью при заданной площади сечения. Во вспомогательной изотропной плоскости решались задачи оптимизации для стержня с эллиптической и ромбовидной внутренними полостями.

Таким образом, в пятой главе разработан метод решения задач оптимизации формы поперечных сечений стержней при действии крутящих и изгибающих мо-

ментов, основанный на использовании аппарата теории аналитических функций комплексного переменного. Получены численные и аналитические результаты оптимизации поперечных сечений однородных и составных стержней, имеющих большое значение при проектировании подобных элементов конструкций.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие результаты:

1. Разработан метод оптимального проектирования стержней и подкрепленных пластин, основанный на использовании интегрального критерия - условия минимума энергии деформаций. На первом этапе получаются условия оптимальности при варьировании расширенного функционала Лагранжа, на втором - с помощью предложенных аналитических и численных методов находится оптимальный проект элемента конструкции.

2. Решены новые практически важные задачи оптимизации подкрепленных отверстий в пластине, использующие условие минимума энергии деформации. В качестве управляющих функций в общем случае применялись форма контура отверстия, закон изменения подкрепляющего материала и распределение толщины пластины вокруг отверстия. Разработаны аналитические методы решения, основанные на теории функций комплексного переменного, и численные итерационные методы, использующие полученные условия оптимальности и МКЭ. Исследованы свойства оптимальных решений и даны практически важные рекомендации но повышению жесткости конструкций с подкрепленными отверстиями.

3. Предложен способ автоматизации разбиения двусвязных областей на конечные элементы, предусматривающий использование функций комплексного переменного. На основе этого разработан алгоритм определения неизвестной границы в задаче об определении равнопрочных форм контуров отверстий.

4. Исследована возможность оптимизации усиливающих ребер в пластинах как за счет изменения их положения, так и за счет распределения жесткостсй. Разработаны методы решения и получены аналитические и численные результаты. Показано, что при использовании условия минимума энергии деформации в найденных оптимальных проектах элементов конструкций значительно снижаются максимальные перемещения и в большинстве случаев - концентрация напряжений. Наибольший эффект оптимизации получен при действии локально сосредоточенных изгибающих нагрузок. В частности, для пластины установлено уменьшение максимального прогиба на 23% и концентрации напряжений на 44%.

5. Исследовано влияние подкреплений краев отверстий в пластинах на размер пластических зон. Показано, что за счет перераспределения вдоль края отверстия усиливающего материала можно оптимизировать размеры пластических зон.

6. Обобщена вариационная постановка задачи об определении формы контура отверстия и закона изменения жесткости подкрепляющего стержня из условия минимума энергии деформации при упругопластическом поведении материала пластины. Получены необходимые условия оптимальности.

7. На основе МКЭ и разработанного итерационного алгоритма найдено решение задач оптимизации распределения жесткостей подкрепления краев отвер-

стий и ребер жесткости при упругопластическом поведении материала пластины. Показано, что при использовании оптимальных в энергетическом смысле подкрепляющих стержней и ребер жесткости происходит значительное уменьшение пластических зон. В результате повышается несущая способность, возрастает значение параметра нагрузки, соответствующее началу образования пластических деформаций.

8. Разработан метод решения задач оптимизации формы поперечных сечений стержней, работающих при кручении и изг ибе, основанный на использовании конформных отображений. В качестве условий оптимальности последовательно принимались условия минимума веса стержня, максимума крутильной и максимума изгибной жесткостей при различных ограничениях. Отдельно рассмотрены задачи оптимизации формы внешнего граничного контура поперечного сечения стержня, имеющего внутреннюю круговую продольную полость, и задачи оптимального распределения материала внешнего слоя сечения составного стержня. Даны оценки эффекта оптимизации. В рассмотренных задачах для оптимальных стержней установлено снижение веса до 75%.

9. Разработана методика и решены задачи оптимизации формы поперечных сечений анизотропных стержней с продольной полостью из условия максимума крутильной жесткости при заданной площади сечения.

10. Результаты диссертации применялись в расчетной практике СибНИЛ. Рекомендации, приведенные в работе, использовались при решении проблемы повышения жесткостных свойств, несущей способности и улучшения весовых характеристик подкрепленных тонкостенных элементов конструкций перспективных самолетов, находящихся на стадии статических испытаний в СибНИА. Отдельные результаты диссертации внедрены также на Новосибирском филиале АООТ «ОКБ Сухого» (г. Новосибирск), ОАО ЭЛСИБ (г. Новосибирск).

Список опубликованных работ по теме диссертации

1. Оноприенко П.Н.,- Расторгуев Г.И. Оптимизация геометрических параметров стержня, работающего на кручение // Проектирование и оптимизация элементов, устройств и систем летательных аппаратов с использованием ЭВМ / Тез. Межвуз. совещания - семинара молодых ученых. Харьков. - 1977. - С.79-82.

2. Оноприенко П.Н., Расторгуев Г.И. Стержень максимальной крутильной жесткости с двусвязным сечением, содержащим треугольную границу // Динамика и прочность авиационных конструкций / Межвуз. сб. науч. трудов. - Новосибирск: Изд-во НЭТИ. - 1978. - Вып.4. - С.35-40.

3. Куришн II.М, Расторгуев Г.И. О подкреплении контура отверстия в пластинке // Всес. конф. по теории упругости / Тез. докл. Ереван. - 1979. - С.200-202.

4. Куришн JIM., Расторгуев Г.И. О подкреплении контура отверстия в пластинке // Известия АН СССР. МТТ. - 1979. - № 6. - С.94-102.

5. Куришн U.M., Расторгуев Г.И. Об оптимальной форме сечения скручиваемого стержня // Известия АН Арм. ССР. Механика. - 1979. - № 6. - С. 17-19.

6. Куршин Л.М., Расторгуев Г.И. К задаче о подкреплении контура отверстия в пластинке безмоментным упругим стержнем // ПММ. - 1980. Т.44. - Вып.5. -С.905-915.

7. Куршин Л.М., Расторгуев Г.И. Подкрепление кругового отверстия в пластинке равнонапряженным отверстием // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Алгоритмизация и автоматизация решения задач упругости и пластичности / Всес. сб. науч. тр. - Горький: ГГУ. - 1980. - Вып.16. - „С.88-95.

8. Куршин Л.М., Расторгуев Г.И. Применение варьирования интегралов с переменными границами в задачах оптимизации форм подкрепленных отверстий в пластинках // Тр. ХП Всес. конф. по теории оболочек и пластин. - Ереван. - 1980. - Т.2. - С.288-294.

9. Куршин Л.М., Расторгуев Г.И. Оптимальные формы подкрепленных отверстий в пластинах // Восьмая Дальневосточная научно-техн. конф. по повреждениям и эксплуатационной надежности судовых конструкций / Тез. докл. Владивосток: Изд-во Приморского краевого правления научно-техн. об-ва им. Акад. А.Н.Крылова. - 1981. - С 167-169.

10.Куршин Л.М., Оноприенко П.Н., Расторгуев Г.И. Некоторые задачи для упругих тел с неизвестными границами // Современные проблемы механики и авиации / Сб. посвящ. 60-лстию акад. И.Ф. Образцова. М.: Машиностроение, 1982. -С.172-182.

11 .Куршин Л.М., Поварницын Ю.М., Расторгуев Г.И. Оптимизация тонкого стержня, разделяющего растянутую пластину и шайбу // Пространственные конструкции в Красноярском крас / Мсжвуз. сб. - Красноярск: Изд-во Красноярского политехи, ин-та. - 1982. - С 60-66.

12.Куршин Л.М., Расторгуев Г.И. Равнонапряженный стержень, разделяющий растянутую пластину и круговую шайбу // Известия вузов. Строительство и архитектура. - 1982.-№ 2. - С. 29-33.

13.Абабков А.Г., Расторгуев Г.И. К задаче об оптимальном подкреплении контура отверстия в растянутой пластиие// Прочность, устойчивость и колебания тонкостенных и монолитных авиационных конструкций / Мсжвуз. сб. - Казань: Изд-во КАИ. - 1983.-С. 3-5.

Матвеев К.А., Расторгуев Г.И. Оптимизация форм стержневых элементов в задачах кручения, изгиба и устойчивости // IX Дальневосточная научно-техн. конф. по повреждениям и эксплуатационной надежности судовых конструкций / Тез. докл. - Владивосток: Изд-во Приморского краевого правления научно-техн. об-ва им. А.Н.Крылова. - 1984. - С 221-223.

15.Баничук Н.В., Куршин Л.М., Расторгуев Г.И. Об оптимальных формах поперечных сечсний призматических стержней с продольной полостью // ПМТФ. -1985. - № 4. - С 155-159.

16.Белоусова E.H., Расторгуев Г.И. Равнопрочное подкрепление края отверстия в пластине при изгибе // Динамика и прочность авиационных конструкций / Межвуз. сб. науч. тр. - Новосибирск: Изд-во НЭТИ, 1986. —С. 137-142.

17.Расторгуев Г.И. Оптимизация форм поперечных сечений стержней с круговой продольной полостью // Динамика и прочность авиационных конструкций / Межвуз. сб. науч. тр. - Новосибирск: Изд-во НЭТИ. - 1986. - С. 82-88.

18.Расторгуев Г.И. Подкрепление кругового отверстия в пластине равноде-формированным стержнем // Известия АН СССР. М'ГТ. - 1986. - №2. - С. 167172.

19.Расторгуев Г.И. Оптимизация формы поперечных сечений призматических стержней, составленных из различных изотропных материалов // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Исследование и оптимизация конструкций / Всес. Межвуз. сб. - Горький: Изд-во ГГУ. - 1987. - Вып.37. - С. 50-57.

Ю.Расторгуев Г.И. Оптимизация жесткостей тонких ребер, расположенных вдоль концентрических окружностей, в изгибаемой пластине // Известия вузов. Строительство и архитектура. - 1987. -№6. - С.23-27.

21 .Расторгуев Г.И. Оптимизация жесткостей тонких ребер, расположенных вдоль концентрических окружностей, в растянутой пластине // Динамика и прочность авиационных конструкций / Межвуз. сб. науч. тр. - Новосибирск: Изд-во НЭТИ. - 1987.-С. 34-43.

22.Расторгуев Г.И. К решению задачи оптимизации формы сечения призматического стержня с продольной полостью, изготовленного из анизотропного материала частного вида// Известия вузов. Строительство и архитектура. - 1989. - № 8.-С 27-31.

23.Расторгуев Г.И. Определение формы сечения анизотропного призматического стержня с продольной полостью из условия максимума крутильной жесткости // Динамика и прочность авиационных конструкций. - Новосибирск: Изд-во НЭТИ.-1989.-С. 56-61.

24.Матвеев К.А., Олегин И.П., Расторгуев Г.И. Устойчивость и упругопласти-ческое деформирование пластин с отверстиями // XI Дальневосточная научно-техн. конф. «Повреждения и эксплуатационная надежность судовых конструкций», 12-15 сентября / Тез. докл. - Владивосток: Изд-во Приморского краевого правления научно-техн. об-ва им. А.Н. Крылова. - 1990. - С. 127.

25.Расторгуев Г.И, Шлыкова ОН. Применение отображающих функций комплексного переменного при построении сетки конечных элементов // Динамика и прочность авиационных конструкций: Межвуз. сб. науч. тр. - Новосибирск: Изд-во НЭТИ. - 1992. - С. 93-99.

26.Григ\енко В.И., Расторгуев Г.И. Определение пластической зоны вокруг подкрепленного отверстия в пластине // Динамика и прочность авиационных конструкций / Межвуз. сб.науч. тр. - Новосибирск: Изд-во НЭТИ. - 1992. - С. 47-54.

21 .Расторгуев Г.И, Уваровский Д.С. К решению упругопластических задач методом граничных элементов // Динамика и прочность авиационных конструкций: Межвуз. сб. науч. тр. - Новосибирск: Изд-во НЭТИ. - 1994. - С. 30-37.

28 .Расторгуев Г.И., Уваровский Д. С. Упругопластический расчет ортотропных пластин методом граничных элементов / Тез. докл. Междунар. научно-техн. конф. «Расчетные методы механики деформируемого твердого тела». — Новосибирск: Изд-во СГАПС. - 1995.-С.61.

29.Расторгуев Г.И. Оптимальное подкрепление края отверстия в пластине // Научный вестник НГТУ. - 1996. - № 2. - С. 89-98.

30.Расторгуев Г.И. Применение численных методов к упругопластическому расчету ортотропных пластин с отверстиями // Труды междунар. науч.-техн. конф.

«Научные основы высоких технологий». - Новосибирск: Изд-во НГТУ - университет г.Ульсан (Корея). - 1997. - Т.4. Материаловедение. Современные машины и технологии.-Авиационная техника и технология. - С. 224-228.

31 .Rastorguev G.I. The Application of Numerical Methods to Elastic-plastic Account of Orthotropic Plates with Cutouts. Abstracts 11 The 1-st Korea-Russia International Symposium on Science and Technology "KORUS'OO". University of Ulsan Republic of Korea. - 1997. - P. 22.

32.Rastorguev G.I. The Definition of the Shapes of the Elements of Constructions Minimum energy of a Strain // The Sccond International Symposium on Science and Technology. - Tomsk Polytechnic University. Russia. - 1998. - P. 213.

33.Расторгуев Г.И. Оптимальное распределение жесткости подкрепления вдоль края отверстия в пластине при упругопластическом поведении материала // Сибирский журнал индустриальной математики. - 1998. -№2. - С. 140-153.

34.Расторгуев Г.И. Исследование пластических зон вокруг подкрепленных отверстий в пластинах // Сб. трудов Межвуз. научной конференции «Численно -аналитические методы решения краевых задач». - Новокузнецк: Издательство филиала Кемеровского гос. ун-та в г. Новокузнецке. - 1998. - С.62-64.

35.Rastorguev G.I. Optimum Distribution of a Thickness around Reinforced Holes in Plates. Abstracts // The Third Russian-Korean International Symposium on Science and Technology. - Novosibirsk State Technical University. Russia. - 1999. - Vol.1. -

36.Расторгуев Г.И. Оптимизация распределений жесткостей тонких ребер в пластинах при изгибе // Математическое моделирование процессов в синергети-ческих системах / Тр. Всероссийской науч. конф. - Улан-Удэ - Томск: Изд-во ТГУ, 1999. -С.208-212.

37.Расторгуев Г.И. Пластические зоны вокруг подкрепленных отверстий в пластинах // Динамика сплошной среды / Математические проблемы механики сплошных сред. Сб. науч. тр. - Новосибирск. Изд-во Ин-та гидродинамики СО РАН. - 1999.-Вып. 114. - С. 192-195.

Ъ%.Пустовой II.В., Расторгуев Г.И., Шлыкова ОН. Оптимальное распределение толщины вокруг подкрепленных отверстий в пластинах // Научный вестник НГТУ. - 1999. - № 1. - С. 64-73.

Ъ9.Аппт B.D., Rastorguev G.I. Application of conformal mappings and finite element method in problems of shape optimization of the doubly-connected elements // Proceedings the 4th Korea-Russia International Symposium on Science and Technology. Ulsan: Printed in Republic of Korea Technical Communication Service. - 2000. - Part2.

40.Аинин Б.Д., Расторгуев Г.И. Применение отображающих функций комплексного переменного и МКЭ в задачах оптимизации формы деформируемого тела // Научный вестник НГТУ. - 2000. - №1(8). - С.84-90.

Р.353.

-Р.23-26.

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ СТЕРЖНЕЙ И ПОДКРЕПЛЕННЫХ ПЛАСТИН.

1.1. Обзор литературы.

1.1.1. Применение интегральных критериев в задачах максимизации жесткости.

1.1.2. Оптимизация формы тела.

1.1.3. Определение условий оптимальности в задаче разыскания формы.

1.1.4. Определение форм равнопрочных контуров отверстий—

1.1.5. Оптимизация подкреплений краев отверстий в тонкостенных элементах конструкций

1.1.6. Оптимизация пластин с ребрами жесткости.

1.1.7. Пластины с подкрепленными отверстиями и ребрами жесткости при упругопластическом поведении материала.

1.1.8. Оптимизация форм поперечных сечений стержней.

1.2. Постановка задачи оптимизации элементов конструкций на основе минимизации энергии деформаций.

1.3. Выводы по главе 1.

2. ОПТИМИЗАЦИЯ ПОДКРЕПЛЕНИЯ ОТВЕРСТИЙ В ПЛАСТИНАХ ИЗ УСЛОВИЯ МИНИМУМА ЭНЕРГИИ.

2.1. Применение модели плоского широкого кольца для подкрепления края отверстия в пластине.

2.1.1. Постановка задачи и условия оптимальности.

2.1.2. Преобразование уравнений с применением комплексных представлений напряжений и перемещений.

2.1.3. Построение решения методом малого параметра.

2.1.4. Численные результаты.

2.1.5. Оптимизация двусвязной области подкрепления при заданном одном из граничных контуров.

2.1.6. Минимум энергии и равнопрочные контуры отверстий.

2.2. Оптимальное подкрепление края отверстия в пластине при использовании модели тонкого стержня.

2.2.1. Постановка задачи об определении формы отверстия в пластине и закона изменения жесткости подкрепления.

2.2.2 Преобразование уравнений с применением комплексных представлений напряжений и перемещений.

2.2.3. Решение методом малого параметра.

2.2.4. Оптимизация жесткостей подкрепления при фиксированной форме отверстия (плоское напряженное состояние).

2.2.5. Оптимизация распределения жесткостей подкрепления при фиксированной форме отверстия (изгиб пластины).

2.3. Оптимизация подкрепления при управлении толщиной пластины вокруг подкрепленного отверстия.

2.3.1. Общая постановка задачи об оптимальных форме отверстия, жесткости подкрепления и толщины пластины.

2.3.2. Оптимальная толщина вокруг подкрепленного кругового отверстия при равномерном растяжении пластины.

2.3.3. Численная оптимизация толщины пластины вокруг подкрепленных отверстий.

2.4. Применение функций комплексного переменного и МКЭ в задачах оптимизации формы.

2.4.1. Описание способа автоматизации разбиения двусвязной области на сетку конечных элементов.

2.4.2. Применение функций комплексного переменного и МКЭ в задачах оптимизации формы двусвязных тел.

2.5. Выводы по главе 2.

3. ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТОНКИХ РЕБЕР В ПЛАСТИНАХ.

3.1. Оптимизация положения и распределения жесткости ребра в пластине из условия минимума энергии деформации.

3.1.1. Вариационная постановка задачи.

3.1.2. Преобразование уравнений и решение задачи оптимизации методом малого параметра.

3.2. Оптимизация жесткостей ребер, расположенных вдоль контуров заданной формы (плоское напряженное состояние).

3.2.1. Условия оптимальности при учете изгибной жесткости ребра.

3.2.2. Оптимальные распределения жесткостей ребер, расположенных вдоль концентрических окружностей.

3.2.3. Конечно-элементные решения для распределения жесткостей ребер, расположенных вдоль заданных контуров.

3.3. Оптимальное проектирование изгибаемых пластин с ребрами жесткости.

3.3.1. Постановка задачи и условия оптимальности.

3.3.2. Оптимальные распределения жесткостей ребер, расположенных вдоль окружностей, в изгибаемой пластине.

3.3.3. Численные решения задач оптимизации распределения жесткостей ребер в изгибаемой пластине.

3.4. Выводы по главе 3.

4. ОПТИМИЗАЦИЯ ПОДКРЕПЛЕННЫХ ПЛАСТИН ПРИ УП-РУГОПЛАСТИЧЕСКОМ ПОВЕДЕНИИ МАТЕРИАЛА.

4.1. Численное исследование пластических зон вокруг подкрепленных отверстий в пластинах.

4.2. Оптимизация подкрепленных отверстий в пластинах при упру-гопластическом поведении материала.

4.2.1. Постановка задачи оптимизации формы подкрепленного отверстия в пластине.

4.2.2. Результаты оптимизации подкреплений краев отверстий в пластинах при плоском напряженном состоянии.

4.2.3. Численные результаты оптимизации подкрепления края отверстия в изгибаемой пластине.

4.3. Оптимальное распределение жесткостей тонких ребер при уп-ругопластическом поведении материала пластины

4.3.1. Оптимизация распределений жесткостей ребер, расположенных вдоль замкнутых линий.

4.3.2. Оптимизация распределений жесткостей ребер, расположенных вдоль пересекающих прямых.

4.4. Выводы по главе 4.

5. ОПТИМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЕЙ С ПРОДОЛЬНОЙ ПОЛОСТЬЮ.

5.1. Оптимальные формы поперечных сечений однородных стержней с продольной полостью.

5.1.1. Формы сечений стержней максимальной крутильной жесткости при ограничениях на изгибные жесткости.

5.1.2. Максимизация изгибной жесткости стержня при ограничениях на крутильную и другую изгибную жесткости.

5.1.3. Задачи оптимизации формы сечения стержней по площади сечения и двум изгибным жесткостям.

5.1.4. Оптимизация формы сечения стержней по площади сечения, крутильной и изгибной жесткостям.

5.2. Оптимальное проектирование форм поперечных сечений стержней, составленных из различных материалов.

5.2.1. Обобщение аналитических решений на случай неоднородных стержней.

5.2.2. Задачи оптимального распределения материала внешнего слоя сечения составного стержня.

5.3. Оптимальное проектирование формы поперечных сечений анизотропных стержней с продольной полостью.

5.3.1. Постановка задачи.

5.3.2. Сведение к вспомогательной задаче оптимизации для изотропного стержня.

5.3.3. Численный метод решения задачи оптимизации сечения анизотропного стержня.

5ЗА. Частные случаи.

5.3.5. Оптимальные формы поперечных сечений анизотропных стержней с круговой продольной полостью.

5.3.6. Результаты оптимизации формы сечения ортотропного стержня с квадратной полостью.

5.4. Выводы по главе 5.

Актуальность темы диссертации. Жесткость - это способность конструкции сопротивляться образованию деформаций при воздействии внешних нагрузок. Все конструкции должны иметь жесткостные свойства, гарантирующие ее безопасную эксплуатацию. В связи с этим обеспечение необходимой жесткости конструкции относится к одним из основных разделов теории оптимального проектирования [23]. При проектировании конструкции максимальной жесткости при заданном объеме материала возможны два подхода. В первом локальном подходе минимизируются перемещения в характерной точке конструкции. Во втором интегральном подходе, принятом в диссертации, в качестве меры жесткости используется потенциальная энергия деформации конструкции. Достоинство данного подхода заключается в простоте и естественности получения условий оптимальности. Эти условия получаются на основе минимизации расширенного функционала полной энергии Лагранжа за счет дополнительного управления параметрами конструкции. В настоящей работе минимизация энергии деформации осуществлялась за счет варьирования границы области, толщины пластины и жесткостей усиливающих ребер. Кроме условий оптимальности из этого же функционала получается полная система уравнений данной задачи. Таким образом, основная идея диссертации - минимизация энергии деформации конструкции за счет управления ее параметрами.

Отметим, что интегральный критерий оптимальности применительно к проектированию конструкций минимальной податливости (максимальной жесткости) использовался во многих работах. В монографии Н.В.Баничука [23, с. 12] отмечается, что в некоторых задачах оптимального проектирования интегральный критерий - минимум работы, производимой внешними силами при квазистатическом нагружении, - дает характеристику максимальным перемещениям точек конструкции и может служить в качестве критерия жесткости. В настоящей диссертационной работе предложены новые постановки задач оптимизации для следующих элементов конструкций: пластины с подкрепленными отверстиями, пластины с ребрами жесткости и стержни с продольными полостями. Для перечисленных элементов, имеющих явные ослабленные места, применение интегрального критерия оптимальности - условия минимума энергии деформации при заданном объеме материала, - как показали расчеты, приводит к существенному снижению максимальных перемещений. При этом из расчетов следует, что концентрация напряжений в полученных оптимальных проектах элементов конструкций, как правило, снижается.

В задачах оптимального проектирования невозможно создать универсальный метод, который бы одинаково хорошо подходил к каждому из классов задач. Например, в работе [342] приведены сравнительные оценки восьми различных алгоритмов оптимизации и сделан вывод, что ни один из них не может быть успешно использован для решения всех задач. Поэтому разработка методов решения рассмотренных в диссертации задач является актуальным и практически важным.

Отметим, что рассматриваемые в диссертации задачи минимизации энергии деформации при заданном объеме материала эквивалентны задачам минимизации объема материала при заданном уровне энергии деформации. Это обстоятельство отмечается в работах [23, 222, 366].

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованных источников. В первой главе дается обзор литературы по теме диссертации. В обзор включены как работы по проектированию элементов конструкций максимальной жесткости, так и работы, имеющие отношение к конкретным классам задач, рассмотренным в диссертации. Здесь же приводится общая постановка задачи оптимизации параметров конструкции с использованием интегрального критерия оптимальности - условия минимума энергии деформации.

5.4. Выводы по главе 5

Рис. 5.43. Формы сечения орто-тропных стержней максимальной крутильной жесткости с квадратной полостью

Разработан метод решения задач оптимизации формы поперечных сечений стержней, работающих при кручении и изгибе, основанный на использовании теории функций комплексного переменного и конформных отображений.

Решены задачи оптимизации формы поперечных сечений стержневых элементов. Рассмотрены как однородные стержни с продольной полостью, так и стержни, составленные из различных материалов. В качестве условий оптимальности последовательно принимались условия минимума веса стержня, максимума крутильной и максимума изгибной жесткостей. Ограничения накладывались на два из следующих параметров стержней: площадь поперечного сечения (вес), крутильная и изгибные жесткости. Отдельно рассмотрены задачи оптимизации формы внешнего граничного контура поперечного сечения стержня, имеющего круговую внутреннюю продольную полость, и задачи оптимального распределения материала внешнего слоя сечения составного стержня. Даны оценки эффекта оптимизации. В рассмотренных задачах для оптимальных стержней установлено снижение веса до 75%.

Разработана методика и решены задачи оптимизации формы поперечных сечений анизотропных стержневых элементов, имеющих максимальную крутильную жесткость при заданной площади сечения.

Численные результаты, полученные в главе, представлены в виде графиков, на основе анализа которых даны рекомендации, имеющие практическое и научное значение при оптимальном проектировании стержневых элементов конструкций, подвергающихся действию изгибающих и крутящих нагрузок.

Отдельные результаты главы 5 переданы в СибНИА в виде отчетов в соответствии с правительственными научно-техническими программами «Икарус-МАП», программой Минвуза РСФСР «Полет» и последующими хозяйственными договорами. Эти результаты использовались в расчетной практике ФГУП СибНИА, а рекомендации - при улучшении жесткостных свойств и весовых характеристик стержневых силовых элементов перспективных самолетов, находящихся на стадии статических испытаний в ФГУП СибНИА.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие результаты:

1. Разработан метод оптимального проектирования стержней и подкрепленных пластин, основанный на использовании интегрального критерия -условия минимума энергии деформаций. На первом этапе получаются условия оптимальности при варьировании расширенного функционала Лагранжа, на втором - с помощью предложенных аналитических и численных методов находится оптимальный проект элемента конструкции.

2. Решены новые практически важные задачи оптимизации подкрепленных отверстий в пластине, использующие условие минимума энергии деформации. В качестве управляющих функций в общем случае применялись форма контура отверстия, закон изменения подкрепляющего материала и распределение толщины пластины вокруг отверстия. Разработаны аналитические методы решения, основанные на теории функций комплексного переменного, и численные итерационные методы, использующие полученные условия оптимальности и МКЭ. Исследованы свойства оптимальных решений и даны рекомендации по повышению жесткости конструкций с подкрепленными отверстиями.

3. Предложен способ автоматизации разбиения двусвязных областей на конечные элементы, предусматривающий использование функций комплексного переменного. На основе этого разработан алгоритм определения неизвестной границы в задаче об определении равнопрочных форм контуров отверстий.

4. Исследована возможность оптимизации усиливающих ребер в пластинах как за счет изменения их положения, так и за счет распределения же-сткостей. Разработаны методы решения и получены аналитические и численные результаты. Показано, что при использовании условия минимума энергии деформации в найденных оптимальных проектах элементов конструкций значительно снижаются максимальные перемещения и в большинстве случаев - концентрация напряжений. Наибольший эффект оптимизации получен при действии локально сосредоточенных изгибающих нагрузок. В частности, для пластины установлено уменьшение максимального прогиба на 23% и концентрации напряжений на 44%.

5. Исследовано влияние подкреплений краев отверстий в пластинах на размер пластических зон. Показано, что за счет перераспределения вдоль края отверстия усиливающего материала можно оптимизировать размеры пластических зон.

6. Обобщена вариационная постановка задачи об определении формы контура отверстия и закона изменения жесткости подкрепляющего стержня из условия минимума энергии деформации при упругопластическом поведении материала пластины. Получены необходимые условия оптимальности.

7. На основе МКЭ и разработанного итерационного алгоритма найдено решение задач оптимизации распределения жесткостей подкрепления краев отверстий и ребер жесткости при упругопластическом поведении материала пластины. Показано, что при использовании оптимальных в энергетическом смысле подкрепляющих стержней и ребер жесткости происходит значительное уменьшение пластических зон. В результате повышается несущая способность, возрастает значение параметра нагрузки, соответствующее началу образования пластических деформаций.

8. Разработан метод решения задач оптимизации формы поперечных сечений стержней, работающих при кручении и изгибе, основанный на использовании конформных отображений. В качестве условий оптимальности последовательно принимались условия минимума веса стержня, максимума крутильной и максимума изгибной жесткостей при различных ограничениях. Отдельно рассмотрены задачи оптимизации формы внешнего граничного контура поперечного сечения стержня, имеющего внутреннюю круговую продольную полость, и задачи оптимального распределения материала

345 внешнего слоя сечения составного стержня. Даны оценки эффекта оптимизации. В рассмотренных задачах для оптимальных стержней установлено снижение веса до 75%.

9. Разработана методика и решены задачи оптимизации формы поперечных сечений анизотропных стержней с продольной полостью из условия максимума крутильной жесткости при заданной площади сечения.

10. Результаты диссертации применялись в расчетной практике ФГУП СибНИА. Рекомендации, приведенные в работе, использовались при решении проблемы повышения жесткостных свойств, несущей способности и улучшения весовых характеристик подкрепленных тонкостенных элементов конструкций перспективных самолетов, находящихся на стадии статических испытаний в ФГУП СибНИА. Отдельные результаты диссертации внедрены также на Новосибирском филиале АООТ «ОКБ Сухого» (г. Новосибирск), ОАО ЭЛСИБ (г. Новосибирск).

1. Абабкое А.Г., Расторгуев Г.И. К задаче об оптимальном подкреплении контура отверстия в растянутой пластине // Прочность, устойчивость и колебания тонкостенных и монолитных авиационных конструкций / Межвуз. сб. Казань: Изд-во КАИ. - 1983.-С. 3-5.

2. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М.: Наука, 1978.- 288с.

3. Александров А.Я, Валуйских В.П., Лазарев КБ. Оптимальное подкрепление переменной толщины у эллиптического отверстия в пластине // Тр. X Всес. конф. по теории оболочек и пластин. Тбилиси, 1975. Т.2. - С.412-421.

4. Александров А.Я. Некоторые решения задач об эквивалентном и равнопрочном подкреплениях отверстий в пластинах // Избранные проблемы прикладной механики. М.: Наука, 1974. - С.21-29.

5. Александров А.Я., Горбатый A.B., Куршин Л.М. К решению задачи эквивалентного подкрепления отверстий // Известия АН СССР. МТТ. 1969. -№4.-С.105-115.

6. Александров А.Я., Косенюк В.К. О равнопрочном подкреплении постоянной толщины у отверстий в пластинах // Тр. X Всес. конф. по теории оболочек и пластин. Тбилиси. - 1975. - Т.2. - С.422-430.

7. Александров А.Я., Косенюк В.К. Об одном типе подкрепления контура отверстий в пластинках // Прикладная механика 1979. — Т. 15. — № 10. -С.81-88.

8. Александров А.Я., Куршин Л.М. Об эквивалентном подкреплении отверстий // Тр.VI Всес. конф. по теории оболочек и пластинок. М.: Наука, 1966. - С.14-19.

9. Александров А.Я., Лазарев КБ., Круглое А.К., Грес П.В., Редъков Е.Б.

10. Оптимальные окантовки постоянной толщины у отверстий в пластинках ицилиндрический оболочках // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Горький. 1982.-№22.-С. 103-110.

11. Александров А.Я., Соловьев ЮМ. Пространственные задачи теории упругости (применение теории функций комплексного переменного). М: Наука, 1978.-464с.

12. Алехин В.В., Баев Л.В. Проектирование поперечно-слоистого стержня минимального веса при ограничении на устойчивость // ПМТФ. 1999. -Т.40, № 1. - С.207-211.

13. Алехин В.В., Аннин Б.Д., Колпаков А.Г. Синтез слоистых материалов и конструкций. Новосибирск: Изд-во Ин-та гидродинамики им. М.А.Лавреньева, 1988. - 129с.

14. Аннин Б.Д. Вариационные постановки упругопластических задач // Динамические задачи механики сплошных сред. Новосибирск. Изд. ИГ СО АН СССР. 1979. - Вып. 39. - С.9-22.

15. Аннин Б.Д. Оптимальное проектирование неоднородного тела минимальной податливости // Динамика сплошной среды / Сб. науч. тр. Новосибирск. Изд. ИГиЛ СО РАН. - 1998. - Вып. 113. - С.3-5.

16. Аннин БД. Оптимальное проектирование упругих анизотропных неоднородных тел // Тр. Третьего Национального конгресса по теоретической и прикладной механике. Варна. - 1977. - С.275-280.

17. Аннин БД. Упругопластическое распределение напряжений в пластине с отверстием, близким к круговому // Известия АН СССР. МТТ. 1984. -№1. - С.45-47.

18. Аннин БД, Расторгуев Г.И. Применение отображающих функций комплексного переменного и МКЭ в задачах оптимизации формы деформируемого тела // Научный вестник НГТУ. 2000. - №1(8). - С.84-90.

19. Аннин БД, Черепанов Г.П. Упругопластическая задача. — Новосибирск: Наука, 1983. 23 8с.

20. Арман Ж.- Л. П. Приложения теории оптимального управления системами. -М.: Мир, 1977. 142с.

21. Арутюнян Н.Х., Абрамян Б.Л. Кручение упругих тел. М.: Физмат-гиз, 1963.-686с.

22. Арутюнян Н.Х., Радаев Ю.Н. Оптимальные задачи упругопластиче-ского кручения // Известия АН СССР. МТТ. 1987. - №5. - С. 117-125.

23. Бакулин В. Н., Каледин В. О. Численно-аналитический подход к исследованию деформирования оболочечных конструкций из композитов // Известия АН СССР. 1989. - №12. - С.184-188.

24. Баничук Н.В. Введение в оптимизацию конструкций. М: Наука, 1986.-302с.

25. Баничук Н.В. Задача оптимизации формы отверстия в пластинке, работающей на изгиб // Известия АН СССР. МТТ. 1977. - №3. - С.81-88.

26. Баничук Н.В. Оптимизационная постановка и декомпозиция задачи идентификации распределенных параметров упругих конструкций // Доклады РАН. 1999. -Т.367, №1. - С.48-51.

27. Баничук Н.В. Об одной вариационной задаче с неизвестной границей и" определении оптимальных форм упругих тел // ПММ. 1975. - Т.39. -Вып. 6. - С.1082-1092.

28. Баничук Н.В. Об одной двумерной задаче оптимизации в теории кручения упругих стержней // Известия АН СССР. МТТ. 1976. - №5. - С.45-52.

29. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука, 1980. -256с.

30. Баничук Н.В. Условия оптимальности в задаче отыскания форм отверстий в упругих телах // ПММ. 1977. - Т.41. - Вып. 5. - С.920-925.

31. Баничук Н.В., Вельский В.Г., Кобелев В.В. Оптимизация в задачах теории упругости с неизвестными границами // Известия АН СССР. МТТ. -1984. — №3. С.46-52.

32. Баничук Н.В., Бирюк В.И., Епураш Д.М. Максимизация жесткости анизотропных пластин при изгибе // Ученые записки ЦАГИ. 1986. - Т. 17, №6. - С.89-94.

33. Баничук Н.В., Иванова С.Ю., Шаранюк A.B. Динамика конструкций. Анализ и оптимизация. М: Наука, 1989. - 260с.

34. Баничук Н.В., Кобелев В.В. Об оптимальных неравнопрочных формах поперечных сечений балок // Известия АН СССР. МТТ. 1983. - №5. -С 162-167.

35. Баничук Н.В., Куршин Л.М., Расторгуев Г.И. Об оптимальных формах поперечных сечений призматических стержней с продольной полостью // ПМТФ.- 1985,- №4. -С 155-159.

36. Баничук HB., Ларичев А.Д. Максимизация жесткости на кручение упругих стержней из композитных материалов // Известия АН АрмССР. Механика. 1983.-Т.36. - №6. - С.31-38.

37. Белевечус Р. Оптимизация формы слоистых ортотропных пластинчатых конструкций // Механика композитных материалов. 1993. - Т.29. - №4. -С.537-546.

38. Белоусова E.H., Расторгуев Г.И. Равнопрочное подкрепление края отверстия в пластине при изгибе // Динамика и прочность авиационных конструкций / Межвуз. сб. науч. тр. Новосибирск: Изд-во НЭТИ, 1986. -С. 137-142.

39. Вельский В.Г. Расчет оптимальной формы плоских упругих тел на ЭВМ // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1983. - №12. - С.23-27.

40. Бирюк В.И., Липин Е.К., Фролов В.М. Методы проектирования конструкций самолетов М.: Машиностроение, 1977. - 232с.

41. Боган Ю.А. Минимизация концентрации напряжений в упругой плоскости с эллиптическим отверстием при сильной анизотропии упругого материала // Проблемы прочности. 1980. - №4. - С.81-84.

42. Бондарь В.Д. Равнопрочное отверстие в условиях геометрической нелинейности //ПМТФ. 1996. -Т.37, №6. - С.148-155.

43. Братусъ A.C. Достаточные условия экстремума в задачах оптимизации форм упругих пластин // ПММ. 1985. - Т.49, №4. - С. 608-613.

44. Братусь A.C., Жаров И.А. Об оптимальном проектировании гибких стержней // Прикладная механика. 1990. - Т.26, №3. - С.80-86.

45. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975. - 565с.

46. Вайнберг Д.В., Вайнберг Е.Д. Пластинки, диски, балки-стенки. Киев: Госстройиздат УССР, 1959. - 1049с.

47. Валуйских В.П., Лазарев КБ. Проектирование оптимальных подкреплений отверстий в пластинках с учетом их взаимного влияния // Прикладные проблемы прочности и пластичности / Всес. Межвуз. сб. Горький. - 1976. -Вып.5. - С.87-94.

48. Вигдергауз С.Б. Интегральное уравнение обратной задачи плоской теории упругости // ПММ. 1976. - Т.40. - Вып.З. - С. 566-569.

49. Вигдергауз С.Б. Кусочно-однородные пластины экстремальной жесткости//ПММ. 1989.-Т.53.-Вып.1.-С. 96-101.

50. Вигдергауз С.Б. Оптимальное для одного класса нагрузок подкрепление отверстия в растягиваемой плоскости // Известия АН АрмССР. Механика. 1986. - Т.39. - №5. - С.50-56.

51. Вигдергауз С.Б. Оптимальные полости в упругом пространстве с осевой симметрией // Известия АН АрмССР. Механика. 1984. - Т.37. - №3. -С.51-58.

52. Вигдергауз С.Б. Условия оптимальности в осееимметричных задачах теории упругости//ПММ. 1982. - Т.46. - Вып.2. - С.278-282.

53. Вигдергауз С.Б., Черкаее A.B. Отверстие в пластине, оптимальное для ее двухосного растяжения-сжатия // ПММ. 1986. - Т.50. - Вып.З. - С.524-528.

54. Ворович И.И., Лебедева Л.П. К задаче равновесия пластины, подкрепленной ребрами жесткости // ПММ. 1999. - Т.63. - Вып.1. - С.87-92.

55. Ворожцов Л А., Гоц А.Н. О частных решениях одной обратной краевой задачи плоской теории упругости // Строительная механика и расчет сооружений. 1972. - № 1. - С.68-70.

56. Галин Л.А. Упругопластические задачи. М: Наука, 1984. - 232 с.

57. Гельфанд И.М., Фомин C.B. Вариационное исчисление. -М.: Физмат-гиз, 1961.-228с.

58. Гиацинтов А.Е., Либерзон A.C. К решению задач оптимального растяжения и изгиба нелинейно деформируемых ортотропных пластин // Механика констр. из композ. матер. 1992. - №1. - С. 177-193.

59. Главачек И. Оптимизация формы упругих и упругопластических тел методом конечных элементов // Функц. и числ. методы мат. физ. Киев. -1988. С.53-56.

60. Глеба А.Ю., Галаси A.A. К вопросу об эквивалентном подкреплении отверстий в оболочке // Прикладная механика. Т. 13. - № 9. — С.40-45.

61. Грес П.В., Лазарев КБ. Об оптимизации подкрепления постоянной толщины у отверстий в цилиндрических оболочках // Тр. 14 Всес. конф. по теории пластин и оболочек. Кутаиси, 20-23 окт. 1987, т1. Тбилиси. 1987. -С.392-397.

62. Григорьев A.C. О плитах равного сопротивления изгибу // Инженерный сборник. 1959. - Т.15. - С.45-50.

63. Гринев В.Б., Филиппов А.П. Оптимизация элементов конструкций по механическим характеристикам. Киев: Наукова думка, 1975. - 294с.

64. Гриценко В.И., Расторгуев Г.И. Определение пластической зоны вокруг подкрепленного отверстия в пластине // Динамика и прочность авиационных конструкций / Межвуз. сб.науч. тр. Новосибирск: Изд-во НЭТИ. -1992.-С. 47-54.

65. Гудъер Дж.Н., Ходж Ф.Г. Упругость и пластичность. М.: ИН, 1960. -190с.

66. Гюнтер Н.М. Курс вариационного исчисления. M.-JL: Гостехиздат, 1951.-308с.

67. Дехтяръ A.C. О несущей способности жесткопластических пластин, подкрепленных ребрами // Прикладная механика. 1993. - Т.29. - №4. -С.70-73.

68. Диденко Н.И. Оптимальное распределение изгибной жесткости упругой свободно опертой пластины // Известия АН СССР. МТТ. 1981. - №1. -С.147-158.

69. Диденко Н.И., Самсонов A.M. Об оптимизации упругих пластин Рейс-снера и трехслойных пластин при сложном нагружении // Прикладная механика. 1988. - Т.24. - №7. - С.89-95.

70. Дудченко A.A., Елпатъевский А.Н. Об оптимальном подкреплении отверстий в пластинах // Тр. ХП Всес. конф. по теории оболочек и пластин. -Ереван. 1980. - Т.2. - С.110-116.

71. Заруцкий В.А., Почтман Ю.М., Скалозуб В.В. Оптимизация подкрепленных цилиндрических оболочек. Киев: Выща школа, 1990. 138с.

72. Зоненашвили И.А. Обратная задача об эквивалентном подкреплении пластин // Сообщ. АН ГССР. 1985. - Т. 119. - №1. С.69-72.

73. Ибрагимов И.А. О вариационных принципах оптимального проектирования упругих цилиндрических тел при кручении // Теор. и прикл. механика. Минск. 1985. - №12. - С.3-10.

74. Иванов Г.М., Космодамианский A.C. Обратные задачи изгиба изотропных плит // Известия АН СССР. МТТ. 1974. - №5. - С.53-56.

75. Ивлев Д.Д., Ершов JI.B. Метод возмущений в теории упругопластиче-ского тела. -М: Наука, 1978. 208с.

76. Каледин В.О. Об автоматизации параметрического исследования элементов силовых конструкций из композитов на стадии проектирования // Сб.: Теория автоматизированного проектирования. Харьков: ХАИ, 1986. С.81-87.

77. Кандоба И.Н. О методе решения одной задачи оптимизации формы в теории упругости // ПММ. 1990. - Т.54. -Вып.З. - С.506-510.

78. Каниболотский М.А., Уржумцев Ю. С. Оптимальное проектирование слоистых конструкций. Новосибирск: Наука, 1989. - 176с.

79. Картвелишвили В.М., Кобелев В.В. Рациональные схемы армирования слоистых пластин из композиционных материалов // ПММ. 1984. - Т.48. -№1. - С.68-80.

80. Картвелишвили В.М., Миронов A.A., Самсонов А.М. Численный метод решения задач оптимизации подкрепленных конструкций // Известия АН СССР. МТТ. 1981. -№2. -С.93-103.

81. Кац M.JI. Оптимальное подкрепление кусочно-однородных пластин // Тр. Тбилисского ун-та. 1980. - Т.215. - С. 153-183.

82. Качанов JI.M. Основы теории пластичности. М: Наука, 1969. - 420с.

83. Кийко И.А. Оптимизация формы упругопластического стержня при сложном переменном нагружении // Вестник МГУ. Сер.1. 1994. - №4. -С.60-63.

84. Кийко И.А., Чарухчев А.Д. Оптимизация формы прямоугольной пластины, изгибаемой в области упругопластических деформаций // Известия АН. МТТ,- 1996.-№2.-С. 163-166.

85. Кичигин В.Г. К вопросу об оптимальном подкреплении пластинок // -Тр. Николаевского кораблестроительного ин-та. 1976. - Вып. 113. - С.33-37.

86. Клебанов Я.М., Сорокин О.В. Асимптотическая оптимизация формы тела при ползучести // Известия вузов. Машиностроение. 1987. - №2. -С.63-67.

87. Клячко С.Д О применении аналогий в задачах оптимизации деформируемых тел // Тр. Новосиб. ин-та инж. ж.д. транспорта. 1975. - Вып. 167. - С.70-77.

88. Клячко С.Д. Об эквивалентном подкреплении отверстий и вырезов применительно к некоторым задачам механики деформируемых тел // На-пряж. и деформации в ж.-д. конструкциях. Новосибирск, 1988. - С.24-31.

89. Клячко С.Д. Эквивалентное подкрепление внутренних полостей и поверхностных вырезов в телах из пьезоэлектромагнетика // Мех. неоднород. структур / Тезисы докл. 3 Всес. конф. Львов, 17-19 сент., 1991. 4.1. Львов. -1991.-С.152.

90. Кобелев В.В. Доказательство изопериметрического неравенства Сен-Венана о скручиваемом стержне максимальной крутильной жесткости // Доклады АН УССР. 1987. - А, №2. - С.25-27.

91. Комаров А.А. Наиболее жесткие конструкции // Тр. Куйбышевского авиац. ин-та. 1954. - Вып. 2. - С.77-89.

92. Комаров В.А. Автоматизация проектирования авиационных конструкций: Учебн. пособие. Самара, Изд-во Самарского гос. аэрокосм, ун-та им. С.П. Королева, 1993. - 72с.

93. Комаров В.А. Равнопрочное распределение материала в пластинках около круглого отверстия // Вопросы оптимизации тонкостенных силовых конструкций. Харьков. - 1975. - Вып.1. - С.39-44.

94. Коппенфелъс В., Шталъман Ф. Практика конформных отображений. -М.:ИЛ, 1963.-406с.

95. Косенюк В.К. О решении задачи об эквивалентном подкреплении методом А.Я. Александрова // Тр. Новосиб. ин-та инж. ж.-д. тр.-та. 1975. -Вып. 167. - С.78-89.

96. Космодамианский A.C. Плоская задача теории упругости для пластин с вырезами и выступами. Киев: Вища школа, 1975. - 227с.

97. Кошур В.Д., Немировский Ю.В. Континуальные и дискретные модели динамического деформирования элементов конструкций. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1990. - 196с.

98. Краснощек Н.В. Оптимизация формы упругой пластины // Динамика сплошной среды. 1991. -№163. -С.65-72.

99. Кунташее П.А., Максимов С.А. Об аналогии задачи минимизации уровня напряжений в неоднородных упругих телах и задаче идеальной пластичности // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1991. - №5. -С.94-99.

100. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. M.-JL: Гостехиздат, 1951, Т. 1. - 476с.

101. Куршин JI.M. К задаче об определении формы сечения стержня максимальной крутильной жесткости // Докл. АН СССР. 1975. - Т.223. - № 3. -С.585-588.

102. Куршин Л.М., Оноприенко П.Н. К задаче об эквивалентном подкреплений отверстий в пластинах // Динамика и прочность конструкций / Межвуз. сб. Новосибирск: НЭТИ. - 1976. - Вып.З. - С.41-60.

103. Куршин Л.М., Оноприенко П.Н. Определение форм двусвязных сечений стержней максимальной крутильной жесткости // ПММ. 1976. - Т.40. -Вып.6. - С. 1078-1084.

104. Куршин Л.М., Оноприенко П.Н. Оптимальная задача кручения стержней двусвязного поперечного сечения // Динамика и прочность авиационныхконструкций / Межвуз. сб. науч. тр. Новосибирск: НЭТИ. 1978. - Вып.4. -С.23-34.

105. Куршин JI.M., Оноприенко П.Н. Эквивалентное подкрепление отверстия в пластине // Тр. X Всес. конф. по теории оболочек и пластин. Тбилиси. 1975.-Т.2.-С.602-611.

106. Куршин Л.М., Оноприенко П.Н., Расторгуев Г.И. Некоторые задачи для упругих тел с неизвестными границами // Современные проблемы механики и авиации / Сб. посвящ. 60-летию акад. И.Ф. Образцова. М.Машиностроение, 1982. С. 172-182.

107. Куршин Л.М., Поварницын Ю.М., Расторгуев Г.И. Оптимизация тонкого стержня, разделяющего растянутую пластину и шайбу // Пространственные конструкции в Красноярском крае / Межвуз. сб. Красноярск: Изд-во Красноярского политехи, ин-та. - 1982. - С 60-66.

108. Куршин Л.М., Расторгуев Г.И. К задаче о подкреплении контура отверстия в пластинке безмоментным упругим стержнем // ПММ. 1980. Т.44. -Вып.5. - С.905-915.

109. Куршин Л.М., Расторгуев Г.И. О подкреплении контура отверстия в пластинке // Всес. конф. по теории упругости / Тез. докл. Ереван. 1979. -С.200-202.

110. Куршин Л.М., Расторгуев Г.И. О подкреплении контура отверстия в пластинке // Известия АН СССР. МТТ. 1979. - № 6. - С.94-102.

111. Куршин Л.М., Расторгуев Г.И. Об оптимальной форме сечения скручиваемого стержня // Известия АН Арм. ССР. Механика. 1979. - № 6. -С.17-19.

112. Лавинский В.И., Шергин С.Ю. Об одной задаче оптимизации криволинейных неоднородных стержней // Динамика и прочность машин. Харьков. 1985. -№13. - С.104-108.

113. Лаврентьев М.А., Люстерник Л.А. Курс вариационного исчисления. -M.-JL: Гостехиздат, 1950. 296с.

114. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. - 736с.

115. Лавров H.A., Лурье К.А., Черкаев A.B. Неоднородный стержень экстремальной жесткости кручения // Известия АН СССР. МТТ. 1980. - №6. -С.86-92.

116. Лазарев И.Б. Алгоритм оптимизации статически неопределимых стержневых конструкций с учетом приспособляемости // Строит, мех. и инж. сооруж./ Сиб. гос. акад. путей сообщ. Новосибирск, 1995. - С.44-53.

117. Лазарев И.Б. Основы оптимального проектирования конструкций. Задачи и методы. Новосибирск: Сиб. гос. акад. путей сообщения. 1995. -296с.

118. Лазарев КБ., Круглое А.К, Редьков Е.В. Оптимизация пластин с использованием аппроксимации усилий // Строит, конструкции зданий и со-оруж. трансп. Новосибирск. - 1985. - С.78-85.

119. Лехницкий С.Г. Кручение анизотропных и неоднородных стержней. -M.: Наука, 1971. -240 с.

120. Лиликин C.B., Паутов А.Н., Толкачев К.Н. Рациональное проектирование пластин с подкрепленными вырезами в условиях плоского напряженного состояния // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Горький: ГГУ. 1982. - №22. - С.111-121.

121. Липин Е.К., Антюхов Б.Н. Оптимальное распределение силового материала в крыле малого удлинения с применением одного из методов пластинной аналогии // Тр. ЦАГИ. 1975. -Вып. 1706. - 21 с.

122. Липин Е.К., Грошев Г.П. Проектирование конструкций минимального объема материала при ограничениях на обобщенную жесткость и минимальную толщину//Уч. зап. ЦАГИ. 1979. -Т.10. -№ 2. -С.143-148.

123. Литвинов В.Г. Задача изгиба пластин переменной толщины // Прикладная механика. 1975. - Т. 11. - № 5. - С.54-61.

124. Литвинов В.Г. Оптимальное управление коэффициентами в эллиптических системах // Дифференциальные уравнения. 1982. - Т. 18. - № 6. -С.1036-1047.

125. Литвинов В.Г., Пантелеев А.Д. Задача оптимизации пластин переменной толщины // Известия АН СССР. МТТ. 1980. -№2. - С.174-181.

126. Лурье А.К. О малых деформациях криволинейных стержней // Тр. Ленинградского политехи, ин-та. 1941. - №3. - С. 148-157.

127. Лурье К. А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука, 1975. - 480с.

128. Лурье К.А., Самсонов A.M., Черкаев A.B. О постановке и решении задач оптимального проектирования упругих пластин с ребрами // Аннотации докл. IV Всес. съезда по теоретической и прикладной механике. Киев. 1976. -С.100.

129. Лурье К.А., Черкаев A.B. О применении теоремы Прагера к задаче оптимального проектирования тонких пластин // Известия АН СССР. МТТ. -1976.-№6. -С. 157-159.

130. Лучко И.И., Ливдар В.А. Расчет и проектирование пластин с равнопрочно подкрепленным круговым отверстием минимальной массы // Физ. хим. мех. матер. 1988. - Т.24. - №4. - С.92-96.

131. Лыськов М.И., Ярошенко Т.Л. Оптимальное проектирование тонких пластин с отверстиями произвольной формы при изгибе // Методы решения прикл. задач мех. деф. тв. тела / Сб. науч. тр. Днепропетровск, 1989. - С.81-84.

132. Мавлютов P.P. Концентрация напряжений в элементах авиационных конструкций. М: Наука, 1981. 141с.

133. Макснменко В.Н. Влияние приклепанных ребер жесткости на развитие трещин возле отверстия. ПМТФ. - 1988. - №2. - С. 133-140.

134. Малинин НИ. Прикладная теория пластичности и ползучести. — М.: Машиностроение, 1975.-400с.

135. Малков В.П. Оптимальное подкрепление вырезов в пластинках // Прикладная механика. 1967.- Т.З. - Вып. 9. - С.40-45.

136. Малков В.П. Расчет подкреплений центральных круговых вырезов в оболочках вращения // Уч. зап. Горьковского ун-та. Сер. Механика. 1969. -Вып.89. - С.150-158.

137. Малков В.П. Эквивалентное подкрепление краев вырезов в тонкостенных элементах // Прикладные проблемы прочности и пластичности / Всес. Межвуз. сб. Горький: ГГУ. - 1979. - Вып. 10. - С.96-113.

138. Малков В.П., Угодников А.Г. Оптимизация упругих систем. М: Наука, 1981. - 288с.

139. Мартыненко А.В., Куликова И.В. Построение равнопрочной конфигурации упругих тел при наличии ограничений на вектор перемещений // Доклады АН Украины. 1997. -№11. - С.51-56.

140. Математическая теория оптимальных процессов / JI.C. Понтрягш, В.Г. Болтянский, Р.Б. Гамкелидзе, Е.Ф. Мищенко. 3-е изд. -М.: Наука, 1976. 392с.

141. Медников А.Ю. Оптимизация внешней границы многосвязного скручиваемого стержня / Ленингр. политехи, ин-т. JL, 1990. 13с. Деп. в ВИНИТИ 26.02.90, №1097. - В.90.

142. Мельников Ю.А., Ларионов Г.И. К вопросу о выборе оптимальной формы поперечных сечений валов с применением методов потенциала // Гидромеханика и теория упругости. Днепропетровск. - 1985, №33. - С. 103111.

143. Мирсалимов В.М. Неодномерные упругопластические задачи. М.: Наука, 1987.-256с.

144. Михайловский Е.И. Об оптимальном подкреплении края оболочки // Известия АН СССР. МТТ. 1975. - № 1. - С.42-51.

145. Михайловский Е.И. Прямые, обратные и оптимальные задачи для оболочек с подкрепленным краем. JI: ЛГУ, 1986. - 219с.

146. Михайловский Е.И. Эквивалентное подкрепление отверстий в плоских пластинках // Прикладная механика. 1975. - Т.11. - № 8. - С.74-80.

147. Михайловский Е.И, Чаунин М.П. Обратные и оптимальная задачи подкрепления узла «пластина-патрубок» // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Горький: ГГУ. - 1979. -№13. -С.112-121.

148. Михайловский Е.И, Чаунин М.П. Рациональное подкрепление кругового отверстия в растягиваемой плоской пластине // Проблемы прочности. -1978.-№ 1.-С.37-39.

149. Можаровский Н.С. Теория пластичности и ползучести в инженерном деле. Киев: Высшая школа, 1991. - 264 с.

150. Моисеенко Р.П. Оптимизация ребристых пластин при заданной величине первой частоты собственных колебаний // Известия вузов. Строительство. 1999. - №4. - С.26-30.

151. Монахов В.H. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1977. -424с.

152. Морозов Е.М., Никишков Т.П. Метод конечных элементов в механике разрушения. М.: Наука, 1980 - 256с.

153. Мусхелишвили НИ. Некоторые основные задачи математической теории упругости. 5-е изд., испр. и доп. М.: Наука, 1966. - 707с.

154. Насиров М.А. О методе оптимизации форм упругих тел // Спектр, теория операторов и ее прил. 1997. - №7. - С. 186-188.

155. Немировский Ю.В., Вохнянин И.Т. Оценки и критерии оптимального проектирования жесткопластических элементов конструкций минимального объема // Известия вузов. Строительство. 1996. - №3. - С. 16-25.

156. Немировский Ю.В., Небогатое В.М. Оптимальное проектирование пластических пластин // Институт теор. и прикл. мех. Препринт. 1985. -№8. - 48с.

157. Немировский Ю.В., Янковский А.П. Применение методов теории возмущений в задачах поперечного изгиба пластин с равнонапряженной арматурой // Механика композ. матер, и констр. 1997. - Т.З, №3. — С.3-22.

158. Никифоров А.К., Чедрик В.В. Применение метода нелинейного программирования в задаче оптимизации подкрепленных панелей по условию прочности и устойчивости // Тр. ЦАГИ. 1997. - №2628. - С.47-53.

159. Николаева Е.А., Петухов Л.В. О существовании оптимального решения в задачах определения формы упругой линии // ПММ. 1985. - Т.49. -№3. - С.130-135.

160. Николаи Е.Л. Труды по механике. — М.: Гостехиздат, 1955. 584с.

161. Образцов И.Ф., Васильев В.В., Бунаков В.А. Оптимальное армирование оболочек вращения из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1977. - 144с.

162. Образцов И. Ф., Нерубайло Б.В., Андрианов И.В. Асимптотические, методы в строительной механике тонкостенных конструкций. М: Машиностроение, 1991.-416с.

163. Окиилев В.А. О решении обратной плоской задачи теории упругости для внешней односвязной области // Концентрация напряжений и прочностьпрерывистых связей / Тр. Дальневост. политехи, ин-та. Владивосток. 1973. -T.92.-C.3-12.

164. Остапенко Н.А., Романенко В.К, Якунина Г.Е. Оптимальные формы пространственных тел с максимальной глубиной проникания в плотные среды // ПМТФ. 1994. - №4. - С.32-40.

165. Остроградский М.В. Мемуар об исчислении вариаций кратных интегралов. В кн.: М.В. Остроградский. Избранные труды. М., 1958. - С.9-37.

166. Остросаблин Н.И. Плоское упругопластическое распределение напряжений около круговых отверстий. Новосибирск: Наука, 1984. — 113 с.

167. Ощипко Л.И. Об оптимальном положении ребра жесткости на цилиндрической оболочке // Мат. методы и физ.-мех. поля. 1989. - №29. - С.76-80.

168. Павлов С.П. Анализ чувствительности в задаче оптимизации границ термоупругих тел // Мат. модели, методы решения и оптим. проектир. гибких пластин и оболочек. Саратов, 1988. С. 133-136.

169. Павлов С.П., Сытник И.Ф. Оптимизация формы термоупругих тел, взаимодействующих с внешним тепловым потоком // Пробл. прочн. матер, и констр., взаимод. с агресс. средами / Саратовский гос. техн. ун-т, 1995. С. 119-124с.

170. Пелех Б.Л., Глеба А.Ю. Об одном новом подходе к проблеме оптимального подкрепления отверстий в трансверсально-изотропных оболочках // Механика полимеров. 1978. - № 6. - С. 1065-1070.

171. Перлин П.И. Приближенный метод решения упругопластических задач // Инженерный сборник. 1960. - Т.28. - С.48-56.

172. Петухов Л.В. Минимум веса тонких криволинейных стержней // ПММ. 1980. - Т.44. - №4. - С.720-726.

173. Петухов Л.В. Необходимые условия Вейерштрасса для эллиптических систем // ПММ. 1995. - Т.59. -№5. -С.742-749.

174. Петухов Л.В. О минимизации массы в задачах линейной теории упругости // Тр. Ленингр. политехи, ин-та. 1982. - №386. - С.130-134.

175. Петухов Л.В. Об оптимальных задачах теории упругости с неизвестными границами // ПММ. 1986. - Т.50. - №2. - С. 231-236.

176. Петухов Л.В. Оптимальные упругие области максимальной жесткости//ПММ. 1989. - Т.53. - №1. - С. 88-89.

177. Петухов Л.В., Соков К.Е. Неоднородные оптимальные по жесткости упругие конструкции // ПММ. 1990. -Т.54. - №2. - С.275-280.

178. Полиа Г., Сеге Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. М.: Физматгиз, 1962. - 336с.

179. Пустовой Н.В., Расторгуев Г.И., Шлыкова О.Н. Оптимальное распределение толщины вокруг подкрепленных отверстий в пластинах // Научный вестник НГТУ. 1999. - №1.-С. 64-73.

180. Пустовой Н.В., Суздалънщкий ИД. Равнопрочные отверстия в цилиндрической оболочке с начальной неправильностью // ПМТФ. 1988. -№2. - С. 141-145.

181. Расторгуев Г.И. К решению задачи оптимизации формы сечения призматического стержня с продольной полостью, изготовленного из анизотропного материала частного вида // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1989. - № 8. - С 27-31.

182. Расторгуев Г.И. Определение формы сечения анизотропного призматического стержня с продольной полостью из условия максимума крутильной жесткости // Динамика и прочность авиационных конструкций. Новосибирск: Изд-во НЭТИ. - 1989. - С. 56-61.

183. Расторгуев Г.И. Оптимальное подкрепление края отверстия в пластине // Научный вестник НГТУ. 1996. - № 2. - С. 89-98.

184. Расторгуев Г.И. Оптимальное распределение жесткости подкрепления вдоль края отверстия в пластине при упругопластическом поведении материала // Сибирский журнал индустриальной математики. 1998. - №2. - С. 140-153.

185. Расторгуев Г.И. Оптимизация жесткостей тонких ребер, расположенных вдоль концентрических окружностей, в изгибаемой пластине // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1987. - №6. - С.23-27.

186. Расторгуев Г.И. Оптимизация жесткостей тонких ребер, расположенных вдоль концентрических окружностей, в растянутой пластине // Динамика и прочность авиационных конструкций / Межвуз. сб. науч. тр. Новосибирск: Изд-во НЭТИ. - 1987. - С. 34-43.

187. Расторгуев Г. И. Оптимизация распределений жесткостей тонких ребер в пластинах при изгибе // Математическое моделирование процессов в синергетических системах / Тр. Всероссийской науч. конф. Улан-Удэ -Томск: Изд-во ТГУ, 1999. - С.208-212.

188. Расторгуев Г. И. Оптимизация форм поперечных сечений стержней с круговой продольной полостью // Динамика и прочность авиационных конструкций / Межвуз. сб. науч. тр. Новосибирск: Изд-во НЭТИ. - 1986. — С. 82-88.

189. Расторгуев Г.И. Пластические зоны вокруг подкрепленных отверстий в пластинах // Динамика сплошной среды / Математические проблемы механики сплошных сред. Сб. науч. тр. Новосибирск. Изд-во Ин-та гидродинамики СО РАН. - 1999.-Вып. 114.-С. 192-195.

190. Расторгуев Г.И. Подкрепление кругового отверстия в пластине равно деформированным стержнем // Известия АН СССР. МТТ. 1986. - №2. -С.167-172.

191. Расторгуев Г.И, Уваровский Д. С. К решению упругопластических задач методом граничных элементов // Динамика и прочность авиационныхконструкций: Межвуз. сб. науч. тр. Новосибирск: Изд-во НЭТИ. - 1994. -С. 30-37.

192. Расторгуев Г.И., Уваровский Д.С. Упругопластический расчет орто-тропных пластин методом граничных элементов / Тез. докл. Междунар. на-учно-техн. конф. «Расчетные методы механики деформируемого твердого тела». Новосибирск: Изд-во СГАПС. - 1995. - С.61.

193. Расторгуев Г.И., Шлыкова О.Н. Применение отображающих функций комплексного переменного при построении сетки конечных элементов // Динамика и прочность авиационных конструкций: Межвуз. сб. науч. тр. -Новосибирск: Изд-во НЭТИ. 1992. - С. 93-99.

194. Рейтман М.И., Шапиро Г. С. Методы оптимального проектирования деформируемых тел. М.: Наука, 1976. - 266с.

195. Репин С.К, Серегин Г.А. Об одном методе решения задач оптимизации формы пластин // Прикладная механика. 1984. - Т.20, №10. - С. 117120.

196. Ржаницын А.Р. Оптимизация опирания пластинки по прогибам // Строительная механика и расчет сооружений. 1985. - №4. — С.9-10.

197. СабоннодъерЖ.-К., Кулон Ж.-Л. Метод конечных элементов и САПР. -М.: Мир, 1989.- 190с.

198. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Нау-кова думка, 1968. - 887с.

199. Савин Г.Н., Тулъчий В.И. Пластинки, подкрепленные составными кольцами и упругими накладками. Киев: Наукова думка, 1971. - 268с.

200. Савин Г.Н., Флейшман Н.П. Пластинки и оболочки с ребрами жесткости. Киев: Наукова думка, 1964. - 384с.

201. Самсонов A.M. Необходимые условия оптимальности распределения жесткостей ребра на упругой пластине. Известия АН СССР. МТТ. - 1980. -№ 1. - С.136-144.

202. Самсонов A.M. О выборе оптимального дискретного распределения жесткостей ребра на круглой пластине. Прикладная механика. - 1978. -Т.14. - Вып.11. - С.65-71.

203. Самсонов A.M. Оптимальное положение упругого тонкого ребра на упругой пластине // Известия АН СССР. МТТ. 1978. - № 1. - С. 132-138.

204. Саурин В.В. Определение оптимальных форм равнонапряженной балки минимального веса. // Тр. ЦАГИ. 1991. - №2476. - С.59-63.

205. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979.-392с.

206. Сейранян А.П. О критерии оптимальности для выбора изгибающей нагрузки // Уч.зап. ЦАГИ. 1971. - Т.2. - № 3. - С.56-66.

207. Селюгин C.B. Об условиях оптимальности для конструкций из упрочняющих упругопластических материалов // Проблемы прочности. 1995. -№4. - С.44-51.

208. Селюгин C.B. О критерии оптимальности упрочняющихся упругопластических тел // Тр. ЦАГИ. 1991. - №2476. - С.73-77.

209. Сен-Венан Б. Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм. -М.: Физматгиз, 1961. -518с.

210. Сергеев Н.Д., Богатырев А.И. Проблемы оптимизации проектирования конструкций. — Л.: Стройиздат, 1971. 136с.

211. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1977. - 479с.

212. Терровере В.Р. Равнопрочное подкрепление краевой зоны оболочек вращения // Прикладная механика. 1970. - Т.6. - Вып. 10. - С.42-48.

213. Тимошенко С.П. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1965. - Т.1. -480с.

214. Толкачев И.Н. Проектирование дискретно равнопрочных пространственных пластинчатых систем // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения задач упругости и пластичности. Горький. 1981. -С.91-93.

215. Троицкий В.А. Некоторые задачи оптимизации границы упругих тел // Тр. Ленингр. политехи, ин-та. 1982. - №288. - С.3-6.

216. Троицкий В.А., Петухов Л.В. Оптимизация формы упругих тел. М: Наука, 1982. -432 с.

217. Тулъчий В.И. Об оптимальном подкреплении отверстий // Прикладная механика. 1965. - Т. 1.-№3. - С.77-83.

218. Тулъчий В.И. Определение оптимальных значений упругих параметров кольца, подкрепляющего пластинку // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев. - 1965. - Вып. 1. - С.44-51.

219. Тумашев Г.Г., Нужин М.Т. Обратные краевые задачи и их приложения. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1965. - 333с.

220. Ужва В.В. Параметры оптимального подкрепления цилиндрической оболочки в зоне сосредоточенного воздействия // Известия вузов. Машиностроение. -1981.- №9. - С.6-10.

221. Украинцев Г.В., Фролов В.М. Метод оптимизации силовой конструкции крыла по жесткости при варьировании распределением относительной толщиной и профиля // Ученые записки ЦАГИ. 1972. - Т.З. - №4. - С.77-83.

222. Фильчаков П.Ф. Приближенные методы конформных отображений. — Киев: Наукова думка, 1964. 531с.

223. Филъштинский Л.А., Долгих В.Н., Любчак В.А. Подкрепление анизотропных оболочек с отверстиями и разрезами // Технология. Сер. Конструкции из композиционных материалов. 1993. - №2. - С.9-16.

224. Флейшман Н.П. Некоторые обратные задачи для плит с отверстиями, края которых подкреплены тонкими ребрами // Известия вузов. Машиностроение. 1961 .-№ 7. - С.27-36.

225. Флейшман Н.П., Иванкив Е.С. Оптимальное проектирование составных оболочек и пластин методом геометрического программирования // Динамика и прочность машин. Харьков. 1984. - №40. - С.56-61.

226. Хлуднев A.M. Оптимальное управление формой штампа в контактной задаче для пластины // Динамика сплошной среды. 1989. - №93-94. - С.163-175.

227. Хлуднев A.M. Оптимальные формы отверстий в пластине при изгибе // Динамика сплошной среды. 1993. - № 107. - С. 162-170.

228. Хог Э., Apopa Я. Прикладное оптимальное проектирование. -М.:Мир, 1983.-480с.

229. Хог Э., Чой К, Комков В. Анализ чувствительности при проектировании конструкций. М.:Мир, 1988. - 428с.

230. Хуторянский Н.М. К решению некоторых пространственных и плоских задач оптимизации формы упругих тел // Прикладные проблемы прочности и пластичности / Всес. Межвуз. сб. Горький. 1978. - Вып.8. - С.66-74.

231. Хуторянский Н.М. Некоторые обратные и оптимизационные плоские задачи теории упругости // Прикладные проблемы прочности и пластичности / Всес. Межвуз. сб. Горький. 1977. -Вып.6. - С.81-87.

232. Черепанов Г.П. Некоторые задачи теории упругости и пластичности с неизвестной границей // Приложение теории функций в механике сплошной среды. М. 1965. -Т.1. - С.135-150.

233. Черепанов Г.П. Обратные задачи плоской теории упругости // ПММ. 1974. - Т.38. - Вып.6. - С.963-979.

234. Черноусъко Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики управления. М., Наука, 1973. - 238с.

235. Чехов В.В., Селюгин С.В. Условия оптимальности для физически нелинейных сложных силовых конструкций при статическом нагружении // Проблемы нелинейной динамики / МФТИ (гос. ун-т). М. 1996. - С.79-85.

236. Шереметьев М.П. Пластинки с подкрепленным краем. Львов: Изд-во Львовского ун-та, 1960. - 258с.25А. Шереметьев М.П. Плоско напряженное состояние пластинки с подкрепленным круговым отверстием // Инженерный сборник. — 1953. - Т. 14. -С.81-100.

237. Шерман Д.И. Об одном методе решения задач кручения, изгиба и плоской задаче теории упругости для неодносвязных областей // Прикладная механика. 1957. - Т.З. - Вып.4. - С.363-377.

238. Шерман Д.И., Народецкий М.З. О кручении некоторых призматических полых тел II Инженерный сборник. 1950. - Т.6. - С.93-98.

239. Allaire G., Kohn R. V. Optimal design for minimum weight and compliance in plane stress using extremal microstructures Eur. J. Mech. A. - 1993. - Vol.12. -N.6. - P.839-878.

240. Al-Shreedah E. Design of a structure composed of a plate strengthened by equidistant stiffeners 11 Mech. Struct, and Mach. 1989. - Vol.l 7. - N.4. - P.493-505.

241. Apostolov V. Peculiarities the optimal design of girder structures subjected to bending loading // J. Theor. and Appl. Mech. 1993. - Vol.24. - N.2. - P.122-127.

242. Arora J. S., Cardoso J.B. Variation principle for shape design sensitivity analysis // AIAA Journal. 1992. - Vol.30, N2. - C.538-547.

243. Azegami H. A proposal of a shape-optimization method using a constitutive equation of growth (in the case of a static elastic body) // JSME Int. J. Ser. 1. -1990,-Vol.33.-N.1.-P.64-71.

244. Azegami H., Wu Z.C. Domain optimization analysis in linear elastic problems: Approach using traction method // JSME Int. J. A. 1996. - Vol.39. - N2. -P. 272-278.

245. Banachewics W. Optimization thin-walled cylindrical shell with ribs // Curr. Probl. Civ. Eng. Proc. 2nd Int. Sci. Conf., Olstyn 1990. / Fac. Civ. Eng. Acad. Agr. and Technol. Olstyn. Olstyn, 1990. - P. 139-146.

246. Banichuk N.V. Karihaloo B.L. Minimum-weight design of multi-purpose cylindrical bars // Int. Journal of Solids and Structures. 1976. - Vol.12. - №4. -P.267-275.

247. Banichuk N. V. Optimization of elastic bars in torsion // Int. Journal of Solids and Structures. 1976. - Vol.12. - №4. - P.275-286.

248. Barta J. On the minimum of strain energy on elastostatics // Acta techn. Acad. Sci. Hung. 1986. - Vol.99.-N. 1-2. -P.3-8.

249. BendsoeM. P., Sokolowski Jan. Shape sensitivity analysis of optimal compliance functional// Mech. Struct, and Math. 1995. - Vol.23. - N1. - P.35-38.

250. Benedict R.L. Maximum stiffness design for elastic bodies in contact // Trans. ASME: J. Mech. Des. 1982. - Vol.104. -N.4. -P.825-830.

251. Benegundu A.D., Raj an S.D. A shape optimization approach based on natural design variables and shape function // Comput. Math. Appl. Mech. and Eng. 1988. - Vol.66. - N.l. - P.87-106.

252. Bennati S., Forte S. Optimum reinforcement of a circular hole under an arbitrary stress system an infinity // Mechanics. 1984. - Vol.19. - N.l. - P.68-74.

253. Beskin L. Strengthening of circular holes in plates under edge loads // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1944. - Vol.11. - №.3. -P.A140-A148.

254. Bolza 0. Vorlesungen uber Variationsrechnung. Leipzig: Koehler & Am-elang, 1949.-705s.

255. Botkin M.E. Shape optimization of plate and shell structures // AIAA Journal. 1982. - Vol.20. - N.2. - P.268-273.

256. Botkin M.E., Yang R.J. Three-dimensional shape optimization with sub-structuring // AIAA/ASME/ASCE/ASC/ 30th Struct., Struct. Dyn. and Mater. Conf., Mobile, Ala, Apr.3-5, 1989. Collect. Techn. Pap. Pt.l. Washington, 1989.- P.564-568.

257. Brrkowski P., Sieczkowski J.M., Doblare M., Gracia L. An interactive program for shape optimization of section under Saint Venant torsion using boundary element methods // Eng. Trans. - 1995. - Vol.43. - N1. - P.45-70.

258. Bryant R. H. Optimal design of elastic beams for moving loads // J. Eng. Mech.- 1991. -Vol.117.-N.l.-P.154-165.

259. Chaudouet-Miranda A., Yati F.El. 3D optimum design using BEM technique 11 Boundary Elem. IX: 9th Int. Conf., Stuttgart, Aug. 31st-Sept. 4th., 1987. Vol.2. Southampton, 1987. - P.449-462.

260. Chen S., Liang P., Han W. M-P inverse topological variation method of finite element structures// Appl. Math, and Mech. Engl. Ed. 1998. - Vol.19. -N.3.- P.289-301.

261. Cherepanov G.P. Optimum shapes of elastic solids with infinite branches // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1995. - Vol.62. - N2. - P.419-422.

262. Cheu T.C. Sensivity analysis and shape optimization of axisymmetric structures I I Int. J. Numer. Meth. Eng. 1989. - Vol.28. - N. 1. - P.95-108.

263. Choi J.H., Kwak B.M. Boundary integral equation method for shape optimization of elastic structures // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1988. - V.26. - N7. -P 1579-1595.

264. Choi K.K. Shape design sensitivity analysis and optimal design of structural systems // Comput. Aided Optim. Des.: Struct, and Mech. Syst.: Proc. NATO Adv. Study Inst., Troia, June 29-July 11, 1986. Berlin e.a. - 1987. - P.439-492.

265. Cinquini C. Structural optimization of plates of general shape by finite elements // J. Struct. Mech. — 1981. — Vol.9. N.4. - P.465-481.

266. Davies. G.A.O. Plate reinforced holes // Aeronaut. Quart. - 1967. -Vol.18.-Part 1.-P.43-54.

267. Dems K. Multiparameter shape optimization of elastic bars in torsion // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1980. - Vol.15. -N. 10. - P. 1517-1539.

268. Dems K. Optimal shape design of loaded boundaries // Arch. mech. sto-sow. 1981. - Vol.33. -N.2. - P.243-260.

269. Dems K., Mroz Z, Szelag D. Optimal design of rib-stiffeners in disks and plates // Int. J. Solids and Struct. 1989. - Vol.25. - N.9. - P.973-998.

270. Dhir S.K. Optimization of opening in plates under plane stress // AIAA Journal. 1983. - Vol.21. - N.10. - P.1444-1447.

271. Dhir S.K., Brock J.S. A new method of reinforcing a hole effecting large weight savings // Int. Journal of Solids and Structures. 1970. - Vol.6. - №8. -P.259-275.

272. Ding Y. Shape optimization of 2D elastic structures with optimal thickness for fixed parts // Comput. and Struct. 1987. - Vol.27. - N.6. - P.729-743.

273. Durelli A.J., Azarm S., Bhandarkar S. Optimized hole shapes in tall beam // Exp. Mech. 1989. - Vol.29. - N.4. - P.424-431.

274. Enger W. Polynomial boundary perturbation for optimal plastic design of heads of plane tension member// Eng. Trans. 1996. - Vol.44. - N2. - P.261-281.

275. Espiga F., Gracia L., Doblare M. Shape optimization of elastic homogeneous 2D bodies by the boundary element method // Comput. and Struct. 1989. -Vol.33.-N.5.-P.1233-1241.

276. Forsuth A. R. Calculus of Variations. Cambridge: Univers. Press, 1927. -656p.

277. Fukuda J. A method for optimizing contour shape to minimize stress concentration in flate plates // Trans. Inform. Process. Soc. Jap. 1995. - Vol.36. -N.8. - P.1760-1777.

278. George P.L. Automatic Mesh Generation. Application to Finite Element Methods. Paris, John Wiley & Sons, 1991. - 412p.

279. Gibczynska T., Beraza P., Franciosi V. Optymalne tcsztaltowante przekro-jow dwu komorowych//Rozpr. inz. 1990.-Vol.38.-N.l.-P.141-155.

280. Gracia L., Doblare M. Shape optimization of elastic orthotropic shafts under torsion bu using BEM 11 Comput. and Struct. 1988. - Vol.30. - N.6. -P. 1281-1291.

281. Gutkowski W., Zawidzka J. Shape optimization of 2D elastic structures using adaptive grids//Eng. Trans. 1995.-Vol.43.-Nl.-P.137-150.

282. Haftka R.T., Grandhi R. V. Shape optimization a survey // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. - 1986.-Vol.57.-N.l.-P.91-106.

283. Heller S.R. Reinforced circular hoes in bending with shear // Transactions of ASME. Journal of Applied- Mechanics. 1953. - Vol.20. - N.2. - P.279-285.

284. Hicks R. Reinforced elliptical holes in stressed plates // J. Roy. Aeronaut. Soc. 1957. - Vol. 61. - №562. - P.688-693.

285. Hicks R. Reinforced, holes in plates total weight reduced by varying thickness of reinforcement // Engineering. 1954. - Vol.177. - N.4613. - P.811-812.

286. Hicks R. Variably reinforced circular holes in stressed plates 11 Aeronaut. Quart. 1958.-Vol.9.-Part3.-P.213-231.

287. Hlavacek I. Shape optimization of elasto-plastic bodies obeying Hencky's law // Appl. Mat. 1986. - Vol.31. - N.6. - P.486-499.

288. Hodge P. G. Full strength reinforcement of a cutout in a cylindrical shell // Transactions of ASME. Ser. E. Journal of Applied Mechanics. - 1964. - Vol.3. -N4. - P.667-675.

289. Hou J. W., Chen J.L. Shape optimization of elastic hollow bar // Trans. ASME: J. Mech. Transmiss. and Autom. Des. 1985. - Vol.107. - N.l. - P. 100105.

290. Huang N.C., Sheu C.Y. Optimal design of elastic circular sandwich beams for minimum compliance // J. Appl. Mech. — 1970. Vol.37. - N. 1. - P.569.

291. Huo T., Du Q., Yao Z. Some shape optimal design of elastic structures by combination usage of boundary element method and recursive quadratic programming//Comput. Struct. Mech. andAppl.- 1991.-Vol.8. N4.-P.421-430.

292. Jakubowicz A., Kaplanek J., Wrobel G. // Optymalne ksztaitowanie ele-mentow nosnych maszyn z uwzglednieniem warunkow lokalinej sztywnosci // Mech. teor. i stosow. 1989. - Vol.27. - N3. - C.437-443.

293. Jong R.S., Ju K.N. Optimal Shape design of the two-dimensional elastic body with usage of a iso-parametric element // Suhak=Matematics. 1998. - N2. -P.36-39.

294. Kaliszky S., Logo J., Havady T. Optimal design of elastoplastic structures under various loading conditions and displacement constraints // Period Polytechn. Civ. Eng. 1989. - Vol.33. -N.3-4. - P. 107-122.

295. Kamiya N. Shape optimization by coupled finite and boundary elements I I Boundary Elem. IX: 9th Int. Conf., Stuttgart, Aug. 31st-Sept. 4th., 1987. Vol.2. -Southampton, 1987.-P.473-482.

296. Kamiya N., Kita E. Local shape optimization of two-dimensional elastic body // Finite Elem. Anal, and Des. 1990. - Vol.6. - N.3. - P.207-216.

297. Kane J.H. Shape optimization utilizing a boundary element formulation // BETECH'86: Proc. 2nd Boundary Elem. Technol. Conf., Mass. Inst. Technol., Me, 1986. Southampton. - 1986. -P.781-803.

298. Karafiat A. On the shape optimization of plane elastic bodies // Wiss. Z. Tech. Hochsch., Leipzig. 1988. - Vol.12. -N.2. -P.131-139.

299. Karihaloo B.L., Hemp W.C. The shape of a plane section of maximum moment of inertia // Eng. Optim. 1987. - Vol. 10. - N.4. - P.289-296.

300. Kohn R., Strang G. Optimal design for torsional rigidity. Hybrid and Mixed Finite Elem. Meth. Int. Symp., Atlanta, Ga, 8-10 Apr., 1981. Chichester e.a. - 1993. - Vol.12. -N.6. - P.839-878.

301. Kumar A.U., Gossard D.C. Synthesis of optimal shape and topology of structures // Trans. ASME. J. Mech. Des. 1996. - Vol.118. - N1. - P. 68-74.

302. Lederman K. An optimization problem in elasticity // Prenp. Trab. mat/ Inst, argent, mat.- 1994.-N.241.-P.I, 1-31.

303. Lee M.S., Kikuchi N., Scott R.A. Shape optimization in laminated composite plates i I Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. 1989. - Vol.72. - N.l. - P.29-55.

304. Lepic U. Optimal design of beams with minimum compliance // Int. J. Non-Linear Mech. 1978. - Vol.13. - P.33-42.

305. Mansfield E. H. Stress considerations in the design of pressurized shells // Aeronautical Research Council. Current Papers. London: Her majesty's stationery office.- 1955.-N217. -27p.

306. Mansfield E.H., Hanson C.J. Optimum reinforcement around a circular hole in a flat sheet under uniaxial tension // Aeronaut. Res. Counsil. Repts. arid Mem. 1973. -№ 3723. - 1 lp.

307. Mansfield E.H. Analysis of a class of variable thickness reinforcement around a circular hole in a flat sheet // Aeronaut. Quart. 1970. - Vol.21. - N.4. -P.303-312.

308. Mansfield E.H. Neutral holes in plane sheet-reinforced holes which are elastically equivalent to the uncut sheet // Quart. J. Mech. and Appl.Math. 1953.- Vol. 6. Part 3. - P.370-378.

309. Mansfield E.H. Neutral holes in plane sheets: reinforced holes which are elastically equivalent to the uncut sheet // Aeronautical Research Council. Reports and Memoranda. London. Her majesty's stationery office. 1950. - N2815. -34p.

310. Mansfield E.H. Optimum design for reinforced circular holes // Aeronaut. Res. Council. Current Papers. 1956. - №239. - 15p.

311. Mansfield E.H. Optimum variably thickness reinforcement around a circular hole in a flat sheet under radial tension // Quart. Journal of Appl. Math. 1971.- Vol.24. № 4. - P. 499-507.

312. Martin J.B. The optimal design of beams and frames with compliance // Int. J. Solids and Struct. 1971. - Vol.7. - P. 63-81.

313. Miyamoto Y., Iwasaki S., Sugimoto H. On study of shape optimization of 2D elastic bodies // Boundary Elem. 8 Proc. 8th Int. Conf., Tokyo, Sept., 1986, Vol.1. Berlin e.a. - 1986. - P.403-412.

314. Mroz Z., Piekarski J. Sensitivity analysis and optimal design of non-linear structures // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1998. - Vol.42. - N7. - P. 1231-1262.

315. Mukherjee A. Optimization of the shape of a hole in laminated composite materials // Proc. 6th Int. Offshore and Polar. Eng. Conf., Los-Angeles, Calif., May 26-31, 1996. Vol.4. Golden(Colo), 1996. - P.304-311.

316. Nash W.A. Effect of a concentric reinforcing ring on stiffness and strength of a circular plate // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1948. -Vol.15.-Nl.-P. 25-29.

317. Neuber H. Zur Optimierung der Spannungskonzentration // В кн.: Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. М.: Наука, 1972. -С.375-380.

318. Noda N.-A., Matsuo Т., Fujita J. Optimization of the position and size of auxiliary hole to minimize stress concentration// Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A. -1994. Vol.60. - N571.-P. 798-804.

319. Okuda O. Automatic generation of triangular mesh utilizing the bucket method for finite element method // JSME Int. J, A. 1999. -V.42. - N.2. - P.209-215.

320. Olhoff N. Optimal desigh of vibrating rectangular plates // Int. Journal of Solids and Structures. 1974. - Vol. 10. - N1. - P.93-109.

321. Parbery R.D., Olhoff N. Optimal design of thin-walled cylinders of variable wall-thickness subject to flexural and torsional stiffness constraints 11 Mech. Struct, and Mach. 1987. - Vol.15. - N.3. - P.347-357.

322. Patnaik S. N., Coroneus R. M., Guptill James D., Hopkins Dale A. Comparative evaluation of different optimization algorithms for structural design applications// Int. J. Numer. Meth. Eng. 1996. Vol.39. -N10. - P. 1761-1774.

323. Pistora V. Shape optimization of an elasto-plastic body for the model with strain-hardening // Appl. Math. 1990. - Vol.35. - N.5. - P.373-404.

324. Polya G. Torsional rigidity, principal frequency, electrostatic capacity and symmetriinetr'ization // Quart, Appl. Math. 1948. - Vol.6. - N.3. - P.267-277.

325. Polya G., Weinstein A. On the torsion rigidity of multiply connected cross-section // Ann. Math. 1950. - Vol.2. - N.52. - P. 154-163.

326. Prager W. Optimal design of statically determinate beams for given deflection // Int. J. Mech. Sci. 1971. - Vol.13. - P.893.

327. Prager W. Optimal thermoelastic design for given deflection // Int. J. Mech. Sci. 1970. - Vol. 12. - P.705-709.

328. Radok J.R.M. Problems of plane elasticity for reinforced boundaries // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1955. - Vol.22. - №2. - P.249-254.

329. Rao S.S. Structural optimization under shock and vibration environment // Shock and Vibr. Dig. 1979. - Vol.11. - №2. - P.3-12.

330. Rastorguev G.I Optimum Distribution of a Thickness around Reinforced Holes in Plates. Abstracts // The Third Russian-Korean International Symposium on Science and Technology. Novosibirsk State Technical University. Russia. -1999.-Vol.1.-P.353.

331. Rastorguev G.I. The Definition of the Shapes of the Elements of Constructions Minimum energy of a Strain // The Second International Symposium on Science and Technology. Tomsk Polytechnic University. Russia. - 1998. - P. 213.

332. Reiss R. Optimal compliance criterion for axisymmetric solid plates // Int. J. Solids Struct. 1976. - Vol. 12. - P.319-329.

333. Richards R., Bjorman G.S. Neutral holes. Theory and design // J. Eng. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. 1982. - Vol.108. -N.5. -P.945-960.

334. Salac P. Shape optimization of elastic axisymmetric plate on an elastic foundation // Appl. Math. 1995. - Vol.40. - N4. - P. 319-338.

335. Sandgren E., Wu S. Shape optimization using BEM with substructuring //1 Int. J. Numer. Meth. Eng. 1988. - Vol.26. - N9. -P.1913-1924.

336. Schnack E., Sporl U., Iancu G. Gradientless shape optimization with FEM // VDI-Forschungsh. 1988. - N.647. - P. 1-44.

337. SenocakE., Waas A. M. Optimally reinforsed cutouts in laminated circular cylindrical shells// Int. J. Mech. Sci. 1996. - Vol.38. - N2. - P.121-140.

338. Senocak E., Waas AM. Neutrally reinforced holes in symmetrically laminated plates // J. Aircraft. 1993. - Vol.30. - N.3. - P.428-430.

339. Shim P. Y., Manoochehri S. A Shape optimization method based on implicit differentiation and node removal techniques // Trans. ASME. J. Mech. Transmiss and Autom. Des. 1996.-Vol.118.-Nl.-P. 154-157.

340. Vigdergauz S. Optimal stiffening of holes under equibiaxial tension // Int. J. Solids and Struct. 1993. - Vol.30. - N.4. - P.569-577.

341. Walker T.R., Hoff R. Two dimensional shape optimization with application to the plate hole problem // Eng. Optim. 1988. - Vol.14. - N.l. - P.39-52.

342. Wasiutynski Z. On the congruency of the forming according to the minimum potential energy with that according to equal strength // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Techn. -1960. Vol.8. - N6. - P.259-268.

343. Wasiutynski Z. On the criterion of minimum deformability design of elastic structures; effect of own weight of material // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Techn. -1966. Vol. 14. - N9. - P.875-878.

344. Wasiutynski Z. On the equivalence of design principles: minimum potential constant volume and minimum volume - constant-potential // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Techn.-1966.-Vol. 14.-N.9. - P.883-885.

345. Wasiutynski Z., Brandt A. The present state of knowledge in the field of optimum design of structures // Applied Mechanics Reviews. 1963. - Vol.16. -N.5. - P.341-350.

346. Week M., Steinke P. An efficient technique in shape optimization I I J. Struct. Mech. 1983-1984. - Vol.11. -N.4. - P.433-449.

347. Wells A.A. On the plane stress-distribution in an infinite plate with a rim-stiffened elliptical opening // Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1950. - Vol. 3. -Pt.l. - P.23-31.

348. Wheeler L. On the role of constant-stress surface In the problem of minimizing elastic stress concentration // Int. Journal of Solids and Structures. 1976. -Vol. 12,-N. 11.-P. 779-789.

349. Wheeler L. The problem of minimizing stress concentration at a rigid inclusion // Trans. ASME: J. Appl. Mech. 1985. - Vol.52. -N.l. - P.83-86.

350. Williams D. Pressure cabin design // Aeronautical Research Council. Current Papers. - London: Her majesty's stationery office. - 1955. -N226. -51p.

351. Wittrick W.H. Stress concentrations for a family of uniformly reinforced square holes with rounded corners // Aeronaut. Quart. 1962. - Vol.13. - N.3. -P.223-234.

352. Wittrick W.H. Stressed around reinforced elliptical holes, with applications to pressure cabin windows // Aeronaut. Quart. 1959. - Vol.10. - N4. - P.373-400.

353. Wu C.H. The strongest circular arch a perturbation solution // J. Appl. Mech. Trans. ASME. 1968. - Vol.35. - N3. - P.476-480.

354. Yamazaki K., Aoki A. Minimum compliance design technique of stiffener shape and layout of stiffened thin plate structures // Soc. Mech. Eng. Trans. Jap. -1989. Vol.55. - N.516. - P. 1884-1890.

355. Yamazaki K., Nadai H. Minimum compliance design technique of stiffener height of stiffened thin plate structure // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A. 1988. -Vol.54. - N.503. - P.1430-1433.

356. Yamazaki K., Oda J. Optimum shape of elastic inclusion of infinite elastic solid under triaxial stress field I I Comput. Mech'86 : Theory and Appl. Proc. Int. Conf., Tokyo, May 25-29, 1986, Vol.2. Tokyo e.a. - 1986. -P.X/83-X/89.

357. Yamazaki K., Sakamoto J., Kitano M. Three-dimension shape optimization using the boundary element method •// AIAA Journal. 1994. - Vol.32. - N.6. -P.1295-1301.

358. Yamazaki K'., Sakamoto J., Oda J., Kitano M. An efficient shape optimization of minimum weight design by boundary element method // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A. 1991.-Vol.57. - N544. - P. 2992-2998.

359. Yamazaki K., Shibuya K. Design sensitivity analysis technique of elasto-plastic bodies and its application to shape optimization // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A. 1994.-Vol.60.-N576.-P. 1892-1897.

360. Yang R.J., Choi K.K., Haug E.J. Numerical considerations in structural component shape optimization // Trans. ASME. J. Mech. Transmiss. and Autom. Des. 1985. - Vol.107.-N.3. - P.334-339.

361. Yude K., Kikuchi N., Iwai N. Optimal design of two-dimensional structurejsubjected to a plastic deformation, 2 report. Numerical examples // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A. 1997. - Vol.63. -N610. - P. 1340-1347.

362. Zhang W., Beckers P., Fleury G. A unifield parametric design approach to structural shape optimization // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1995. - Vol.38. - N13. -P.2283-2292.

363. УТВЕРЖДАЮ» •ГУЛ СИбНИА им. С.А.Чаплыгина д.т.н., профессор А.С.Серьезнов «04» 0-9 2000 г.1. АКТвнедрения результатов работы Г.И. Расторгуева «Оптимальное проектирование стержней и подкрепленных пластин на основе минимизаций энергии деформации»

364. Оптимальное проектирование элементов авиационных конструкций // Научно-технический отчет / Науч. рук. Л.М.Куршин, Отв. исп. Г.И.Расторгуев. №ГР 77023722. - Новосибирск, НЭТИ, 1977. - 39с!

365. Оптимальное проектирование авиационных конструкций // Научно-технический отчет / Науч. рук. Л.М.Куршин, Отв. исп. Г.И.Расторгуев. -№ГР У77425. Новосибирск, НЭТИ, 1981. - 212с.

366. Оптимальное проектирование силовых элементов стержневых элементов при сложном нагружении // Научно-технический отчет / Науч. рук. Н.В.Пустовой, Отв. исп. Г.И.Расторгуев. №ГР У77425. - Новосибирск, НЭТИ, 1984.- 103с.

367. Оптимальное проектирование пластин с ребрами жесткости // Научно-технический отчет / Науч. рук. Н.В.Пустовой, Отв. исп. Г.И.Расторгуев. -№ГР У27626. Новосибирск, НЭТИ, 1987. - 86с.

368. Оптимальное проектирование подкрепленных панелей // Научно-технический отчет / Науч. рук. Н.В.Пустовой, Отв. исп. Г.И.Расторгуев. -№ГР У27626. Новосибирск, НЭТИ, 1990. - 66с.

369. В последующие годы исследования проводились в рамках договора о научном сотрудничестве между ФГУТ СибНИА и НГТУ.

370. Настоящий акт не является документом для финансовых взаиморасчетов.

371. Начальник КБ АООТ «ОКБ Сухого»1. Калашников А.А.1. УТВЕРЖДАЮ1. АКТвнедрения результатов работы Г.И. Расторгуева

372. Оптимальное проектирование стержней и подкрепленных пластин на основе минимизации энергии деформации»

373. Настоящий акт не является документом для финансовых взаиморасчетов.

374. Зав. сектором механических расчетов1. В.В. Мызников1. УТВЕРЖДАЮ»

375. Настоящий акт не является документом для финансовых взаиморасчетов.

376. Начальник отдела прочности1. Осипчук Б.Н.1.1. УТВЕРЖДАЮи1. AKTиспользования результатов работы Г.И. Расторгуева "Оптимальное проектирование стержней и подкрепленных пластин на основе минимизации энергии деформации"

377. Настоящий акт не является документом для финансовых взаиморасчетов.V1. Главный специалист1. Кандидат технических наук1. В.В.Мазур