Оптимальное управление коэффициентом квазилинейного уравнения Шредингера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

КИЕВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Т. ШЕВЧЕНКО

РГБ Oil

На правах рукописи

- л mh

ЯГУБОВ ГАБИЛЬ ЯВАР ОГЛЫ

УДК 017. 977

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОМ КВАЗИЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА

(01. 01. 09 — Математическая кибернетика)

АВТОР ЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

КИЕВ—1994

Работа выполнена на кафедре оптимизации и управления Бакинского государственного университета им. М. А. Расулзаде.

Научный консультант:

— доктор физико-математичаских наук, профессор

Искендеров А. Д.

Официальные оппоненты:

—чл. корр. РАН, доктор физико-математических наук,

профессор Романов В. Г.

—-доктор физико-математических наук, профессор

Мельник В. С.

—доктор физико-математических наук, профессор

Наконечный А. Г.

Ведущая организация:

— Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Защита состоится « 2. 9 ■» (ИНТ^БРЯ 1994 г. в часов на заседании специализированного Совета Д 068. 18. 16 г.о защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Киевском университете им. Т. Шевченко по адресу: 252127, проспект Академика Глуш-кова, 6, факультет кибернетики, ауд. 42.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан « » ССИ)/\3. 1994 г,

Ученый секретарь специализированного Совета к. ф. м. и.

КУЗЬМИН А. В.

ОВДШ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Работа поовящена исследованию задач оптшального управления коэффициентом квазилинейного травнония Лредангера. Пра этом иосло-дованы вопросы корректности постановки рассмотренных задач, доказаны теоремы существования и единственности, получены необходима условия оптимальности в виде принципа максимума Понтрягпна а вариационного неравенства. Найдена достаточные условия ди$фэрвнци -руемости ПГ1 Фрезе рассмотренных крптеря-за качества и вырагание га. градиента. Кроне того, исследованы вопроси сходимости конечно-разностного метода для решения задач оптимального управления ко?ффя~ циентоы квазилинейного уравнения Щреденгера н установлены оценка скорости сходимости разностянх аппроксимаций по функционалу.

Актуальность теш. Тоорот оптимального управлзнпя для оке -тем с распределенными паракатрзиз относится а однону кз годупш разделов тоорпя оптимальных процессов и теория. дЕф$вронцЕал*-Енх уравнений. Последние 20-25 лет о?лачав?ся бурзнм развитием рнл оптсального управления для уравнения за частных прэизгодяш:. Раззятш) теория а методов ранения задач оптимального управления олстеиэха с расдроделешшця яарэьэтрамв яоеветепо нетло работ оточветвеннше я зярубапшх авторэа.

Теория оптимального управления епетезаид,6пноЕшао?£3.а Я£зв2-ншл п квазйлпнойным уравношус.*.з Шрвдгзгорз, язляэтея составной часть» теория оптхзлального управления овете:*л;.я с распределении -Ш1 параивтрамя,которая в настоящее время недостаточно развита.Поэтому управление прцессаыа.опионвавгааш лвнейпкм а квазилЕнейвш уравнениями Шрздашгерэ приобретает бояыцув актуальнооть в теорэ -тических а практических исследованиях. Несмотря на прикладную важность задач оптимального управления дня скстец, опЕснзаеьшх уравнением ¿'редингера, они г» яастоящэе эрегхч сравнительно иало иэуче-

кы. FaHee задача оптимального управления для линейного и квазиЛи-неЗпого уравнений Шредингвра били изучены в работах Васильева Ф.П. •

Воронцова т.к., Карамзина D.H., Потапова U.M., Разгуляна A.B.,Ша-

- i !

цэезой Т.Ю., Шмальгаузена В.И. я др., где управлением слунит на -бальное состояние системы. В работе Сенвдыной изучена подобная задала, когда управление входит в правую часть уравнения.

С^еда задач оптимального управления для уравнения Щредингера «с; шШ интерес представляй те задачи, которые часто возникают t ... „вантовой механике, ядерной физике, теории сверхпроводимости,нелинейной оптике и в других областях современной физики, где управлениями слуват определенные фязвчесяие обьекты такие, как внешние электромагнитные поля гти поля какой-либо другой природы, показателя преломления среда а-др. Згг. параметра обычно входят в коэффициенты линейного а квазилинейного уравнений Шредингера. Такие задачи оптимального управления, а основной, ранее были изучены для линейного уравнения Щрекавгера в.работах Бутковского А.Г., СамоЕ-ленко Ю.И., Линь НД., Солха В. п др.. Восстановление ядерного потенциала по условию гшищш еноргш является вариационной зада -чей для уравнения Щредянгера о управлениями в коэффициенте урав нения. В этом направлении икевтея работы Иваненко Д.Д., Искондеро-ва А.Д., Кериыова Б.К, и др.

Рассмотренные задачи относятся к классу некорректных и обратных задач. Основа теории этих задач заложена в работах Тихонова ; А.К., Лаврентьева U.M., Иванова В.К. и далее развита в работах Романова В.Г., Аняконова D.E., .Васильева Ф.П., Искендерова А.Д., Мельника B.C., Наконечного А.Г., Ягола А.Г. и др

Цель работы. I. Исследование вопросов корректности задач оптимального управления процессами, описываемыми линейным и квазилинейным уравнениями Шредкнгера с управлениями а коэффициенте этих уравнений. 2, Вывод необходимых условий ост^-гьности для

_ & -

рассматриваемых задач оптимального управления. 3. Разработка численных методов решения задач оптлмальлого управления коэффициентом линейного а квазилинейного уравнений Шредингора.

Методы исследования. В работе применяются метода теория оптимального управления, рлатештяческой физики, функционального апа-, лиза а вычислительной катематвка.

Научная новизна;

- Доказано существование и единственность решения задач оптимального управления для линейного уравнения Шредлнгера с управлениями в коэффициенте,правой часта уравнения я в начальной уелсваа.

- Доказано существование я единственность решения задач оптимального упраачения для квазилинейного уравнения Шредингера,когда управления входят в коэффициент уравнения.

- Установлены необходимо условия оптимальности в ьядэ прля-цяпа максимума Понтрягшш я вариационного неравенства.

-г- Найдены достаточные условия дифферзнцпруоглоста по Фрава

' I

функционалов я выражение для ях градиентов. .

- Доказана формула для вариация функционалов 3 случаи управлений, имеющих некоторуп гладкость.

- Доказаны оценка скорости сходимости конечно-рззноотного катода решения задач оптимального управления коэффициентом лшаЁно-го и квазилинейного уравнений Щредвигэрз по функционалу.

- Доказаны теоремы существования и еданотваяяоота обобщениях решений основных смешанных задач для линейного и квазилинейного уравнений ¡Ьредангера в классах сиолгш), счев-ть С°([0.Т], Ц2(1>))л С'([0.т]11г(Р))а некоторые априорные оценка.

Теоретическая и практическая ценность.. Полученные в работа результаты могут <3ы~ь использованы а на: шх доследованиях по тзо-рии оьтимального управления а. идентификации систем о распределея-нкмя параметрами, а таете по зэорий дпф^ереЕцпадьтп уравнений в

' ' ' м

«5\з?шзс производных. Результаты диссертации могут найти свои.прк--."эхения в таких областях науки и техника, как квьнтогая механика, лдорнак физии , нелинейная оптика, лазерная физика, Лазерная rax-. ;-ологея и др.

Апробация,работы. Основные результаты дисдертации доклада -валясь на сеьш арах кафодры оптгадкзацза и управления и научно-ис-

с,- эдовятельокой лабораторий "Математическое моделирование и авто-«

ктизнрс ванные сиотеш" (руководитель- г. тоф. Искандеров А.Д.), ка. дра математической кибернетика (руководитель проф.Фарадаев Р.Г.), кафедры прикладной математики (руководитель академик АН Азерб. Раопуб,, проф.' Гаснмов М.Г., на сейанарв дроф. Наконечного А.Г., -па сешшаро Института унтештвка АН.Реопуб, Беларусь (руководители! проф. Габаоов Р.Ф., проф. Кирллова Ф.М.), на республиканской

t

шкодо-семянарв иокодшс учаннх по прикладной математике п кибернетике s 1984 г.; (г.Баку), на научных конференциях Азгосунизерситв-та, пбсвящанных итогам иаучво-носладова'сельскюс работ за 1984 г. я за I98G, г., ,на Зсееовэаоа коЕфэрвшда "Дифференциальные уравнения я.оптимальное управление" в IS9Q г. (г.Ашхабад) и на Международной конференция "Некорректно поставленные задачи а естествен -ннх науках" в 1991 г. (г.Коеква). " •

Обьей и структура работы. Диссертация изложена на(316 стра-• вицах, состой* из списка обозначений, введения, пяти глЯв, состоящих вэ 13 параграфов а «пока литературы, включающего 115 наименования. Первая глава состоит из трех, вторая из двух, третья из четырех, четвертая а пятая из дву£ параграфов. ?

Бублякац/.д. Основные результаты диссертации опубликованы в

__^____ ГтТ г-гЛ

Ра ОС * OA. I A J - li-ij .

ССНОШОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ В списке обозначений приводятся основные обозначения и определяется основные 4уккцзойальгш0 пространства, котт'. часто ис -

пользуется в работа.- '' ' . .

Во введении дается краткий обзор работ, примнкавдих к теаэ диссертации, обосновывется актуальность темы и излагается краг-коэ содержание диссертация.

\ Тлава I. ОБОБЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ СМЕШАННЫХ 2АШ Ш: УРАВНЕНИЯ ИРЩНГЕРА.

Эта глава посвяцена исследованию обобщенный решений основных смешанных задач для линейного и квазилинейного уравнений Крадет •• гера я установленшо. некоторых априорных оценок. Смешанные з&глчй да уравнения Щродинг^ра в пространствах CCfoJ], Li(Jj)) ,

C(l°>?LÜ№ñ C'ÍCOJ], 1,(5)) сравнило

■ мело £зучены> В .работах Вишка М.А., ЛГадааенской С.А.,Бриза Н„И. Валежевича И.Н., Яяонса 1.-JL, Поцца Г.А., Якубова -С.Я., Насгйо-.та 'И.:',, Владамйрова М.В. и др. хотя изучены смешанные задачи дая ' ураЕй'енйя' Щредингера, однако зти результаты не удобны д^п приш -ненкя в теории остального управлэкия коэффициентом линейного я ' квазилинейного уравнений ^рэ'дангэра, ?4S ®ак в втих работах кг -^-фацяг/нтк' уравнения предполагаются более гладкими идя является ¡го-- общо,, notiTjifnffl-x.ia, особенно в квазилинейном случае,a коррек$1;осп-помлтвад'смешащих задач часто йзучаотсл в других фушдаон^п, -'¿и: иростралотвах, Кроме toro, полученные результаты в этих рабо-sax ив позвешхэт исследовать более ¡ziposflíl класс* задач оптшаль -аого управления да уравнения Шредангера. Поэтруу отд^лыкя rr?. ~ за диссертация посшаена ясаяодогзнлтэ соыросой'аорройтлочл!) поз » тановки смешанных задач для уравнения Щрэдйзг&р3» wasa fcóS » »о£т из трех' параграфа,.' "". :

'. Пусть' J) - ограниченная область Я - мбрного оышуюйз г.ро-странстап £п , Г - гр'ишзд области Р . .которпп сролггмам» этея достятсдао гладкой, ~ ¿ »f0»O, Г» , S

Т ?0 - згуиижеэ Сз1,шол V будо? "да в.гяш -

Б § I первой главы рассматриваются первая и вторая смешанные -алача для линейного уравнения Шредиягера. Сначала рассматривается задача об определении функции ч». 4»(ff,i) из условий: п

1 (<>,<«;Ш-a(x;f -ъш-M*й- (I)

V(x,o)* V(x), X(r D , f¡s = o , (2)

i = fT, ajp(x), j,p:i,2,...}n , a(x), 1r(X,i) - заданные измеримые ¡.уихдии, удоЕлетворяшие условиям:

и.ДзгЬа^Х), п f £ 0^(3:)И ¿

я 5 ¿P=»

•<?/'. Г . * 6 C, n , ¿xt3) ; - (3)

o Í flfaí (5)

|1г(я,«Г< l;Y'(x,i)eSf, (6)

•да.«,;***«',-с

а'функции ?(я) a f(X>t) .удовлетворяют одному из следующих условий: '

W2'(D) , f í lC'(2)- (8)

Vtüf&l í f ' (9)

где ju: , j = 0,1,2,3 , , од , _ заданные полоаителыше числа.

,„ ^»/r» -ri «/

Iq;.üзелэние I. Функцах) f £ C'(í0Д] назовем

обобксгакгм режвиаек смотанной задача (I), (2) ез ясостгячптля

С(1*Л1,и}(Т>)) , если она

она удовлетворяет интегральном:/ тождеств,

i (-i? Ц -1 ^ - - -irfoijf?) dxJT

íct bt j.p'l ■

= J f} dxdi * i ¡ V(x)J(x,o) dx -L J ?frt)Hx,l)dx (IC)

для любо2 функции ^ 6 Ц (fi) и любого "¿6 [0,т] .

Теорема I. Пусть функция й^х), j,p*1,2,...,n, 0.(x}> Vfx^}; n i(X-,i) удовлетворяют условия;! (3), (5)-(8). Тогда смешанная задача (I), (2) имеет единственное обобщенное решение из пространства С ([0,Т], W2 (]))) и для решения справедлива оценка

для любого i £ fO.T] , где С, >0 - постоянная, которая г.а зависит от 'f f | si'; ' -

Пра выполнении условай (3)-(?) и (9)'доказано, что реяекго. смешанной задача (I), (2) яз С'([0,Т]} 1//(]>)) принадлежит лсоот-разотву Л С'([0,Т]Лг(Ю) ■

Предположим,. что функция i) не зависят от переменкой X , то есть И*. i) 5 2rCO п ФУПЯЦИЕ. Ш) , 4{х) и /(X, t) удовлетворяет: условиям":

■ !ni)| * g. , ¥¿¿(0,7), аз)

<?е ц7э), f е- , r[s^< аз)

а остальные функции удовлетворяет: условиям теорейи I. 3 этой случае доказан аналог теорема I. " ^ ■ - : .г Если функция OLjp(X)t j.ps i2,...)n) aft), HV удовлетвори.;-: . условиям (3)-(5). а (12), а функции , я удовлетворяют следующим условиям

^ #(3), f€ Ц,г'°(я), ¡fj^o , Ш)

\ь Z 1

то доказано, что репенке задачи (I), (2) принадлежи? Ц ' (й-

Дал.зд вегом параграфе с оденется вторая скедаштая падача'^ дог л.'ке^ого урганепяя.Щрединг&ра с однородный граничным условп-в.,: р установлены аналог л результатов первой смешанной задачл.Хромо т:;го, изучена вторая смешанная задача с неоднородным граничны ус г:г:ещ и доказана теорема существования и е.гинственйости слабого с1.>£л&нного решения из пространства

В § 2 нерпой главы изучаются смешанные задачи'для квазилинейного уравнения Щредингера. Сначала в »том парт г райе рассматривается згдача об определении функции

в области

ел V ичовиЕ :• ...

■ г

* №), Ыо,?), Ш) -Ш 0«о, *¿т), С16)

г-

где Т" >.0: -заданные числа', Д» ^ " - заданное вещественноо число, функ&аи , й(х), Тг(Х,4) ¥(х) и ^(X,>> является и-.ме.-рш/шма ?ушчциями и удовлетворяют у<упвия«: - -

О <у/. < , ¥■ X ( [О,?) ■ (17)

.о £ а(х)*/'1 ; V. *<(о*0-, (18)

• '(19)

П иг'''(а), йо)

где » ¿к » К« 0,1, - заданные '¡оло.-адтелькне числа.

Имеет место

"±эева«!_2- пусть ^нкаия а(х), Цх,\) , мх) в щ ь) -

улЬвлетвбряют условия« (17)-(20). Тогда слюнная задача (15) , (16 >

имбет оЗооленноо решений из пространства

ГСЮ/а

и ^ я зг:его реаен'ия справедлива сценка

- 'Км * 'К«»'

для лк'бсго ï t Lo,T] , где Сг > О - постоянная, которая ке ? - -висит от f , | и t ,

дополнительно предполагая, что функция удовлетворя-

ет такгге условию

(2Я)

доказана единственность реиения смешанной задачи (15), (16). Креме того, в этом параграфе при условиях (17)-(19), (22) и ?( Ogi'jij, ■ fi \J°''(Я.) установлено, что реиение смешанной задачи (15), принадлежит пространству C'([0,l]i 0/ (0,f))' il С'([о,Т], l2(ûj)} .

Аналоги выше, полученных результатов дскаяанк в случае второй смешанной задачи для уравнения (15). ;

Далее в этом параграфе изучается первая смешанная задача для многомерного квазилинейного уравнения Предлнгера, то есть об определении функции f(£,t) из условий:

¿1? ♦ 7 ГтЛР^ S ) - " ♦¿а.М1!' = ЯМ).<23)

«* jjri '"V «XP

Ч»(*.о) = Цх), xeDc E}, i (2?5

где 12,3X - заданные ограниченнее измеримые функцл?,

удовлетворяющие условиям (3), (4) лря 71 s 3 , а »Т.уикшп; Q,

i), f(0C) и - заданше кзкерктэ функций, удоьлт-

воряющие условиях.::

. ^. »да |Е - <*>■

ФМ^СР), * е У'ХЬ) , , (27)

а, > 0 - заданное число, ^ \ /= ОЛ , 1К, К'-ОЛ, - заданные по-лктедьные числа.

Теорема 3. Пусть функции С^,(зс), ¿р* 1,2,3/О(СГ), 1г(хt), <Р(Х) и ^ (X,*) удовлетворяют условиям (3), (4) и (25)-(27) . Тогда смешишая задача (23), (24) шлеет единственное решение из .-.оотранстаа СЧМ, ¿г20>)) Л С!([0,Т], Ьг (]>)) и дая этого ; ->шкия справедлива оценка: •' • .

для любого Ч (: [о, Т1, гда ' С&> 0 - постоянная не загасит от t .

Б конце этого параграфа, рассматривается, вторая смешанная задача для уравнения (23) к установлен аналог теоремы 3..

В $ 3 первой главы- установлены .некоторые априорные оценки реискай первой и второй смешанных задач для одномерного квазилинейного уравнения Щредлкгера, которые играют существенную роль при получении результатов четвертой а пятой главы.

Глава 2. ЗАДАЧИ ОПШШПЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДДЯ линей-

нсго уравнения шрвдщгера.

Вторая глава посвящена исследованию задач опта,ильного уярав-л^мия для линейного уравкещш цредингера. Зта глава состоят из двух параграфов.

В 5 I второй глава сначала ксслелуется задача оптимального управления дяя ликзйного уравнения Шродиигора с финальным а интег-

ральнш критерием качества по всей области, когда управления вход-,яг в коэффициенты, правую часть этого уравнения и в начальное условие.

Пусть требуется минимизировать функционал '

4 (1т) у Иг * (2(а] у | у - У, ч щг. мГн (2в)

на шогеотвв !/Ф-' (МЛ), & е ^(Я) > Ь.(*Л) { У. с с Е^ , V ей, % (■ 1/,с ц * и;с ^о».,} ■

при условиях

"К ' *■

:У(х;о) - хеУ, (31)

ТД9 «г, у} ^ ^ о -„заданные числа, прячем ^ / ; ^ -~ (Ч, Ч , а ) 6 И - заданный элемент И - ^ Ы) г1(р] (Л) * х ^ (Э) . VI„ т1 _ натуральные числа,' 6 ч.2 (й) , ^ (• 12 (5) , - заданные функция, 14 , I/, , 1/2 - задатке загнутые ограниченные множества, функции

являются ограниченным;! измеримыми и удовлетворяй условиям (3) -(5), а функция

удовлетворяют условиям Каратеодори в областях <й * V«!, Л*' > Э * £«. соответственно. Кроме того, првдшолоавм, что шпоявявтся слэх^п цие условия:

- к , У I/,,'Я, " (32) где о, > 0 - заданное число, Д> = { % V ,

2г.(1,0 6 V,с Ет., А Г ;

, vv.fi с1 Са). ЯМлМ« V V, ^Ьс). шше Ьо) л к* ¡.?г)о) ■ (зз)

; с(2,1,г0)~ г,)\ * Фл) . V г. д < V,, т

У « Л . где 0 <■ с, (■ (Л) .

Задачу об определения функции яря каздом заданном

V из условий (30), (31) будем.называть редуцированной эа-,леР. Под решением редуцированной задачи понимается слабое обоб--кц:ов ребенке У'-У(Ы)* Ф,из С^"], ¡ч О)) . Имеет ¡лесто

Существует плотное подмножество & прсстрая-Н такое, что для любого и) £■ при > 0 задача :жального управления (25)-(ЗГ) вмеет- единственное решение, ¿ведем обозначения

ЪХ> = Не ] -

! К/ " V

-(35)

и, (х, *, у, д; = Не [; «г(л, V,) 9 &*)] - I с*;- <*;) , ш

г.л': Р г Д) является решением редуцированной задачи при

1г * V , Ф - есть комплексное сопряжение с&ккпии

•и ^(ЗС.г) яиаяется резонней сопрязсекной задач« к задаче (20)-(31).

Яяя оптимальности управления Ь* (г V в задаче (20)-(31) необходимо выполнение условий:

</•'"(г Л >Л>Л ь'/П) дУ-гЛ)-

¿■.«ь.гг.»^

= inax ¿xth (зз)

ZJf Vt

где Г{х,к) = ?'(XJ)S ?(x,i;trl V,. И, 1(, _ задегхи:-.

замкнутые ограниченные множества из EWo" , [n,i , Еп - ccjt-ветственно.

Далее з

этом параграфе указывается достаточные условия днф 1 ференцируеглости по Фреше функционала (29) и находится зыраженлэ для его градиента в виде:

Используя этот градиент, устанааливается необходиков" условие ол -тотальности в виде вариационного неравенства.

В конце этого, параграфа рассматриваются задачи оптимального управления, когда" управление линейно входит в коэффициент ypa-\-.i'-ния Шредангера. При этом исследуются .задачи .о минимизации фуня -ционала (29) при 0 на множествах

Уф: 1Г-. Ш, гп 1г(0,') IKt)'| & к, v t *(о,т) \ а Vs ffr: fr' ггf i^''(Sil

< ( I^Bi) ji ltt yfoijtSl } при условиях (30);' (31), когда

Cfci,1re)=1r.s1r-(Xßi)t (?(х,Ьг)< Ш) . В обоих

случаях доказывается существование .хотя бн ■одного рзиеняя рассмотренных задач оптимального управления. Когда управление У' заза-сиг только от переменной i , устанавливается необходимое . условие оптимальности в ввдо принципа максицука Понтрягина с пошлуа . оценки остаточного члена приращения функционала, не используя тодаку доказательства теореш 5. В случае шохества дояустпмих управлений У для рассматриваемой ¡задачи охгпошьного упраэлеазя доказывается необходимое условие оагииальЕоста в виде заркациек -

норавенства. В этом параграфе 'праведен также пример неусто'й-•:•• ч-с5й рассмотренных задач оягшального управления при = 0 . В § 2 второй главы скачала исследуются задачи оптимального г.- пленяя для линейного уравнэкия Щредангера с интегральным крп-~:"ря?ы качества по всей области и её границе, когда управления п -,.чят в коэффициент и правую часть уравнения и зависят только от переменней ' X или только от переменной £ , При' этом установ -лот- аналоги теорем 4, 5. Кроме того,■указываются достаточные ус... л дай'ероицаруеиостп по Фреше рассмотренного функционала и находятся формула для его градиента, с помощью которого доказывается необходимое условие оптимальности э виде вариационного нера-лэнства. ' , .

Б конце § 2 второй главы, как и в первом параграфе, исследуется задачи оптимального управления для линейного уравнения Щредангера с интегральным критерием качества по всей области и- оё границе, когда управление вводит линейно в коэффициент уравнения я Фуккциснал £е содорскит интеграла от-управления. В этом случае ' пг.нучепк аналогичные результаты. Креме того/приведен пример неустойчивости.. - . .

Глава 3. ЗАДАЧИ ОПТйААШЮГО ШРАМШИ ДЛЯ ШЗИ-ЛИНЕЙШГО УРАШШИЯ ШР?дап??А.

Третья глава посачщеиа исследованию задач оптимального украв-Л'.квя для квазилинейного уравнения Кредонгвра, ::огда управления »'.ходят в коэффициенты этого уразпенял. Эта глава состоит из четырех параграфов.

. Ь 5 I третьей глаза изучается задача оптимального управления оитемврного квазшшкойяого урашеши Шредкпгера с финальным и ■ .хт-льзл критерием качества по зеей области. '¡;;о1£. требуется ыикамзировать функционал

Л л и^о.ч

ш множестве Ъ(х), V (<>,ПИХ) 6 У. с Е»,

£ £ С- (о, I) } ЛрЕ условиях

; Ж ^ (<,.(*) - а(х)*- С(х,1г)? + = .

у(*,о) = л« Ч>(оЛ) = <Г(е,ь)*о,и(о,т), (4я'

где ^, ^ ■ ^ - заданные числа, ш * Ч

- за.ьачккк элемент, Ш - натуральное члсясч К * I»(^Ь

- задние функции, О, Ф 0 - любое вещественное число,(Ц*), 'Л''1^ являются ограничению.!! лзмершкш функцпяма а удовлетворяют условиям (17), (18)', (22), <? 6 , !(: , а С\'-(,1г) удовлетворяет условиям Каратеодорц в области (0,0 * У« . К^ог/."-того, предположим, что выполняется следующие условия:

0 * С(Х, ¥К.У:, (4,>)

с С*, ИХ)) € о , V ь 9 С(оЛ) -, ПА)

I с(х, а - с(х, г,)1£ с, (*) и г.-- с, IIР / у г,«V., V * ((о, I), (45)

Ип

где 0 < Св & 1„(оЛ) .

Под решенном редуцированной задачи (41), (42) понимается

гупто-я ШЬ *(»,*;*) ш СЪлА'Ш ЛС'(Ш, 1г(0> П) ,

Тодоеш 6. Су1-,ес?ауйт .¿когноо подано геотво ' (г пространства £ ) что лго^ого ш е -(г при «4 > о с-н-г-

ча опта «лх-пох'о упрямее!»'С 'С-)—(42)' имеет единственное ро-пг-пс.\ Глкдпл

о . к =»

Г ,, * . -Г \ , \

' V с • - г- ^'^сс^^н^о-'5 ^-.м }, , -д- •}

a ? £ 9 fa* > является решением соответствующей сопряженной задачи при 1ré V ^

Теорема 7. Для оптимальности управления V в задаче (40)-;{42) необходимо выполнение условия:

¿(яД^/^-т^М'И^ (47)

• 1r(Vt,

для {Vxt(oJ.) , где Г (S Í} = У fe í; Г), i 9 (г, í; V) .

. ■ Кроме того, в атом 'параграфе приводятся достаточные условия

í.

ддфферонцируемостк по .Фреше функционала (40) и находится выражо-. ние дая его градиента, на основе которого доказано необходимое условие в виде вариационного неравенства.

Далее в § I третьей главы рассматривается задача оптимального управления для одвшлерного квазилинейного уравнения Шредаиге -ра, когда управление входит .линейно в коэффициент этого уравнена* л зависят от X д i . Для рассматриваемой задачи оптимального управления доказано существование хотя бы одного решения и необ -

ходшое условие оптимальности в виде вариационного неравенства'.

i

Б § 2 третьей главы исследуются задачи оптимального управления }щя одномерного квазилинейного уравнения Щредангера с интегральным критерием качества по всей области и её границе. При этом установлены аналоги результатов первого параграфа этой главы.

В § 3 третьей глаш исследуется задача оптимального управления для многомерного квазилинейного уравнения Ередингера с финальным и интегральным критерием качества до всей области, когда уп -равлекие линейно z:: ..::т в коэффициент уравнения и зависит от обеих переменных % и i .

Пусть требуется минимизировать функционал

ш-л i?- * i¡lt(Q) + я i ^ (48)

на кпомстьв V г {Ь 1г » ИМ) , Ь * Ц,М№) »

| ^¡¿КЛЫПП] прлу^-ЯХ

^ + 1 - - да;, и;:

¥(т,о) г у до, г е ]) с Е3 , "Р |$ = о , (гг '

где о^ , У 8 0,1,2 , - заданные часла, такие, что ынояестьг / ко пусто, Р .?>>■ О - заданные числа, .тоячем ? * Ф о , ¡2, >

- лгобое число, %(1г(Я) , У, 6 (?) - заданные фнкцил, £?• ¿р * /,2,3, - ограниченные кзиерпше 'Тупетип, удоалетгорягпж«?

лоаяяг :з), (4) при Й = 3 , а(Л),«?(«), - заданные -г.

шрално Загикцаи, уловлетворяэаае условиям (25), (27).

Под решением редуцированном задачи (43), (50) понимается

из следувшзго класса функций:

*!•-(№], 1.2 О»)}

Теорема 8. Задача оптимального управления (48)-(5С) да-оес хотя бы одно решение.

;,длее в этом параграфе доказана формула для вариация '.Ту:п: •• пнолала в вядэ

5 X (}, и) * - 5 Не [то(51)

для -ушли V е К/^.СД) . где ШИ 5 ^Ся:, • > )

ляотся ршгв'яен редуцированной задача (42): (5С), а ? г = IЬ} . ;с?ь раг.тп-г ег>«раквнно8 задач:!, соотаететау пз>4

Пуотъ V. 2 { * : * * V, ?.(*•)« = I»/ Я*) /

<•■:•. „ится "" с.'. -<?::; гп ре-лес:-." загати оптлиальзпго угл-л-л^к.* С^4-

- -".""Л-' - течке Ь У* несбходхщ г ■ = •-.-.■•.

] Re [ Ф*(*,*) ] (tfci) - №*)) dxdi Щ (52)

SI

при всех t e V , где «К*,*; 9*(jr,t) = 9 .

3 § 4 третьей главы исследуется задача оптимального управле ния дня многомерного квазилинейного уравнения Шредингера с интег-ральнйл крат ори ем качестза по всей области и её границе,когда управление входит линейно в коэффициент уравнешщ и зависит от обеих переменных £ .и i i При этом критерий качества не содержит интеграла от управления. Б этом параграфа установлены аналоги результатов третьего параграфа этой главы.

Глава 4. РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗЩЧ ОПтМЛЬШГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА.

Четвертая глаиа посвящена исследованию конечно-разностной аппроксимации задач оптимального управления для линейного уравнения Щрэдингера, когда управление вводит .в коэффициент этого уравнения. Эта глава состоит из двух параграфов.

В § I четвертой главы исследуется,вопросы конечно-разностно} аппроксимации задачи оптимального управления для линейного урав -нения Щредикгера с финальным критерием качества, когда управление линеино входит в коэффициент этого уравнения. Пусть требуется минимизировать функционал t

' J Or) = J I'i'Cx.T; V)- y{x)l2dx (53)

о ■ ■

на множестве

i/s{t[r*t(x.x)t ire ~«ijni

I ' |M(l* '

да, t,: i^K.Mc«'

при услоШйК;

t It * Q, ~ - Q(X)f - K*,-fc) ? * Я*,*) . (55)

tt 33C

f (*,o) - m, л i (0, í), ÍÍM = - o , 'te(0, T) , (56)

ÜJC 5X'

•pe $>i , °>3 • - заданные положительные числа, яаклв, что i.«hs-гэсгао У не пусто, Q. > 0 - заданное число, у t ('.• О тданиая функция, - заданная ограниченная ялзиерякая £унк -

дрл, удовлетворяющая условиям

о <jt4 £ а(х) *jtt , , vx((0/t) , ^57)'

а а.уккдли f (Х) я f (Я, i) удовлетворяют условиям

nw/iIV. ^-.MI-.c, t, ^Ш).^чГ(й), !..:-)

f* г, - заданные положительные числа.

Рассмотрим разностннй аналог- этой задачи. С этой целки сперва сведем последовательность оето.ч {.v^'i1, 'fí" '<-* • > / - о, Ми . К= Мп , где Zfzjh-Ь/г, b/¡„-- í/(hn-i) , Т»

= Tn - Т Mu . Обозначим М = hn , Ñ -- tin , ^ ,

• fe WHk'^-.KW. Sx 9,к = (9^)K-9¿x)!h, Sxx%*(%tK-

-*%« * %,*)/kl * . :

Пусть np:i каздом ?! » i требуется ментагоирова-гъ функций

in(mj= fe I' . . <Ь9)

J

на шокзетве _ . .

VhMHrJj,: , |lr;K|iá.. j*i,N-i, к-! íx tfc l á ¿r» i = 2 , к s ,77Г) ¡ 4. ¡ < 4 , , te 27/7, i^i *í>< !h , r- . К - I (PC)

при условиях

1 * Чх VйЧ - - ^ ■ ^. м. (б!)

где.

'я ; ; , Л ЛЬ

% Г ] У^зах , а -- г ] а^с/х . V,- = г | ,

>'

. - хк ^ V'*

Теорекз 1С. Для решения разностной схемы ,(61), (62) при [2г]п 6 верна оценка ' . .

" И-1 N М-1 , ' "

к Г IV! * С, а I I I Щ*) (63)-

¿г, ¿=1 • *='.,)-» " •

дкя лвбого № 6 {1,2,.. ,^ } , где С.>0 _ постоянная, которая не за

засит от К и Я . •

) . . -Введем следующие усреднения решения редуцированной задачи

(55). (56) при : . хЛк

Кромз того, определим оператор 9и на мнокестве V формулой

Обозначил } - {Я^ 1 - {Ч^'к } . Ясно, что { будет

удовлетворять следующей системе

I 5т ♦ а. - - ^к ^ ■ ^ 1/И , к-- м , (64)

где сеточная функция Г^к- определяется формулой

Георема_П. Пусть выполнено условие Су. £ 'Е -/ К - С^

?де - постоянные,, ье-зчвасна-"«" оп: " & и Т .Тогда

зерна сценка „ '

М* 1 *

к X |г.-я|1£ С, 1,С67)

г-» ■ • .

пде С, >0 - постоянная, которая га зависит от Ь в Т ,

№(*>-[*]„II* Щ^У11..

Теорема,12. Пусть выполнен«. условия теореш-П>.'Тогда идя юбнх V 6 V, ['И)! £ У-п: имеет .место оценка

;[ЦПЦ) , (68)

\до >0 - постоянная, .которая не зависит от- Ь а Т. .1

Далее, используя теорему 12„ я доказывая две вспомогательные шип;, доказана оценка скорости сходимости разностных аппрокскма-иЯ по функционалу в вида '

¡1,1(„- , . <63)

■де Л = Ы НЬ) » Г^-- ЬД«^ 'ТЦШи) С,>0 - постоянная, И V ' • СИ^Л- : -

;о7с,рая ье зависит ст. Кит..'

3 § 2 четвертоЛ главы исслодуются вопросы аои^чно-уагкостчлй япрскожлачл:! задачи сптиигльного управления й'я л'зшйгОто у тал -ош'л ди-агя^ о гнтегрзяьш.? ксстс.раем качества по грая.'щг гИ-сстк, ког^а правления вводит а коо'/Тмциент урзвнели« и о&вл псроуеьиых X л . ]> этом параграфе устайоалвкы злога '^есу-?.; я лекм ппроогс параграфа а д опенка скоггс-

ти сздодамосси разностных аппроксимаций по функционалу в виде

- М * °.о № + г . ш

где С|0 > 0 - постоянная, которая не зависит от к и Т .

• Глава 5. РАЗКОСТКЫй МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОПТИШЬКСГО УП -. ' , РАВЯЕНИЯ ДЛЯ Ш52ШШШ0Г0 УРАШЕНЯЯ ЕЩйНГЕ?А.

Пятая глава посвящена исследованию вопросов конечно-разное: йой аппроксимация задач оптимального управления для кваэиланейж го уравнения Щредингера, когда управление входлт в коэффициент уравнения.1 Эта глава состоят гз двух параграфов.

Б § I пятой главы изучается конечно-разностная аппроксяма ■ ция следующей задачи оптимального управления о минимизации функционала

£' '

Ш ^¡'Щх.ту^-.ую^с/х' ; ' (71) о

на множестве

ф ■: V■ НЗД , Ы Ыг '(а), —Щ-. к6,,

ПрЕ. условиях ,

I Ж- + а, - а(х) х -ШЛ) I1 - а, т2 р * Цх, о, <?з)

И й?^

той т^О.Ш-. -ье^т), (74)

где Ь^ , . ¿т 0,4 , - заданные положительные чясла, такие,что множество V'„ на пусто, $,,(¿¡>0 - заданные числа, {/ г Уг(0}!) - заданная функция, £1(1) - заданная ограниченная измеримая Фун ция, удовлетворяшая условиям (57), а функции п I

удовлетворяют условзям (58).

— ли —

Записывая дискретный аналог задачи (71)-ч';4), получим задачу о мияшлпзацил (Тункцяи

при каждом натуральном И Ъ 1 на множестве Упн{[2гЗп: Шп- (ЫГпг. . Ьо * ' Ь;> ммй,*^,

о '

, г- 2Тмй> 27аГ }

при условиях

• I %■« - ^ - Ъ* - 1<ЫЧк =

= /¿к . ^ :?7)

% ^ ' И, к * % V = П , (та)

где сеточные функции ^, й"', , определены, как а акпч.

Имеет место

Теорема 13, Для решения разностной схемы (77), (76) пря [Ь]п е Уд верна оценка /

Ь £ * Ь X I № |2 + к I ! ^¡^ с„ ♦

г-2 •

¿ = 1 км ¿-1

Н-!

+ Т/« Г 2- (^//кГ). ,

¡Сг. 1 = 1 ' * '

л—, V

' /

(70

гае С,, > о - постоянная, которая не зависят от Ь я 1 . Для ойеысв погрешности схеин (77), (78) расемотоам слетов:

- 26 -* v

^W - fyfybfy.t'Adfy ¡V

: 2/or O , ¿Д'г-Л ^,, = K-.IA-.'J , (81

где = - , 9ev - есть решение разностной схем:

(7?У, (73), а ^ являются усреднениями решения редуцирова; ко? задачи (73),(7-4) При ire V , Сеточная функция fy« в ж кот.; случае определяется 'формулой: •

F/k'= ^ j . j '• . - - tfrw - a, Wl'f) JocJi -

- ♦ (82:

'.1V6DT место; •'" „

1®2£25§§¿A' - f >0 '^аоваетиоряет условию'

■ tVflJ"1.; '

Пусть, к ром? того, дашышеяо' условие согласования -¡г - « - (2 где ^j.C^?© „ состогнкиэ« -не ьавксяЗие от- Ь ,ц Т: . for; зерна, опенка • . ■. '''•

kfcjijj1*^ (г^к^ (S3)

где > 0 - постоянная, которая не зависят от Ь.'.и'-.Г .

Тьорёма'.Тб« Пусть' шполкчня условие теорем 14. Тогда.для лобшс 1т i У , [Ъ]п i Уц ячее? мс-ст;> опенка • .

где iff >-0'- яостсдша*. котстйя не заьйскт от Ь я £ ♦

Делое, используя теорему 15 а доказывая два вспомогательные леммы, доказана оценка скорости сходшос:и разностных аппроксимаций по функционалу а виде оценка (69).

3 § 2 пятой, главы изучается конечно-разностная аппроксимация задачи оптш.ольного управления для квазилинейного'уравнения Шро -дингера с интегральны.! критерием качества по. границе области,когда управление входит линейно в коэффициент уравнения и зависит только от пораженной X . в Э1им параграфе доказазн аналоги теорем п лемм, доказанных а § I этой глагн, а установлена оценка скорости сходимости разностных апяроксгкацай по функционалу э дэ оценки (70). - ,

Пользуясь, случаем, вырахав глубокуа благодарность сзог^у на-учниг,:у консультанту доктору фазино-математичес^их наук, профессору йскендерсу А.д. за поддержку я полезные консультации. По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. ИСХБНДЕР03 А.Д., ЯГУБОБ Г.Я. ЗаркаидонннЗ истод редек-¿я обратной задачи об определения ^аавтсвсмеханического потенциала // ДАН СССР. - 1286. - т. 303, й 5. - С. 1С44-1048.

2. ИСШ1ДЕР0Б А .Д., ЯГУБОЗ Г.Я, Оптимальное управление ноли -найнкми квантовомеханическима састбюза // лвтогатика а то -лемехан. - 1089. -.$72. - С. 27-38. •

3. ИСКШТЮЗ А.Д., ХШЕЗ Р.К., ЯГУБОЗ Г.Я. Задачи опткмаль -него управления для уравнений в частных прецг^одных // Прл --локенао в кн. ГУетодч опттаиззцчя" - Баку: Изд-во ЕГУ,

-С. 3£5-3£Э.(на ззер£э "донском язкк-э).

4. ЯГУБОВ Г.Я. Задача от-г-лалы-ох'о управления гля уравнения типа Ерэдиягэра // В сб. "Члслепнне методы а ьетематеческоэ оСоспечонио ЭШ\ - Е^ку: Изд-ео АГ7, К84. - С. 116-125. ЯГПйи Г.Я» Оптимальнее у^тавдонае некоторыми квактевезюха-* // Р :то£н хвора-л

управления". - Баку: Изд-во АТУ, 1989. - С. 67-76. '

6. ЯГУБОЗ Г.Я. Разностный метод решения задачи оптимального управления коэффициентов квазилинейного уравнения Шредингера' // В сб. "Категлатическое моделирование и автоматизированное

•системы". - Баку: Изд-ео ЕГУ, '1990. - С. 53-6С.

7. ЯГУБСБ Г.Я. Задача оптимального управления для квантоЕоме -панических систем // Тезисы докл. У респуб. каучн. конф. ГТБов Азербайджана. - Баку, 1952.

8. ЯГУБОЗ Г.Я. Задача оптимального управления для уравнения Шредингера // Дап. в ВИНИТИ. - ISS2. - £ 3IG3-C2 дея. - 41 С

9. ЯГУБОВ Г.Я. Оптимальное управление квантовокехаиичвскюш системами с распределенными параметрами // Тезисы докл. УН респуб. научн. конф. ВУЗов Азербайджана. - Баку, 1984.^ •

1С. ЯГУБОЗ Г.Я. Некоторые вопросы корректности задачи оптш.:а'ль-г нпго управления для нестационарного уравнения типа Шредингера // Дея. в АзШШТИ. - 1984. - Я 238 А-}-84. - 39 С.

11. ЯГУБОВ Г.Я. Задача оптимизация для систем, ояисываеюн уравнением Щредшг Jpa //' Материалы докл. научн. конф., посвяаон-ной итогам научно-исслед. работ за 1984 г. - Баку; Изд-во АГУ, 1986. "

12. ЯГУБОВ Г.Я. Оптш-альнов управление начальным состоянием квантовых объектов // Тезисы докл. Всесотон. научно-технической конф, "Актуальные проблемы моделирования и управления систолами с распределенными параметрами". - Киев, 1907.■

13. ЯГУБОВ Г.Я, Корректность лссган'свхи и разносит? ыегод решения задачи октального улраалонгя для келппс-Гжого уравнений Шредингера // Тезисы докл. Всесоэзн. научн. конф. "Да&ерон-цгалыше уравнения и оД»йшлш>о.управление". - Аикабад,199С - С. 224-225.

14. ЯГ7БСВ Г.Я. "Обратная задача"для уравнения Шредингера // Тезисы докл. Международно?. научг:. колф. "Некорректно достаалел-кые задачи в естественных науках". - Москва,. 1391.