Оптимальное управление системами на счетномерном симплексе тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Новожешш Алексей Владимирович

Оптимальное управление системами на счетномерном симплексе

Специальность: 01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 9 ДПР 2012

Нижний Новгород 2012

005018239

Работа выполнена в Нижегородском государственном университете пм. H.II. Лобачевского.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент O.A. Кузенков

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор И.П. Рязанцева доктор физико-математических наук, профессор Ю.А. Кузнецов

Ведущая организация: Удмуртский государственный университет, математический факультет.

Защита состоится 2012г. в 16.'ДО час. на заседании диссертационного

совета Д. 212.166.06 в Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского по адресу 603950, Нижний Новгород, пр-т Гагарина, 23, корп.2, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке ННГУ

Автореферат разослан "9.".аШЗ&М 2012г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.166.06,

кандидат фнзико-мат^маЛичеекнх наше,

доцент л Н>< I/, .sn/bf <Т\ В.II. Лукьянов

Т!

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Подмножество пространства абсолютно суммируемых последовательностей Ii, состоящее из последовательностей с неотрицательными компонентами, сумма ряда in которых равна единице, называется стандартным счетно-мерным симплексом:

S = |(~ъ.. .,zn....) : 1.-х., f> = lj- (1)

В дальнейшем счетные системы дифференциальных уравнений, для которой решение любой задачи Кошп в каждый момент времени принадлежит симплексу S (1) при условии, что начальные условия принадлежат симплексу S, будем называть системами на стандартном счетномерном симплексе.

Эти системы используются для моделирования разнообразных реальных объектов н процессов. В первую очередь к ним относятся случайные, в том числе марковские процессы со счетным числом состояний и непрерывным временем.

Счетные системы дифференциальных уравнений активно используются в решении задач математической физики. В частности, используя метод Фурье, от дифференциальных уравнений в частных производных можно перейти к рассмотрению счетной системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно коэффициентов их решения. Как правило, значения фазовых координат в системах, описывающих реальные процессы, ограничены. В таком случае решение исходной системы принадлежит некоторому ограниченному замкнутому множеству, например, части сферы, эллипсоида в счетномерном пространстве и т.п., которое можно взаимнооднозначно и непрерывно отобразить на стандартный счегномерный симплекс. Тогда исходная система может быть сведена к системе на стандартном счетномерном симплексе.

Системы, описывающие процессы коагуляции, химической кинетики (со счетным числом реагентов), процессы количественного распределения особей биологического вида по счетному множеству генотипов также могут быть представлены в виде систем дифференциальных уравнений на стандартном счетномерном симплексе.

Несмотря на то, что дифференциальные уравнения на стандартном счетномерном симплексе можно рассматривать как частный случай дифференциального уравнения в банаховом пространстве, существует много специфических свойств, характерных только для уравнений на счетномерном симплексе и обуславливающих их дополнительные возможности для описания реальных процессов. Уже для конечномерного случая известно, что системы на симплексе имеют ряд важных особенностей по сравнению с системами общего вида. Математические особенности систем на стандартном конечномерном симплексе изучались в работах O.A. Кузенкова, Е.А. Рябовой.

По сравнению с теорией динамических систем на конечномерном симплексе на

данный момент теория систем на счетномерном симплексе развита существенно менее полно. Так же. как и в конечномерном случае, при исследовании счетных систем дифференциальных уравнений встают вопросы о критерии принадлежности классу систем на стандартном счетномерном симплексе, формах представления таких систем, методиках решения задачи Коши. Но перенос результатов, полученных для конечномерного случая, на счетномерный случай нетривиален, он наталкивается на значительные трудности, поскольку, в отличии от конечномерного счетномерный симплекс не является компактным множеством. В связи с этим изменяются формулировки и доказательства ряда теорем.

Во многих прикладных задачах приходится осуществлять целенаправленное воздействие на объекты, описываемые системами с распределенными параметрами, в том числе н системами уравнений на стандартном счетномерном симплексе, как. например, в задачах оптимального управления случайными процессами, возникающих в инженерном деле, экономике, экологии.

Задачи оптимального управления счетной системой дифференциальных уравнений часто возникают при оптимизации процессов теплопроводности, играющих важную роль в многочисленных технологических производствах: в металлургии и энергетике, при сушке влажных материалов, термической обработке в томильных и индукционных печах, в ядерных реакторах. Эти производства являются весьма дорогостоящими, и экономическая целесообразность диктует поиск наиболее эффективного режима их эксплуатации. Нередко приходится рассматривать задачи оптимального управления нагревом тела с фазовыми ограничениями. В ряде случаев они сводятся к оптимизационным задачам для счетных систем дифференциальных уравнений с фазовыми ограничениями.

Решение задач оптимального управления для нелинейных систем является сложной проблемой, и, невзирая на огромное количество исследований, не создано универсального метода, который мог бы дать аналитическое решение для всех случаев. Современные исследования направлены на разработку методов, наиболее приспособленных для решения определенных классов задач, максимально учитывающих особенности этих классов.

Эффективным в задачах оптимального управления является использование управления с обратной связью. Этот тип управления более иомехозащшцен по сравнению с программируемым управлением. Практическая целесообразность приводит в этом случае к естественному изменению ограничения на ресурс управления: ограничивается не абсолютная величина мощности воздействия, а коэффициент обратной связи.

Как правило, задачи оптимального управления распределенными системами не поддаются полному аналитическому исследованию и требуют применения численных методов и современных ЭВМ (аналитическое решение задач оптимального управления возможно лишь в простых случаях, которые далеки от запросов современной

практики). Среди всех методов можно выделить класс, общий подход для которого состоит в том. что исходная задача оптимального управления, описываемая системой уравнений с частными производными сводится к счетной системе обыкновенных дифференциальных уравнении относительно коэффициентов разложения в ряд Фурье, которая в свою очередь аппроксимируется конечной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. К этому классу относятся, например, метод моментов, финитного управления и др. Отличаются они друг от друга способом решения получаемых аппроксимирующих задач. В.II. Плотниковым для этой пели был использован принцип .максимума Л.С. Понтрягша (необходимые условия оптимальности) при определении наискорейшего режима нагрева твердого тела до заданной температуры. Как было показано А.И. Егоровым, этот метод обладает некоторыми преимуществами по сравнению с широко известным методом моментов, в частности, большей устойчивостью относительно погрешностей в промежуточных вычислениях.

Проблема отыскания наилучшего управления системами на стандартном счетно-мерном симплексе приводит к оптимизационной задаче относительно дифференциального уравнения, заданного в банаховом пространстве 14 абсолютно суммируемых

ос

последовательностей, с фазовыми ограничениями типа равенства ^ г, = 1 и нера-

_ ¿=1

венства ^ 0, г = 1,ос. Задачи с фазовыми ограничениями являются наиболее

трудным классом задач оптимального управления даже для конечномерного случая

евклидова пространства в частности из-за того, что при этом принцип максимума

формулируется через функцию Гамильтона, содержащую неопределенные меры.

Если поставить общую задачу оптимального управления для эволюционного уравнения в банаховом пространстве с фазовыми ограничениями, то она будет чрезвычайно сложной. Является перспективным решение задачи оптимального управления, опирающегося на специфические особенности системы на счетномерном симплексе, позволяющие в той или иной степени обойти указанные затруднения. С одной стороны, как уже отмечалось выше, с помощью динамических систем на стандартном счетномерном симплексе может быть описано значительное число процессов физики, химии, биологии, теории массового обслуживания, что обеспечивает общность получаемых математических результатов, с другой стороны, системы на стандартном счетномерном симплексе обладают важной спецификой по сравнению с общим случаем банахова пространства, что дает возможность получить простое и удобное решение поставленной задачи.

Сказанное выше позволяет сделать вывод об актуальности проблемы изучения систем на стандартном счетномерном симплексе и исследования вопросов оптимального управления для таких систем на ограниченных и неограниченных интервалах времени.

Цель работы состоит в установлении формы систем на стандартном счетномерном симплексе; получении необходимых условий оптимальности операторного управ-

ления в форме принципа максимума для квазилинейной системы на стандартном счетномерном симплексе; в решении конкретных задач оптимального управления процессами коагуляции, случайным процессом п оптимального управления нагревом тела с обратной связью при наличии фазового ограничения: а также в обосновании необходимых условий достижения абсолютного максимума критерием качества на оптимальном управлении с обратной связью в задаче нагрева тела до заданного состояния с фазовыми ограничениями.

Методы исследования. В диссертации использованы методы функционального анализа и теории дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, а также теории оптимального управления.

Научная новизна и основные результаты. Основные результаты, которые выносятся на защиту, являются новыми и состоят в следующем:

- доказан критерий принадлежности счетной системы дифференциальных уравнений классу систем на стандартном счетномерном симплексе; установлены формы представления таких систем (в том числе управляемых); доказаны условия, при которых счетную систему дифференциальных уравнений можно свести к системе на стандартном счетномерном симплексе, либо выделить ее в качестве подсистемы;

- обоснована связь между решением задачи Кошл для системы на стандартном счетномерном симплексе и решением вспомогательной однородной системы;

- доказаны необходимые и достаточные условия выполнения в рассматриваемых системах предельного свойства, заключающегося в стремлении решения системы уравнений с течением времени к вершине симплекса;

- выведены необходимые условия оптимальности операторного управления в оптимизационной задаче для квазилинейной системы на счетномерном симплексе;

- решены конкретные задачи оптимального управления процессами коагуляции и оптимального управления случайными процессами;

- решена задача оптимального управления нагревом тела при сохранении среднеквадратичной нормы решения с помощью обратной связи;

- для задачи оптимального управления нагревом тела при сохранении среднеквадратичной нормы решения найдены ограничения на область управления, при которых критерий качества, характеризующий степень отклонения температурного распределения от к-ой собственной функции, достигает своего абсолютного максимума на неограниченных интервалах времени.

Степень обоснования результатов. Все научные положения и выводы диссертационной работы строго математически обоснованы и сформулированы в виде теорем.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер, отдельные результаты могут быть использованы в прикладных исследованиях.

Проведенное исследование систем дифференциальных уравнений на счетномер-

ном симплексе (особенно доказанные теоремы о представлении, разрешимости, выделении системы на симплексе) позволяет сводить решение задачи Коши для этих систем к решению более простых вспомогательных однородных систем. Изучение предельного поведения решения задачи Коши для систем на счетноыерном симплексе, а именно доказательство необходимых и достаточных условий стремления решения системы уравнений с течением времени к вершине симплекса, является необходимым этапом в изучении абсолютной глобальной устойчивости вершины симплекса. Эти исследования служат основой для построения области управляемости таких систем на неограниченных интерваттах времени в случае принадлежности начала координат границе рассматриваемой области, а также для исследования предельных возможностей управляющего воздействия, позволяющих оценить, достаточен ли запас управляющего воздействия для достижения абсолютного максимума критерием качества на неограниченных интервалах времени. Полученные необходимые условия оптимальности в виде принципа максимума являются теоретической базой для аналитического или численного решения задач оптимального управления указанными системами, что продемонстрировано в диссертации на ряде конкретных примеров. Разработанная методика учета фазовых ограничений имеет значение для решения реальных задач оптимального нагрева тела при сохранении постоянной внутренней энергии тепла, играющих важную роль в многочисленных технологических процессах. Эта методика позволяет особым образом учесть возникающие фазовые ограничения до применения принципа максимума, тем самым позволяя обойти математические трудности, связанные с возникновением неопределенных мер Лебега-Стильтьеса в сопряженных уравнениях и функции Гамильтона.

Результаты диссертационной работы внедрены в учебный процесс в рамках специального курса "Теория меры" и вошли составной частью в учебное пособие (Ку-зенков O.A., Новоженин A.B. Уравнение динамики меры: Учебное пособие. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госунивеситета, 2010), предназначенного для студентов вузов, обучающихся но специальностям 010501 "Прикладная математика и информатика"и 010400 "Фундаментальная информатика и информационные технологии". Справка о внедрении результатов имеется.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Итоговая научная конференция учебно-научного инновационного комплекса "Модели, методы и программные средства" (Нижний Новгород, 2007): II Международная научно-техническая конференция молодых специалистов, аспирантов и студентов "Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем"(Пенза, 2008); III Международная научно-техническая конференция "Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем"(Пенза, 2008); Всероссийская конференция молодых ученых "Технологии Microsoft в теории и практи-

ке программирования"(Нижний Новгород, 2010); XI Международная конференция "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления "(конференция Пятницкого) (Москва, 2010); XV International Conference "Dynamical System modeling and stability investigation"(Kyiv, 2011), кроме этого результаты диссертационной работы докладывались на научном семинаре кафедры численного и функционального анализа 26.04.2011.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано в научных журналах и сборниках - 6 статей, в материалах конференций и семинарах - 4 работы, 1 учебное пособие. Из них в изданиях, рекомендованных ВАК, опубликовано 3 работы. В работах, выполненных совместно с научным руководителем O.A. Кузенковым, формулировки утверждений и их доказательства даны диссертантом. O.A. Кузенкову принадлежит постановка задач исследования и общее руководство. В совместном с O.A. Кузенковым учебном пособии A.B. Новоженину принадлежат разделы 1.1, 1.3, 3.7.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав. Библиография включает 203 наименования. Общий объем диссертации составляет 119 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Системы дифференциальных уравнений на стандартном счетномерном симплексе. В первой главе диссертации изучаются свойства счетных систем дифференциальных уравнений

xi = Fl(t,x), ?;=ТТБо. (2)

x(t) = (xi(t),...,x„(t),...) - функция вещественного переменного со значениями в

Ii, F(t,x) = (F^t, a*,...,*,,,...).................*„,...),...), F{t,x) : R1 x 1, -v 1,,

с начальными условиями

.Т(/„) = .Л = (*»,...,а*,...). (3)

Решением системы (2) при начальных условиях (3) считается непрерывно дифференцируемая функция x(t) = (,tj(£),..., х„(t),...). удовлетворяющая при t > £0 уравнениям (2) п начальным условиям (3). Производная понимается в сильном смысле, т.е. производной в точке т называется элемент х(т) = (¿i(r),..., xn(t),...), принадлежащий пространству 1ь к которому сильно сходится разностное отношение ¿-1[х(т + S) - х(т)], когда S 0.

В случае, когда имеет место непрерывная зависимость решения системы (2) от

ос-

параметра, показано, что решение системы (2) удовлетворяет тождеству £ij = l , t=i при люоых начальных условиях, принадлежащих стандартному счетномерному сим-

нлексу S, тогда и только тогда, когда в точках симплекса сумма правых частей (2) равняется нулю.

В параграфе 1.3 показано, что в некоторых случаях произвольную систему вала (2) (например, когда ее решение принадлежит некоторому ограниченному множеству) можно свести к системе на стандартном счетномерном симплексе или выделить систему на симплексе в качестве подсистемы. Выводятся методы приведения к системе на стандартном счетномерном симплексе (метод нормирующей замены, метод стененной замены).

В параграфе 1.4. рассматриваются формы представления систем на стандартном счетномерном симплексе, играющие важную роль в процессе решения этих систем.

Теорема 1. Любая система (2) на стандартном счетномерном симплексе может быть представлена в виде:

со

.Vi = Ф; (#, X) - Xi i = 1, ОС, (4)

где Ф(Л,:;;) = (Фi{í, х),..., Ф„(/., х),...) - оператор, действующий из R.1 xl¡ в 1¡. функции Ф<(<, х) непрерывные по t, кваэиположитыъные, положительно однородные по переменным х.

Благодаря представлению системы на стандартном счетномерном симплексе в виде (4) каждой такой системе можно поставить во взаимно-однозначное соответствие вспомогательную однородную систему дифференциальных уравнений. При этом решение исходной системы выражается через решение вспомогательной посредством нормирующей замены. Таким образом, в ряде случаев можно облегчить процесс решения системы на стандартном счетномерном симплексе, сведя его к интег рированию вспомогательной однородной системы. Справедлив н обратный переход по решению системы на стандартном счетномерном симплексе, заданной в виде (4), можно восстановить решение вспомогательной однородной системы.

Теорема 2. Пусть система на стандартном симплексе задана в виде (4), ряд

ос

равномерно сходится rio t. Пусть существует единственное, нетриви-

¡=1

альное в каждый момент времени, непрерывно зависящее от параметра решение £('-) = )■ ■ ■ • > £п(0' • • •) £ li всполюгательной задачи Каши

Тогда решение системы (4), удовлетворяющее начальным условиям x(t,о) = .т° е S,

ос _

определяется формулой x¿(t) = (,i(t)/ ]Г £,j(t). < = boo.

i

Рассмотрим систему

X; = ФД£, г) - Ж</(£, х), » = 1, 00, (5)

с начальными условиями

0^0) = *?, »=ТББ. (6)

Здесь х(1) = (х,(/,), ,г2(£),____хп(1)....),- функция действительного числового аргумента £ со значениями в пространстве и, ж(£) : Н1 оператор Ф(£, х) линейный со всюду плотной в 1] областью определения £)(Ф); /((,х) - функция вещественного переменного (те Ц со значениями в Н.1, непрерывная по совокупности аргументов, однородная порядка к > 0 по х.

Наряду с этим рассмотрим вспомогательную задачу Коши:

¿; = Ф, (М), (7)

ч{к) = (8)

Справедлива следующая

Теорема 3. Пусть задача (7), (8) имеет единственное решение 2(1) в некотором промежутке £<><£< Т, и существует непрерывная функция

( ' \ 1А ?=(/*/( . (9)

Тогда существует единственное решение. х(£) задачи (5), (6). При этом справедливы соотношения

Х| = —, г — 1. ос. <1

Представляет интерес исследование предельного поведения решения задачи Коши для систем на стандартном счетномерном симплексе.

В исследованиях предельного поведения решения системы (2) на стандартном симплексе с начальными условиями (3) большую роль играет следующее свойство:

Определение 1. Будем говорить, что система (4) на стандартном счетномерном симплексе 5 обладает предельным свойством А, если найдется индекс $ такой, что независимо от начальных условий, принадлежащих симплексу, с ненулевой координатой. соответствующая ]-л компонента решения стремится к единице при £, стремящемся к бесконечности, в то время как все остальные компоненты стремятся к нулю.

Не уменьшая общности, можно считать _/ = 1 в противном случае достаточно переобозначить переменные. При этом Ит Х1(£) = 1, если х'ДО) ф 0.

Теорема 4. Для тога, чтобы, система (4), где функции Фг(4,аг), г = 1,оо удовлетворяют условию

Ф,•(<.*,.....xvi,0,.ri+1,...,.rn,...) = 0. (10)

обладала предельным свойством А, необходимо, чтобы вдоль любой фазовой траек-moputi системы (4), соответствующей начальным условиям x(tо) = х° G S. удовлетворяющим неравенствам 0 < i? < 1, i = 1, ос, были справедливы равенства

J \ a-i (г) Xi{t) )

to

Теорема 5. Для того, чтобы система, заданная уравнениями (4). (10), где ряд

ос

сходится равномерно по t, обладала предельным свойством А, необходи-

<=1

мо и достаточно, чтобы вдоль любой фазовой траектории системы (4), соответствующей начальным условиям x(í0) = Io 6 S, удовлетворяющим неравенствам 1, i — 1,ос были справедливы ¡xieencmea

ос /

Xl(í) í>,(0

dt = +oo.

i=2

Теорема 6. Для того, чтобы система (4), (10) обладала предельным свойством А достаточно, чтобы были справедливы неравенства:

эо

ФД ^ ¡Ьг

хЛ

вдоль любой фазовой траектории системы (4), соответствующей начальным условиям x(t0) = х° е S. удовлетворяющим неравенствам 0 < < 1, i = 1,оо. Здесь символом (£} обозначается, временное среднее величины ¿¡, определяемое следующим образом:

'о

В параграфе 1.0 полученная теория применяется для исследования систем дифференциальных уравнений, описывающих процессы коагуляции.

Принцип максимума для управляемых систем на стандартном счет-номерном симплексе. Вторая глава диссертации посвящена выводу необходимых условий оптимальности в виде принципа максимума Понтрягина для управляемых систем на стандартном счетномерном симплексе.

Рассматривается управляемая система на стандартном счётномерном симилексе вида:

ОС ОС / ОС ОС \

^ = X "'Л'+ - + . г = ТТоо, (11)

;=1 к= 1 .7=1 /

с начальными условиями

а'(0)=.г0, (12)

где ( е Л1 - переменная времени, х(1) : И1 1ь х = :с(/.) - функция, зависящая от времени. Матрица = («у(<)), = 1,оо, в каждый момент времени задает линейный ограниченный оператор [/, принадлежащий некоторому множеству У С [11]. Здесь через [1[] обозначается множество линейных ограниченных операторов, действующих из 1г в 11. Предполагается, что функция 11(1) кусочно-непрерывная. Матрица А = (%), = 1, ос задает линейный оператор Ь. Рассматривается задача, при различных предположениях относительно оператора Т.:

1) Ь - линейный ограниченный оператор, Ь : 1х —>

2) Ь - линейный замкнутый оператор, Ь : 1) —> 1Х, резольвента П(А, £) которого удовлетворяет условию ||[Л(А, Д)]п|| < Д/А~'\ А > 0, п = 1,2,..., где М- некоторая константа, значения А принадлежат резольвентному .множеству оператора.

Пусть время управления Т фиксировано. Заданы функционалы /ц(г,{) : Ь х!},1 -> -»• К1! /а(и4): р^хй,1 —► И1, ф((г): Н Й1, г = 0, к, непрерывные по совокупности своих переменных, дfa/дz. (9<?;/<9г - их производные по Гато, непрерывные по совокупности своих переменных, удовлетворяющие условию Липшица по переменной 2, к - некоторая константа. Введем в рассмотрение функционалы вида:

т

Л = /(/а(г(0, 0 + МЩ1), 1)),и + ФЫТ)), г = 0^. (13)

о

Требуется найти функцию £/(?), кусочно-непрерывную, принимающую значение из множества У, для которой выполняются условия

,/,:[{/] < 0, г = ТТк. ,70 гшп. (14)

Наряду с матрицами (ау) и (и,j(f,)), г,3 = 1,ос, можно рассмотреть транспонированные матрицы (ау)Г, {и^(1))т. Матрица (иу(/))г задает сопряженный оператор и*. Если выполнены условие 1) или 2), то матрица (щ/)т тоже задает сопряженный оператор Ь*.

Для рассматриваемой задачи справедлива следующая

Теорема 7. Пусть выполнены все предположения для задачи (11)—(14). Для того, чтобы матричная функция 11(1) = (?»„(£)), г, У = 1,оо, надавала оптимальное управ-

лент, необходимо существование нетривиального набора неотрицательных кон-

ос ос к

стант /<0...../** такого, чтобы функция Ht[U} = c(f) S «yrf - J2 ftfaiU.t)

t=l J=1 j=0

принимала минимальное, во множестве Y С [Ь] яначение на элементе LTo(t): Ht[Uo(t)\ = mili Ht\U|, aa исключением точек разрыва функции U(t), а также

чтобы выполнялись соотношения /(i.7i[f/o] = • •• = /í*J¡t[Co] = 0- Здесь функция c(t) — решение задачи

сс / ОС СС Л

¿'(f) = с(<)Е Е"у-о + Е "<••.< • с'(°) = 1=1 \j=l j=l }

функция ф = (tii.....фп, ■■.) удовлетворяет сопряженной системе уравнений

ос ос q к

ti = - Е - Е "aw ~ g^r. Е

j=l J=1 "' 11=0

г/, условиям трансверсальности

' n=0

Способы использования полученных необходимых условий оптимальности проиллюстрированы на конкретных задачах управления случайными процессами. В ходе решения этих задач определяется структура оптимального управления и производится его расчет с помощью численных методов.

Оптимальное выделение заданной гармоники при сохранении постоянной суммы фазовых координат. В третьей главе диссертации рассматривается управляемый процесс распространения тепла в твердом неоднородном теле при отсутствии потоков тепла через границу, описываемый линейным параболическим уравнением второго порядка со вторыми однородными краевыми условиями. Рассматривается управляемый процесс на множестве Q = ( 1 х (0,Т):

* = « + «'). г(х.О) = *(*). 1^ = 0, (15)

где П — ограниченная область в R." с гладкой границей Е; 0/3rt|s - производная по конормали к границе <$ е L-2(0), и' - некоторое управляющее воздействие из Lj((5). кусочно-непрерывное по /. Предполагается, что

У ip2(x)dx = 1. (16)

и

Функцию z(x. /,) можно представить в виде ряда Фурье по системе vn собственно

ных функций оператора A: z(x.t) = ^ Q(t)vn(x). где C.n{t) - коэффициенты Фурье

71 = 1

функции

J z(x,T)vk(x)dx j , (17

Требуется найти функцию w(x. t). на которой реализуется минимум функционала

2

-С '

и при этом в каждый момент времени выполняется условие

Jz-{x,t)dx= 1. (18)

я

Поставленная задача сводится к задаче оптимального управления для счетной системы дифференциальных уравнений относительно коэффициентов Фурье:

^ = + Пп) С,.(0) = <р„. п = Т^Б, (19)

ОС

53^(0 = 1. Cn(i)>0, я = 1,2,..., (20)

71 — \

J = -(ЦТ) -» min, (21)

где //„, <р„ - коэффициенты Фурье функций ш, <р соответственно, А„ - система собственных чисел оператора Д, А„ —» оо при п —» оо, А„ > 0.

Для выполнения фазового ограничения (20) предлагается в качестве управляющих функций взять величины

Чп = ^>>С. - С. ^(-А, + cJiKf, (22)

¡=о

где w„(t) - кусочно-непрерывные функции времени, последовательность которых в каждый момент времени суммируема с квадратом и удовлетворяет неравенству

f>„(f))2 « с2, (23)

>1 = 1

где с - константа. Форме (22) соответствует управление вида:

w = и* z - z((u * z,z) + (Az,z)).

где и - некоторое управляющее воздействие из L2(Q), кусочно-непрерывное по /.. Под операцией и * z понимается операция свертки:

(и * г){х. t) = J «(ОФ- - 5Ж, x,i6il.

В этом случае методами, изложенными в параграфе 1.3. система (19), (22) сводится к управляемой системе на стандартном счетномерном симплексе, что позволяет для ее решения применять доказанную теорему 7.

В ходе решения определяется структура оптимального управления и на основе полученной информации строится численный метод.

Для приближенного построения решения рассматривается последовательность вспомогательных аппроксимирующих конечномерных задач: управлять системой

1 1

<iCn/dt=-(-Xn + u;n)in--CnJ2(-Xi + ^K?- п=1,...,М, (24)

Л/-1

С„(0) = S ifMn. n = 1...., М — 1, = (25)

n=l

при выполнении ограничения на управляющие параметры

л/

п=1

так. чтобы минимизировать функционал (21)

Теорема 8. Пусть = (шщ.....Wjuji/>0.0, ...) - последовательность, первые М

компонент которой представляют вектор оптимального управления в М-ой аппроксимирующей задаче, а остальные нули. Последовательность оптимальных управлений задачи (24) - (26), (21) сходится к оптилшльшшу ущтвлению иа задачи (19) - (23) слабо в пространстве 12, соответствующая последовательность решений w_\f = (Ci____> Сд/.0.0,...) сходится к решению задачи (19) - (23) щ, отвечающему управлению щ, сильно в пространстве Ь-

Для иллюстрации использования полученного численного метода на ЭВМ был произведен ряд экспериментов. Рассматривалась поставленная задача оптимального управления для процессов распространения тепла в стержне и круглой пластине. В ходе решения этих задач определена структура оптимального управлении и произведен его расчет с помощью выведенного численного метода, а также произведен анализ полученных результатов.

Основные публикации по теме диссертации.

1. Кузенков O.A., Новоженин A.B. Необходимые условия оптимальности для линейных управляемых систем в банаховом пространстве /7 Труды итоговой научной конференции учебно-научного инновационного комплекса "Модели, методы и программные средства". Нижний Новгород, - 2007. - С. 230 - 232.

2. Кузенков O.A., Новоженин A.B. Оптимальное выделение заданной гармоники при сохранении суммы фазовых координат // Сборник статей второй международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов "Математическое н компьютерное моделирование естественнонаучных н социальных проблем". Пенза, - 2008. - С. 20 - 23.

3. Кузенков О.А., Новоженин А.В. Принцип минимума для задачи оптимального выделения заданной гармоники // Сборник статей третьей международной научно-технической конференции "Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем". Пенза, - 2008.

- С. 56 - 58.

4. Кузенков О.А., Новоженин А.В. Системы дифференциальных уравнений на счетномерном симплексе // "Вестник" Нижегородского университета им. H.II. Лобачевского. - 2009. - JV? 3. - С. 145 - 151.

5. Кузенков О.А., Новоженин А.В. Принцип минимума для класса квазилинейных управляемых систем в банаховом пространстве // Материалы всероссийской конференции молодых ученых "Технологии Microsoft в теории и практике программирования". Нижний Новгород, - 2010. - С. 235 - 236.

6. Кузенков О .А., Новоженин А.В. Оптимальное управление для квазилинейных управляемых систем в банаховом пространстве // Тезисы докладов XI международной конференции "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". Москва, - 2010. - С. 226 - 227.

7. Кузенков О.А., Новоженин А.В. Уравнение динамики меры: Учебное пособие.

- Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госунивеситета, 2010.

8. Кузенков О.А., Новоженин А.В. Принцип минимума для оптимального операторного управления // XV International Conference "Dynamical System modeling and stability investigation Abstracts of conference reports, Kyiv. Ukraine, - 2011.

- P. 374.

9. Кузенков О.А., Новоженнн А.В. Системы отбора на счетномерном симплексе /7 "Вестник" Нижегородского университета им. Н.И.Лобачевского. - 2011.

- Л» 3. - С. 92 - 98.

10. Новоженин А.В. Необходимые условия оптимальности для управляемых систем в банаховом пространстве // "Вестник" Нижегородского университета им. Н.И.Лобачевского. - 2011. - .V» 4. - С. 173 - 178.

11. Кузенков О.А., Новоженин А.В. Оптимальное операторное управление в банаховом пространстве // Дифференциальные уравнения. - 2012. - Т. 48, Л» 1.

- С. 132 - 142.

Подписано в печать 02.04.2012 г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1. Заказ № 189. Тираж 100 экз.

Отпечатано с готового оригинал-макета в РИУ ННГУ им. Н.И. Лобачевского. 603000, г. Нижний Новгород, ул. Б. Покровская, 37

61 12-1/1051

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Оптимальное управление системами на счетномерном симплексе

Специальность: 01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новоженин А.В.

Научный руководитель: кандидат физ.-мат. наук, доцент О.А.Кузенков

Нижний Новгород

2012

Оглавление

Введение ............................................................................4

1 Системы дифференциальных уравнений на счетномерном симплексе 17

1.1 Системы дифференциальных уравнений на счетномерном симплексе; неотрицательное решение задачи Коши......................................17

1.2 Необходимые и достаточные условия сохранения суммы фазовых координат ..........................................................................23

1.3 Методы приведения к системе на стандартном счетномерном симплексе 28

1.4 Представления систем на стандартном счетномерном симплексе .... 33

1.5 Решение задачи Коши для систем на стандартном счетномерном симплексе ............................................................................36

1.6 Предельные свойства решения задачи Коши для систем на стандартном счетномерном симплексе..................................................45

2 Принцип максимума для управляемых систем на стандартном счетномерном симплексе 54

2.1 Постановка оптимизационной задачи для системы на стандартном счетномерном симплексе............................................................55

2.2 Многоточечная импульсная варианта и ее свойства........................56

2.3 Сопряженная функция и ее свойства........................................58

2.4 Вычисление приращения критерия качества................................62

2.5 Необходимые условия оптимальности для вспомогательной задачи ... 64

2.6 Необходимые условия оптимальности для управляемых систем на стандартном счетномерном симплексе............................................67

2.7 Оптимизационная задача для уравнения с неограниченным оператором 72

3 Оптимальное выделение заданной гармоники при сохранении постоянной суммы фазовых координат 82

3.1 Постановка оптимизационной задачи........................................83

3.2 Построение аппроксимирующей последовательности......................87

3.3 Сходимость конечномерных приближений..................................89

3.4 Численные эксперименты..........................

3.5 Исследование задачи оптимального управления на неограниченных интервалах времени ..............................

Заключение....................................

Список литературы

Введение

Подмножество пространства абсолютно суммируемых последовательностей Ii, состоящее из последовательностей с неотрицательными компонентами, сумма ряда из которых равна единице, называется стандартным счетномерным симплексом:

S= j(zi,...,zn,...) : Zi>0, i = l,oo, X> = lj. (1)

В дальнейшем счетные системы дифференциальных уравнений, для которых решение любой задачи Коши в каждый момент времени принадлежит симплексу S (1) при условии, что начальные условия принадлежат симплексу S, будем называть системами на стандартном счетномерном симплексе.

Эти системы используются для моделирования разнообразных реальных объектов и процессов. В первую очередь к ним относятся случайные, в частности марковские процессы со счетным числом состояний и непрерывным временем. Марковские процессы, впервые введенные A.A. Марковым в работах [118,119], получили в дальнейшем интенсивное развитие и широкое применение, в том числе в теории стохастических процессов, в частности в теории массового обслуживания. Родоначальником теория массового обслуживания явился датский инженер А.К. Эр-ланг [176], первые публикации которого относятся к 1900-м годам. В 1940 - 1950-х годах развитие теории продолжилось в работах [36,37,168,169,200] и др. В связи с развитием теории массового обслуживания начали активно использоваться стохастические модели со счетным числом состояний, областью приложений которых являются задачи о времени ожидания, задачи, связанные с расчетом числа занятых телефонных линий и различных типов очередей для телефонов, машин и т.п. [8,21,22,34,55,66,68,69,146,165,183,184,193-195,201] и др. Фазовыми переменными в этих моделях являются вероятности нахождения системы в одном из нескольких состояний. Очевидно, что при этом все фазовые переменные неотрицательны и их сумма равна единице, т. е. любая такая модель представляет собой систему на стандартном счетномерном симплексе.

Помимо подобных стохастических процессов в окружающем мире существует большое количество объектов, поведение которых можно описать с помощью счетных систем дифференциальных уравнений. Счетные системы дифференциальных уравнений очень активно используются в решении задач математической физики. В частности, метод Фурье приводит к тому, что от дифференциальных уравнений в частных производных целесообразно перейти к рассмотрению счетной системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно коэффициентов Фурье. К таким системам дифференциальных уравнений сводятся в том числе многие дифференциальные уравнения параболического типа, используемые для описания процессов передачи тепла, диффузии и др. Часто постановка задачи требует, чтобы ее решение прини-

мало лишь неотрицательные значения. Так в физических процессах положительными остаются энергии частиц, в химических - концентрации реагирующих веществ, в биологических - количества особей различных видов. В силу своей практической значимости динамические системы с неотрицательными фазовыми координатами, описывающие широкий круг моделей из различных предметных областей, привлекали внимание математиков. М.А. Красносельский [71-73] и С.Г. Крейн [75] получили условия существования неотрицательного решения дифференциальных уравнений (инвариантности конуса) в абстрактном банаховом пространстве.

Как правило, значения фазовых координат в системах, описывающих реальные процессы, ограничены. В таком случае исходная система принадлежит некоторому ограниченному замкнутому множеству, например, части сферы, эллипсоида в бесконечномерном пространстве и т.п., которое можно взаимнооднозначно и непрерывно отобразить на стандартный счетномерный симплекс. Тогда исходная система также может быть сведена к системе на стандартном счетномерном симплексе. Так системы, описывающие процессы коагуляции ([10-12,24,25,29,30,110,121,129,158-160] и др.), химической кинетики со счетным числом реагентов ([40,170,199,202] и др.) могут быть представлены в виде систем дифференциальных уравнений на стандартном счетномерном симплексе.

Кроме того, системы на стандартном счетномерном симплексе используются для изучения процессов отбора [40,188], имеющих широкое распространение в окружающей действительности. Отбором называют процесс сортировки или выделения по некоторому признаку элементов из заданного набора однородных объектов. Среди физико-химических процессов к ним можно отнести всевозможные процессы разделения смесей, очистки веществ: фильтрации, ректификации, абсорбции, экстракции. В живой природе существуют естественный и искусственный отборы. Частными случаями отбора также являются процессы классификации, распознавания образов, обучения и т.п. Для математического описания таких процессов целесообразно поставить в соответствие каждому элементу множества неотрицательный количественный показатель принадлежности данного элемента отбираемому подмножеству. Показателями принадлежности могут служить вероятность, масса, численность, энергия, частота использования и т.п. Отбор будет иметь место тогда, когда для некоторых элементов этот показатель с течением времени стремится к нулю. Системы на стандартном счетномерном симплексе наиболее удобны для изучения процессов отбора во множествах со счетным числом элементов, так как там сохраняется постоянной сумма значений показателей принадлежности к отбираемому подмножеству, вследствие чего увеличение преимуществ одного элемента возможно только за счет ослабления других, и ярче всего проявляются сравнительные качества разных элементов. В связи с этим представляет большой интерес исследование предельного поведения решения системы на стандартном счетномерном симплексе, играющего большую роль в изу-

чении процессов отбора в счетном множестве элементов. Примером такого отбора во множестве со счетным числом элементов служит процесс возникновения волны определенной частоты из шума, что соответствует концентрации энергии колебаний на одной гармонике (или на комбинации гармоник) при начальном хаотическом распределении энергии по всему спектру частот [197,203]. Кроме того, подобные явления наблюдаются и в динамике количественного распределения особей биологического вида по счетному множеству генотипов ([178,180,181] и др.)

Изучение предельных свойств системы на стандартном счетномерном симплексе также играет большую роль в изучении устойчивости систем с распределенными параметрами.

Несмотря на то, что дифференциальные уравнения на стандартном счетномерном симплексе можно рассматривать как частный случай дифференциального уравнения в банаховом пространстве, существует много специфических свойств, характерных только для уравнений на счетномерном симплексе и обуславливающих их дополнительные возможности для исследования реальных процессов [57,76,167]. Уже для конечномерного случая известно, что системы на симплексе имеют ряд важных особенностей по сравнению с системами общего вида. Математические особенности систем на стандартном конечномерном симплексе изучались в работах O.A. Кузенкова, Е.А. Рябовой [80-82,94-101]. Кроме того, O.A. Кузенковым исследована задача Коши для эволюционного уравнения в семействе вероятностных мер Радона, посредством которого можно единообразно представить широкие классы сосредоточенных и распределенных систем, в том числе те, решение которых принадлежит стандартному конечномерному симплексу [77-79]. Это позволяет выявить общие закономерности поведения различных систем, обосновать разрешимость многих классов дифференциальных, интегро-дифференциальных уравнений, исследовать предельные свойства решения, а в ряде случаев найти решение в явном виде.

Важный вопрос, возникающий при изучении систем дифференциальных уравнений на стандартном симплексе, - формы представления. При исследовании общих моделей динамики численности популяции Ю.А. Пых ввел понятие функций перехода [149,150]. Впоследствии было установлено [40], что любую систему на стандартном симплексе можно представить через функции перехода, которые допускают однородное продолжение на множество точек с неотрицательными координатами в евклидовом пространстве. Каждой такой системе можно поставить во взаимооднозначное соответствие однородную систему дифференциальных уравнений, решение которой связано с решением исходной через нормирующую замену.

По сравнению с теорией динамических систем на конечномерном симплексе на данный момент теория систем на счетномерном симплексе развита существенно менее полно. Так же, как и в конечномерном случае, при исследовании счетных систем дифференциальных уравнений встают вопросы о критерии принадлежности

классу систем на стандартном счетномерном симплексе, формах представления таких систем, методиках решения задачи Коши. Но перенос результатов, полученных для конечномерного случая, на счетномерный случай нетривиален, он наталкивается на значительные трудности, поскольку, в отличии от конечномерного счетномерный симплекс не является компактным множеством, в следствии чего, например, все компоненты вектора в счетномерном симплексе поточечно могут стремиться к нулю, что в конечномерном случае невозможно [70]. В связи с этим ряд теорем, известных для исследования предельного поведения систем на конечномерном симплексе, требует переработки для систем на счетномерном симплексе.

Во многих прикладных задачах приходится осуществлять целенаправленное воздействие на объекты, описываемые сложными системами с распределенными параметрами, в том числе и системами уравнений на стандартном счетномерном симплексе, как, например, в задачах оптимального управления марковскими процессами, возникающих в инженерном деле, экономике, теории управления, теории надежности (см., например, [4,35,161,172] и обзор в [116,136,152]).

В 60-е годы XX века в связи с бурным развитием космической техники сформировалась математическая теория оптимального управления, основными проблемами которой являются вопросы существования и единственности оптимального управления, его аналитическое или численное построение. В это время академиком JI.C. Понтрягиным и его коллегами В.Г. Болтянским, Р.В. Гамкрелидзе и Е.Ф. Мищенко был получен центральный результат этой теории - принцип максимума, впоследствии названный принципом максимума Понтрягина [145]. Принцип максимума является необходимым условием оптимальности управления в оптимизационной задаче. Он несет информацию о структуре оптимального управления, позволяет строить алгоритмы приближенного решения и обосновывать их. В ряде случаев он оказывается не только необходимым, но и достаточным условием оптимальности. Иногда использование его приводит к точному решению задачи. Однако, успешное применение принципа максимума нетривиально, требует изобретательности и глубоких знаний.

Вслед за открытием принципа максимума последовали его всевозможные обобщения. Обобщению этого метода на случай распределенных систем посвящено огромное количество работ: [13,14,16,48-50,112,115,138,144,156,157] и др., см. также обзоры работ [26,27]. В.И. Плотников создал конструктивную теорию оптимизации распределенных и сосредоточенных управляемых систем, ядром которой является общая схема получения необходимых и достаточных условий оптимальности [65,137], которая впоследствии была развита его учениками [133,144]. Рассматривая уравнение, описывающее управляемый процесс, как ограничение особого рода, выделяющее задачи оптимального управления из общего класса экстремальных задач, В.И. Плотников предложил получать необходимые условия оптимальности (принцип максимума) в таких задачах применением общих теорем отделимости в пространстве ва-

риаций остальных ограничений и функционала качества. С помощью этого метода удалось обосновать принцип максимума для широких классов оптимизационных задач [103,132].

Абстрактные теории оптимизации были предложены в работах А.Я. Дубовицкого, A.A. Милютина [45,46,124], Р.В. Гамкрелидзе, Г.Л. Харатишвили [32], А.И. Нейштад-та [130], Б.Н. Пшеничного, Ю.М. Данилина [147], АД. Иоффе, В.М. Тихомирова [57],

A.C. Матвеева, В.А. Якубовича [122,123] и др.

Интенсивно развивались и другие разделы теории оптимального управления. Различные задачи оптимизации в банаховом пространстве исследовались в работах Ю.В. Егорова, А.Я. Дубовицкого, A.A. Милютина, Д. Варги, A.C. Матвеева,

B.А. Якубовича и многих других [1,16,23,28,31,32,45,46,48,51,52,112,120,171,173, 177,182,185,186,191,198]. Интерес к этой тематике сохраняется и до настоящего времени [5,123,153,162,163,166]. В большинстве работ на эту тему были выведены необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина, справедливые при самых разнообразных предположениях относительно вида системы, управляющей функции, критерия качества и ограничений. Однако, решение задач оптимального управления для нелинейных систем является очень сложным и, невзирая на огромное количество исследований, не создано универсального метода, который мог бы дать решение для всех случаев. Современные исследования направлены на разработку методов, наиболее приспособленных для решения определенных классов задач, максимально возможно учитывающих особенности этих классов.

Большое практическое значение имеет исследование предельных возможностей управляющего воздействия, в том числе, изучение связи между ограничениями на область управления и достижением абсолютного максимума критерием качества за неограниченное время управления. Интересным для приложений представляется вопрос: можно ли по величине, характеризующей запас управляющего воздействия, определить целесообразность поиска оптимального управления, при котором интересующее нас состояние равновесия в вершине симплекса является поглощающим, или же такой поиск бессмысленен, так как любое управление приводит к выходу из этого состояния. Эти вопросы приводят к необходимости рассмотрения оптимизационных задач на неограниченных интервалах времени. Библиография работ, посвященных исследованию задач оптимального управления на неограниченных интервалах времени, весьма обширна. В различных постановках оптимизационные задачи на неограниченных интервалах времени рассматривались в [33,41,58,106,111,117, 134,135,174,175,179,189,190,192] и др.

Эффективным в задачах оптимального управления является использование управления с обратной связью [7,9,44,111,151]. Этот тип управления более помехоза-щищен по сравнению с программируемым управлением. Практическ