Оптимальное восстановление линейных функционалов на классах аналитических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГ6 од

15 ь^з

РОССИЙСКАЯ АКЛ£Е1®Я НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В.А.СТШЮВА

На правах рукописи УДК 517.53

Осипенко Константин Юрьевич

ОПТИМАЛЬНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ НА КЛАССАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯ

01.01.01. ,- математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1993

Работа выполнена в Московском государственном авиационном технологическом университете им. К.Э. Циолковского

Официальные оппоненты.- доктор физико-математических наук А.Г.Сергеев:

доктор физико-математических наук, профессор П. К. Суетин: доктор физико-математических наук, профессор В.М.Тихомиров.

Ведущая организация - Математический институт АН Украины.

Зашита диссертации состоится "09" 1993 г. в

¡9 часов на заседании специализированного совета Д002.38.03 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Математическом институте им. 8. А. Стеклова РАН по адресу: 117333, Москва. В-333. ул. Вавилова, 42.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Математического института.

Автореферат разослан "(95" _ 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физико-математических наук, профессор

А. С. Холево

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРГСТКНА РАБОТЫ

Актуальность темы. В работе рассматривЛэтся -задачи оптимального восстановления аналитических функций, их производных и интегралов от них по информации об этих функциях, заданной в общрм случае с некоторой погрешностью, а также вопросы, связанные с оптимальным выбором ииформации.

На начальном этапе развития теории приближения в ней исследовались задачи згЬроксииации индивидуальных функций. Затем стали изучаться аппроксимации классов функций некоторьш фиксироганными средствами (алгебраическими или тригонометрическими полиномами, отрезками ряда Фурье, рациональны® функциями и т.д.). Под воздей-•ствием идей А.Н.Колмогорова и С. М. №шольского с 60-х годов сформировался подход, при котором, используя два типа исходной информации о функции - априорной (принадлежность тому или иному классу) и локальной (значение функции в заданном наборе точек, коэффициенты Фурье, след функции'на некотором подмножестве из области определения функции и т.д.). - строился олтимальньй метод восстановления" Функции или функционала, на который, вообще говоря, не накладывалось требование принадлежности какому-либо заранее фиксированному множеству методов.. После этого ставился вопроо об оптимальном выборе локальной информации (например, где лучше всего расположить точки для измерения функции).

В 1965 г. С. А. Смоляком была поставлена задача об оптимальном восстановлении линейного функционала х' на некотором множестве V из линейного пространства )( по значениям линейных функционалов

.....Хд. Под погрешностьи оптимального восстановления понималась

величина

' v - 4 -

,e(x'.I.W): • inf sup |<x',x>-S(Ix)| ■ s¡Rn-t« к€»

тле Ix:»C<x{.x>.....<х^.х>Э. Метож. на котором достигалась .нижняя

•грань, назывался оптимальным. С. А. Смоляком было доказано, что в случае, когда W - вьпуклое множество, среди оптимальных методов есть аффинньй, а 'когда V - выпуклое уравновешенное множество, среди оптимальньк методов существует линейный метод.

. < \ Приблизительно в это же время С. Б. Стечкиньм была поставлена близкая к рассматриваемой задача о приближении неограниченного оператора ограниченные Дальнейшие исследования задачи С. Б. Стечки-на. проведенные В. В.Арестоьш и В. Н. Габушиньм показали теснуо ее связь с оптимальны* восстановлением по приближенной информации.

В 1971 г. результат С. А. Смоляка был использован Н. С. Бахвало-вьм для доказательства отсутствия преимущества у адаптивных методов интегрирования по сравнению с неадаптивньми методами на вьпук-лых уравновешенных классах функций. Затем автор в 1ЕШЗ г. обобщил теорему Смоляка на комплексный случай и решил ряд конкретньк задач оптимального восстановления на классах ограниченных аналитических функций. С конца 70-х годов оптимальны* восстановлением активно занялись американские математики Ч.Мичелли и Т.Ривлин,которые значительно расширили исходнуп постановку.

Дальнейшее развитие теории оптимального восстановления можно условно разделить на несколько направлений: общие результаты о восстановлении и оптимальное восстановление на конкретных классах функций, среди которых можно выделить классы гладких и аналитических функций. Исследовании задач восстановления на классах гладких функций посвящено, по-видимому, большая часть работ из этой тематики, познакомиться с которьми можно по обзорньы статьям Ч. Мичелли

я Т.Ривлина CA survey of optimal recovery. N.Y.: Plenum Press. 1977. P. 1-34, Lectures on optimal recovery// Lect. Notes Math. 1983. 1129. P.21-93), В. M. Тихомирова СТеорил приближений. "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 14. Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР". М.. 1937. С. 103-2603. а также, монографиям Н. П.Корнейчука СТочные константы в теории приближения. М.: Наука. 1987), Дж.Трзубз и Г. Вохьняковского (Общая теория оптимальных алгоритмов. М. ; Мир. 1983) и цитируемой там"."литературеВ процессе осмысления более otíumx постановок, связанных с восстановлением, оказалось, что в" терминах оптимального восстановления могут бить «формулированы не только задачи аппроксимации ■ функций, их производных, построения оптимальных квадратурных формул, но и многие другие задачи теории приближения, в частности, задачи об п-поперечниках и точных неравенствах для производных.

Одним из распространенных приемов при изучении задач восстановления, оптимальных квадратурных формул и п-поперечников на, классах гладких функций является исследование осцилляционньЫ свойств ядер, с помощьо которых задаются классы. А. Пинкусом и Нгуен Тхи Тхьеу Хоа были получены общие результаты в этом направлении для классов функций, представимых в виде свертки с вполне полоаительньми или не повыпавшими осцилляции ядрами. Однако, в комплексном случае приходится использовать другие методы, так как изучаемый классы не удается представить в виде сверток с такими ядрами, да и само понятие "осцилляция" Сили "число перемен знака") не находит пока своего вполйе осознанного эквивалента в комплексной ситуации.

Поскольку реально всякая используемая информация содержит в

- в -

себе некоторую погрешность, ьозникайт ьалэча оптимального восстановления по ноточиьм данным. Здесь характерна являете л ■ эффект появления "лишней" информации, когда часть исходных данных может ' быть отброшена без увеличения погрешности восстановления. В связи с гугим ставится и изучается задача о величине "полезной" информации и ее асимптотике при стремлении погрешности в исходных данных к нулю.

С помощью соотношений двойственности н^хоашение погрешности оптимального восстановления на классах аналитических Функций сводится к известные эстремзльньм задачам, исследованием которых ■ занимались Э.Ландау. Е.Льедонне. К. Каратеодори и Л.Фейер. Я.Л.Ге-ронимус, Г.М. Голузин. М.Хейнс. А.Макинтайр и ВРогозинекий, В.Ро-гоэинский и Х.Шапиро. С.Я. Хаванссн и др. Тем самым многие классические экстремальные задачи оказывается связанными с задачами оптимального восстановления. Например, лемма Шварца есть задача о погрешности оптимального восстановления ограниченной аналитической в единичном круге функции в • точке 2 по ее значениям в нуле. Однако, лемма Швариа не дает ответ на вопрос о самом оптимальном методе. Изучение общего подхода к построению оптимально методов восстановления позволяет получить новые результаты и для классических экстремальных задач, таких, как задача Каратеодори-Фейсро и лемма Шварца в многомерных пространствах Харли Нр и Бергмана Ар.

Цепь работы - разработка общего подхода к построению оптимальных методов восстановления линейных функционалов на классах аналитических функций, основанного на специальном интегральном представлении погрешности восстановления; нахождение оптимальных методов восстановления на классах Харди и Бергмана ; исследование задачи об оптимальном выборе информационного оператора и

есно связанной с ней задачи о точных значениях п-поперечниках; осстановление по неточно заданной информации; построение наилуч-их и оптимальных квадратурных формул на* классах ограниченных налитических функций.

Научная новизна. Все полученные ь диссертации результаты вляотся новши. Их можно объединить в следумцие труппы

аЭ Обшив теоремы об оптимальном восстановлении многозначных тотражений и линейных функционалов; теоремы о восстановлении в бстрактных продтранствау. ^СБ.Г.д). общий подход к построение птимальных методов восстановления, основанньй на интегральном редставлении погрешности восстановления; восстановление по неточ-ьм данньм в гильбертовом пространстве.

б) Оптимальнее восстановление значений функций и их производ-ьи в пространствах Харди и Бергмана по точной информации; восста-овление гармонических функций; восстаногленив по значениям функ-ий в счетной системе точек.

в) Оптимизация информационного оператора; точныэ значения, -поперечников классов периодических функций, аналитически продол-

аемых в полосу, и классов Харди и Бергмана в единичном шаре из и '

г) Оптимально« восстановление ограниченных аналитических ункций по неточно заданной информации; определение порядка инфор-ативности как меры "полезной" информации; восстановление произ-эдных ограниченных аналитических функций по их следам, заданны* с огрешностьв. и. как следствие, получение точных неравенств для роизводных колмогоровского типа.

д) Построение наилучших квадратурных формул Спри фиксирован-ьк узлах); исследование единственности оптимальных узлов квадра-

ту ржа формуя; построение оптимальной квадратурной формулы для класса периодических функций, аналитически продолжаемых в полосу, использующей приближенные значения функций.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на XI Всесоюзной иколе по теории операторов в функциональных пространствах (1980 г.. Челябинск). Международном симпозиуме по оптимально алгоритмам С1989г., Парна), VI11 конференции по теоретическим .основам и конструированию численных алгоритмоь решения "<эдач математической физики (1990г.. Крэсновидозо), I Межвузовской конференции по теории функций и зппроксимации С1991 г. . Симферополь). а также на семинарах Математического института им. 9. А. Стекловз и Московского государственного университета.

Публикации. Основньв результаты диссертации опубликованы в работах (1-151. список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четцрех глав, списка обозначений и списка литературы. Список литературы содержит 137 наименований. Общий объем диссертации - 323 страницы.

ОБЗйР СОДЕРЖАНИЯ РАБОТЫ

Во введении приведены постановки рассматриваемых задач оптимального восстановления и сформулированы основные утверждения диссертационной работы.

Первая глава посвящена общим вопросам оптимального восстановления и задачам восстановления по неточньм данньм в абстрактных пространствах 1у Задача оптимального, восстановления в наиболее общей постановке может быть сведена к восстановлению некоторого

многозначного отображения однозначны* С впервые это было замечено . В.А.Арестсвьм ). В §§1-3 изучается задачи такого типа. При этом основным результатами являются критерии существования среди оптимальных методов восстановления аффинных и лине Иных в алгебраическом и топологическом случаях.

Пусть X - линейное пространство над полем K-R или С. АСХ -непустое множество и - многозначное отображение См.о.).

Положим

- sup |z-*Cx)| . (M.i)«gr*

ЕС#): " Inf ЕС«.*) . 9

где нижняя грань берется по всевозможные однозначны* отображениям f. А-«К. Величину

RC*>: - sup inf sup |z-c| ,

к€* e« l«(«)

являютуося максимальным чебыиевским радиусом множества *С х), назовем радиусом многозначности м.о.

Для множества Q из линейного пространства Y через соО и bcoQ будем обозначать выпуклую и вьлуклую у^вновешенную оболочки Q. При вьгуклус уравновешенную относительно точки < оболочку множества Q обозначим через

bco^tt »bcoCQ-<)«<J .

Определим м.о. со* и Ьсо^» равенствами

gr со*: • со дг* , дг Ьсо^»: - Ьсо^ дг#

(при <-0 пишем просто Ьсо»). Через AffCXJ обозначим множество аффинных функционалов, т.е. фунюшоналоБ вида аСхХх'.х>+с . где х'«Х'. а «К.

Теорем» I. Ллл сииаспиолания atAffCX) такого, что

ЕС», а) - ЕС#).. С1)

м<гоС>хс&ш*о и доспатонис с^с^гсятолании <*->"-ОЛЭ. что

RC*) - fXbco^t) .

При услолиа уклилаланямо рпланству

RC«) - RCcot) . С2Э

Для с¡жостаофония х'СХ' таюяо. что

ECt.x') - ЕС*) .

нлоОу-Oöilmo и ас\:тсч»ано. члювы

R(#) - RCbcof) .

Отметим, что в комплексном случае условия (1) и (¿0 не эквивалентны. Соответствующий пример построен в 51. *

$2 посвящен задачам, связанньн с выражением оптимального метода восстановления чере-з су ¿дифференциал огибашей м.о. ♦.

Если X - локально вьлуклое пространство, то через X* обозначим топологически сопряженное пространство. Исследование топологического случая посвящен 93. Здесь в отличие от алгебраическэгс случая может не существовать линейный или аффинньй оптимальные метод. Однако, при некоторых дополнительных условиях монет был получен аналог сформулированного критерия. Если не касаться вопроса существования, то критерий совпадения величины ECt) с величинами

Е*(*): » Inf ЕС*,х") . E*(t):- Inf ЕС»,а) . и*««* »€»rr"(I)

где Aff*CX) - множество функционалов вида аСх)-<х*.х>+с. х"«Х*

с«К, имеет следущий вид.

Тяорена 2. равенство

EeC« = ECO)

имя<7гч /ъзсто & тол и люлсл'д а гъо* случае* к'о**5а сцт-тст&у&ъ скоторого

Ri 9) - RCcl bco?#) .•

рааанство

E"(« - ECS)

uj**<nn /чзсто тогда и только гюл&а.

R(« - PCcI bCO$) .

Общая постановка задач оптимального восстановления функционалов. рассматривается в §4. Пусть Л и Y - линейные пространства над полем К. WCX . f:W—>К и F:У—»Y - и.о. Ставится задача восстановления значений функционала f на множестве У по информации о значени-

I

ях на этом множестве ы.о. F. Многозначность отображения F означает. что информация об элементах V задана, вообще говоря, неточно. Если F - однозначное отображение, то говорят о задаче восстановления по точньы даннъы. Погрешностьв метода восстановления ç>: Y—«К называется величина

eif.F.*):- sup |fCx)-<p(y)| . (*.у>««гг

Величина

e(f.F): » inf eCf.F.ç») <f-. y—»к

называется погреаностьо оптимального восстановления, а ьсякий метод. на котором достигается нижняя грань, будем называть оптимальным. Введем также величину .

r(f.F): ■ sup Inf sup |fCx)-ç| . y«r(») с« к€г",{у)

называемув радиусом информации.

v - 12 -

Теорема ,3. Если feAffCX) . г'лч ситрсгл»а*ания a«AffCY) такого, что

e(f.F.a) • e(f.F) . СЗ)

н&с&хаЭиж? и Ооспкитечно. чтоСы с ушлсплолала точка £вХхУ , Ллл которой

rCf.F) - r(f.bcotF) При |(«J} цслсвис (3) »к^илаллияыо раммслту

r(f.F) • rCf.coF) . Сели f(X' , С^АИй'СЛМвва««* y'CY' что

e(f.F.y') - e(f.F) .

H*?OC>XO5uj*O и &осп<точно, чгя&Сы

r(f.F) - Kf.bcoF) .

Рассмотрим случай, когда м.о. F имеет вид FCx) - Ix ♦ U .

где I:V—»Y - линейньй оперзтор. a UCY - некоторое множество. Величину eCf.F) будем обозначать в этом случае черет eCf.I.V.LD Если Y - линейное нормированное пространство, a U«Ue:-aBY, гае - единичньй шар. то говорят о восстановлении по

значениям оператора I. заданного с погрешность!) в. В ятем случае* полежим

eCf.I.V.ah- eCf.l.W.Ug) .

Если W и U - вьпуклые уравновешенные множества, тс из теоремы 3 вытекает существование оптимального линейного метода. Кроме того, доказывается, что имеет место равенство

eCx'.I.W.U) - sup |<х'.х>| ,

х€Н

Ix€U

которое для U>Ua принимает вид

eCxM.V.a) - sup !<х'.х>| . (4)

xiu

|i*|sa

Элемент х0«У такой, что IxQ«U и

sup |<x'.x>j - <х'.х„> . к«» 0

ixeu

будем называть экстремальные

В §3 изучается задачи оптимального восстановления линейных функционалов в (абстрактных пространствах L^CS.S./d (или, короче, L^CS)). являющихся совокупностью всех 1-измеримых функций со значениями в R или С. для которых

1*1, - { Jl*Cs)|»dM }1/Г < • . 1Ч><» .

|х|_:- vralsup|x(s) I < в . р-■ei

Положим

(х.у)в: - J Х(5)$П7ф . ■

Рассматривается задача оптимального восстановления линейного функционала Хх.Пв. Г«1у(3). 1/р*1/р'-1." на множестве В^СБ) по значениям м.о. РСх):- 1х*вЭУ, где I:2) —У - линейньй оператор, а У - линейное нормированное пространство. Положим при 1«р<» и а«С

а|а|^ . а*0 . О . а-0 .

Рассмотрим случай, когда У-Ь^СОЭ. Оказывается, что имеется некоторые значения погрешности в. являющиеся в определенном смысле точками переключения. Пуст!}

в,- ^ 1 1П£< 1

а<(,> - {

и для у*«1уС0).

«:.(/,<-» ШГ .

Теорема 4. Пис/яи I _»1, (О) - сзранинвннь'О. ланзеиий опа-

рсикор.

1>ля 1<р£а и при у*-О - с>ппимсиы<ыа

ессстамолАсния.

2) 1«р<». 1<П<- « Г-1*у*. у*-у* -

оппшжх/имый тзтоз тос стамояАани я.

3) г>гл 1<р.ц<«, при Г«1*ь ,С03 и а0<жв, """ (41*1^.(0) «

Лля тем О чтобы /СИ) ялггяася спши*^лы*им /кжякОсчи

восстановления, мяэбхс&ияо. чяювы «ЫЛОИЧЯЛОС1, Са«КСЛМ1)

4) ¿ели и. «ремк "Р" по

еиполк&ммя ражгнетла (5) Оосталючно, Л ля п&жо чяоОч , (Ю

'О Ч ■

являлся оллилидмиде /хмк.ч)ол Фосстаноллония.

5) если ¿зр'^за, ,(0) - оллиладилл мята) восояан.>»Ачния и. кроле поле. ¡'у'сЬ^Б) "^и р«», гио

Одним из основньк способов получения оптимальных методов восстановления в дальнейших исследованиях является использование специального интегрального представления для погрешности восстановления. Пусть У - произвольное линейное пространство. Вместо ВЬ^СБ) будем рассматривать множество ВХр. где Хр - некоторое линейное подпространство Стакая ситуация является типичной

■для восстановления аналитических или гармонических функций).

Теорема 3. пуст, д^. д*0. д„: -д/|д1р. '|1дц|5в,.. у*«У*.

<УоД9о>"в|У01 " "*>а •с*х и***" **сто рд-заистяо

Сх.П_ - <у*.1х> ••! ® ^ Сб)

^ . I • •

в>0 . р^ЦСБ) . ^Сг)«) яочАц »сжЭц и при |дС(-1 чоччяи. -

лсюйу. Тозда у* - оппншалоныи яапюе>. д - »кстралалсная ¿¿/нкиия и

' 0 ■ I ♦ «1у01 ... •

- В §6 рассматривается задача восстановления линейного функционала Сх.Г),. ГсХ. на единичном шаре гильбертова пространства X по значениям линейного ограниченного оператора 1:Х—»Ь^СГО. заданного с погрешностью в. для В качестве приложения полученных

результатов решается задачи восстановления по приближенны* коэффициентам Фурье. Приведем один из подобных результатов.

Пусть е1.е>...-. - ортоноршрованная система в гильбертовом, ' пространстве X Сне обязательно полная и не обязательно бесконеч-;' пая). Для х«Х через х^Сх.е^, будем обозначать кооффициенты Фурье элемента х по отношении к этой системе. Рассмотрим задачу восстановления функционала (х.Пж. 00. по значениям Сх,,х2,...) таким, что

где Х,«0. Предположим, что

0-Х,-... • Л2™ •

Положим 3:«2ир| J : |<^|>0 . } .

ИИ?

(если ь*». то полагаем - •

- к"**

Теорема в. л^-то |>х . V |Г,|<».

"" 1 Л

13 «сан , т-1А53 И при Г* £ . яо

Сх.П

к

н V -

¿'У 4

1 - «а

СГЛ|>\»

олтшюльныа мапоО аоссчюноллания. а

аСГЛ.ВХ.ДЗ

1Г»« - £ 1Г Iе 1 - ♦ А |Г,|

то м&люО

23 »«и Й€д и г. £ с е #

Cx.1V £Гх

4-Х л

я&ляатся оптималклъи* мато&ом иосспгзмоалания. а

всгл.вх.аэ - в ? а,|Гл

¡(арастерной особенность» задач восстанов пения по неточной информации, хорошо видной на примере теоремы 6. является наличие "лишней" информации при больших значениях погрешности. Так. например. при бей^. к<8. информация о приближенных значениях коэффициентов Фурье ... не используется в оптимальном методе.

Глава II посвящена задачам восстановления аналитических и

гармонических функций, а такке их производных по информации о точных значениях этих функций в некоторой конечной или бесконечной системе точек. Кроме того, здесь получен рид результатов, касавшихся точных значений колмсгоровских. линейних и гельфандовских п-поперечников.

В §1 решена задача оптимального восстановления функционала

где А^ . . 1*0 . на единичном шаре пространства Харди Н^

по значениям информационного оператора

г (р-П <»,-») <«>1 1Г:«{ГС<)... ,Г Щ.Пг^... ,Г 1 (.гх).....Г(гп),...Г п Сгп)|,

где .....гл - различные точки из единичного круга

Частные случаи этой задачи рассматривались в работах автора Ср-». Ч.Й1челли и Т.Ривлина (р-в. >-(0,1)). С.Фишера и

Ч.Мичелли (1«р<*,. »-ш-0). автора и М.И.Стесина С >■

Здесь мы рассматриваем общий случай и сводим его к решению задачи Каратеояори - Фейера. которое удается описать конструктивным образом.

Из описания реиения задачи Каратеодори - Фейера вытекает, что

при всех 1*р»» я ММ для лвбых JJ.....5гв<С существует для

которого система

ч-}♦^Дьз• .....а- с7)

будет иметь ^ение. удовлетворяющее условию

|Ь,|а1. .И.....к. 1Ь^|< 1. ,|-1с+1.... .Д (8)

СПри р-« все вьрахення с р понимаются как предельные значения при

p-wO.

Положим d,:

wVn-j'

J-l.

A: ■

1 0 . - . 0 '

$ 1 2 . . 0 . p. = A-1d

ia I

. ® ш и

' здесь р-Ср,.....р„5т . <1-(с11.....с1вЭт. Пусть" Ь1.....Ьв - решения

системы С7). удовлетворявшие условиям С8), для

■^-»■[(»^^«■-^г-П'с^-Ч!-!«!8)^ * Р.

где уСгЗг-ГЧгЗУСг). а

ГПГ 2~г1

«2):- П( г^4-1

¿-I1 1-2^ *

Введем следующие обозначения:

«.Сг);» ГУкг) . «,(25:- П[1 V

1 I 1-^2 * 1-1». 1-2,2 J •

К' м

О,:» -*1-

>1 1-а,г •»

iP3

J"1.....b . г:» (и+15 fipS - V ,

J*» Г

Через ei^.&.I.BHp) обозначим погрешность оптимальнот-о восстановления.

Теорема 7. ««» lspse *вяов

V —1

LbYc^if«^) ♦ I i с Ci)f«>Cz,3 .

s 1-0 J-l ifeo J1 J

гд-1

'¿V • - ТШмшЧТГ [ кгт-Ы'

Слс«)-- -тшЖпТ

•Н*«

¡шлялтсА опти-толы*ым /юто&ом яссояанолязни.я. функция д ; -

° ЙР

растрымзлтая и

■ Пс1-Д.2)С2-01) .1-1 * л

(в) у<р-1>/р

Г .

В §2 рассматривается задачи восстановления голоморфных функций многих переменных. Пусть В - единичный шар в Сп. Для ыультиин-

декса в: =-Св(.....а_) положим

» "

а

в а в

0

|а|:- а,* ... .

Рассматривается задача оптимального восстановления значения функции из единичного шара пространства. Харди Нр в некоторой точке

асЕ по значениям следов функций 0вГ. 1а| «О.....г-1, на аффинном

подмножестве С" вида

' А;*{"В: ^-к.Л-ы.....Vе»} •

где с-СО.....О.с кМ......сп">«В. самьи информационным оператором является оператор

Г^Г: - { } . 1-1-0.....г-1.

Ответ дается в терминах специальной функции 0ПСр.и), которая могет <5ыгь записана в виде

где

■ 11Ш .с»«* •

■=0

Для г<гг.....гп)€С" и l*ks¡n полоним

2*: - Czx>... .2п_к.О.... .0). г* - г-г'к. <z.w>:- г.¥«СЛ.

' <2.W»>

|г| :- <г.г> . sfz.vh- ^ .

Обозначим через • Д^Ср):- {z€B : |z*|*< *«Ср)С1-|2';|*) } . 8j'

где ' . "

Лп(р):- Bin | |U| : QJp.tÚ ' О } .

Ограничимся для простоты случаем, когда А-А^

z«B : z

П-КМ

Теорему 8. njwo isps» и ij&sn. Лля авА^Сгр)

»-»•'^jHiSfoli.-.; • pi-'

«с»« dz»a' . ° *

f(a) «

yCzV« _D. ___*- .

является оптимльншм /—тоОам «оссяамо+лания на класса

вн,

по

имфо&мани.и J1" . Для погрешности оптимального тосспаноллания имв*т

маета ратвнсюло

еСаЛГ .ВН ) = -

Тс *

Г хг'>(а)|а?|г . isp<«

|a;|r(l-|a;i8)"r/8 . P

При atA^C рр) функция им?вт аиО

/ 1-|а£!8 <z.a;

g0cz>

К

fa^T1- Mz.aJ^

г

' Р-

Интересне, что при всех lsp<e и Д^СрЗ-В. | при .любом

пгб существуют р«1. для которых ВчД^Ср)*». Таким образом, рассматриваемая задача при lsnsQ решена полностью. а при пгб существует область ЕЛА^Ср), где экстремальная Функция имеет более

сложный вид. В одномерном случав подобный эффект разбиения«области

!

на некоторые подобласти, в которых экстремальная функция имеет различное число нулей, встречался при эо<.становлении производных.

Из полученной теоремы, вытекает следствие, являющееся обобщением леммы Шварца.

Следствия. Яр« лс ТХ lsp<« а«В что ]a|<AftCrp),

ш*г&п> /«гелю рааанстоо

sup |f(a) | -«ее

(Axoj-o. |a|2r-i

iq !_ 1 . { ii'C-i, Г V -t > /•<*> |я|-~

Cl--|a|z)n/p [ ^1ШТГр72Т Ln m+rp^H Sw^l

2m

Ряд аналогичных результатов получен для восстановления в пространствах Бергмана .

В §3 рассмотрены задачи восстаноьлекия на классах гармонических функций, аналогичны; тем. которьй рассматривались ь §1.

В 94 исследуются задачи оптимального выбора информационного ■ |«1'«тсра и тесно связаннш с ними зада<да о нахождении п-поЛереч-. ">ч. Обозначим через НпС0) класс аналитических в области ССЕ Функций, удовлетворяющих условии

Аналогичное обозначение ЬвС0Э будем использовать для гармонических функций. Пусть Он.-{г«С. |1т2|<н| и Йв(0н) -"множество 2*-периоди-

ческих функций из Нж(D„). Положим

е (tO,2»).BfLCDJ):» Inf sup eCl.I-.BFLCDJ) . '

n * ? tjCIO.H*) tciО.ЗЯ) r

где !rf'=-[fCt1D.....f(t[i)}. и V.

Теорема 9. пцсти k-жСе"2®). а тожва

1) при лсах ияаат масто ра**мс»то

/л . n-2s . : , /кЛ . n=2s-l.

причал обинс тленными с точностью йо ейлила оптимальными у злей • '

яяляются узлы t -(J -1)2*Л1. J«1.....П;

2)

. «« -

а которое . i

еп([О.2*).ВЙ,,С0^))

. Гх,. | ^ЧйН^-V ■ •

а ц - произвольное веыасяммнмоо число. уОолломюея&цаЬ уело* |^|51-к, ялляатся оптимальным матовом лосстанолллния на клас

ВЙ„С 0V»* еса* 1€Я.

Вторая часть §4 посвящена нахождению точньи значений колмот ровских. линейных и гельфандовских п-поперечников, которые обоз! чавгея через ■ <1 А и бп. соответственно. Приведем некоторые

П П

юлученньх результатов.

Пусть А,$ - класс функций, вещественных на вещественной оси. Апериодических, аналитически продолжаемых ь полосу Г>н и удовлэ-гзоряицнх в ней условии |ке Г(г) |з1. Множество функций иэ Йв(. вещественных на вещественной оси. обозначим черес 0[г>. Положим

I сл):, Г ^ . I г*):- ,

4 о /(1Чг)С1-Лг1г) о /п-ЛП-лЧ»)

Теорема 10. пр" *•■'<"<■ 1а*}<в

•I

г'Гш

И'1

1/Ч

е "" ♦ 0

(е«""] .

1/4

I

Теорема! 11. """ <»«•*. 1зср»

л

«ч

1/4

Л

2е'

-нп

0(<Г8Ип)

Я"*

В 55 мы находим некоторый точные значения гельфандовских и линейных поперечников для* многомерных классов Харли и Бергмана. Пусть функция ГС2). ¿ее". разлагается в степенной ряд

С93.

|в|«о **

Обозначим через РаСг) сумму членоЕ с„2а степенного ряда, у которых

Г(г) - £ Сага

, -24 - ■

|a|»s. Тогда степенной ряд (9). записанный в виде

t(z) ■ f F Cz) . (10)

■»о "

называется однородный разложением функции f. 'Радиальная производная порядка г для функции, имевшей однородное разложение (10). определяется равенством

- • !

Обозначим через Н*£(ВП) класс функций Г, голоморфных.в В :» |z|<lj-, для которых jff«ВН^СВп). Через. A*J(Вп) будем обозначать класс функций Г. голоморфных в Вп. для которых JtTeFAgCB^). Положим

V* { Z<C" : } %,СР:* CCV • N.:\£<W1 •

, Число N^ равно размерности пространства полиномов от п переменных стег-чв не вше и-1.

Теорема 12. лса* 0<р<1 " шгг«0

бЧнз^(Вп),Ср) ' VH#Bn).Cp) •

р Irñ^TTT в10 ((го+з)Пз р J

При «сам. о <р< 1 « т*г*1

бЧд^(ВпЭ.Ср) - ^(«JCB^.C,) ■

При, лсвж

0<р» [ñ9s]

* d-p^Ltl/a ( Ф*" )

Аналогичные результаты получены для классов Харди и Бергмана в единичном поликруге.

Э §6 исследуьтся задачи восстановления, подобные задачам, рассмотрении* в §§1 ' и 3, по информации о значениях функции в бесконечных системах точек <Zj>" и {Zj>J|. С помощью этих результатов найдены в явном виде оптимальны? методы в одной зад&че. поставленной Сунь Di-Иеном. '

Пусть W - некоторый класс функций, определенных на всей вещественной оси. Обозначим через Йт. т>0, системы узлов для каждой из которых

1J существует ri«M такое, что

-пт s ... < пт .

2) при всех j€Z .

Пологам

eCt.W): » tnf sup inf sup|f(x)-SCl^f)| . *«R s. ¡^(u)-*ff r«n

где

I?f:-(fC

Систему узлов, на которой достигается нижняя грань будем называть оптимальной.

Теорема 13. ^магот место рав&нсльао

eCt.BHeCDH)) - [кгСахрС eCr.BhJDJ) - | f feU^—I—1-пт . СШ

00 пЛ ^ ch[(2m+nsa]

CuC/TtG/ta {if} W Jt&JlS1.&rnC&. OrWLLfrCtJl иной * обоих СЛ^АОЛХ, a COOfn&L?rn-

J -Й

- РЗ -

стаукиуы »той систз/*з аптшчалыим методы им&оп аий

*

Г(х) * г/зп[^х.к] , ч .

1СхЗ «» * БГ|¡Ш*■Р ^ ■ и( 1т)

З&е к=*С&хр(-4*Н/т». I

Равенство (11) и оптимальность .'Узлов для класса

В'пвСБу) бши получены ранее Сунь ЕИ-Шеном. . ••»

В третьей главе рассмотрены задачи оптимального восстановле-' ния ограниченных аналитических функций -и их производных по неточно заданной информации.

В §1 изучается погрешность оптимального метода восстановле-\ ния, если вместо точных значений используется приближенные. При этом вводится величина, аналогичная константе Лебега при интерполяции многочленами Лагранжа. Из полученных результатов в предель-

!

ном случае вытекает известные результаты относительно рнстант Лебега,

В §2 изучается задача оптимального восстановления функции из класса ВН^в точке г0й) по значениям информационного оператора

If: - f,t . ECD

п

заданного с логреиностьв 6 в норме пространства ССЕ). Из общш

результатов Сем. С4ЭЭ вытекает следующее равенство для погрешhoots

оптимального восстановления .

eCz..E.a) - sup |fCza) | . C12:

0 f«»He

. |r(s)|зб. s«x

Экстремальная задзча С12) для Е-С -1.0) известна как задач)

кис. для E*{z«D: |z|srj - как задача Уолша и для Е-1а.Ь]С(-1.1) -

как задача .Хейнса. Более общие задачи подобного типа изучались С. Я. Хавинсоном.

Лля задачи Г125 характерна является эффект "очистки", когда решение совпадает с решением аналогичной Задачи для множества EjCE. состоящем из конечного или дискретного множества точек. С точки зрения восстановления этот эффект означает, что из всех значений восстанавливаемой функции на Е достаточно знать ее значения на Бг а информация о значениях в точках множества E\Et является лишней.

Обозначим через С множество таких f^CE. для которых решение задачи (12) для Е и Е, совпадают. Порядком информативности множества Е при заданных zg и I будем называть величину

In(ze.E.a): * inf card Е. . 0 1

а множества, на которих достигается эта нижняя грань, назовем полны« информативны«! системами.

Теорема 14. Пусть ЕСС-1.15 - »Л"******» /тожвспто. 0<в<1 " Ze«(-l.nNK.

1) »кстр.'льхниная pi/нкиия * за&спя С12). нормированная услоии-

»л f"Czo)>0. Cimtcm»u<tm, т»имс.и*<»кмо и имлст лиА . A z-а.

С (г) - X И уг^г . а,€(-1.1) . 1 """ -1 ; С13)

J-1 1 ЛГ J

25 Рччхиия (13). нормированная цслсииам f*Czo) яаляатся зкагр&яаякмой а замена (12) и /*зл1*о пю*Ла. каеОа при «с.тх

Z€E |f*(z)|«a " кааечжя. течки х,<...<*-. Х.«Е. «а>ш<». чло

f (х,) J

. J-l.... .p . *

(-l)^*1« . J*p*l.....n ..

0*р*г. чю г^Сх^.х^,) Схв: —1; «х^-П. в А-С-П^.

При ьтом 1лСг0.Е.в)"Ш, а яс»4<си Х4,.,.,Х ялляюпся полной информативной сиспамоО.

В этом же параграфе строится оптимально метод восстановления и указывается алгоритм нахождения полной информативной системы.

В §3 исследуется зависимость порядка информативности от величины погрешности а. Пологам

ап(Е):-1пг^В|с(в) .

где Вп - множество произведений Бляшке порядка не выие п.

Тсореьа 15. писан. EC(^.l) - .

яножлспто

z0«c-1.1)\e.

1)' при s (Е)аа<5 .(E) С«.(Е) -1) спра—Олит* н*рсм*нсп*а

Л ft*l в

h * 1пСгв.Е.в) * п*1 . поинал, «ели z0«(-l.l)vcoE. -У

In(z0.E.e) - п ;

2) При 0СОЖ ¿fcCO.l) ,

1п(г0.Е.в) к c(E)log£ .

крояа толю. '

InCz-.Е.в)

1|В - Ч . ш с(Е) .

log £

*Оа с£Б) - емкость конденсатора (Е.С\М.

В §4 рассматриваются задачи восстановления для случаев, когда

E-i-Г.О) Cle(O.l)). (-1.0) и г «(0.1). Исследуется также задача ой

*

оптимальной интерполяции, под которой понимается задача о нахождении величины

е СЕ.вЭ: • Inf sup eCze.F.« 14 Kl «„« "

с*г«Г«п

и множества F0. на котором достигается нижняя грань.

§3 посвящен восстановлении производив« ограниченных аналитических и гармонических функций по неточньм даннь*.

Пусть W - некоторьй класс функций,, определенных в области QCC. и Еса Положим

e<k)(2„.F..e.W). - Inf м;р su-> |f<0(ze)-Sy| . 9 в:С<Е)-«С f« y«C(E) "

Теорема 18. npu *crr* CK3<1 " zQc(,-l.i)

f'(za) ---- f ,r"t}J*1«rm ^г.) .

0 D'C1-34K1-z*) j»-« sh'fi 2j-l ipl *

[) и [)' — полные яллиптичвсии* инталрсьш пер^о*о роЭо &лм 5г и у^ соояммо>ел»вс?ммо. является С'Птл/шхАЬни/* л-зто&ом восспю-

«олл^ная «>7 класса дэд по заэаммьь» не*? ян&жястаа (-1.1)

с псяр&тностСю ¡и

е'(гв.( 1.П.З.ВН ) - -Щ- - -—~-61од§ + о[ав1од§1 .

0 ° ж 1-г*> лс 1 -гр 5 5-> ■

С.помощьо конформного отображения полосы 0И на единичный круг 0 из этого результата получаем

е'С^.Я.З.БН^)) .

Из последнего равенства и общего соотношения С4) следует точное неравенство колмогоровского типа для производных Функций ГсП С 0МЭ

в в

*/» i/г

lf'lc(R)^inc(R)|f!^(V J (|r|^lvcos«t^f|î(R)sln2t)" dt. • •

Задача восстановления второй производной несколько отличается от рассмотренной задачи. Оказывается, что здесь существует некоторое значение во«С0,1) такое, что характер поведения экстремальное функции качественно меняется в зависимости от того, какому из множеств СО.в01 или Гв0.1) принадлежит величина погрешности задания исходных данных в. Значение i( является решением уравнения

Свьмисления показывают, что а#-0.2143.).

Ряд аналогичных результатов получен также для класса bh„. Глава iV посвящена задачам построения наилучших и олтимальньи ( квадратурных формул. Пусть V - некоторый класс функций, определенных в области ОСС. содержащей интервал вещественной оси Са.ЬЗ.

Рассматривается задача оптимального восстановления функционала

5 Ь

Lf:- Jf(x)p(x)dx '

для функций f«W по точньы значениям информационного оператора ïf!'-{fCx,)....f ? Сх,)rixBî... .f " CxB)j .

где p - весовая функция, а х,.....хп - различные трчки из

множества R/tQ. ;

î

Положим для -С»,.....

т:- f «Х- .

eCr„.W.p): - eCL.I.V.O) .

Из "общей теории следует, что среди оптимальных методов восстановления существует линейньй. т.е. квадратурная формула. Ее мы и

лзываем наилучшей для данной системы узлов т^.

В §1 находятся наилучшие квадратурные формулы при четных эатностях 1»1.....для классов ВНЯ и В11в.

Положим

еСр.У.р):- 1 пГ еСг„.И.р)-. (14)

1 II

х^ОпЯ

зчки. на которых достигается нижняя грань назовем оптимальными ллами. Наилучшув квадратурную формулу для оптимальных узлой будем »зывать оптимальной.

Задача об оптимальной квадратурной формул®, называемая зада-Колмогорова - Никольского, исследовалась многими авторами. Ос->внь»? результаты, полученнш для кла^роъ гладких функций, приветны Н.П.Корнейчуком в добавлении в монографии С.И.Никольского квадрату рнь» формулы" М: Наука. ¡979. Для классов аналитических чкций порядковье оценки величины С141 исследовались в работах С Бахвалова. Я.-Е. Андерсона и В. Бояновэ.

В §3 с помощью ряда вспомогательных результатов, полученных п !. доказывается существование оптимальных квадратурных формул для <5ых кратностей на классах ВНЯ и Э!\в. В общем случае оптимальниэ лы могут бьггь не единственны. Соответствующий пример приведен в

Однако, если зафиксировать отрезок интегрирования, то для статочно больших областей аналитичности (или гармоничности) инственность имеет место.

Теорема 17. писти [а.Ы-1.1). |2|<1//к| "

соаой функции р Г яохегг, эависхщ&й о/т? ^ ) при 'ас<тх С О к 3

к 21, выполнено условис

1 и

-I

Tojtöa Оля осах

Inf ГПс1-1,)*рСШ1

* j -1jml

-- s Гц > о .:

J pCOdt 1

-t . :

P'Cfl.... . .ю поких. что f [Cft,+1)/21SN u "t"*

/ J-l J

О < к s min(ka . --&4-Г-1 |

1° 18r-7+N4 jrjj1 I ■ j

лЛа Bin t(u>l)/21. агтималшиа узлы $ля классов BHLCD ) ь lsjsn j ь ц

Eh С D 3 <Юинст**нмш. e It

Для чебыиевского веса p.Ct):» 'К . la.bM-l.lJ на классах

vTt5

вн.сэе) и Bh.^). где эс - внутренность эллипса с фокусами fe точках ±1 и суммой полуосей <¿>1. удается точно решить задачу од оптимальной квадратурной формуле. Положим

I (A)-, f grciqcAu^V

ча J /-s--=-r- '

-о /(148Xl-A8lz)

1

Творена 28. q - чатноа число. ГлгЛз Оля любого с>2 W

oc<rx q-JSl> SQ имеет Место рачгнепта

J

еСу.ВНв£Зв).р0) - £<%«> - .

«der А-кСс"*®), 13 аОинетвантшт оппималыими узлами Ьалялтся чайшигвекиа узлы

' Xj!" oosfeffiw-, J-l...,.n . I

В §3 изучается также задача оптимального интегрирования по приближенно значениям функций. Рассмотрим величину öCL.IT.BF1eCDII3.a>. когда

- 33 -ял

: 1Г - J" fCUdl .

о

irf-{fCt,),.V. ,ftlft)}, tj«(0.2a) - различнье точки, а погрешность

измеряется о норме 1". laqa». Положим в этом случае ч

e-tB'Lib-).«):- 1 пГ eiL.I-.BfLtiu.e) . " CIS)

\ - * Узлы, на которых достигается нижняя грань будем называть оптимальными. . . - у'.

Таким образом, задача (15J является задачей о нахождении оптимальнрго метода интегрирования функции Г«ВЙв( D^. использующего п приближенных значений Fit,),.. - .fCtj таких, что

' [^irct^-fctj)!*1]^^? при !*!<•

или

max |Г(1 ,)-f(t,) |зв при q-« .

lSlSn J J

isjsrn

Положим

I

í 1 bAAtaJ

¿ 1 bAAt J vf l-t^C l-AV)

Теорема 19. "VC/oo Issqsa u 0s3<nv4. ТояОа ^) к-аа^ропурная формула

гя , . ,

J rCDdl - 1 -&aj"1 (l-A-1 J4CX. A3] Г [j ,

0 коаюроа ° 7l««Cе-2'61), «шился оплшкиишм матоЛом

щцпззрирсаания на класса gfj (Q ) по знаигнилм. заданным с лагрспа-

Н

ностио 5 о норма jп.

Ч'

23 имеет мгспо раа&нсгмо

«V^V-55 = 2ЯА"^2СА.«п"1/ч) -=21г6п-1^+4тгС1-агп-г/<')е-т14л5С4-Загп-г/ч)п-1/<,е-2,,[,-о[э-знл] :

t j»l.....fi> • в&Ьнстаанниа с пючностио С

J "

. соптимально узлы.

Аналогичная задача решена для класса ВН„(Эс). ,1а.ЬЫ-1.11 че<3ьше вскогчэ веса р0.

ШЕРАТУРА I

1: Осипенко К. И. Наилучшие методы приближения и порядок информ; тивности систем// Мат. св. 1980. Т. 111, M. С.532-556.

2. Осипенко К. Ю. Наилучшие методы приближения аналитических фун! ций, заданных с погрешностью// Мат. сб. 1932. Т.113, К>3. С.ЗЭ 370. , •

3. Осипенко К. D. Задача Хейнс£ и оптимальная экстраполяция а нал: тических-функций, заданных с ошибкой// Мат. сб. 1983, Т. 1Э

• С. 366-575,

4. Осипенко К. 0. 0 наилучших методах интегрирования на классах о раниченных аналитических функций. X.I Всесоюзная школа по т ории операторов в функциональных пространствах. Челябинс

1988. С. 97. •

3. Osipenko K.Yu. On epUnal extrapolation and interpolât Ion fuzzy analytic functions// Anal. oath. 1987." V. 13. *3. P.19 210. ' Í

6. Осипенко K.D. 0 наилучших и оптимальных квадратурных формул на классах ограниченных аналитических функций// Изв. АН ССС Сер.. мат. 1988. T.S2. 1И. С. 79-99. "

7. Osipenko K.Yu. Minimal Blaschke products and optimal quadr "tures in H^. International Symposium on Optimal Algorlthn

1989. Varna; Sofia, 1989. P. 135-136.

8. Осипенко К. Ю. О произведениях Бляшке, наименее уклоняющихся от нуля// Мат. заметки. 1990. Т. 47. Ш. С.71-80.

9. Osipenko К. Yu. On the Lebesgue constants for interpolation of analytic functions//Anal. math. 1990. V.16. №4. P.227-289.

10. Осипенко К. Ю.. Стесин М.И. 0 поперечниках класса Харди Hg в n-мерном шаре// Успехи мат. наук. 1990. Т.45, №5. С.193-194.

11. Осипенко К.Ю. Оптимальная экстраполяция гладких функций, заданных с ошибкой// Сердика Бълг. мат. спис. 1990. Т.16. С. 7986..

12. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. ¡0. Об оптимальном восстановлении функционалов по неточным данным// Мат. заметки. 1991. Т.50. вып.6. С.85-93.

13. Осипенко К.Ю. Наилучшие и оптимальные методы восстановления на классах гармонических функций// Мат. сб. 1991. Т. 182, №5. С. 723-745.

14. Осипенко К.Ю. Об оптимальном восстановлении многозначных отображений. Третья Северо-Кавказская региональная конференция по функционально-дифференциальным уравнениям и их приложениям. Махачкала. 1991. С.123.

15. Osipenko K.Y.. Stessin M.I. On optimal recovery of a holomor-phic function in the unit ball of Cn// Constr. Approx. 1992. V.8. P. 141-159.

Подписано в печать 21.10.93, Объем 2,25 Заказ 391 Тираж 100

Типография МАТИ, Ульяновская ул.. !3