Оптимальные кубатурные формулы для классов функций с ограничениями, наложенными на смешанную разность тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Математический институт им.В.А.Стеклова РАН

РГ8 ОД

Ч /:!!)" !.••

на правах рукописи Дубинин Владимир Владимирович

УДК 517.5

Оптимальные кубатурные формулы для

классов функций с ограничениями, наложенными на смешанную разность

01.01.01. - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Москва - 1993

Работа, выполнена в отделе теории функций Математического института им.В.А.Стеклова РАН.

Научный руководитель - доктор физико-математических I наук Темляков Владимир Ни-

колаевич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук Воронин Сергей Михайлович

доктор физико-математических наук профессор Жилейкин Яков Михайлович.

Ведущая организация - Институт прикладной математики ДВО РАН

& 7 </4с0

Защита состоится " * 1994 г. в * ' час,

на заседании специализированного Совета Д.002.38.03 при МИРАН. I

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИРАН.

,„ IV

Автореферат разослан ' " '' " _" 1994 г.

Ученый секретарь специализированного Совета доктор физико-математических наук Холево А.С.

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Необходимость изучения кубатур-ных формул для классов функций диктуется потребностью нахождения приближенного знатенпя ннтеграла заданной функции по частотной информации о данной функции, как то значения этой функции в некоторых точках п априори заданная гладкость этой функции. Последнее свойство обычно характеризуется принадлежностью функции к тому плн иному функциональному классу. Как правило, класс функции определяется ограничениями накладываемыми на производную или модуль непрерывности данной функции. Построение оптимальных кубатурных формул представляет собой как теоретический так и практический интерес - использование упомянутых формул при написании программ.

Целью работы является изучение оптимальных кубатурных формул для классов функции с ограничениями на смешанную разность.

Научная новизна

1. Доказана оптимальность кубатурных формул, построенных на основе алгебраических чисел, для классов функций Никольского и Бесова с ограниченной смешанной разностью. Рассматривались как периодические функции так и непериодические функции с компактным носителем в К1.

2. Завершено установление оптимальных порядков убывания ошибки аппроксимации интеграла по числу точек, в которых вычисляется значение рассматриваемой функции, для классов функций Никольского при условиях, гарантирующих вложение этих классов в пространство непрерывных функций.

3. Установлен оптимальный порядок убывания ошибки аппроксимации интеграла по параметру, равному числу точек в которых вычисляется значение рассматриваемой функции, для классов Бесова при условиях, гарантирующих вложение этих классов в пространство непрерывных функций.

Полученные результаты являются новыми.

Турей^ Ьу

Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались

1. На научном семинаре С.Б.Стечкина и С.А.Теляковского в МИРАН. (1990-1993)

2. На научном семинаре Б.С.Кашина и К.И.Осколкова в МГУ. (1991)

3. Международной научной конференции (Днепропетровск -1993)

4. Всесоюзных школах и конференциях по теории функций и приближений (Киев - 1990, Одесса - 1991, Саратов - 1992)

5. На научном семинаре в математическом институте Венгерской Академии Наук. (1991)

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в двух работах.

Объем и структура работы Диссертация состоит из введения л трех глав. Общий объем диссертации - 58 страниц. Список литературы содержит 18 наименований.

Содержание работы

Основная цель данной работы - установление оптимальности в смысле порядка кубатурных формул, построенных на основе алгебраических чисел и определение порядка погрешности оптимальной кубатурной формулы для классов функций с ограничениями на смешанную разность.

Предположим, что нам задана непрерывная функция /(х) определенная на всем В? с носителем из Г2 = [0; или непрерывная функция с периодом П. Линейный функционал

N

Ы/) = 1>Д<Г)

¿=1

будем называть кубатурной формулой. Отклонение этой величины от истинного значения интеграла называют погрешностью кубатурной формулы 7]у на функции /. Другими слова-

МП,

N

Ялг(/,Л*) = |£>/(£'')- / /(х)йх|

¿=1 ^

Обозначим через Лдг совокупность весов {А,}-^ иузлов некоторой кубатурной формулы.

Обозначим теперь класс, рассматриваемых функций через

Г. Для этого класса рассмотрим величину

/у) =

/ег

зависящую от класса функций и данной кубатурной формулы. Наряду с ней рассмотрим следующую величину также зависящую от класса функций

=Ы Длг^.Л*).

где ш£ взят по всевозможным наборам и {£'};=1 •

Кубатурную формулу будем называть оптимальной для данного класса, если

Лл^хДлК^Л*),

где для двух положительных величин К\ и К-2 под

К1 ж К2

мы понимаем существование постоянных С\ > 0 и С^ > О, величина которых может зависить от й, таких, что

С■> К2 < < С] К2 ■

Аналогично под

Кх < Ко

мы будем понимать существование постоянной С\ > 0, такой, что

Кх < С\К\

о

где значение С\ вновь может зависеть от d.

Для того, чтобы перейти к описанию классов, рассматриваемых в работе, введем определение модулей непрерывности для периодических и непериодических функций

<¥<?)(/,t)p= sup |К(С?)/(х)||МП), 1М<Ь

ht(G)(f,t)p= sup ||Д|11(С)/(х)|ир(л<,),

где

j6G

II

Alhj = Ahj...Ahj,

4 v* '

/ раз

a

= f(xi,...,xj-bXj + hj,Xj+u.. .,xd) - /(x).

где (9 - подмножество {1,..., d}

Обозначим через MHJj класс периодических функций с периодом Q, удовлетворяющих условиям

^(G)(f,t)p< l[ty, I > rd, VG. ¿ее

Здесь п в дальнейшем будем считать, что вектор г имеет вид

г = rt = ■ ■ • = г„ < г„+1 <•■■ < rd.

Аналогично обозначим через МН£ 1 класс функций, удовлетворяющих условиям

*¥£)(/, t)p< П>?, l>rd^ VG'

j6G

и supp/(x) С [0; l]d.

Определим теперь классы Бесова с ограниченной смешанной разностью. Обозначим через г 0 класс периодических функций с периодом Г2, удовлетворяющих; условиям

{( (Пг-'-^КОД^П^)17^1-

fka ?kс

I > r,i, VG.

Аналогично определяется класс MB£i/0. К этому классу принадлел^ат функции, которые удовлетворяют следующим условиям

fee, ¡ka

1 > rd, VG, a supp /(x) СП = [Й; 1]''.

Задаче определения величины Лдг(МН^ ,) был посвящен ряд работ. Отметим, что требуемая оценка снизу для /?Д1(МН^) была получена Н.С. Бахваповым в работе [1]. А именно,

Ял( мн;,,) > iV-'-log^-1 N.

Наряду с классами МН£ ( в литературе рассматривались н другие классы функций, как то классы с ограниченной смешанной производной или с ограничениями на коэффициенты Фурье в случае периодических функций.

Перейдем теперь к оценкам сверху. Н.М.Коробовым [2] были предложены параллелепнпедальные сетки, на которых достигается неулучшаемый порядок в степенной шкале. Эти сетки имеют следующие веса и узлы:

д _ 1

Afc - N'

fc=l,...,rf, (А)

где ai,.. .а,/ - оптимальные коэффициенты.

Из результатов Н.М. Коробова (см., например, [3]) вытекает, что в случае и = й, г > 1, р > 1 существуют такие оптимальные коэффициенты, что на сетках вида (А) верна следующая оценка сверху

Ддг(МН^,) С N-40^ N.

Н.С.Бахвалов в работе [4], рассматривая непосредственно класс МНр [ на сетках той же структуры, получил оценку сверху для V = (I, г > 1, р > 1 следующего вида

Ялг(МН*,) < Ъ^-^ N.

Для малых гладкостей Н.С.Бахваловым [5] было найдено, что в случае гр > 1, р > 1, V — <1 верно следующее соотношение

Лц(МНу < ЛГг1о^И^) дг.

В монографии Хуа Ло Кена и Вань Юаня [6 стр. 149] приводится оценка сверху для параллелепипедальных сеток при и = й,0<г<1

Л*(МН^() < N.

В диссертации К.К.Фролова [7] содержится результат при тех лее самых параметрах следующего вида

ЛА(МНГ^,) < N-40^-^ N.

Случай, когда гладкость по переменным неодинакова, т.е., и ^ с1, был рассмотрен В.Н.Темляковым. В работе [8] он рассматривал сетки, узлы которых расположены в точках вида

/ ь и \ ''''' »

где вектор в = (в!,..., в,;) удовлетворяет условию

(г', в) < т.

А вектор г' таков, что

Веса этих сеток вычислены в работе Б-Разкоу [9]. С помощью этих сеток В.Н.Темляков в работе [8] для гр > 1, 1 < р < оо получил оценку

<С ЛГр1о5<г+1Х''+1) N.

В работе [10] В.Н.Темляков доказал существование оптимальных коэффициентов, таких, что в случае р = 2 и 1/2 < г < 1 верна оценка сверху вида

Дл/(МНр ¡) <С ^-г1о8(г+1/2)("-1)Я. В этой же работе содержится результат для р > 1, г > 1 вида Д^(МН^) < N.

Основной результат данной работы содержится в следующей теореме.

Теорема 3.2. Пусть 1 < р < оо, гр > 1, I < 9 < оо, тогда

д*(мн;з1) х л^(мн^) х я-'оовя)"-1,

Ял(МВгрА0) х Я^МВ^) х ЛГЧЬб^"-1)/0', где 1/9 + 1/0' = 1.

Доказательство этой теоремы основано на результатах всех трех глав диссертации. В первой главе устанавливается оценка сверху для классов функций, заданных на всем Я'1. А именно,

г = г\ = ■ ■ • = г.

и

Теорема 1.4. Пусть 1 < р < оо, 1/р < г, 1 < в < оо, тогда Ллг(МЙ^) < ЛГ-г(1о6ЛГГ"1.

Ялг(мв;лв)« ^-"(Ьелг)«"-1^0',

где 1/0+1/0'= 1.

Сначала доказывается частный случай этой теоремы. Теорема 1.1. Пусть г > 1/р, 1 < < 2, 1 < в < оо, тогда

Я/у(мВр(0) < л^ОоеА^-1^',

где 1/(5+ 1/0'= 1.

Доказательство этой теоремы в свою очередь основано на использовании сеток специального вида, что составляет содержание леммы 1.1. Впервые подобные сеткп для построения кубатурных формул были использованы К.К.Фроловым [11].

Лемма 1.1. Существует матрица А(А(ЛА > 0) такая, что решетка, Ь(т) = Аш, где т - вектор с целыми координатами, обладает свойствами:

1. Пу=1 1^(т)1 ^ 1 Для любого т^О.

2. В параллелепипеде Р объема |Р|, грани которого параллельны координатным гиперплоскостям, содержится не более |Р| + 1 точек решетки.

Затем попользуется лемма 1.2, представляющая собой аналог формулы суммирования Пуассона.

Лемма 1.2. Для любой непрерывной функции /, заданной на всем № с носителем из Г2 имеем

т ^ ' т

где под сходимостью суммы в правой части равенства оудсм понимать сходимость следующих частичных сумм

\пЬ,(т)\<2'з

где

С

|А|<2'"1,

И

О,

в случае в ф 0, я

|А|>2%

1-|А|, О < |А| < 1, |А|>1,

п

кз(А) = П

3 = 1

После чего, доказательство теоремы 1.1 завершает использование дифференциальных свойств функций, принадлежащих к различным классам, основанное на лемме 1.3.

Лемма 1.3. Для непрерывной функции f при 1 < р < 2 имеем (1/р+1/р' = 1)

1Ы/)-/>)1

« £ Н(Д1.(<?.)/(х))||£р(йд)||Р.(х)||^(йд)>

11^11, >/о

причем

2^111

1/р

2'° < 2!о+\ Пд - область специального вида, и

= у : Зз > 2).

Из теоремы 1.1, в силу монотонности Ьр норм, следует

Теорема 1.2. Пусть г > тах(1/р; 1/2), 1 < р < оо, 1 < 0 < оо, тогда

Затем, вводя понятие симметрической разности п частично повторяя рассуждения, приведшие к доказательству теоремы 1.1, мы получаем следующую теорему.

Теорема 1.3. Пусть 2 < р < оо; 1/р < г < 1/2 1 < в < оо, тогда

^(МН^) < ЛГ^ЛО"-1, Длг(МВ^>в) <С ёЛГ)С—!)/£>'.

Во второй главе случай периодических функций сводится к случаю функций заданных на всем Л**, а именно устанавливается следующая теорема.

Теорема 2.1. Пусть 1 < р < оо, г > 1/р, 1 < в < оо

я* (мну «д*(мну, Д*(МВув)«ДИМВув).

Третья глава посвящена оценкам снизу. Как уже отмечалось, оценка снизу для классов МН^ и МН£ ¡, приведенная в теореме 3.2, была получена В.С.Бахваловым в работе [1].

Основываясь на примере В.С.Бахвалова, доказывается следующее утверждение.

Теорема 3.1. Пусть 1 < р < оо, 1 < 0 < оо, и = ¿, тогда

^(МВгрАв) > N-40^-^' И,

где 1/0 + \/& = 1.

Что завершает доказательство теоремы 3.2.

Список литературы

1. Бахвалов Н.С., Оценки снизу асимптотических характеристик классов функций с доминирующей смешанной производной., Мат. заметки Том 12 Вып. 6 (1972), 655-664.

2. Коробов Н.М., О приближенном вычислении кратных интегралов, ДАН СССР Том 124 (1959), 1207-1210.

3. Коробов Н.М., Теоретико-числовые методы в п.риближе-ном анализе, Фпзматгиз, Москва, 1963.

4. Бахвалов Н.С., О приближенном вычислении кратных интегралов, Вестник МГУ. Сер.1, математика, физика, астрономия, химия (1959. N 4).

5. Бахвалов Н.С., Об оптимальных оценках сходимости квадратурных процессов и методов интегрирования типа Монте-Карло па классах функций, ЖСВМ и МФ. Дополнение (1964. N 4), 5-63.

6. Hua Loo Keng, Wang Yuan, Application of Number Theory to numerical Analysis, Springer-Verlag, Berlin, 1981.

7. Фролов K.K., Квадратурные формулы на классах функций, Дне. ... канд. физ.-мат. наук, М.: ВЦ АН СССР, 1979.

8. Темляков В.Н., Приближенное восстановление периодических функций нескольких переменных, Мат.сб. Том 128, N 2 (1985), 256-268.

9. PaskovS., Average Case Complexity of Multivariate Integration for Smooth Functions, (в печати) (1991).

10. Темляков В.H., О восстановлении периодических функций нескольких переменных по значениям в узлах теоретико-числовых сеток, An. Math Том 12. N 4 (1986), 287-305.

11. Фролов К.К., Оценки сверху погрешностей квадратурных формул па классах функций, ДАН СССР Том 231. N 4 (1976), 818-821.

Основные результаты диссертации

опубликованы в работах:

1. Дубинин В.В., Об оптимальных квадратурных формулах для классов функций с ограниченной смешанной разностью. Матем. заметки. 49. Вып. 1 (1991), 149-151.

2. Дубинин В.В., Квадратурные формулы для классов функций с ограниченной смегианной разностью, Математический сборник 183, N 7 (1992), 23-34.

Список ТРУДОВ

1. Дубинин В.В., Об оптимальных квадратурных формулах для классов функций с ограниченной смешанной разностью, Матем. заметки. Том 49. Вып. 1 (1991), 149-151.

2. Дубинин В.В., Квадратурные формулы для классов функций с ограниченной сметанной разностью, Математический сборник Том 183, N 7 (1992), 23-34.

Туреве1 Ьу _4,щ5-ТеХ

Зак. 46