Оптимальные методы прямолинейного решения интегральных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

p Í Б OA

тдешя ЕШК УКРДИШ

BICHETTE ИАТШШШИ

Ка правах рукописи

В1ШП0В КОШШР КДРШАНОЕИ

ССТШШШВ ШНВДЫ ПИЭЛ25ШЮГ0 РЕЕННЯ ШЕЕГРАЛЫШ тИШЕЯ

01.01.01 - кмшаютэскиа аиагаз

Автореферат

диссертация на оонсзквшв ученой отешни

1

квндадвгв физлко-матемзтотэских наук

К И В В - 19 9 4

Работа Екгшнзна & отдала теории приближения Института

математики АН Украины. Диосертеция есть рукопись

Научный руководитель:

доктор фязтко-М' такзтичесгап; наук ПЕРЕВЕРЗЕВ О.В.

Официальные ошюневти:

доктор физЕко-натематичвских наук, профессор НАКАТОВ В.Л.

кандидат физико-ыатематичэских наук ПОЛЯКОВ Р.В.

Вэдаая организация:

Институт кибернетики им.В.М.Глушкова АН Украины.

'.Защта состоится

•Д

199£г. в /Г чаоов на заседании специализированного совэта Д 016.Б0.01 при Института математики АН Украины по адресу : ■<■."-

252601, Ниев-4, ГОЛ, улица Терещэяковская, 3.

С диссертацией кошэ ознакомиться в библиотеке института. Автореферат разослан С^^ Л&^Л.

УчЭннй секретарь специализированного совэта доктор ©гаихо-математических наук

ГУСАК Д.В.

ООщан характеристика работы.

■ Актуальность теш. В последнее деслтилетш в связи с потраснис ¿яки вычислительной математики особое внимание при изучении прибли-. Евгпшх методов решения операторах уравнений стало уделяться их оц-ТЕзгззацш. Выбор оптимального алгоритма является многокритериальной задачей, среда критериев которой - сложность по времени, по емкост/ (по объёму зашгмаемой памяти), простота программной реализации, устойчивость к т.п.

В последнее время в теории приближённых методов кнто' дивное развятка подучило направленна, связанное с понятием информационной сложности. Это понятие впервые сило введено в известной монографии Да.Трауба и Х.Вахьняковского "(Мщаа теория оптимальных алгоритмов." - Н.: Ыир, 1333. Оно применяется для пбозначэнил глкнималышго объбмз дискретной информации, позволяемого с заданной точностью строить приблихзлпоз решение"той ила иной задачи за минимальное число элементарных операции. .

На данном втапэ информационная слояиооть рассматривается в качестве одного аз фундаментальна* ияварзвнтов теория приближения и ; численного ааплм*»в. Палучопхэ достаточно точных оценок этого инвариант*1 для основных типов задач математической физики занимает важнейшее место в теории информационной олоиюста. Настоящая диссертация находится и русле этой проблематики и посвящена исследованию иа-формзциопяпч слокпсстн операторных уравнений, являющихся естественным обобщением некоторых важных типов интегральных уравнения второго рода.

Цель работы звклачается в получении точных в степенной шкала оценок информационной сложности для достаточно обидах классов операторных уравнения второго рода и в построении алгоритмов, ревлизукцих эти оценка, а такта в применении общи* результатов для наховдэния точных степенных порядков информационной сложности различных классов интегральных и интагро-даффаревциалыш. уравнений.

Методика нсследованзй. Основные результаты диссертации получены ' о помощьп методов современной теории нвилуч а приОлкгежй и фу1ш-циогальпого анализа. Используится оценки приближенна оуммами Фурьо по различным ортонормированиям системам, теорема о поперечника* ком-"чиктов, элементы общей теории приближённых методов Л.В.Наяторовича.,

Научная новизна и практическая значимость. В работе пэлучзпи е-шдуюцие основные результаты:

1) установлена общая теорема о нижней и верхней оценках шфор-мзця^нпой сложности операторных уравнений второго рода, оператора которых и их сопряжённгэ действуют в различные мокшане подпространства гильбертова пространства;

2) в пространство функций, сужг.руешх в квадрата, найден точный степенной порядок .мрормацпошой сложности уравне .:хй Срэдгольма второго рода с ядраж! из анизотропных классов функций;

3) в пространство непрерывных фугаодй найден точный порядок информационной слокности уравнений Срэдгольма с ядра:,и из классов функций, ккзщпх доминирующ) смешанную частнув производную;

4) получен ответ на вопрос Г.ВаЯнлкко об информационной сложности. слабо смк улярннх уравнений Пайэрлса, возникающих в теория ш-пвпоса излучения.

Работа носит теоретический характер, при атом результаты диссертации могут Сыть использованы при решении прикладная задач, связанных с интегральными и интегро-диффаренш'.альньма уравнениями.

Агспробоция работа и публикации.Подученные в диссертации результаты докидывались и обсуадались ко оемннврах отдела теории приближаем Института математики АН Укрши, на республиканской научной конференции "Экстремальные задачи теория приближения и их прилоаа-1ия" (Ккен,1ЭЭ0), на международной научной конфорэшши "Теория приближения и задачи вычислительной математики" (Днепропетровск,1993).

Осноикые результата выполненных исследований представлены в публикациях 11-5].

Структура и обьбм -работа. Диссертация объёмом 109 страниц маздао-писного текста состоит ез введения, десяти параграфов а списка цити-Р'Л'ашюг литературы из 44 наименований'.

Основное содарканке рзбогы. '

В первом параграфа представлена постановка задачи.

Пусть X и Г - липэяныэ нормированные пространства, а нрострагство линейных непрерывных операторов Н из X в У с обычной нормой

Пусть ещё множество ?^£(ХД) и множество такова, что оп'ера-торннв уравнения второго рода

г = Нг + £ (0.1) *

однозначна разрешимы в X при любых НеМл f еФ. Класс таких уревношгЛ

будем обозначать Ш«©1-

Пусть Г « i ) есть набор непрерывных функционалов в{, из которых Э1 ,Э2.....он определены на множества 7f, a 0k+1.....от на

кногестве Ф=Х. Каздоиу .уразшни: (0-1) из класса [if,®] поставим б соответствие числовой вектор

кн.1)-[ е1(В),...,о1{(Н),оь+?(1),...,<у£) ), • (0.3)

который Судам навивать информацией об уравнаниЯ (0.1), а набор Функционалов X - способов задания информант. Число функционалов 0{ образующих Т, обозначил cotJ (Т). Полоккм

( Т: сзгйЮ i U }

Под алгоритмом А' -прцблшзшюгс? ранения урааненШ ез класса 41,0} охдвм понимать оператор, соцоо. .¿влевдяй информации Г(Н,Г) в качестйв. приблитэнного решбния урашедля <0.1 ) элемент А(Т,Н,£) е X. Ка буде» прэдшздагать^что кахдьЯ алгоритм А связен с трематрлческин сзиейотеда олэмелтов опрэделяеглых значениями некоторого количества числовые параметров, т.е.

*A-{\.t Х.*,,....^*' М"» M'Z.....П}

При в '.on A(T,H,i)» ш, , . , гда значения t«1,2,...,n. зави-1 2*"1 п 1

сят от компонентов вектора Е(Н,С) и для начисления этих значений требуется выполнить лишь арифлвтичэскиа операции над компонентами T(H,f). Черчз обозначим множество алгоритмов А, которые ис-пользувт информация T(H,f) и трэбувт для построения приближённого расегшя А(Т,Н,1) € РА выполнения не более чем N арифметических о- j-раций над компонентами вектора T(H,fРассматривая алгоритмы из' • ^я(Т) естественно предполагать, что Те7~н, И < Н. Как обкчно, погрешность ez£l7f,QJ,' а} алгоритма А па клаосе К/,О] в прос1^анстве X определяется ооотаопэнием

erft7i,ffll, а) « slip 5 z - A(T,H,f) |

' E=HzVf • «X

неЯ.геФ

Пуоть Т - некоторое множество способов задания .»Информации, a Tv -миокество всевозможных способов задания информации. Тогда полета*

Е.,Г[?{,Ф1, X, г] = 1пГ ет(ш,<$]. А],

> леЛ(Т) 1 ■■

I ы 1

V, <: и

л] = ЕН[17{,Ф1. X, 7Ц]

Ьэшчшв тшэзаваог чэчую минимальную погрешность можно получить !'п класса [К.Ф1, шполшш но более чем II влемента^ ,шх. Таким обра-п м, эта ьргптляв характеризует иафоршшагацю сложность уравнений нп класса. (Я .Ф1.

В §2 привздени пркжрн, иллвстрлрукаше не практике способы за-Л'.'лия ияф.шадкдта оо уравнениях. (0.1) и алгоритмы нахождения прибли- . «йчнах решиий уравнения '.С. П. а такте пуаввдош известные раков ртлультаты по оитигазшки алгоритмов приближённых рлзоний в смысла '•л'.даасги р'."ишацйй.

Пусть е, ,<?_,.... ,е ,... - некоторая ортонормированная система »двдангов гкльбергова пространства X. Как известно, по методу Галер-

кш*а прзближашют реЕ&нйо г^- ск*

к-1

ся из уравнения Гг/, где Рп ортонроектор из X кз год-

гсрос рзнство Рп= 2рап[е1Гег,...,9п), являицэеся /кяейнай оболочкой нотщнх п .лекеитов базиса (е^). При этом неизпэслгао корф&щиейтн находятся из системы лянвЯннх уравнений

: ' п

Ск - (Х,«?к) + £ с1.(ек,Ие1), 1-1,2.....п

1=1 г' гч'г (■••) - скалярное произведение в К.

Таким образом; для реализации метода Гчлеркина нужно располагать зкпчпшями функционалов вида (Г,ек), Способы задания г<п1орушдая, спрзддл.темге найорзки таких Функционалов, будем казквагь глгмрвдмской иь'Еормзцаэй.

В §3 приводэны нокоторке янввстшю фчктн кз функционального вналпав и теория аппроксимации, которые яапо&ьзузогся в дальнейшем.-В чпст^ос.гк, приоедош вазксе'для'Дальнейшего определение предтаблич-гаш поперечника.

Пеллчинэ

Л..Г П, X 1 = шр сНатТср"'п>и>],

> цела-®,, хей 1-1 пуз Ш '■ некоторый КИЧН0К? в X, я точная шгатя грпнь берётся по всэ-

е. уравнения (и.1) определяет

возможным отображениям ш в Н-мерноэ евклидово пространство к , наливается предгабличным поперечником.

В четвёртом параграфе дается определенно прямых методов{ уквзы-таятся 0СН0В1Ш9.ИХ тгаш, а также приводятся примеры различных прпких методов.

В §5 доказана общая теорема о точном степенном порядке величгаш Е^ в гильбертовом пространства.

Пусть X - гильбертово пространство, X1'- вловотиое в X нормированное подпространство, для которого в X найдётся орт^лормлровэшшй базио Се^} такой, что для любого п

ИХ*,

■ "X

где постоянная с на зависит от п, а ?п - ортопрозктор нв врагце1,ег,...,еп).-

Обознэчхзл чорэз Щ148^ ,а2,р,т) класс операторных уравнений

(0.1) с операторами •

Пе7Г,3= ?Г,ы(а,р) = { Я: н<?£(Х-оГ), н*еШ-Хв),

|Н|г+1г < а,. !Пв|г,хз «а,. |(1-н м « р}.

и свободными членами

1 е Х^ = { ± ч Хг, ^| « 7

Отметил, что в силу рефлексивности; гильбертова пространства X мохно считать, что н*е £(Х,Х). Мы ке дополнительно требуем, чтобы Н* действовал в I дпгространства Ха с X, т.е. н'е С(Х,Ха). Пусть

Пп- Н)«[1,2гт] и [гк-1,21:] . [(,2гга-к] и . и [1,2гт] < (1} и [|,2гп-к] - (гк-,.2к]

рассмотрим■галёркипскуп ипфэрмзддта Тт об уравнениях (0.1) из класса ®г*3 определяемый набором функционалов

Поставим теперь в соответствие каждому оператору Не7£г,в конечномерный оператор .

и рассмотрим алгоритм А е^к(Т]п), N к п>2ап, при котором кшвдому урав- : нениг. (0.1) из класса в качестве приближенного решения сопоставляется элемент , ■ ■ •

г,Зо находится из цг'ращгашогр процесса

р, в, - рвиеипе уравнения с кошчнокэрным оператором ' а. - НР в. + Р -Г, и - [ |з 1

1 т 2*1 1 2<т 3

В дальнейшей соотаотенш а < Ь Судет означать» что начиная с

и га

некоторого и0, выполняется шравэдство ап «5 с>0п, гдэ постоянная с не зависит от га. Кроме того,. ао х ьт означает, что одаовреканзо выполняется соотношения а « Ь в Ь « а .

са п т о .

Теорела В.1.а Если для вродтэЗлачного поперечника имеет место оценка

Л^Д) * к"г»

то при | < а € г

Н_г « кД^д] « ггг.1ог|+'н.

При этом оптимальный порядок Ец^'^Д) а степенной скало доотввлявт

гэлйркинская информация '1т и алгоритм Ат при п<гг® * М.«

В' заклшеншэ §5 доказано слвдотвав кз а той твораш. с*

Пусть Я - произвольное подаюогество и1"*". Через обозначим

класс уравнений (0.1) с операторами Н € Н с Нг'е и свободными члена-

га г«*!, т

. Сдвдслгвие 5.1. с Пусть* выполнены условия теорема 5.1. Для любого Ч с «г,в

1Гг с х] «

При этом оптимальный порядох Х^Ф^Д) в степенной шкала доставляют

алгоритм и галаркинская информация Го(н,Х), N * т*2'

£т в > — — •

Результаты 85 опубликованы в работе 151. В §в с помощью следствия из теоремы 5.1 найден точный степенной порядок информационной сложности уравнений Фредгольма

t

Z(t) - Hz(t) + i(t) я Jh(tA)'Z(t)dt * t(t) (0.2)

О

о ядрами из соболевских классов.

Через Щ,в обозначим класс интегральных операторов Н из (0.2)

для которых j (г-hJ J 5 р, а ядра h(t,x) имепт непрерывные

частные производные

, , i+i 1

^ f 'г 5-, a b(t,T)>a 1 2

I Цр-тд?-)— "

oi i J (1 ° °

V в

К рассмотрим класс интегральных уравнений (0.2) со свободными членами 1 из пара Ь| (0,1) радиуса 7 в пространства l£(0,1) функций

f(t), у которых г'1"-1* абсолютно непрерывна на [0,1 J, а Г(г) е Ъг?

» Ь2(0,1) и операторе:,ш Н е ,

Tecpesa 6.1.п При ~ < о < г г,а -1,2,...

ггг г ^(^-"д^ОИ)] « rr^osf'а.

При этом оптимальнШ порядок в степенной скале на класса реали-вует алгоритм и галЭркинская информация Tm(H,f), т<2г'а х N, построенные на базе ортонормирований система полиномов Леаандра.0

ЗалвчанU9.a Пусть Т0- множество способов задания информации об уравнениях из класса при которых в качестве функционалов

01(Н), Qj(t) гстгальзупгся значения ядер h(t,t) и свободных чл( эв I(t) в некоторых точках. Отшгод» что способа задания i формации из TQ традиционно исшлъзувтся при приближенном решении интегральных 5 уравнений Средгольиа второго рода. Из результатов К.В.Емельянова я А.И.Ильина слэдуег, что при г=>а

г

^•М2(о,1),г0] » яГ *

Сравнение этого соотношения с теоремой S.1 показывает, что трада-цяошш способа задания информации об,уравнениях Фредгольма второго рода tie позволяют строить оптимальные по информационной сложности алгоритмы приближенного решения.0

Результаты $6 опубликованы в раби-гв СО'.

В §7 приводится применение . теоремы 5.1 к оценке сложности

нъкоторид классов кнгвгро-даМвреициалышх уравнений.-Результата 57 опубликованы в работе С41.

Восьмой параграф посвящен примаивнив теоремы 5.1 для оценки

информационней слозаюсти слабо сингулярных уравнений Пэйерлса:

1

гш » НьгЦ> + í(t) а |Е(|г—т| )'Ь(х)'г{х)йх + ¿(1) (0.3)

о

где

со Ц1

Е(и) —с^- гпи + У (-1)1"1. - , оп« а,ет72.

Ь1 1'11

рассматриваемых в ».жзстранстве 1,,(0,1 ).

•,■•'•' * 1/а

Пусть Уг(0 1) есть пространство Соболева, Я2 (0,1) - пространство функций 'е1<_(0,1), для котор'

! I ' ! ' '

т , := Г ( лр ' ./г - < а,

где (Г,К) - интегральный модуль непрерывности функции 1«1.г(0,( ), й В1 ,к(й) - есть множество функций Ь(*0, .которые имеет не более чем V точек разрыва первого роцз

г0= о < %< гг< ... < гГ< 1,г+)= 1, г=г(Ь) «

и для г е 1«1,г,...,1ч1»

! 1 ' г1 1

¡Ъ(1;)| + | ыг> | «а

Обозначил через класс уравн&ниа Пайерлса (0.3) для которых

Ш) £ В1 ,к(й),

[ Гх-н. 1 ~ 1 « р,

«Ьг(0.П-.1.г<0.1>

а свободна члены принадлежат шару Н^ ^ радиуса у в пространстве ^(0,1). ' • Теорела 8.1. в

« гЦ ьг(о,п } * м"1.го£§н-

При . гоч для класса '1 /г оптимальный порядок информиционпой слоя-яости в степенной шкале доставляет алгоритм Ат и галёркилская информация Тт(Вь,1), К я Ш'2гт, поотроенше на базе системы Хаара.и

Зол, чате. На симпозиуме по методам рэпония сингулярных уравнений (Тарту, 1Э89г.) Г.Н.Вай :кко поставил вопрос о точном стопеяшм порядке ннфоркщютюй сложности. Теорека 8.1 даёт ответ на ; вопрос

Г.М.Еайникко для уравнений Пайерлс. , возникают* в теория переноса изучения.

Результата §8 опубликовали в работа 151.

В §9 рассмотрена задача об огавйэ вэл-,ия"Ч Е^ для уравнений Срэдголша, ядра которых; прянэдд?хзт классу функций с "доминкрупцэй смепаяноЯ производной", в пространстве С « 0(0,2x3 непрерывных но Ш,2тс] 2к-пвряодичеиая ф/кздй.

Пусть 01"= С"Ю,2тс), г=1,2,... ,-простраксгео г раз непрерывно яийфэренкируекшс 2т-пэраодаческис »йгакетй «с нормой |Г|сг = |Г10 + + |г<г5|д, V,1''13- линейное етострэтство Етс-пэриодачвских по хахдой пзр°'?ен5сй функций у которых частные птхжзводныв

из

-т—;-. 1-0,1,....Г, 3-0, 1 ,... ,9,

непрерывны но квчдрэтэ 10,2тс]«С0,2тс1;

г а

= ад17'®, £ £ тог < а }

1-0

Обозначим чероз = 7<£*г(а,р) класс интегральных оператора

8к

Наш -/ г1<г,т).г(а)йт

о

для которых ¡1(1:,т) * и Ц1"-]' | ^ £). Классы уравнений (0.1)

со свободкгап чл^нетя ЦТ;) из шара сГ радиуса 7 в простраг тве 0Г л

т

Ч

Пусть

оператЪрмта Н с обозначим через

B'n) - |o,2n-l]»jo,l] и" [0,2p(CTl-l]v[m,mnJ,

где р(тг.)=1 | '{n-il + Jo^ml)), Ш - целая часть т.

Рэесяотрта способ задания информации T3(H,f) об уравнениях (0,15 таз мяссв v£,r, определяемый набором функционалов

Т2(Н,Г) | <ccs(mu- Щ )-соз(ku- ^

Yt<v)*<co3\-Xu- Щ )c*i, 'Sin;, ьп,1;...гг1--1, i,j-o,i )

о . J

а аягоритя при которой каддоиу уравнении (0.1) ик • класса

Uq в качества приближенного решения сопоставляется влеыент Z(An) - An(T2,H,f) - V (l-EnS2q)"1(Vgri_,í + Нпгп- g.

где ¿n - реиение уравнения с конечномерным оператором г ■ ES „s+7 .í, q»l з J,

n n л 2 J

vm и Sm - соответственно суммы 2влле Пуссена и Фурье, а Нп - некоторый конечномерный оператор который ставится в соответстт в оператору Я € t?£'r и для построения которого используется информация fg(B,í). Teapeja 9.1. г При г=>1,2,...

*а[ щс,Г- 0 ) *

При атом точный порядок еД Т ] реализует информации T3(H,Í) и

алгоритм Ад, 3 •- 8(п), где п определяется из соотношения 2 х Н Q

В 1986 г. Х.Вожьняковский поставил вопрос о точном порядке ни-Сормвциошюй сложности уравнений Фредгольма второго рода с ядрами в свободными членами из определенных функциональных классов. Теорема 9.1 дао ответ на вопрос.. X.Вокьнякавского для случая уравнений из класса 5'J'1".

Результаты §9 опубликованы в работе ИЗ.

В последнем параграфе рассмотрена задача об оценке.информационной сложности многомерных уравнений Фредгольма с ядрами из классов функций Соболева в пространстве Ь^Ср) суммируемых в квадрате на Q™» »[0,Zitln.

Цусгь y£(Q") - проотранство Соболева ггс-пэриодических функций от п переменных, i ^(0") - иар радиуса у в этом пространстве.

Обозначим чёраз ?¿2 a(a,P) класо интегральных операторов

JfctVte.....V - J —V4..........V^V'^V

Q™ -f у которых ь с rf (а2®) и I fi-al I * р,

а,а 11 J 'l2(Qra)-b2<Qra) i

a через - класс уравнений(0.1) о операторами Н е т и свободными'членами t « Т(СГ).

Рас мотрим способ задания информации об уравнениях (0.1) йз класса

К'

О Гг_2т

ш,1) - тВ). п со3(1^- ~~ }йз, г е г2т(п). V.

о

| 1(7). П соаГК^- )Ч7, к е у^ОИ |,

где Г_(п):= {(-г,...,^): К, •••тв1 < п }, ч-['.У п ),

а к а I - векторы с цолочислеппамя координатами я поставим п соотЕотстЕлэ ксздому оператору !! с и конечномерный опэратор

.....V - X .....^ап'«»^—лгп-

гдэ

.....

2Ш

¿2п

я р.(1) - число кокзсне«..ов вектора I, отличных от нуля.

Рассмотрим вцё алгоритм д" е , при котором каждому

урзЕленип (0.1) из класса ££ ^ в качестве приближенного решения сопоставляется элемент

га») - Ап(^,а- V + нп2р- 2р)

Где зр - решение уравнения

2 - Н 5гаг + БТ, р = 13п<1п ), Ч - ),

р п р р ч * ^

- —1— .Г V П. саакль.-т:.)'Г1Ч)лЧ.

* (2тс)° •!„ 1=1 1 1 1

0я

к - вектор с целочисленными координатами.

• Гесре-гз 10.1.п При г, пЫ,2,... ответ место соотновение

г 2т-1

н~ 5 « Ем( ] «¡и" ™ .(говн; т

Г 1 . о

Оптимальней порядок га» ^ ) реализует способ, задания инфэр-

мацга Г) и алгоритм А®. п

Результату 510 опубликованы в работах Г2.31.

и

Автор благодарит своего научного руководителя доктора физико-математических наук О.В.Пераверзэва га вннманяе и постоянную помощь в работе.

Основные полашш диссертации опубликованы в сладушри

1. Шарило в К. К. Слогшосгь ура^зния Срэдгольма IX рода с ядраш кз классов с доминирующей смешанной производной // Укр.мат.Еурк. -1990. - 42, в 8. - О. 1138-1145.

2. Шарапов К.К. .0' нка сложности реввниа маломерных уравнений Фредгольма II рода.// Респ. науч. конф. "Экстремальные задача теорк-i приб. кения и их приложения", Киев, 2Э-31 мая 1990 г.: Тез. докл.-Киев, 1990.- 0. Uj.

3. Шарапов К.К Оценка сложности приближенных реаеккй многомерных уравнений Оредгольма II рода.// Современные вопросы теории приближения а комплексногг анализа,- Киев: Иа-т математики АН УСОР, 1990.- 0. 127-136.

4. Шарфов К.К. Сложность решения некоторого luiacca Ентегро-ди^фа-ранциальных уравнешй // ЫЬкнер. конф. "Таор1я наближення та вода?! обчаслюаальяо! математики", Дн1пропвтровськ, 26-28 трав. 1993 р.: Тез. доп.- Вад-во ДЦУ, 19ЭЗ.- С. 209. .

Б. Pereverzer S.7, Sciiaripo? 0.". IriionEatlon complexity о 1

equations о1 the aecond kind with compaat operators In Hllbert space //J. of Complexity. - .1992.- 8.- P.176-202.

^ .Сотах:

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Получена формула,'выражающая преобразозаяшх Фурье ра-.'•юнаяькой фуютии с лянейньш особенностями суммой кратных скальных гычетов.

2. Найдены формулы, представляющие интеграл по К" радио-альной функции с линейными особенностями суммами кратных ло-альных вычетов.

3. Сформулировано и доказано условие абсолютной сдалимоетн ратного интеграла Меллина - Барнса.

4. Получена формула обращения дляннтегралаМеллнна-Барнса.

5. Получена формула, выражающая двойной интеграл Мелли-а-Варнса рядом локальных вычетов.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ '

L. Жданов О.Н. Одьрдсдетсдяинтегралов радгпшадъных-фуютпгй . п переменных с домолхью вычетов // Известия вузов. Математика 19S7. №8. с.82-84.

I. Жллпст О.Н. Нахождение обратного преобразования Лапласа сотого класса рациональных функций двух переменных // Исследования ио комплексному анализу. КРУ, Красноярск 1SS9. с.4-8.

5. '--Кланов О .И. О нахождении обратного многомерного преобразования Лапласа одного класса рациональных функций п переменных с помощью локальных вычетов // Уравнения математической физики и теория функций. Красноярск: КРУ. 1691. с.63-67.

L Жданов О.Н., Пих А.К. О вычислении преобразования Фурье раапоналышх функций с линейными особенностями // Многомерный комплексный анализ. Межвузовский сборник научных трудов. Красноярск: КРУ. 1994. с.58-68.

5. Passare М., Tsikh A., Zhdanov О. A multidimensional Jordan residue lemma with ал application to Meffin-Bajnes integrals' // Aspects of Mathematics. V. E26. Wiesbaden: Vieweg, Ferlag. 1994. 250 pp.