Оптимизация дискретных и дифференциальных включений с сосредоточенными и распределенными параметрами и двойственность тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ
|
Махмудов, Элмхан Надир оглы
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Киев
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1991
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.09
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
Киевский ордена Ленина и ордена Октябрьской Революции государственный университет имени Т. Г. Шевченко
, Спедиализированный совет Д 068.18.16
На правах рукописи
МАХМУДОВ ЭЛМХАН НАДИР ОГЛЫ
УДК 517.97
ОПТИМИЗАЦИЯ ДИСКРЕТНЫХ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИИ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ И РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ
(01.01.09 — математическая кибернетика)
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
- Уместно будет 1СП01.ГНИГБ слова З^лсрз "... Во реей, 470 роисхсдаг вс Вселелиой, прокаяаегся дв“с5з::е некоторого л эвилэ аковмука ют Такте я по Лея ввиду нот кяр является .
эилучюш из все:; зозиожнах ш?ов, и поэтому зэчоиы его иокно шозтх эксарейольныги'прянргпал'и, на оскор* которых человечест-) стремится к оптаиуау, зыб::рая лучки з из %сех «ариэнтов в лре<* щах тех возконностей, который; оно располагав!, причем каядый 13, поишо необходимое® поогрсить иэте^этячеслую модель, отрс-> формализуем понятие "наилучсий", "оптимальный". Простые задана экстремум такие, как изопериневрическяе свойстве круга и рз, задача Дидогэ еще были постазлзны античной наукой и нахо-г св09 отражение з трудах Аристотеля, Евклида, Архимеде, Апол-ния. ' -
Начиная о ХУ1 века поставленные И.Келлером, П.Серий, Х.Гю-нсои, И.Ньютоном, К.Бернулли, Штейнером, Д.Тильбертоы задачи ззывавт сильное влияние в зарождении вариационного исчисления, с области математики, оодерязцей в себе в зачаточной форме I основных средств современной математики - обобщенные'функ-I, выпуклые фигуры, их поляры и т,д.
Уже в сороковые-пятидесятые годи была создана теория линей-'о программирования. Почта одновременно появляется такие проб-:ы космонавтики, как доставкз управляемого аппарата на луну, ии образов, экстремальные задачи воаникаюз как при реиении эч естествознания, экономики, техники, так и в самой матема-е. И примерно в пятидесятые годы была построена теория опти-ьного управления, которая своим развитием обязана нуждам збных задач. Центральное иесм з теории оптимальных'процзс-зениыаюг пряншп максимума Л. С.Понтрягйвэ и метод данага-юго лрограммироваяия Р.Бэллмана. Составной часггыо теории
управлявших процессов явлпвгся дифрепенцивльные ЕГри. фундаментальные реэ1лы8!гы в эго” облаем принадлежат Р. Айзексу, Л.С. Понтрягину, Ц.Орасовскоыу, Е.Ф.ыкадяко, Б.Л,Пшеничному, А.Б. Куряаноноыу, А.И.Субботину, М.С.Никольскому, Н.Сатииозу и др. Принцип иаксаыуив к теоремы.Куна-Таккера з задачах с вып~'яоЯ отрувтурой оказали существенное влияние нз развитие и создание общей теории экстремальных задач; в работах А.Я.Дубовлцкого и Милютина, Л.В.НоВтэдгв, Б.Н.Пшевичиого, .А.Д.йойе-В.Н.Ткхоиир! ХДалкинэ, Р.В.Гэцкрелидзе и др. ивлокены различные схемы полу1 ния веойходишлс условий. ' -
' Следует оказать, чю в силу важности приложений теория да отвеннссги является одним из центральных направлений в задачах выпуклой оптимизации и для разных конкретных' случаев интерпрет етоя по-рэзноыу, Крока того, двойственность зачвстую дает воз! ноо1в\упрротить вычислительную процедуру и построить обобщение решение варивцйонных задач, нвииеюдах клвссического решения.
^ Попика вшеуказввных Ккзссов зэдвч, процессы описываемые многозначными отображения®, представляют один из интересных ; ДбЛОВ теории ОП1И118ЛЬНОГО упрввяанип. :
{• Наша работа поовшценв исследованию некоторых экстреиальн задач, овязэаных с ыаогозначныии отображениям.
- З -
- ОБЕАЯ ХАРАКТЗИІСГИКА РАБОТЫ
Акту э ль кость тсаы. В последнее время, стало привычный после-аонэнке задач, воглгакеютх з современной ыэтеиатической теорпи гпрэвляемшс дянэютеских о”стеиі в зх^'ервндаальних играх, в сехаике, при оппсаяйи моделей ококоетчосхої! динаїшки и т.д., о юноад« аппарата иногознзчзых о то браке кі П, По-вадикоыу, впервые шогознзччые оісбрз.чеяяя Срс: использованы К.Куретовскии и Дхоя 'он iïeîîMSHoa, ДальлеПцпе птхтлозг^ння «х привел.: к становлению я 'ЭЗВУТИК теории кйогозязчйых отображений. Различные вспекты ЭТОЙ еорш: (непрерывность, кзаеряйобть, интегрируемость, дий^еренци-уекость, cyaeCTBOBSÜÇH иеподзкхкых точек Й др.) и ДК®вреНЦЙ8ЛЬ-их включо!ш2 - ди&ереяскэльиьк уравнений с многозначной’ правой эстьв - отражены в рэботэл СД!.Асеева, О.Й.Алимова, В.Ф.Демья-ЗВ8, К-П.Сбэнэ, А.!!.ПзН8Сюк8, 3.Л.Плотников*, В.С.Половинкияа.' ,!•?. Руби нова, А.А.'Годстопогова, А.Ф.Фихиппозв, А.АЛеллвнэ, ,!’ароо, С.Олехе и др. , ' .
Б.Н.Пиеикчиш я его ученикам с использованием аппарате доїльно сопряженного отображения (ЛСО) к шюгсэначиым отображе-да получен цели'«! ряд'веяных результатов в области. випуклого 8J31!c!8, необходашдс условия экстремуме к дискретных'ЭКОИОНИЧвО-X иоделей.
В работах В.Й.Блэгодэтских, Р.П.Федоренко, А.ФкФшшппова, Бруновзкого, Х.Харкоа, Ф.ІСяарке, Р.Рокафеллзрз рассматриваются дач:: оптимэлшого управления для дяЛферэтралщнх включений, боты Ь.!1.Блэгодатсш!х интересны тем, что благодаря умению TO.'ÍTb В8р:іЗТїИЮ оптимального реиеипя удается перенести принцип
<С!5>.!7!.!8 Н8 ДЛ " !ЄрЄЛіуЄЛЬИОЄ ЗКЛЮЧ2НКЄ.
Некоторые яосяедсгзнйя гарубетгс эвгсров Бзрбу Виореля*) ?к£а Данэх^ песвядезц ваводац наобхо'дкиых уодовкй аксгрекума-для задач управления с распределении;:!: параметрвми в эбсгрзкгню гильбертовкс просгрэвствах. Как правило, наряду с друглии огрв-вичяселъны!.!-' у слоек ли; сдслэипке в нглг работах подходи требую! введения операторов о 1гакс::к8г.ьао иокотоииш гретое,
В рэбозеххх^5з15 Хну ьзко при предположениях непрерывно Я ДИ<Х-9ГеК«йруейОС£К опорной С-УЖЦМ к икогозкачиш отобрахвшям, существования локальных сечекы ::ли "бдкзкпх" к этоку условий и вь'пуклознэчйэсгд :: ког-’лакгпозпзчноста ккогозязчкого отображения рассматривался зодзча опингизаакн для дискретных включений о распре?злеяинап пврокгетранк гиперболического типа.
Поэтому опгашзвякя более ологных объектов, представлял^} собой дискретные в дилере нцкашше включения с распределенный параыагрзш! разьчос кшов, а тают некоторых классов с сосредок «екнш параметром, йшрукдаоя- ва запах обда предположениях, является в'зеы.'э .актуальной, Прк зюя веивлиЗ аптерсс представд. ет посгрсеиае теория двоГ-сгавйкосгл к гжеазлогаглии задачей с внпуклоЯ структурой, ко нбЪгукдап которой основное гоя нз идее явоботвекзоог: иепду оперой» я:л сложения к ви'^ииальвоР. коаволю «ии выпуклых фуикда.1, . . ■ ■
х) В ач£и \Ziout ТА г &те-орЫта£ соЩъо^ искЫаиомхС Ш^о ЯупаипСс ргомсипмм апс1 ¿Ае ma.xim.um1>ыпс1(&.-%е*£. Ли* Ma.iL, 1Ш, №113, р- 1-13. хх) ТЦа. %)а.п. ОрЫМай£у соп4сЦоп$ ^оь сйЛг&иЬмх сог&го?
рьеМем! \ffitk ■ коьйлшъ яЫЬе. е^мИоп.-$1к^А. 0. Сои апсС ОрИшИ., 1985) \/с£. ¿3, 01, р. 8£-ЦО.
ХХ5С) Ф.Хыу Шок. Спорны!* привцхп з -дискретных процэсезх. г Ди($ерекц.урэваеная,-1575,. т.п, )!; 8, с.1485-Шб^
Цель работы. С применение« аппарата ICO целью настоящей работы в основной является: .
- Получить необходимые и достаточный условия опткиэдьноога для определенных классов задач, опясывоеиых дискретным И ДИф$в-рвнциальнкш включениями с сосредоточенным парачетрои.
- Распространить необходимые и достаточна» условия зкстрз-
цуиз не задачи с дискретныш и даф$еренц::альимми с распределенными пврамегрзш пэра богаче скоро, гиперболического и эллиптического типов. <
- Построить даойотвеввне задачи к изложенным задачей и долезать георзин двойственности .• .
Научная новизна. Б pe Cote получены следующие новые результаты:
1) Изучены некоторые свойства J1C0 и связь его о оопрдаен-вш отображением. * ‘
2) Получены необходимые и достаточные условия оптиыальности для дискретных включений с сосредоточенны» параметром.
3) Сформулированы достаточные условия оптимальности' для дифференциальных включений о сосредоточенным пэрэютроу.
4) Получены необходимые и достаточные условия оптимальнос-
ти для дискрета включения о распределенными napeiíespa-ии: ■ .
а) Гиперболического типа;
б) Параболического типа;
, -в) Эллиптического тяга.
5) Б двумерном случве с нрпиенениеи доказанных теорем
эквивалентности получены: . '
в) Теорема существования в задачах типа Гурсз-Дарбу;
б) Необходимые и доотакочние условия, экстренуиз для
' дпсхретио-эппроксиызционкых задач, гиперболического, пзрабог.кчеокого к эллиптического гипсе;
' в) Достаточные усяокй экс^ремуга для дк^. аренда алъкнх включений гиперболического, пзрзбол!:ческого И е'ЛИП-ткчеокого 5ШОВ. - ■ ' .
' 6) Сделаны некоторое обобщения на шогоиерныЯ случай с эллиптическим оператором второго порядка в непрерывных задачах* ?) С- использовакаеи операции инфютльной коквошдаи построены двойственкне задачи, описываемые: -,
в) Многограйньош отоСрзкежяш с сосредоточенным пэрзыет-
, ■ ■ рои; . ' • . . ■ ■
б) Зыпукяыиа днскремымавключениями с поодедепствкеи и , о сосредогоченнш trapaueipoMi . . .
' в) Выпуклые доокретвши и даффвренцивльвнмз ввотченияии мае Гурс0-£арбу; .- • ' . -
г) Выпуклыми параболическими, эллиптическими и гисерболи-
ческини яиффврвнцививыки включениями; - :
8) Д0К838НЫ 'Морвин ДВОяСЯВеНЕОСОТ. . . .
£) Изучены НвОфСОДЕШе И достаточные условия ОП5йМвЛЬЙООСТ
■ ' ■ . , - ■ '-V-. •
..и связь лежку рвившяаи пряной и двойственной задачи. Методы. В рэботэ используются методы выпуклого и негладкого 8Н8НЙ38, теории ЛСО и локальных Ш*ров-.'
' Теорестчеоквя и практическая денносгь. Полученные в нашей работе-результата йогу* вайта многочисленные приложения в различных областях внэвий и теория опгимеаьворо упревлвния, наприиер, в облаоот выпуклого внвлизв, при описании иодалай вкопожческой динаиики, при исследовании згациокврн'юс процессов различной при-
рода (колебания, глектпоотэтлко, теплопроводность, диффузия, гидродинамика, гагодплз!..лгз), яти изучении лроцессоз сорбции и десорбции гзсоз, су яда, изучения язлек:::1 в хиадческих реакторах, в такте при построена к алгоратгав 81ч::сл:;гельних процедур.
Апробэцгл пэбо',"!;. Оснсз:шс рэзудьтзти диссертации были . обсукданы: . -
- нэ Всгс01с'?:;си У созе^эзггп “Управление цяогоогязнмм оио-
тегз!.:::", Тбг;.::сл, 191;4. - .
- ка. ивгдунэродЕс:’ Ео«>!:в:дп: ПУ !' ;"Л " SysUtri .
wdeC&n,(j Oind dptCmltatiOfi‘\ ТДР, Лейпциг,1989.
- В иеудународной t:o”'2f;aT:i4ccKot: центр® имени О.Езнахв,
■ ПИР, Варкзвэ, ТЭ89. ■ , , ' ‘ .
- на Роеглрвааои ..аседвкаи uiKose-cet.r.t-apd по цвтвиатичао-ко11 зконоу’/кв, Сз::у, 1990. Ч' ' ' .
- на Ш ВсвсоЕзно:: с. ко во "Прмрягквскпе Ч:2Щ!Я. ОПТИивТфВОв' управление. Гоом^рия s*. вшпкг*1, Кемерово, 1990.
- на ае^яукзрбг.го.’’. ков£еренц;;’.т ХУ-ИГЛ " . ynod&ttcn.^ CLtui OpttWffltiQI1;£ве!!ц8рия, Цюрих, 1991.
- 153 Всесскзной КОК'егв'Щ!!!! "НегПвДККЙ вВЗДИЭ И 6Г0 ПрИЛО“ г.енкя к катеивтяч-гсго!! зкошжке'*, Беку, I99I.
- на сеикиврвх в ?ЙАЯ СССР 'ш.В.А.Стекловэ.ИК АН УССР,
ЖГУ к^.А.А.Кдзново, йК и ПШ АН А?ерб,Республика. .
Публ1*каци». Ссновниз результаты диссертации опубликованы . работах /1-15/, вврвчиояенних в гонце ssropeГерата. •
g?T,VKTyvU ¡; 06b'eti работу. Двссерта^я водврйи* 293 отрв* зц нош:полисного текста и постоит ¡is введения, вести глав а шока литератури из 151 наименований. .
t
- - 8 -
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАЕОТН
I глава посввдеза различным исследованиям теории шюгознзч-кых отображении и оптимизационным гэдачаи описываемым тзкиыи сгобрзленкяш. Пусть Х.У - конечномерные эвклидовы просгран-
еУ , то пзра
(Х,у) обозначает некотсрую точку 2 пространства 2! . Скалярное произведение з рассмотренных пространствах будет обозка-чвтьсп СК-ВОЛОК . .
ОПРЕД-ЭДИТВ Iх) /ля иногозвзчвйго отображения д ЛСО определяется формулой
¿V; Ф{*‘* К>)], *= Сх,^)^Х«Х ї *X
• V*) - сопряжеяшй еыу конус.
Б. 5 1.1 развивается техника вычисления ЛСО для слогкях и, вообще говоря,, иевыпуклых многозначных отображений, т.е. для таких как пересечение, прямое Гфоис'Вед»н'.;е, композиция и т.д. Такие операции естественно возникает при решении опмюзвционн задач. Наприиер, пересечения икегозкачных отображений возникав в некоторых аэдзчах математической ы'овдиккк и условие о налич внутренних точек ОбеСПСЧйЕвеТСй усилеиниы условием Эрроу-Дебре В- моногрбОш:хх^ 1.-П,0бе”э к К.Экяаид» для, обратных ото бронею а герглпшх барьерных конусов к в некотором сиисп« определении; сопрякетшх отобрэгевиЕ выводится -’.ругвя формула, .
х) Певкичиий Б.Й. Випукпи?. 8й8лкз в вксиреиальша задача. М.: Неука, 1980. . -
^Обея 2-П., Экдввд И. Прикладной нелинейный анализ, : Ш] 1938. ,
ствз И 2=ХкУ ток, что если X •X.»
В § ЕЛ вводится понятие герхкей выпуклой еплрокскгзцик (ВВІ) В.Н.Пшеівчиого для фуикцкЬ, которое успешно прккеяявпя при реиенип негладких задач опткккзацми. Негладкие задачи оптимизации ВОЗНЙН8ЮЇ гж прм решевид Пр8КК;чеСКЯХ ^ЭД9Ч, Т8К и в самой ивтаавтике. Нвпранер, задачи чебиаевской а-ппроксиизцки и некоторые оуїдестзукдає нзтеі.:ат:пеские конструкции напрэзлешше явления относятся к гении задачей. Огне ¡сим, чтв для выпуклой непрерывной Функции ВЗА' совпадает с прояаБоднш по направлениям, е субдифйзренцгсэл, определенный через ВВА, с обычным оубдйффе-ревцивлои. В ЭТОМ НЗПР8ЕКЙНК имеются разные понятия субдафферен-циалов В.Ф.ДешьЕНйвэ, А.’’.Рубинова, Н.З.Еорэ, 0.Кларка, Дя.Зэргя и др. ’ -
Пусть CL - выпуклознзчаое отображение.
Полокяы ' •
= 8S0--(X)}, ÿ«y.
“Cxiÿ*)={g6a(x): .
Для выпуклых отобрахениa Û. ~ выпукло) инеег СМЫСЛ
:ледующее обозначение -, . ' .
кажем, что а ограничено, если для некоторого констэнтэ С
. Многозначное отобрзкение Cl удовяетзоря-т условию Йштшица, если рґа<х,),асхг)Н I il х, ~ Х2 |Г, да L - посмянвая, ар - хаусдорфово расстояние,
В § 2.1 доказана
ЗЕОРБМА I. Пусть (X - вняуклознэчвое зэжкутое ограниченное непрерывное, удо!летаоряккее условию Дипвицэ отображение,
Для. выпуклых особракекий у Пшеничного Б.Н. кие его я аизлогич вый результат. У
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Сдедуздее отображение
д^а. - конус, то ззо определение совпадаем с ранее извертим определением Б.Й.Пшеничвого. •
ТЕОРЕМА 2. Пусть <Х - выпукло а замкнутое отображение. Тогда сопряженное отображение и ЛСО к (X связаны следующий’ соотвоввЕиеы: ''
где черта сверху означает ззиыкэвио.
■ Б § 5.1 ресси81ривавтся эхсзреиэльвие ведачя для дискрет)
Гокзфвдлвр Р. Выпуклая эвадиз.1*,; Пир, 1973.
и дифференциальных вкгдаенл’, з котерих икогозизчгие отображения задаются ввогоггэннии итгесгвея!. Ког, правило, выпуклые задачи виесте в другими требуй наличия виутрзшел точки - стандартного условия випукдого анзлкза, Но последнее уставке, исходя из спзчи-фкки постввлекнеü задачи, является яздясг/и, и это обстоятельство позволяет уиросчу.тв *ov:rjmpaBK!¡ ряди результатов. Кроие необходимого к coci5"04.icro условия сик'лальгости, в данной параграфе <*сгкуллг1'егоя "слее::!; сгггест.-шз::.;а дспуст'То!; траектории в задаче с дяскрэттог з^в^с/гм. ’.frürorr^mi^ отображения в салу як зирокой пряззввшгса пгл от«а«:я «сдёлв? ячнгоическоЯ ияиамкки, з задачах оп*аиашюго уаравшжя, в téorta; обобщениях дифц-врен-ц!элышх бклпчй!!!'4,, в ‘вопросах скльго!* рг./.-зреицкрувцосии И КО" (вчаоося числа лервхтжчеккй в облаем рйгулнр;,оохи (число вериив юстоявное) представлен? несстеешш’,1 иксерес. С праиенепиви вппа-агз Л СО распространена необходимее и доотаточшяс условий опт-'' зльности я теореии су^евгвоаа:шл для яадэчи ддобратных вкдюче-иЯ с посдеде!*ств;!Зц посвяцвнп £ 4.1. В .качестве примере расоиа*-ИЕЭеГОЯ модель Son ¡íer,!.!'3¡!8. .
В 5 5.1 изучается гэдачэ типа Еольцз для диффе'ренциалышх глкчени;': С 48SOSK4Í огрвжчеияем НЭ Н8';ККСПр0ВЭК1!0а отрезке замени,.притон, для обдаостя вводится я запаздываю®!!! аргумент:
1(ХО)Л)а^0<С^^)+| ^fy(t)’t)di---- Ülf,
■Xct)6a(xct),xtt-h)tt)t te[te,t(],
X(t)^tt), te[t.-h,t]> xctyeM, xct)e Fct), te
o) 4J»
<*)
(3)
(2)
(I)
где (X г seKosopoe неавсонокзое ккогознзчиое отображение,'
lAí^R " множество конечных СОСТОЯНИЙ, ^
«f.-R^R'-R1 , $<*> - абсолютно неяреризнэк аэчэльная функция, Р: [t0l t,J —> , ta - гзф::ксиров8н, конечный мо-
нет временя tf , вообще гоеоря, свободен. Допустимое решение берется as класса абсслк-тно непрерывных функций xct)(>c (t)eFít) при зоех которое почги вскду (п.в.) удовле*воряв?
(2) о краезы::к. ус лоз::.«: (3). Пусть Xít)ite[ill~h}t1]y XCt)s г ^ Ct), te[ie-ht i„] гекс ropos Ronyoiiwoe ресзаае зэдвчя (I)-(4). С ::onor¿so39::i!eií ¡¡озого ояреде'яекяя ICO сяроп^ся сопряженное даС1-зр?П£;::Э’¿noe впг.кчэнг.е (СДВ) .
s> (~x*ít)-f(tt-h)} fítj)е£(х\щ(хф,Ш)№)$ п*в*
t€[te,trh)f
б)(-Х ct),?*ír))e¿í(xct);(XCt),XCt-h)Дt€[t,A t,3 n.B.
XCt)6Q(Xít),XCí-h), Х*С^)} t€ [t0, tí]
которое ДОЛЖНО ВЫПОЛНЯТЬСЯ-ДЗГП ЛЕбОГО X 6 Fct). Под реыевкем СДВ покккаегся почте всгду удовлетворяемая кх пэра ■fce[tC)t.,] , где X Ct) COCTOüI ¡:2 суши 8С00ЛК5И0- йепреряв ньге^функций к ("¿•¡¡"ц;::! с::эчков, ■*[&)- збоолкйо непрерывна.
При УСПОЗИК С2ГОГОЙ Тр8ИСгерС8ЛЬ;;0ССК И уСЛОВКИ SK84KOB, херектеркоя ДЛЯ уярввляеаык CKCÍOW.C розовый;! ОГГ9Ш:че!Г.:я:Л! длг широкого класса ясвшуклых задач г р^у лиру юте я досмгочниз уел ( вия опгииэлькостя. Для випукло*} седэчя (входящие в ^эгвчу (1)~ (4) ^ункцкк, Ш'ОГОВВЭЧЕИе езобрву.епия и ивсжество выпуклы) уда ется построить некоторое, другое СДВ и более гибкие доотэточние
- ІЗ -
условия. Теореме 5.4 ііокззнбзєт, что нэ ¡т-иконрозаанок отрезке Времени ДЛЯ выпукло” 387ШЧИ акалогичнне условия является V необ-
другой подход построения СДЗ я достаточные усгг'вия для задачи без эффекте запаздывания.
В конце § 5.1 резофана задача быстродействия попадания в начале коордязаг из плоскости, з гтзкт.е задаче с нвогогрэнвын отобрэяевиец.с последействием. -
В главе ГІ расскэтргвзкгся разные задачи оптимального управления для дискретных вкхпчеаїй с распределенная! параметрами; предмет исследования § 1-4 заключается в получении необходимых и достаточных условий для так называемых задач гипарболичэокогО
5ИП8. '
В § I изучается задача в следующей постановке
ї&ІааоНаШкІпУЛ. 5«ЦіШпі соЫНСстз орИтй^ ІпріаШпі
ходаиі'ми для олтшдькоси:. В рзботех) З.И.Блэгодатских имеются
’де ^ 00 - некоторые функции; т :я'-_а’и{*ч-2«5а-
Г к I - финелрованниа натуральный числе.
Пай сомішяАі.-З. Ару*. МзАк, апі 0рШх.п13*іу 7,р. 1НЇ-Ш
Идея получения к'-оЛходишх -и достаточных условий огтаиаяь-НОСТИ ДЛЯ допустимого реаенкя [х 1 387.3’П! (5) '
основывается ка геореве о шнкгазеют £ункца!? во вересечевки
конечного числа инояеств, применение которой в нзсвзиноа случае
немного услокняегоя специгккой гэдач, В ¡цазьне?пеи для 1.-.-;до2.
выпуклой задача формулируете г, свое условие невырожденности -о нз
пичии внутренне»4, ТОЧКИ. '■
ТЕОРЕМ 3. Пуоаь QtT . (tS)f(O.Q) Е
. * bjii '
выпуклые многозначные отображения'и икохества соответственно
£ <*> - выпуклые собственные ^ункц:;;;. Пусть далее суи,ествувз Г«/» 1
допустимое решение <Х, f , ездзчи (5) такое, что в
L
точках его ^?00- непрерывна, Тогда для того, чтобы i *»t}lt,T)e#*í£ ррвда всех доиустивкх решений доставляла
фуЯКЦЕИ ZL. &.<*<«) наииевьиее возможное значение, нео tí»f)ej?)tíí ^ ■
ходаио, чтобы наизшоь одновременно не равные нулю число \={о,1 и векторы
{?krl’K.MW
' узкие, чго '
«' -&М*
5>. х^бЛ%,Д^-/Си(хг>г)+^„,,
к при выпехпгк::: услохсш »сЕкрСлдейносг'' гт:: условия и доогаточ-
аи для опкг-'о.-ькос^п • /у I •
V¿¿¡ЩгНЯхЦ'
В обг.ем случае, есл:: гспусп кгсэсеяьних направлении к много-гнэчод: огоСрзгс»::«« :: ¡зогеогяан залэчи (5) ¡..¡ляютоя локальными звтрок! (оСлагаю? :сл::::!л: сво'ЮЯ’Эж), в *>вкдеи ^ _
юаускэкг гопреуиазук 53А, ?о в1330Д«?сг. несФхгшкое уояовие опти-
!5ЛЫ!ОС::!. '
3 конца $ 2 стая::гоп первая краезвя йагача кия доокрвтвых 1клкчс-нкй гкнерСслкческого ТППЭ, гаге!.' зь.зодя*оя 1100 СХОДИ 8Ш8, $ выпукло!.! с луча з. и ; о с:э точнее- усдсш.я олгш'эльности. Далее,
• 3 по1:з:м:ьзс,тся, чго в случае непрерывной дк^еренцвруеиости .ункц:;;: ^ (х) и |1р1 Фиксировавшее и%Д*
5 теоремы ’з сдегуе; олорш,4, ирявдп
\г~ |р ^¿4>г„(V +
+ *V ■>'V-* Х,г)+ д)№м
а’г)е
. _ . ¿-.г*/;
4+»,т 1
, -> *-
<X X > — Іп£ <X „ X V *,r’ t?¿ V’ *,*'>
где для удобства пркняи: ооглацєжя
ХЛ;Ч,,^0’ VW=VW yto*K¿»
' В 5 4 расс:'зіскз£еїся одна двупзроиетрическвя задача опги-иолького управления, в яозорпіі крзезке условия определяются о выбором ГрЗЙЙЧИіК управлений. '
Б -И 5,6 спреда;гякгся пзраСо,и:часкке и эляшгичаскив диокр* ныв включений к С прицекешгек КОКСГРУЭДЙ випуклого И НЄГЛ8ДК0ГІ 8ВЄПИ38 решаются некоторые эквтрекэлыше 38ДЭЧИ ДЛЯ 53КИХ включений, формулируется необходимые (в зшуклоа случае при условии неїшрокденаости и достаючнг.е) условия опіяцвтьностп.
Задача для даскрстнквГвклкчекиЯ глиптического типе, которую vozno нэзшэта дискретной гэдачей Дирихле состоит в следующем: . ' ' ‘
— ■ ír r(xe г)-------------* tní,
'<»* 1» і/; . • Г>
*гг'ЛЄ А,д),
\,,0 = Ч>Г, 1 = í» - • • •> T-1 *
~ , 'г'г = /?•••, ¿/'Г,
•> Ч-Ь**-} ¿'-ї» ^
ДЄ *’ ^1^{+00}? аъ,Г1:^Г'1~~> 2- >■ °^0Г,Ї ^АГ,,
Л - Лксисованяке векгось. Очевидне, что для определе-
яя некоторого ЕОПуСМГОГО иесвіКЯ іХ„ „ V _ ¿а -
* С ‘кнісго-^еЗі
:{Сад:П=о}...,т;г^о,...,1,сг(,гг)^со,о),Со^)?С1;о)ДЛ)]
задаче (ъ) число їочєі:, требущпх -опредзлешя, созпадзеї о часом даскресны:: вклвчешЗ. . . . .
Глава £ з целен посйящоагся задаче дав дифферэнцй8л*нюс• ключекий гппэ Гурсв-Дзрбу:
1
1(х(•>•)) - § №,тЩ(Ыс1^ ^'(Уед^сй*
+ 5 ^(хсіи),-і)сй +30(Х¿V))-* (7)
а(^г),х^,о,х^ч)го;[о,фМ, (8) >(ед«а,(хЗД)і х^еа^хед), хй,о)-х0.
десь & и &.(£:/,&) - вообще говоря, выпуклознэчнке отобрз-8кі!я; О,.: К —^ Л. ї/I—^£=/,й)5 %(*& > &00 - непрерывные по совокупности переменных фузк-» 71* * С?—г Я”^С°)0—*В10*1>2') * Требуется
ИИ
найти такое , которое удо2яе1в0ряет почти
всюду (8),(9) « шшйклзкруег (7). Допусгсхое равезяе берется из класса абсолютно пепрершзвх Супец;::' 2 суиагруеа&а сиесанш&г; производнку’л Х^т . Пр;; зтом будем считать, что Х0£,О), иШ, ХЩ7), г.е[0,1] такге эбсогхтво' непрерывны :: гзчтв
всюду удовлетворяют Крэевыи условий!.! (9) соответственно.
В § 1.Е с зспояъгозаяпеи рззяобтких вппрокспизци"; производных и сетичныг функций нэ равномерно;“ сеже аппроксимируется задаче (?)-(9) и для доокретво-аяпроксяи'здлонвоЛ задачи выводит-оя необходимое и достаточное условие ояетэлькостк. Последнее является возмогшим благодаря переходу в необходимых условиях экстреыулэ дискретной задачи (5). Пс-зядккоыу,, гаже разностные задачи, крока сакосгоятеяьного интереса, могут играть важную роль текке к в вычислительных процедурах, йтвк, пусть ]/цЛ/2 -фиксированные нзаурзлыше числа. Выбирая дискретные аагт 5~~}т)
I 1 , №
п г~- • по осяи .'С и Г, соответственно и звненяя в (?) интегралы, соответствующий! ивтегральккга сумиаки, сопоставим задаче (7)-(9) дасхрегно-вппроксимвциокную задачу: '
* 1пЬ .
„ : ■ • • , (ю)
-."Ьг 0,6", ,
а, (х) = х+га}(>о, 5^(У)гх + к а*(Х). * 5
- 12 -
Задаче (10) ииее? в;:е (5), с,"«гозэтелъно, необходимое условно
Л/ ^ . ..
теоремы 2 для пего оплсьззе^сп че;е?. ЛСО & , (Хс (£^!,й) *
'’>и^
Поэтому возклкзе? вопрос, как:-’.: образом пег.е".и от ЛСО О. 3 а. Сс-цг) к хсо а ,а£(С-<,г), соответственно. Для преодоления Э1ЕХ гру7.Н00?вИ В ? 1.С 7,0Кз:чз8Г2вЗ твореш 1,1, 1.2 и 1.3 эквивалентное?;? ;твгг.п::гу ?.СР Се г го?1>г~я вряд ля удэлооь бы получпто яеоСхо?г.:к::с п *ов?эгЬ’га:г уо;:озия для гвдэчй (10),(II), э значат, л для аоп»е&ъкоГ г8,4ач1! (7)-(9). -
В вкнуялоы случае ка оспоза суб«г у’-зренцаальиого иочаоления для ко;.:пог,::лсгалм:о юдауклш -’уькц::Г: доквзмветоя ТКОРШлА Справедливы соогногмкая •
Щ[Ь№^гМАдЩ£^*., 2^*, х, дЩМ*)^Щр<$*)+У* Ъсх^х+ЩЦУУО^уеЬ*
гяе ^ о
т и ^
Az
V0 о I /
э X я 0 - е’:тп;:чк!.;е н ¡туяевке ЛХЯ - матрици,соответственно.
Теорема Ч и горела Фробениусз-’^ из теории матриц для обра-¡цекгся блочной мэгрмцы, рензе? проблему перехода к ЛСО а* О.*
(1 = 1,г) .
В 5 2.П для вшук.тозиочних задутых ограниченных полуне-прермвЧЫХ озерху 0 ГОСР'ЭлвИЛЯХ <Я , а.(£:?Г,г) ДОКвЗВДввЮЯ
х) Гаиткэхср 4.р. Теория матриц. М.; Наука, 1967
теорема от^есгговэ.’ия гятяаевого реквагп дкКеренциэлыюго ЗКЛСТЬШ1Л Х^,Г)6 Й (Х^/Г)). С£,г)£ 0 с краевые уо-
•лоаия-к (9). Для этого производится 5р::ангуляц1.я равномерной сетки не б и строится якне*коя интерполяция репевая Х^-^("4,*£)? определенного линь в уз лопт: точках этой сетки. Далее, показывается, что ое^аг.сгзз теккх ре-леш:’“: рэзкокерно огрангчакы и липши-цеви и поэтову пр:ш5!'::’.:з летав Ариеля. В конце § 2 устанавливается, что везем- ПОДЦ2?егрйга8Яе 0ЕЖЯЙК ггкггсгцевг' по X , то -для рввкскерао схсдязгхоя- послеяовмгяЕЛосгей С(ф),
П*1%Ьу. К ;;епр?р:з!0?: г;!.г:!"п X<ЛУХ) б инее* место
СХОДШ'ООП ■ .
) когда ¿Г —>• 07 Ь -> О, К—» сю,
В § 3, ошрясь на результата § I, п^те:; (ориэлького перехода к пределу при сгреняввки дкекреглег -П8Г0В к-нуд» от необходимого условия д:юкре!гио-8ппроко;;::8ц::сн:!ог; задачи (10),(II) удзет-СЯ получг.тъ условия, которце ПО Д0КЗо8::!!0!:у является достаточный ТТЮРП:',А 5. Пусть 1 с*м,&м7ъра&ю -вип»к-яие ПО X , вепрерывиые ЛО совокупности яереиенных $. ¿!КЦЛИ, а ииогозвачние отображения а , С1[_С1-!,2) - выпуклы и эвккнуты, Тогда для того, чтобы допустимое ргвекпе Х(£,Т) задачи (?)-(9) минимизировало Г(*Ы) 1 достаточно существования -абсолютно непрерывных'футсциЗ М*<£,г) , 1>*С^г) к Х^Х) в области ( таких, что выполнялось условия .
а) Х*(Ы)€С)0 (Я(М), Х*СО,о) = 0,
+{о}х[о)^ад(х(ідіг)4^(^)+і|(^^ ? (t>ï)6 q и.я.
. - V*ct,0) Є а* (ХЪ,0);(ХС^0),Х¿(t,0))) J E) -U(0,Z) ea* (Aw-, (S^vX^VÍ),
r) aW)€ dg (yo,vifytdg^xctAÿ+fâ,*),
і) X’'„(¿X)e a(\ct,t)7хі* д хад x*(í,í)) п.л.
e) X^ct,0)€ a^Xít.O),^))- X^(Op) 6 &z(x(Ojt);Y^Cofifj п.с.
C.-’ffCTíE S,І. Еслл Ії Bi:n;.'K;.u'í :-з: »ns (?}-(9) a$V?,X) =
= a(p,f) , та СДЗ <5) 5 сЗг r.i:4S5-:on з сле?уг^ви ’
t¿V,t)r7^Ct,T}) Є <1*(xV);(X¿íf ),X V>)),
и*ед-т^‘ад€ (X ct,T),t,t).
СХОДСТВ!'" 5.2. 3 случэо Q(p,^V)-ü(X) в выпуклой задача
'V)-(S) СДВ С) георекы 5 пг::;;:::.:эзг Солее с::м:.;етр:їЧїщй вид
условие г) врео 5;.э?.уsrcrt мк
" з яс-г з е:.тз я кегед'хо прз’',й:.:оте?рпруется нэ одной линеіїноП аізче оптанзльгого правлю:!”:! ;t, кро"е їсго, носледуемя зада-э некоторого ^уькь.гснэхз па ь:ко^богвв решений
ДК^-8рЄНЦ'.!8ЛЬНОГО ВНЛЕЧЄЗКЯ є а (х) = Ц1/= [-1, і], <¿№0,
где ІД^/їН 11 - кусочпо ::эпрег:12:!эг ^таткя, кмек^эя конечные
ЧИСЛ8 л;:киі1 рэзрывэ. Дзлее. 23ЄДЄІЙЄ нового клэссэ СДВ делает возможный с.хо"ї.;ул::ровзїь досгзуочігнє условия для вевыпукжлс {при этом сункц:»; (Ы^г}) удовлетворяют некоторым другим гр?Совзі::іяц)зздзч. . 1
Глава ГУ поовядзется опткшзэгкж ди^перекцизяьных включен: параболического, гдлагтачаского к гиперболического типов. Позі иу в двумерном случас з ££ 1,2 ^ормулпруьтоя необходииые и дос гаточйыз условия оптимальнее«! для соотаегствукада даокреию-вппроксикэцяонкых ?8дач. Пр:; зтоіг теореїш эквивалентности ЛСО является существенным;. Іівекаїеся условия для последних задач ПОЗВОЛЯВ! уОїЗНВВЛИВа^Ь ВИДЫ'СДВ. И Других условий 0ПТИЫ8ЛЫ10С! в непрерывных и, вообще говоря, кевыпуклых задачах.
Двуиернэя эллипгическая задача состой в следующем „
1(Х(*)) = \ $ (У (*),£)'<& ------> ,
^ . (I
А У (г) е а Х^СС), хСе)),
геГ,
Я* 7^" '' Й*
где + “ оператор Лапласа, а: П. -*г , £ = Сч,*!
ОН ={£^})х(о,|), ,Г ~ грзиицз облзсги (3 , функпии ^ и непрерывны, 1 Звдзчз сссгоиг в выборе решения; Х(с) гак нвзи еиой задачи Дирихле.(12), шішииз;чрук!ЦЄго I (Х<*>) . Под реш ВИЄИ ПОК8 будем ПОЕИивТЬ классическое решение X Ст) € Сг(0) *ПСШ) . Пусть гг?к выбрввиие Щ0ГИ ПО ОСЯМ Х\^% вемгвенно. Не равномерной сетке нз Сі 4 воспользуеисї
:ОЧНЫ!!И функциями X ) получеиныт ззыеной "
^ , X' и х1 рззеоспн^и проигзодни.'ш. Коли Д X =
1 2 !\1Х+Д2У (А¿Ж ~ \ , £ = /,2^ ) го кзядый из олерэгороз
А2 аппроксимируем гр-зх?очечнш оператором3^ А, , А^ соот-!ОТБеННО, где А, определен пз регулярней трехзочечнои гёзб-16 (£<-£, с2.) . ' Ом,^) « , А4 - НЭ регу-
ШОИ трехточечноы шаблона (?1т£г-'^)> Сс17^а)> (г1>*г+^).
Узлы, леязадое нз границе квадрэсв, кроме чегырех узлов •О) ,(0,1) ,(1,0), (1,1) на сове и граничными и обозначим [И - мнокество вну грезя:« узлоз, со ясно, что Н«-*,
:тоит из оозокупнеста 51 • ’
Теперь задаче (12) егэзик в соогветогвие оледующую даскрэт-•вппроксаыэционну» задачу:
1п$>
-*«нл
^ ^ (13) Яхсс) е а^хс^^а.хсг^хсг)^ 'С6 НбМ"
*(.*)=£(*), 'г ,
I ‘ .
\ у/5?-. Х(У?,^)-У№). ¡У _ Х(£,Л--*Ь)-Х№Л)^
^ . <5* 1 ^ /г
ХУг^Х-^Х, ^ = 5>г5,...|1-5’; £г={г7г11у..}1-1\.
[8чу (13) иояно привеста к ййду
Самарский А.А. Теория рвзносічшх схем; М.: Нэукв, 1977.
1^ <><•>•>) •—+ 1п$, '
X 6-5, О € й(Х (?1+5'1 ^)5 У (Чт Х^^а-^ХСГ,,^^
х(з?1^о=р.Счг,^5 <ч**)е&м
где
%ДЛЛ)=2(<^г!М^>а(^,^л), Х;«а" г.=),2,зл ^=-^'
Бадвчэ (14) проясняев пуда получения условия оптимальности дл; непрерывной ззлэчк (12). Для этого используется условие экстре ыумэ для задачи (6). Поскольку эк услозия вырзкзется через Ж ^ * ~ _*
(X- » СО .переход ОТ1 и. к О. осуществляется с применение следующей геореш. -
ТЕОРЕМА 6.. Следуюцке -вклшевяя .
а' ^*+х!* КхГ-И**) хГ+хМГ-^У
1Л гг ’ ■ 51 ’ г*. /
/х,-х* х»-х, V у+х,+К+(хг2М)Х,\\ м(’\ г* • /;
при условии, чго - эквивалентны. ,
■ С ирииеневиви яеореыы 6 после ряда преобразований иожно ; 58Н0ЭЙ1Ь ВИД сопряженно.го. Дйокрегного включения ДЛЯ 88Д8ЧИ (I
^№Ь^),2х*№))ба(Лг); (6^),^«,^»), А хсо))+
[о")х[ла/(адг)^со(г;-ед-В/(^'^)}
Такии образом, путец предельного переходе в необходимой :ловик экстренна задзчк (14) получки СДВ
иЪ), Д Д ХС£)))+ .
+{сПх{ 3^(х счД - - ^(г)|, ) - о, те Г, а?)
АХ№)е а (х^)1 X V),щ х*(г^. , (16)
ТЕ0Р5МА 7. Пусть непрерывна а функция' -^(Х,Х) ’ гыпуклэ по -К , С1 - выпуклое огоСрзхсяяе. Тогда для оптимальности допуо-
(V
того решения ХС£) зздзч:; (12) достзточно существования ^иД^и^Т^Х^)^ удовлетворяющих (15),(16).
Зэыетни, что для иевьшукло:" задача СДВ (15) приобретаем юиолько в ноЯ вид. - .
Интересно огиестъ,' что если АД, А - (их и) - иагрицы,
- (ПуЪ) - МЗТр:!Ц8, 1]с К - З‘.'!1укли.1 компакт, в |(,)^) -туклзя непрерывно д::гбсрзнцируе!/эя функция, то условия теорэ-I 7 для задачи (12), где а(Х(1Хг,Х)=Ах+Лх+Ах+Ви, упрощается состоят в сдедугдем: ;
А XV) = А\Ь)-А* X* ^ А* ¿(Х<г )Д Г€ 0,
х\г) = 0, *геГ,
< В и С?), х*(г» = тШ < В w., xV)> '
u,6 U
Здесь Х(£) - решение, сооиГеЪегвуклдее управлению t6(ï)eIJ.
В § ЗЛУ иыеюгся гэкхе о ка логичные результата для задача о перзбопачеокаи дифференциальным включением: ’
I (*(• >•)) - ■{ S ¿j(xa,4t}dtdz +jg(xù№)dz—► inf, (3
' 0r2 dt \ dz ’ '-P
хсо/г) = усг), (]
x tt,o)-doit)>
XtM) = Q z [0,1] у [0,1].
- p3n R” -
Бдесь CL:П. *“*2 - яотуклое «югоеызчте огобрэ^ше,
и $0(Х-Р) ~ выиукяие по X » непрер’язные по совокупности
переиенпых функций ;
- непрерывные фуикцик. Задаче заключаемся s ив-^ 1.
хождений допуотимго решения ХСС/1) первой‘краевой задачи (18),(IS), шшшйзирувщвто 1(хс-,о). , .
Опюашзвционнвя звдвчй дяя перяой краевой зздзчи. гипербол Чбского типа форцудоруеотя оледурщиы образок
I («•,•» —^
D х ад е й (х^-г), X>,t), X tt,t)), □ = |1 -11 ,
У
ХСсус) = Ч°(?),
= ^ (г),
Х(*,0)=о( ,<*)_, .
У СЬ,1) -<Х1 С-Ь)и
де а: *1^П « - непрерывны.
■ В § 4ЛУ ранее' рассмотренные двумерные непрерывные задачи каз8нных тапов распространяются «а нногоыерный случай с зллип-ичеоким оператором второго порядов.
Сформулируем, например, первую краевую задачу для параноических дифференциальных включений
:Ш)-\ \ {¡(шу^Шг А (¡а1,%г)с1£ —> <20>
—#) +а(Щ£&,х0г,тЬ (21)
Ы \д? г х«м)=у<яэ Гб&сак, •
0И+1 О* л
де О,: М ~~*Z » Сг ~ область изменешя вргуыанотв Г= ^Г<>»*.,Та) 0 кусочно-ряедкой границей $ * Твкиы образом, бла<тю задания дифференциального включения являеюя цилиндр
5={о<^<<тГб(т}с Я . ВЫвОШ 1 И в ООНОВЭНИвЫ О’ ,
Г - боковая пояерхяооп цилиндре 0 ¡Г-(0<,'Ь<1) **£}> {°)х6> 0} У С - шянее и верхнее
основания соответственно, - эллиптический оператор второг порядка*^. Функцию ХС4£)€С '(*0)0С^ОГи^О}^^ удовлет воряюдую в 2) ьклкчению (21) и начальным и граничным условия (22), назовем классический решением.
■ .. В выпуклой случае задачи (20)-(22) для оптмаэльност-- Х(£,Ч используя формулы Грина, Гаусса-Остроградского доказывается ТЕОРЕМА 8. Если непрерывные функции ^ ^ выпуклы
по первому аргументу, С1 выпуклое отображение, то для *огс чтобы ХС^г) доставляла шнииум функционалу (20) среда всех допустимых решений задачи (20)—(22), достаточно существования классического решения следующей
краэвой задачи
. ^ 6 . О
Ч°*} х {(^(х в - ¿ь/ ¡¿а?)|,
%%х)щ ^,т)бГ} и%г)=(и^)г..,и^)))
с1ы • »4 -Щ&3
где =- сопряженный о — оператор.
.Обращает вэ себя вникание то обстоятельство, что в двумв ной ойучае сопряженные ^ифферевцивльныв включения оодерявт
х)~ Егоров А.И.Ойтииэльное управление тепловыми, и диффуаион-ншш процеосвьи. .М.: Науке,. 1978.
ебе сопряяевныз дис^ерендоэльпые £орш э частных производных,
; которых зависит от тапе поомалекншс зздэч, Это обстоятель-
0 позволяет по аналогии построить СДВ из многомерной случае (¡пользованием сопрянениого эллиптического оператора второго
1ЯДКЭ. . ‘
Во Вова дальнего« изложения, кооавнимоя дифференциальных
;ючени!5, под пеи-е н::е:л понижается классическое реиение, Но,
: видно из ксктк-'сгэ, лоняспл решения в том пли ином онколе в коей пере не тля! тея огрвлкчвнрза класса рэсаиэтрязэдиых ;зч я посредством изиеуникх селекторов уногозкзчнух отобраяе-¡, указываются пути распространения результатов на случай |йце«нкх репен::Л. ’
В заключении § 4.1У с применением теоремы Гурвнчэх) раооивх-1эвтся условия оагп из ль теги слабо эффективного реиввия. .
Глава '/ посзяцвется построению и изучению теории двоПотвен-!К! для вь-пуклих задач с состредоточеннш параметров постввлен-: в гд.1. При этом, конструкции наших двойственных зздоч опилен на теоремы двойственности аеяду операциями сложения и ин-гальноЛ кокзслецк» выпуклых <[)ункци 1тхх^. Напомним,' что инфкыэль-! коиволюцпя ДВУХ собственных функций опреде-
¡тся соотнопен::е:л • ’
(&ф&.) о) =¿4 {§,0^ +&.№ }.
Подп'.юпок:;;'! 3.3., Ног:;:: В.Д. Иойето-огшшэльных решения цногокртер^чльнкх задач. - М.: Наука, 1982.
1 Ло(>;>е Л.Л., Г!"-:о:. .'п оп З.М. Теория экстремальных задач.
М.,: Наука, К74.
- зо -
Отееіии, что операция Ф аосоциаггаиэ к кокмугэтшва. Така; конструкция моЕоі'зенноста і; ее контипуальниП аналог,' иоколк впий конволюцйонааі! ииїьгрзл, &ля предложены ранее в работа?
• некокорнх задач «гаорки оптимального управлення, вариацконногс
указанный метод построения двойственности при условии невирої носія играет взг-ную ьсль їзкае а для получения кеоСходаичх и достаточных УСЛОБЛП олтиыэшюсти.
Доказанные теорем двойственности позволяет заключить, ^ дооіаючясе условие акогреыуцз является экстремальным сооїнои ни єн для прямой и двоІіоізеїшоЯ задач. Это означает, что если которая пара допусгишх решений удовлетворяет этому ооогиошеї то каждое из вкх является решением соответствующей (пряной и двойственно;!) оадэчи. Необходимо ои-етить, что значительная честь'исследований И.Экланда и РЛенаизхх^ для простых вариві них задач связана с такиш яроблеиэш:, .
Задачи, рассмотренные в §5 1,2, сводятоя к задвчэи вьтуї го программирования, т.е, к задаче минимизации выпуклой ообс; венной ЗУВКЦИЙ ^(\л/) на выпуклой ШОЯЄСТВЄ О С- Я*1 1 ДЛЯ К(
ляетоя двойственной задачей. £десь §л.СУ) - индикаторная фуі
А.Д.Ио^е, В.Ц.Тяхої’ярова, Б.І:.Пшеничі:ого, В,И,Цветэновэх) д?
исчисления, цэтешткческого программирования. Наш показано,
х) В.И.Цветанов., Двойственность в экстремальных зодэчех. - Уі мв*еи.аурн.,19?2, ї.23, й 2, о.201-217. . -
хх) Зкландй., Темвм Р. Выпуклый анализ и вариационные проб?.: М.: Ыир, Ї979.
- ЗІ -
і теореие сепхеля-Г-оро вторая сопряженная (ушит: созпа-
іег о У в в лексе І.І доказывается, что V/ - решение пря-'{!, 8 Х*/* - решение двойственно?! 38ДЭЧИ В ТОК І! ТОЛІКО ТОЙ' іучае, если имеет место соотношение \*/*єду(м) П К^О^)*
С привлечением изложенной идеи и понятия сыпунлой оболочки жнея грани выпуклых функций, в § І.У дяя дм «ремой задачи с югограниыои отображениями с кепосредстзеншм 5ычвслеииеи 'роится двойственная задача, доказывается теорема дво^ствевнос-. Далее, эти результаты обобцвюгоя на задачи с шогогрэнныкй !о№еренциэльньши включениями. £ § 2.3 доказывается теореиз юйотвенности для.задач, описываемых дискретными включениями последействием, где утверкдаатоя, что если с£ и о(* зиаче-я прямой и двойственной задач, соответственно, то всегда лее того, при-ввполввнии условия незырожденкости, вот эначв-е прямой задачи конечное, то двойственная' задача имеет~реше-е и их значения совпадают.
В § 4.У изучаются проблемы двойственности для задачи о іфференцизльньшк включения®. Непосредственное пркиенение Твоїм двойственности между операциями сложения И ИИСИМЗЛїВОЙ нон-люции незозмонно, но иыесцкеся результаты § 1-3 ГЛ.7 П03В0ЛЯ-! выдвинуть гипотезу об использовании двойственных задач к ответствусциы да скре т но-а ш роке и мэця о к ним задачам с <$ориаль-іи предельным переходом при стремлении даскрегаых вегов к нули.
Двойственная задача к выпуклой задаче (1)-(4) состой! в [едущей: ■
*4 11 17 ^ 1*-"/(^.Й^)“1 +<х^)Уи0)>+
^ 0 ^ ‘¿чгЬ
Вдеоь У.\±) , ^*С£) , и^И) , Ч*&) , ^ ^-г) - абсолютно • прерывные фуНКЦЕИ, г еСТЬ взятые 00 ЗН8К0
иииуо опорные йунхцш: ыкзкества рС*) и М , соответотвенн Рассмотрим прииер: пусть имеется задача быстродействия
1(хс->Л) = *1-*«“*•£«#, ХфгДхФ+т^ХСЫО+Вш*), •■¿'€р:в'»*|]1 х с*>- $#), *е[-Ь, *,], исЬеТЗс^ ха,)еМ,
где А?А(иВ (ихи) и (йх*) - кэтрицы, соответственно, Ц,м - выпуклые шшества, Ц<£) - из КЛ8СС9 огрвшчвни у • • ■ ' , - ■ -
иэыерииых функций. ^ - •:■•.
Тогда о учетом рфаЯ* • вычисляя , в разных и
валах времени можно подсчитать, что задаче (23) двойственна
(24) заключается в оледущеы:
Г* *Р> Мг » , ^
йг 0г*в4<хс^),хи)>^ Ч(^-* 1 *, ■ *в */< £х*ащ>с1± +"Ц^(-^,)) |,
-х*Ф = А*х*1*)-+А*х*снь)} * е{Л> ^-Ь),
-хЪ) = /Сх*Ф} -ь € С*,-И,*,].
В § 5.У наряду с другими в гершиэх рецессивных конусов и опряженных отображений имеются некоторые результаты, касаюпщеся войотвенных ЗЗД8Ч. '
Рассмотри!:, изпглиер, задачу
(25)
аОоПрэф, Хб5£Х,
де (0 ;Х—*,К1и{+оо]. - выпуклая собственная запснутвя фуксия, а :Х^2У - выпуклое отоСрэкеше, Р, 5 - выпуклые ыно-ествэ.
Задача -
5ир{^>‘}+Я(хЧэ>\^й>Нсх‘)} («,
аляется двойственно:! к пэдэче (25). Показывается, что для конеч-ости и досгияицосв: значения зодачи (26)- необходимо, а в случае ввзисуперлннейности л (состоят из суммы выпуклых
ошэктов и выпуклих озюугше конусов)-и достаточно, чтобы аы-олняяись условия.
хо*€с/ст£* X-х0*€ аф} -у*ф+Р)* х%(О*$)*
Напомним, что для вшуклой собственной функции ± рецаооив-
- 3'+ -
НЄЯ $ункциял^ £ 0+ ОПІ-'ЗййЛЯгТСЯ 2 силу соохновения
грг^О^гО^ерЦ)- . -
ТЕОРЕМА 9. Для того, чтоСы значения прямой (25) и двойс венноГ; задач» (2Є) совладали,- досгзтойко, чтобы не существовг
V* .Д ‘
набор векторов X ^ , Х0 тзккх, чїо
(Со+)(хГ)-%Ч, уЧ-ЦС-а’)Л^к о;
Заключительная глаза УІ целиком посвячена проблемам дво5 венносги в аайв'чэх, ошюзэешх дескрегвьил и днфЗеренциальнь включеія'япі с распределенный: параметра:.®; для кандого отделг . го случая 0ориулир! юїся двойственная задача и теореьш двойси пости, имеется примера построения двойственных задач. ' Доказательства двойс твеїшиу. соотношений для парзболичесі ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО Г. гиперболического ’ГИЛОВ сначала проводятся в керном случае,. зэт«еи по аналогии обобщаются на ккогоиериый сз чзй с эллиптический оператором второго порядка. При этой уст; ливзется, что для'какдой конкретно!! задачи СДВ является гкст] ыальнкм соотношением. . , .
'.Приведен формулировку задачи двойственной к заде ¡е (5) і случае отсутствия Лазового ограничения:.
*>г
£Єл, *
х) Ронефеллар Р. Випуклий анализ. Ы.:-Ііир, 1973.
<27>
ТЕОРИЙ 10. Пусть - выпуклые осбсгвечниз ззиквугне кции, оС и аС' акзчения ггркио;: (5)
войственной (2?) задач, соотзетстзежо, Тогда справедливо керэ-отво сС^оС*. А при.ЕИполвенки УСЛОВИЯ невырожденности кроме того, если о(>-оо ,то-двойственная задача имеет решение* С-использованкеи задачи (27) в § 1.У1 йокэзвно, что двойст-пой задачей к непрерывна зодзчаи типа Гурса-Дарбу является вдепэвие верхней граня . -
Ад,
Лс,«, х»(е,0):0 .
*= (-<Л*,П -у?#,*),
з а , . .
1 ■ ■ ' ' , ., ' ' -) [Д £^)> ^(0,4 - (Ли)).
цлолзгветоя, что в задаче (28) ¿¿Ч^Г), К*#,?), Х^,г), Я*#,?)
пространства вбеопвтно непрерывных в области $ функций..
Д0ШЦ_Д,. пуоть функции ^(Х) -
рерыввы к выпуклы го X » многозначные отображения (Х} <%■ 1}&) - выпуклы. Пусть, кроме того, Xи набор функций
Ум, 2?<*,Г), уСи,Т)^%Х) 2^Т)е д%(УА7)&) удов лет-
ворякт условиям 8)—е) теоремы 5. Тогдз X Чгф - является реш виеь! ЗЗДЭЧ!! (?)-(9), 6 [Ц^Е ),£*(*•,")," Р^в
низы задач;', (28) ч при этой значения пряиоВ и двойственно;* задач совпадают.■ .
. Двойственная задача для седзчи (12) с однородный грг-”ичиы уоловкеи (У>№) = 01‘%Г) сооюпг в следущеш
*/м&в.*№ы ГД^аЪУи.йч),
х\г)=.0) геГ-
1*= ([орсс), «Ля,дхЪ+Ц а
/(й€Сх(0) П СЙ), ^<ябС1,0((Э), <Ат)е Св,{о), ^)еС(0).
. По аналогии строятся двойственные задачи к иногоиерныы непрерывным задачви. Например, длязвдвчи (20)~(22) с одвороди «и грвничнь'ми условияии она заключается в следующей: .
и,«,^ г.с,
1* = ( \ р^(и^,г),^Цг}+^^,г)4^ ^г)-2%),/с^^-
0 & . ■ . .
- еасбг- ^ ^ с^)]а.г.
' ■' & ° ' -
В‘ заключение хочется выразить глубокую блегодэрноешь сво< учигег.» чл.-корр. АН УССР, профессору Б.Н.Пшеничноиу, чья под-дэркка и одобрение <5шш для пеня главной опорой о аспирантски: ле*. -
СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ РССЕРТАЦИЙ
Махиудов Э.Н. 0 двойственности в зэдачах, описываемых выпуклым! ішогозначшии отображениям. - Кибернетика, 1987, й 2, с.75-81.
Махмудов Э.Н. О двойственности в задсчэх оптимального управле* ния, опксшзеинх выпуклыми дискретными и диффарвнрэльными вклсчен!!яші. - Автоматика и телемеханика, 1987, № 2, о, 13-24. Махмудов Э.Н. О двойственности в задаче* теории выпуклых разностных включения с последействием. - Дік^еренц.уравнения, 1987, 1.23, й 6, С.1315-1324,
Махмудов Э.Н. Задачу полиэдрельной оптимизации для многогранных дискретних я дифференциальных включенні* и двойотвеннооть.
- Кибернетика, 1988, Й 3, с.<»5-52.
Махмудов 3,Н. Необходимые условия для задач оптимального управления, ОШІОШ38ЄІ1НХ ДИ<4ареНЦ!18ЛЬНЫШ включениями о распределенными лзранетраші. ДАН СССРІ 1988, т.ЗОЗ, К! I, о.29-34. Махмудов Э.Н, Необходимые и достаточные условия экстремума для дискретных и дифференциальных включений о распределенными параметрами. Сиб^иатец.яурн., 1989, т.ХН, Й 2, О.І22-І37. Махмудов Э.Н. Некоторые экстреыалыше задачи для дискретных и дифференциальных включений о распределенными пэраиетроки эллиптического типа и двойственность. - Кибернетика, 1990, й 2, с.58-64. . ' '
Махмудов Э.Н. їадачи на экстремум для дискретных и дифференциальных включений о распределенными параиетраии гиперболического ищи. Хюиыатеы.яурн,, Ш0, т.42, №12, с.1641-1649.
9. Махмудов Э.Н. Двупэрэиетрическзя ззд8Ч8 оптимального управления для систем дискретных включений, Автоматика и телеывг ханика, 1991, Й 3, с.67-78. ,
10, Махмудов S.H. Достаточные условия-оптимальности не не^икси-
- рованнои отрезке вреиени для дифференциальных включений с запаздыванием и двойственность. - Дя^еренц.уравнения,
1991, т.27, !й в, C.964-S69, ' .
12. Махмудов Э.Н, Достаточные условия оптимальности для выпуклы
дифференциальных включений с распределекшши пзрзиетрзми и . двойственность. - Дкйфвреиц,ур8внеки.я, IS9I, т.27, id 8, с.1344-1357. ; . .
12. Jjtakmudo I/ В. Я, 2)иаЫ:и in tke ръоё&щ £)| оркма£
&о itfaoi fot -j^items atitwfecL convex dL^-fttutiia Lnctuiiofti with cUtag.- Р-гоЦе-шо o| c.cniioi o-nd InfotwcrttoH tkLO%gy\jc-t. iCy >Vj6, p.
15. Makmudov S.M. Conitot fj'ZP&CeM jot daetete <xncL diffmnticd luctatiGKl with cUituiukd pata/neU and duaitiif , -/4 th IFIP CcHpmce m fyiim moc &ncj and Optcml?citLoft) jutuj 3*7,1389, p.53-5
14. JU&k»w.dtiv E.AJ.} Pjftettichnuj Ь-Ж Oficndmttm oj ducwti and di^^i'uniioa, ‘СгийаСощ cf а раш§о\ iffit.-ISik IFIP Conjunct ott mocUUcn^ and Optimization., Ztitlch^SipiemU'i г-6,1391^
15. JUabruidov E.Ai. Optimization o^dimtk. Cuc&ition. wtth. cUitii&uitd рашми<А1-Optimization, iS30t vot.Zi, №zxP. 197-ZO?.
7 За*. 4в2,т*р. ЮО.Уч.тлп. КГУ,Ш81г.
. . Кйво-Ч 17.Бульвар Шевченко,И,-
