Оптимизация формы области в задаче теории упругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.03 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. ОБЗОР И СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ

УПРУГИХ КОНСТРУКЦИИ И МЕТОДОВ ИХ РЕШЕНИЯ.

1.1. Общие сведения.

1.2. Теоретические основы.

1.3. Методы решения.

1.4. Современное состояние воцроса в задачах теории упругости с неизвестной границей.

ВЫВОДЫ по 1-ой главе.

Глава 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О НАХОЩЕНИИ ОПТИМАЛЬНОЙ

ФОРМЫ ПЛОСКИХ УПРУГИХ ТЕЛ.

2.1. Математическое описание.

2.2. Некоторые простейшие примеры рассматриваемого класса задач.

ВЫВОДЫ по 2-ой главе.

Глава 3. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ.

3.1. Преобразование координат.

3.2. Производные операторов в уравнениях равновесия, граничных условиях и функции ограничения.

3. 3.Необходимые условия оптимальности.

3.4. Двойственная трактовка условия несовместности.

3.5. Связь условий оптимальности с вариационными принципами решения статических задач.

3.6. Сравнение имеющихся и полученных условий оптимальности.

ВЫВОДЫ по 3-ей главе.

Глава 4. МЕТОД РЕШЕНИЯ И ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ НА ЭВМ.

4.1. Выбор метода решения.

4.2. Описание метода локальной оптимизации.

4.3. Базисные функции для аппроксимации перемещений, напряжений и функции ограничения. Конечные элементы.

4.4. Вопросы алгоритмизации.

4.5. Реализация алгоритма в виде программ на ЭВМ.

ВЫВОДИ по 4-й главе.

Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ ИТЕРАЦИОННОГО ПРОЦЕССА ПУТЕМ

ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ.

5.1. Определение оптимальной формы отверстия в бесконечно длинном брусе.

5.2. Оптимизация формы пластин балочного типа.

5.3. Оптимизация пластин с жестким круговым включением и с круговым отверстием.

5.4. Оптимизация формы переходных приспособлений.

ВЫВОда по 5-ой главе.

Глава 6. ПРИМЕНЕНИЕ РАЗРАБОТАННОЙ МЕТОДИКИ ДЛЯ ОПТИМИЗАЦИИ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ.

6.1. Оптимизация формы границы стены здания.

6.2. Оптимизация формы наружной поверхности аккумулятора тепла. . . . ^.

6.3. Оптимизация размеров крайних диафрагм блоков сборно-монолитных железобетонных конструкции.

ВЫВОДЫ по 6-ой главе.

Среди конструкций!, применяемых в строительстве, большое место занимают такие конструкции, расчетная схема которых позволяет ограничиться решением плоской задачи теории упругости» К ним относятся стены зданий, плотины, корпуса высокого давления, различные узлы сооружений и многие другие. Оптимальное проектирование таких конструкций с учетом всех требований, предъявляемых к ним, является особенно важным при современном высоком техническом уровне сооружаемых объектов. Оно может привести к облегчению как отдельных элементов сооружения, так и всего сооружения в целом, повышению эффективности армирования, экономии строительных материалов. Разработка методов оптимизации таких конструкций особенно актуальна в свете решений ХХУ1 съезда КПСС о необходимости перевода экономики на интенсивный путь развития, более рационального ис -пользования производственного потенциала страны, всемерной экономии всех видов ресурсов.

Оптимизация строительных конструкций является важным этапом автоматизации проектных работ. Во-первых, применение эффективных методов оптимизации при проектировании позволяет автоматизирован-но получать экономичные проекты высокого качества. Во-вторых, велика роль оптимизации при создании постоянно пополняющихся каталогов отдельных элементов типовых конструкций.

В настоящее время выполнено большое количество работ в области оптимизации различных строительных конструкций. Составлены программы расчета оптимальных параметров балок, ферм,рам, оболочек и т.д. Вместе с тем, одной из важных и недостаточно разработанных проблем оптимального проектирования является построение решений задач оптимизации формы упругих конструкций.

Оптимизация таких конструкций сводится к решению вариацион

- 5

1 I ных задач или задач оптимального управления с неизвестными границами. Решение подобных задач наталкивается на серьезные математические трудности, поэтому их систематическое исследование началось лишь в последние годы. Между математическими постановками этих задач и созданием эффективных методов их решения наблюдается значительный разрыв. Некоторые возможности для отыскания оптимальных форм дает использование в этих задачах метода возмущений и развитого аппарата теории функций комплексного переменного. Ряд результатов по проблеме оптимизации неизвестных границ получены с применением этих методов сравнительно недавно. Однако аналитическими методами удается решить относительно небольшое число простейших задач, поэтому они, по-видимому, не станут универсальными.

Численные методы решения подобных задач также находятся в стадии разработки. Простейшим численным методом является перебор всех допустимых вариантов конструкций, однако для решения практически всех реальных задач он требует недопустимо больших вычислительных затрат. Поэтому выводятся дополнительные соотношения (т.н. условия оптимальности), позволяющие определить положение неизвестной границы из решения некоторой нелинейной краевой задачи. Отметим, что не для всех задач оптимизации формы полностью получены даже подобные соотношения.

Нелинейный характер условий оптимальности и их сложный вид привели к тому, что сейчас отсутствуют общие методы их численного исследования. Как правило, существующие методы являются итерационными. На каждой типичной итерации методом конечных элементов решаются две краевые задачи, после чего с помощью анализа чувстви -тельности определяется улучшающая вариация. Формулы анализа чувствительности определяются видом условий оптимальности и сущест -венно зависят от вида условий на искомой границе. Подавляющее большинство работ в области создания численных методов оптимизации

- 6 ~ формы посвящено определению положения свободной границы. Поэтому существующие алгоритмы решения подобных задач являются недостаточно универсальными.

Основной целью диссертационной работы является разработка итерационного численного метода, пригодного для оцределения оптимальных по расходу материала форм плоских упругих тел с произвольными условиями на неизвестной границе.При этом учитываются требования прочности и конструктивные ограничения. Отличительной особенностью метода является нетрадиционное проведение анализа чувствительности, обеспечивающее его достаточную универсальность.

Для достижения этой цели в работе на основе принципов функционального анализа получены необходимые условия оптимальности первого порядка, а также в задачах оптимизации формы области исследован вопрос построения дискретной расчетной модели.

На основе разработанного метода составлены алгоритмы и про -граммы, ориентированные на современную вычислительную технику,пригодные для решения задач оптимизации формы широкого класса плос -них упругих тел.

Одной из целей работы является также исследование свойств процесса последовательной оптимизации на примерах решения ряда модельных задач.

В работе рассмотрены вопросы оптимизации формы реальных конструкций и приведены примеры оптимизации некоторых плоских конструкций с помощью разработанных программ.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Разработан численный метод решения задач оптимизации формы плоских упругих тел и конструкций с различными условиями на искомых границах. При этом разыскивается такое положение части границы, при котором функционал, определяющий площадь области,занятой телом или конструкцией, принимает минимальное значение. В качестве ограничений приняты уравнения, описывающие поведение тела или конструкции под нагрузкой, условия прочности в форме нера -венств относительно инвариантов тензора напряжений и конструктивные ограничения. Эта задача относится к задачам оптимального упра& ления для уравнений в частных производных с неизвестной границей.

2. В работе исследовано, что в определенных случаях решение задачи оптимизации формы теряет смысл в связи с отсутствием решения в принятой постановке. Установлено принципиальное отличие задачи оптимизации формы упругих тел, напряженное состояние которых создается внешней нагрузкой, от соответствующей задачи, когда оно создается действием заданных перемещений.

3. На основе варьирования минимизируемого функционала, уравнений равновесия и ограничений-неравенств получены необходимые условия локального минимума в задачах с различными условиями на неизвестной границе. Подобные условия выведены также с использованием вариационных принципов определения напряженно-деформированного состояния тел и конструкций и применения конечного базиса для аппроксимации перемещений, напряжений и вариации искомой границы. При этом установлено, что полученные таким образом условия оптимальности являются конечномерной аппроксимацией соответствующих континуальных соотношений и за счет автоматического удовлетворения естественным граничным условиям их вывод оказался значительно проще.

4. Исследована возможность применения метода динамического программирования для решения задач об оптимизации формы области.

- 180

На мэдельном примере с уравнением Лапласа и ограничениями квадрата нормы градиента разработана ускоряющая модификация этого метода, учитывающая большое количество фазовых ограничений и малую размерность вектора управлений. В то же время, этот метод не является универсальным для решения задач с различными конфигурациями областей и граничных условий, а указанная модификация оказывается недостаточно эффективной для численного решения задач большой размерности.

5. Для решения задачи условной минимизации применен градиентный метод первого порядка, в котором использованы полученные необходимые условия оптимальности, и ограничения прочности учтены с помощью не дифференцируемых штрафных функций, в результате чего определяется локальный минимум, который в пределе приводит к решению задачи. На каждой типичной итерации в градиентном методе на основе решения прямой и сопряженной задач, определяются перемещения, напряжения и сопряженная переменная, а также строится улучшающая вариация границы.

6. Для решения прямой и сопряженной задач в работе использован метод конечных элементов на основе комбинированного четырехугольного элемента, который состоит из четырех треугольников; в работе исследованы свойства полученной таким образом аппроксимации.

7. При определении улучшающей вариации предложен специальный базис вариации границы, представляющий собой систему кусочно линейных функций с локальным носителем. Преимущество этого базиса заключается в том,что с его помощью хорошо описывается кусочно линейная граница (удобная для использования метода конечных элементов), легко учитываются конструктивные ограничения и быстро формируются компоненты градиента. Предложенный переход к приближенным формулам определения компонентов градиента основан на использовании одно

-181 сторонних и центральных конечных разностей, что позволяет легко определять вариацию контурных интегралов на искошй границе.

8. На основе предложенного алгоритма разработаны программы решения задач оптимизации формы плоских упругих тел и конструкций для ЭВМ серии ЕС, написанные на языке Фортран.

9. Исследование сходимости разработанного итерационного процесса выполнено на различных модельных задачах, решение которых было получено за 10-20 итераций. Это указывает на возможность стабильного получения решений на ЭВМ для разнообразных задач об оптимизации формы области.

Вычислительный опыт и анализ оптимальных форм позволяет выявить следующие основные закономерности: а) если искомая граница является наиболее нагруженной, ее положение существенно влияет на максимальное значение функции ограничений и итерационный процесс при этом сходится к решению достаточно быстро. В этом случае влияние неизвестной границы на значение функции ограничений носит локальный характер и для получения достаточно точных результатов можно использовать относительно крупную сетку конечных элементов и односторонние конечные разности при вычислении улучшающей вариации; б) если точки, в которых функция ограничений достигает максимальных значений, удалена от искомой границы, чувствительность значений этой функции от положения неизвестной границы незначи -тельна. Тогда итерационный процесс нужно выполнять на мелкой сетке конечных элементов с применением центральных разностей по параметрам, определяющим положение искомой границы; в) в случае, когда максимум функции ограничений имеет место как на искошй границе, так и вне ее, положение искошй границы следует определять за несколько этапов по частям.

10. Разработанный метод пригоден для решения задач с неизвестными границами для других эллиптических уравнений в частных про

- 182 изводных, например, стационарной задачи теплопроводности. При небольших модификациях разработанного алгоритма мэгут быть решены задачи об определении неизвестной границы раздела двух различных фаз.

11. С использованием составленных программ найдены оптимальные формы следующих строительных конструкций: стены здания санатория, аккумулятора тепла с семью внутренними каюрами, крайних диафрагм блоков сборно-монолитных железобетонных конструкций. Полученные результаты расчетов внедрены в практику проектирования и научных разработок.

12. Для качественной проверки результатов численного решения одного из рассмотренных примеров методом фотоупругости были определены напряжения, возникающие в двух рассмотренных элементах, один из которых был оптимальным. Анализ экспериментальных данных подтвердил правильность полученных на ЭВМ результатов.

1. Агюн С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки вблизи границы для решения эллиптических уравнений в частных производных,удовлетворяющих общим граничным условиям. - М.: ИЛ, 1962. - 205 с.

2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М.,Фомин С.В. Оптимальное управне-ние. М.: Наука, 1979. - 432 с.

3. Арман Ж.- Л. Приложения теории оптимального управления системами с распределенными параметрами к задаче оптимизации конструкций. М. Мир, 1977- 142 с.

4. Аткочюнас Ю.Ю. Проектный расчет упругопластических пластин наименьшего объема методом конечных элементов. В кн.: Оптимизация в строительной механике.Вильнюс, 1980, с.69-74.

5. Бабенко К.И. и др. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики. М.: Наука, 1979, -296с.

6. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1982.- 583 с.

7. Баничук Н.В. Оптимизация устойчивости стержня с упругой заделкой. Известия АН СССР. Механика твердого тела, 1973, №5, с.102--110.

8. Баничук Н.В. Об одной вариационной задаче с неизвестной границей и определении оптимальных форм упругих тел. Прикладная математика и механика, 1975, т.39, вып.6, с.1082-1092.

9. Баничук Н.В. Задача оптимизации формы отверстия в пластине,работающей на изгиб. Известия АН СССР.Механика твердого тела, 1977, JS3, с.81-88.

10. Баничук Н.В. Условия оптимальности в задаче отыскания форм отверстий в упругих телах. Прикладная математика и мзханика, 1977, т.41, вып.5, с.566-569.

11. Баничук Н.В. Оптимизация анизотропных свойств деформируемых сред в плоских задачах теории упругости. Известия АН СССР. Механика твердого тела, 1979, Ж, с.71-77.

12. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука, 1980.- 256 с.

13. Баничук Н.В. Современные цроблемы оптимизации конструкций.-Известия АН СССР.Механика твердого тела. 1982, JS2, с.ПО-124

14. Баничук Н.В., Картвелишвили В.М., Миронов А.А. Численное решение двумерных задач оптимизации упругих пластин. -Известия

15. АН СССР.Механика твердого тела, 1977, Ж, с.68-78.

16. Баничук Н.В., Картвелишвили В.М., Миронов А.А. Задачи оптмиза-ции с локальными критериями качества в теории изгиба пластин.-Известия АН СССР. Механика твердого тела, 1978, Ж, с.124- 131.

17. Баничук Н.В., Картвелишвили В.М., Черноусько Ф.Л. О вариационно-разностных методах и вопросах их сходимости. М. ,1975,- 62 с. (Препринт/ Институт проблем механики АН СССР ШЗ).

18. Баничук Н.В., Картвелишвили В.М., Черноусько Ф.Л. О разност-но-квадратичных аппроксимациях выпуклых интегральных функционалов. Доклады АН СССР, 1976, т.231, Ш, с.269-272.

19. Баничук Н.В., Кобелев В.В. Оптимизация конструкций из хаотически армированных, гранулированных и слоистых композитов. М., 1983, -67 с. (Прецринт/ Институт цроблем механики АН СССР JS208).

20. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975, - 631с.

21. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ.,1960.- 400 с.

22. Беллман Р.Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976.-352с.

23. Беллман Р., Глинксберг И., Гросс 0.Некоторые вопросы математической теории процессов управления. М.: ИЛ, 1962, -336 с.

24. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука, 1965, -458 с.

25. Беллман Р., Калаба Р. Динамическое программирование и современная теория управления. М.: Наука, 1969, -120 с.

26. Беллман Р., Энджел Э. Динамическое программирование и уравнения в частных производных. М.: Мир, 1974.- 208 с.

27. Болтянский В.Г. Достаточные условия оптимальности и обоснование метода динамического программирования.-Известия АН СССР. Серия математическая 1964, т.28, с.481-514.

28. Болтянский В.Г.Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1966. -308 с.

29. Брайсон А., Денхэм В. Решение задач оптимального программирования методом быстрейшего подъема. Прикладная механика,1962, т.29, Ж2, с.247-257.

30. Брайсон А., Денхэм В. Задачи оптимального программирования при наличии ограничений типа неравенств П. Решение задач с помэщью наискорейшего подъема. -Ракетная техника и космонавтика,1964, т.2, Ж, с.34-48.

31. Брайсон А., Денхэм В., Дрейфус С. Задачи оптимального программирования с ограничениями типа неравенств I. Необходимые условия экстремума. Ракетная техника и космонавтика, 1963, т.1, Ш, с.107-115.

32. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. Оптимизация, оценка и управление. M.s Мир, 1972, -544 с.

33. Булатов В.П.Методы погружения в задачах оптимизации. Новосибирск: Наука, 1977, - 158 с.

34. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965.- 568 с.

35. Васильев Ф.П. Численные штоды решения экстремальных задач. -М.: Наука, 1980.-520 с. "

36. Ватель И.А., Кононенко А.Ф. Об одной численной схеме решения задач оптимального управления. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1970, т. 10, Ж, с.67-73.

37. Вигдергауз С.Б. Интегральное уравнение обратной задачи плоской теории упругости. Прикладная математика и механика, 1976,т.40, вып.З, с.566-569.

38. Вигдергауз С.Б. Об одном случае обратной задачи теории упругости. Прикладная механика и математика, 1977, т.41, вып.5, с.566-569.

39. Вигдергауз С.Б. Обратная задача трехмерной теории упрутости.-Известия АН СССР.Механика твердого тела, 1983, JS2, с.90-93.

40. Виноградов А.И.Вопросы расчета сооружений наименьшего веса.-Тр. Харьковского ин-та инж.ж.-д.трансп., Трансжелдориздат, 1955, вып.25, -176 с.

41. Виноградов А.И. К вопросу о расчете стержневых систем наименьшего веса.- В сб.: Исследования по теории сооружений. Вып.8. М., 1Ъсстройиздат, 1959, с.499-521.

42. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971, - 507 с.

43. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.: Ibc-техиздат, 1961. - 228 с.

44. Геминтерн В.И., Каган Б.М. Методы оптимального проектирования.-М.: Энергия, 1980.- 160 с.

45. Гениев Г.А., Киссюк В.Н., Тюпин Г.А. Теория пластичности бетона и железобетона. М.: Стройиздат, 1974. - 316 с.

46. Гирсанов И.В. Лекции по математической теории экстремальных задач. Изд. Московского ун-та, 1970. - 118 с.

47. Голыптейн Ю.Б., Соломещ М.А. Оптимальное проектирование стержневых систем при варьировании осевого контура. Строительная механика и расчет сооружений, 1971, М, с.25-29.

48. ГЪльштейн Ю.Б., Соломещ М.А. Определение оптимальной формы стержней и оболочек при помощи вариационного принципа.- Прикладная механика, 1978, т.14, Ш2, с.75-80.

49. Голыптейн Ю.Б., Соломещ М.А. Вариационные задачи статики оптимальных стержневых систем.- Изд.Ленинградского ун-та,Л.,1980.-- 208 с.

50. Гринев В.Б., Филиппов А.П. Оптимальное проектирование конструкций, имеющих заданные собственные частоты. Прикладная механика, 1971, т.7, МО, с. 19-25.

51. Гуревич В.И. К вопросу о выборе оптимальной формы оболочек вращения. Тр.Ленинградского кораблестроительного ин-та. Вып. 116. Л., 1977, с.П-15.

52. Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация. -M.s Наука, 1981-384 с.

53. Дехтярь А.С. Оптимальная оболочка вращения. Строительная механика и расчет сооружений, 1975, Ш, с.П-15.

54. Дубовицкий А.Я., Милютин А.А. Некоторые оптимальные задачидля линейных систем. Автоматика и телемеханика, 1963, т.ХХ1У, ЖЕ2, с.1616-1625.

55. Дубовицкий А.Я., Милютин А.А. Задачи на экстремум при наличии органичений. Доклады АН СССР, 1963, т.149, М, с.759-762.

56. Дубовицкий А.Я.,Милютин А.А. Задачи на экстремум при наличии ограничений. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1965, т.5, ЖЗ, с.395-453.

57. Дубовицкий А.Я., Милютин А.А. Необходимые условия слабого экстремума в общей задаче оптимального управления. М.: Наука, 1971. - 113 с.

58. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982. - 432 с.

59. Золотов А.Б., Сидоров В.Н. Алгоритмизация решения краевых задач строительной механики на ЭВМ. Строительная механика и расчет сооружений, 1975, №5, с.36-42.

60. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач.- М.: Наука, 1974- 479 с.

61. Ишлинский А.Ю. 0 равнопрочном сечении балки. Уч.зап.Моск. ун-та. Вып. 39. М., 1940. с.87-90.

62. Каминскене B.C., Мацюлявичюс Д.А. Оптимизация упругой плосконапряженной системы конечных элементов методом поисковых гипотез. В кн.: Оптимизация в строительной механике. Вильнюс, 1980, с.45-56.

63. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1975, - 272 с.

64. Киселев В.А. Рациональные формы арок и подвесных систем. М.: Госстройиздат, 1953. 356 с.

65. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. - 544 с.

66. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. M.s Наука, 1973.- 446 с.

67. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. 0 методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1962, т.2, №6, C.II32-II39.

68. Кузнецов .Э.Н. Некрутман А.Б., Островский А.Ю. Оптимальное проектирование безмоментных оболочек вращения. В сб.трудов ЦНИИСКа, 1971, вып.20, с.149-156.

69. Куршин Л.М. К задаче об определении сечения стержня максимальной крутильной жесткости. Доклады АН СССР, 1975, т.223, ЖЗ, с.585-588.

70. Куршин Л.М., Оноприенко П.Н. Определение форм двусвязевых сечений стержней максимальной крутильной жесткости. «Прикладная математика и механика, 1976, т.40, вып.6, с.1078-1084.

71. Куршин Л.М., Расторгуев Г.И. О подкреплении контура отверстия в пластинке. Известия АН СССР. Механика твердого тела, 1979, №6, с.94-102.

72. Куршин Л.М., Расторгуев Г.И. Об оптимальной форме сечения скручиваемого стержня. Известия АН Арм.ССР. Механика,1979, т.22, №6, с.17-19.

73. Куршин Л.М., Расторгуев Г.И. К задаче о подкреплении контура отверстия в пластинке безмоментным упругим стержнем. Прикладная математика и механика, 1980, т.44, вып.5, с.905 -915.

74. Леонтьев Н.Н.Демин И.И.Метод конечных элементов в задачах теории сооружений. М.: ШСИ шт.В.В.Куйбышева, 1979. - 76с.

75. Лионе Ж.- Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972- 416 с.

76. Литвинов В.Г. Некоторые обратные задачи для изгибаемых пластин. Прикладная математика и механика, 1976, т.40, вып.4, с.682-691.

77. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука, 1975. - 480 с.

78. Майер Дж. Об оптимизации формы пластических конструкций.- В сб.: Успехи механики деформируемых сред (К 100-летию Б.Г.Галер-кина). M.s Наука, 1975, с.359-372.

79. Малков В.П., Угодчиков А.Г. Оптимизация упругих систем.-М.: Наука, 1981. 288 с.

80. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981. - 416 с.

81. Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968,- 576 с.

82. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем.-М.: Наука, 1971, 424 с.

83. Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем.- М.: Наука, 1975. 526 с.

84. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. М.: Наука, 1978. - 352 с.

85. Муштари Х.А. К теории идгиба пластинок минимального веса из композиционного материала. Прикладная механика, 1967, т.З, М, с.1-7.

86. Николаи Е.Л. Задача Лагранжа о наивыгоднейшей форме колонны.-В кн.: Николаи Е.Л. Труды по механике. М., 1Ъстехиздат,1955,- 584 с.

87. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред.- М.: Мир, 1976, -464 с.

88. Ольхофф Н. Оптимальное проектирование колбелющихся прямоугольных пластин. В кн.: Ольхофф Н. Оптимальное проектирование конструкций. М.: Мир., 1981, с.32-54.

89. Ольхофф Н. Оптимизация колеблющихся балок по отношению к высшим собственным частотам. В кн.: Ольхофф Н. Оптимальное проектирование конструкций. М.: Мир,1981, с.74-110.

90. Ольхофф Н.,Ниордсон Ф.И. Некоторые задачи с особенностями для оптимальных балок и стержней. В кн.: Ольхофф Н. Оптимальное проектирование конструкций. М.: Мир, 1981, с.171-195.

91. Ольхофф Н., Расмуссен С.Х. О простых и двукратных оптимальных критических нагрузках потери устойчивости для защемленных стержней. В кн.: Ольхофф Н. Оптимальное проектирование конструкций. М.: Мир, 1981, с.138 - 154.

92. Ольхофф Н., Тейлор Д.Е. Проектирование сплошных стержней с минимальной общей стоимостью материала и внутренних опор.

93. В кн.: Ольхофф Н. Оптимальное проектирование конструкций. М.: Мир. 1981, с.155-170.

94. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. М.: Мир, 1974. - 376 с.

95. Половинкин А.И. Алгоритм поиска глобального экстремума при проектировании инженерных конструкций. Автоматика и вычислительная техника, 1970, №2, с.31-37.

96. Половинкин А.И. Метод оптимального проектирования с автоматическим поиском схем и структур инженерных конструкций.

97. В сб. трудов ВНИИ транспортного строительства. М.: вып.34, 1970. 162 с.

98. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983. - 384 с.

99. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мтцен -ко Е.Ф. Математическая теория оптимальных цроцессов. М.: Наука, 1969. - 384 с.

100. Ю1.Почтман Ю.М., Бараненко В.А. Динамическое црограммирование в задачах строительной механики. М.: Стройиздат, I975-II0 с.

101. Прагер В. Основы теории оптимального проектирования конструкций. М.: Мир, 1977. - III с.

102. Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. М.: Наука, 1982, - 144 с.

103. Рабинович И.М. К теории статически неопределимых ферм. -Транспечать, 1933. 120 с.

104. Радциг Ю.А. Статически неопределимые фермы наименьшего веса.-Казань: 1969. 287 с.

105. Растригин Л.А. Случайный поиск в задачах оптимизации многопараметрических систем Рига: Зинатне, 1965. - 212 с.

106. Ржаницын А.Р. К вопросу о теоретическом весе стержневых конструкций. В сб.: Исследования по теории сооружений, вып. 1У, Стройиздат, 1949, с.252-265.

107. Ржаницын А.Р. Об общем принципе оптимального расчета сооружений. Строительная мзханика и расчет сооружений. ЖЗ, 1974, с.6-8.

108. Ржаницын А.Р. Расчет упругих оболочек: М.: МИСИ им.В.В.Куйбышева, 1977. - 104 с.

109. НО, Ржаницын А.Р, Строительная механика. М,: Высшая школа, 1982. - 400 с.

110. Рожваны Д. Оптимальное проектирование изгибаемых систем.-М.: Стройиздат, 1980. 316 с.

111. Розонэр Л. Принцип максимума Л.С. Понтрягина в теории оптимальных систем 1,П. Автоматика и телемеханика, 1959, т.XX, МО, с. 1320 - 1334, MI, с.1441 - 1458, М2, с.1562-1578.

112. Романовский И.В. Алгоритмы решения экстремальных задач. -М.: Наука, 1977. 352 с.

113. Сеа S. Численный метод поиска оптимальной области. В кн.: Вычислительные методы в математической физике, геофизикеи оптимальном управлении, Новосибирск: Наука, 1978, с.64-74.

114. Сегерлинд Л.Пришнение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. - 392 с.

115. Сейранян А.П. Оптимальное проектирование балок цри ограничениях по прогибам. Известия АН Арм.ССР. Механика, 1975,т.28, №6, с.24-33.

116. Сейранян А.П. Оптимальное проектирование балок с ограничениями на частоту собственных колебаний и силу потери устойчивости. Известия АН СССР. Механика твердого тела, 1976, М,с.147-152.

117. Сергеев Н.Д., Богатырев А.И. Проблемы оптимального проектирования конструкций. Л.: 1971, -136 с.

118. Серов Н.А. Расчет статически неопределимых ферм с обеспечением минимального веса на несколько равномерно действующих комбинаций нагрузки или на подвижную нагрузку. Сб.научных трудов Ленинградского инж.-стр. ин-та, 1959, вып.ЗО, с.26-40.

119. Сиразутдинов Ю.К. О равнопрочном сечении балки. Тр.Казанского авиационного ин-та, Вып. 168, Казань, 1974, с.Н-18.

120. Складнев Н.Н. Проблемы оптимального проектирования железобетонных конструкций. Известия ВУЗов. Строительство и архитектура. МО. 1976, с.3-20.

121. Складнев Н.Н. Оптимальное проектирование железобетонных конструкций с учетом требований экономичности, технологичности, надежности, долговечности. Автореферат диссертации на соискание ученой степени д-ра техн.наук.- М. 1979. - 38 с.

122. Складне в Н.Н. Оптимальное проектирование конструкций и экономия материальных ресурсов. Приложение к журналу "Строительная механика и расчет сооружений", 1982, J66, с. 17-21.

123. Спейер Дж., Брайсон А. Задачи оптимального программированияв случае ограничений фазового пространства. Ракетная техника и космонавтика, 1968, т.6, №8, с.59-64.

124. Троицкий В.А.Оптимизация упругих стержней при свободных колебаниях. Известия АН СССР, Механика твердого тела, 1976, Ж, с. 145-152.

125. Троицкий В.А., Петухов Л.В. Оптимизация формы упругих тел. -М.: Наука, 1982, 432 с.

126. ФеДоренко Р.П. Замечания в связи с критикой уравнения Беллма-на. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1967, т.7, J£5, c.II93-II98.

127. ФеДоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978,- 487 с.

128. Фельдбаум А.А. Основы теории оптимальных автоматических систем М.: Наука, 1966.- 624 с.

129. Фесик С.П. К расчету рам наименьшего веса на временные нагрузки. В трудах Харьковского ин-та инж. ж.-д. трансп., Транс-желдориздат, 1962, вып.58, с.33-46.

130. Фианко А., Мак-Кормик Г. Нелинейное црограммирование. Методы последовательной безусловной оптимизации.- М: Мир, 1972.-240с.

131. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975. - 534 с.

132. Хог Э., Арора Я. Прикладное оптимальное проектирование.- М.: Мир, 1983. 480 с.- 194

133. Хофер Э., Лундерштедт Р. Численные методы оптимизации.-М.: Машиностроение; 1981. 192 с.

134. Хуберян К.М. Напряжения в статически неопределимой форме,отвечающие наименьшему ее весу при фиксированных усилиях. Сообщение I. Известия АН Арм. ССР, Серия технических наук, 1963 16 М, с .13-19.

135. Хуторянский Н.М. Некоторые обратные и оптимизационные плоские задачи теории упругости. Прикладные проблемы прочности и пластичности; Изд-во Горьковского ун-та, 1977, вып.6, с.81- 87.

136. Хуторянский Н.М. К решению некоторых пространственных и плоских задач оптимизации форм упругих тел. Прикладные проблемы прочности и пластичности; Изд-во Горьковского ун-та, 1978, вып.8, с.66-74.

137. Чень Гэндун, Ольхофф Н. Исследование задач оптимального проектирования сплошных упругих пластин.- В кн.: Ольхофф Н.Оптимальное проектирование конструкций. М.: Мир, 1981, с.196-225.

138. Черепанов Г.П. Обратные задачи плоской теории упругости. -Прикладная математика и механика, 1974, т.38, вып.6, с.963-979.

139. Черноусько Ф.Л. Метод локальных вариаций для численного решения вариационных задач. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1965, т.5, М, с.749-754.

140. Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи мэханики и управления. М.: Наука, 1973.- 238 с.

141. Чирас А. А. Теория оптимизации упруго пластического тела при подвижной нагрузке. В кн.: Математические методы и алгоритмы задач прикладной механики. Литовский механический сборник М9. Вильнюс, 1978, с.5-23.

142. Чирас А.А. Основные виды задач оптимизации в механике твердого деформируемого тела и их математические модели. В кн.: Оптимизация в строительной механике. Вильнюс, 1980, с.5-28.

143. Шатровский Л.И. Об одном численном методе решения задач оптимального управления. Журнал вычислительной математики и ма-тической физики, 1962, т.2, ЖЗ, с.488-491.

144. Юдин Д.Б., Голыптейн Е.Г. Линейное программирование.Теория и конечное методы. М.: Физматгиз, 1963. - 775 с.

145. Begis D., Glovinski R. Application de la methode des elements fines a la resolution d'un probleme optimal.- Ins Jecture Notes in Computer Science,Berlin: Springer Verlag, 1974, vol.11, pp.403-4J4.

146. Cea J. Identification de Domaines.-Lecture Notes in Computer Science.- Berlin: Springe Verlag,1973, p.92-102.151» Cea J. Problems of Share Optimal design.- Proc. Advanced

147. Study Institute,Optimisation of Distributed Parameter Struc tures, Jowa,1980.(eds.E.J.Haug and J.Cea- Netherlanas, Alphen Ann de RigH.: Sythoff- Nordhoff,'1981,p.1005-1048.

148. Cea J., Gioan A., Michel J. Quelques resultats sur ^identification de domaine.- In:Calcolo,1973,p.207-233.

149. Cea J., Gioan A., Michel J. Adaptation le la methode du gradirnt a1 un pobleme d1 identifikation de domaine.-In: Lecture Notes in Computer Sciehce,Berlin Springer Verlag. 1974, vol.11,pp.391-402.

150. Chenais D. On the existence of a solution in a domain identification problrm.- of Math.Anal, and Appl., 1975, vol.52, N2, pp. 189-219.

151. Chum J.W., Haug E.J Two-Dimehsional Shape Optimal Design.-Int. of Numerical Methods in Engineeriny, 1978, vol. 13,pp. 311-336

152. Douglis A., Nirenberg Z. Interior esimates for elliptic sustems of partial differetjial equation.- Comm.Pure Apll. Math., 1955, vol.8, pp.503-538»

153. Gurirth E.Z. On isoperimetric problems, for domains with partly knocon boundaries.- J.Optimis. Theory and Appl 1976, vol.20, N1, p.65-79

154. Zions J.L. On the optimal control of distributed parametr systems.- In: A. Balakrishnan, ed. Techniques of Optimisation Academic Press,1972, pp.137-158.

155. Longmuir A.G., Bohn E.V. Second -Variation Methods in Dinamic Optimisation Theory and Applikation,1969,vol.3pp. 164173.

156. Mehra R.K., Bryson A.E. Conigate Gradient Methods with an Applikation.- Aircraft to V/STOL Elight Path Optimisation.- of Aircraft, 1969, vol. 6, N2, pp.123-229.

157. Michell, A.G. M. The Limits of economy of Material in frame Structures.- Phil. Mag. Ser.6, vol.8, N47, 1904, pp.589- 597.

158. Pedersen P., Laursen C.-Z. Design for minimum stress concentration by finite elements and linear programming. 1981-1?р Report /DCAMM N225.

159. Rousselet B.Dependence of eigenvalues with respect to Shape Proc. advanced Study Institute Optimisation oft Distributed Parametr Structures Jowa,1980 (eds. E.R.Haug and J.Cea)

160. Nether1anas, Alphen Ann de Runs Sythoff Nordhoff 1981, - 17p

161. Loo J.M., Haug E.J. Choi K.K, Shape optimal design of multiple loaded structural components.- In: Optimisation methods in structural design. ( eds. H.Eschenauer, N.Olhoff). Lurich Bibliogra£hisches Inst., 1985, p.250-255»