Оптимизация одношаговых аппроксимационно-итеративных методов решения операторных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

РГВ ол

На правах рукописи

Щ /555

АСКАРОВ Мамыт

ОПТИМИЗАЦИЯ ОДНОШАГОВЫХ АППРОКСИМАЦИОННО-ИТЕРАТИВНЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ОП ?АТОРНЫХ

УРАВНЕНИЙ

01. 01. 01 — математически^ анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Киев — 1995

Диссертация есть рукопись.

Работа выполнена в отделе теории приближения Института математики HAH Украйны.

Научный руководитель:

доктор физико—математических паук ПЕРЕВЕРЗЕВ С. В.

Официальные оппоненты:

. . доктор физико—математических наук БОИЧУК А- А.

кандидат физико—математических паук СИНЕНКО М. А.

Ведущая организация:

Институт кибернетики им В. М. Глушкова HAH Украины.

Защита состоится « /V». laofipq__199 Г.

в 15. 00 часов на ^заседании специализированного совета Д. 016. 50. 01. при Институте математики HAH Украины по адресу:

252601, Киев—4, ГСП, улица Терещенковская, 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан « » <f_199<i*~" г-

Ученый секретарь специализированного совета доктор физико—математических наук

(ГУСАК Д. В.)

НПК зак. ЗОЮ тир. 100. 1995г.

СБЩШ. .ХАРАКТЕРИСТИКА . РАБОТЫ

_ ' _?_* ' I ^ !■ " ■!! I I ' '

Актаудыюсть. тэ?,я*. йбйШда»' исследованию

короста сасодаа-'ости итеракюиих методов приближенного репе-яя юшграшгах ураинекий Фрвдгодыв,- П рода.„Наиболее про-

яадвется метод оэсле-•дрйяиаямВу Нгг сходимостье эЗадчГЗЗЩВСТЩЗМ^*' 1Гавт достаточно сильные ограничения на интегральные опв-хторы. Поэтому €«18 со времен Е.Еыидта (1907) ведутся размотки и исследования разнообразных итеративных методов, >торие сходятся тогда^ коРда мвтоД последовательных приборный не мохе? быть применен. Ойяирный класс методов тгь-ГРО рода составляет тая казши^мйе оДШШАГозые адпрокси-йфШК&вДО^ :

яг мОДюв предложена « рвотах ю7&(Ьх&юа'а, В.И.двбеде-А.М.Самойвекко и Н.И.ГЪнто, А.С.]5учкп, Н.С.Йурпеля, В.К. ддшса. В данной работе останов внимание скокцентрирозано . аыяснеясш аопроса об оптимальной скорости сходимости неторах тадаз агшрокситг?!й^'««тврадаа1йос методов. А иивк~ » ^етедошю-итаратйзках мстодбэ СоЕоаоэа-;^гтш1~курпздя, то*»» «г» «атода С.Д»Сокозоза я КР-методаз Лебедева.

__сказать,пйсл<Ш9Ш1Х проблемы оптямвэа-

» ретгаЯЛ; шггегфалыйф.у^ 'работах

*.Пзр?зорзсза_и продагг.-йш ото учшздЗ М; А. Синении Эти

С урад^^ ^Дгольл П рШ» Ще «адторде имеют конеч-; фтжрШШй^ производ-

, о^ращсчвнкшс з тем, еще з

^рвиЕ^МР^-^и^йдпаишд^ рассмо-

рздЩгосШ»' Кроме таге, очэаидаыЯ «рзо пр&дегазляззт интегральны» урад-

ттжвря* :Ф№гртги№гшт&- -

ааюй фшгош. Язэто«0Г вЗвДсивляотс*;^

продолжая исследования С.В.Переверэеза и М.А.Сикенко, рассмотреть задачу об оптимальной скорости сходимости основных от^ксдаа^кэнко-игеративишс методов на классах уравнений Фредгольыа с бесконечно дкфферзндан/еккни, например, анаяигическгш, и сяаСо-сингулярн&вш ядра.4»!. Этому- и иосзя-щена данная диссертация.

Цель та боты состоит в получении точных аарядкозых оце но к оптимальной скорости сходимости проекцадкно-жгератаз.'ш ыетодзз, кетодоз типа катода Ю. Д. Соколова к КР-мзтодов В.1-Лебедева на классах уравнений с -аналитическики, гармоническими и сгсбо-ск-сузЕрныки ядрами, а тайке - в указавши методов,- оСеспечгжйкзгх оптдаальнув по гарлдгу скорость сходимости. • -

Меуо.яйна. исследований. Основные результаты диссерта-даи шлучены цутем привлечения методов современной теории ■ наилукшяс приближений и функционально:- - ... г ■ . ' ;~бэге систематически используются теорема о ш перечнике шара, элементы общей теории приближенных методов ХВ.Канторовича.

Научная новиэна и практическая •значимость. Основные результаты работы являются ноаыыи и в. определенном смысле неуцучшаемы. Они состоят в следующем:

- установлено, чга дяя классов уравнений Фредгольма

Л рода с таркадаческиии аналиическши и гармоническими ядрами порядки оптииалшой сжорости сходимости адаптивных и неадапгтшх вариантов: щшкциожо-игеративных методов и методов тиш иетода Ю.Д.Сож«ова савшда1», найдены эти ш-рядки и указаны ''

_ - для интегральных уравкашй с аналитическими и герыо-ническиик -дарами найден ккваый аорадок оптимальной скорости сходимости неадаотивних КРгМетодов/ шстрошюес на базе ортоцроекгоров;

- шлучеш трядковью оренки отздавльдай скорости сходимости цро екдаонно-итераяивных метал» в методов типам©-тода Ю. Д. Соколова на классах еагабо-^мнгуляркшс интегральных

раэна'яи'й с ядрами типа ттеягдаала.

FköoTa носит ieops'fkibü'itsM xapassep. Уетановявиныв &. зй факты могут быть кспользозаны при настроении методов зшения пщкладйьк чйДВ№, «язавявх с ш<вградышми ураз-

Атй'бадая. работа-, и mrömmtm. .".'• иолучаиш^ и- .дисезр-едйг результаты дакзадазакисъ и обсуждались на семинаре ■дела теории приближений Института математики HAK Украины, i У научш-теарзтичйскай я&нфвренцки молодых ученых • я спе-:аайегоа Каракалпакского гасукказрсктета - 1993) >

>. наяйуггародасй кйучшзй конференции "Теория приближения я дачи, зичн'сжггелшой математики" (Днвпропетрозсг - IS93).

Осйовнш результата зипэяненншс 'яселздовгайЛ на з [I - 51 .

Стяуктудя и olfeoM сабочяд.. &егертадкя ¿Зъеглза По р'аииц машношеяэго текста со сгон? из введения* десжа гагргфез и списка цитированной литературы аз 24 кацмеио-

EtÄ,

- ........- <и!шю&---едшт."шзш........- —.......

а первон параграфе приставлена олзсшя|а..апнрокситдо-ö-итеративных методов кЬторые иссдйдувтея.з дальнейшем.

Цусть X» •^шейное нормированное пространство, а. p/v - некоторое Л' -«арное подпространстзо

•^(Р») обозначим множество операторов проектиро-g (п)ро«яоров) X• »'- Крома-м», череэ

'у e V ^^ ^ бУДвм обозначая» ыножестао асевозмож-лроекторов ма прсиввоЛик» подпространства ^ фикси-мшой рвзмврюсти ЛЛ . •

ймааютрш » X ливвйшв операторное уравнение П

где • х: - искомый элемент, / — известный элемент, а

М- некоторый линейный непрерадный оператор из .X. в

X •

Как уже отмечалось, в диссертации рассматривается сведущие одношагозые - адпрокскмационно-йтератив ные методы хгри— блшяеиного решекия (£): проекционно-итератиэные метода (Р1-*етодыЬ методы ткав, метода Ю.Д. Соколова и КВ-методо В.И.Лвбедева. Кввдыйиз назаакнюс методов можно рассиатр**-вать жак комбинацию методатигедовательны^ .. .

некоторого лроевдаонного (прямого) ветода.Крометого, каж-дайиэ них суть линейный, стационарный итерационный процесс, определяем фо^цуаюй вида ' \

т » А,... /

¡здесь - приближенное решение (!), определенное на

предыдущем шаге итерации, а 3 - некоторый линейный оператор, характериэуадий итерационная метод. Так, например, в зависимости от того лот иного проектора V Р т проекцкожо-итератйвный метод может быть задан формулой (2), в которой

где / - тождественный (единичный) оператор. С другой сто-роШ* методы типа метода 1.Д.Соколова определяются йорадулой (2) ЙрИ

= £>...= с.

m(,'riJf>) ~ I (Т (1 ~ РН; .

> О _

. - Вхр = 4///, Р) = 1 + (I- ри)'рн (5)

Второй параграф диссертации содержит постановку зада-[ об оптимальной' скорости сходимости аппроксимасяонно-■ератияных методой.

Будем гоээр:;ть, то стацпэнарний одаосагозкй итэраиион-:.й процесс ('¿) сходится к реаониа й уравнения (Г) со :эростьв геометрической прогрессии со знамонатэлеа с^ л ¿ , -та для любого »1 я ^ Д., . „. спразедлиза нсраэеистпо

........ . X_________

з постоянная ■ с не зазнсими? от и т .

—«

Итерационный процзсс (2) каето представить кан мех послёдазательных прйбшзжений' "

К = Г С 6)

г уравнения

Я Г г V у

б.

^ эквивалентного исходному уравнению (I), где оператор определяется разенстаом

Т - Т(В,-Ц) = Bfi - В I (8)

■ ¡Известно, что если оператор 7~ вполне непрерывен и его спектральный радиус

Г(т)= я*. /IT"//'"

удовлетворяет условию О < J* ( Т) < t , то метод последовательных приближений (6) <я?сг::?г.- of г точному резенив разно сильных уравнений ({) п С") со ско-ростьг геометрической прогрессии со знаменателем Л (Т) .

Ш будем рассматривать в дальнейшем лишь такие операторы И и 3 , при которых Т = T(E>,ii) вполне непрерывный О <. f(T)< 1 .

Таким .образом, ыояно утверздать, что Р1-иетоды (2), (3), йетоды типа метода Ю. Д. Соколова (2), (4) и КР-мётоды (2), (5) сходятся к решению уравнения (I) со скоростью геометрических прогрессий, знаменатели ( PjH) Ц- (Р,Н) и ^ (PjH) которых соответственно равны

IP, h)

Hfi^KP)^}/"

X —

а.

/Г)

1Г,

е

-г

л. •

Л

и \ _ А'

* ' — 1 ч

а тп/ а (н ы н)Н

I/ ' лг ■

Л - ¿V

сзоа очерэдь, зеличины.

** Н е

;еделяят знаменатели геометрических прогрессий, со ско-:ть» которых перечисленные ашэ аплроксимасионно-итера-кыз методы сходятся при фиксированном проекторе Р к юнив любого уравнения ' (7) с оператором из некоего класса 7~С . Такиы образом, скорость сходимости ра^адых.мето,дов_иэ_.§_1..на фиксированном классе еделяется лишь выбором проектора Р « .

естаенно осуществить этот зыбор оптимальная образом.

■ -й* будем-рассматркаать деа подхода к оптжизаики сяо-ги сходимости аппроксимационно-итератиэних методов, ванных а $ £. Первый подход« который будет называться ггизнш, состоит в оптимизадаи скорости сходимости 8 • у» величины

(«¿ор, Ж) = 4 ир 1*1 а (Р Ц) (9) Н * Х- Р* РЛХ)к

В рамках такой оптимизации попадают методы, при которых проектор р проектирует на подпространство, приспосабливаемое (адаптируемое) к оператору Н & 3-С кз конкретного' уравнения (I).

. Вторым возможным подходом к оптимизации скорости сходимости шляется неадаптизный подход* при котором осуществляется оптимизация в смысле величиные

о («оиос^ те) = ■¿nf £л/ я.(Р}Л) его;

В этом случае всем операторам; И $ Ж -?тся

одно и то же подпространство г „ , ■'■ —'-- '-о-■•у.: зто под-цространство выбирается наилучшим образом для всего класса

Ж . ' ♦

В настоящей работе будут получены результаты, относящиеся к обоим приведенным подходам.

В § 3 определяются основные классы интегральных операторов ,' используемые в настоящей диссертации.

Дусть /-о - гильбертово "пространство функций ^(И суммируемых в кзадрате на ( О, ) с обычной нормой к скалярным произведенном, а У - некоторое линейное нормированное подпространство, вложенное в с константой вложения I.

■ черзз -

интегральных операторов фредгольма вида

обозначим класс

¿-Г

Ига) д(Ъ^

И(! - Hf'i! ,А , Ш «л, W7

где /7 - оператор, еэарз&вняьи » !~i ,

екгтрнзае.\<зму как оператор, отобра:-,:а'.:г;;й а в себя.

ГЬздполапм е:це, что корма в "У .определяется соотношением

/////.- ///^ /fv/А ;

где - «екотзрнй оператор из V s L . .

хЪлоким

= ^(ßnhr.ßj = {н: н*ху ,

¡¡(VYH}*ß i l } / ¿.-у J •

В качество йлокениого з /-. нормированного простыне:-; а "v фягп-'Р^зта й^т'ц^оняльнух прост-

рзсскатризае/йж я теории прйблил'С-Н):.': пргсттпнге»о /4* непрерывных- ¿л" -

елужтячгс'ое продэлг.-лпге некгтзр;.':'' >лосу { л - г ■* i I . ~ г= (.-*">,<=•*) .Т с (-к , к I } ^пленсксй плоскости, и пространство непрерывных

- --¿риодических фуш:и?1й , представите з

вида ¿(г) = , oz.fi I , гда и

гармонична в единичном круге на плоскости с полярной системой координат. ^

При У - А классы Ж-у я Ж у л будем обозначать соответственно через и , а

при "V = Г^ Для классов и о^у в диссер-

тации используется обозначения -Тр и . Определен-

ные таким образом классы содержат интегральные операторы с ядрами, обладающими бесконзчной гладкостью по кандой переменной. В §3 отмечается, что эти операторы естественно возникает при использовании так называемого метода граничных интегральных уразнений при решении краевых задач в областях, ограниченных замкнутыми бесконечно гладкими кривыми.

■ Кроме введенных выше операторных классов, в диссертации рассматриваются еще классы' интегральных операторов с . ядрами типа пэтенпиала

- Г Ъ(г)с{т-о< ы -с 1 (II)

{ а -г/* . '

Действие этих операторов естествещо рассматривается из пространства С непрерывных на [0,1] функций в пространство . ' функций, удовлетворяющих на [0,£] условию Гельдера с показателем .4 - «< . •.,_ Через

3 ( )Рх) будем обозначать класс операторов вида СШ, . удовлетвордаадс условием .

Ш-нП лая ¿л

с-*с ' с-**"« •

Кроме того, обозначим через ЗС* = ( Д , Д^)

операторов /У с , коэффициенты Н (; у которых принадлежат пару радиуса ^ в Соболевском ярэ~ сгралетзе непрерьэно дофференцик'емьэс функций дзух агр?-менных.

. 5 4 содержит некоторие вспэмэгателыие сведения из

пр:гз едена тиор-зка о гаперсчтингс гпг.ра, теорегма о попер?.-«,;«-ке эллипсоида, теорема двойственности, оценки приближения су^ма:.;:! фурье по тригонометрической системе и системе функций Хаара.

В §§ 5, б расстатрга'ается задача оптимизации скорости сходимости Р1-кетодоз (2), (3) и методов типа метода

Д. Соколова (2), (4)' на шожестзе'интегралыпдс уравнений Рредгольыа П рода с интегразьтал: операторами из клас~-са «Л'^ . Дз казаны следующие утверждения.

Теооема 5Л.

Теорака С. Г.

о (ас/сгр,^) X Я (попаЦ}Лк) X ехр(~Ш],

«А

"¡рп этом агсгималънкй порядок скорости сходимости РЬ-мето-юв и методов типа .метода Д. Соколова на классе «Я^, ^беспечизается: тогда, когда в рамках-им ■(2), (3), а (2), 4) з качестве Р выступает ортопроектор на про-

■' • • 12. г^-о

странстзо тригонометрических полиномов порядка V - I "*тг~ {

Из теорем 5.1 . и 6.1- следует, -«то ка классе ^ оптимальная скорость сходимости Р1-м2Тодоз в дза раза ниже по порядьу, чем оптимальная скорость сходимости методов типа метода Ю.Д.Соколова. Это довольно неожиданно, поскольку при Р = Sv прямые методы, применяемые на каждом 'дате итерации в рамках Р1-метода и метода типа Соколова отличаются весьма незначительно.

Кроме того, в" 5 6, следуя В.'/¡.Лебедеву, выделяется основные элементарные операции,требуемые для реализации одношаговых аппроксимащонно-итеративных методов. Это так называемые К-опзраши и Р-операции. Показано, что при довольно естественно!.! критерии остановки итерационного процесса ка класса \Дг( оптимальные варианты Р1-методов и методов типа метода В. Д. Соколова требует пример« разного количества выполнений К-операцнй, но количество выполнений Р-опзрапий дал Р1-методоз существенно выпе. ^

В 5 7 получен аналог теоремы 5.1 для класса ^ • ' Теорема' 7.1. Цусть V = • Тогда

Ч (ас/су^Ч 7 х а . (попаЫ у Л ) X " .. ЧА'

X | ехя (-л/И) .

Сравнение этого результата с теоремой 5Л проясняет влияние повышения гладкости на. скорость сходимости Р1-ме-тодов в случае аналитических едер. Для случая ядер конечной гладкости это влияние было впервые исследовано в докторской диссертадо! А.Е.,Цучки.

В 56 рассматривается вопрос об оптимальной (¡скорости сходимости КР-ието&я• (2), (5) на множестве интеградь-

яых уравнений с ошратораш из класса . ч^........ Отдается,

что схома распадений, позволив шал в §§ 5-7 подучи» точный порядок оптимальной скорости сходимости Р1-методов и методов тепа метода Ю.Д.Сзколава, 'яе пззпадяет сделать это для КР-метода. Одна» для неадаптявйых КВ-методоа, ис-гальэзпацих ортогвявяьаае вроектотю-Р....., с пмюздв »ас- -

•г-чпг

^"¿ГГЬ

.«»шч« ий Мпттм бяойетеынастх, ХДввТСЯ ш-

8,1. Цм V *

где - (Р*) - множество ортогональных проекторов, действующих из ¿. х в Ры .

В § 9 гоиведены аналогии утверждений 55 5-9 для классов и интегральных операторов с периодическими и гармоническими ядрами. ¿Ькааано, например,

-Г "Теот>ема 9.£—Дгсть— .....- Тогда ..........

* У-

В § 10 исследуется вопрос об оптимальной скорости стоимости РГ-методав на множестве уравнений с интегральными

операторами вида: (Ш . из . класса

Теорема Ю. I. При < < О, ± )

где "Ъ*. - ортопроектор на линейную оболочку первых функвдй системы Хаара,

Отмечается, что для класса приведенный в тео-

реме ЮЛ порядок скорости схсдййсти может быть увеличен адзое, если мы вместо Р1-методов'. будем использовать методы типа метода Ю.Д.Соколова. Точнее, иаеет место

' ' Теорема ^0. 2. При ' «,£ е{ о, I )

гд-э вэсгойнкая с,; не зависит от Ы . .

■ ' Таково основное, фдвпадние даосертадш.

^тор «благодарит своего научного руководителя доктора фетико-математических наук С.В.Вереаерзеаа за витание и юстояннуо Сомощь в работе. :

Оетозшгг положения диссертации опубликованы в следующих работа:::

î. Аскарзз М, 05 оптимальной скорости схадик:стя гро-елускке-ггеративкас кетодоз лля imerjwïWJHx ура^кг-нка с аь:ал1!т;г?гс:;:-::.т!! // Огггиывэагяя' »етодоэ' пряближекия.

Асгсгроз Î.Î. Одт'алькая старость n^i.

рнх алярокскмацаскно-итератизкых ызтодоз для интегральных уравнений П рода с гармоническими ядрами // Материалы У научно-теоретической конференции колодах ученых и специалистов Каракалпакского госуниверситета. - It/кус: Каракалпакский госундаерситет, Ï993. - С, 52-53.

.....3. Еерез.ерзез C.B., Аскаров М. Оптимальная скорость

сходности некоторых агора к сим aiç:Q нна -иг е рат ¡та них методов для уравнений Фредгольма в пространствах периодических аналитических функгай /,/ Укр. мат. яурн. - 1994. - 46, if 9.

- С. i208-ttI5.

4. Переверзеа C.B., Аскаров М. 0 скорости сходимости методов прэекцконт-итеративного типа для классов слабо-с;шгуляр.1П£< интеградьньк уравнений // Укр. мат. *урн. -Î995. - 47, № 4. - С. 498-505.

-- 5. Аскаров М. .0 скорости сходимости методов прзекда-снно-итеративного типа для уравнений Фредгольыа с перизда-чгскиуи аналитическими ядрами // Укр. кат. журн. - £995.

- 47, № 9. - С.