Аппроксимация решений операторных уравнений с помощью методов ускорения сходимости итераций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Академия наук Украины Ордена Трудового Красного Знамени Институт математики

На правах рукописи

СИМЕНКО Марина Анатольевна аппроксимация решении операторных уравнении с

помощью методов ускорении сходимости итераций

01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико- математически* наук

Кивв-15г2

Работа выполнена в отделе теории приближения :'чститутг математики Украетм.

Научный руководитель : доктор фиэико-матег'йтнческих наук, ведущий научный сотрудник FEFEBSP3E9 C.B.

Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник РОНТО н.я.

кандидат фиэико-м&?е?.1атических наук, старший научный сотрудник ПОЛЯКОВ Р.В.

Ведущая организация : Научно-исследовательский центр МГУ Защита состоится

_ часов не заседании спецнализированого совета Д 016.50.01

при Институте математики АН Уяранга по адресу : 352601 Киев 4,ГСП, ул. Репина, 3.

С диссертацией моют ознакомиться п '5иблио-"ег.е института.

Автореферат разослан

Ученый секретарь ептцнвяизироввного совета 17СВДД.З.

в

Общая характеристика работы

Актуальность томи, Одновременно с ^ункциопальным анализом, возникшим ь начала ньиэв'нвго столетия, развивалась такте и теория приближенных методов функционального анализа. Так, созданию и 'исследованию приближенных методов решения операторных уравнении посвящены работы таких известных ученых как С. Банах, Е. Емидт, Л.Б. Канторович, Ю.Д. Соколов и другие,

К наиболее широко используемым методам приближенного решения операторных уравнений следует отнести прямые и итерационные методы Вместе с тем, начинал с классической работы Е. Шмидта, большое распространение получили катода, сочетающие а себе идеи как прямых, так и итерационных методов и поэтому, в некотором смысле, болея эффективные. Такие методы иногда называют алпроксимационно-итера-тивными. Различные схема аппроксимациснно-итеративних методов предложены в работах Ю.Д. Соколова,Б,И. Лебедева,А..4. Санойленко, H.H. Ронто, А.Ю. Луч1я ,Н.С. Курпеля, Б.Г. Габдулхаева.С.В. Пере-вэрзэза. Настоящая диссертация посвящена исследованию оптимальной скорости сходимости некоторых типов аппроксимнционно-итератзвных методов.

Следует отметить, что, в связи с потребностями вычислительной математики, в настоящее время особиа место занимает вопрос оптимизации приближенных методов, В трудах А.Н. Колмогорова,С.М. Никольского, Н.П. Корнейчука, 13.К. Даядыка, U.M. Тихомирова, связанных с решением экстремальных задач теории аппроксимации, была разработана методология современной теории наилучших приближений, элементы которой успешно применились для опте»«й?зцян приближенных методов рэвенпя операторных урагненш! t- гао--тах K.M. Бабенко, Н.С. Еахвалона, Г.М. Зайникко, 3.3. Иб.-- l, H.A. Морозова, Б.Г. Габдулхаова.С.В. Переверзева.А.И. Трчбенпккова. В идейном плане к перечисленном работам «ркмикаот и данная диссертация.

Паль .работу.состой? в получении oöirnx теорем о двусторонних апепк-'х скороотя сходокости yurrf оксч».ишсти>-Rrncarimmoc метопов '1!'!и"'нич опзр" гогных. у'звневкй II ролз м ятинекиз теорем ляп рзшзяг* яопрссэ о точном пор,«!:'.? сггамлт.Г'Зй оигрг'г-й схог'ч-• тоти rni>vok0nvan«on4o-nt3rn«»h4x rrto.op йчрогог:'/ -'лт;очх

ЧЧ'. пт-рт;;т, '«Ч1 .НИ Н .

лучены путем привлечения методов современной теории наилучших при>~ блгканий и функционального анализа. Б работе систематически используются теорема о поперечнике шара, элементы общей теории приближенных методов Л.В. Канторовича.

Научная новизна и практическая ценность . Б работе получены следующие результаты:

1)сформулированы к доказаны общие теоремы о порядковых оценках оптимальной скорости сходимости аппроксимационно-итеративных методов применительно к линейным операторным уравнениям II рода, заданных в гильбертовом пространстве;

2) найдены точные порядковые оценки оптимальной скорости сходимости проекдаонно-Етеративных к КР методов решения двумерных уравнений Фредгольма XI рода с ядрами из олределонных классов дифференцируемых функций;

3) для классов уравнений ¿редгольма с дифференцируемыми ядра ми получены точные порядковые оценки оптимальной скорости сходимости обобщенных КР методов, построенных на базе адаптивных и неадаптивных проекционных методоЕ.

Апробация работы и публикации. Полученные в диссертации резуль-. таты докладывались и обсукдались на семинарах отдела теории приближения Института математики АН Украины,на республиканской научной конференции " Экстремальные задачи теории приолижения и их приложения" ( Киев, 1990 ).

Основные результаты выполненных исследований опубликованы в [I - 4] .

Структура и объем раеюты. Диссертация объемом 133 страниц машинописного текста состоит г.з введения, десяти параграфов и сшюта цитируемой литературы из 52 наименований.

Основное содержание работы.

В первом параграфе представлено описание ряда аппроксимациомо -итеративных методов приближенного решения операторных уравнений II рода, а также рассмотрено два подхода к вопросу об оптимизации скорости сходимости мэтодов указанного типа.

Пусть £ - произвольное гильбертово пространство. Гассмот -рим в нам линейное операторное уравнение II рода

и -

(I)

где и - искомый, f - известний элементы из ОС. , Н некоторый линейный непрерывный оператор из ЗС в Х- .

К важнейшим методам приближенного решения уравнения (I) следует отнэсти прямые и итерационные методы. Прямыми обычно называют методы сведения операторных уравнений к конечномерным уравнениям о последующш точным решением этих уравнений. Итерационными называют методы,приводящие к построению последовательности приближенных решений

и.о. и,,, и.«

уравнения (I), которая при К-***" сходится к точному решению указанного уравнения. Однако и прямые , и итерационные методы на лишены отдельных недостатков. Поэтому естественным образом возникает необходимость создания и исследования комбинированных приближенных методов, сочетающих в себе идеи как прямых, так и итерационных подходов,и в некотором смысле более эффективных, чем каждый из исходных методов. Такие методы иногда называют аппрокспмационно -Итеративными методами.

В диссертации исследуются следующие аппроксимационно-итератив-ные методы : проекционно-итеративкый метод, КР УiKPJp¿ м-.тоды, обобщенный КР метод. Кавдый из названных методов можно рассматривать как комбинацию метода пооледоваталъных приближений и некоторого прямого ( проекционного ) метода. Кроме того, 1сакдий аа них суть линейный итерационный процесс, оставляющий.точное решение ; и = уравнения (I) неподшкной точкой. В,И. Лебедев

показал , что всякий линейный итерацлокгкЛ метод, для которого точ ябе решение (I) - неподвижная точка , и в том , что последо-

вательность приближенных решений Ьтрот оол\гтсйо формулам

" * 3 * Ни* " ин ). (2)

Здесь ' 5 " некоторый линеИннЙ оператор, харймзръзугаоий тип зтераштовнсго мзтодч.

Пусть Yy - некоторое конечномерное подпространство X ¿¿¿т.- Х^ '/V , р/. - оператор проектирования на XV Проскционно-итеративний метод можно описать о помощью формулы (2), положив

е>*ьРг&Р1 на-р„н)!р, . (о)

Заметим , что проокциокко-итеративный метод возник на база разработанного Ю.Д. Соколовым а 1152 году метода осреднения функциональных поправок и получил дальне/иое разлитие в работах А.Ю. Лучки, Н.С. Курпеля.И.Н. Тквончука и других,

Другой метод аппроксигзциошю-нтеративного типа ь i£67 году предложил В.И. Лебедев. Ьтог метод получил название КР метод, так как для его реализации необходимо выполнить две операции : определить элемент "И-.,^j , где

11 к* i - / Ни,< ( эту операцию В.И, Лебедев назвал К-оиэрацкей )• и , кромо того, из конечномерного уравнены;

вычислить поправку ^ С F-опэраидя ). При этоп

FCP штсд также мспно задать с wovoauj соотноизния (2), в котором

в - з.кр - 4-, (р*. и) *т< а~р„нг'/гн. ^>

Залогам,что кроме онпсянвого шасэ . оувэстаугт оно нйкэторчз saj'KaHTa КР кетолэ.

Пусть <Cfl и произвольные кокичиодоряыо ио.чпрост^

нстпа X , Jir.ri, - //, . , . там« , что

удовлетворяет неравенствам o±ju.(T) d , то метод последовательных приближений (7) сходится к точному решенью исходного уравнения со скоростью гаоштричэскол прогрэссии со знаменателем tu(T)'

Mu будем рассматривать лишь такие оператора Н и РЬ, при которых операторы Т=Т(НЛ Р») вполне непрерывны и f СТ)у-о.

Таким образом , можно утверждать, что итерационные процессы типа (2) сходятся к решению конкретного уравнения (I) со скоростью геометрической прогрэсси со знаменателей

У**

/L (Т(н,р„)) ' / Т*(Н, . .

к"

Пусть - множество всех проекторов на фиксированное

подпространство V ), а ФЬ -множе-

ство всевозможных проекторов размерности tf ,'т.е.

£ - U % .

dj-m Х„ - //

Одним из возгонных подходов к оптимизации скорости сходимости процессов (3),(4),(5), (6) нз множестве уравнений ( I ) с операторами из некоторого класса является оптимизация в смысле величины

(Я-. 7) * ¿п./ sttP ^СГСН.Р»)),

Jim SC„ "/У "

В атом случае всем операторам Н f сопоставляется одно и то же подпространство -ЯГ # а лишь потом это подпространство выбирается наилучшим образом для всего классп среди различных подпространств размерности JY

Кроме того, мы рассмотрим таю?9 от - чпацтз скорости сходя-мости итерационных процессов (3) -(6) в смысла величин»

* (Л г) « sud inj j» С Т (*>&)). ff* Я

При таком подходе подпространство подбирается отдельно к.

каждому конкретному оператору Н из уравнения (1) . Естеотван-но предполагать , что в этом случае точность итерационных процессов существенно повысятся.

Во второй параграфе определены конкретные классы операторов. Будем говорить, что нормированное пространство У вложено в нормированное пространство X ( и обозначать VX ), если У с X и для любого элэманта / с ОС » ¡¡¿¡^

Пусть ОС. - гильбертово щ сстранство и У вложено в X. Первый класс операторов определим следующим образом:

~{н¡Н. Х-*у, пнцх^у * е*. .1 (а)

Н1-н) //х +х Л

ц

Через У , у обозначим некоторые поцпространствз X • На каждом из этих гсдпространств зацадим линейные необязательно ограниченнее операторы соответсвенно И-г, на Vй, и£; Vй--* х. „ у,, Гл> на

V"У*-*Х • Поломи ... и() V"* ... Ут)

и у и. ' К *Т

Нормы в У и у определим с помощью равенств

ПК № - X ии-с^-ц • /// = г /т^/^.

■> 1*0 /«о

Теперь введем следующий класс операторов :

Яи' - {н ¡н■■ X - у^ !Н!!^уи * «*,

&¿с, С-о,С,

аи-ну'п^ + <г л {г)

¿(.ыетип, чго оплоаич^е вгаэ классы опчратоиов ксчмо рассматривать как некоторые обобщения интегральных опграторов, возникающих при решении задач матег.атичэскоМ физики.

Тек, пусть 1г - пространств1; су^лфуэг-скх в квадрате на отрезке [й ; Т] рункций / о обычней нормой,а ¿^ - пространство абсолютно попреривных нл С0 ; 13 ¿ункци5 / , прииз- | водные которых прчкаллежат / , //Л/ /Г/¡1 * ^/'//^

В 5а погазэно, что при л > У ~ 4/ классу

принадлежат о;:оратсры из слабо-сингулярных уревкепкв Па-йерлса, везниг-аших в рамках теории переноса частиц.

¿2 содпрклт тагам пржерн интегральных операторов, принадлежащих классу • • .

Рассмотри!/ в интегральные операторы лредгольг/а

/

о

резольвенты которых ограничены константой ¿' , и,кроме того, для всякой фунщг.и выполняется неравенства

Класс тегах операторов обозначим .

Пусть ^ - прсстртнсгво .¿ункций, -в производ-

ные которих абсолютно непрерывны на [и ; íJ , а

///

.0

> у/

-"'«'

Л 5 у-

Бо втором параграфе г/ы показали , что ¿"/- с Л ' &)

при X. , ' У4 = Ч'Г= //.

Пусть топ-эръ 21 ( Й) - пространство суи.жруемнх в квадрата 1Ш [0;гя] -1 периодических £ункцш* / -/<'*', ег)

Клзс; дву?.оряых опэрзтор>ов 5редгольмз

/о

/✓/<4 " ) к <*,К V)/С. гг)<Сис1гл

й

которые удовлетворяют следующим требованиям:

1) -ч;

2) для Л1ХЗсй ]укадик _/ из ^ (выполняются неравенства

т

и

I ^**''т-)] Н*. Ли И,

....... ' "2г(Й)

' * ^ '/'щ , .....^

обозначил ¿¡^ г уь,

Через ^ л.л обозначил пространство периодических функций ■¡(■ь, 1) » сметанные производные которых / )

принадлежат пространству ^ (й)

\ 'V "Д

При , ,

В §Э приведены некоторые вспэксгнтельнкэ сведения из теории приближения к функционального анализа. В частности , рассмотрен« 'сртопровкторн • , сопоставляющий функции J¿ частные

суммы Фурье С,Г у с гармониками из гиперболического креста.

В §4 дашщюгкгиояно-итер-тгивяогб л КГ методов получены оценки сверху и снизу величинСЖ, Т) я (Л.Т) на множестве урайиэиий (I), операторы Н которых принадлежат классам Жя

Теорема 4.1. Пусть натуральное число , подпростраист-

- я/ 1Т оьтглтпп

м , Мтп Х.*/? и ортоггроектор,/О X

Т^КРЕК , ЧТО

* - -У» HI-P.

У У

( ot-, j3 - константы из определения класса Л -Л- fi) ), Тогда для проекционно-итзрагиЕпого и KP методсв , построенных на базе подпространства ЗС-^, справедливы оценки

Х(лУ'v^ 'т«*) * TT <1j-p",

j*;(av. rPI) *y/v r„j * ~f м-р*

Обозначим множество линейных непрерывных опе-

раторов, действующих из гильбертова пространства ОС в гильбертово пространство у , a ¿zT, - множество всевозможных ор-тспроекторов на различные подпространства размерности /V Теорема 4.2. Имеет место следующие оценки ;

а, ^ зд- ^ /,рСу ,

i

/'/Я* ГР7) zjut (Л V, Г„) г. Ъ _ sup ^

Ре ПЛ(Т, У) "'

где $ = min {<*, — } .

ß

V V U у

Теорема 4.3. Пусть Ж- ' -Я- ' ~ класс операторов,

определенны;: условиями (lü). Если натуральное число у , подпространство Х.^ с. ОС. , eUm ОС* -tf и ортопроектор X таковы , что

j . «у ///-/>,

то для проекадонио-итеративного и TCP методов, построению на ds-

гг

зе подпространства Ху , имеют место оценки

X Z ы ^ тКР)* сш-рль^х n-pjv^xJ

X 1т„).^ (л * с щ-р„ щ-р,

гда - jrf^-P^Hy^x

Б определении класса положим У^с у ^

Теорема 4.4. Для проегашонно-итеративного и КР методов справедливы слздукщие оценки ;

J*, (* "Т ъ,) -/С (^.г^) * * ^ ip£

J yf , KPJ у if рс<р ПЗ.(Х, уи) v '

¿У

где «..//,. / &

$~=пи.п. /«* i/ii, }

> Отметим , что при доказательства теорем 4.2 и 4.4 приводилась 'схема раосуждении , связанная с известной теоремой В.М, Тихомирова о поперечнике шара. Ранее подобная схема применялась в работах C.B. Перьвпрзвва и С.Г. Солопкого.

Б §5 исследуется задача об оптимальной скорости сходимости A'/J метода и доказываются утвирждения,аналогичные теоремам 4.3, 4.4.

§э 6,7 и 8 посаящзни применению ойцих таорвм из 55 4 с 5 для случая „онкрегннх *ункционада>ннх пространств л интегральных' операторов»

Так, в. §6 определена оптикэльнке порчдки сноросгй сходимости проеккяонно-итераткввого, КР v. /(Р. р, мегидлв на * ояеот-m рдчомертх ветогральвнх урая«{щи£ гролгольиа ii ррдз

i > iL" Ha ' ■■■■ j к (t,-a)u(t)dT

операторы H которых принадлежат либо классу , либо

отличавшемуся от наличном условлй периодичности. Кроме го-го, урезаны подпространства , на базе коюрих строятся про-

вкнионно-итератинныИ, др i; метсди, рэаллэу?-'дяе оТ'л олтк-

п'алмш? поряд:'"

Ь частности, §ß содержит слвдукций результат ;

Ранее соотношение (12) было установлено О.Б. Переверзевым непосредственно для интегральных уравнении (II). Пря этом сукчствонно пскользовзлась установленная A.b. лучкой сценка снврху для скорости сходимости прэекьионно-итй'агкйного метода в зависимости от гладкости ядра уравнения. У нас ге соотношение (Г<2) следует кз об'.ц!х тзо;ем -t.-'J и 4.-1.

В §7 установлены теоренк об ептишль.чоп скорости сходт-'сст'г правгавюнио-r,торативиэгс и ICP методов для лвулариюс yp&EHf:!:i:>' Лредголм/а Л рода с ди^ормщируемм/Е одяга. В качестве nrmvta приведем следующее утиэрглит-з.

Тооге;-'3 7.1. При /"V/,.? . Рерин СЛ9Дую!'»'в ООСТВОВЯНФИ

juj^c.^r)'

(¿К, пл- У"'

п

С iтг.г.'зльнejЛ поолло;: лля класса älr тивзупт Л' п провийгскно-

.-отсдн .по-згроонвчз на баз о прдзрестрзнзтгз CZr 7' ягонсртртмсзжх полиномов с гар?;онака«и из гкпорболи-г^с/огг ! -r-ira , л [ ,v л' /.

В i? s гетотлв ололстч!! j из с&вЛ -5.1 Ml полу;,:/.'!

ри-jßjy сечрху um ско{ости схпдеостгт прозютеонпо-итэрэтяоного г млтспрр s:i cvnC>-cr.inулярпих у;пгигн;г>; Пч;!о?мпз.

."ояйтк.1 ¡срггл& посалг^:; пзученвя cCtorawiKX KP *>»тилоз (.•:), (с) ;п •глмсг'1 nm ffp.',' умг:!лн;-

раторц И которых принадлежат классу <2? ' ' f^j}^) .Здесь указаны оптимальные порядки скорости сходимости обобщенных КР катодов на классе £i-r's как в случае , когда подпространство X* , на база которого строятся рассматриваемые методы, адаптировано к конкретному осератору И из r'1 , так к в случае, когда такая адаптация отсутствует. Кроме того, обсуждается вопрос о целесообразности использования для приближенного решения уравнения (II) с одораторами иь класса того или иного метода из мно-

жества обобщенных КР методов.

Напомним, что 6сли ТП яг о мы получим обычный КР метод,

оптимальный' порядок. скорости сходимости которого на классе установлен в §6 , а именно

К(*пе, rjXjU, N (гз)

Бри этом оптимальный порядок скорости сходимости реализует КР метод, построении» на базе подпространства х ^ алгебраических полиномов ст&пбнк ,у-у

Ясна, что применение любого аппроксимационно-итерзтинного метода , построенного на базе фиксированного подпространства З-t/, более удобно, чем использование метода, предполагающего адаптацию подпространства к конкретному оператору Н . С другой стороны, подбирая подпространство наилучшим образом к кандому операто^ ру Н отдельно, естественно ожидать существенного увеличения точности итерационных процессов . Яэ соотношения (13), в частности, следует, что при ш к О ( Т.е. в случае обычного КР метода ) оптимальный порядок скорости сходимости на классе ¿Zr>s tie может быть улучшен даже за счет адаптации подпространства -3-* отдел;., но к каждому оператору из ... Однако при тп >о ото

нэ так. Прз адаптация содпространстзапозволяет теоретичес-»

ки в два раза увеличить скорость сходимости (2),(6). По,к сояа-лзНЕИ,предлокеп[Шй способ адаптации подпространства неконструктивен. Ймэет место теорема'.

Теорема 9.2. При } -Ш ь /

* , А< , -¿tr+i)

. Гт) X ж

Указанный оптимальный порядок достигается. , если обобщенный КР мэ-тод ( ТП « I ) построен на базе подпространства

X* * уаал { Ус, С = # } .

Здесь У*, суть собственные эле>.мптн оператора Нг(Н1)1

соответствующие первым У собственным числам утого оператора с учетом их кратности.

Следующая теорема устанавливает оптимальный порядок скорости сходимости обобщенных № методов в случае, когда указанные методы построэны на базе риксироаанного подпространства ОС. у , \ гмен-но t имеет место слеятаздч теорема.

Т.еорэка Г.,4. При Гг:-/гг,..- , зерно пора-ьенство

* с #"-<,

где С - некоторая кснстзнта . да зависящая от У .

Отметим ,что для получения приведенной визе оценки снизу была построена конструкция, опирающаяся на глубокую теорему о существовании идеального сплайна с заданными свойствами. Ранее эта теорема пепользоаалг^ь рядом авторов при решении различных экстремальных задач теории аппроксимации.

В 'ДО рассмотрен метод решения операторных уравнений, предложенный Е. Шоком, ^тст метод,не являясь линейным итерационькм про-цосоом, таюг.в представляет собсй сочетание метода последовательных ьриблпжениЛ и некоторого прямого метода.

Д'л класса уравнений Вольтерра Л рода с дзфдареищруемыми яж-равд; получека оценгл сверху скорости сходимости этого итерационного метода,из которой следует, что при фиксированном числе итераций д£нны.'1 метод обеспечивает боле:! высокую точность, чем стандартны!' мптод последовательных приближенкй.

Основные положен:« диссертации опубликованы й следующих работах :

I. Синенко М.А. О связи между проекционнс-итерэтивньгм мето-дс-4 и КР ь-?тодом для уравнений П рода. /' Ькетремалышо задачи те-ор! •! ¡¡¡■яб.ятпт'/! и их щ пяояэгяя.- Тез. дом. Республ. яйучк.

IS

Kner.,29-30 тал ISSo г. - Киев: И.ч-г матешиики Ali УСС^ lübO.-C.II5

2. Сииеккс ".Л. О о вязи .мавду прсекциошю-шератцв'шм метода« и VJP ¡.'в1'от;ом уравнений II оэда / Зовремепнче вопроси ieop;ir. пр»1лаки!ыя и ко/ллекачсго анализа. - Киев: Иа-т }'.я ie.ua »икп АН .УССР, IS90.-C. 113-12:2.

3. Сйнзяро U.A. Об оптимально'! суоросги сходшюотс метода В.П. Лебедева гщ нег.оюрих классах операторных уревиапиС /'/кр. тт. жури. - 189а. - 44. Ä4. - С.541-54?.

4. ПаргирзеБ З.В., Сккенко Ч.А. Od олгатльно/1, скорости оходииоотя IIF изюдй п некоторых его обсбцеиягс / Зурн. еычиол. чятз.чпгчкп и . фязиит. 1991. - 31 , МО.--С» [453 _ 1459.