Оптимизация термонапряженного состояния оболочек вращения методом конечных элементов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

1. ВВЕДЕНИЕ.

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА И СХЕМА ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ. II

2.1. Исходные соотношения температурной задачи теории тонких оболочек . II

2.2. Обобщенный вариационный принцип Лагранжа.

2.3. Математическая постановка экстремальной задачи в перемещениях.

2.4. Схема численной реализации решения задачи.

2.5. Итерационный алгоритм уточненного метода конечных элементов определения температурных напряжений.

3. ОПТИМИЗАЦИЯ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ НЕОСЕСИММЕТРИЧНО НАГРЕТЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ.

3.1. Постановка и схема решения экстремальной задачи.

3.2. Локальный нагрев цилиндрической оболочки.

3.3. О точности численной схемы.

3.4. Локальный нагрев конической оболочки.

3.5. Локальный нагрев оболочки с образующей в виде дуги окружности.

3.6. Нагрев зоны сопряжения пересекающихся цилиндрических оболочек.

4. ОПТИМАЛЬНЫЙ ЛОКАЛЬНЫЙ ПОДОГРЕВ СВАРИВАЕМОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ.

4.1. Математическая постановка задачи.

4.2. Схема численной реализации решения.

4.3. Исследование температурных полей и напряжений.

Тонкостенные элементы конструкций типа оболочек вращения в процессе изготовления, эксплуатации и ремонта подвергаются локальному нагреву. При этом возникают температурные напряжения, которые могут достигать значительной величины, превышать допустимые и приводим к возникновению трещин, значительных термопластических деформаций, к потере устойчивости конструкции. Поэтому весьма важными и актуальными являются исследования задач оптимизации по напряжениям условий нагрева тонких оболочек с целью понижения уровня температурных напряжений.

Развитию теоретических основ оптимизации напряженного состояния тонких оболочек за счет выбора градиентноети температурных полей в зоне локального нагрева при достаточно общего вида ограничениях на допустимые функции посвящены работы Э.И.Григолюка, Я.С.Подстригача, Я.И.Бурака /27,31,45-48/. Решение задач проводилось методами вариационного исчисления на основании минимизации функционала энергии упругой деформации оболочки. Предложенная методика определения оптимальных температурных полей совместно с Л.П.Бесединой, С.Ф.Будзом, А.Р.Гачкевичом, Б.В.Герой, Ю.Д.Зозуляком, Й.В.Огирком, Я.П.Романчуком, Н.Н.Тимошенко, Б.И.Чорным была развита и распространена на широкий класс задач оптимизации напряженного состояния термоуцругих оболочек. Так, постановка и решение задач оптимизации при силовом и температурном нагружении содержится в работах /~28,61,62,91^ , где определяется оптимальная силовая нагрузка, обеспечивающая низкий уровень напряжений в зоне высоких температур. Исследование зависимости оптимальных локальных температурных полей от условий закрепления краевых сечений оболочки выполнено в [ъ,94 J. В работе/"в] исследуются температурные поля в неоднородных оболочках с целью аналитического определения оптимальных условий их локального нагрева.

Определению оптимальных режимов нагрева тонких оболочек вращения в условиях теплообмена с боковых поверхностей при заданных пределах допустимого изменения температурного поля и температурных напряжений посвящены работы Исследования по определению оптимальных по напряжениям полей нагрева оболочек вращения с учетом температурной зависимости характеристик материала проведен в

29,30J . Решение задачи оптимального управления нагревом внутренними источниками тепла, когда распределение температуры с достаточной точностью может быть аппроксимировано линейным законом, получено в /25 7 , а решение соответствующей задачи без априорного предположения о распределении температуры по толщине - в работе [$€>]• Оптимизация режимов индукционного нагрева цилиндрической оболочки при ограничениях на напряжения посвящена работа £ 125 J . В работах / 9,20 J определены режимы низкотемпературной обработки пластин и пологих оболочек с целью понижения остаточных напряжений. Развитию методики оптимизации напряженного состояния тонких оболочек при нестационарном силовом и температурном нагружении посвящены работы^" 26,42У . Более полный обзор работ в этом направлении имеется в работах [4,47,95J .

Оптимальные температурные поля в околошовной зоне в предположении, что температура вне этой зоны задана, а также применительно к локальному нагреву окрестности винтового сварного шва цилиндрической оболочки построены и исследованы Г.В.Пляцко и В.Н.Максимовичем

79,927 •

Разработка аналитических методов решения оптимальных по быстродействию задач уцравления нагревом и охлаждением элементов конструкций при ограничениях на управление, температурные напряжения, перепады и градиенты температурного поля, скорость нагрева посвящена монография В.М.Вигака [3&] .

В работах/32-34,107,108^ построена методика определения и исследованы оптимальные температурные поля локального сопутствующего подогрева свариваемых в стык тонких оболочек и пластин с целью обеспечения низких уровней остаточных напряжений.

Вопросы теории и методы оптимального управления в системах с распределенными параметрами применительно к задачам термоупругости, систематизированы в монографиях/^5,36,57,75,77,114,12б/ Н.В.Баничука, А.Г.Бутковского, А.И.Егорова, В.Г.Литвинова, К.А.Лурье, Т.К.Сиразетдинова, Е.П.Чубарова и др.

Фундаментальные результаты по разработке и применению численных и численно-аналитических методов к решению задач термомеханики тонкостенных элементов конструкций содержатся в работах В.В.Болотина, А.Т.Василенко, Я.М.Григоренко, А.В.Кармишина, Ю.Н.Новичкова, Б.Е.Победой, В.А.Постнова, Л.Г.Савулы, Н.П.Флейш-мана, К.Ф.Черных, Ю.Н.Шевченко и др.

Существует целый ряд подходов и численных алгоритмов решения задач оптимального управления системами с распределенными параметрами. Здесь, прежде всего, следует упомянуть прямые методы/" 83,1317• Ряд исследований связан с непрямыми методами, в которых с помощью принципа максимума А.С.Понтрягина исходная вариационная задача редуцировалась к краевой [36,104,114J . Широкое развитие получили методы решения вариационных задач, базирующиеся на идеях нелинейного программирования /56,58,Юз] . В работах /84,122^ был разработан подход, основанный на вариациях в пространстве состояний.

Этот метод был применен для решения задач оптимизации термоупругого состояния тонких оболочек с учетом температурной зависимости характеристик материала в работахf29,30,88J .

В известных в литературе работах по оптимизации локального нагрева тонких оболочек, в основном, рассматривались задачи осесимметричного нагрева оболочек вращения. В то же время, в связи с многочисленными приложениями (зональный отпуск, предварительный и сопутствующий подогрев в процессе сварки и др.), возникает необходимость решения неосесимметричных задач локального нагрева тонких оболочек. Учет неосесимметрии температурных полей, а также неосесимметрии геометрии оболочек приводит к довольно громоздким исходным соотношениям экстремальных задач. Получение их решения по известным в литературе методикам, основанным на аналитических методах, связано со значительными математическими трудностями.

Поэтому весьма важными представляются исследования по дальнейшей разработке эффективных методик численного решения рассматриваемого класса экстремальных задач.

Целью работы является разработка методики численной оптимизации термонапряженного состояния тонких оболочек вращения при локальном неосесимметричном нагреве ; решение на этой основе новых экстремальных задач об определении неосесимметричных температурных полей, обеспечивающих низкий уровень напряжений в оболочке ; исследование оптимальных температурных полей и соответствующих им температурных напряжений в зависимости от конкретных условий локального нагрева.

Научная новизна. В работе сформулирована математическая постановка и предложена чисельная методика решения задачи оптимизации термонапряженного состояния тонких оболочек вращения, при неосесимметричном нагреве ; разработанная методика, основанная на методе конечных элементов (МКЭ), позволила свести рассматриваемую экстремальную задачу к системе линейных алгебраических уравнений ; построены вычислительные алгоритмы и получены решения новых экстремальных задач оптимизации напряженного состояния оболо

- б чек вращения сложной конструкции при локальном неосесимметричном нагреве ; исследованы оптимальные неосесимметричные температурные поля и напряжения при локальном нагреве цилиндрической и конической оболочек, конкретного вида оболочек вращения, а также цилиндрической оболочки, сопряженной с круглой кольцевой пластинкой в зависимости от ширины зоны нагрева и геометрических параметров оболочки ; найдены и исследованы температурные поля локального подогрева цилиндрической оболочки с криволинейным отверстием, применительно к условиям ее неодновременной сварки меридиональным швом.

Диссертационная работа состоит из введения (первая глава), трех глав основного материала, заключения, списка цитируемой литературы и приложения.

5.3 АКЛЮЧЕНИЕ

В работе сформулирована математическая постановка и предложена численная методика решения задачи оптимизации напряженного состояния оболочек вращения при локальном неосесимметрич-ном нагреве. Методика основана на МКЭ в перемещениях и позволяет свести экстремальную задачу к системе линейных алгебраических уравнений, матрица которой имеет ленточную структуру. Температурные напряжения вычисляются по уточняющей итеррационной процедуре.

На основе предложенной методики получены решения ряда новых задач по определению оптимальных по напряжениям локальных неосесимметричных температурных полей в цилиндрической и конической оболочках, цилиндрической оболочке, сопряженной с круглой кольцевой пластинкой, а также в оболочке, полученной вращением дуги окружности вокруг неподвижной оси, при конкретных условиях локального нагрева.

Выполненные исследования оптимальных постоянных по толщине неосесимметричных температурных полей и соответствующих напряжений в оболочках вращения в зависимости от заданных ограничений на функции управления, условий закрепления краевых сечений позволяют сделать следующие выводы:

- профили оптимальных по напряжениям неосесимметричных температурных полей локального, симметричного относительно центрального сечения, нагрева цилиндрических оболочек, в отличие от осе-симметричных, существенно зависят от ширины зоны нагрева;

- для удовлетворения одинаковых по расчетным напряжениям условий оптимального неосесимметричного локального нагрева конической оболочкой с увеличением угла наклона образующей к оси вращения необходимо расширять зону нагрева;

- при локальном нагреве области сопряжения цилиндрической оболочки с круглой кольцевой пластинкой, можно управлять расчетным напряжением путем соответствующего выбора ширины зоны нагрева цилиндрической оболочки и круглой пластинки;

- полученные зависимости температурных напряжений в оболочке вращения с образующей в виде дуги окружности от геометрических параметров могут быть эффективно использованы при проектировании элементов конструкций данной конфигурации.

Построенные, оптимальные по напряжениям, неосесимметричные температурные поля локального подогрева цилиндрической оболочки, ослабленной криволинейным отверстием, могут быть положены в основу инженерной методики выбора расчетных схем сопутствующего подогрева цилиндрической оболочки в процессе ее неодновременной сварки меридиональным швом.

Построен комплекс программ для ЭВМ серии ЕС на языке ФОРТРАН с помощью которого реализована методика оптимизации напряженного состояния оболочек вращения при локальном неосесиммет-ричном нагреве.

1. Абовокий Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек, -М.: Наука, 1978. -288 с.

2. Алгоритмы и программы решения задач механики твердого деформируемого тела/Под ред.Я.М.Григоренко/.-Киев:Наук.думка, 1976. -196 с.

3. Александров А.В.,Лащенко Б.Я.,Шапошников Н.Н.,Смирнов В.А. Методы расчета стержневых систем, пластинок и оболочек с использованием ЭЦВМ. -М.: Стройиздат, 1976. 4.1. 238 е.; 4.2. 248 с.

4. Амбарцюмян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. -М.: Наука, 1974. -446 с.

5. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел. -М.: Наука, 1980. -255 с.

6. Беседина Л.П.Исследования температурных полей и напряжений в неоднородных оболочках в связи с определением оптимальных условий их локального нагрева: Автореф.дис. .канд.физ.-мат.наук. -Львов, 1970. -18 с.

7. Бес едина Л.П.,Будз С.Ф., Зозуляк Ю.Д. О построении оптимальных по напряжениям температурных полей применительно к условиям термообработки пластин и оболочек. -Мат.методы и физ.-мех.поля, 1978, вып.7, с.II-16.

8. Беседина Л.П., Бурак Я.И. Об оптимальных условиях локальной термообработки цилиндрической оболочки конечной длины при различных способах закрепления торцевых сечений. -Физ.-хим. механика материалов, 1969, 5, № 5, с.621-624.

9. Беседина Л.П.,Тимошенко Н.Н. Оптимизация режимов низкотемпературной обработки пологой сферической оболочки. -Мат.методы и физ.-мех.поля, 1978, вып.7, с.107-110.

10. Березин И.С.,Жидков Н.П.Методы вычислений: В 2-х т. ~М.: Наука, 1966. T.I. 632 с.

11. Биргер И.А. Круглые пластинки и оболочки вращения. -М.: Оборонгиз, 1961. -368 с.

12. Блехман И.И.и др. Прикладная математика: предмет,логика, особеннбсти подходов. -К.: Наук.думка, 1976. -269 с.

13. Боженко Б.Л. Определение оптимальных по напряжениям температурных полей в конической оболочке ПМКЭ. -В кн.: Материалы IX конференции молодых ученых ИППММ АН УССР ч.1 (Львов, 10-14 мая 1982 г.), с.13-17. Рук.деп. в ВИНИТИ 10.01.84 г., № 323-84 Деп.

14. Боженко Е.Л. Оптимизация по напряжениям температурных полей в цилиндрической оболочке методом конечных элементов. -Мат. методы и физ.-мех.поля, 1983, вып.18, с.89-92.

15. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. -М.: Машиностроение, 1980. -376 с.

16. Будз С.<£. Об определении оптимальных температурных полей при начальном нагреве оболочек вращения, -Мат.методы и физ.-мех.поля,1975, вып.1, с.122-127.

17. Будз С.Ф. Определение оптимальных по напряжениям режимов нагрева оболочек вращения: Автореф.дис. .канд.физ.-мат. наук. -Львов,1975. -18 о.

18. Бурак Я.И., Беседина Л.П. Низкотемпературная термообработка зоны кольцевого шва в пластинке с круговым отверстием. -Автомат.сварка, 1975, № 5, с.19-23.

19. Бурак Я.И.,Будз С.Ф. Об определении оптимальных режимов нагрева тонкой сферической оболочки. -Прикл.механика,1971, 10, вып.2, с.14-20.

20. Бурак Я.И.,Будз С.Ф.Оптимизация условий нагрева сферический оболочки при ограничениях на температуру внешней среды. -Мат.методы и физ.-мех.поля, 1977, вып.6, с.22-26.

21. Бурак Я.И.,Гачкевич А.Р. Оптимальные по напряжениям режимы индукционного нагрева тонкой пластинки. -Мат.методы и физ.-мех.поля,1975, вып.2, с.93-98.

22. Бурак Я.И.,Гера Б.В.Оптимизация режимов силового нагружения и нагрева тонких оболочек. -В кн.:Оптимальное управление в механических системах: В 2-х т.Киев: 1979, т.1, с.98-99.

23. Бурак Я.И.,Григолщж Э.И.,Подстригач Я.С.О применении методоввариационного исчисления к решению задач об оптимальном нагреве тонких оболочек. -В кн.: Труды УП Всесоюз.конф.по теории оболочек и пластин. М.,1970, с.100-108.

24. Бурак Я.И.,Зозуляк Ю.Д.Определение оптимальной силовой нагрузки при локальном нагреве тонких оболочек вращения.- Тепловые напряжения в элементах конструкций, 1973,вып.13,с.71-75.

25. Бурак Я.И.,0гирко И.В. Об определении термоупругого состояния оболочки экрана кинескопа с учетом температурной зависимости характеристик материала. -В кн.: Качество,прочность, надежность и технологичность электроннолучевых приборов.

26. К.: Наук.думка, 1976, с.56-59.

27. Бурак Я.И.,0гирко И.В.Оптимальный нагрев цилиндрической оболочки с зависящими от температуры характеристиками материала. -Мат.методы и физ.-мех.поля,1977,вып.5, с.26-30.

28. Бурак Я.И.,Подстригач Я.С.Об одном классе вариационных задач на условный экстремум. -Материалы Респ.симпозиума по дифференциальным уравнениям, Одесса,1968, с.166-167.

29. Бурак Я.И.,Романчук Я.П.Оптимизация температурных полей применительно к условиям сварки оболочек вращения. -В кн.:Х1У научное совещание по тепловым напряжениям в элементах конструкций: Тез .докл.-Киев, 1977, с. 19-20.

30. Бурак Я.И.,Романчук Я.П.,Казимиров А.А.,Моргун В.П. Выбор оптимального температурного поля предварительного подогрева пластин при сварке. -Автом.сварка,1979,№5, с.15-19.

31. Бурак Я.И.,Романчук Я.П.,Моргун В.П.Оптимизация условий локального подогрева свариваемых пластин. -Физико-химическая механика материалов, 1978, №5, с.98-102.

32. Бурак Я.И.,Тимошенко Н.Н.Определение оптимальных температурных полей в задачах о локальном нагреве пологих оболочек.-Физика и химия обработки материалов, 1973,№5, с,29-36.

33. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. -М.: Наука,1975. -568 с.

34. Валишвили Н.В.Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ.-М.: Машиностроение, 1976. -279 с.

35. Вигак В.М.Оптимальное управление нестационарными режимами. -К.:Наук.думка, 1979. -360 с.

36. Винокуров В.А.Сварочные деформации и напряжения. -М.:Маши-ностроение,1968. -236 с.

37. Власов BJ3.Общая теория оболочек и ее приложения в технике. -М.; Л.:Гостехиздат, 1949. -784 с.

38. Вологдин В.П. Деформации и напряжения в сварных судовых конструкциях. -Л.: Судпромгиз, 1945. -180 с.

39. Гера Б.В.Оптимизация переходных режимов силового и температурного нагружений тонких оболочек: Автореф.дис. . канд. физ.-мат.наук. -Львов,1980. -17 с.

40. Гольденвейзер А.Л.Теория упругих тонких оболочек. -М.:Шука, 1976. -512 с.

41. Графтон,Строум.Расчет осесимметричных оболочек методом прямого определения жесткости. -Ракетная техника и космонавтика, I, №10, с.129-136.

42. Григолюк Э.И.,Бурак Я.И.,Подстригач Я.С.Об одной экстремальной задаче термоупругости для безконечной цилиндрической оболочки. -Докл.АН СССР, 1967,174, №3, с.534-537.

43. Григолюк Э.И.,Бурак Я.И.,Подстригач Я.С.О постановке и решении одного класса экстремальных задач термоупругости для оболочек вращения. -В кн.:Теория пластин и оболочек.Киев,1971, с.66-73.

44. Григолюк 3.И.,Бурак Я.И.,Подстригач Я.С.Оптимизация нагрева оболочек и пластин. -К.:Баукова думка,1979. -344 с.

45. Григолюк Э.И.,Бурак Я.И.,Подстригач Я.С.Постановка и решение некоторых вариационных задач термоупругости тонких оболочек применительно к выбору оптимальных режимов местной термообработки. -ПМТФД968, в.4, с.47-54.

46. Григолюк Э.И.,Горшков А.Г.Нестационарная гидроупругость оболочек. -JI.Судостроение, 1974. -208 с.

47. Григолюк Э.И.,Кабанов В.В.Устойчивость оболочек. -М.: Физматгиз, 1978. -360 с.

48. Григоренко Я.М.Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вращения переменной жесткости. -К.:Наукова думка,1973. -228с.

49. Григоренко Я.М.,Василенко А.Т.Методы расчета оболочек.:В 5-ти т. Киев: Наукова думка, 1981. -Т.4. 544 с.

50. Григоренко Я.М.,Васиденко А.Г.Панкратова Н.Д.Расчет некруговых цилиндрических оболочек. -Киев: Наукова думка,1977. -104с.

51. Григоренко Я.М.,Мукоед A.ii.Решение задач теории оболочек на ЭВМ. -К.: Hay к. думка, 1979. -279 с.

52. Гузь А.Н.,Чернышенко И.С.и др. Методы расчета оболочек: В 5-ти т. -Киев: Наукова думка, 1980. -636 с.

53. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. -М.: Наука, 1982. -432 с.

54. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. -М.: Наука, 1978. -464 с.

55. Ермольев Ю.М.,Туленко В.П.,Царенко Т.И.Конечно разностный метод в задачах оптимального управления. -Киев: Наук.думка, 1978 . -167 с.

56. Зенкевич 0.Метод конечных элементов в технике. -М.: Мир, 1975. -541 с.

57. Зенкевич 0., Ченг Ю. Метод конечных элементов в задачах строительной и непрерывной механики. -М.: Г0НТИ,1971, -358 с.

58. Зозуляк Ю.Д.Определение оптимальных температурных полей исиловой нагрузки применительно к условиям локального отжига оболочек вращения: Автореф.дис. .канд.физ.-мат.наук.-Львов,1972. -18 с.

59. Зозуляк Ю.Д.Оптимизация силовой нагрузки при узких зонах локального нагрева цилиндрической оболочки. -Мат.методы и физ.-мех.поля, 1975, вып.1, с.118-122.

60. Кантор Б.Я.,Миткевич В.М.,Шишкина Э.С.К расчету тонкостенных конструкций вращения методом конечных элементов. -Харьков: Изд-во Ин-та проблем машиностроения АН УССР, 1976. -60 с.

61. Касаткин Б.С.,Лобанов Л.М.,Волков В.В.,Пивторак В.А.Экспериментальное исследование сварочных напряжений и деформаций. -К.:Hayк.думка,1976. -149 с.

62. Кармишин А.В.Дясковец В.А.,Мяченков В.И.,Фролов А.Н.Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций.-М.: Машиностроение,1975. -376 с.

63. Квитка А.Л.,Воронко П.П.,Бобрицкая С.Д.Напряженно деформированное состояние тел вращения. -К.:Наукова думка,1977. -208 с.

64. Коваленко А.Д.Основы термоупругости. -К.:Наук.думка,1970. -307 с.

65. Коваленко А.Д. Термоупругость пластин и оболочек. -К.:Наук, думка, 1971. -108 с.

66. Корн Г.,Корн Т.Справочник по математике./под общей редакцией И.Г.Арамановича. -М.:Наука,1974. -832 с.

67. Крылов В.И.Приближенное вычисление интегралов.-М.:Мир, 1975. -541 с.

68. Кузьминов С.А.Сварочные деформации и напряжения судовых корпусных конструкций. -Л.Судостроение,1974. -286 с.

69. Курант Р., Гильберт Д.Методы математической физики t.I.M. -Л.:Гостехиздат, 1951. -476 с.

70. Левченко И.С. Численные методы решения уравнений ортотронной оболочки вращения. К.: АН УССР. Ин-т кибернетики. Сек."Мат. обеспечение ЭЦВМ" Препринт-71.40, 1971. -с.14-15.

71. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами,описываемыми уравнениями с частными производными. -М.:Мир,1972. -587 с.

72. Литвинов В.Г.Оптимальное управление коэффициентами в эллиптических системах. -К.:йн-т математики АН УССР, Препринт-79.4, 1979. -52 с.

73. Лурье А.И. Статика тонкостенных упругих оболочек. -М.; Л.: Гостехиздат, 1947. -252 с.

74. Лурье К.А.Оптимальное управление в задачах математической физики. -М.: Наука, 1975. -478 с.

75. Ляв А.Математическая теория упругости. -М.; Л.: ОНТИ, 1935. -674 с.

76. Максимович В.Н., Пляцко Г.В. Температурные поля и напряжения при локальном отпуске винтовых сварных швов. -Изв.АН СССР. Сер.Механика твердого тела, 1972, № 4, с.188-192.

77. Марчук Г.И.,Агошков В.И.Введение в проекционно-сеточные методы. -М.: Наука, 1981. -416 с.

78. Махненко В.И.Расчетные методы исследования кинетики сварных напряжений и деформаций. -К.: Наук.думка, 1976. -320 с.

79. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике.-М.: Наука, 1970. -512 с.

80. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. -М.: Наука, 1966. -432 с.

81. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. -М.:Наука, 1971. -427 с.

82. Николаев Т.А.Расчет сварных соединений и прочность сварных конструкций. -М.:Высшая школа, 1965. -451 с.

83. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. -М.: Судпромгиз,1951. -344 с.

84. Огибалов П.М.,Колтунов М.А. Оболочки и пластины. -М.: МГУ, 1969. -695 с.

85. Огирко И.В.Оптимизация термонапряжений и деформаций в гибких оболочках с учетом зависимости характеристик материала от температуры на основе итерационных методов: Автореф.дис. .канд.физ.-мат.наук. -Львов, 1979. -17 с.

86. Оден Дк.Т. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. -М.: Мир, 1976. -56 с.

87. Окерблом Н.О. Сварочные напряжения в металлоконструкциях. -Л.: Машгиз, 1950. -144 с.

88. Щдстригач Я.С., Бурак Я.Й.,Зозуляк Ю.Д. Про визначення оптимального силового навантаження при локальному нагр1в1 ци-л1ндрично1 оболонки. -Доп.АН УРСР. Сер.А., 1972,&II,с.1024-1028.

89. Пляцко Г.В.,Максимович В.М.Про один спос1б визначення температурного поля для локального нагр1ву цилХндричних оболонок. -Доп.АН УРСР. Сер.А, 1971, № 9, с.810-814.

90. Победря Б.ЕЛисленные методы в теории упругости и пластичности. -М.: ИзД-во МГУ, 1981. -343 с.

91. Подстригач Я.С.,Бурак Я.И.,Беседина Л.П. О влиянии способа закрепления торцевых сечений оболочек вращения на профиль оптимального поля при локальной термообработке. -Тепловые напряжения в элементах конструкций.1970, вып.10, с.261-268.

92. Подстригач Я.С.,Бурак Я.Й.,Будз С.ф.и др. Оптимизация и управление в электровакуумном производстве. -К.:Наук.думка, 1980. -216 с.

93. Подстригач Я.С.,Бурак Я.И.,Гачкевич А.Р.Чернявская Л.В.Термоупругость электропроводных тел. -К.:Hayк.думка,1977, -247 с.

94. Подстригач Я.С.,Горячева 3.И.,Бурак Я.И.и др. О влиянии профиля температурного поля на релаксацию остаточных напряженийпри локальном нагреве кольцевых сварных швов. -Физ.-хим. мех.материалов, 1970, I, с.42-45.

95. Подстригая Е.С.,Коляно Ю.М. Неустановившиеся температурные поля и напряжения в тонких пластинах. -К.: Наук.думка,1972. -308 с.

96. Подстригач Я.С.,Коляно Ю.М.,Громовик В.И.,Лозбень В.Л. Термоупругость тел при переменных коэффициентах теплоотдачи. -К.: Hayк.думка, 1977. -160 с.

97. Романчук Я.П.Оптимизация напряженного состояния оболочек вращения при помощи дополнительного локального подогрева. -В сб.: Физико-механические поля в деформируемых средах. -К.:

98. Наук.думка, 1978, с.101-106.

99. Розин Л.А. Вариационные постановки задач для упругих систем.

100. Л.: Издательство Ленинградского университета.1978. -224 с.

101. ПО. Рыкалин Н.Н. Расчет тепловых процессов при сварке. -М.: Машгиз, 195I. -296 с.

102. Савула Я.Г., Шинкаренко Г.А. Расчет криволинейных трубчатых оболочек полуаналитическим методом конечных элементов. -Изв.

103. АН СССР сер.Механика твердого тела, 1980, №2, с.168-173.

104. Сагалевич В.М. Методы устранения сварочных деформаций и напряжений. -М.: Машиностроение, 1974. -248 с.

105. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. -М.: Мир, 1979. 382 с.

106. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. -М.: Шука, 1977. -480 с.

107. Стренг Г., Фикс Теория метода конечных элементов. -М.: Мир, 1977. -349 с.

108. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. -М.: Мир, 1980. -512 с.

109. Талипов Г.Б. Сварочные деформации и напряжения. -Л.: Машиностроение, 1973. -280 с.

110. Тимошенко С.П.,Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. -М.: Наука, 1975. -576 с.

111. Худиев Ш.И.,Магеррамов А.Г. Влияние сопутствующего подогрева на процесс развития сварочных деформаций при переплавлении кромки пластины из закаливающейся стали. -Ученые записки Азерб.ин-та теор.химии, 1978, сер.9, №1, с.50-53.

112. Цирлин A.M.,Балакирев B.C., Дудников Е.Г. Вариационные методы оптимизации управляемых объектов. -М.: Энергия, 1975. -448 с.

113. Чернина B.C. Статика тонкостенных оболочек вращения. -М.: Наука, 1968. -456 с.

114. Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления. ~М.: Наука, 1973. -225 с.

115. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек: В 2-х ч.- Л.: Изд-во Ленинград.у-та, 1962. 4.1. 274 с.

116. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек. -Л.: Изд-во Ленинград.у-та, 1962. Ч.П. 395 с.

117. Чорный Б.И. Оптимизация режимов индукционного нагрева цилиндрической оболочки при ограничениях на напряжения.- Мат. методы и физ.-мех.поля, 1979, вып.10, с.72-76.

118. Чубаров Е.П. Контроль и регулирование с подвижным локальным воздействием. -М.: Энергия, 1977. -209 с.

119. Barlow J. Optimal stress location in finite elements models.-Int. -J. Wumer. Meth. Eng., 1976, N 2, p. 24-3-251.

120. Bernadow M. Convergence of conforming finite element methods to general shell problems.- Int. J.Eng. Sci., 1980, 1j3, n. 2, p.249-262.

121. Mantenffel T.A. Shifted incomplete Cholecky factorization.-Sparse Matrix Proc.Knoxvill Tehn., Philadelphia Pa., 1979, p. 41-61.

122. Oden I.Т., Braunchli H.I. On the calculation of consistent stress distrubutions in finite element aprpximations.- Int. •J. burner. Meth. Eng., 1971, 3, N 3, p. 317-325.

123. Pitz W. tiber eine neue Methode zur Losung gewsser Variations* Probleme der Matematishen.- Physik, H.1, 1908.- 135 s.

124. Tingleff 0. Testing procedures for linear systems with symmetric matrices. Fapp.Numer.Inst.DTH, 1980, N 4, 35 p.

125. Beyer H., Hoppe W., Koch K. Vorwarmen von Grobrohren vor dem Schwaiben bei Bau der "Prushba-Hrasse".- Schwebtechnik (DDR), 1977, B.27, N 10, s.458-460.

126. Jones P.L., Kiltau P.K., Havik K.P. Development on induction heat treatment for automatic offshore pipe weldings.- Welding Journal, 1978, v. 57, N.12, p.15-22.