Оптимизация времени прохождения через область тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Академия наук Украины ^ститут кибернетики имени В. М. Глушкова

На правах рукописи

04 ИЛ О В Салим

УДК 519.6

ОПТИМИЗАЦИЯ ВРЕМЕНИ ПРОХОЖДЕНИЯ ЧЕРЕЗ ОБЛАСТЬ

01.01.09 — математическая кибернетика

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Киев 1993

Диссертацией, является рукопись

Работа выполнена в Институте кибернетики имени В. М. Глушкова АН Украины.

Научный руководитель: академик АН Украины

ПШЕНИЧНЫЙ Б. Н.

I • ,

Официальные оппоненты: доктор физико-м'атематйческил

наук, профессор ЛЯШКО С. И.,

кандидат физико-математических наук НЕНАХОВ Э. И.

Ведущая организация: Институт математики АН Украины.

Защита состоится 24 декабря.1993 г. в 14.00 час. на заседании специализированного ученого совета Д016.45.01 при Институте кибернетики имени В. М.' Глушкова АН Украины по адресу:

252207 Киев 207,' проспект Академика Глушкова, 40.

С диссертацией можно ознакомиться-в научно-техническом

архиве института. . -«

Автореферат разослан 23 ноября 1993 года.

4 ' Ученый секретарь

специализированного ученого совета СИНЯВСКИЙ В. Ф.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Основные результаты теории.оптимального управления посвящены исследованию необходимых условий оптимальности. Многие приложения этой теории приобрели характер классических результатов. Интерес к такого рода задачам не ослабевает благодаря кнроксЛ области их применения, включающей, в частности, экономику, экологию и технику. Необходимые условия оптимальности изучались А.С.Нонтрягиным, Б.Г.Болтянским, Н.Н.Кресовским, А.Б.Курзканским, Б. Н. Пшеничным, а также другими авторачи.

В диссертационной работе рассматривается специальная задача ей оптимальном управлении в смысле быстродействия, в предположении, что мззду начальным и конечным состояниями объекта имеется зад£н*'~;1 "плавающая" область. Требуется'выбрать такое управление, которое переведет объект из начального состояния в конечное состояние так, чтобы время перехода через заданную область было бы минимальным. Подобная постановка возникает в задачах оптимального управления, связанных с экологией,. когда требуется найти траекторию некоторой динамической системы, ко-торзя за минимальное время проходит через зарагеннуг область, грг :оя эта область вогэт перемежатся со временем. К аналогичной поетазювке етхат быть -Т5Ю& сведена задача быстрейшего прохоя-дания само лётом.грбзового фронта при его внезапном, непредсказуемом появлении и невозможности его обхода. Изучаемая задача нова по своей постановке и отличается от классической задачи йттлгногф управления тем, что минимизируемый интегральный функционал необычен и ранее не рассматривался.

Целью настоящей работы является исследование вопросов оп-жазации времени прохождения через заданную область, получение необходимых условий оптимальности и изучение дифференциальных свойств выбранного критерия.

Методы исследования. Основу математического исследования составили метода математического программирования, функционального анализа и обобщенное правило многлгеэгей Лагранаа.

Научная навазна. Сформулирована задача оптимизации Ере-изня прохождения через заданную область. Получены необходимые условия экстремума для линейной системы в разных с "/чаях рзсполо-с&изсти начальных и конечных состояний относительно глад-

кой заданной области. Получены необходимые условия экстремума для линейной системы в случае выпуклой негладкой заданной области. Получены необходимые условия экстремума для нелинейной системы в случае, когда области начальных и конечных состояний нэ пересекаются с заданной областью.

Практическая ценность. Работа является частью широкой программы научных исследований, проводимых в Институте кибернетики имени В.М.Глушкова АН Украины "Разработка интегрированных систем активного управления самолетами, которые - функцианируют в условиях' значительных изменений параметров движения" по государственной программе 6.6.2 "Интегрированные системы управления движением самолетов" (регистрационный номер 6.6.2.1.(5)). Результаты работы могут найти применение при решении конкретных задач теории оптимального управления.

Апробация работы. Результаты работы неоднократно докладывались на семинарах в отделе вычислительных методов оптимизации ИК АН Украины имени В.М.Глушкова, на семинарах кафедры функционального анализа математического факультета Самаркандского госуниверситета имени А.Навои, а также на следующих конференциях :

1." Моделирование и исследование устойчивости процессов" Украинская конференция, г. Киев, 1992 г.

2."качественная теория дифференциальных уравнений (КТДУ)'.' VIII - конференция, г. Самарканд, 1992 г.

3. "Моделирование и исследование устойчивости процессов." Украинская конференция, г. Киев, 1993 г.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 7 работ.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, разбитых на 7 параграфов, заключения и списка цитированной литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

¡Зо введении обоснована актуальность рассматриваемых вопросов, сформулированы цель и задачи исследований. Кратко изложена содержание диссертации.

Первая глава посвящека исследованию задачи оптимизации времени прохождения через заданную область линейной системой.

В параграфе 1=1 приводится общая постановка задачи, приво-

дятся TBKS9 сведения о характеристической функции заданной области, что позволяет представить в аналитическом виде время прохождения объекта через заданную область. Формулируются и обсуждаются так называемые условия согласованности и регулярности. При этих условиях получены необходимые условия оптимальности для поставленной задачи.

Пусть Я™ - n-мерное пространство, х е йп и траектория x(t) удовлетворяет системе линейных дифференциальных уравнений

'x(t) = A x(t) + В u(t), (1)

где А - пхп-?1атрх!цп, В - nxr-матряца, u(t) е Относительно многествз тений U будем предполагать, что оно выпукло и состоит из таких измеримых функция ' u(t), для которых решение системы (1) в виде абсолютно непрерывных функций х( •) существует. Зядавн мноЕЭства MQ с нп, ш1 s Я? и многозначное отображение М(•) отрезка [0,1} в кногество всех подмножеств из Я"; Требуется ЕЫбрзть управление и(>) е U и начальное условие arfo; е Ш0 так, чтобы х(1) е í?f, а время, в течение которого вштотпгтся включение. x(t) е И(t), было минимальным. Если, ввести херахтерястическую функцию

i. xeM(t),

b(X,t) =

О, х е ¡t(t).

то очевидно, что время нахоздения траектории х(-) в заданной области M(t), t e [0,1], выражается интегралом i

Т(х(-)) = jo(x(t).t)dî ,

о

где интеграл понимается в смысле Лебега.

Предположим, что множество М0 - выпукло и замкнуто,а множество М1 задается в виде

М1 = { х е д* : $](х) < О , ] = 1,...,т }, где ф^ - непрерывно дифференцируемые функции. Их градиенты

Г <xp, яр, i sx 1д ......д х )

где Xj , i = <,•••, п компоненты вектора х. Пусть

M{t) = (le Л": <p0(x.tj i О j ,

где (р0 - некоторая функция, непрерывно дифференцируемая по я и t. Введем следующие условия :

1. Условие согласованности : решения системы (1), соответствующее lùaccy управлений U, обладают тел свойствол, что они лежат в подпространстве L пространства абсолютно непрерывных функиуй, для которых производная

а

<Р0(X(t),t) = %JX(t).t) X(t) + ф>ot(X(t).t).

существует для всех t е [0,1] и непрерывна по t. '

2. Условие регулярности траектории. Пусть tf (t*) - момент входа (выхода) траектории х(-) в (из) *(t).

Будел говорить,что лолеит tt (t*) регулярен для траектории х('), если

а

ф 0(s(t),t)

t-t.

аг

Обзначим левую часть этого соотношения через ^(хС^.г^).

Теперь, учитывая задание множеств ма) и И1 е йп, поставленную задачу в параграфе 1.1 можно записать в следующем стандартном виде :

min Т(х(-)) <f>j(x(1)) <

х(-) е I,

<Qj(X(1)) < О, / = i ,2, • • • ,П, (2)

где Ь - подпространство пространства, абсолютно, непрерывных, функций;

В параграфе- 1.2 приводятся! неоОходимыа условия, оптимальности задачи* (2)>, когда, области, начальных' и< конечных состояний-не пересекаются-с заданной-областью. В этом:случае общее время нахождения траектории в заданной области H(t) равно

Не Ч '

Воспользовавшись результатами (Пшеничный Б.Н., 1982), доказываются следующие утверждения.

Теорем 1.2. Если зР{-) -ряшвЕЮ задачи (2) и выполнены условия согласованно от и оптимальная траектория регулярна, то найдутся такие числа о, о, ...> о не все равные нуля, что

га

\0Т(зР(-).ыР(-)) + 2 Кл Ф),(Я°(1))(Й0(1) > о,

для всех варязциЯ траектории ) таких, что &с°(о) е М0-зР(0),

) =!(.)- !(•) удовлетворяет уравнениям (1) для

всех упразязггй кз заданного гягаяэства и.

Теорет 1.3. Если выполнены условия согласованности и оптимальная траектория регулярна, то существуют такие, не все равнаэ аул» чясла > О, 3 = 1,...,т и функция ф(г), 1 е [0,1], что ешголняются следующие соотношения :

О)

(4)

(5)

<|>(г{+ 0) - (|>{4Г О) = (-Г)'п(х°(-)Д{). 1=1,...,2а, (6)

и

<|)(1) = ) >. (7)

ш' (=1

ф(0)я°(0) ® а1п ф(0)х_,

хо*Мо 1 1

Гф(1)Ви°(г)йт = ш1п Гф(1)Ви(т)<к, ■» и(-) е V ••

о о

ф(<с) = - ФСОА, - € £ = 1.....ая -1,

Функция феи определяется соотношением

[л ^

-Л.0( J о(«2(,т)п(х"(-}.1;2|)а 2t-

* 1 - o(t2i_f.t)n(f°(.).t2t_f)e ) + J Xj ф^(х°(1))вА-1 e"4T,

j=i J

в

_ <MV-V f i. t < t;

n(jP(-),t.) ш —-- , o(t.i) = | '

1 t(зР(-)л^ l о, t > t,

внешняя нормаль к области U(t) в точке aP(tt), i = 2m.

В параграфе 1.3 получены необходимые условия оптимальности задачи (2), когда области начальных и конечных состояний пересекаются с заданной областью. В атом случае общее время нахождения траектории в заданной области M(t) равно

а функция ф(1) имеет следующий вид

Ф(т) =

( А^ 1,1 Г

I »=Д

А421 1 т Л

- о<^,.т)п(х°(.)Д24)е + I XJ Ф^(г°(1))еА"1 [ е-^.

Теорема 1.4. Если выполнены условия согласованности и оптимальная траектория регулярна, то существуют такие, не все равные нулю числа > о, 3 = и и функция ф(1), т' е [0,1],

что выполняются следующие соотношения :

1. ф(0)х°(0) = min ф(0)го.

хо е ао

г 1

2. |ф(Т)Ви°(Х)<1Т = min |ф(Т)Ви(1)ах . о 6 о

3. ф(т) = - ф(х)А, г 6 (O.t,), х 6 (t{ ,t{+f;, 1=1.....Sin -1.

4. 0(tr О) - ф(1;,+ О) = (-1 ИпсЛ- ).t{), i = 1.....2m.

ш

5. ф(1) = J*./pJe(sP(l».

J='

В параграфе 1.4 рассматривается случай, когда заданная область выпукла п не зависит от времени. Здесь предполагается, что области начальных и конечных состояний не пересекаются с заданной областью. Т*к как выпуклая область, вообще говоря, шэет негладкую границу и через кавдую граничную точку aß(ti), (tf, £ = 1, ... ,2т, в момент времени пересечения траектории с грающей) можно провести опорную гиперплоскость

I: nt(x - x°(t()) = О,

где п( - внешняя нормаль к 1? в точке x°(tl). Получена

верхняя оценка целевого функционала. Доказывается теорема.

Теорема 1.5. Пусть зР(-) - решение задачи и выполняются следующие условия s

1. п{В = 0 (условие согласованности).

2. -gj л, х°(t) I = nlAx°(tt) х О (условие регуларност),

то существуют такие, не все равные нулю числа Kj > О, J = Т7т и функция ,ф(1), т € [0,1], что выполняются соотношения (3) - (7).

В конце главы приведены два примера, показывающие важность условий согласованност и регулярности, нарушение которых приводит к качественно новому поведению решений. Рассмотрим второй пример. Пусть уравнения движения объекта С имеет вид

x'(t) = ,

3?(t) = uft) , t e (0,1], |u| < 1,

где . u - управляющий параметр, x = (x'.x2) e R2. Введем обозначения :

M0 " { X * f*'»*2) e ^г x1> О, Л о | , X( = (0,0),

M = | X 6 Я2« <P0W = - x'+ IX2! < о, x'> о | .

Требуется выбрать управление u и начальное условие xQ с äQ так, чтобы х(1) = xf, в найти соответствуицее атому управлению оптимальное время, в течение которого выполняется включение x(t) с М. Для втого примера доказано следующее утверждение.

Теорела 1.6. Если в начале xQ находится ниже линии ИГР или на ней, то движение г^ьекта к xf за кратчайшее время (в смысле быстродействия) будет оптимальным и в назем смысле. 1

Если же х0 расположено выше линии ШР, то оптимальное, в нашем смысле, движение к х( происходит следующем образом: объект в точку В попадает за кратчайшее время (в смысле быстродействия), а после этого движется по дуге ВО и дальше к течке х1 за кратчайшее время (в смысле быстродействия).

Во всех трех случаях нвкменыаее время прохождения через заданную область М вычисляется по формуле t - гх*(о).

Геометрическая иллюстрация теоремы 1.6

х> \u---i у I ,

U=0 А ) Я1

у

Вторая глава посвящена оптимизации времени прохоздения через область, когда двииениа объекта описывается нелинейной системой. В параграфе 2.1 приведена постановка задачи.

Пусть Я" - п-мэрное пространство, х е Я" и траектория хЦ) удовлетворяет системе нелинейных дифференциальных уравнений

'х(Х) = Ях(г),иа)),

где и(-> - управление, т.е. измеримая функция, значения которой выбираются в каждый момент времени из компактного множества и ,

Заданы множества М0 £ Пп, с д^ и многозначное отображение В(-) отрезка [0,1] в мнокество подмножеств из Я*. Требуется выбрать управление и(- )еи и начальное условие

х(0) б И0 так, чтобы х(1) € а время, в течение которого

выполняется включение х(1) е На), было мшшыальным. Будем требовать для нелинейной задачи выполнение условий согласованности и регулярности, рассмотренных в параграфе 1.1.

В параграфа 2.2 рассматривается обобщенное правило мноки-телай Лаграняа для нелинейной системы.

В параграфе 2.3 исследуется необходимые условия экстремума поставленной задачи. В качестве вариаций управлений используются игольчатые вариации, построенные Болтянским. При такой вариации управлений множество векторов кс, определяемое формулой

Ах = /(т(г),и(т))б1 +

в

+ ^ [/СгС^).*,) - /(1(1:{),и(г{))10Г{ , 0 5 15 1. 1=1 ' {

заполняет некоторое множество Кх, являющееся конусом допустимых направлений. Воспользовавшись результатами,изложенными в параграфе 2.2 доказывается.

Теореля 2.2. Если х°(-) - решение задачи и выполнено условие согласованности и оптимальная траектория регулярна, то существуют такие числа > о, J = О, • • • ,т, не все равные нулю, что

\0 Т(хС-).Ш-)) + Y, bjVjjaPCLHtoPC1) z 0 j=/

для всех вариаций ЬзР(- ) с KL-

Окончательно получим следующий результат. Теорем 2.3. Если выполнено условие согласованности и оптимальная траектория регулярна, то существуют такие, не все равные нулю числа Kj > О, J = и функция <|>(т),

te (0,1], что выполняются следующие соотношения :

'1. <|Нх)/(зР(х).и°(х)) = min <p(x)f(jP{x),r). v с U

Л

f âf(x,u) л* г- _n

2. 4f(X) » - ^—J (pw. 3. <J)(1) =

4. О) - t|)(tr О) = ; , t=f,...,2»»,

где

ФСО—\>2 Jo(t2<,T)n(x°(.),t2t) - o(t2<_f,t)n(i°(-).t2t_f)jJ: +

+ 1 xj Ф^УСОЖМ) . o(t,T) =

' о, если x > t,

At j.= E, если t = i, . если t < t.

Основные результаты работа

1. Сформулирована специальная задача оптимального быстродействия, т.е. задача оптимизации времени прохождения через область в предположении выполнения условия согласованности класса управлений и заданной области, и условия регулярности. Поставленная задача исследована путем сведении! к задаче математического программирования.

2. Получены необходим условия экстремума для случая, когда движение объекта описывается линейной системой дифференциальных уравнений. Изучены дифференциальные свойства функций, определяющих критерии.

3. Исследованы всевозможные ситуации выбора начального положения, когда области начальных и конечных состояний динамической системы пересекаются с заданной областью и сформулированы необходимые условия экстремум4-

4. Получены необходимые условия экстремума исходной задачи, когда заданная область выпукла.

5. Офэрмулмровапа нелинейная постановка•исходной задачи. Получены необходимые условия экстремума для случая, когда области начальных и конечных состояний динамической системы не пересекаются с заданной областью.

Основное содержание диссертации излояено в следующих работах.

1. Пшеничный Б.Н., Очилов С. Оптимизация времени прохождения через область // Моделирование и исследование устойчивости процессов: Тез. докл. Укр. конф.-Киев, 1992.-С. 29. '

2. Пшеничный Б.Н., Очилов С. Об одной задаче оптимального управления линейной системой // Качественная теория дифференциальных уравнений: Тез. докл. (КТДУ), СНГ ИИ - конф. Самарканд, 1992. - С. 89.

3. Пшеничный Б."., Очилов С. Оптимизация зремени проховде-ния через область // Кибернетика и системный анализ.-1993. -II 3. - С. 167 - 171.

4. Пленичный Б.Н., Очилов С. О задаче оптимального прохождения через область // Кибернетика и вычисл. техника. - 1993.-Вып. 99.- С. 3 - 8.

6. Пшеничный Б.Н., Очилов С. Об одной специальной задаче оптимального быстродействия // Там же.-1994.-Вып. 101.- с. 24 - 35.

6. Очилов С. Об одном примере оптимального прохождения объекта через заданную область // Автоматика. - 1993.- N 2. - С. 88-90.

7. Очилов С. Об одной специальной задаче оптимального быстродействия // Моделирование и исследование устойчивости процессов: Тез. докл. Укр. конф. - Киев, 1993. - С. 14.

Подл, в печ. 19.II.93. Формат 60x84/16. Бум. тип. № 2. (Щс.тч. Усл.печ.л. 0,70. Усл.кр.-отт. 0,82. Уч.-изд.л. 0,70.

Тираж 100 экз. Заказ 1583.__

Редакционно-издательский отдал о полиграфическим участком Института кибернетики имени В.М.Глушкова АН Украины 252207 Киев 207, проспект Академика Глувкоаа, 40