Орбиты и инварианты пучков квадратных матриц тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

Обозначения

Часть I. Пучки матриц

1. Классификация пучков

1.1. Регулярные пучки

1.2. Несовершенные сингулярные пучки

1.3. Совершенные пучки

1.4. Классификация пучков

1.5. Коразмерность орбиты

2. Инварианты пучков

2.1. Инварианты квадратных пучков

2.2. Инварианты прямоугольных пучков

3. Примыкания пучков

3.1. Пачки пучков матриц

3.2. Основные результаты о замыканиях

3.3. Примыкания пачек и СЬп>т-орбит

3.4. Примыкания СЬп>то2-орбит

3.5. Примыкания 8Ь„.1ТО-орбит.

3.6. Примыкания ЭЬ^^-орбит.

3.7. Нуль-конус

3.8. Построение графов примыканий

Часть II. Пучки матриц порядка

4. Градуированная алгебра Ли Е

5. Полупростые элементы

5.1. Общая теория

5.2. Картановское подпространство

-35.3. Классификация полупростых элементов

6. Нилыютентные орбиты

6.1. Характеристика нильпотентного элемента

6.2. Централизатор нильпотентного элемента

6.3. Классификация нильпотентных элементов

7. Орбиты смешанного типа

Проблема классификации орбит стандартного линейного представления группы ЗЬга1(С) х • ■ • х ЭЦгДС), т.е. тензорного произведения соответствующих тавтологических представлений, при в <2 тривиальна, но уже при 5 = 3 становится чрезвычайно сложной и в общем случае, по-видимому, не имеет разумного решения. Простейшим, но в то же время не тривиальным среди этих сложных случаев является случай трех сомножителей, один из которых есть ЗЬ2(С). Целью настоящей работы является исследование этого случая — стандартного линейного представления группы 8ЬП;т>2 = ЭЬ,,(С) х ЗЬт(С) х ЭЬг(С) в пространстве Сга'т'2 = Сп ® Ст ® С2, нахождение его инвариантов, классификация орбит и описание их примыканий.

В пространстве Сп'т,2 естественным образом действуют еще три группы — СЬП((С) х ЭМС), ЗЬга(С) X ЭЬт(С), и СЪге(С) х СЬт(С) х СЬ2(С), обозначаемые далее через СЬПут, ЭЬП1ТО и СЬП1т;2 соответственно. Между ними имеются следующие включения:

СЬте>т = СЫС) X СЬт(С) с СЬп(С)хСЬт(С)хСЬ2(С)=СЬ№,т,2 и и

ЭЬП1т = ЗЬП(С) х ЗЬт(С) с БЬ^С) х ЗЬт(С) х ЗЬ2(С) = ЗЬге,т;2

Если в пространствах Сп, Ст и С2 выбраны базисы, то компоненты Ти7с тензора Т <Е Сп'т'2 составляют две прямоугольные матрицы, элементы которых суть Т^1 и Т^2 соответственно. Элемент пространства Сге,т'2, интерпретируемый как пара п х то-матриц А и В, называется пучком матриц и обозначается А + ХВ. Если п = т, то пучок называется квадратным.■ в противном случае он называется прямоугольным. Действия групп а1-1п.т,2 и ЗЬП;т12 на пучках матриц определяются по формуле

Р, ф, Я) о (А + X В) = [щРАЦ-1 + гиРВ*!-1) + \irnPAQ-1 + ^РВЯ"1), (1) где Гц суть элементы матрицы Д-1. Будем говорить, что два пучка С-эквивалентны, если они эквивалентны относительно действия группы С, где — одна из вышеперечисленных групп; СЬГ!,„-эквивалентные пучки будем называть просто эквивалентными.

Описание классов эквивалентности пучков матриц относительно действия группы СЬп<т дает классическая теория Кронекера-Вейерштрасса [27, 35]. Сформулируем некоторые относящиеся к этому результаты. Прямой суммой пучков Т\ = Хг + ХУг и = Х2 + ХУ2 матриц размеров щ хгпг и п2х т2 соответственно называется пучок V1ФР2 = (Х1фХ2)+Л(У1фУ2) матриц размера (п1+гг2) х (то1 + т2), где 2/\ © .2/2 - - блочно-диагональная матрица, составленная из блоков ^ и Пучок называется неразложимым, если его нельзя представить в виде прямой суммы двух нетривиальных пучков. Допуская определенную вольность, мы будем говорить о пучках матриц размеров п х 0 и Охга, имея в виду, что когда такой пучок добавляется в качестве прямого слагаемого к другому пучку, к соответствующим матрицам добавляются нулевые строки или столбцы. Неразложимый пучок эквивалентен одному из следующих пучков:

1 А 1

Кк =

-к — l А 1 А V V 1 А

-W

- 1 V

1 V к > О,

Т>к(11) = Ек + Мк(ц), к> О,

Vk(oo) = XJk( 1), к>0, где Ек — единичная матрица порядка к, а Л(/х) — жорданова клетка порядка к с собственным значением ¡л. Любой пучок эквивалентен пучку вида ск1 ©• • • Фскр епк ® • • • е®vnl®■■■®vrls(2) где к1,.,кр и суть минимальные индексы его столбцов и строк соответственно, а . ,/¿5 — собственные значенияРазложение (2) называется кро-некеровым каноническим видом пучкаего слагаемые определены однозначно с точностью до перестановки.

Пучок А + А В называется регулярным, если он квадратный и многочлен + А В) не равен тождественно нулю; в противном случае пучок называется сингулярным. Пучок называется абсолютно сингулярным, если в его каноническом

См. определения на стр. 15.

2)В англоязычной литературе — Kronecker Canonical Form (KCF). виде отсутствуют регулярные пучки. Любой пучок V разлагается в прямую сумму регулярного и абсолютно сингулярного пучков Т>гед и Ртпд , назваемых его регулярной и сингулярной частью. Пучок называется совершенным, если его каноническое разложение имеет вид ф • • • ф £к или Тч^ ф • ■ • ф И-к; пучок не представимый в таком виде называется несовершенным.

В работе Джа-джа [25] результаты классификации Кронекера-Вейерштрасса распространяются на случай действия группы СЬга т19 • В частности, доказывается, что абсолютно сингулярные пучки СЬ^^-эквивалентны тогда и только тогда, когда они вЬ« ^-эквивалентны. Таким образом, классификация пучков матриц относительно действия группы СЬПТО>2 распадается на две независимые задачи: классификацию абсолютно сингулярных пучков относительно действия группы и классификацию регулярных пучков относительно действия группы СЬп,т12 • Первая задача уже решена, а вторая решается путем непосредственного рассмотрения действия группы СЬ2(С) на множестве СЬП)т-орбит регулярных пучков.

Проблема описания орбит тесно связана с проблемой описания инвариантов. Вопрос об инвариантах пучков матриц относится к теории инвариантов представлений колчанов, поскольку пара матриц А и В, рассматриваемая с точностью до действия группы , является классом эквивалентных представлений колчана типа Ах.

Информацию об алгебре инвариантов действия группы ЗЬп,т в пространстве С""'т'2 можно извлечь из общих результатов об инвариантах представлений ручных колчанов. В случае прямоугольных пучков группа СЬи?т71 имеет открытую орбиту, и тогда описание БЬ^^-инвариантов вытекает из результатов работы [23]. Для пучков квадратных матриц коэффициенты бинарной формы с1е1(АА + /у,В), рассматриваемые как многочлены от элементов матриц А и В, совпадают с построенными в [31, §4] относительными инвариантами, а последние, согласно [24, теорема 2.3], в случае колчана типа А} порождают алгебру ЗЬП.„¡-инвариантов. Отсюда следует, что алгебра инвариантов стандартного линейного представления группы ЭЬп^^ изоморфна алгебре инвариантов бинарных форм степени п. Однако для пучков прямоугольных матриц такого изоморфизма нет.

От момента классификации СЬ„ гп-орбит пучков матриц до получения описания их замыканий прошло более ста лет. В течение этого времени исследования по теории пучков в основном мотивировались приложениями к решению дифференциальных уравнений и линейно-квадратичных задач теории управления [33, 20].

Были созданы многочисленные алгоритмы [22, 34, 11], вычисляющие собственные значения пучка и находящие его каноническую форму, но, как и алгоритмы вычисления жордановой нормальной формы матрицы, обладающие одним общим недостатком — неспособностью различать "близкие" пучки из разных орбит. Критерий принадлежности одного пучка замыканию СЬИ)т-орбиты другого был получен в 1986 году Покржива [30] и, независимо, но позднее, Бонгартцем [12]. Покржива сумел выявить и систематически описать основные типы вырождения пучков, а затем простыми методами анализа показать, что все остальные вырождения являются их комбинациями. Бонгартд пришел к этому же результату при помощи теории представлений колчанов. Эти результаты были переработаны и интерпретированы в терминах решеток, что позволило сформулировать необходимые и достаточные условия примыкания, т.е. ближайшего решеточного соседства орбит пучков [17]. После ряда вычислительных экспериментов [18] с пучками матриц размера 2x3, было получено описание замыканий пачек3) пучков матриц [15], но сформулированный в этой работе критерий содержит ряд неточностей и до настоящего момента его доказательство не опубликовано41

Однако классификация орбит стандартного линейного представления группы ЗЬП,ТО;2 для произвольных пятя описание их примыканий до настоящего времени не рассматривались. Изучению этих вопросов посвящена первая глава настоящей диссертации. Таким образом, историю исследований, связанных с орбитами и инвариантами стандартных линейных представлениями групп , 8ЬП1ТО, СЬ,^^ и ЭЬга^, можно коротко суммировать в виде следующей таблицы (результаты диссертации отмечены звездочками):

Группа Классификация орбит Примыкания орбит Инварианты

27, 35] [30], [12], [15] нет

25] нет

28], [24], [31]

• *

По аналогии с пачкой линейных операторов, пачкой пучков матриц называется множество пучков матриц, отличающихся лишь набором различных собственных значений; преимущество пачек перед орбитами состоит в том, что их число конечно.

4^Этот пробел восполняют результаты п. 3.2 настоящей работы.

Классификация орбит квадратных пучков четвертого порядка, составляющая содержание второй главы, использует метод, основанный на работе Винберга об орбитах и инвариантах линейных групп, ассоциированы« с градуированными алгебрами Ли [3], и позволяет взглянуть на геометрию орбит с другой стороны. Применительно к стандартному линейному представлению группы БГ^д^ основные результаты этой работы можно сформулировать так. Стандартное линейное представление группы 8Ь4;4)2 можно вложить в присоединенное представление простой группы Ли С типа Е7, касательная алгебра 0 которой градуирована по модулю 4, таким образом, что пространство представления отождествляется с одним из составляющих градуировку подпространств 0г (без ограничения общности г = 1), а касательная алгебра группы ЗЬ4,412 — с подалгеброй до • Элемент х Е 01 называется полупростым (нилъпогпентным), если его ЭЬ^^-орбита замкнута (замыкание его 81<4,4;2-орбиты содержит ноль). Элемент х Е 01 полупрост (нильпотентен), если он полупрост (нильпотентен) как элемент алгебры д. Всякий элемент пространства 01 однозначно представляется в виде суммы коммутирующих между собой полупростого и нильпотентного элементов (разложение Жордана). Максимальное абелево подпространство в 01, состоящее из полупростых элементов, называется картанов-ским подпространством. Любые два картановских подпространства сопряжены. Всякий полупростой элемент пространства 01 действием группы БЬ^г можно перевести в некоторое фиксированное картановское подпространство. Действие группы 81^ 4 2 индуцирует действие некоторой конечной группы У/ на картановском подпространстве. Два элемента картановского подпространства эквивалентны относительно действия группы 8114,4,2 тогда и только тогда, когда они эквивалентны относительно действия группы }¥. Группа порожденна комплексными отражениями и называется группой Вейля. Таким образом, классификация полупростых элементов пространства 01 относительно действия группы 8Ь4>412 сводится к классификации элементов некоторого картановского пространства относительно действия группы Вейля. Алгебра инвариантов действия группы 8Ь4)4)2 на 01 изоморфна алгебре инвариантов действия группы Вейля на картановском подпространстве и поэтому свободна [3].

Классификация нильпотентных орбит использует метод характеристик [5]. Суть этого метода состоит в следующем5-*. Каждый нильпотентный элемент пространства

5)См. определения на стр. 55.

1 включается в полупростую регулярную подалгебру алгебры д в качестве неприводимого нильпотентного элемента. Полупростые регулярные подалгебры классических алгебр Ли (и, в том числе, алгебры Ли Е7) и их неприводимые нильпотентные элементы описаны в предшествующих работах [6]. Таким образом, перебирая все допустимые вложения этих подалгебр и сравнивая характеристики соответствующих им нильпотентных элементов, можно классифицировать нильпотентные орбиты группы 81(4,4,2 • Аналогичным образом были классифицированы тривекторы девятимерного пространства [4], четыревекторы восьмимерного пространства [2] и спиноры шестнадцатимерного простанства [1].

При некоторых (но, быть может, наиболее интересных) значениях (к,1,т) стандартное линейное представление группы 81^(С) х ЭЬг(С) х 8ЬТО(С) обладает рядом "хороших" свойств [26]. В частности, оно обозримо6' только если к, I, т) = (2,2, п), (2,3,3), (2,3,4), (2,3,5), (2,3,6), (3,3,3), (4,4,2).

Таким образом, случай пучков четвертого порядка является особенным еще и потому, что тройка (4,4,2) относится к числу тех немногих троек, для которых не приходится иметь дело с бесконечным числом нильпотентных орбит. Как мы покажем, при п < 6 нульконус группы 8Ьп,„,2 содержит конечное число СЬге,П)2-орбит, но уже при п = 7 и это свойство теряется. В связи с исследованиями обозримых представлений такого типа следует также упомянуть работы Эренборга [16] о матрицах размера 2x2x2 и Нурмиева [7, 8] о матрицах размера 3 х 3 х 3, а также результат Парфенова [29] и его обобщение на вещественный случай, совсем недавно полученное Доковиц и Тингли [14].

Теперь изложим результаты диссертации более подробно. В первой главе7' мы рассматриваем действия всех четырех групп — СЬге1ТО, 81„1?Г1, СЬп>т!2 и 8Ь„1Гга,2 в пространстве Сп,т'2 . В п. 1 производится классификация орбит пучков матриц относительно действия этих групп, отдельно для регулярных (п. 1.1), несовершенных сингулярных (п. 1.2) и совершенных сингулярных пучков (п. 1.3). Орбиты несовершенных абсолютно сингулярных пучков относительно действия всех этих групп совпадают (теоремы 6 и 7), что сводит проблему их классификации к перебору кро-некеровых блоков, которыми можно заполнить матрицу данного размера, а 8ЬП)ТО,- и

6'Т.е. нуль-конус содержит конечное число орбит.

7'Олубликовно автором в [39]. йЬ^^^-орбиты совершенных пучков зависят от параметра, контролируемого одним инвариантом (теоремы 8 и 10). Регулярные пучки СЬге1ТО;2-эквивалентны (соответственно 8Ьпт ^-эквивалентны) тогда и только тогда, когда наборы их собственных значений переводятся друг в друга некоторым дробно-линейным преобразованием (соответственно дробно-линейным преобразованием специального вида) и кратности соответствующих собственных значений равны (теорема 2). Все критерии эквивалентности пучков перечислены в п. 1.4.

В п. 2 исследуется алгебра инвариантов действия группы , в п. 2.1 для квадратных, а в п. 2.2 — для прямоугольных пучков. Доказывается, что алгебра инвариантов пучков квадратных матриц порядка п изоморфна алгебре инвариантов бинарных форм степени п (теорема 14). Из этого факта следует, что алгебра инвариантов пучков квадратных матриц при больших п устроена весьма сложно: например, она имеет высокую гомологическую размерность [9]. Однако при п = 4 алгебра инвариантов свободна (что, впрочем, следует и из [3]), т.е. действие является корегулярным. Из изоморфности алгебр инвариантов выводится критерий нильпотентности пучка: сингулярный квадратный пучок нильпотентен всегда, а регулярный пучок нильпотентен тогда и только тогда, когда кратность одного из его собственных значений больше половины его порядка (следствие 15). Кроме того, показывается, как можно вычислить явный вид инвариантов квадратного пучка, зная инварианты бинарных форм, и это вычисление проводится явно для пучков матриц четвертого порядка (п. 2.1). Для прямоугольных пучков порядка пх т доказывается, что если число с1 = \п — т\ делит п (или га), то алгебра инвариантов порождена одним инвариантом степени пт/ё, (явный вид которого найден в п. 1.3), и тривиальна в остальных случаях (теорема 16).

Далее в первой главе изучаются примыкания орбит и пачек пучков (п. 3). Пачкой назвается объединение орбит действия группы имеющих одинаковые минимальные индексы и кратности собственных значений, по всем возможным наборам различных собственных значений. При переходе от пачки к ее замыканию некоторые собственные значения могут "склеиваться", причем соответствующие им жордановы клетки при этом объединяются. Этот процесс мы называем укрупнением (п. 3.1). Доказывается, что замыкание пачки состоит из замыканий составляющих ее орбит и замыканий их укрупнений (теорема 21). В дальнейшем метод этого доказательства используется для описания замыканий орбит действий групп

СЬга;ТО>2 и ЗЬП>ТО)2. В отличие от пачек, замыкания СЬга77Ц2-орбит допускают только такие укрупнения, при которых собственные значения склеиваются или все, или все, кроме одного (теорема 23). Замыкания 8Ьп,та.2-орбит описываются по-разному в зависимости от того, является ли пучок совершенным, несовершенным сингулярным, регулярным нильпотентным или регулярным и не нильпотентным (теорема 26). Орбиты совершенных пучков замкнуты. Орбиты несовершенных сингулярных пучков допускают укрупнения, склеивающие все собственные значения, кроме, быть может, одного. Собственные значения нильпотентных регулярных пучков могут склеиваться только все вместе. Если регулярный пучок порядка п не является нильпотентным, но имеет собственное значение // кратности п/2, то склеиваются все собственные значения, кроме /х; если же кратности всех собственных значений регулярного пучка, не являющегося нильпотентным, меньше га/2, то они склеиваться не могут.

Описание замыканий нильпотентных орбит позволяет сделать некоторые выводы о геометрии нуль-конуса стандартного линейного представления группы 8Ь„)т12 (п. 3.7). В частности, при п ф т он неприводим и содержит открытую орбиту. Если п = т, то нуль-конус также неприводим, но при п > 4 открытой орбиты не содержит. Отметим, что число нильпотентных орбит действия группы в общем случае, т.е. кроме некоторых исключительных значений пит, бесконечно.

Отношения примыкания между пачками и орбитами сформулированы в виде наборов правил преобразования диаграмм Хассе, позволяющих эффективно вычислять примыкания орбит и пачек каждого конкретного пучка (пп. 3.3-3.6). Результаты этих вычислений для пучков порядка не более 7 приведены в таблице 1, а на рисунках 4-7 изображены графы примыканий для пачек пучков матриц размера 2x2, 3x3, 4x4, 5x5, 5x6 и 6x6. Вопросы, связанные с составлением таблиц и построением графов, подробно обсуждаются в п. 3.8.

Вторая глава диссертации поясвящена изучению действия группы БЬ^^ в пространстве пучков матриц четвертого порядка8). В п. 4 строится вложение этого представления в присоединенное представление простой группы Ли типа Е7, в п. 5.2 выбирается (двумерное) картановское подпространство (формула 38) и находится

8)Опубликовно автором в [37, 38]. группа Вейля (порядка 96, № 8 в таблице Шеппарда и Тодда [32]), что, вместе с информацией об инвариантах (п. 2.1, формулы 15 и 16), позволяет произвести классификацию полу простых элементов (п. 5.3). Полупростые орбиты общего положения имеют по 96 представителей в построенном картановском подпространстве. Каждая из оставшихся полупростых орбит (кроме нуля) пересекает картановское подпространство в 24 точках, расположенных на зеркалах шести комплексных отражений; эти орбиты являются полупростыми частями смешанных орбит. Классификация нильпотентных орбит основана на методе характеристик (п. 6.1). Перебирая допустимые вложения полупростых регулярных подалгебр алгебры Ли Е7, вычисляя и сравнивая характеристики соответствующих им нильпотентных элементов, мы получаем классификацию нильпотентных элементов (табл. 2). Тип редуктивной части централизатора нильпотентного элемента находится в п. 6.2. В п. 7 производится классификация смешанных, т.е. не являющихся ни нильпотентными, ни полупростыми, элементов. Классификация смешанных элементов сводится к классификации нильпотентных элементов, коммутирующих с данным полупростым элементом, относительно действия стационарной подгруппы этого полупростого элемента (табл. 3).

Результаты классификации пучков матриц четвертого порядка можно коротко сформулировать так: среди орбит действия группы ЭЬ^г имеется 40 нильпотентных орбит (не включая ноль), двупараметрическое семейство замкнутых орбит и 5 однопараметрических семейств орбит смешанного типа. Алгебра инвариантов этого действия свободно порождена двумя образующими степеней 8 и 12, явный вид которых приведен в п. 2.1.

Диссертацию завершает приложение, содержащее явное построение вложения стандартного линейного представления группы ЭЬ,!^ в присоединенное представление алгебры Ли Е7, а также рисунки и таблицы.

Автор выражает глубокую и искреннюю признательность своему научному руководителю профессору Э. Б. Винбергу за постановку задач и постоянное стимулирование к работе, а также доценту Д. А. Тимашеву и профессорам В. Г. Кацу и Б. Костанту за ценные комментарии.

Обозначения

На протяжении всей диссертации основным полем считается поле С комплексных чисел. Если У — векторное пространство над С, то V* обозначает сопряженное ему пространство, Ь(У) и Ь0(У) — пространство всех линейных эндоморфизмов пространства У и его подпространство, состоящее из эндоморфизмов с нулевым следом, а АкУ, и ®кУ — к-тую внешнюю, симметрическую и тензорную степени пространства У соответственно. Пространство АкУ отождествляется с подпространством в ®кУ таким образом, что при € У

VI А - ■ ■ ^vk = sgI1(«l ! ® ■ • • ® г1.Лк где sgn обозначает знак перестановки . ■ Лк) чисел от 1 до к. Если в пространстве У выбран базис е^,., еп, то е1,.,еп обозначает двойственный ему базис пространства V*, а Тп~Лк и Т*1Лк — компоненты тензоров Т е ®кУ иГе ®кУ* в этих базисах. Между пространствами Ак V и АкУ* устанавливается двойственность где и £ АкУ, а и* Е АкУ*. Если размерность пространства V равна пит — ненулевой элемент пространства Ап V, то через т* обозначается элемент пространства АпУ*, определенный условием (т,т*) = 1. Отображение т\)г*: АкУ —> (Ап~кУ)*, задаваемое правилом является изоморфизмом векторных пространств АкУ и (Ап~кУ)*. Если в пространстве У выбран базис и не оговорено противное, то т выбирается так, чтобы т(е 1,. ,е„) = 1.

Если задано действие группы на множестве X, то орбита элемента х € X обозначается через Сж или О(х), если понятно о какой группе идет речь. Множество орбит Х/С единственным образом наделяется топологией, в которой отображение факторизации т : X —»Х/С непрерывно и открыто. Если X — аффинное алгебраическое многообразие, а <5 — алгебраическая группа, то через С[Х] обозначается алгебра полиномиальных функций на X, а через С[Х]с — ее подалгебра, состоящая из С-инвариантных полиномиальных функций. Спектр алгебры С[Х]6' обозначается X[JG. Элемент х пространства X называется нильпотентным, если замыкание его орбиты содержит нуль. Совокупность всех нильпотентных элементов пространства X называется нуль-конусом и обозначается . Размерность и коразмерность подмногообразия У сХ обозначаются через dim У и cod(X,y) соответственно. Через У обозначается замыкание У в X в комплексной топологии.

Число элементов множества S обозначается через | S|. Выражение а+ обозначает тах{о, 0}. Через [ж] обозначается целая часть числа х.

Часть I. Пучки матриц

1. Андреев Е.М., Элашвили А.Г. Классификация спиноров размерности шестнадцать. Труды Тбил. матем. ин-та, 70:4-23, 1982.

2. Антонян JI.B. Классификация четыревекторов 8-мерного пространства. В кн.: Труды семинара по векторному и тензорному анализу, Москва, Изд-во Моск. ун-та, 20:144-161, 1981.

3. Винберг Э.Б. Группа Вейля градуированной алгебры Ли. Известия АН СССР. Сер. матем., 40(3) :463-495, 1976.

4. Дынкин Е.Б. Полупростые подалгебры полупростых подалгебр Ли. Математический сборник, 30(2):349-462, 1952.

5. Нурмиев А.Г. Орбиты и инварианты кубических матриц третьего порядка. Мат. Сборник, 191(5):717-724, 1998.

6. Нурмиев А.Г. Замыкания нильпотентных орбит пучков матриц порядка 3. Успехи Мат. Наук, 55(2):143-144, 1999.

7. Попов В.Л. Сизигии в теории инвариантов. Известия РАН. Сер. Матем., 47(3):554-622, 1983.

8. Arnold Y.I. On Matrices Depending on Parameters. Russian Math. Surveys, 26:29-43, 1971.

9. Beelen Т., Van Dooren P. An Improved Algorithm for the Computation of Kronecker Canonical Form of a Singular Pencil. Linear Algebra Appl., 105:9-65, 1988.

10. Bongartz K. On Degenerations and Extensions of Finite Dimensional Modules. Advances in Mathematics, 121(2):245-287, 1996.

11. Demmel J., Edelman A. The Dimension of Matrices (Matrix Pencils) with Given Jordan (Kronecker) Canonical Forms. Lin. Alg. Appl, 230:61-87, 1995.

12. Dokovic D., Tingley P. Natural Group Action on Tensor Products of Three Real Vector Spaces with Finitely Many Orbits. Electronic Journal of Linear Algebra, 8:60-82, 2001.

13. Edelman A., Elmroth E., Kagstrom B. A Geometric Approach to Perturbation Theory of Matrices and Matrix Pencils. SLAM J. Matrix Anal. Appl, 18(3):653-692, 1997.

14. Ehrenborg R. Canonical Forms of Two by Two by Two Matrices. Journal of Algebra, 213:195-224, 1999.

15. Elmroth E. On the Stratification of the Kronecker Kanonical Form. Technical Report UMINF-95.14, Department of Computing Science, Umea University, S-901 87 Umea, Sweden, May 1995.

16. Elmroth E., Kagstrom B. The Set of 2 by 3 Matrix Pencils — Kronecker Structures and Their Transitions under Perturbations. SIAM J. Matrix Anal. Appl., 17(l):l-34, 1996.

17. Gantmacher F.R. The Theory of Matrices. Chelsea, New York, 1974.

18. Garcia J.M., De Hoyos I., Zaballa I. Perturbation of Linear Control Systems. Lin. Alg. Appl., 121:353-383, 1989.

19. Gohberg I., Lancaster P., Rodman L. Invariant Subspaces of Matrices with Applications. Wiley, New York, 1986.

20. Golub G., Wilkinson J.H. Ill-conditioned Eigensystems and the Computation of the Jordan Canonical Form. SIAM Review, 18(4):578-619, 1976.

21. Happel D. Relative invariants and subgeneric orbits of quivers of finite and tame type. /. of Algebra, 78:445-459, 1982.

22. Happel D. Relative invariants of quivers of a tame type. J. of Algebra, 86(2):315-335, 1984.

23. Ja'ja J. An Addendum to Kronecker's Theory of Pencils. SIAM J. of Appl. Math., 37(3) :700- 712,1979.

24. Kac V.G. Some Remarks on Nilpotent Orbits. J. of Algebra, 64:190-213, 1980.

25. Kronecker L. Algebraische Reduction der Schaaren Bilinearen Fromen. S.-B. Akad., Berlin, 1890.

26. Le Bruyn L., Procesi C. Semisimple Representations of Quivers. Trans. Amer. Math. Soc., 317:585598, 1990.

27. Parfenov P.G. Tensor Products with Finitely Many Orbits. Russian Math. Surveys, 53:635-636, 1998.

28. Pokrzywa. A. On Perturbations and the Equvalence Orbit of a Matrix Pencil. Lin. Alg. Appl, 82:99-121, 1986.

29. Ringel C.M. The rational invariants of the tame quivers. Inventiones Mathematicae, 58(3):217-239,1980.

30. Shephard G.S. and Todd J.A. Finite Unitary Reflection Groups. Canad. J. Math., 6:274-304, 1954.

31. Tannenbaum A. Invariance and System Theory: Algebraic and Geometric Aspects. Springer Verlag, Berlin, 1981.

32. Van Dooren P. The Computation of Kronecker Canonical Form of a Singular Pencil. Linear Algebra Appl., 27:103-141, 1979.

33. Weierstrass K. Zur Theorie der Bilinearen und Quadratischen Formen. Monatsh. Akad. Wiss. Berlin, стр. 310-338, 1867.

34. Zariski O., Samuel P. Commutative Algebra. Springer Verlag, Berlin, 1960.

35. Первушин Д. Д. Инварианты и орбиты стандартного SL4(C) х SL4(C) х SL2 (С)-модуля. Тезисы докладов на международном алгебраическом семинаре, посвященном 70-летию кафедры высшей алгебры МГУ, стр. 48-49, 10-12 февраля 1999.

36. Первушин Д.Д. Орбиты и инварианты стандартного SL4(C) х SL4(C) х SL2 (С)-модуля. Известия АН СССР. Сер. матем., 64(5):133-146, 2001.

37. Первушин Д.Д. Инварианты и орбиты пучков квадратных матриц. Депонент ВИНИТИ РАН № 446-В2002 от 12 марта 2002 г.