Осесимметричный пограничный слой на игле тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ ИМ. М.В.КЕЛДЫША РАН

ОСЕСИММЕТРИЧНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ИГЛЕ

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Шадрина Татьяна Васильевна

Москва - 2004

Работа выполнена в Институте прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, с.н.с.

Брюно Александр Дмитриевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Кондратьев Владимир Александрович

доктор физико-математических наук, профессор Данилов Владимир Григорьевич

Ведущая организация: Институт проблем механики РАН.

Защита состоится « 16 » сентября 2004 года в 11 час. на заседании диссертационного совета Д 002.024.02 при Институте прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН но адресу: 125047, Москва, Миусская пл., 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН

Автореферат разослан « 05 » августа 2004 года

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук

Г.В.Устюгова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Примерно 100 лет назад Прандтль и Блазиус создали теорию погранслоя на полубесконечной пластине в стационарном потоке вязкой несжимаемой жидкости. Впоследствии оказалось, что решение Блазиуса применимо также к толстым пластинам с закругленной кромкой, к заостренным пластинам и к конечной пластине (кроме обеих ее кромок). Гольдштейном (1933) было рассмотрено течение за пластиной, эти результаты позднее уточнил Стюартсон (1957). В 1970 г. Ван де Воореном и Дикстрой был изучен погранслой на всей длине пластины, в том числе вблизи передней кромки. Маклахлан (1991) построил математическую модель обтекания тонкой конечной пластины, в которой погранслой является трехслойным.

Также во многих работах изучался погранслой при осесимметрич-ном обтекании цилиндра. В начальной части цилиндра, где толщина слоя мала по сравнению с радиусом, влиянием поперечной кривизны можно пренебречь. Тогда погранслой ничем не отличается от погранслоя на пластине и описывается решением Блазиуса. Чем ближе к носику цилиндра, тем менее точное приближение дает решение Блазиуса. Себан и Бонд (1951) и чуть позднее Келли (1954) получили решение, продолжающее решение Блазиуса при приближении к носику цилиндра. Для изучения погранслоя вдали от начала цилиндра сперва использовался метод Рэйли (1911), который давал грубое приближение. Полученные этим методом решения теоретически давали качественное описание погранслоя, но не количественное. Польхаузеном (1921) был предложен метод, с помощью которого Глауэрт и Лайтхилл (1955) дали приближенное решение задачи обтекания длинного тонкого цилиндра, справедливое при любых значениях параметра (где V — динамический коэффициент вязкости, и^ — скорость внешнего потока, а — радиус цилиндра, независимая переменная х направлена вдоль цилиндра). И, кроме того, они нашли асимптотическое решение, соответствующее большим значениям этого параметра. Тогда же Стюартсон изучил более общий случай погранслоя на длинном тонком цилиндре, когда скорость внешнего потока задается степенной функцией Иоо = схт.

Однако, полученные на цилиндре результаты не дают предела при стремлении радиуса цилиндра к нулю. И до настоящего времени теория погранслоя на полубесконечной игле не была создана. В этой работе рассматривается стационарный

—> —>

«00 —>

—>

Рис. 1. Схема осесимметричного обтекания иглы вязкой жидкостью.

кой жидкости, набегающий на иглу (рис. 1), для двух вариантов: (а) несжимаемой жидкости и (б) сжимаемой теплопроводной жидкости.

Степенная геометрия, которая используется в данной работе, была разработана А.Д. Брюно как универсальный набор алгоритмов для анализа сингулярностей, пригодный для всех типов уравнений. Уравнения могут быть алгебраическими, обыкновенными дифференциальными и в частных производных, системы могут состоять из уравнений одного типа или содержать уравнения разных типов. Он описал нахождение решения Блазиуса при обтекании полубесконечной пластины стационарным потоком вязкой несжимаемой жидкости с помощью степенной геометрии. При этом было дано чисто математическое обоснование теории погранслоя на пластине, не использующее какие-либо механические или физические соображения.

Цель работы. Найти при х +оо в погранслое вблизи иглы асимптотики решений для функции тока (для сжимаемой жидкости еще энтальпии и плотности удовлетворяющие всем граничным условиям. Если такие решения существуют.

Методы исследования. Для решения этих задач использовались методы степенной геометрии. Из полной системы методами пространственной степенной геометрии выделяется укороченная система, которая является первым приближением полной системы при И, кроме того, решения этой укороченной системы удовлетворяют граничным условиям в бесконечности. После этого, методами плоской степенной геометрии, анализируется полученная укороченная система, которая в ряде случаев сводится к одному уравнению. В случае обтекания иглы вязкой сжимаемой теплопроводной жидкостью, после получения асимптотик решения вблизи иглы и на границе погранслоя, решения укороченной системы просчитываются численно методом Рунге-Кутта.

Научная новизна. Полученные результаты являются новыми. В

случае обтекания вязкой несжимаемой жидкостью доказано отсутствие в погранслое вблизи иглы при х -4 +оо решений, удовлетворяющих всем граничным условиям. Для случая обтекания вязкой сжимаемой теплопроводной жидкостью в погранслое вблизи иглы при по-

лучены асимптотики семейств решений, удовлетворяющих всем граничным условиям.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. В этой работе развиты и применены новые методы, позволяющие исследовать широкий круг особенностей, которые раньше не поддавались исследованию.

Апробация работы. Результаты работы были доложены на международной молодежной конференции "XXVIII Гагаринские чтения" (Москва, 9-13 апреля 2002г.); 2 международном конгрессе "Нелинейный динамический анализ" (Москва, 3-8 июня 2002г.); International Conference on Differential and Functional Differential Equations (Москва, 11-17 августа 2002г.); XVI всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики" (Дюрсо, 15-22 сентября 2002г.); семинаре "Качественная теория дифференциальных уравнений" Мехмата МГУ (рук. Кондратьев В.А., Миллионщиков В.М., Розов Н.Х.); семинаре им. К.И. Бабенко ИПМ им. М.В. Келдыша РАН (рук. Забродин А.В.); семинаре "Уравнения с частными производными" Мехмата МГУ (рук. Кондратьев В.А.); семинаре кафедры гидромеханики МГУ (рук. Куликовский А.Г., Бармин А.А., Карликов В.П.).

Публикации. Основной материал диссертации опубликован в работах [1-14].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, разбитых на 15 параграфов, и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 73 страницы, список литературы включает 41 наименование.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект N 02-01-01067.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении излагается история изучения погранслоя при обтекании вязкой жидкостью пластины и цилиндра, приводятся основные результаты диссертации.

В первой главе описываются понятия и методы степенной геометрии, которые используются в главах II и III. Пространственная степенная геометрия, описанная в § 1 первой главы, позволяет выде-

лить и упростить укороченную систему уравнений, решения которой дают сильные асимптотики для решений исходной системы. Плоская степенная геометрия, понятия и методы которой излагаются в § 2 этой главы, позволяет получать не только асимптотики решений, но и асимптотические разложения решений. В ряде случаев эти разложения сходятся и дают сами решения.

Во второй главе исследуется погранслой при осесимметричном обтекании полубесконечной иглы вязкой несжимаемой жидкостью. В § 1 показано, что такое обтекание описывается системой двух уравнений в частных производных

где зависимые переменные ■ф — функция тока и давление р\ две независимые переменные: а; — вдоль оси симметрии и г — расстояние от оси х; р — плотность, v — кинематический коэффициент вязкости, Pi v = const. Игла задается как х > 0, г = 0. Граничные условия задаются в бесконечности

■ф — u00r2/2, р ~ ро при х —»• —оо, UqcPo = const,

что можно заменить на

■ф = г2, р = ро при г -4 +оо, ро = const,

и на игле (условие прилипания)

дф дф дЧ дЧ

7Г = 7Г = 7Г1Г = яТ = 0 при ж > 0, г = 0. ox or oxor ori

(2)

(3)

В § 2 используя методы пространственной степенной геометрии, изложенные в § 1 первой главы, выделяется укороченная система уравнений, описывающая поток вблизи иглы при х +оо

i def

J11 =

_1дфд_ (\<Щ + 1дфд_ /1 сЖ1 + 1 др_

гдхдг\гдг} гдтдх\гдт)\ рдх

(5)

В § 3 после введения автомодельных переменных

£ = г2/х, Л(0 =ф/х, р(0=р

(6)

укороченная система (4), (5) переходит в систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений, которая сводится к одному обыкновенному дифференциальному уравнению для Л(£) третьего порядка. Асимптотический анализ его решений методами плоской степенной геометрии, которые изложены в § 2 первой главы, показывает, что это уравнение не имеет решений, удовлетворяющих граничным условиям прилипания на игле (3). В § 4 второй главы доказывается, что полученная укороченная система, соответствующая погранслою вблизи иглы при не имеет также неавтомодельных решений, удовлетворяющих граничному условию (3). Для этого делается замена переменных

т.е. в качестве независимых переменных берутся х и Полученная система сводится к одному дифференциальному уравнению в частных производных для в котором х присутствует только в виде 1пх.

При 1п х —» +оо первым приближением этого уравнения является уравнение, которое в точности совпадает с обыкновенным дифференциальным уравнением, полученным в автомодельных координатах. Несмотря на то, что к зависит в этом случае еще и от 1пх, решения получившегося уравнения все равно не удовлетворяют граничным условиям прилипания на игле.

Теорема 1. Задача (2)-(5) не имеет решений.

В §§ 5 и 6 второй главы рассматривается возможность существования двуслойного решения исходной системы, удовлетворяющего граничным условиям (2) и (3). Для этого методами степенной геометрии из исходной системы выделяется укороченная система, описывающая поток жидкости в слое, который непосредственно примыкает к слою вблизи иглы. В § 5 после введения автомодельных координат

X = X, £ = т2/х, = ф/х, р(ж,0 = Р,

т) = г2/х2, д(ч) = ф/х2, р(г]) = р

(7)

эта укороченная система переходит в систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений, которая сводится к одному уравнению для g(tfj второго порядка. Асимптотический анализ его решений методами плоской степенной геометрии показал, что это уравнение имеет решения, которые при 77 —0 имеют асимптотики двух видов

а) д ~ const, р ~ —а/та = const > О,

Следовательно, в случае а) при т] —^ 0 давление р -4 —оо, что не имеет физического смысла. В случае Ь) на всем внешнем слое

т.е. получается однослойный вариант, разобранный в § 3.

В § 6 второй главы рассматривается возможность существования двуслойного неавтомодельного решения. Для этого, аналогично случаю однослойного решения, в укороченной системе, соответствующей внешнему слою, делается замена переменных д[х,т)) = ip/x2,p(x,ri) =р. В получившуюся систему х входит только в виде In х. При In х —^ +оо первым приближением полученной системы является система, которая в точности совпадает с системой обыкновенных дифференциальных уравнений, полученной на внешнем слое после введения автомодельных координат (7), т.е. при ij —> 0 имеются два вида асимптотик решения

а) д ~ const, р ~ —o./r}, а = const > О,

Следовательно, в случае а) при давление что не имеет

физического смысла. В случае b) и на внешней границе

внутреннего слоя получаем граничное условие

С точки зрения пространственной степенной геометрии, при выделении укороченных систем, описывающих поток во внутреннем слое, вариант граничных условий (9) аналогичен варианту граничных условий (8). Следовательно, в случае (9) укороченная система, описывающая поток во внутреннем слое, будет совпадать с системой для однослойного решения, неавтомодельные решения которой рассматриваются в § 4 второй главы и которая не имеет решений, удовлетворяющих граничному условию (3).

Теорема 2. Задача (1)-(3) не имеет двуслойных решений.

Основными результатами второй главы являются теоремы, в которых доказывается, что для задачи стационарного осесимметричного обтекания полубесконечной иглы вязкой несжимаемой жидкостью при х +оо не существует решений, удовлетворяющих всем граничным условиям (2), (3).

В третьей главе рассматривается задача с большим количеством зависимых переменных. Ото задача стационарного осесимметричного обтекания полубесконечной иглы вязкой сжимаемой теплопроводной жидкостью. Такой поток описывается системой трех дифференциальных уравнений в частных производных

с»

где координата х направлена вдоль оси симметрии, г — расстояние от оси х (это независимые переменные), зависимые переменные: ■ф — функция тока, р — плотность, h — энтальпия, и константы А, С, а > О, п € [0,1]. Здесь а — число Прандтля, давление р = Aph (согласно уравнению Клапейрона) и динамический коэффициент вязкости fj. = Cnhn, где п е [0,1]. При этом г > 0, h > 0 и Сп > 0, hn > 0. Игла задается, как и во второй главе, как х > 0, г — 0. Граничные условия задаются в бесконечности и на игле

Ф = Фаг2, р = рй, h = h0 при х = -оо, ^о, Ро, ho - const, (13) дф/дх = д-ф/дг = д2ф/дхдг = д2-ф/дт2 = 0 при г > 0, г = 0. (14)

В § 1 методами пространственной степенной геометрии выделяется укороченная система, описывающая поток в пограничном слое вблизи иглы при х —» +оо.

;(2) м J22 -

Л(20) = -Ad(ph)/dT = 0,

1 _ _ АЛ_( h) +

гдхдг\ргдт) тдгдх\ртдг)\ дх

^ г дг Гдг (/и-дг)) ^^

ñ(nh\ A ñ*éB(r>K\

;(2) def /32 —

1 дфдк 1дфдк Адфд(рЬ) , Adipd(ph)

— —I-------

г дх дг г дг дх рг дх дг рт дг дх

^ ^ (¿}r (рг5г)) ^ or дг дг) Для ее автомодельных решений ph = const. Поэтому, после введения автомодельных координат

е=r2/x, G(O=ф, р(о=Р, н(о = н,

укороченная система сводится к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений для G(f) и Я(£). В § 2 у этой системы выделяется инвариантное многообразие G'H = 1, на котором система сводится к одному обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка для #(£)

Д = 2(£НпН')'Н - 2(НпН'2 + (Í + 2с2)Я' = 0, (16)

где с2 — произвольная постоянная, с граничными условиями

Я +оо при £ +0, (17)

Н — 1 при £ —> +оо.

В § 3 доказывается

Теорема 1. У уравнения (16) с фиксированными п € [0,1] и с2 ^ О все решения, удовлетворяющие условию (17), образуют два двупара-метрических семейства:

семейство <?|01, существующее при п = 0, с разложениями

Я = с4£л + где А < О,

в€К = {в = А — / А + т(1 - А); целые 1,т> 0, / + т > 0};

и семейство с нестепенными асимптотиками

я ~ с(1пе)1/" + ЕЬД1пО,)«е к(ь2) при п е (од),

К(&2) ~ {з — 1/п — 1/п — т, целые 1,тп> 0, / + пг > 0},

Я ~ с1п£ + £ А(Ь 11п£|)(1пО~' при п = 1;

¿=о

а также одно однопараметрическое семейство Т^О^ с нестепенными асимптотиками

Я~[(п + 1)(С21пе + Сз)]1/(п+1), (21)

которое существует при п Е [0,1] и с2 < 0 и является границей предыдущих двупараметрических семейств. При с2 = 0 в (18) множество К = = А + т(1 — А), целые т > 0}, а асимптотики (19) и (20) имеют вид Я ~ (с41п£ + Сб)1/" при п € (0,1]. Здесь с, сз, С4, С5 и А < 0 — произвольные постоянные, постоянные а, и Ь3 — однозначно определены, кроме произвольного Ь_ 1+1/„; а Д суть многочлены от 1п[1п£| с постоянными коэффициентами; все они однозначно определены, кроме многочлена /Зо, который имеет произвольный свободный член. Разложения в (18) и (19) сходятся для малых |£|.

В § 4 доказывается

Теорема 2. При фиксированных п и с2 и при £ —> оо уравнение (16) имеет однопараметрическое семейство М. решений с Я -4 1. Их асимптотики даются формулами

Я' ~ с10£'е^/2, Я - 1 ~ с10 / Ге'^Ч, (22)

(18)

(19)

(20)

где в = —С2 — 1 и сю — произвольная постоянная. Для интеграла в (22) справедливо асимптотическое разложение

ос '=1

Решения (18)-(22) находятся теоретически.

В § 5 доказывается, что решения уравнения (16) не уходят в бесконечность и не приходят из бесконечности при любом конечном f > 0.

В § 6 третьей главы вводятся семейства

В этом параграфе описывается численный метод, с помощью которого для п — 0,1/4,1/2,3/4,1 находятся зависимости между постоянными в асимптотиках (18)—(22) для решений семейств Мо и М.\. Результаты вычислений даны в таблицах 3-6. В частности, для семейства М.\ вычисляются зависимости сю = эею(с2).

Теорема 3. При фиксированных п € [0,1] к семейству Мо относятся все те решения семейства М, у которых

/ аею(сг), если с2 < 0;

Cl° ^ \ 0, если с2 > 0.

При £ —> 0 они имеют асимптотики

Н ~ const£A, Л < 0 для п = 0, Н ~

const I In для n ^ 0.

В § 7 описано возвращение к исходной задаче и формулируется основной результат третьей главы. Если для решений Н(£) уравнения (16) проделать преобразования, обратные сделанным, то получаются автомодельные решения укороченной системы (15). В частности, семействам Мо и Mi соответствуют семейства Мо и Mi автомодельных решений укороченной системы.

Теорема 4■ В пограничном слое г2/х < оо при х +оо задача (10)-(14) имеет семейства решений Мо и с асимптотиками из семейств Мо и Mi соответственно, которые вблизи иглы при £ = г2/х —> 0

Я - 1 ~ -2ci0e"i/2

имеют асимптотики

Mo Ф ~ const x£l~x, р ~ const £~А,

h ~ const £л, А < 0, п = 0;

ф ~ const г2/| 1пС|1/п, р ~ const /I ln^l1/",

/1 ~ const I In CI1/", n€(0,l];

Ai: ф ~ const r2/|ln{|1/(n+1), p ~ const /|ln{|»/(»+i>,

h ~ const|Ini|1/<n+1») n € [0,1].

При фиксированных параметрах задачи •. (10)—(14) семейство Mo — двупараметричерсое, а М\ — однопараметрическое и служит границей семейства Mq.

Теорема 5. Точность асимптотик по х —► +оо из семейств Мц и Mi в погранслое £ Е (0, оо) оценивается по формулам

ф-ф = фО(х~е), р-р = рО(х~е), h-h = hO(x~e),

где 0 < е < 1, ф, р, h — асимптотики из семейств Мц и Mi, а ф, р, h — решения из семейств Мо и М\.

Основной результат третьей главы заключается в том, что задача осесимметричного обтекания полубесконечной иглы вязкой сжимаемой теплопроводной жидкостью в пограничном слое при имеет

семейства решений, которые вблизи иглы имеют асимптотики (23).

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

I. Для задачи осесимметричного обтекания полубесконечной иглы стационарным потоком вязкой несжимаемой нетеплопроводной жидкости в пограничном слое при стремлении в бесконечность вдоль иглы было доказано отсутствие решений, которые удовлетворяют всем граничным условиям.

II. Для задачи осесимметричного обтекания полубесконечной иглы потоком вязкой сжимаемой теплопроводной жидкости в пограничном слое при стремлении в бесконечность вдоль иглы были найдены два семейства решений и выписаны их асимптотики вблизи иглы.

III. Продемонстрировано на конкретной задаче, как методами степенной геометрии изучить сложную особенность.

СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Т.В. Шадрина. Об осесимметричном обтекании иглы вязкой несжимаемой жидкостью. Препринт N 36, М.: ИПМ, 2002. 21 с.

2. Л.Д. Брюно, Т.В. Шадрина. Об осесимметричном обтекании иглы вязкой несжимаемой жидкостью // ДАН, 2002, т. 387, N 5, с. 589-595.

3. T.V. Shadrina. The Axially Symmetric Boundary Layer around a Needle // Proceedings of BAIL 2002 (Eds. S. Wang and N. Fowkes), Perth: University of Western Australia, 2002, p. 213-220.

4. А.Д. Брюно, Т.В. Шадрина. Осесимметричный пограничный слой на игле. Препринт N 64, М.: ИПМ, 2003. 32 с.

5. А.Д. Брюно, Т.В. Шадрина. Осесимметричный пограничный слой на игле // ДАН, 2004, т. 394, N 3, с. 298-304.

6. Т.В. Шадрина. Пограничный слой при осесимметричном обтекании иглы // Дифференциальные уравнения, 2002, т. 38, N 6, с. 853-854.

7. Т.В. Шадрина. Об осесимметричном обтекании иглы вязкой несжимаемой жидкостью. // XXVIII Гагаринские чтеиия. Тезисы докладов. М: МАТИ, 2002, т.2, с. 98-99.

8. A.D. Bruno, T.V. Shadrina. The axially symmetric boundary layer around a needle // International Conference on Differential and Functional Differential Equations. Abstracts. M.: MAI, 2002, p. 18-19.

9. A.D. Bruno, T.V. Shadrina. The axially symmetric boundary layer around a needle // International Conference "Navier-Stokes Equations and Related Topics" (NSEC8). Abstracts. S.Petersburg: Euler Inst., 2002, p. 18-19.

10. Т.В. Шадрина. Осесимметричный пограничный слой на игле // XIV Всероссийская конференция "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики". Тезисы докладов. Дюрсо, 2002, с. 167-168.

11. А.Д. Брюно, Т.В. Шадрина. Методы исследования погранслоя на игле. Препринт N 35, М.: ИПМ, 2004. 27 с.

12. А.Д. Брюно, Т.В. Шадрина. О несжимаемом погранслое на игле. Препринт N 36, М.: ИПМ, 2004. 21 с.

13. А.Д. Брюно, Т.В. Шадрина. Сжимаемый теплопроводный по-гранслой на игле. Препринт N 37, М.: ИПМ, 2004. 32 с.

14. A.D. Bruno, T.V. Shadrina. The Axially Symmetric Boundary Layer on a Needle // An International Conference on Boundary And Interior Layers, ONERA, Toulouse, 2004. July 5th, 11.20, p. 1-10.

№14294

ИП M. Заказ №55. Tipax 100 аса.

Введение

Глава I. Элементы степенной геометрии

§ 1. Пространственная степенная геометрия

§ 2. Плоская степенная геометрия

Глава II. Обтекание иглы вязкой несжимаемой жидкостью

§ 1. Преобразование системы уравнений Навье-Стокса

§ 2. Первые приближения решения в бесконечности

§ 3. Автомодельные решения задачи (2.4)-(2.7)

§ 4. Неавтомодельные решения задачи (2.4)-(2.7)

§ 5. Двуслойные автомодельные решения

§ 6. Двуслойные неавтомодельные решения

Глава III. Обтекание иглы вязкой сжимаемой теплопроводной жидкостью

§ 1. Система уравнений в частных производных

I 2. Система ОДУ

§ 3. Решения уравнения (2.15) вблизи нуля

§ 4. Решения уравнения (2.15) вблизи бесконечности

§ 5. Решения уравнения (2.15) вблизи точки >

§ 6. Решения уравнения (2.15), удовлетворяющие обоим граничным условиям

§ 7. Возвращение к исходной задаче (1.1)—(1.3), (1.6), (1.7)

Примерно 100 лет назад Прандтль [11] и Блазиус [12] создали теорию погранслоя на полубесконечной пластине в стационарном потоке вязкой несжимаемой жидкости. Впоследствии оказалось, что решение Блазиуса применимо также к толстым пластинам с закругленной кромкой, к заостренным пластинам и к конечной пластине (кроме обеих ее кромок). Гольдштейном [23] (1933) было рассмотрено течение за пластиной, эти результаты позднее уточнил Стюартсон [24] (1957). В 1970г. Ван де Воореном и Дикстрой [25] был изучен погранслой на всей длине пластины, в том числе вблизи передней кромки. Маклахлан [26] (1991) построил математическую модель обтекания тонкой конечной пластины, в которой погранслой является трехслойным.

Также во многих работах: изучался погранслой при осесимметрич-ном обтекании цилиндра. В начальной части цилиндра, где толщина слоя мала по сравнению с радиусом, влиянием поперечной кривизны можно пренебречь. Тогда погранслой ничем не отличается от погранслоя на пластине и описывается решением Блазиуса. Чем ближе к носику цилиндра, тем менее точное приближение дает решение Блазиуса. Себан и Бонд [27] (1951) и чуть позднее Келли [28] (1954) получили решение, продолжающее решение Блазиуса при приближении к носику цилиндра. Для изучения погранслоя при удалении от начала цилиндра сперва использовался метод Рэйли [29] (1911), который давал грубое приближение. Полученные этим методом решения теоретически давали качественное описание погранслоя, но не количественное. Польха-узеном [30] (1921) был предложен метод, с помощью которого Глауэрт и Лайтхилл [13] (1955) дали приближенное решение задачи обтекания длинного тонкого цилиндра, справедливое при любых значениях параметра vx/uqcCl2 (где v — динамический коэффициент вязкости, и^ — скорость внешнего потока, а — радиус цилиндра, независимая переменная х направлена вдоль цилиндра). И, кроме того, они нашли асимптотическое решение, соответствующее большим значениям этого параметра. Тогда же Стюартсон [31] изучил более общий случай погранслоя на длинном тонком цилиндре, когда скорость внешнего потока задается степенной функцией и^ = схгп.

Однако, полученные на цилиндре результаты не дают предела при стремлении радиуса цилиндра к нулю. И до настоящего времени теория погранслоя на полубесконечной игле не была создала.

Степенная геометрия, которая используется в данной работе, была разработана А.Д. Брюно как универсальный набор алгоритмов для и, оо О х

Рис. 1. Схема осесимметричного обтекания иглы вязкой жидкостью. анализа сингулярностей, пригодный для всех типов уравнений. Уравнения могут быть алгебраическими, обыкновенными дифференциальными и в частных производных, системы могут состоять из уравнений одного типа или содержать уравнения разных типов. В [5, гл. VI, § 6] описано нахождение решения Блазиуса при обтекании полубесконечной пластины стационарным потоком вязкой несжимаемой жидкости с помощью степенной геометрии. При этом было дано чисто математическое обоснование теории погранслоя на пластине, не использующее какие-либо механические или физические соображения.

В этой работе рассматривается стационарный осесимметричный поток вязкой жидкости, набегающий на полубесконечную иглу (рис. 1), для двух вариантов: (а) несжимаемой жидкости и (б) сжимаемой теплопроводной жидкости. Такой поток описывается системой уравнений Навье-Стокса, которая сводится к системе уравнений в частных производных для двух независимых переменных: х — вдоль оси симметрии иг — расстояние от оси х; зависимые переменные в варианте (а): функция тока ф и давление р. В случае обтекания иглы вязкой сжимаемой теплопроводной жидкостью добавляется еще одна зависимая переменная. Вместо давления р используются две зависимые переменные: h — энтальпия (аналог температуры) и р — плотность. Игла задается как х > 0, г = 0.

Цель работы — найти при х -¥ +оо асимптотики решений для функции тока ч/> (для сжимаемой жидкости еще энтальпии h и плотности р), удовлетворяющие всем граничным условиям. Если такие решения существуют.

Для этого используются методы степенной геометрии. Из полной системы методами пространственной степенной геометрии выделяется укороченная система, которая является первым приближением полной системы при х —> +оо. И, кроме того, решения этой укороченной системы удовлетворяют граничным условиям в бесконечности. После этого, методами плоской степенной геометрии, анализируется полученная укороченная система, которая в ряде случаев сводится к одному уравнению. В случае обтекания иглы вязкой сжимаемой теплопроводной жидкостью, после получения асимптотик решения вблизи иглы и на границе погранслоя, решения укороченной системы просчитываются численно методом Рунге-Кутта.

Диссертация содержит три главы. В первой главе описываются понятия и методы степенной геометрии, которые используются в главах II и III. Пространственная степенная геометрия, описанная в § 1 первой главы, позволяет выделить и упростить укороченную систему уравнений, решения которой дают сильные асимптотики для решений исходной системы. Плоская степенная геометрия, понятия и методы которой излагаются в § 2 этой главы, позволяет получать не только асимптотики решений, но и асимптотические разложения решений. В ряде случаев эти разложения сходятся и дают сами решения.

Во второй главе исследуется погранслой при осесимметричном обтекании полубесконечной иглы вязкой несжимаемой жидкостью. В § 1 показало, что такое обтекание описывается системой двух уравнений в частных производных для функции тока ф и давления р с двумя независимыми переменными: х — вдоль оси симметрии иг — расстояние от оси х. Игла задается как х > 0, г = 0. Граничные условия задаются в бесконечности ф = UQOr2/2, р — Pq при X —со, u<x>iPo = const, что можно заменить на

Ф = Г2, р = Ро при Г —> +00, Ро = const, (1) и на игле (условие прилипания) дфдф д2ф ^Ф0пих>0г0 (2) дх дг дхдг дг2 Х ~ '

В § 2 используя методы пространственной степенной геометрии, изложенные в § 1 первой главы, выделяется укороченная система уравнений, описывающая поток вблизи иглы при х —у +оо. После введения автомодельных переменных

Z = r2jx, МО = Р(0 = Р (3) укороченная система переходит в систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений, которая сводится к одному обыкновенному дифференциальному уравнению для h(£) третьего порядка. В § 3 асимптотический анализ его решений методами плоской степенной геометрии, которые изложены в § 2 первой главы, показывает, что это уравнение не имеет решений, удовлетворяющих граничным условиям прилипания на игле (2). В § 4 второй главы доказывается, что полученная укороченная система, соответствующая погранслою вблизи иглы при х —¥ +оо, не имеет также неавтомодельных решений, удовлетворяющих граничному условию (2). Для этого делается замена переменных т.е. в качестве независимых переменных берутся х и Полученная система сводится к одному дифференциальному уравнению в частных производных для /i(ar, £), в котором х присутствует только в виде Inх. При In х —у 4-оо первым приближением этого уравнения является уравнение, которое в точности совпадает с обыкновенным дифференциальным уравнением, полученным в автомодельных координатах. Несмотря на то, что h зависит в этом случае еще и от In ж, решения получившегося уравнения все равно не удовлетворяют граничным условиям прилипания на игле.

В §§ 5 и 6 второй главы рассматривается возможность существования двуслойного решения исходной системы, удовлетворяющего граничным условиям (1) и (2). Для этого в § 5 методами степенной геометрии из исходной системы выделяется укороченная система, описывающая поток жидкости в слое, который непосредственно примыкает к слою вблизи иглы. После введения автомодельных координат эта укороченная система переходит в систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений, которая сводится к одному уравнению для д(т}) второго порядка. Асимптотический анализ его решений методами плоской степенной геометрии показал, что это уравнение имеет решения, которые при 77 —► 0 имеют асимптотики двух видов

Следовательно, в случае а) при г) —у 0 давление р —ос, что не имеет физического смысла. В случае Ь) на всем внешнем слое

X = ж, £ = r2/x, h(x,Z) = ф/х, = р,

V = r2/x2, g(rj) = -0/ж2, p(rj) = р

4) a) д ~ const, р ~ —а/т?, о, — const > О, b) д = и, р = ро = const.

Ф = г2, р = Ро = const, т.е. получается однослойный вариант, разобранный в § 3.

Далее в § 6 второй главы рассматривается возможность существования двуслойного неавтомодельного решения. Для этого, аналогично случаю однослойного решения, в укороченной системе, соответствующей внешнему слою, делается замена переменных х = ас, т) = г2/ж2, ??) = VVр(х, 77) — р. В получившуюся систему х входит только в виде In х. При In ж —> +оо первым приближением полученной системы является система, которая в точности совпадает с системой обыкновенных дифференциальных уравнений, полученной на внешнем слое после введения автомодельных координат (4), т.е. при rj -» 0 имеются два вида асимптотик решения a) д ~ const, р ~ —а = const > О, b) д ~ и, р ~ ро = const.

Следовательно, в случае а) при г) —у 4-0 давление/? —> — оо, что не имеет физического смысла. В случае b) р —> const и на внешней границе внутреннего слоя получаем граничное условие

Ф = г2, р = const. (6)

С точки зрения пространственной степенной геометрии, при выделении укороченных систем, описывающих поток во внутреннем слое, вариант граничных условий (6) аналогичен варианту граничных условий (5). Следовательно, в случае (6) укороченная система, описывающая поток во внутреннем слое, будет совпадать с системой для однослойного решения, неавтомодельные решения которой рассматриваются в § 4 второй главы и которая не имеет решений, удовлетворяющих граничному условию (2).

Основными результатами второй главы являются теоремы, в которых доказывается, что для задачи стационарного осесимметричного обтекания полубесконечной иглы вязкой несжимаемой жидкостью при х —> +оо не существует решений, удовлетворяющих всем граничным условиям (1), (2).

В третьей главе рассматривается задача с большим количеством зависимых переменных. Это задача стационарного осесимметричного обтекания полубесконечной иглы вязкой сжимаемой теплопроводной жидкостью. Такой поток описывается системой трех дифференциальных уравнений в частных производных для функции тока яр, плотности р и энтальпии h (аналог температуры) с двумя независимыми переменными: х (вдоль оси симметрии) и г (расстояние от оси х). Игла задается, как и во второй главе, как х > 0, г = 0. Граничные условия задаются в бесконечности т ф = Фог2, р = /90, h = ho при X = -оо, ^о, ho = const, (7) и на игле (2). В § 1 методами пространственной степенной геометрии выделяется укороченная система, описывающая поток в пограничном слое вблизи иглы при х —> +оо. Оказывается, что для ее автомодельных решений ph = const. Поэтому, после введения автомодельных координат = г2/*, G(О = ф/х, Р(0 = р, Н(0 = h, (8) укороченная система сводится к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений для G(£) и #(£)• В § 2 у этой системы выделяется инвариантное многообразие G'H = 1, на котором система сводится к одному обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка для Н(£).

В §§ 3-5 асимптотический анализ его решений методами плоской степенной геометрии показывает, что это уравнение имеет решения, которые удовлетворяют граничным условиям на игле и в бесконечности: при £ —> 0 они имеют асимптотики

Н ~ const£A, Л < 0 при п = О (т.е. ф ~ const ж£1А, р ~ const£1-*),

9) (10) при п £ (0,1] (т.е. ф ~ const r2/| ln£|1/n, р ~ const] ln^|1/n), а при £ —» +оо имеют асимптотику

Я - 1 ~ const J £ве~^2<*£, (11) где постоянная п 6 [0,1] — показатель степени в степенном законе связи /i/Vo = (T/Tq)11 между динамическим коэффициентом вязкости р, и абсолютной температурой Т. Решения с асимптотиками (9)—(11) находятся теоретически.

В § 6 третьей главы описывается численный метод, с помощью которого для п — 0,1/4,1/2,3/4,1 находятся зависимости между постоянными в асимптотиках (9)—(11). Результаты вычислений даны в таблицах 3-6.

В § 7 описано возвращение к исходной задаче и формулируется основной результат третьей главы, который заключается в том, что задача осесимметричного обтекания полубесконечной иглы вязкой сжимаемой теплопроводной жидкостью в пограничном слое при х —У 4-оо имеет семейства решений, которые вблизи иглы имеют асимптотики (9), (10).

Результаты, полученные во второй и третьей главах, являются новыми. Они анонсированы в работах [8, 15, 16, 21, 22, 32-40].

Нумерация параграфов, лемм, теорем, следствий, замечаний и формул в каждой главе своя. Первое число в номере формулы это номер параграфа. Нумерация таблиц и рисунков сквозная по всей работе.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект N 02-01-01067.

1. J1.Г. Лойцянский. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1978.

2. М.М. Васильев. Об осесимметричных течениях вязкого теплопроводного газа. Препринт N 11, М.: ИПМ, 2001. 13 с.

3. M.M. Vasiliev. Asymptotics of some viscose, heat conducting gas flows // Proceedings of BAIL 2002 (Eds. S. Wang and N. Fowkes), Perth: University of Western Australia, 2002, p. 251-256.

4. А.Д. Брюно. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. М.: Физматлит, 1998.

5. А.Д. Брюно. Автомодельные решения и степенная геометрия // Успехи мат. наук, 2000, т. 55, вып. 1, с. 3-44.

6. А.Д. Брюно. Степенные разложения решений системы алгебраических и дифференциальных уравнений // ДАН, 2001, т. 380, N 3, с. 298-304.

7. Т.В. Шадрина. Об осесимметричном обтекании иглы вязкой несжимаемой жидкостью. Препринт N 36, М.: ИПМ, 2002. 21 с.

8. А.Д. Брюно. Степенные разложения решений одного алгебраического или дифференциального уравнения // ДАН, 2001, т. 380, N 2, с. 155-159.

9. Л.Г. Лойцянский. Ламинарный пограничный слой. М.: Физматлит, 1962.

10. L. Prandtl. Uber Fliissigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung // Verhandlungen des III. Internat Math.-Kongr., Heidelberg, 1904. Leipzig: Teubner 1905. S. 484-491.

11. H. Blasius. Grenzschichten in Fliissigkeiten mit kleiner Reibung // Zeit. fur Math, und Phys. 1908. V. 56. P. 1-37.

12. M.B. Glauert, M.J. Lighthill. The axisymmetric boundary layer on a long thin cylinder // Proc. Roy. Soc., ser. A, 1955, 230, no. 1181, p. 188-203.

13. А.Д. Брюно. Асимптотики и разложения решений обыкновенного дифференциального уравнения. Препринт N 9, М.: ИПМ, 2003. 39 с.

14. А.Д. Брюно, Т.В. Шадрина. Об осесимметричном обтекании иглы вязкой несжимаемой жидкостью // ДАН, 2002, т. 387, N 5,с. 589-595.

15. T.V. Shadrina. The Axially Symmetric Boundary Layer around a Needle // Proceedings of BAIL 2002 (Eds. S. Wang and N. Fowkes), Perth: University of Western Australia, 2002, p. 213-220.

16. А.Д. Брюно. Степенные асимптотики решений обыкновенного дифференциального уравнения // ДАН, 2003, т. 392, N 3, с. 295300.

17. А.Д. Брюно. Степенно-логарифмические разложения решений обыкновенного дифференциального уравнения // ДАН, 2003, т. 392, N 4, с. 439-444.

18. А.Д. Брюно. Нестепенные асимптотики решений обыкновенного дифференциального уравнения // ДАН, 2003, т. 392, N 5, с. 586591.

19. А.Д. Брюно. Асимптотики и разложения решений обыкновенного дифференциального уравнения // УМН, 2004, т. 59, N 3, с. 31-80.

20. А.Д. Брюно, Т.В. Шадрина. Осесимметричный пограничный слой на игле. Препринт N 64, М.: ИПМ, 2003. 32 с.

21. А.Д. Брюно, Т.В. Шадрина. Осесимметричный пограничный слой на игле // ДАН, 2004, т. 394, N 3, с. 298-304.

22. S. Goldstein. On the two-dimensional steady flow of a viscous fluid behind a solid body // Proceedings Royal Soc. London A 142 (1933), 545-562.

23. K. Stewartson. On asymptotic expansions in the theory of boundary layers // J. Math, and Phys., 36 (1957), 173-191.

24. A.I. Van de Vooren, D. Dijkstra. The Navier-Stokes solution for laminar flow past a semi-infinite flat plate //J. Engineer. Math., vol. 4, no. 1 (1970), 9-27.

25. R.I. MacLachlan. The boundary layer on a finite flat plate // Phys Fluids A, v.3, no.2 (1991), 341-348.

26. R.A. Seban, R. Bond. Skin-friction and heat-transfer characteristics of a laminar boundary layer on a cylinder in axial incompressible flow //J. Aeronaut. Sci. 18 (1951), 671-675.

27. H.R. Kelly. A note on the laminar boundary layer on a circular cylinder in axial incompressible flow //J. Aeronaut. Sci. 21 (1954), 634.

28. Lord Rayleigh. On the motion of solid bodies through viscous liquid // Phil. Mag. (6) 21, (1911), 697-711.

29. K. Pohlhausen. Zur naherungsweisen Integration der Differentialgleichung der laminaren Grenzschicht // Ebenda Zs. f. angew. Math. u. Mech. 1 (1921)., 252-268.

30. K. Stewartson. The asymptotic boundary layer on a circular cylinder in axial incompressible flow // Quarterly J. Mech and Appl. Math 13 (1955), 113-122.

31. T.B. Шадрина. Пограничный слой при осесимметричном обтекании иглы // Дифференциальные уравнения, 2002, т. 38, N 6, с.853-854.

32. Т.В. Шадрина. Об осесимметричном обтекании иглы вязкой несжимаемой жидкостью. // XXVIII Гагаринские чтения. Тезисы докладов. М: МАТИ, 2002, т.2, с. 98-99.

33. A.D. Bruno, T.V. Shadrina. The axially symmetric boundary layer around a needle // International Conference on Differential and Functional Differential Equations. Abstracts. M.: MAI, 2002, p.18-19.

34. A.D. Bruno, T.V. Shadrina. The axially symmetric boundary layer around a needle // International Conference "Navier-Stokes Equations and Related Topics" (NSEC8). Abstracts. S.Petersburg: Euler Inst., 2002, p.18-19.

35. T.B. Шадрина. Осесимметричный пограничный слой на игле // XIV Всероссийская конференция "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики". Тезисы докладов. Дюрсо, с.167-168.

36. А.Д. Брюно, Т.В. Шадрина. Методы исследования погранслоя на игле. Препринт N 35, М.: ИПМ, 2004. 27 с.

37. А.Д. Брюно, Т.В. Шадрина. О несжимаемом погранслое на игле. Препринт N 36, М.: ИПМ, 2004. 21 с.

38. А.Д. Брюно, Т.В. Шадрина. Сжимаемый теплопроводный погранслой на игле. Препринт N 37, М.: ИПМ, 2004. 32 с.

39. A.D. Bruno, T.V. Shadrina. The Axially Symmetric Boundary Layer on a Needle // An International Conference on Boundary And Interior Layers, ONERA, Toulouse, 2004. July 5th, 11.20, p. 1-10.

40. Э. Камке. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Пер. с немецкого, изд. второе. М.: Физматлит, 1961. 703 с.