Основы математической теории термоупругого равновесия сред с тонкими включениями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ
|
Сулим, Георгий Теодорович
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Львов
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1995
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.04
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
НАЦИОНАЛЬНА АКАДЕМЫ НАУК УКРАШИ
ШСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ МЕХАН1КИ I МАТЕМАТИКИ 1м. Я.С. ШДСТРИГАЧА
г п На правах рукопису
УДК 539.3
СУЛИМ Георг1Й Теодорович
Основи математично!' теорй термопружно! р1вноваги середовищ з тонкими включениями
01.02.04 - мехашка деформ1вного твердого тша
АВТОРЕФЕРАТ
дисертаци на здобуття наукового ступеня доктора ф1зико-математичних наук
ЛЬВ1В -1995
Диоертац1сю е рукопис
Робота виконана у Льв{вському державному ушверсителй im. I *Франка
Науковий консультант - доктор техючних наук,
професор Гршпцький Д. Б.
0ф1Ц1йн1 опоненти: член-кореспондент HAH УкраУни,
Провiдна организация - Дшпролетровський державний университет
на saciflaHHi спец1ал13ованоУ вченоi ради Д 04.17.01 при 1нститут1 прикладних проблем механjки i математики im. Я.С.Шдстригача HAH УкраУни за адресою: 290053, Jlbßiß, вул. Наукова, З-б.
3 дисертацхсю можна ознайомитися у б1бл]отецт 1нституту прикладних проблем механ ¡ки } математики 1м. Я.С.ГНдетригача НАН УкраУни (Льв1в, вул. Наукова, З-б).
ЕИдгук на автореферат просимо недоплати за адресою: 290053, м.Льв]в, вул. Наукова, З-б, 1ППММ, вченому секретарю спец1ал13ованоУ ради.
Автореферат роз желаний _1995 р.
Вчений секретар спец1ал1зовано1 ради
доктор техн. наук, професор Андрейклв O.G. доктор $is.-мат. наук, професор Попов Г.Я. доктор $1в.-мат. наук, професор Осадчук В.А.
Захист В1дбудеться '¿¿Я-
1995 р. о ZtL_год.
кандидат ф i зико -математичних наук
Шевчук П.Р.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальн1сть теми. Будова реальних матерхалтв досить далека 1деальнс>1 I прогаарки чужор1Дних середовищ, частники нетрив!в, зони окискеного неталу е поширеними вадами IX м5кро-_ макроструктур;;. Вдосконалення процесгв витопу металIв дозволяе ращити '¿х якгсть, але не позбавляе вгд р!зноман1Тних за складом розм!рами включень. Велику частку спосеред них складакть тонкл [очення, один 1з розмгргв яких малий у пор}внянш з шшими.
На загал не лише трощинн!, апе й довтльн! ?нш1 неоднср1днсст1 эр1алу, передус1м тонкостхнш, е потужними концентраторами эужень I оаме б1ля них починаоться процеси пластичного эрмування та руйнувакня: безпоеередньо б:ля вершин ы'яких счень спостер!гасться локальке руПнування, а боля жорстких -цення смут ковзання та утворення М1кротр1Щин на певшй В1ддал1 вхстря неоднородность Загалом характеристики втоми та мхцност} грталш 1стотно залежать вхд характеру розподолу, форми I шхчних властивостей металочних та неметалочних включень, юму сталь з платовковими включениями руйнуеться значно швидше стало з включениями глобулярними.
Неметал?чн{ включения л!двищуктгь водневе окрушоння стал!: юдослодження зруйнованих труб нафто- I газопроводов виявляють (иннI тр!щини, пов'язано з платовковими видовженими включениями ¡истого марганцю, котр1 збольшунтгь швидкость шдростання тр1щини (меншують порогове значения коефоцоекта онтенсивност! напружень ¡перечному за товщиною труби напрямку. Механгчнг властивосто >них з'еднань теж остотно залежать вод мокроструктури зварного та розподолу у ньому включень.
Виникли теор!я та практика конструквання й використання ■ресивних композиц1йних матероалов з плоскою арматурою: 1х 11сть на розтяг у трансверсальному напрямку у випадку напрямленого армування строчками складае 50...75% вод величини [ост1 у поздовжньому напрямку, тод} як використання волокон дае ;ичай 2...15%. Огляди в!дзначають переваги плоского армування, покращуе технолог1чн1сть, механIчнI властивоото композиту, 1ьшуе коефощент армування, ошр до поручения герметичностI. це чить про перспективность застосування композитов з пл1вковою, чковою та лусковою арматурою. Використання зовношнього чкового армування у оталезал!зобетоно дозволяе економити .45% металу у поргвняннх оз зал!зобетонними та суто металочними
конструкщями.
Тонкими включениями можна вважати тензодатчики, п1дкр1плення зварнi та клейов1 з'еднання. Заповнену piдиною або 1ншим матер!апо1 тр1щину теж можна вважати тонким включениям, а процедура заповненн: Щ1лин е одним .Í3 методíb продовження працездатностi вироб1Б. Teopi; tohkoctíhhhx вклкчень знаходить застосування i у механ1щ Нрськи: nopifl.
Негдеальний контакт тгл можна заступити :деальним контакта через тонкий прошарок, наделений певними влаотивостями. Поверхн под1лу матерiалiв внасл i док складних ф1зико->лм1чних явищ, щ переб1гакэть у щй зон i, своïми влаотивоотями часто íctoth В1др1зняюгься в1д середовищ, як i до них пристають, i тому з допомогою тонких включень можна з певною точшстю моделкват мгхфазнх мел:i. НеобХ1дда враховувати тонкi включения також шд ча досл!дження фазових перетворень матер!ал}в, наприклад рост мартенситу в аустенгтному середовищк
IcHys п'ять загальних П1дходгв анализу вгдпов1дних задач: 1 розглянути включения дов1льно'1 форми а пот!м зменшити один Í3 йог po3MÍpÍB (Л.Т.Бережницький, В.В.Панасюк, Г.В.Пляцко, С.О.Калоеров Ю.М.Коляно, О.С.Космодам1анський, О.Ю.Калзкш, 1.А.Кушн
B.Д.Купрадзе, М.Д.Мартиненко, Т.Л.Мартинович, П.I.Перл1н Б.Ю.Победря, Ю.М.Под1ЛЬЧук, Г.М.Савш, Е.Г.Сосн1на Л.А.Зчльштинський, Г.П.Черепанов, Д.КШерман, H.D.Conway
C.S.Chano, F.Erdogan, J.D.Esheíby, N.J.Hardi man, N. I.Ioakimidis T.Mura, S.C.Lin, J.SEadek, V.SEadek, P.S.Theokaris); 2) застосуват прям1 числов1' методи, зокрема MCE, МПР (Ю.В.Вершський
B.I.Лавренюк, А.Г.Угодчиков, Н.М.Хуторянеький, А.Г.Угодч1кое A.S.Carrara, F.J.McGarry, S.Mirza, D.R.J.Owen, O.C.ZienEiewicz); S використати експериментальш методи СЮ.I.Сорокатий, I.M.AEEisor G.J.Davies, A.J.DuretEi, E.E.Gdoutos, L.C.HûEEaway, R.W.Hunter M.J.Iremonger, T.F.MacLaughEin, S.A.Paipetis, E.ScaEa, D.M.Shuster P.S.Theokaris, W.R.Tyson, W.G.Wood); 4) за допомогою асимптотичю методов детально розглянути напружено -деформований стан б i ля bíctí HeoflHopiflHOCTt та межi под1лу матер iалiв (В.М.Александре!
C.К.Канаун, Я.1.Кунець, О.Б.Мовчан, С.О.Назаров, О.П.Шддубня} БЛ.Сметашн, Г.П.Черепанов, D.CaiEEerie, J.D.Esheîby, C.Wozniak 5) розробити специ$1чну теорию, пр дозволила б досить прос розв'язати в1дпов1дн1 задач i з урахуванням мало'1 товщини дефек П.М.Абдурахманов, А.Я.Александров, 0.6.Андрейк1в, П.М.Витвщьш
.Я.Горбачевський, Д.В.Гршпцький, 0.0. Евтушенко, Б.М.Зинов'ев, !.К.Канаун, r.C.KÍT, Ю.М.Коляно, А.Ф.Кривой, Г.А.Морарь, '.В.Ошщук, В.К.Опанасович, В.А.Осадчук, В.В.Панаскк,
'.П.Шддубняк, Я.С.ГНдстригач, П.З.Пгскозуб,________Ю. 3. Повстенко,-------------
'.Ю. Попiна, Г.Я.Попов, В.П.Силованкк, М.М.Стадник, М.Г.Стащук, .П.Черепанов, К.СЛобанян, Л.А.Фглыптинський, Ю.С.Френчко, .С.Хачикян, C.Atkinson, T.R.Brussat, F.Erdooan, T.Koizumi, .Kondo, S.Matysiak, T.Mura, Z.OEesiak, H.Sekine, O.Taraate, .A.Westmann) та ÍHini.
Метою роботи е розробк.а в рамках п'этого пхдходу теорп ермопружжн р1вноваги тхл з тонкими неоднор!дностями, яка б озволила В1Дносно просто ставити i розв'язувахи в{дпсв1дн! задач! йплопровтдност!, npyxHOCTi та термопружностi I яка б у свозх асткових випадках давала розв'язки для тр!щин, гнучких грозтягливих та абсолютно жорстких дефект хв, включаючи: . Розробку методу функцш стрибка для моделквання тонких годнорхдностей стрибками на i'x серединной поверхн1 (jíIнii) эмператури, теплового потоку й вектор i в напружень та перемщень в ютропних i ашзотропних однорхдних та кусково одноргдних 1тер1алах.
. Запис умов взаемодГ/ тонкого включения з навколишнхм матерiалом, с i забезпечують моливдв1сть побудови систем оингулярних !тегральних рхвнянь (СС1Р) для визначення функцш стрибка.
Опрацквання ефективних методiв розв'язування цих СС1Р та >грунтування ixHboí застосовностi з! створенням вхдлов1дного >мплексу програмного забезпечення.
Побудову двочленних асимптотичних виразхв для визначення шружень, перемхщень, температури i i"i потокíb поблизу вгстря ;лючення.
Отримання чкслових результатiв для низки конкретних. задач, ¡ал Í3 нових закономiрностей та мехашчних ефект1в.
Застосування отримано'1 теорП до визначення
а) míuhoctí тíji з поодинокими та стохастично розпод!леними
ЮДН0Р1ДН0СТЯМИ;
б) ефективних характеристик стрхчкових композитхв; "
в) сили, що д!е на дислокэшДю поблизу тонкого дефекту.
Наукова новизна та значения. У робот1 розроблена нова цгл1сна
тематична теорхя для постановки та досл1дження термопружжп вноваги т i л з тонкими неоднорхдностямх. У чаотковому випадку вона
зб1гаеться з математичною теорхею тр1щин. За допомогою побудованоI теорй' вперше розв'язана низка задач теорм теллопровхдностх дл? пластин з теплоактивниш включениями з 1 без урахуванн? тепловхддачг з б1чних поверхонь; плоских та антиплоских задач теорп пружностх для тонких пружних включень у необмеженому однорхдному середовшцх, пхвплощшп, на меж1 подглу матер1ал{в, ^ багатошарових середовищах за дх I нав&нтажень на неск1нченност1, зосереджених температурних, силових та дислокащйних чинникхв; задач термопружностх тхл з включениями. Дзсшджений вплив способу навантажування, механхчних 1 теплофхзичних властивостей матер1ал1в, ашзотропп складових, геометр 11 задач}, профхлю включень та '¿хнып взаемод 1 г, зокрема пхд чао одно та подвшно пер годичного розташування. У плоекш ашзотротх вдалося перейти до тзотропногс випадку на аналхтичному р!вн1. До побудови СС1Р поставлених зада^ застосованх рхзнх математичнх методи: узагальнення формула Сом1льяно, апарат теорн функцш комплексно! змхннох тг хнтегральних перетворень Фур'е. Запропонований спос!б використанн* методу колокащй розв'язування СС1Р, який дозволяе у единому програмному комплексI розв'язувати задачI для системи включень, г також 1хшх л1н1йно чи циклхчно або подв1йно перходични> в1дпов1дник1в. Створена теорхя дозволила визначити поля температу|: I напружень у тглах з включениями, концентрацт теплових поток1в 1 напружень б1ля вершини включения; обчислити ефективн; характеристики т!л за регулярного армування стрхчками; дослхдип розпод1Л сил, що д!кзгь на дислокацию поблизу тонкого включения.
В1рог1дн!сть результат!в забезпечуеться тим, що:
а) заотосування трьох аналхтичних метод 1в до побудови СС1Р основно-: задач: методу функций стрибка та плооко'1 х антиплоскоУ задач прс включения у швплощин! дае однаковх результати;
б) у граничних випадках теплохзольованих, абсолютно теплопровхдних, абсолютно податлих, абсолютно жоротких включень чи шивок, а тако; включень з ыехашчними 1 теплоф1зичними властивостями матрицу отриман! результати збхгаюгься з усгма в1домими на цей час результатами розв'язування в1дпов1дних задач;
в) у граничному випадку ашзотропП отриманI результати стосовн< 13отропного материалу; зх зб1льшенням перходхв розташуванн. включень отримуюгься результати для . перюдичних та поодиноки: включень; збхльшення вгддалх мхж включениями, дае результати дл поодинокого включения; 31 збхльшенням в1дсташ включения в{д меж
вплощини чи смуги реал{зуеться в0дповодний граничний переход;
числовий розв'язок у граничних випадках зб1гаетьоя з алотичними розв'язками в!дповодних задач;
доведена збожность застосованих числових методов та помотна i'x актична зб!жность зо зСпльшенням коЖкостГ^узлов розбиття;
результат» застооування прямого методу скшченних елементоз та С до тестового прикладу узгоджуктгься мож собою; '
BiflcyTHi протироччя з результатами онших авторов, що .стосовували гншг пгдходи та матоди.
Практична ц1нн1сть полягае у створенн} комплексу методов для ¡значения полов температур i напружень та кокцентрац0ö цих величин, однородних та кусково однортдних тзотропних та ашзотропних >редовищах з тонкими лружниш, ртдкими, пружно-пластичними :люченнями. Отриман! результати можна застосувати до визначення »аничного силового та температурного навантаження таких тол з »одинокими чи стохастично розподоленими неоднор0дностями. >числення ефективних механ1чних i теплоф}зичних характеристик 'рочкових композитов, дослодження конетики руху диолокащй б0ля >нких дефектов для вивчення механозмов руйнування та пластичного ¿формування в около концентраторов напружень. Огр:;ман! результати >жуть бути еталонними под час застооування методу граничних отегральних р5внянь до розв'язування в5дпов}дних задач з тонкими
ЗОЛОНКОВИМИ 8КЛЮЧЗННЯМИ.
Длробац1я робота. Результати диоертаци допов1далися та 5говорювалися на VI Всесоюзной конференцо'о з моцносто i пастичносто (Москва, 1975), Всесоюзной науковгй конференцп iMöraaHi задачо механоки деформовного тола" (Ростов-на-Дону, 1977), зесоквной школо i конференцп молодих вчених "Механ i ка ?формовного твердого тола" (Куйбишев, 1978), XY науковгй нарадг з зплових напружень в елементах конструкций (Канов, 1980), I зесоквной науково-тёхночн]й конференцГ1 "М01Цо1сть, жорсткость i ехнологочность виробов з композицШних матер ¿ало в" Кам'янець-Подольський, 1982), Всесоюзному семонар1-нарадо Изико-х0мочна механша кривого руйнування конструкщйних атер}ал0в" (сел.Славсько, .1982), Республiканському симпозиум! <онцентрацоя напружень" (Донецьк, 1983), I - III Всесоюзних онференщях "Механ0ка неоднородних структур" (Льв!в, 1983, 1987, 991), Республоканськлй науково-техшчной конференцп "Гнтегрально овняння у прикладному моделкваннГ (Кшв, 1983), Всесоюзна
конференцп "Сучаснi проблеми будгвельнох мехашки i MiuHocTi л дальних апаратчв" (Москва, 1983), II Всесоюзному науково-техшчному сем i нар i "Некласичн i проблеми мехашки композиц!йних матер1ал1в i конотрукц!й з них" (Льв1в, 1984), II Всесоюзному сем1нар1-нарад1 "Ф13ико-Х1М1Чна механика крихкого руйнування конструкцхйних MaTepianiß" (Льв1в, 1985), III Всесоюзшй конференцп' "Змшаш задач! мехашки деформ1вного твердого т}лаи (Харкхв, 1985), II Всесоюзному симпоз1умГ з мехашки руйнування (Житомир, 1985), I Всесоюзшй конференцп "Мехашка руйнування матер!алiß" (Льв!в, 1987), Реопублiканськiй науковхй конференцП "Диференщальш та штегральш р1вняння та ¥х застосування" (Одеса, 1987), I Всесоюзному симпозиум] "Мехашка i ф!зика руйнування композитних матерiалiв i конструкц!й" (Ужгород, 1988), IV Всесоюен5й х.онференц11 "Змшаш задач! мехашки деформ1вного твердого тхла" (Одеса, 1989), Всесоюзшй конференцп "Мехашка конструкщй з композиц1йних матерiалiв i проблеми динам1чних випробувань" (Комсомольськ-на ÄMypi,1990), XII Всесоюзн!й конференцП з числових методib розв'язування задач Teopii пружностi i пластичност1 (Тверь, 1991), I та II М!жнародних симпоз!умах украшських iнженерiв-механiкiв у Львовi (Льв1в, 1993, 1995), YIII Мхжнародшй конференцп з мехашки руйнування матерiалiв (ICF-8, Ки¥в, 1993), III К1Жнародному симпозгум! "Некласичш проблеми Teopii тонкостiнних елементгв конструкщй та ф1зико-х1М1чно1 механ!ки композиц!йних матерiалiв" (Iвано-Франк!воьк, 1995), на щорхчних зв1тних конференц1ЯХ Льв1вського держун iверситету (Льв1в, 1972-1995), сем i нарах "Мехашка композиц!йних матер} ал ib" nifl кер. проф. Б.Ю.Победр} (МЩУ, 1987), "Буд1вельна механiKa конструкций* nifl кер. проф. Ю.М.Нов1чкова (МГМ1, 1987), "Проблеми механики неодноргдних Т1л" nifl кер. проф. Ч.Возняка i проф. З.Олесяка (Варшавський ун}верситет, 1994).
У повному обсяз1 дисертацхйна робота допов}далася на IV Щжнародшй конференц11 "Мехашка неоднор1дних структур" (Тернопхль, 1995), Y-й Загальнопольсыйй конференц!1 "MexaHiKa руйнування" (Моншоцще-Амельйовка, 1995), I Украхнсько-польсыШ л1тн5й школ! "MimaHi задач! механiKH неоднор!дних середовипГ (Щацьк, 1995), ceMiHapax кафедри механ!ки Льв!вського ДУ, "Математичнi методи мехашки" Дн 1пропетровського ДУ п!д кер. проф. В.В.Лободи, "Проблеми механики" Кшвського НУ п!д кер. чл.-кор. НА1-Укра¥ни, проф. А.Ф.Улггка, "Математичн! проблеми механш
ущльного середовища" Донецького ДУ шд кер. акад. HAH Укра'ши, роф. О.С.Космодам1анського, Одеського ДУ шд кер. проф. .Я.Попова, "Математичне моделювання i методи оптимхзацн у риродознавств1 i tgxh i u,i" центру математичного моделювання 1ППММ
АН Укра'гни п!д кор. - чл. -кор. HAH Укра'ши г - проф. Я.Й. Бурака,-------------
1роблеми механжи деформ1вного твердого Т1ла" 1ППММ HAH УкраУни гд кер. чл.-кор. HAH Укра'/ни, проф. r.C.KiTa, "Механика крихкого уйнування матерiалiв" ФМI HAH Укра'ши шд кер. акад. HAH Укра'гни, роф. В.В.Панасюка.
Публ!кац1Т. За результатами дисертаци опублжовано 85 аукових праць.
Структура i обсяг роботи. Робота складаеггься з вступу, семи озд!л1В, bhchobkib, списку лггератури, що охоплюз 577 назв, та рьох додатк1в; М1стить 107 рисунк1В та 27 таблиць. Загальний обсяг тановить 408 е., у тому числх 299 с. ochobhoi текстовоУ частини.
0CH0BHHR 3HICT РОБОТИ
Вступ м1стить короткий огляд праць, що стосуюгьоя теми исертац!i'. Обгрунтована актуальн!сть проблематики, сформульована ¡ета дисертаци, В1дзначен1 новизна, нэукове та практичне значения, ,оротко викладен} результати, одержан} у дисертаци.
У пе^изому роздШ викладенi засади застооування методу функций трибка у задачах Teopii пружност1 i термопружност!. 1дея МФС 'рунтуетьея на використанш двох основних положень: 1) принципу пряження коктинуумгв рхзног вимгрност! (ПС); 2) ^снування умов ;заемодй' (УВ) тонкого включения is зовшшшм середовищем.
Суть ПС полягас у замш! тонкого включения поверхкею (л 5 н г сю у [вовиг.прних задачах) розриву теплоф^зичного та
1апружено-деформ1ваного стану тхла. Включения вилучаеться 13 юзгляду, а його вплив вводиться до утворення у матриц! стрибклв г ¡еяких ф i зико-ыеханiчних пол1В (ФМП) Стемператури Т, теплових iotokib ■»Т/^х^, перем!щень ui, напружень сг^ j тощо) шд час фоходження через серединну поверхню (лш!ю) тонкого дефекту
0иСГЗ=аиСГ,Гг), и^Г^и-СГ,^:), ТСП=ТСГ,Гг). С1.1Э 1ля визначення нев1Домих ФС використовують умови взаемод!i (УВ) •онкого включения is зовн!яшм середовищем, якг втдображаюгь южлив1сть побудови математично'1 моделт включения (ММВ): залежностi
йж температурами TI, тепловими потоками ТГ , векторами змхщень
+ 4-
и~ та напружень 1ПВ на верхшй (+) та нижшй (-) його поверхиях. Використання умов контакту включения з матрицею з урахуваннял знесення в!дпов!дних величин ФМП з реально! меяи под!лу нз серединну поверхню включения дозволяе записати ММВ з використання» граничних значень ФМП на межл фаз
Знайшовши з (1.1) граничш значения ФМП на меж1 фаз та поставивши 'IX в УВ (1.3), отримаемо систему сингулярних штегральних р1внянь (СС1Р) для визначення ФС
Ф^СГГ5=0. С1.43
Розв'язок (1.4) визначае на основ! ПС (1.1) ФМП у довхльшй точц1 Г матриц!; умови контакту та (1.2) даоть ФМП всерединI включения.
Як приклад реал1зацп загально! схеми МФС на основ! формули Сом1Льяно побудован! ключов1 сп1вв!дношення для тонкого включения уздовж поверхш 3. Для цього розглянутий необмежений прост1р V з розр{зом уздовж поверхш 3 з берегами 3+ та 3~ I нормалями п+, гГ^-п в!дпов1дно (рис.1) у загальному випадку ашзотропн пружних I теплоф1зичних властивостей. Ураховукми динам1ЧН! члени,
взаемозв'язашсть температури та деформащй та склнченн1сть швидкост1
П Я ) поширення тепла (узагальнений закон
? '_/ , 1
теплопров1дност1), узагальнену формулу Т ^ V Сом1льяно вдаетьоя записати як х^ п • £ залежи{сть перем1щень В1д стрибк1в
^ Рис1 температури, теплових поток, ¡в,
перемхщень та напружень на поверхн1 3
а=1,2,33. С1.5) У випадку статично I пружност1 вона набувае вигляду
икСГЬХ [Г1+3Сх)р^Сх,Г:>-Г.Сх)и!<Сх,Г:^ЗСх>/ Х^хХ^Сх.ГЗ^Сх).
3 У С1.6)
Тод1 компоиенти тензора деформац1й I напружень дор1внкють
У™ ' jpq1UqCn-cfUCП'
Вирази (1.6), (1.7) реал^зукэть ПС.
Вважатимемо теж, що в1дома ММВ I побудованI В1ДП0В1ДН0 до (1.3) вйсть УВ вклкмення з матрицею
Шдставляючи виразн (1.6) та (1.7) у (1.8), одержимо СС1Р госовно шести функцгй стрибка, як1 зггдно з (1.6) повшстю означать напружено-деформований стан Т1ла. Якщо т!ло перебувае п!д пливом певних зовншшх чинникгв, то у формулах (1.6), (1.7) та н.-слIд долучити члени и?С?5, г^СП, о?,СП, як5 характеризуй ЦН0Р1ДНИИ розв ЯЗОК ОР, тобто розв ЯЗОК В1ДП0В1ДН01 задач! для 1ла без дефект!в Л1Д час Д1У тих самих зусиль.
Метод придатний I до аналхзу обмежених повер.хнею СЭ^) тол V прошарками, якщо подумки доповнити V до безмерного простору I ззглядувати на додаток до 8 як ще одну поверхню стрибка. Тодг :>айов1 умови як} в1дп0в!даеть заданим на 31о зусиллям Г ^, а на перемщенням екв1валентш шести умовам взаемодI г ^Г0' на31о- «Г-о. и1=91 на81и а-1>2,з;>. С1.9>
Сп1вв1Дношення для антиплоскоУ деформац11 уздовж ос г х^ для зотропного т}ла легко отримати на основI загальних вираз1в, якщо 5межитися значениям к=3, а зосередженг сили, ЯК1 фтгуруоть у тис! тензорIв Грша, вважати р1вном!рно розподгленими уздовж осх 1' х2=^2" гнтегрування уздовж цге'/ ос! в хзотропному
1тер1ал1 для ненульових компонент отримаемо вирази
+ ^ |}зСх>1 хГ^/<э?^РСх-У3с!ЕСхI'1,
РСхНГ)=?л1^С^1^и^Сх,?>1/Сх--?> . С1Л0)
ягодами ТФКЗ одержуеться такий самий вираз.
Сшвв1Дношення для в!дпов1ДНо'/ задачт стосовно гзотропкого жованого т1ла в рамках плоско'/ деформаиГ/ можна отримати, жлавши та р1вном1рно розпод1 ливши уздовж ос! х.,^^,
>=?2 зосе-реджен1 сили, ¡до ф1гурують у запис! тензоров Гр'гна:
.сх-г^д^сг^сю+г^сх^з^х +п1[и1Сх5+1и2Сх}36Си, Г^СхЭ^о^су],»,
|Сх^=д^Га1+1и231, КСа:>Сх5=а/х-1/х, 1_Сх:>=Сх-х)/х2. Cl.ll)
Розв'язування задач теори тонких неоднор1дностей та ш.
юдиться до СС1Р другого роду
чсх> + ъ I {—^сеп)е-х 1+кс?,х)|гсг)с!г = РСХ) сх^=с-а,аз5, а .12)
/ ГС?)^ = й, сЭе1:СА±В:>*0. С1.133
гг матриц1 А, В, С, О е С; гсх) -шукана вектор-функщя; 1триця-функц1я регулярних ядер СС1Р.
Характериотичну для (1.12) чаотину CCIP можна д1агонал1зувати або деякими його перетвореннями або введениям hqbqï невхдомо'х вектор-функци Кх)
fCx) = DpCx) Cl.14)
i y найзагальн1Шому випадку шукана функц1я мае вигляд м
f Сх>Е ¿птфт°° Сп=1...М), Ф Cx)=w СхЭАхЭ Сп=1...М), m~1 n
РПСх)^Сх)=2 А^Р^'^Сх/а) CN«®). Cl. 15)
т=0
У наближеному розв'язку характеристичноï частини одного CIP fCx)=wCx)pCx), wCx)=wCx;d.j9D=Cl-x)dCl+x)i9 Cl.16)
коефщ1енти развинення функци ^Сх^^Сх),типу (1.15) _si склнченним N шукаюгь, вимагаючи ортогональност1 системи функций P^~d'~^Cx) та нев'язки р i вняння.
Доведен! лема, за якою посл1довн1оть частинних сум (1.15) збггаеться у середньому, якщо F е неперервно диференцгйовною функщею i теорема, яка явно оцшюз швидкшть зб1Жноот1 процесу при додаткоеих умовах стооовно гладко от i правоï частини FCx). У другому роздал! розглянутi методи розв'язування CCIP
.1=1 ro=l Lm
-D^ spjCxp)/hCxp)]}=FipCxp) Cxp^; i,>!...!; p.m=l...M>; C2.1)
J f^Ct)dt=Q - Cni=l.. .Mi j=î... I), C2.2)
i ' j ulj
Де m
r?Ct)dt x
If -, У Autnlt-zldt, sn =Cx)= f fp=Ct)dt
J "Jl r t_7 J »"l r J PJ J
Lm u * Lm -a
2mp=expC-ldm)[x0p-iy0p-Cx0m+iy0m)+xpexpCidp)]; p
A?*. Bf?y С??, h, Fip - деяк1 CTani або глада! функци'; -ядра типу Фредгольма; Qmj - стал!; zfflp - координати В1дпов1дно; точки z«Lp В1др1зка Lp у систем! координат xmOmym, зв'язано'1 з серединою В1др1зка L^. Координати центра Offl BiflpisKa L^ в основой систем! координат х^О^у^ дор!внюоть х^т, у1т; с^ - кут, утворений
°Л ^ 3 в!ссюх1-
Основна увага зосереджена на розв'язуванш р!вняння (2.1) за умови А?^=0. Однак окрем! результати стосуються ï CIP другого роду. Розв'язок CCIP (2.1), (2.2) шукаюгь у вигляд! ряду
^U-TCt/V^t/V. TCii)=C1-uVl/2. T^t/^.
C2.3)
Шдставляючи (2.3) у (2.1) та (2.2) отримаемо систему ргвнянь V'g,' # ^CZffip/aB1^F.pC4p)---------------------
ixpeLp, i =1 - - -1; P=1...M), . Agj^j/ff. (2.45
Z' означая, що niдсумовування не поширюзться на т=р.
Обгрунтована обчислквальна схема методу ортогональних лногочлешв (MOM), кож за власш функщ? беруть многочлени Якоб} } 1ебишова. Доведена piBHOMipHa збгжшсть MOM, а зб1жшсть у >ередньому отримуеться як наел}док piBHOMipHoi зб1жност1. Одержан! ;ередньоквадратнчнi i piBHOMipHi оценки похибок. ui результат» »аотосован! до CIP з регулярним ядром Kit ,>о=Дй1qhCx-L).
У §6 розглянутий способ застосування MOM у випадк.у ядер
^редгольма у виглядi штеграл1в Фур'е
1 г® rsin[ect-x)3,| KCx,t3=i GCfDi Не, GCf)=oCe glO якщо , p>0. С2.5Э
71 JQ LcosCeCt-xD]J
Доведена збтжшеть методу колокащй (МК) розв'язування CCIP ispmoro роду, коли прирхвнкзоть прав: та л!в} чаотини (2.4) у зузлах солокац1 i'
x^J=a cos[jik/CN+l.">] Ck=l.. .N) (2.6)
приходить до С.ПАР
А5У=<1т,/лг С1=1...1;р=1...М;к=1...№ С2.7)
пл и "и с\г~)
:2ШР - значения 2тр при хр=х^-\ Ур=0).
У випадку лш1йно'1 першдичноот! кожна з лш!й Ь' повторюеться
11 1
г площин! Хд00у0 безмежну кхлыасть раз!в з пер!одом гг=г^+;5 юзв'язок задачI повинен давати на кожшй 1з цих Л1н5й однаков1 жачення функщй Л
Застосування МОМ до С1Р пёршого роду з ядром Пльберта I фредгольмовим ядром типу (2.5) аналог}чне запропонованому у §6.
Використовуючи МК, можна користуватися загальною схемою (2.7). )днак зручно також в^дмовитися втд урахування безмежноУ ювторвваност5 л5шй штегрування I у кожному такому ряд! )бмежитися лише 20 першими найближчими до В1др1зками, змживши зIдповIдним чином л1ву частину р1внянь (2.7). Так само поступаюгь } за цикл1Чно"! перходичноот! з пер!одом а=2п/Р.
Застосовуючи. апарат CIP до. розв'язування задач з подвшнок пер10днчн1стю, необх!дно замiнити ядро Komi 1/u подв1йною сумою
SCu)= Z П=Р . P=qd1+fd2, dp=dP+idP , С2.£
1 р 1=-® а = -со u г У
d , d - перходи повторкваностi komipkh першдичностх вздовж першо) та друго'1 осей nepi одичностi вхдпов1дно. Cnoci6 п!дсумовуванн5 впливае на виб!р сталих С або Cj у piBHOCTi
SCu5=ICuD+Cu=cCu)-2u<5j/dJ+uCj. С2.9Э
Якщо в безмежних оумах обмежитися найближчими 2Q членами пс першому пер ходу i 2L рядами образ i в L^ по другому nepiofly, то пр^ наближеному розв'язуванн} CCIP можна розв'язувати CJ1AP (2.7), модифхкувавши i"i Л1ву частину.
Зменшити к1льк1сть обчислень та одночасно П1двищити точн icTt обчислень може допомогти екстраполящя за Рхчардсоном. 1снуе обгрунтування екстраполяци за Рхчардсоном для р1вном1рного крок> розбиття. Запропоноване у нер!вном1рному розбитт1 MOM та МН розв'язування CCIP застосування екстраполяцхi другого i ще вищих порядкхв зарекомендувало себе дуже добре.
Трет1й розд1Л присвячений побудовх умов взаемодп (УВ) тонкого включения з навколиашм середовищем. Дослгджена температурна
взаемод1я з матрицею тонкого _____________________________________
тепло активного (видхляе тепло) вклочення |2: Я2 а2 а^ Е2 v2 малох ширини 2hCx), розташованого уздовж 'Ававатв^^ + ! L'=[a,b] (рис.2). Товщина i ^tzu гл I 26 (для плоского i 1т 1 Q-LJ
В1др1зка
включения - 26 (для температурного поля <5-мо); температура j tgfx.y.zD у ньому симетрична вхдносно j1: ^-l ai aTi Ej
серединнох площини хОу. Величини, як! Рис.2
стосуюгься включения позначаюгь нижшм шдексом "в".
Використавши умову теплового балансу для елементарного об'ему включения, закон Фур'е I теплообмш з довклллям температурою Тс, усереднкючи за товщиною, маемо
\вДТвСх,у:>-ГСТвДс,с(,/3,...)/£-0вСх,уЗ=0. С3.1Э
Тут Тв, Ов - оередня за товщиною температура I гуотина внутр1шн1>1 джерел.
Уоереднення (3.1) за шириною та штегрування по х«[а,х] даюгь рЬдТ Сх.у) гвТ Сг.Ю- ат се,-ю-.
2Ь
-у гссе)с!г + = о,
Г ЬС»/) С(«,у) 1 Г Ь
,С»Э= х -^3--—Ьу, л=<а,Ь>, $р (х) = V рСх,у)с1у. (3.2) Л-^Си/:) и х Л-И
Використання розвинення функцп! у ряди Тейлора на берегам
оточення I (3.2) дае ММВ
-0хСа)=0 С<р>ь=рСх,-Ь)+рСх,Ю, [(р]ь=рСх,-Ю-рСх,Ю). СЗ.З) Урахування членIв порядку Ь2 та подальших дае точнхпп проте й клади !пп модел1. Тепловий контакт м!ж включениям вважаеться этдеальним з коефщгентом тепловхддач! а^у - теплогзоляцхя,
- 1деальний контакт). Температура ТСх.у) подастьоя сумою днор!дно1 Ах,у) та збуреног их,у) присутн}стю включень кладовнх.
Використання умов контакту у р}вняннях (3.2) породжуе УВ
, <р>=р^Сх) ►¡р^Сх) (х^О, С3.4)
;е функци залежать втд ОР I параметр!в включения. Суцзльними
йшями у (3.4) П1дкреслен1 члени, якл враховуюгь величини порядку 2 ...
I ; пунктиром - члени, якл СЛ1Д В1дкинути за 1деального контакту з ключенням. № можна теж спростити на основI наближення
ГСх±1Ю=Г±Сх)±ЬСх)йг±Сх)/»у або П^Ю^Сх). С3.5)
>аланс тепла у включены! й нерозрившсть температурного поля дають
¿с-о-сю-о саэ—тГ гссоаг+2ьГ гёсоае, Г [£] Ф?=О. х х К' в сз 63
Торцьов! потоки тепла (ТПТ) <2кСмО можна обчислити з априорного фипущення, яке дозволяй точно задовольнити ус1м граничним випадкам
[тепло1зольоване; абсолютно теплопровхдне включения; теплофгзична жв1валентн1сть матер!ал1В включения та матриц!)
За аналог!ело Г.С.К1та поздовжний зсув екв^валентний до цвовим1рно! задач! теплопров!дност1 без урахування теплов!ддач! з
б!чних поверхонь I УВ антиплоскоГ деформащГ можна одержать в{дпов1Дною штерпретащею (3.4), (З.б). Окремий розгляд дае можлив1сть ширшого механ!много анал1зу.
Через пропорцШшсть пох1дних В1Д змщень компонентам тензора налружень ооновну модель (ОМ) УВ можна подати у вигляд}
С3.8}
де , ш* - торцьов! стали. Знехтувавши у (3.8) шдкреолениы
членом, зведемо основну модель до шпвково1 (ПМ). Для торцьових сталих побудованг аналог1ЧнГ до (3.7) 'апр!орн! залежноот1, якг дозволяють отримати з (3.8) сшввгдношення для щшш з заданими на 1хн1х берегах напруженнями, для гдентичних матер I ал I в та для абсолютно жорсткого включения (МБ) нульово'1 чи ненульовоУ товщини.
Додатков1 умови зводяться до вираз1в
\1Г С3.5»
Под1бн1 залежност1 побудоваш для анизотропного, пружно-пластичного та редкого або в'язкого включень.
Методика побудови умов плэскоГ термопрухноТ та температурног чи антиплоско!" взаемодп принципово не разняться. Усередненняк Р1внянь р1вноваги включения по ширин! та штегруванням в межах в!д а до х, використанням закону Гука та деяких наближень отримують математичну модель тонкого пружного теплопровтдного включения
- У^в^Ч^)^ Ь<°уув>Ь- йтвь<тв>Ь-
Для стиолоот! запису збережен! лише члени порядку мализни не вище У
Вважаючи механ!чний контакт м!ж матрицею I включеннял !деальним, враховуючи жорсткий поворот включения св тг тонкост!нн!сть, з ММВ (3.10) отримують в!дпов1дн1 УВ. ц! умовк дозволяють реалхзувати р!зш рхвш спрощень. Поряд з ним> опрацьован! також !нш! модел! пружного включения, як1 враховухлч
«изотропно матергапу, вигнутють 001, вплив температурного линника, зокрема й модель бажи Мрхгофа. Дослхджеш переваги та тедол^ки кожноУ з моделей.
В УВ входять торцьов} стал1
________________N СиО, и'сж), Л^СмО«=<а,ь>__________________сз.их
Зля IX визначення можна використати апрюрш сп1вв^ношения.
Под1бно до (3.9).повинш виконуватися теж три додатков1 умови
£
'УУ Ь' [стху]Ь' = и2' у3'
Урахування жорсткоУ складовоУ повороту включения вимагас 1ульовост1* головного моменту прикладеких до включения сил. Записан! також УВ включения з} стисливоУ р1дини. У четвертому роздгл? дослщжене температурив поле глучених швплощин Ск=1,2} з коефщхентами теплопровщгостх
[Vh-
[uy3h>de={Q1,
Q,
C3.12D
N
теж
дйох \
лк-
i si:
Рис 3
/здовж Ь'^У^, Ц')=Сап,ап] на леж1 подглу лежать N геплоактивних включень мало У иирини 2ЬСх) з коефщхентами геплопров1дност! хв (рио.З). [Це тепловий пот^к q У
[•очках - джерела тепла Цу
га теплов! дипол{ з
}р5ентац1ею е^. Тепловий контакт
й!ж включениям I матрицею е гдеальним або не1деальним, мгж
1Iвплощинами - 1деальним; включения вид!ляюгь тепло С) . о
Температура Т=1СгЭ+иг) е суперпозицию основноУ та збуреноУ жладових. Включения моделюеться стрибком температуря I теплового тотоку на його ооьовш лшп. Тому
[Л=0, СхО,
^Сх^О Сг=3,6) коли х^"). С4.1)
Урахування теплов1ддачх супроводжуеться введениям у розгляд говщини 26 пластинок та включень, Ухшх коефщ1етчв теплов1ддач1 температури зовшшнього середовища Т„, припущенням про
К вп о
эиметричн1сть стосовно серединноУ площини пластинки д!I
гемпературних чинншав.
А)В1дсута!сть теплов!ддач! з б!чних поверхонь пластин
За в1Дсутност! теплов1ддач! з бIчних поверхонь. температура е гармон!йною функцгею I тому
{trcz:>, ercz)
TCz^Re^Cz^. C4.2D
Методами ТФКЗ крайова задача (4.1) зводиться до задач} лш1йного спряжения, розв'язок яко'1 дае
Yz^=-ipjE3Cz)+pe6Cz3,
£nlf-zljfrCeDde, frCxj= Jfr(xDdx. <4.33
Вважаючи frCx)=fr£Cx), отримуюгь розв'язок для джерела тепла та його диполя на меж} под1лу матер}ал}в. Отже за МФС у задачах теплопров1дноот1 включения моделисть розпод1леними уздовж його ooi джерелами тепла та тепловими диполями.
На основг формул Сохоцького-Племелi з (4.2), (4.3) отримують граничн} значения температури та i"i поххдних на лшп под1лу матерiал}в i з УВ (3.4) - CCIP
PrltrCx?+pr2tjCx)+^r3srnCx)+pr4feCx5+pr5f^Cx)=FrCx);. С4.43
n n=l...N; r=3,6; e=9-D. C4.5)
Для тепло 130льованого (TIB) та абсолютно тешюпров}дного включения (АТПВ) ц! CCIP масть замкнутий розв'язок. За 1деального теплового контакту включения з матрицею CCIP спрощуеться Pr^trCx5+pr3srnCx)+pr4fjCx3=FrCxi
Cx<n; n=l...N; Г=3,6; . С4.6)
Для АТПВ з (4.6) випливан отал}сть температури всередин1 включения.
Анал}з CCIP (4.6) показуе, що
ГшХСх)=Са^-хГ1/2-Чх-а-Г1/2+%хСх5. fm*=df§+ifg, С4.7) де ¡л визначаеться характеристичною частиною CCIP (4.6). Тому
З^Т-Л'
-Л
4 ckM*C 1 >с£м+С 1) ]
M~Cj)=e
±(Ю
2vsir К К г^ж
-jcos j-lDsin
ImCn*:)
- Nk=p
-jsin j-lDcos (f^)
x*w+0
-dReCn")
C4.8)
+ ky
Wan?+iAlX2^3Cam)}' 2a=anfanr C4"95
К", К" - коеф^щенти штенеивност1 град}ент1в температурного поля (К1ГТП); kx, ky - штенсивност! теплових поток!в (К1ТП).
Коефщ1енти N^ характеризують друг} . члени асимптотичних алежностей i у граничних випадках TIB й АТПВ визначаюгься лише цнор1дним розв'язком задач!. К1ГТП у цих випадках також ають замкнутий вигляд для потоку, джерел та дипол1В тепла.
Якщо матер г а ли пгвплощнн еквгвалентш CA^Xg) або якщо 1Ж$азне включения не проводить тепла чи абсолютно теплопров!дне, О 0СЦИЛЯЦ1Я розв'язку В1ДСУТНЯ i>=0) i асимптотики - спрощукться. За деального контакту однор}дно'1 матриц} з включениям CCIP стае ще роотшою, функц! i стрибка маюгь кореневу особлив }сть i
-- и
OCfj; С 4.10)
jv<i j_ ] + j£r cosli + г4\
Wv-qHi ^StFL cosf J vSiFl sin§ J l-xntl
У У—-
x y ^ b m J m r*0i©=0> x y 1 x+a.- + 0 1
re
C4.ll)
Ля екв}валентних матер}ал}в CX.J=X2=XB=X) збурене поле в}дсутне:
f3Cx)=f6Cx)=0 Cx*L). (4.123
Розглянутий i другий cnoci6 визначення торцьових сталих. У ипадку iдеального контакту матриц! з торцем включения, коли ¡О «TCw ,у) rhCw 3 *TCw у) Га- 1
W-J_hCw 0 ^г-зг-^У- }>
п о "
нтегрування в!домого однор1дного поля дае Q^, збуреного -
1 г hCvO
W= f? j, Л^^-гЗг - c4-14)
JL П
Числов! результати одержан} для одного включенння. Для
азномодульног швплощини вивчалося с1м тип1в навантаження:
■епловий пот!к на несклнченност}; р!зне розташування джерел i
1ипол1в тепла; в5дплив тепла з включения. У граничних випадках TIB
•а АТПВ отриман} простi анал!тичн! формули для К1ТП.
Детальн} обчислення зроблен: для одноргдно'г матрицг з одним
неимениям 9 ,/90
h<ix)=h0i1-<:x/ii)z}l/jiP, h=h0/aC=0,01). С4.15)
1ри е=1 включения мае елштичний проф!ль, при (3=® - прямокутний; у,
F ' F _ г р
liy: 10"°...10J. Числов} . розв'язки при у=10 i ?=10°. Сдля
3iy=1010) в}др1зняюгься в}д точних для TIB та АТПВ менше як на 1%.
Б) Узагальнене плоске температурив пола
За теплое1ддач1 з бхчних поверхонь постановка задач!
збер1гаеться, хоча температура задовольняе р^вняння
Oi.Cx,y)
ХкДТСх,у)-^{ТСх,у)-Тс>=—-. CXiy)eSk; k=l,2. С4.163
Ваотооувавши до (4.16) та умови (4.1) перетворення Фур'е за
координатою х отримане подання збуреного температурного поля
{л^сх.у), С4Л7:
Зокрема, коли тобто С4.18]
л1сх,у)= К,,Сто, Л^Сх.уЗ^Си'О, С4.-1Э:
де К. - функц11 Макдональда. Визначаючи граничш значение температури \ теплового потоку на в1д УВ приходять до СС1Р.
Одержан! граничиг випадки СС1Р для: 1)Т1В; 2)АТПВ; 3)однор1дно'1 пластинки з включениям; 4)бездефектно'1 пластинки. Побудоваш залежност! для визначення ТПТ. Лисловий аналое зд!йснений для одного включения в однорхднШ матрицI за гдеальногс контакту компонешчв при (4.18).
Стосовно розпод1лу град1ент1в температури в окол1 торц1Е включения, то перпп члени асимптотичних розвинень теплових поток те збггаються з аналоНчними виразами (4.8), (4.10) для пластини з тепло1зольованими б1чними поверхнями.
Числово досл}джений вплив теплов|ддач} з б1чних поверхонь пластини I включения на концентрацш температурного поля в окол! включения для збалансованих джерела I стоку тепла.
У п'ятому розд!л1 вивчаетьоя поздовжний зсув середовища 31 стр1чковими включениями.
Розглянутий 13отропний масив з двох П1влростор1в з модулями зсуву <3^ Ск=1,2) за умов поздовжного зсуву уздовж ос1 г, коли на межл под1лу розташованI N тонких вклкнень в модулями зсуву Ов. Двовим1рна геометр1я задачI аналог1чна розглянут1й на початку розд.4. Навантаженням е напруження на неск.1нченност1 Оу2=т,
; 02^Яе2>0, к=1,2), сили 0к, гвинтов1 дислокаци Ь^,
силовI та дислокащйН1 дипол! у точках 2хк<>к. На лшп под1лу матерIалIв швп лощин контакт 1деальний.
Включения моделшгь стрибком напружень \ перемщень
[<*]=*■ на I, С5Л)
де "С7)={оу2С2>, виС2>/«х> - вектор стану; 1Чх:>={Г3Сх:>, Г6Сх)} -вектор стрибка, Шх), ГрСх)>={ГрСх), г£схЗ> коли
У кожшй з швплощин для вектора напруження тсгЭ^о^Сг), а^Сг}} справедливе подання
ЗСг)=21 Сак+1вкЬк)/[2лС2-2)<к5] Сг1^) С5.2)
к= 1.2
^Сг) - голоморфна у кожшй з швплощин I заникае на
Методами ТФКЗ побудоваш задач! л!н!йного спряжения граничних ¡начень, розв'язок яких дас _ г С ^ )=1 р, Д 3 С 2 5 - с 16 С 7 )+г° С 2 }, г° с г 3 = ■( а® 2 ( г 3, С г 3},
Сг^; Г=3,6; к=1,2; Е=3-к); С5.3)
С5.4)
Якщо п!вплощини 1дентичн1, то вирази (5.3), (5.4) спрошуються збхгаюгься з (1.10), одержаними за формулою Сом1льяно,
Застосування принципу сулерпозицп дае загальшший розв'язок адач1 для випадку дов!льним чином ор!ентованих включень
¿г Лп)а'23ГЗшсиЛ+1°Рс2р3' Р^г^/а^, и
Тш=1е От
важаючи, що Л1н:я -■»,<»] в вюсю необмеженого розр1зу, з (5.5) тримують'дещо складнш! вирази для твпростору.
Уст результата поширюються на випадок викривлених лшш ■грибка, задаких р!внянням 2ф=2р(х)» коли
Тр=2рСх), ¿р^ра^агс1дСур'СО/хрЧх>5,
11ра:)=°П2рС1:>"С1П2рС1>И0Г2рСиЧ2ра:>:) " В окол! вершини включения справедлив! асимптотнчн! вирази
4.8), (4.9), якщо у них зробити замену
Чх--стх2. Г3+Г6> Г6+Г3' Ч^З'
- к1>2, к^х^ - г»з - п|. п* - п|. С5.7)
3 1' К3 2 ~ ^'загальнен^ коефщтенти ¡нтенсивност! напружень ШН). Ящо матер!али п1Вплощин пружно ек.рЛвзлентш СС^^Э або едо м!жфазне включения абсолютно жорстке чи абсолютно податливе, ? осциляц11 розв'язку немае (м=0) 1 асимптотики спрощуюгься. экрема, якщо включения (плоске чи вигнуте) лежить у однор!дному атер1ал1, то справедлив! вирази (4.10), (4.11). Для щ!лини УК1Н 3 ^ в1дпов!дае класичний К1Н К3.
3!ставлення точного I наближеного одно- та двочленного ;имптотичного розвинень для пружного дефекту показали, що даориотовувати асимптотики сл!д обережно, оск!льки вони можуть ати не лише к!лыисно але I яклсно хибну картину.
ГНдставлякни граничит значения напружень на л!н11 стрибка в УВ
(скажгмо (5.4) у (3.8)), отримують CCIP, аналоНчн! ргвнянням (4.6), що розв'язуються числовими методами розд.2. Граничн! випадки м1жфазно'1 Щ1лини (6-+0) та абсолютно жорсткоУ шпвки (АЖП) (G„-»<»)
о В
масть аналхтичн! розв'язки.
Отримано, що отрибок леремщень wCx-ih^-wCx+ih) на берегах MB в рамках прийнятих наближень нульовий. Обчислен! значения сту2 на меж! тонкого елштичного включения теж е сталими. це х даз ! точний розв'язок задач! для елштичного включения, засвздчуючи високу м!ру адекватност1 МФС.
Для одного тонкого включения елштичного проф1лю побудований замкнутой розв'язок задачi, який е особливо простим за дп ОПНН
frCtD=FrtCa2-t2)"1/2. С5.8Г)
Задавши у (5.3) чи (5.5) функци стрибка як дельта-функщi
frCt3=fr6Ct), f3=Q, f6=b, C5.9D
отримаемо вирази xCzD для сили Q та гвинтовоi дислокац:Y Ь на меж} под1лу матер i ал IB чи у довтльшй точц1 о дно р ¡дно i' матриц!. Отже, M'iC стооовно поздовжного зсуву означае зам ¡ну тонких включень розпод!леними на. i'xHifl серединн!й поверхн! силами та гвинтовими дислокациями. Д1Я сили еквгвалентна впливу дислокаци суто уявног штенсивностi (OiGb); дислокац1йний диполь екв!валентний силовому, повернутому на кут л/2.
Дослхджений вплив на УК1Н та поле напружень i перемщень такия чинникзв: a) BiflHocHo'i товщини включения h=hQ/a (якщо h+О, то концентращя напружень зменшуеться до одиниц!); б) в!дносно'1 жорсткост! включения k=GB/G (якщо к=1, то концентращя напружень м1н!мальна, для ОПНН - одинична; в граничних випадках к->0 к-»« числов! розрахунки зб1гаюгься 3i значениями в!дпов!дних анал1тични> вираз!в для тр!щини i АЖП, коли концентращя напружень найбглыпа); в) параметра /3 форми включения (3i збхльшенням к вплив t збхльшусться; зменшення /9 зменшуе абсолютах значения УК1Н: при /9=1 вони мшхмальнх; г) типу навантаження (ОПНН, сила, гвиитове дислокац!я, силовий та дислокац!йний дипол1); д) типу задачi (1-i включень однакового типу; 1-2 включения i тргщина; перходичнг система 1-5 тр!щин чи 1-3 включень; подв1йно-пергодична систем? трхщин чи включень у квадратн!й, прямокутн1й i трикутнхй гратках).
Досл1Джен1 дек1лька BapiaHTiB умов взаемод1i та способ¡е вибору апр1орних вираз!в для визначення торцьових сталих.
Для зосереджених сил, дислокащй та ixHix диполгв побудован: T04Hi анал1тичн! розв'язки для дефекту у виглядх скхнченно! Ч!
:внескшченнот трлщини або АЖП. Числовий анал13 показав, що з ддаленням сили чи дислокацп в{д включения в окремих випадках >зпосередне наближення збуркзочого чинника до поверхш включения
•собливо жорсткхшого в!д матрицП теж дещо знижуе концентрацию шружень у пор1внянн! з деяким мзксимальним значениям. — Окремо-роэглянуте-застоеування штёгральШЗГТйретаорень Фур'е . задач про включения у шаруватих середовищах, коли на меж1 пакету довольно}' К1лькост1 смут заданг напруження або перемщення; М1Ж 1рами - ¡деальний механ1чний контакт; всерединх шар1в чи на IX
¡ж! - тонк! включения. Розв'язок и, у смуз1 Э = подаеться як сума
ОI • ^ • ^
гнор1Дного и породженого зовншнш навантаженням за в1дсутност1
л -
лючень, та збуреного ^ розв'язкЛв
мки^чР^С^+шк!!,^С/^^Сг^у/1^? С5.10)
А . ' " Л .
свою чергу иР е сумою основного збуреного розв'язку «Я^ для :змежно'1 площини з такими ж мехашчними властивостями I такими ж
люченнями, як1 належать 5 - (якщо у 5= включения немае, то мЯ-^О),
збуреного коригувального и/ ^ який повинен враховувати шченшсть висоти, вплив сус!ДН1х смут \ не породжувати стрибктв лружень I перемщень. Подавши Фур'б-трансформанту збуреного ригувального поля у вигляд!
ш'Чх.у) = - ^ Г^СеЗе'1? C5.li:.
використавши крайов! умови I функци стрибка на включениях, для значения шук.аних функций А^С?) матимемо СЛАР.
Побудови детал1вован1 для вклкмення всередин! смути, числення зд1йснеш для твпростору з включениям. Показано, що ¡на типу граничноI умови на поверхш т1ла вмхнюе знак, виразу .для ригувального збуреного поля напружень.
Аналог !чш результати отримаш у випадку лш1йно1 ашзотропп тер1ал1В двох швплощин з тонким м1жфазним включениям. Побудоваш лежшсть напружень в:д функцш стрибка, асимптотичн! вирази, алхтичш розв'язки для ОПНН, сил, дислокацгй б!ля тр}щини та А1П пр. Виявлений кIльк тений } яклений вплив м}ри ашзотрогп I на зпод1Л напружень г IX концентрацш.
Дослхджен! умови моделквання в теор{У пружноот} анхзотропних терIалIв ОПНН рядами зосереджених сил, прикладених на достатнгй дстан1 В1Д досл!джуваного концентратора. ... •
Показана можливхсть використання розв'язк1в МФС до -визначення
ефективних (зведених) стадах неоднор!дного середовища з, стр1чковими включениями. Якщо композит е ангзотропним материалом
<^Н4<ау2>а®5<аХ2>, (^>а15<аУ2>+а55<0х2>- С5Л2 з! сталими а|4, а®5, а|5, то усереднюючи розв'язки вщповгдно: задач1 теор11 пружност1 при двох варгантах навантаження
I. о™2=0; I. сгу2=0, сг^2=г1 С5.13
отримують вирази для ефективних характеристик.
/¿мЛ.
Цей П1дх1д з урахуванням аналог!I Г.С.Юта дозволяе вивчит1 ефективну теплопров1дн1оть стр1ЧК.ових композит1в.
Якщо велика вхддаль м!ж включениями дозволяе знехтувати 1'хньо> взаемод1ею, поле напружень 0у2, аХ2 I перемщень ш можна обчиолить за розв'язком для поодинокого включения в однор!дн1й матрищ, зокрема замкнутим розв'язком для включения елштичного проф1лю. Якщо до того ж Д1б лише ОПНН, то функци стрибка визначактгfc.cs виразом (5.8) 1 за цим замкнутим розв'язком можна розвивати теор» масових дефект Iв та визначати ефективш характеристики композиту 5 регулярним чи стохастичним укладанням строчок.
Для включения неелттичного профхлю (5.12) сл1д використат1 сумхсно з (2.3), визначивши коефгщенти А^ за допошгою МК або с певною м1рою точност1 заступити його еквгвалентним елгптичним, г ; пол1 однор1дного зеуву взяти для нього замкнутий розв'язок (5.8).
Якщо густина заповнення велика I взаемодхею включень нехтуват! не можна, то ефективш властивостI регулярного композит: обчислшгься за розв'язком В1ДП0В1ДН01 подвIйнопергодично: задач!. Одержано, що: 1) ращональним вибором параметров гратки можн; шдвищити ефект армування не зб1льшуючи об'емну частку арматури; 2 потоншування строчок 31 збереженням 1хньо1 об'емно'1 чаотки < ефективним засобом шдвшцення зведеного модуля зеуву композиту, засв!дчукми доц1льн1сть армування композиту дуже тонкими строчками
Використання замкнутого розв'язку (5.8) для тонкого шар; ел1птичного проф!лю дозволяе побудувати наближену теорию визначенн? ефективних властивостей композиту при р1дкому стохастичном; армуваннI, вважаючи швдовжину а I кут ор1ентац11 включен: випадковою величиною.
Силу, щэ Д1е на дислокацш (СДД) з вектором Бюргерса I
означають формулою
^Сг^Ьа*^*); , (5.15)
[е шдексом "*0" вхдзначене поле напружень у точцг без
рахування власного поля напружень в1д дислокащг у цш точцк
обудован! анал!тичн! вирази для визначення СДД в Изотропному
шзотропному тШ б1ля трIЩ11НИ та МП.
Отримано, що радсальна складова СДД в окол! швнесклнченно1
Ш1 дор!внве нулю, а трансвереальна - в!дпов1Дшй сил! б1ля тр!щини
ротилежного напряму: маючи змогу вольного перемщення,— дислокащя
ухатиметься колом з центром у вершин I включения до стану ет1йк.01
1вноваги на продовженн1 площини АЖП. Вгд поверхш включения
ислокацГ/ в1дштовхуюгься, сприяеючи емюм дислокацШ з меж! АЖВ
а сприяючи зменшенню К1Н у вгстрт трщши та збгльшеннк. критичне
авантаження. Теоретична досл!дження емю I I здгйснюеться двома
пособами: 1) з використанням граничного переходу у задач! про СДД;
) модифжуванням умов взаемодм включения з довк!ллям. Останшй
эзволяе ставити I розв'язувати задачI про тонкл включения з зоною
падкого проковзування (розтр1скування) або контактом з тертям чи
пастичним шаром.
Результати лгнгйког теор1I перенссяться на випадок мзелву з
эогук1Вського матер1алу 31 стр1чковим включениям мало! тс-вщини.
иена В1дм1нн1сть полягае у тому, що як I у випадку трщини для
1П нормальн1 напруження а___ маюгь в окол! торця прошарку -1
:облив1сть порядку г . За допомогою фундаментального розв'язку
С5.16)
гриман1 результати легко поширити на систем!! плоских та скривлених сличень, врахувати дш сил, дислокацШ, в1дпов!дних дипол1в.
Л1неаризован1 р!вняння нел1шйно1 задач1 поздовжного зсуву годяться до одержаних у §24 сшвв!дношень теорГг ан!зотропних 1тер1ал!в, якщо зробити зам1ну
а45=0. а55М/;1331, а44М/*2332, С5.17)
жчому для потенщалу Трелоара ^зз^^ю^к' для потенциалу фтенева-Хазановича хк33к=26хк/схк+х3:>, х^х2х3=1 Ск=1,2>.
На основ1 розв'язку (5.8) та критер1ально1 функци локального /йнування б!ля включения
1значен1 ймовхршснг характеристики граничного навантаження для ютропного середовища з р1дким заповненням тонкими включениями юф!лю близького до ел!птичного, коли IX довжина Г кут орхентаци
е випадковими величинами.
У востоку розд!л1 вивчена плоска задача теорп пружност I дл
т!л з тонкими неодноргдностями. На початку розглядаеться пружн;
р1БНовага двох швгающин Б,, з пружними сталими ри (к=1; 2) з (
к к к ы
включениями СЕВ, 1>в3 мало"! товщини 2ЬСх) на частин1 Ь^и^ Л1нг
под1лу матерIал¡в. На поверхнях контакту матер!алIв е |деальнш
механIчний контакт. Складена площина навантажена ОПНН, силами,
моментами, крайовими дислокац!ями, диполями сил I дислокаций. 3;
МФС включения вилучають з розгляду I !'х дш заступаюгь стрибками н<
I' вектор!в напружень I перемщень
(сгуу1 -1 а 1 )-С оуу2-1 ахуг:> =Г 1 (х) -1Г 2 (х Ы * (х),
(1^1+1ц^1)-(и^2+1и^г)=Г4(хМГд(х)чг5(х) (х4). С6.1
3 урахуванням подання напружень 5 перемщень через комплексн
потенщали Колосова-Мусхелшв!л1 умови (6.1) зводяться до задач Р г мана-Г!льберта I г г розв'язок дозволяз отримати
ауукС2)-1сгхукС2>=1| ^[1*С2>26Е^С2:>Ч2-?Х1*Ч2>2Сг1*'С2)У}-
+ 4 М?^"20«1^} + сб.2
Грунтукчись на поданнг (6.2), можна отримати аналогично
С6.3
для системи дов1льно ор1ентованих вклкмень у однор1ДИ1й площин I потхм поширити (6.3) на випадок викривлених включень а тако; отримати под1бН1 до них вирази для неоднорхдностей у швплощиш.
Подання $ункц1й отрибка у виг ляд! (5.9), де Г^Ру, ^2=Рх Г4=ЬХ, %=Ьу, св!дчить, що у плоек!й пружност! МФС полягае : ноделюванш включень розпод!леними уздовж 1хшх осей силами т. крайовими дислокад!ями з нев!домими наперед густинами.
Якщо визначити з (6.2) чи (6.3) граничн! значения напружень перем!щенЬ на лшхях стрибка ! п!дставити IX в умови взаемодп наприклад породжених (3.10), отримаемо конкретну СС1Р типу (2.1
¡адач1 для пружних включень на меж Г подглу ¡зотропних п!вплощин за [одаткових умов (2.2). У граничних випадках звгдси випливакл-ь СС1Р [ля тр!щин <СЕв-»0}, для А1П СЕв-к»>, що допускаоть замк.нутий юзв'язок.
------КоефIцI енти додаткових- умов (2.2)1 функц г г ^ р у правих
астинах рхвнянь (2.1) залежать В1д чотирьох торцьових оталих. Для х визначення використовують або апр1орн1 вирази, що даюгь точнг начення лише у граничних випадках, або зв'язуюгь Ух з функц1ями трибка на основ! (6.2). 0станн1й спос1б дае задов1льн1 результат» ише для дуже тонких включень.
Розв'язок штегральних ргвнянь мтжфазних включень типу (2.1) ри мае структуру (4.7) } його шукаюгь у вигляд1 ряд ¡в за
олшомами Якобт. Подгбниш до (4.8) але набагато громоздящими е симптотичн! вирази. Стартг члени розвинень зв'язан1 з чотирма К1Н, друг! члени у випадках трпцини та АЖП визначакгься лише розв'язком задачь У випадку однор!дноУ матриц!
днор1дним Е1=Е2=Е' уу УУ
хх~ xx
^ гР ху~ху
= КЫ
4У2 пг
Зсозе^+созец
-зте^+зте^-
-сгзг+бЗсозв^-соа^; -С 2ж+1 па^-З! пе^
2.1 4-^гтг
Зсоза, +ео2&.-.
4У2ттг
С2гг»-3)з1 пе^-з! па^ С2аг-11>Созв^ -СОае^
п^С!-*)
0Сг1/2),
СЬ.4;
розв язки,
1,1 також
~4<5п5
-46115 + п^СЗ+и)
граничних випадках тр1щини I АЖП побудоваш замкнут I жрема УК1Н для вс1х вид1в зовншнього навантаж.ення. УК1Н К; ¡дпов1даюгь класичним К1Н К^ теорГУ тр1щин. Дослужена жоренева особлив!сть напружень б!ля В1стря АЖВ, перпендикулярного > меж1 под1лу матер1ал1в.
Застосування МОМ дало для тонкого включения елттичного мф!лю замкнутой розв'язок, який у випадку ОПНН мае вигляд (5.8).
Числовий анал1з для пружного включения дов!льного проф1лю гдтвердив ус1 як ген I. висновки, зроблеш у . в1дпов1дних задачах липлоскоУ деформацхУ. , .
3!ставлен! р!зн} способи апршрного означения торцьових
стапих; використання р1зних моделей пружного включения, ochobhoï, балково'1 (за р1вняннями Кирхгофа), модел1 гнучкого включения, мо делi в1льного незакршленого включения. Досл1джуючи вiльне включения перевагу сл1д надавати моделi Корхгофа. Вивчена модел! piflKoro включения для якого стрибок напружень доровнюе нулю. Uns прикладу викривленого включения побудована CCIP для тонких пружни> вклкчень уздовж дуг кола, яке подоляе два матер¡али.
Взаемод1я дефектов досл1джена на прикладах перюдичних сиотек включень: за ïx cnîBBioHoro розташування при дiï ОПНН чи сю зближення включень зб1льшуе УК1Н; за компланарного при ОПНН -зменшуе (ефект екранування).
Потреба обгрунтування застосовностi МФС до розв'язування задая Teopiï тонких вклкчень викликана тим, що bîh породжуе нереальну сингулярнють напружень i деформацой б1ля краю неоднородноотi. с одного боку, перев1рка адекватност i MfC у задачах тонких включен здШснена за допомогою МСЕ. 3 другого боку, використання встановленого }ншими авторами зв'язку М1Ж коефдщентами концентращ ï напружень (ККН) та KIH чи УК1Н дозволило si ставити обчислен: за р}зними теор1ями та моделями значения УК1Н з ввдомими ККН для тонкого включения елттичного профгл» та зробити висновки про переваги МФС та обрано'1 модел1 тонкого включения; можлив1сть використовувати сингулярш роз'язки для опису мехашчних пол!в боля тонких дефект ïb; ефект ившеть вшклерово'о модел i у вивченш податлих прошарк1в.
Розглянутий також пакет К однор1дних 13отропних смуг Sj з тонкими включениями. Як ! за поздовжного зеуву, розв'язок е сумок однор}дного та збуреного, який задовольняе одну з чотирьох однор1дних крайових умов на межо пакету
Л, Л. л л л . л л (• L; y=yn , и
1.tfjy=aJy=0. 2.^^=0; 3.oJy=uxJ=0; 4.aJy=u/=0, j={_M; y=y°^l
C6.5D
умови 1деального механочного контакту на лон1ях под!лу матерiалiв
oJ^oJ"1, Cq=x,y; y=y0j, -®<x<«>; jHiM.,1) C6.6]
та породжуе_стрибки напружень i походних перемщень на LЗбурений розв'язок Ф^Сг) е сумою однородного збуреного Ф JCz} та коригувального збуреного Ф^ JCz3 розв'язков. Застооувавши до умов (6.5), (6.6) штегральне перетворення Фур'е, використавши 1нтегральне подання трансформанти функцп напружень Ейро
- 29 -
л. .р. . - - 1р 1у - - • I? 1у -
гримують СЛАР порядку 4К вспоено функцШ А^С?).
Обчислення здхйсненг для смути з включениям за рхвном1рного
>зтягу, згину, зсуву-та-дп сил.— Для швплощини вс! результата__________
)тожн! отриманим методами ЖЗ.
Поеднанням методов штегральних перетворень Фур'е I ТФКЗ >зв*язана задача щодо трщин на л!нп злуки смуг, шдкршлених [вплощинами, коли в1домий стрибок напружень . .Пружьп
>тенц!али подаюгься у виглядI
ФкС^=Г^Зк(сС2>А0кС2>В0кС2>Ф0кС23, к=1.. .43,
{А^С*}. В^Сгэ}-/™ {д^сЗе-^2, В^Зе1*2}^, Сб.83
5 Гк, ЗккС2) - в!ДОМ!, ^Ок^-25 ~ ШУКаН^ ГОЛОМОрфШ в 8к ФУНКЦ1 'I; /23, ВкС2) Ск=1,23 - $УНКЦ11 впливу.
Врахування умов на границ! пакету г контакту м!ж пгвплощинами а смугами, крайових умов породжуе СЛАР для визначення функций чливу. Умови на лхш I у=0 дакгь СС1Р щодо Г^СхЗ. Дослужен! эаничш випадки геометр!У пакету та пружних властивостей <лздових. Досл!джений перюдичкий аналог в1ДПОВ1дно! задач!.
Чиелов1 результати отриман! у випадку пружноУ та геометричноУ <метр!У задач! за д!¥ ОПНН та сил всередиш смуг ! пгвплещин. Для эикладених всередин! смути сил у випадку К=Е3/Е^>1 з! зменш&нням фини емуги помттне спершу зб1льшення К1Н а пот!м р1зке зменшення. яеншення I нав1ть змша знаку К1Н за достатньоУ жорсткост1 1дкр!плювальних швплощин дозволяе вказати зону прикладання сил, эли руйнування т!ла не буде пов'язане з просуванням дано У тр!щини.
Використання МФС ! апарату ТФКЗ дозволило розв'язати }дповIдн! задач т про тонил включения на меж! под1лу двох 41зотропних швплощин, навантажених ОПНН, силами, моментами, -тслокацгями та Ух диполями. Побудована залежшоть напружень I эремщень в!д функцШ стрибка, одночленнI асимптотичн1 вирази для оючення в однор1дн1й матриц!. Внасл!док граничного переходу гриман! вирази для 13отропного матер1алу. Побудована СС1Р в раничних випадках зб1гаеться з класичною для тр1щин та дае СС1Р ля АЖВ.
Под!бно до антиплоского випадку розглянута СДД б!ля тонкого ружного включения. Побудован! анал^тичш залежност! СДД б!ля
тр1щини та А1В скученно! та- швнескшченно1 довжини причомз
показано, що , 9
{ АЖП С1-*) с ^,ТР
|РхСх^, РуСх^| ---|ГхСхк), РуСх^| С1х^1>а). С6.3
Якщо дислокацгя притягуеться до в!стря тр}щини з тим б!лыпою силою, чим менша стислив}сть матер 1алу, то в!д В1стря швнескшченноУ АМ вона в1дштовхуеться тим сильнше, чим вона б!льша: для нестисливогс матергалу Рр=0.
На основ! критер1ально1 функц!I, зв'язано'1 з границе» 1Нтенсивност1 об'емно'1 деформацп
Ф,=е1т[^гСо +£Х„)3 Сб.10]
л г-»0 гг
доол!джений критерш зародження руйнування б1ля вершини тонкогс включения, що визначаеться умовою фзетах=ко- основ)
асимптотичних вираз!в (6.4) кут е^ площини розтрЬкування матриц:
* 1±л СкЦ 2)-
Використання замкнутого розв'язку (5.8) для тонкого включение елттичиого профхлю за навантаження ОПНН визначае найнебезпечншь оршнтацт ах включения I граничне навантаження. При розтягь найнебезпечнша ор1ентац1я АЖВ - уздовж напрямку дп зусиль.
Побудоваш також вирази для визначення ймов1рн1сни> характеристик м!цност! для пластини з в1ддаленими пружними тонкими елIптичники включениями за двовясного розтягу. 1х геометричн) параметри - випадков1 величини з в!домою густиною ГСс(,а) розпод1Л^ в д1апазон1 допустимих значень.
У сьомому роздШ на основI результат!в розд!л1в 4 I £ вивчаеггься плоский термонапружений стан кусково-однор!дногс середовища з системою тонких включень.
За В1дсутност! теплов!ддач1 з бгчних поверхонь пластин нг мехашчн!, теплоф13ичн1 характеристики ! навантаження нг неск!нченност! накладакться обмеження Сзе^г^ -Г^ +/3Т ^ Ф^ )62=(«2Г2-
Побудован1 СС1Р, досл1джен1 граничн1 випадки мхжфазних АЖВ, АЖП, щ!лини; вивчен1 абсолютна теплопров1ДН1сть ! тепло 13оляцЬ дефект 1в. Для прикладу дослхджена концеитрац!я напружень бш тонкого теплопасивного включения у однор1дн1й матриц! шд впливо» р!вном!рного нагр1вання пластини, теплового потоку и; неск1нченн0ст1 I джерела тепла.
За узагальненого плоского температурного поля (теплов!ддача I
:чних поверхонь) задачу можна розв'язати з внкориотанням 1тегральних перетворень за методикою §34. Однак зручнте звести и I розв'язування В1ДП0В1ДН01 задач г термопружност1 в умовах юского температурного поля.
Осклльки функция Ейр! у кмнхй з лхвплощин__задовольняе
вняння сум1сност1 АЛ^кСх,у>+с(ткЕ)<дТСх,у)=0, то можна подати П як му б1гармон1йно'1 окладовот та чаотинного розв'язку цього рйвняння
^Ф0' АД^=^ткЕкдТСх,уХ (у.])
ВIдомим розв'язком Щ вводяться у розгляд величини
с*^
хк ххк л„г
г
рк—т
тк ''•'(7.2)
Величини, В1дзначент индексом "б" задовольняюгь у Бу однсрхдш вняння ртвноваги, закон Гука та р}вняння 0ум1сн0ст1 деформаций Тому з математичного погляду визначення :гармон1йних" напружень I перемщень еквхвалентне задач I эмопружностI при плоскому температурному пол}. Для частинного розв'язку отриманий вираз
С7.35
у'випадку д!Т джерел тепла та теплових дипол1в у точц! .y.lyJ- —— шг^1"- 2 •
2п ' 2л Г*к г2к=Сх-х^к)2+Су-у^к)2.(7.4)
Загальна методика застосована до прикладу однор!дно1 пластинки >ключеннями \ оскшьки з погляду теплопров1дност1 включения е цею розпод1лених джерел та дипс.л1в тепла, на основ! (7.4) сиЕГ 12 г 12 qkkr
и 14ггк=1 *к ^ 4^! Хб 1 к
гхк «к I.' г г
функция повнхстю враховуе вплив температури на напруження й емщення 1 подальше визначення величин (7.2) б вже оуто силовою ;ачею. Побудоваш вхдпов^дн! СС1Р та досл1джен1 гранича випадки I, щхлини I бездефектно/ матриць Методика визначення торцьових лих з використанням $1зично. обгрунтованих в окол! торця
включения допущень повшстю замнкае СС1Р на функц1I стрибка.
Обчислквалися значения УК1Н кусково-однор1дно I матриц1 дл температурного навантажування джерелами I диполями тепла. Отриман замкнут I розв'язки для м1жфазного абсолютно податлого включения т абсолютно податлоУ плавки у випадку УхньоУ теплоIзольованост1 ч абсолютно! тепл0пр0в1дн0сть Зб1льшення теплов1дцач1 з б!чни поверхонь пластини зменшуе абсолютна значения УК1Н.
Методом колокацШ дослдаена змша УК1Н б1ля включения одиор1ДН1й матриц1 за умов плоского температурного поля та дво способов температурного навантажування джерелами I диполями тепла Виявилося, що екстремальн! значения УК1Н досягаюгься на абсолютн податлому теплоIзольованому включений що моделюе тр1щину та пр абсолютно жорсткому тепло13ольованому включений Для податли включень домшуюгь УК1Н Кт 1( для жорстких - Кт 2.
Визначен1 граничн} тепловI потоки q у пластин I з випадков розпод1Леними теплопровхдними прлинами. Вважаеться, що руйнуванн розпочинаеться тод1, коли критер1альна функщя (6.10) досяга
2 2 п2
граничного значения, тобто СК^ 1:> +СК2 4гО-
Розв'язування задач! грунтуеться на анал Личному розв'язков для теплопроводноI трхщини в однородному середовищ1. Вважаюч випадковими незалежними величинами розм1р та ор1ентац1Ю включень нехтуючи Ухньою взаемод1ею, використовуючи модель "найслабшо ланки", будують функцт розпод1лу ймов1ркост: того чи !ншог значения граничного теплового потоку в елемент1 пластини з одн1е Щ1линою. Коли пластина метить п дефект 1В, то отриман! вирази можь уточнити, зокрема для великих значень п дощльно скористатис сп!вв!дн0шенням Вейбулла.
У висновках сформульованI основн! результат«, що випливактгь ! анал1зу проведених Д0СЛ!Джень.
Додатки мостить перелж вжитих у роботI скорочень, покажчин рисунк1В I таблиць.
ОСНОВЫI РЕЗУЛЬТАТ« I ВИСНОВКИ
I.СтворенI засади теори тонких неоднор!Дностей у термопружм 1зотропних та ашзотропних кусково-однор1Дних середовищах.
И.Розроблеш методики використання формули Сом!льяно, апарач теор11 функций комплексно! змшно'У (ТФКЗ) . та }нтегральш перетворень для розв'язування задач цього класу.
III.Показана ефектившсть застосування щеУ теорIУ )
[значения пол!в температуря, напружень i перем1щень при дхi потоку >.пла, однорхдного поля напружень на несклнченност! (ОПНН), джерел лла, сил, моментхв, гвиктово У та крайовоУ дислокащУ, ¡мпературного, силового та дислокацшного дипол1в; для оцшки цност! матерiалIB г конструкций; обчислення ефективних [рактеристик стр1чкових композитib I у теор!У дислокащй.
1У.Розв"язан1 нов? конкретн! задач i, створене програмне безпечення для Korn'rarepiB, проведенi розрахунки, проанал13ован1 явленi важливх закономхрностх та нов: мехашчн! ефекти.
У рамках цього:
1. Набула подальшего розвитку теория i практика розв'язування нгулярних штегральних рхвнянь (CIP): а) доведениям зб}жност} оцесу та оцжкою том ноет г розв'язку обгрунтована можливгеть стосування до розв'язування характеристично! частини CIP з ядром, mi розкладу у ряд Фур'е за полiномами Якобi з видiленою облив1стю розв'язку; б) доведен! стхйК1сть та зб!жн1сть схеми тоду ортогональних многочленiв (MOM) у розв'язуванн1 CIP другого першого роду; в) побудована методика застосування MOM до СIP з нгулярними ядрами Komi та Гхльберта i ядрами Фредгольма типу теграл!в Фур*с; г) доведена зб!жн!сть методу колокац!й 'МК) зв'язування CIP з особливостями Komi i логарифм 1чно ¡о; опрацьована тодика його застосування до розв'язування.ССIP першого роду та нix лтшйно-, цикл}чко- та подвхйнопергодичного аналогie; д) казана ефективн1еть екстралоляц!У за Р1чардсоном першого та вищих рядклв у розв'язувант CIP методом колокащй.
2. Розроблений метод функц1й стрибка (МФС), придатний для зв'язування задач Teopi'i пружност1, теплопров1дност! i рмопружност i, однор!дних та кусково однор1дних, 13отропних та {зотропних середовищ з тонкими включениями. Подана його мехашчна герпретащя.
"' 3. Побудован! двочленн! аоимптотичнх подання потокiв тепла, мператури, напружень i перем!щень в о ко л} кшщв включения на под!лу матер!ал!в та однор!дному середовищх. Введен! ефщхенти 1нтенсивност1 теплових потокiв (К1ТП) та узагальненх е$1щенти 1нтенсивност1 напружень (УК1Н)......
4. 3 використанням формули Сом!льяно розроблена методика будови CCIP задачi для оболонкового включения.
5. Вироблена концепц!я математичнох модел1 включения та умов аемодп (УВ) включения з навколишн1м середовищем та побудован!
конкретн1 УВ, як! дозволяють моделювати його присутшсть з ргзнок точн!стю у випадках: температурно'1 взаемод1I з урахуванняк вид!ления тепла включениям I тепл0в1ддач1 з бхчних поверхонь; поздовжного зсуву,- плоско I пружноот1 } термопружност I з урахуванняк ашзотропп, викривленост!, жорстко! складово'1 повороту включения.
6. Для вйзначення значень температури, теплових потоков, напружень та в!дносних перемщень на торцях включень запропонованI а) апрюрн! вирази,'якл гарантуюгь точн1 результати у гранични> випадках; б) заснована на ШС загальна методика.
7. 3 використанням розв'язку задач! Р!мана-Пльберта абс интегрального перетворення фур'е знайден] 1нтегральн1 поданш температури та теплових поток!в у двовимхрних задача>
тйплопровiдностi для кусково-0дн0р1дно i площини 31 сп1вв1сним!
включениями з урахуванням I без урахування тепловгддач! через бIчн! поверхнь Це дозволило побудувати СС1Р для вйзначення функцп стрибка та розв'язати низку конкретних задач з урахуванням дГ] потоку тепла, теплових джерел та дипол1в, впливу тепло$1зични> параметров матриц! I включения, його товщини та профхлю.
8. Методами ТФКЗ дослужена пружна р^вновага тонких включен! на меж! под1лу матерIал!в двох !зотропних чи ан!зотропних середовш в умовах антиплоско'1 та плоскоI задач. Отримаш розв'язк! узагальнеш на дов!льну систему плоских включень в одноршом; безмежному простор! та швпростор! ! на випадок викривлени; поверхонь неоднор!дностей. Стосовно цих двох випадк1в:
-побудованг СС1Р для тонких пружних дефектхв, з яких : граничних випадках випливають частков! випадки для м!жфазноУ щ!лин1 (Ов, Ев-»0) та абсолютно жорстко'1 пл!вки (АЖП) (Св, Ев-»°°) ч: абсолютно жорсткого включения (АЖВ), що маюгь анал!тичний розв'язо] для вс1х вид!в силового ! дислокащйного навантаження; УК1Н вгдповхдають класичним К1Н теорП трхщин;
-методом !нтеграпьних перетворень Фур'е дослужен! задачI пр включения у шаруватих середовищах;
-для одного тонкого включения елштичного профхлй побудовани замкнутий розв'язок задач!;
-для такого включения в ОПНН точш й обчислеш за МФС значенн ау2 (антиплоска) та ауу (плоска задача) уздовж його меж! е сталими У антиплоскШ задач! стрибок перем!щень на берегах АЖВ нульови (так само як стала температура на меж1 з АТПВ) для дов!льног проф!лю включения. Це засв!дчуе високу адекватнють УВ та МФС;
-застосування ICE до розв'язуваня плоскоi задачi про тонке лючення та обчислення за УК1Н коеф1ц1ентхв концентрацП напружень 2В1дчили можливхсть використання сингулярних рОЗ'ЯЗК1В для рактеристики мехашчних пол1в б!ля тонких дефектов; -—- -доелiдження р}зних варiантiв умов взаемодт г"(для-' антнплоског цач! - моделей ochobhoi та плзвково'1, для плоско'/ - ochobhoi, лково!, гнучкого а також В1льного незакрхпленого включения) та эсоб1В вибору апрзорних Biipasiß для визначення торцьових сталих зволило вказати найрацхональшцц;
-дослужена сила, що дхе на гвинтову та крайову дислокацш ЦД) в ззотропному Т1Л1 б1ля трщини, МП та пружного . включения шченно'/ на швиескличенноУ довжини i на гвинтову -. бгля 1лог i чних дефектiв у ашзотропному середовищз;
9. Стосовно поздовжного зеуву Т1л з включениями додатково: -доолзджен! умови моделювання в теори пружностi ан}зотропних герзалхв ОПНН рядами вхддалених взд концентратора зосереджених
-показана можливзсть використання розв'язкзв МФС до визначення жтивних сталих неоднор1дного середовища 3i стрзчковими течениями виходячи з розв'язку для поодинокого включения або з цв1йноперюдичного розв'язку задачi;
-дослхджена емзс1Я гвинтових дислокацзй з поверхш стрзчкового течения;
-нелшзйна задача для неогукзвського матерзалу з тонкою эзчкою зведена до аналог1чно1 лзнзйно-i задачi для 1зотропного герхалу; л1неаризован1 р1вняння нел1нзйно1 задачх - до ^повхдних сп1ВВ1дношень для лшШного ашзотропного мзтер1алу; . -побудоваш ймовзрнхсн1 характеристики граничного навантат.ення я изотропного середовища з ргдкнм заповненням тонкими включениями эф1лю близького до елштичного, коли i'x ширина i орзентащя е хадковими величинами;
ДО.Стосовно плоскох задачх Т1Л з неоднор}дностями додатково: . -дослхджена некоренева особлив 1сть напружень б1ля В1стря АЖВ, наближаеться перпендикулярно до межi под}лу матерзалзв. -вивчена поведзнка рздкого включения;
-побудована CCIP для тонких пружних вклкчень уздовж фрагментiB па, яке подзляе два матер1али;
-поеднанням методiв штегральних перетворень та ТФКЗ зв'язана задача про тргщини на лшп злуки смут, шдкрхплених
швплощинами. Числов! результата, отримаш у випадку пружноï геометрично'У симетр1'У задач 1 для одно'/ чи перходичноУ систе трещин при fliï ОПНН та зосереджених сил воерединi смут i швплощи -на основi критериальноУ функцН, зв'язаноУ з границ ¡нтенсивност! об'емноУ деформац1'/, дослдаений критер1й зароджен руйнування б ¡ля в}стря тонкого включения, коли локальне руйнуван пов'язуетьоя з тр ¡щиноутворенням б {ля прошарку. При розтя найнебезпечшша ор1ентащя АЖВ - уздовж напрямку fliï зусил Побудованх ймовхршснх характеристики граничного навантаження д ¡зотропного середовища з рщким заповненням тонкими включения профилю близького до елштичного, коли Ух довжина i орхентацхя випадковими величинами.
11.Запропонована методика розв'язування плоскоУ зада' термопружност1 для кусково-однор{дних Т1л з мхжфазними включения! при плоскому температурному полк побудоваш CCIP та доолхдже! м1жфазш АЖВ, А1П, щхлина; вивчена абсолютна теплопровхднхсть тепло ¡золящя дефект¡в, концентрация напружень 6iля теплопасивио] включения. Аналог¡чна задача в умовах узагальненого плоско] температурного поля зведена до попередньоУ: для неУ теж отрима( CCIP та досл1джен1 випадки АЖВ, пцлини i бездефектноУ матрищ.
12.Визначеш граничнi теплов1 потоки у пластинi з випадко! розпод!леними теплопров{дними щхлинами.
РОБОТИ, В ЯКИХ 0ПУБЛ1КОВАНI ОСНОВШ ПОЛОХЕННЯ ДИСЕРТАЦ1Г
1. Сулим Г.Т., Грилицкий Д.В. Напряженное состояние кусочно-однородной плоскости с тонкостенным упругим включение конечной длины// Прикл. механика. 1972. Т.8, 1Р И. С. 58-65.
2. Грилицкий Д.В., Сулим Г.Т. Периодическая задача для упругс плоскости с тонкостенными включениями // Прикл. матем. и механика 1975. Т.39, ¥ 3. С. 520-529.
3. Грилицкий Д.В., Сулим Г.Т. Упругие напряжения в плоскости тонкостенным включением // Мат. методы и физ. -мех. поля. Киев Наук, думка, 1975. Вып.1. С. 41-48.
4. Грилицкий Д.В., Сулим Г.Т. Периодическая задача дл$ кусочно-однородной плоскости с тонкостенными включениями // Прим механика. 1975. Т.И, Г 1. С. 74-81.
5. Сулим Г.Т., Грилицкий Д.В. Интегральные уравнения задачи напряженном состоянии кусочно-однородной плоскости с трещинами /
[з.-хим. механика материалов. 1975. Т.И, ¥ 5. С. 52-58. Сулим Г.Т., Грилицкий Д. В. Решение сингулярных интегральных
»авнений плоской задачи об упругом равновесии составных тел с >ещинами // Физ.-хим. механика материалов. 1976. Т.12, F 2. С.
13-108:-----------------------------------------------------------------1------------------------1
Грилицкий Д.В., Евтушенко A.A., Сулим Г.Т. Распределение шряж.енйй в полосе с упругим тонким включением // Прикл. матем. и ¡ханика. 1979. Т.43, W 3. С. 542-549.
Сулим Г.Т. Термопружнi умови взаемоди середовища з тонкостшним :люченням // Bich. Льв1в. ун-ту. Сер. мех.-мат., 1979. Вип.15. С. 5-92.
, Сулим Г.Т. Влияние формы тонкого включения на распределение ?мпературы в кусочно-однородной плоскости // Инженерно-физический ^рнал. 1979. Т.37, Г 6. С. 1124-1130.
3. Грилицкий Д.В., Евтушенко A.A., Сулим Г. Т. Полуплоскость с х>извольно-ориентированным линейным упругим включением // Изв. АН змССР. Механика. 1980. Т.ЗЗ, Г 1. С. 12-20.
I. Сулим Г.Т Система лшШних включень в 13отропному середовиий i"i зп. АН УРСР, Сер.А. 1980. ff 7. С. 62-65.
I. Сулим Г.Т. Антиплоская задача для системы линейных включений б зотропной среде // Прикл. матем. и механика. 1981. Т.45, f 2. С. J8-318.
3. Сулим Г.Т. Влияние формы тонкостенного включения на энцентрацию напряжений в пластине // Физ.-хим. механика атериалов. 1981. Т.17, S2 3. С. 64-68.
4. Сулим Г.Т. Концентрация напряжений возле тонкостенных линейных клкчений // Прикл. механика. 1981. Т.17, EMI. С. 82-89.
5. Сулим Г.Т. Упругое равновесие полуплоскости с системой линейных ключений // Прикл. механика.'1983. Т. 19, Т 2. С. 96-100.
6. Сулим Г.Т. Применение формулы Сомильяна в задачах теории пругости для тел с тонкостенными включениями // Мат. методы и из.-мех. поля. Киев: Наук, думка, 1983. Вып.18. С. 48-51.
7. Сулим Г.Т. Взаимодействие дислокаций с тонкостенными рослейками в изотропной среде // Матер. I Всесокв. конф. "Механика ¡еоднородных структур" (г.Львов, сент. 1983г.). Киев: Наук, думка, 986. С. 249 - 254.
8. Грилщький Д.В., Сулим Г.Т. Розвиток теори тонкостшних жлючень у Льв1вському державному ун1верситет! // Bich. Льв1в. w-ту. Сер. мех.-мат., 1987. Вип.27. С. 3-9.
19. Полина С.Ю., Сулим Г.Т. Предельная нагрузка для хрупкого тела с тонкостенным упругим включением//Физ.-хим. механика материалов. 1987. Т.23, Г 2. С. 115-118.
20. Сулим Г.Т. Продольньй сдвиг анизотропной среды с ленточными включениями. Львов, 1987. 47 с. - Ред. жури. "Физ.-хим. механика материалов". Дел. в ВИНИТИ 15 янв. 1987 г., F 329-В87.
21. Павлычко В.М., Сулим Г.Т. Плоская задача для линейных включений на границе раздела анизотропных материалов. Львов, 1987. И с. Ред. журн. "Физ.-хим. механика материалов". Деп. в ВИНИТИ 15 янв. 1987 г., W 330-В87.
22. Сулим Г.Т., Пискозуб И.З. Распределение градиентов температуры в окрестности тонкого межфазного теплоактивного включения. Минск, 1986. 17 с. - Ред. журн. "Инженерно-физический журнал". Деп. в ВИНИТИ 12 мая 1987 г., Г 3396-В87 Деп.
23. Еожидарник В.В., Сулим Г.Т. Механика крихкого руйнування. К.: УМК ВО, 1989. 95 с.
24. Божидарник В.В., Шскозуб Й.З., Пошна С.Ю., Сулим Г.Т. Граничн i теплов! потоки в пластинах з стохастичними теплопров1Дними тр1щинами // Bích. Львхв. тиитехн. iH-ту, 1991. С. 9-15.
25. SuEym G.T. Jump function method in fracture mechanics // Fracture mechanics: successes and probtems. CoiEection of Abstracts. Part.l. CISF-8, Kiev, 8-14.06.1993). Lviv, 1993. P. 100-101.
26. Сулим Г.Т. Концентрация напряжений и сила, действующая на дислокацию в окрестности тонкого упругого включения // Zeszyty Naukowe PoEitechniky Swietokrzyskiej. Mechanika. 1995. Т. 57. S. 205 - 212.
27. Божидарник В.В., Сулим Г.Т. Елементи Teopií пружност1. Льв1в: Cbít, 1994. 560 с.
ract. Sutym G.J. The fundamentáis of the theory of JioeSastic equi Eibriun¡ for media with thin inhomogeneities.
The thesis presented for a Doctor's degree Сphysics and smatics}; speciality.- 01.02.04 - mechanics of deformabfe
es, Pidstr yHach" Insti tute for Appfied Problems of- Mechani cs- and_____________________
ematics, National Academy of Sciences of Ukraine, L'viv, 1995.
The fundamenta is of the theory for determining thermoefastic Eibriumof the isotropic and anisotropic piece-homogeneous a with thin inhomogeneities. Some tooEs of using Somigtiano's .ufae, coiKpiex functions technique and integraE transformations worked out for solutions to the problems above. I'wo-dimensionai ferns of elasticity theory, heat conductivity and ше fasti ci ty are so £ ved for media with thin i no fusions.
тацня. Сулим Г.Т. Основы математической теории термоупругого ювесия сред о тонкими неоднородностями.
Диссертация на соискание ученой степени доктора «ко-математических наук по специальности 01.02.04 - механика фмируемогэ твердого тела. Институт прикладных проблем механики »тематики им.Я.С.Подстригача НАН Украины, Львов, 1995.
Созданы основы теории определения термоупругого равновесия гропных и анизотропных кусочно-однородных сред с тонкими янородностями. Разработаны методики использования формулы 4Льяно, аппарата теории Функций комплексной переменной и эгральньк преобразований для решения задач этого класса. Решены верные задачи теории упругости, теплопроводности и моупругости для сред с тонкими включениями.
Kjsohobí слзва: тонке включения, дислокация, ашзотрошя, pifl, композищйний матер1ал, тр1щина, MiqHicTb, лопровтднють, термопружшсть, сингулярнi штегралып р!вняння.
