Особенности электронного спектра магнитных примесей при низкой температуре

Кривенко, Игорь Станиславович

Особенности электронного спектра магнитных примесей при низкой температуре тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.09 ВАК РФ

Кривенко, Игорь Станиславович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.09 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Особенности электронного спектра магнитных примесей при низкой температуре»

Автореферат диссертации на тему "Особенности электронного спектра магнитных примесей при низкой температуре"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

005015490

Кривенко Игорь Станиславович

ОСОБЕННОСТИ ЭЛЕКТРОННОГО СПЕКТРА МАГНИТНЫХ ПРИМЕСЕЙ ПРИ НИЗКОЙ ТЕМПЕРАТУРЕ

01.04.09 - Физика шгзких температур

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 2 (лДР 2012

Москка - 2012

005015490

Работа выполнена на кафедре квантовой электроники физическою факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: Оф и ни ял ы I ыо оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, доцент Рубцов Алексей Николаевич доктор физико-математических наук, профессор Рыжов Валентин Николаевич

кандидат физико-математических наук, старшин научный сотрудник Потеряем Александр Иванович Филический институт имени П.{{.Лебедева РАН, теоретический отдел.

Защита состоится « 15 » марта. 2012 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д.501.П01.70 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 35. конферепц-зал центра коллективного пользования физического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова-

Автореферат разослан

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д. 501.001.70, доктор физико-математических наук, профессор

{у

Плотников Р. С.

Общая характеристика работы

Диссертационная работа посвящена разработке новых и усовершенствованию существующих теоретических методов, предназначенных для изучения электронного спектра магнитных примесей при низкой температуре. Теоретическое исследование электронной структуры металлов в присутствии разреженных магнитных примесей осуществляется на модельном уровне с помощью двух семейств гамильтонианов. Это однозонная и многозонпая примесные модели Андерсона [1) и родственная им модель э-с!-обмеиа (модель Кондо) [2].

На сегодняшний день интерес к этим моделям имеет двоякую природу. Во-первых, они, будучи сформулированы около полувека назад, отнюдь не утратили своего фундаментального значения для теории магнитных примесей. Напротив, с появлением возможности манипулировать отдельными атомами и создавать магнитные квантовые точки, экспериментально стали доступны более широкие области значений параметров в таких моделях. Поскольку эти модели допускают точное решение лишь в некоторых частных случаях, а методы теории возмущений зачастую неприменимы для реалистичных значений параметров, то возникает вопрос об их численном решении. Особо остро он встает при решении многозонных задач — при наличии у электронов примеси большого нескомпенсированного орбитального момента: с увеличением момента примеси экспоненциально возрастает количество состояний, определяющих структуру электронного спектра.

Во-вторых, модель Андерсона является результатом редукции значительно более сложной решеточной модели Хаббарда [3] в рамках метода динамической теории среднего поля [4]. Модель Хаббарда — центральная модель теории материалов с сильными электронными корреляциями. Она воспроизводит большое разнообразие физических явлений, как то: моттовский переход металл-диэлектрик, магнитное упорядочение, отклонение от ферми-жидкостного поведения электронов. Модель Хаббарда является одной из моделей для описания высокотемпературных сверхпроводников на основе купратов. Поэтому ее исследование чрезвычайно важно и является перспективным направлением в современной физике конденсированного состояния.

В настоящее время разработано множество различных методов численного решения квантовых примесных задач. Грубо их можно разделить на три класса по характеру результатов.

К первому классу относятся квантовые методы Монте-Карло (С^МС). Они основаны на приближенном вычислении физических величин как суммы большого числа слагаемых (сумма по траекториям, конфигурациям, диаграммам и т.п.). Количество слагаемых в таких суммах экспоненциально возрастает с ростом числа степеней свободы (величины локализованного момента, количества одновременно рассматриваемых примесных атомов). Экспоненциальная сложность суммирования преодолевается путем организации случайных марковских блужданий по множеству всех слагаемых. Вероятность перехода от одного состояния к следующему, как правило, определяется критерием Метрополиса-Гастингса. Согласно этому критерию, вероятность "посещения" некоторого слагаемого определяется его величиной (вкладом в сумму), и в то же время выполняется условие эргодичности — любое слагаемое, в принципе, может быть "посещено" с ненулевой вероятностью.

Принципиально алгоритмы С^МС позволяют вычислять спектральные и корреляционные функции с любой наперед заданной точностью. В этом смысле они являются референсными, свободными от приближений. Однако на практике их ценность существенно ограничена так называемой проблемой знака. Дело в том, что при вычислении различных средних для системы фермионов возникают знакопеременные суммы, для которых критерий Метрополиса-Гастингса, опирающийся лишь на абсолютное значение слагаемых, не так успешен. Средний знак учитываемых слагаемых оказывается мал — среднее значение "тонет" на фоне стохастических флуктуаций.

Проблема знака приводит к тому, что затрачиваемое время счета (количество суммируемых слагаемых) экспоненциально растет с ростом требуемой точности (а также, с понижением температуры). В то же время наиболее интересен как раз случай низких температур, так как в этом пределе поведение электронов является сугубо квантовым и определяется низколежа-щими энергетическими уровнями. На практике выходные данные монте-кар-ловских алгоритмов всегда зашумлены. Другое существенное ограничение, накладываемое проблемой знака, — это невозможность производить вычисления корреляционных функций на реальной оси времени (частоты). Вместо этого используют мнимое время (представление Мацубары). В случае же реального времени слагаемые в суммах для средних становятся комплексными, что ведет, фактически, к неработоспособности алгоритма.

При вычислении статических величин, например, примесного вклада в намагниченность материала, использование мацубаровского представления

не привносит принципиальных сложностей. Однако динамические величины — функции Грина и восприимчивости для непосредственного сравнения с экспериментом нужно вычислять, разумеется, на вещественных частотах. Задача об аналитическом продолжении данных с мнимой оси частот на вещественную — в математическом смысле некорректно поставленная задача. Искомое аналитическое продолжение чрезвычайно чувствительно к неустранимому шуму входных данных, получаемых из QMC. Несмотря на большое количество публикаций по теме, эта задача еще далека от решения.

Во второй класс можно условно выделить методы, использующие различные приближения, или специализированные для изучения определенного круга физических явлений, присущих модели. Используемые приближения в достаточной степени контролируемы, а получаемые с их помощью результаты могут быть не менее содержательными, чем у QMC (NRG, D-DMRG и некоторые другие).

Хотя по сравнению с QMC методы из второй и третьей групп во многих случаях дают более точные и легче поддающиеся интерпретации результаты, все они основаны на более или менее контролируемых приближениях. Оправданность этих приближений приходится проверять, исходя из физической интуиции и уже имеющихся знаний об изучаемом эффекте.

В диссертационной работе затрагиваются вопросы, касающиеся первой и третьей групп методов.

Цель диссертационной работы состоит в исследовании особенностей электронного спектра атомов коррелированных примесей с помощью новых теоретических методов для решения квантовых примесных задач при низких температурах.

Актуальность работы определяется потребностью в новых методах теоретического описания физики квантовых примесных задач, допускающих прямое сравнение предсказанных электронных спектров с экспериментом.

Научная новизна результатов диссертации состоит в реализации новой схемы аналитического продолжения зашумленных численных данных QMC, изучении с помощью реализованной схемы физической природы тонкой пи-

ковой структуры хаббардовских подзон в электронном спектре однозонной модели Хаббарда на бесконечномерной решетке и в аналитическом исследовании однозонной модели Андерсона методом дуального преобразования в реальном времени.

Практическая значимость. Результаты, изложенные в диссертации, обладают предсказательной силой и могут быть использованы для количественно точного расчета электронных спектров экспериментально реализуемых систем — изолированных магнитных примесей и квантовых точек на поверхности или в объеме металлов.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

• Одноэлектронный спектр полузаполненной однозонной модели Хаббарда на решетке Бете содержит особенности на внутренних краях хаббардовских подзон при низкой температуре и значениях константы взаимодействия U, отвечающих фазовому переходу Хаббарда-Мотта.

• Получено свидетельство того, что при конечной (низкой) температуре за формирование пиковой структуры хаббардовских подзон ответственны зарядовые, а не спиновые возбуждения.

• Изменение частот атомных переходов в атомах примесей за счет гибридизации с электронами проводимости металла может быть эффективно описано перенормировкой кинетического слагаемого в действии примесной задачи.

Апробация работы происходила на следующих конференциях:

1. VII конференция "Сильно коррелированные электронные системы и квантовые критические явления", г. Троицк, 18.0G.2009: И.С. Кривеико, А.Н. Рубцов, А.И. Лихтенштейн, "Kondo peak in the first order of perturbation theory".

2. 1st International Workshop "New generation in strongly correlated electron systems-2010", Лансароте, Испания, 20-25.06.2010:1. Krivenko, A. Rubtsov, M. Katsnelson, A. Lichtcnstein, "Analytical approximation for single-impurity Anderson model".

3. Международная конференция "Realistic theories of correlated electrons in condensed matter", p. Волга, 01-08.08.2010: I. Krivenko, A. Rubtsov, M. Katsnelson, A. Lichtenstein, "A new analytical solver for multiorbital impurity problems".

4. Международный симпозиум "Strong correlation from first principles", Монастырь Зееон, Германия, 30.08.2011 - 02.09.2011:1. Krivenko, A. Rubtsov, "Analytic continuation of QMC data: optimal stochastic regularization approach".

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 6 печатных работах, из них 2 статьи в рецензируемых журналах [Al, А2] и тезисы 4 докладов.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 138 страниц, из них 125 страниц текста, включая 18 рисунков. Библиография включает 122 наименования на 13 страницах (в том числе публикации автора по теме диссертации).

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе, являющейся обзорной, рассмотрены основные теоретические модели и методы, используемые для изучения физики магнитных примесей. Изложен аппарат функций Грина и фермионных континуальных интегралов; дан вывод примесной модели Андерсона, приведен ее качественный анализ и кратко описаны основные количественные методы решения. Кроме того, в главе дано введение в динамическую теорию среднего поля,

используемую для решения модели Хаббарда, и методы численного аналитического продолжения с мацубаровских частот на ось реальных частот.

Во второй главе предложен новый алгоритм аналитического продолжения зашумленных данных квантовых методов Монте-Карло (С^МС) с мацубаровских частот на ось вещественных частот (метод оптимальной стохастической регуляризации).

Задача аналитического продолжения сводится к решению линейного интегрального уравнения

+оо

а)

-00

для спектральной плотности А{е), где б — аргумент на оси реальных частот. Если ввести пару ортогональных базисов Т7^, и разложить по ним функции (?(о;),у4(е), интегральное уравнение переходит в линейную систему вида

МА = С (2)

с некоторой известной матрицей М. Формально эта система включает бесконечное число уравнений, однако, можно ожидать, что при правильном выборе базисов возможно эффективно свести ее к конечной системе.

Плохая обусловленность означает, что малые вариации С приводят к (экспоненциально) большим изменениям решения. Отправная точка предложенного метода — регуляризация некорректной задачи по Тихонову. Регуляризация состоит в поиске вектора А, минимизирующего функционал Тихонова:

7"[А; Л] = ||МА - С||2 + (А, ДА) = шт. (3)

Здесь Я — регуляризующая эрмитова матрица. Минимум (3) достигается при

А = где X = (М^М + Я)-1. (4)

В случае ненулевой Д полученное таким образом решение задачи (3) содержит определенную систематическую ошибку. Однако, правильно выбранная регуляризующая матрица позволяет радикально уменьшить случайную ошибку результата, избавившись от экспоненциальной неустойчивости по входным данным. При этом полная ошибка оказывается существенно меньше, чем при решении непосредственно (2).

Регуляризующий функционал вычисляется, исходя из требования оптимальности (то есть, минимальности полной ошибки) на определенном классе решений и для заданного вида погрешности. Сформулируем предлагаемое условие оптимальности. Пусть вектор С известен приблизительно: С = 6 + 6С, где 6 — математическое ожидание вектора С, а отклонение (Ю — случайная величина, распределенная с нулевым средним и характеризуемая матрицей ковариаций: Ка = (ГСЛЗ^ (здесь и далее горизонтальная черта над выражением означает его мат. ожидание, к которому сходится С^МС-счет). Пусть вектор А — точное решение системы (2) с точно известной правой частью: МА = б. Среднеквадратичное отклонение А от А по всем возможным

значениям случайного вектора (Ю равно

||А - А||2 = Тг{ХАХ - 2ХВ} + Тг{хх*} (5)

. А = М*МАА+М*М + М*КаМ (6)

В = М*МАА+ (7)

Оптимальная матрица Я должна доставлять минимум ||х —х||2. Само по себе такое условие неконструктивно, поскольку точное решение А в каждом конкретном случае неизвестно. Поэтому ищется Л, оптимальная в среднем для заданного множества (класса) возможных решений. Можно показать, что соответствующая матрица X есть решение уравнения

{А)Х + Х(А) = (В) + (В*). (8)

(угловыми скобками обозначено усреднение по классу возможных решений). Класс возможных решений, по которому проводится усреднение, следует выбрать из физических соображений. Использование такого рода априорной информации, дополнительной к исходной задаче (2), обязательно для любых регуляризационных схем.

В качестве множества возможных решений было выбрано множество суперпозиций нескольких лоренцевых пиков, имеющих одинаковую ширину у:

Положения пиков и их вычеты являются случайными величинами с известными статистическими распределениями. Предполагается, что все вычеты ^ распределены одинаково и независимо друг от друга, а, следовательно,

нужно всего два модельных параметра (Z2) и (Z), чтобы полностью описать участие величин Zj в корреляционной функции (АА). Кроме того предполагается, что положения полюсов fij распределены независимо и согласно некоторому модельному распределению. Одна из простейших возможностей — распределение Лоренца с нулевым математическим ожиданием:

P(S2j) = тг пм 1 + (гупм)2' (10)

Модельный Спектр (9) используется только для вычисления первого и второго моментов априорного распределения А (лоренцева форма самого искомого решения при этом, вообще говоря, не предполагается). В выбранном базисе Tt эти моменты представляют собой, соответственно, вектор-столбец и квадратную матрицу, компоненты которых вычисляются численным интегрированием. Затем из уравнений (8) определяется матрица X. Используя полученную матрицу X, уже нетрудно по формуле (4) восстановить спектральную плотность по имеющейся функции Грина.

В отличие от широко используемого метода максимальной энтропии (MaxEnt) [5], предложенный подход линеен по отношению ко входным данным, и поэтому может быть применен к недиагоиальным компонентам температурной функции Грина или функции собственной энергии. Это свойство использовано для анализа результатов расчета DMFT(QMC) в полузаполненной однозопной модели Хаббарда на решетке Бете при низкой температуре.

Гамильтониан однозопной модели Хаббарда с половинным заполнением имеет вид:

н = и Y, rijt - \ пЛ - \ - (и)

3 J V

Первое слагаемое здесь описывает кулоновское отталкивание электронов с противоположными спинами на узле, а второе - перескоки электронов между соседними атомами; N - число соседей атома на решетке.

В рамках DMFT задача об электронных свойствах решеточной модели вида (11) сводится к одноузельной примесной задаче Андерсона с действием

S=Sa( + 5>McL<W, (12)

Ш,(Т

где Sat ~ действие одиночного изолированного атома с кулоновским отталкиванием U, а гибридизация Д должна быть определена самосогласованным

образом. В пределе бесконечно большого числа соседей (N —> оо) на решетке Бете корреляции локальны в пространстве, и переход от решеточной задачи (11) к примесной (12) является точным. Условие самосогласования приобретает вид

Д(ы) = t2G{u), (13)

где G(oj) — функция Грина примесной задачи (12). Поиск решения производится итеративным образом: на каждой итерации вычисляется функция Грина действия (12) с гибридизацией, полученной на предыдущем шаге. Такая схема обеспечивает хорошую сходимость во всей области параметров. Эффективность и точность расчета определяется методом решения примесной задачи.

Для решения уравнений DMFT был использован программный комплекс TRIQS (Toolkit for Research in Interacting Quantum Systems). Примесная задача решалась методом разложения по функции гибридизации с накоплением статистики в представлении ортогональных полиномов. Во всех расчетах постоянная хоппипга была выбрана равной t = 0.5 (безразмерные единицы), что соответствует полуширине затравочной зоны D = 1, а обратная температура — /3 = 100. Рассматривались 3 значения хаббардовской константы U: U = 2.0 (коррелированный металл), U = 2.4 (окрестность фазового перехода Мотта) и U = 3.0 (моттовский диэлектрик с выраженной щелыо в спектре).

Восстановленные с помощью метода оптимальной стохастической регуляризации плотности состояний показаны на рис. 1. Для сравнения на том же рисунке приведены результаты аналитического продолжения по методу Сэндвика (разновидность MaxEnt).

С увеличением константы кулоновского взаимодействия U при достаточно низких температурах электронный спектр системы показывает две широкие хаббардовские подзоны, расположенные в окрестности энергий ±U/2. При U = 4.7... 6.0i система испытывает переход первого рода, и в спектре возникает щель, соответствующая формированию фазы моттовского диэлектрика. Однако, во всей ферми-жидкостной фазе, вплоть до точки перехода, величина спектральной плотности на уровне Ферми фиксирована следствием из теоремы Латтинжера и локальности собственно-энергетической функции. Это соответствует наличию имеющего кондовскую природу узкого спектрального пика вблизи уровня Ферми, ширина которого при подходе к точке перехода обращается в нуль.

Проблема описания однозонной модели Хаббарда при N —> оо до сих

(а) (б)

(«)

Рис. 1. Восстановленные плотности состояний для а) и = 2.0, б) II = 2.4 и в) С/ = 3.0. Сплошные линии — результаты стохастической регуляризации, точки — результаты метода Сэндвика. Тонкая горизонтальная линия на уровне 2/тг показывает значение Л(0), диктуемое следствием из теоремы Латтинжера.

пор содержит открытые вопросы, связанные с наличием пиковой структуры хаббардовских подзон (узкие пики, расположенных на границе формирующейся запрещенной зоны). Пики присутствуют только в металлической фазе для достаточно больших величин и и полностью исчезают при переходе в фазу моттовского изолятора. На существование данной структуры впервые, по-видимому, было указано в работе [6], а надежно ее присутствие при Т = О было установлено с использованием О-ВМГЮ [7]. Вопрос о физической природе указанных пиков до сих пор открыт.

Рис. 2. Плотности состояний однозонной модели Хаббарда с половинным заполнением на бесконечномерной решетке Бете при U = 2.4, t = 0.5. Сплошная линия — результат DMFT + CTQMC + оптимальной регуляризации (температура Т = 0.01). Пунктир — результат D-DMRG для нулевой температуры, полученный в работе [7]. Тонкая горизонтальная линия на уровне 2/7г показывает значение /1(0), диктуемое следствием из теоремы Латтинжера.

Описание тонкой структуры хаббардовских подзон при конечной температуре с использованием QMC наталкивается на сложности, связанные с плохой обусловленностью процедуры аналитического продолжения.

В работе показано, что описание деталей электронного спектра можно существенно улучшить, заменив широко используемый метод MaxEnt на процедуру оптимальной стохастической регуляризации. Использование предложенного метода позволило восстановить пики в структуре хаббардовских

подзон, стартуя с QMC-данных с относительной погрешностью на уровне 10-2...10"3.

Рис. 3. Плотности состояний однозонной модели Хаббарда с половинным заполнением на бесконечномерной решетке Бете при U = 2.4, t = 0.5. Тонкий пунктир — то же, что и сплошная линия на рис. 2, жирный пунктир — плотность состояний Л(е) после удаления центрального пика, сплошная линия — плотность состояний j4(t).

Возможность воспроизвести пиковую структуру хаббардовских подзон, исходя из результатов QMC расчетов, позволила простым образом исследовать вопрос о связи центрального "кондовского" пика и пиков в хаббардовских подзонах. Для U = 4.81, был проведен дополнительный QMC расчет для искусственно сгенерированной гибридизационной функции, соответствовавшей спектральной функции без центрального пика. Технически, после достижения самосогласования, была построена спектральная функция, приведенная на рис. 2 и рис. 3 (тонкий пунктир). Центральный пик на последней был замещен сглаженным участком (рис. 3, жирная пунктирная линия). Из этой модифицированной спектральной функции по формулам (1) и (13) была вычислена новая гибридизациопная функция Д. Для примесной задачи (12) с Д при помощи QMC была рассчитана функция Грина G, а из нее восстановлена модифицированная плотность состояний А, показанная на рис. 3 сплошной

линией.

Центральный пик практически отсутствует не только в спектральной функции, соответствующей гибридизации Д, по и в итоговом спектре А. Таким образом связанные с переворотом спина эффекты (Кондо-процсссы), ответственные за формирование центрального квазичастичного пика, из системы полностью удалены. Тем не менее, пиковая структура подзон сохраняется, но частоты пиков несколько уменьшены, и из-за этого сами пики оказываются более выражены. Из этого можно сделать вывод, что вопреки высказанным ранее предположениям, пиковая структура подзон не связана напрямую с квазичастичным пиком на уровне Ферми. Полученный результат свидетельствует в пользу того, что за формирование пиковой структуры хаббардовских подзон ответственны зарядовые, а не спиновые возбуждения.

Результаты второй главы опубликованы в работе [А1].

В третьей главе разработана аналитическая схема, позволяющую в первом порядке теории возмущений воспроизвести физику одиозонной примесной модели Андерсона, включая появление логарифмической особенности на уровне Ферми и сдвиг изолированных атомных резопансов за счет гибридизации локализованных электронов примеси с электронами зоны проводимости. Схема основана на преобразовании к дуальным фермионам [8].

Построенное разложение вблизи атомного предела для атома с вырожденным основным состоянием требует ввести процедуры нарушения симметрии и перенормировки; эти процедуры являются необходимой и неотъемлемой частью теории.

В главе рассматривается полузаполненпая однозопиая примесная модель Андерсона при нулевой температуре, задаваемая действием:

+СО

Ч-'х

S = Sat - Y1 dt dt'toA(t - t')caV (14)

dt (^^iCai^Cai - U(15)

+oo

Sat =

Здесь введено обозначение n„t = ^(cat-0cat + cat+ocirt)- Действие Sat обладает электрон-дырочной симметрией и соответствует гамильтониану взаимодействия и{щ - 1/2)(щ - 1/2).

I"/

= I eiSV\cc], (17)

Полный оператор эволюции S(—oo, oo) сохраняет ориентацию спина. Поэтому его можно разделить на две части, ответственные за эволюцию, стартующую и заканчивающуюся с определенной проекцией спина:

s = sn + Su (16)

Формально оператор S„a может быть определен в форме интеграла по путям

Sao —

где выражение /|"|г>[сс] означает интегрирование по траекториям, стартующим и заканчивающимся с проекцией спина ст.

Преобразование к дуальным фермионам [8] требует разделения действия на две части. Первая часть должна быть точно решаемой, а вторая — квадратичной по переменным поля. Наиболее простое такое разделение — на Sat и часть с гибридизацией — позволяет хорошо описывать ннзкоэнергетическую физику модели Андерсона. Однако, корректное описание во всем частотном диапазоне требует более изощренного подхода, включающего особую процедуру перенормировки.

Расцепление слагаемого с гибридизацией приводит к дуальному действию следующего вида:

+оо

Sd[L /1 = £ f de (А-\е)д^) ~ <£¿(0) /«/« + Vd[f, /], (18)

" -oo

где g00(e) — атомная функция Грина, дп = -i(cic2), а коэффициенты ряда Тейлора для нелинейной части Vd[f, f ] являются неприводимыми вершинами атомной задачи. Нулевой порядок дуальной теории возмущений совпадает с приближением Хаббард-I (приближением среднего поля), а неприводимые вершины играют роль параметров разложения Как правило, используется только вершина четвертого порядка В рассматриваемой модели она имеет очень простой вид

C2¡ «з, и) = и+ ----7¿ÍL(íi, £2! £3, и) = 0 (19)

£3 — £2 — иг

Существует строгое тождество, связывающее дуальную собственную энергию и функцию Грина реальных электронов, из которого следует, что оба описания система полностью эквиваленты с физической точки зрения.

В работе рассматривается наиболее простое приближение за рамками средпеполевого, т.е. первая диаграммная поправка к дуальной собственной энергии:

Edual аа

{e) = d i 7""^'WifiW (20)

Простая оценка показывает, что « 27Г-11п(—П/е)Д(—0) (Г2 — по-

луширины зоны проводимости), т.е. дуальная собственная энергия содержит Копдо-иодобный логарифм. Такое логарифмическое поведение отражается и на спектральной функции. Кроме того, дуальная теория обладает важным свойством — результирующие плотности состояний, полученные в ее рамках, удовлетворяют правилу сумм Фриделя Gaa{0) = — 1/Д(0).

Чтобы протестировать предложенную теорию возмущений, были проделаны аналитические вычисления для гибридизациопной функции, соответствующей полукруглой затравочной зоне проводимости:

Д(б) = \ (it)2 (е " (21)

Здесь D — полуширина зоны, которая во всех результатах ниже для простоты выбрана равной единице. Константа хоппинга V имеет смысл вероятности перескока электрона между атомом примеси и его ближайшим соседом. Разумеется, вычисление первой диаграммы возможно и при произвольном виде Д(е), но требует численного интегрирования, что менее наглядно.

Финальное выражение для £^а1(е) имеет вид

rdual _ U 4V2

тг Це_) - Це+) 2 е_ — е+

U (L(e — i0) — L(c-) L(e — г'0) — £(e+)

, №

£+ ~\ е — е- б — е+ )\

Е^иа1(е) = -Е^(-е) (23)

Было установлено, что простейшая теория возмущений первого порядка в том виде, в котором она изложена выше, испытывает серьезные трудности

-изолированный атом

--- приближение Хаббард-1

• - - - перенормированное приближение Хаббард-1 -перенормированная дуальная теория возмущений

Рис. 4. Положение атомного резонанса однозонной симметричной модели Андерсона с V = В/2 в различных приближениях в зависимости от величины и. Для сравнения показан резонанс изолированного атома (т.е., брЫв = 1//2). Перенормированное приближение Хаббард-1 (с нарушенной симметрией) дает в два раза больший сдвиг резонанса, чем непе-ренормированное. Для перенормированной теории возмущений £(е) обращается в ноль вблизи резонанса по построению, поэтому резонанс практически не сдвигается при учете дуальной поправки. На врезке представлена зависимость параметра перенормировки А от

на более высоких частотах. Недостатки представленного формализма связаны с полюсами атомной функции Грина даа(е). Во-первых, функция Грина электронов С^е) принимает фиксированное значение —1/Д(е) в точке, где д„„{с) имеет полюс. Исключение составляет тот случай, когда Е^^е) зану-ляется в точке полюса, но, вероятно, этому условию не удовлетворяет никакой конечный порядок дуальной теории возмущений. Пиннинг значения нефизичен, поскольку полюса атомной задачи не являются выделенными энергетическими точками для системы с полным действием (14); нет правил сумм, которые предписывали бы такой пиннинг. Дальнейший анализ показывает, что теория возмущений дает сбой не только в точке полюса, но

и.

Рис. 5. Локальная плотность состояний р(с) = :(?(с}, вычисленная в первом по-

рядке перенормированной дуальной теории возмущений. Положения атомных рсзонансов отмечены вертикальными линиями; высота каждой линии определяется спектральным весом резонанса. Стрелки показывают сдвиг по сравнению с резонансами изолированного атома.

и в его окрестности.

Предложена процедура перенормировки для решения проблемы пиннин-га. Поскольку пиининг отсутствует, только если дуальная собственная энергия обращается в нуль в точке полюса

р01е) = 0; 5аЛеро1е) = 0, (24)

то выполнение этого условия явно требуется. Введение дополнительного условия означает, что в теории должен быть свободный параметр перенормировки. Чтобы ввести такой параметр, разбиение действия (14) па квадратичную и точно решаемую части модифицируется следующим образом: +00

5 = - Я <йдл!сп1 (Д(* - о + - *)) са1,

+оо-°° . (25)

= / ЛЬ (¿(1 - \)с„щС„,. - иП|(П|( + цпы)

-ос

Параметр А выбирается так, чтобы выполнялось условие (24) (на практике

это делалось численно с помощью деления отрезка пополам).

Все вычисления похожи на рассмотренный выше случай А = 0. С помощью масштабного преобразования cat = (1 — A)_lj/2c^.t, c„t = (1 — \)~ll2c'al новая атомная задача сводится к рассмотренной, но с перенормированным значением U' = (1 — А)~'(У. Помимо этого, множитель (1 — А)-1 возникает при вычислении даа, т.к. в определении среднего стоят исходные операторы Со-i, с^, а атомное действие записано в терминах новых — с?'at,c'at (аналогично и для коррелятора 7^):

Окончательная формула для дуальной собственной энергии с учетом перенормировки:

ЙГ (е; А) = (_£; А) = (-1 + Ш^Ш) +

n V ' u V ' ' 27Г1 — 4V2 \ 2 £--£'+ J

U12 4V2 1 (L(e-iO)-L(e'_) L(e - гО) - L(e'+)\ U> + 2^1-4V*e'+-e>_ I, T^Z----) + ~2 (26)

, _ (U'/2)(4V2 - 2) ± 4V2y/4V2 + (U'/2)2 £±" 2(4V2 — 1) (27)

Итоговые графики плотности состояний на примеси представлены на рис. 5. Кроме модифицированной зоны проводимости на графике показаны б-пики, соответствующие изолированным резонансам. Зависимость положения пика от U построена сплошной линией на графике 4. Для сравнения на том же графике построены зависимости положения полюса в перенормированном и неперенормированиом приближениях Хаббард-I, а также для изолированного атома.

Дальнейшие перспективы развития теории связаны с ее применением к многоорбитальным системам.

Результаты третьей главы опубликованы в работе [А2].

В заключении изложены выводы к диссертационной работе.

Основные результаты и выводы диссертации

• При помощи связки динамической теории среднего поля, квантового метода Монте-Карло в непрерывном времени и метода оптимальной стохастической регуляризации получен спектр одпочастичиых возбуждений в полузаполпенпой одпозопной модели Хаббарда на решетке Бете. При температуре Т = 0.02< и значении константы взаимодействия С = 4.8^ соответствующем фазовому переходу Мотта-Хаббарда, воспроизведены спектральные особенности на внутренних краях хаббардовских подзон.

• Показано, что искусственное удаление пика па уровне Ферми из функции гибридизации не приводит к исчезновению пиков на краях хаббардовских подзон в локальной электронной плотности состояний. Этот результат свидетельствует в пользу того, что за формирование пиковой структуры на краях хаббардовских подзон отвечают зарядовые, а не спиновые возбуждения.

• Методом дуальной теории возмущений с явным нарушением симметрии основного состояния аналитически описана спектральная функция магнитной примеси с использованием полузаполпенпой однозонной модели Андерсона в Кондо-предслс V » Б при нулевой температуре. Логарифмическая особенность на уровне Ферми воспроизводится в первом порядке теории возмущений.

• Предложена процедура перенормировки дуальной теории возмущений, позволяющая корректно описывать высокочастотную часть спектра однозонной андерсоповской примеси. С использованием этой процедуры построены спектры при и = 5.0... 8.0^ Вклад в сдвиг атомных резонан-сов за счет процедуры перенормировки сравним с вкладом, даваемым дуальной теорией возмущений.

Список публикаций

А1. Кривенко И. С., Рубцов А. Н. Анализ природы пиковой структуры подзон Хаббарда с помощью квантового метода Монте-Карло // Письма в ЖЭТФ. 2011. Т. 94. С. 832-837.

А2. Krivenko I., Rubtsov A., Katsnelson М., Lichtenstein A. Analytical approximation for single-impurity Anderson model // JETP Letters. 2010. T. 91. C. 319-325.

Цитированная литература

1. Anderson P. W. Localized magnetic states in metals // Phys. Rev. 1961. T. 124, № 1. C. 41-53.

2. Вонсовский С. В. Об обменном взаимодействии s- и d- электронов в ферромагнетиках // ЖЭТФ. 1946. Т. 16. С. 981-989.

3. Изюмов Ю. А. Модель Хаббарда в режиме сильных корреляций // УФН. 1995. Т. 165, № 4. С. 403-427.

4. Georges A., Kotliar G., Krauth W., Rozenberg M. J. Dynamical mean-field theory of strongly correlated fermion systems and the limit of infinite dimensions // Rev. Mod. Phys. 1996. T. 68, № 1. C. 13.

5. Jarrell M., Gubernatis J. E. Bayesian inference and the analytic continuation of imaginary-time quantum Monte Carlo data // Phys. Rep. 1996. T. 269, № 3. C. 133-195.

6. Zhang X. Y., Rozenberg M. J., Kotliar G. Mott transition in the d = oo Hubbard model at zero temperature // Phys. Rev. Lett. 1993. T. 70, № 11. C. 1666-1669.

7. Karski M., Raas C., Uhrig G. Electron spectra close to a metal-to-insulator transition // Phys. Rev. B. 2005. T. 72, № 11. C. 113110.

8. Hafermann H., Jung C., Brener S. и др. Superperturbation solver for quantum impurity models // EPL. 2009. T. 85, № 2. C. 27007.

Подписано в печать: 09.02.12

Объем: 1,5 усл.п.л. Тираж: 100 экз. Заказ № 7032 Отпечатано в типографии «Реглет» 119526, г. Москва, Проспект Вернадского д.39 (495) 363-78-90; www.reglet.ru

Текст научной работы диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Кривенко, Игорь Станиславович, Москва

61 12-1/639

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

Кривенко Игорь Станиславович

ОСОБЕННОСТИ ЭЛЕКТРОННОГО СПЕКТРА МАГНИТНЫХ ПРИМЕСЕЙ ПРИ НИЗКОЙ

ТЕМПЕРАТУРЕ

01.04.09 - Физика низких температур

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д. ф.-м. н.

Рубцов Алексей Николаевич

Москва-2012

Содержание

Введение........................................................................5

Глава 1. Обзор методов решения квантовых примесных задач ... 12

1.1. Функции Грина для ферми-систем................................12

1.1.1. Запаздывающая, опережающая и временная функции Грина..........................................................12

1.1.2. Температурная функция Грина............................16

1.1.3. Двухчастичные функции Грина ..........................18

1.2. Аппарат фермионных континуальных интегралов................18

1.2.1. Общие сведения............................18

1.2.2. Алгебра Грассмана..................................20

1.2.3. Определение и свойства фермионного континуального интеграла....................................................23

1.2.4. Теория возмущений по взаимодействию................27

1.2.5. Преобразование к дуальным фермионам................32

1.3. Модель Андерсона для описания магнитных примесей в металле 35

1.3.1. Вывод модели....................................35

1.3.2. Режимы поведения электронов в модели Андерсона. Эффект Кондо.............................40

1.3.3. Краткая история исследований модели Андерсона . . . 43

1.3.4. Квантовые методы Монте-Карло..........................47

1.3.5. Ренормгруппа для матрицы плотности..................53

1.3.6. Суперпертурбативный метод решения ...............57

1.4. Модель Хаббарда и динамическая теория среднего поля .... 60 1.4.1. Модель Хаббарда — основная модель теории сильных

электронных корреляций..................................60

1.4.2. Динамическая теория среднего поля ....................62

1.4.3. Переход металл-диэлектрик и пиковая структура хаб-бардовских подзон..........................................66

1.5. Проблема аналитического продолжения зашумленных численных данных..........................................................69

1.5.1. Постановка задачи..........................................69

1.5.2. Аппроксимация Паде......................................70

1.5.3. Метод наименьших квадратов............................71

1.5.4. Динамический метод......................................73

1.5.5. Теорема Байеса и метод максимальной энтропии ... 74

1.5.6. Стохастический метод Сэндвика..........................80

1.5.7. Метод Мищенко............................................84

Глава 2. Аналитическое продолжение зашумленных численных данных по методу оптимальной стохастической регуляризации ... 87

2.1. Оптимальный регуляризационный функционал..................87

2.2. Выбор представления. Корреляционная матрица................91

2.3. Корреляционная матрица лоренцевых пиков .................93

2.4. Переход Хаббарда-Мотта: практический расчет плотности состояний ..............................................................95

2.5. Исследование природы пиковой структуры хаббардовских подзон ....................................................................101

2.6. Заключение..........................................................104

Глава 3. Дуальная теория возмущений для однозонной примесной

модели Андерсона ........................................................106

3.1. Постановка задачи..................................................106

3.2. Предварительный анализ задачи ..................................107

3.3. Низкоэнергетические свойства: общее рассмотрение..............109

3.4. Низкоэнергетические свойства: аналитические результаты для полукруглой зоны проводимости....................................112

3.5. Процедура перенормировки..........................................118

3.6. Заключение...................................121

Основные выводы............................................................125

Литература ....................................................................126

Введение

Диссертационная работа посвящена разработке новых и усовершенствованию существующих теоретических методов, предназначенных для изучения электронного спектра магнитных примесей при низкой температуре. Теоретическое исследование электронной структуры металлов в присутствии разреженных магнитных примесей осуществляется на модельном уровне с помощью двух семейств гамильтонианов. Это однозонная и многозонная примесные модели Андерсона [1] и родственная им модель 8-с1-обмена (модель Кондо) [2, 3].

На сегодняшний день интерес к этим моделям имеет двоякую природу. Во-первых, они, будучи сформулированы около полувека назад, отнюдь не утратили своего фундаментального значения для теории магнитных примесей. Напротив, с появлением возможности манипулировать отдельными атомами и создавать магнитные квантовые точки, экспериментально стали доступны более широкие области значений параметров в таких моделях. Поскольку эти модели допускают точное решение лишь в некоторых частных случаях, а методы теории возмущений зачастую неприменимы для реалистичных значений параметров, то возникает вопрос об их численном решении. Особо остро он встает при решении многозонных задач — при наличии у электронов примеси большого не скомпенсированного орбитального момента: с увеличением момента примеси экспоненциально возрастает количество состояний, определяющих структуру электронного спектра.

Во-вторых, модель Андерсона является результатом редукции значительно более сложной решеточной модели Хаббарда [4] в рамках метода динамической теории среднего поля [5]. Модель Хаббарда — центральная модель теории материалов с сильными электронными корреляциями. Она воспроизводит большое разнообразие физических явлений, как то: моттовский переход

металл-диэлектрик, магнитное упорядочение, отклонение от ферми-жидкостного поведения электронов [4]. Модель Хаббарда является одной из моделей для описания высокотемпературных сверхпроводников на основе купратов [6]. Поэтому ее исследование чрезвычайно важно и является перспективным направлением в современной физике конденсированного состояния.

К первому классу относятся квантовые методы Монте-Карло (Quantum Monte Carlo, QMC). Они основаны на приближенном вычислении физических величин как суммы большого числа слагаемых (сумма по траекториям, конфигурациям, диаграммам и т.п.). Количество слагаемых в таких суммах экспоненциально возрастает с ростом числа степеней свободы (величины локализованного момента, количества одновременно рассматриваемых примесных атомов). Экспоненциальная сложность суммирования преодолевается путем организации случайных марковских блужданий по множеству всех слагаемых. Вероятность перехода от одного состояния к следующему, как правило, определяется критерием Метрополиса-Гастингса [7, 8]. Согласно этому критерию, вероятность "посещения" некоторого слагаемого определяется его величиной (вкладом в сумму), и в то же время выполняется условие эргодичности — любое слагаемое, в принципе, может быть "посещено" с ненулевой вероятностью.

Принципиально алгоритмы QMC позволяют вычислять спектральные и корреляционные функции с любой наперед заданной точностью. В этом смысле они являются референсными, свободными от приближений. Однако на практике их ценность существенно ограничена так называемой проблемой знака. Дело в том, что при вычислении различных средних для системы фер-мионов возникают знакопеременные суммы, для которых критерий Метро-

полиса-Гастингса, опирающийся лишь на абсолютное значение слагаемых, не так успешен. Средний знак учитываемых слагаемых оказывается мал — среднее значение "тонет" на фоне стохастических флуктуаций. Эта сложность непосредственно связана с антисимметричностью волновых функций электронов и, по всей видимости, непреодолима [9].

Проблема знака приводит к тому, что затрачиваемое время счета (количество суммируемых слагаемых) экспоненциально растет с ростом требуемой точности (а также, с понижением температуры). В то же время, наиболее интересен как раз случай низких температур, так как в этом пределе поведение электронов является сугубо квантовым и определяется низколежащими энергетическими уровнями. На практике выходные данные монте-карловских алгоритмов всегда зашумлены. Другое существенное ограничение, накладываемое проблемой знака, — это невозможность производить вычисления корреляционных функций на реальной оси времени (частоты). Вместо этого используют мнимое время (представление Мацубары [10]). В случае же реального времени слагаемые в суммах для средних становятся комплексными, что ведет, фактически, к неработоспособности алгоритма.

При вычислении статических величин, например, примесного вклада в намагниченность материала использование мацубаровского представления не привносит принципиальных сложностей. Однако динамические величины — функции Грина и восприимчивости для непосредственного сравнения с экспериментом нужно вычислять, разумеется, на вещественных частотах. Задача об аналитическом продолжении данных с мнимой оси частот на вещественную — в математическом смысле некорректно поставленная задача. Искомое аналитическое продолжение чрезвычайно чувствительно к неустранимому шуму входных данных, получаемых из (^МС. Несмотря на большое количество публикаций по теме, эта задача еще далека от решения.

Во второй класс можно условно выделить методы, использующие раз-

личные приближения, или специализированные для изучения определенного круга физических явлений, присущих модели. Используемые приближения в достаточной степени контролируемы, а получаемые с их помощью результаты могут быть не менее содержательными, чем у QMC. Сюда можно отнести численные алгоритмы, использующие идею группы перенормировок (Numerical renormalization group, NRG [11]; Dynamical density matrix renormalization group DDMRG [12]) и точную диагонализацию конечных кластеров [13].

Наконец, в третий класс попадают приближения, обладающие серьезными недостатками (например, нарушение причинности и правил сумм) в некоторых областях параметров решаемой модели. Среди них такой метод, как NCA — приближение непересекающихся диаграмм [14], его обобщения с более сложными диаграммами и родственные им 1/N разложения [15]. Их результаты нужно проверять на физическую корректность для каждого конкретного применения.

В диссертационной работе затрагиваются вопросы, касающиеся первой и третьей групп методов.

Научная новизна результатов диссертации состоит в реализации новой схемы аналитического продолжения зашумленных численных данных С)МС, изучении с помощью реализованной схемы физической природы тонкой пиковой структуры хаббардовских подзон в электронном спектре однозонной модели Хаббарда на бесконечномерной решетке и в аналитическом исследовании однозонной модели Андерсона методом дуального преобразования в реальном времени.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

• Одноэлектронный спектр полузаполненной однозонной модели Хаббарда на решетке Бете содержит особенности на внутренних краях хаббардовских подзон при низкой температуре и значениях константы взаимодействия II, отвечающих фазовому переходу Хаббарда-Мотта.

Апробация работы происходила на следующих конференциях:

1. VII конференция "Сильно коррелированные электронные системы и квантовые критические явления", г. Троицк, 18.06.2009: И.С. Кривенко, А.Н. Рубцов, А.И. Лихтенштейн, "Kondo peak in the first order of perturbation theory".

2. 1st International Workshop "New generation in strongly correlated electron systems-2010", Лансароте, Испания, 20-25.06.2010:1. Krivenko, A. Rubtsov, M. Katsnelson, A. Lichtenstein, "Analytical approximation for single-impurity Anderson model".

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 6 печатных работах, из них 2 статьи в рецензируемых журналах [16, 17] и тезисы 4 докладов.

наименования на 13 страницах (в том числе публикации автора по теме диссертации).

Глава 1

Обзор методов решения квантовых примесных

задач

1.1. Функции Грина для ферми-систем

1.1.1. Запаздывающая, опережающая и временная функции Грина.

Аппарат временных и температурных функций Грина (ФГ) — это язык, на котором изъясняется современная статистическая физика систем многих частиц. Изначально он был разработан в квантовой электродинамике, а в начале 1960х годов адаптирован для нужд статистики A.A. Абрикосовым, Л.П. Горьковым и И.Е. Дзялошинским [18]. С тех пор было написано множество руководств по использованию этой техники [19, 20]. Здесь будут приведены некоторые важные определения и свойства гриновских функций в теории взаимодействующих фермионов, а также связанных с ними динамических величин.

Пусть система многих взаимодействующих нерелятивистских фермионов определяется гамильтонианом следующего вида:

Индексы а,р,у,5 при операторах — сокращение для совокупности спиновых, орбитальных и любых других индексов, отвечающих интегралам движения отдельной частицы. Далее всюду будет подразумеваться, что мы рассматриваем большой канонический ансамбль, и слагаемое с химическим потенциалом ¡л всегда будет включаться в гамильтониан.

В отсутствие взаимодействия, т.е. при иаруз = 0 гамильтониан (1.1) ре-

(1.1)

шается точно путем канонического преобразования операторов са, с^ к базису, в котором матрица 1гар диагональна. В этом базисе энергия системы есть сумма энергий невзаимодействующих квазичастиц, которым соответствуют новые преобразованные операторы.

Запаздывающая и опережающая функции Грина (надстрочные индексы Я и А соответственно) определяются так:

^(/ЬГ2) - -ЩН ~ г2){сЛН)с1(н) + с1(Ь)са(н)) (1.2)

<^(¿1, Ъ) = Щг ~ к)(са{Н)с1(ь) + ср2)сМ) (1.3)

Названия этих функций отражают тот факт, что они отличны от нуля при ¿1 > ¿2 и Н < Ь соответственно.

Угловые скобки (...) означают усреднение по равновесному гиббсовскому распределению при заданной температуре Т:

5р [Аехр(-Я/Г)] $р[ехр(-Я/Г)]

В определении функций Грина использованы зависящие от времени гейзенберговские операторы, которые связаны с исходными шреденгеровскими с помощью унитарного преобразования

А(г) = е[Й1Ае-[Й1 (1.5)

(везде в тексте диссертации И = 1 и кв = 1, если это не оговорено особо).

Согласно теореме Нетер, закон сохранения энергии, выполняющийся в любой гамильтоновой системе, связан с инвариантностью уравнений движения по отношению к сдвигу во времени. Из этого следует, что запаздывающая и опережающая функции Грина зависят лишь от разности времен ^ - г2, и для них можно ввести частотное представление:

М^С^-Ъ)^ (1.6)

Комбинируя определения (1.2)—(1.6) и используя разложение единицы по ортонормированному собственному базису (п\ гамильтониана Н, можно получить явные выражения для функций Грина в частотном представлении:

1 ^ {п\са\т){т\с\\п) + <п\с1\т)(т\са\п)

= г 2--+ ^ ) • (1'7)

где Т = 8р[е~я/г] — статистическая сумма системы, Еп — уровни энергии, �