Особенности оптимизации циклических процессов при наличии дисконтирования тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

005007650

Шуткина Татьяна Сергеевна

Особенности оптимизации циклических процессов

при наличии дисконтирования

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 2 ЯНВ 2012

Владимир 2011

005007650

Работа выполнена во Владимирском государственном университете имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Давыдов Алексей Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Закалюкин Владимир Михайлович

Ведущая организация: Институт программных систем им. А. К. Айламазяна РАН

Защита диссертации состоится 19 января 2012 г. в 16 ч 00 мин. на заседании диссертационного совета ДМ.212.024.02 при Владимирском государственном университете имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых по адресу: 600024, г. Владимир, пр. Строителей, 11, корп.7 ВлГУ, ауд.133.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Владимирского государственного университете имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых.

Автореферат разослан 7^" декабря 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета ДМ.212.024.02 при ВлГУ кандидат физико-математических наук,

доктор физико-математических наук, профессор Бортаковский Александр Сергеевич

доцент

Наумова С. Б.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Немало естественных процессов, происходящих вокруг нас, имеют циклический характер по своей природе или являются таковыми в силу нашего управления ими. Например, цикличность легко обнаружить в ряде технологических и экономических процессов, в сосуществовании двух видов и во многих других явлениях различной природы1. При наличии возможности управлять таким процессом возникает задача выбора цикла, доставляющего наилучшее возможное значение выбранного критерия качества.

В силу понятной прикладной значимости результатов в такой задаче, анализ и оптимизация различных моделей циклических процессов проводились многими авторами с использованием различных методов2,3,4. В.II.Арнольд для анализа таких процессов предложил использовать методы теории особенностей5,6. В рамках этого подхода для однопарамет-рических циклических процессов без дисконтирования были изучены типичные особенности средней временной выгоды7, оптимальных стационарных стратегий и переходов от них к циклическим8, стационарных стратегий в двух и трехпараметрическом случаях9 и получен ряд других интересных результатов.

Целью работы является развитие теории оптимизации циклических процессов по функционалу усредненной выгоды при наличии дисконтирования по доходу или прилагаемым усилиям и классификация типичных особенностей усредненной выгоды для однопараметрических процессов.

Методы исследований. Основные результаты работы получены ме-

'Д. Эрроусмнт, К. Плейс. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. - М. "МИР 1986. - 243 с.

2А. А. Зевпн. О некоторых особенностях оптимальных циклических траекторий// Автоматика и телемеханика. - 1980. - №3. - С.19-23.

3Н. Maui'cv, Ch. Biiskcjis, G. Fcicliliuger. Soluüim l.ccUníqms for pinmilit: control pmhliaus: a case study ¡n producting plauning// Optim. Control Appl. Metli.- 1908. - Vol. 19. - pp. 185-203.

4A.M. Цирлин. Методы усредненной оптимизации и их приложения// М.: Наука. Физматлит. -1997.

5В.И. Арнольд. Выпуклые оболочки и повышение производительности систем при пульсирующей загрузке// Снб. матем. журнал. - 1987. - Т. 28, № 4. - С. 27-31.

6В.И. Арнольд. Оптимизация в среднем и фазовые переходы в управляемых динамических системах// Фуцкц. анализ и его приложения. - 2002. - T.3G - С. 1-11.

'А.А. Давыдов. Особенности типичной выгоды в модели Арнольда циклических процессов// Труды МИАН. - 2005. - T.250. - С. 79-94.

SA.A Davydov, Н. Mena-Matos. Singularity theory approach to time averaged opt¡mization//Singularities in geometry and topology, World Scientific Publishing Со. Pte. Ltd., -2007. - PP.59S-626.

9H. Mena-Matos.. C. Moreira. Gcneric Singularities of the OpLimal Averaged Profit ainong Stutionary Strategies//Joiunal of dynaroicai and control system. - 2007. - Voluine 13, Nurnber 4. - pp. 541-562.

тодами теории особенностей дифференцируемых отображений, функционального анализа, мктодамн качественной теории дифференциальных уравнений и оптимального управления.

Научная новизна. Основные результаты диссертации включают:

1. Теоремы существования и единственности оптимального цикла при наличии дисконтирования для типичных управляемой системы и плотности выгоды на окружности.

2. Необходимое условие оптимальности циклического процесса по функционалу усредненной выгоды при наличии дисконтирования по доходу либо по доходу и прилагаемым усилиям.

3. Классификацию типичных особенностей усредненной выгоды для однопараметрических процессов с дисконтированием по выгоде.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер, её результаты найдут применение при анализе циклических процессов различной природы и оптимизации их по функционалу усреднённой выгоды, а также в научных исследованиях в вузах и институтах РАН, при чтении специальных курсов для студентов физико-математических специальностей университетов.

Апробация работы. Результаты докладывались

• на IV межотраслевой научно-технической конференции с участием аспирантов и молодых учёных "Вооружение. Технология. Безопасность. Управление. "(2009);

• на Международной конференции по математической теории управления и механике в г. Суздаль (2009);

• на Международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений'1 посвященной 70-летию В.А.Садов-ничего в г.Москва (2009);

• на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в г. Суздале (2010);

• на французско-русском семинаре "Nonlinear control and singularities "в г.Тулон (Франция) (2010);

• на Международной конференции по математической теории управления и механике в г. Суздаль (2011);

• на семинаре по нелинейному анализу и его приложениям во Владимирском государственном университете им. А.Г. и Н.Г. Столетовых (рук. проф. Давыдов А. А., проф. Данченко В. И., доц. Беспалов М. С.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 14 работах. Статьи [1], [7] и [12] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных результатов кандидатской диссертации.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы из 31 наименований. Объём диссертации составляет 61 страницу машинописного текста.

Введение посвящено истории проблемы, краткому обзору достижений предшественников, определению основных понятий и формулировке основных результаты работы.

В первой главе диссертации формулируются основные определения, задача усредненной оптимизации циклического процесса с дисконтированием по доходу, а также по доходу и прилагаемым усилиям. Основной результант первой главы - это теоремы существования и единственности, а также необходимое условие экстремума оптимального циклического процесса с дисконтированием по доходу либо по доходу и прилагаемым усилиям.

Циклический процесс моделируется управляемой системой на окружности, задаваемой полем скоростей V, гладко зависящим от точки х окружности и управляющего параметра. Предполагается, что этот параметр пробегает гладкое компактное многообразие (или объединение таковых) и принимает не менее двух различных значений, а все допустимые скорости положительные, то есть V > 0.

Допустимым движением системы называется абсолютно непрерывное отображение х : Ь х(Ь) отрезка временной оси в фазовое пространство, в точках дифференцируемости которого его производная лежит в выпуклой оболочке множества допустимых скоростей этой точки.

Цикл с периодом Т, Т > 0, - это допустимое движение х, х^ + Т) = При наличии непрерывной плотности выгоды f на окружности выбор циклического процесса с максимальной средней временной выгодой за один оборот

является одной из важных задач оптимального управления. В.И. Ар-

(1)

нольд показал, что при разумных положениях такой цикл существует, а соответствующее ему движение устроено просто - оно использует максимальные и минимальные допустимые скорости скорости на участках, где плотность выгоды меньше либо больше максимальной средней временной выгоды за цикл (см. ссылки [6],[7] на стр. 3). В диссертации, аналогичный результат получен для циклов при наличии дисконтирования. Следуя В.И. Арнольду (см. ссылку [6] на стр. 3), используя положительность допустимых скоростей, задачу можно переписать в виде

21Г г 2л

! е ° {(х)р{х)йх[ ! р{х)йхтих. (2)

о о

где а - показатель дисконтирования и для допустимого движения х,х —

х{1), плотность р задается как р{х{1)) = 1/х{1) всюду, где производная х(£) определена, то есть почти всюду на окружности, а в остальных точках эта плотность может быть взята любой допустимой. Здесь 0 и 2тг - это начальная и конечная точки цикла, соответственно. В такой формулировке задачи необходимо найти измеримую плотность р, доставляющую максимум функционала (2) и удовлетворяющую ограничениям

гг<р< г2, (3)

где т\ и т*2 положительные функции, равные обратным значениям максимума и минимума допустимой скорости, соответственно. Измеримая плотность удовлетворяющую ограничениям (3), называется допустимой.

Теорема 1. Для непрерывных плотности выгоды и положительных функций п, 7*2, Г1 < т*2 существует допустимая плотность, доставляющая точную верхнюю грань значений функционала в (2) по всем допустимым плотностям.

Теорема 2.(необходимое условие оптимальности) Если для непрерывных ПЛОТНОСТИ ВЫГОДЫ / И ПОЛОЖИТеЛЬНЫХ фунКЦИЙ ГЬГ2, И < г2 допустимая плотность р доставляет максимум А функционала в (2), то в любой точке х, где эта плотность является производной своего интеграла, значение функции 5

в{х) = е « /(¡с) -а е » Лу)рШу - А,

(4)

является либо неположительным, либо неотрицательным, либо равным нулю, если р(х) принимает значение п(х) или г2{х), или принадлежит интервалу (г1(х),т,2(ж)), соответственно.

Функция S играет роль функции переключения. Условие (4) получено прямыми вычислениями изменения средней временной выгоды при вариации допустимой плотности р на величину h на отрезке [я, х + и] при х € (0,27г) (при граничных х рассуждения аналогичны) и достаточно малом v > 0.

Функцию переключения можно переписать в виде

I X у

-a j p(z)dz f ~<j f p(z)dz

e ° f(x) + a / e ° ' f(y)p{y)dy -aP-A, (5)

о

где

2тг у

Г -и J p{z)dz

Р = J е • f(y)p(y)dy о

полная выгода вдоль цикла. Отметим, что при <т = 0 функция переключения та же что и в случае без дискаунта (см.сноску [G]).

Для дифференцируемой плотности выгоды функцию переключения можно записать как

/(0)+ Г еГ°К^f\y)dy-aP-А (6)

J о

проинтегрировав второе слагаемое (5) по частям. Отметим, что в этой форме, задав константу с = —А - аР, можно вычислять управление по правилу теоремы, начиная движение из нуля и беря на уровне с большую скорость. Такое движение будем называть циклом уровня с.

Теорема 3. (единственности) Для дифференцируемой плотности выгоды / с конечным числом критических точек и положительных функций ограничения ri,r2,ri < г2, совпадающих лишь в отдельных точках, цикл, доставляющий максимальную среднюю временную выгоду, определен однозначно, если эта плотность неотрицательна. Более того, уровень с оптимального цикла, выгода Р и средняя временная выгода А вдоль него удовлетворяют уравнению

с = -А - а Р. (7)

Обозначим через ~т, М максимальное и минимальное значения константы с (= значения функции переключения в нуле) такие, что при с < т и с > М движение по циклу уровня с происходит с допустимой минимальной и максимальной плотностями, соответственно. Понятно,

что

х х

т = - max [ е~аф1М f'(y)dy и М = - min [ /' (y)dy

хе(0,2тг ]J хе[0,2я] J

О о

X

где <j>i = f i'i(y)dy, i = 1,2, и что цикл с наибольшей средней временной о

выгодой является циклом некоторого уровня с 6 [тп, М]. Как и в случае без дисконтирования период цикла уровня оказывается монотонной функцией:

Теорема 4. Для дифференцируемой плотности выгоды с конечным числом критических точек и непрерывных функций ограничения гi и г2, r\ < г2, совпадающих лишь в отдельных точках, период цикла уровня с является непрерывной возрастающей функцией на отрезке [m, М\, кроме того, вне значений уровня, для которых функция переключения имеет критические точки или концевые точки цикла на своем нулевом уровне, эта функция дифференцируема и её производная вычисляется по формуле

Т'СЛ У fafo) - T-iQE,-)) , .

h ^i/'^i' где суммирование идет по точкам переключения.

Обозначим тт = Т(т) и тм — Т{М). В условиях последней теоремы на отрезке [тт,тм] определена и непрерывна обратная функция с : Г и с(Т) к функции Т периода цикла уровня, и на этом отрезке выгоду Р = Р(с) и среднюю временную выгоду А = А(с) вдоль цикла уровня с G [m, М], можно рассматривать как функции от периода этого цикла, то есть Р = Р(с(Т)) и А = А{с(Т)), Т 6 [rm, тм]. Обе эти функции оказываются дифференцируемыми:

Теорема 5. Выгода и средняя временная выгода как функции периода цикла уровня является дифференцируемой на отрезке [тт, т,у] с производными

ff(c(T)) = -c(T)-^P(c(T)), (9)

если числа критических точек дифференцируемой плотности выгоды и точек совпадений значений непрерывных функций ограничения п и г^, »'1 < г2, конечны.

В частности, из последней формулы и вытекает (7).

Основной результат второй главы диссертации - это теорема о классификации типичных особенностей средней временой выгоды для одно параметрических циклических процессов с дисконтирование по доходу. Сначала обосновывается метод анализа особенностей максимальной средней временной выгоды как функции параметра, а затем находится классификация особенностей.

В параметрическом случае особенности максимальной и минимальной скоростей являются одним из источников особенностей у максимальной средней временной выгоды как функции параметра. В случае общего положения при одномерном параметре р максимальная плотность усилия вблизи каждой точки (х,р) либо гладкая либо имеет одну из трех типичных особенностей как у функций

1)|и|, 2) тах{и, |и|}, 3) тах{ -и/4 + uw2 + vw | w G R} (11)

в нуле с точностью до Неэквивалентности - гладкой замены координат в области определения и прибавления гладкой функции; для минимальной плотности нужно изменить знак у этих функций10'11. Точку с особенностями 1) - 3) мы будем называть двойной, тройной и точкой сборки, соответственно. При dimp = 1 в типичном случае замыкание множества точек, где или максимальная или минимальная плотности имеют такие особенности, (=множество Максвелла) либо пусто, либо есть

- гладкая кривая при #i/ = 2, а при = 3 гладкая кривая с тройными точками, одинаковыми для максимальной и минимальной скоростей, причем множество Максвелла вблизи каждой из них есть состоит из трех гладких некасающихся кривых, либо

- гладкая кривая с тройными точками при 3 < < оо и дополнительно с точками сборки при dim U > О, различными для минимальной и максимальной скоростей, а также с трансверсальными самопересечениями вне этих точек.

Кроме того, множества Максвелла типичного семейства систем и любого достаточно близкого к нему переводятся одно в другое гладким диффеоморфизмом близким к тождественному. Следовательно, для семейства систем общего положения это множество размещено типично по отношению к слоям естественного расслоения г : (х,р) >-> р над пространством параметра, в частности, оно может касаться слоев расслое-

10В.И. Арнольд, А.Н.Варченко, С М. Гусейн-Заде. Особенности дифференцируемых отображений. // М : Наука. - 1982. -T.1. - С.304.

11Л.Н. Брызгалова. Особенности максимума функции, зависящей от параметров/'/ Функц. анализ и его приложения. - 1977. - T.11, вып. 1. - С. 59-60.

ПИЯ т только в точках своей гладкости и с первым порядком касания. При этом каждый слой этого расслоения может содержать только одну точку такого касания, либо тройную точку, либо точку сборки, либо еще точку самопересечения этого множества. Точку такого касания будем называть двойной с касанием, а остальные точки гладкости множества

Максвелла - регулярпьши.

Теорема 6. (классификация особенностей) Для типичного однопара-метрического семейства нар плотностей выгоды и управляемых систем с положительными скоростями росток наибольшей средней временной выгоды в любом значении параметра есть росток в нуле функции, равной нулю при 0 < р и одной из семи функций второго столбца Таблицы 1 при р > 0, с точностью до эквивалентности, указанной в третьем столбце, и при условиях из четвертого столбца. Более того, эта выгода для типичного семейства пар и для любого достаточно близкого к нему переводятся одна в другую гладкой Г-эквивалентностью близкой к тождественной.

Таблица 1.

№ Особен. Эк. Условия

1 0 я+ #£/>2

2 Р Я+ #[/ > 2, появление точки переключения в конце

цикла

3 р3'2+р2 г„ фЦ > 2, проход мшшмума функции Я через

ноль

4 р3/2_р2 Го #17 > 2, проход максимума функции 5 через

ноль

5 рЗ/2 Г ф1! > 2, проход через двойную точку с касанием

у используемой скорости

6 р2 Я+ фи > 3, проход через тройную точку у исполь-

зуемой скорости, появление регулярной двойной

точки на конце цикла

7 Р3 ф11 > 2, переключение скоростей в двойной точ-

8 -р7/2 Г ке dim.ll > 0, проход через точку сборки у исполь-

зуемой скорости

В этой таблице:

-Г-эквивалентность - это С°°-диффеоморфизм пространства графика функции, сохраняющий естественное расслоение над областью определения, а Га - это афшшая вдоль оси выгоды Г-эквивалентность;

- проход через минимум (максимум) функции 5 - это равенство нулю функции переключения оптимального цикла в ее минимуме (максимуме,

соответственно);

- условие прохода через точку - это использование на некотором участке скорости, доставляющей на этом участке указанную в условии особенность;

- условие переключения в двойной точке - переключение между максимальной и минимальной скоростями в такой точке, не являющейся двойной с касанием.

В заключение автор выражает благодарность научному руководителю профессору А. А. Давыдову за постановку задачи и внимание к работе.

Публикации автора по теме диссертации

1. А. А. Давыдов, Т. С. Шуткина. Оптимизация циклического процесса с дисконтированием по его средней временной выгоде//УМН. -2009. - 64:1(385). - С. 143-144. (диссертант 60%)

2. Davydov A., Shutkina Т. Time averaged optimization of cyclic processes with discount. Nonlinear Analysis and optimization problems// Proceedings from the International conference organized by Montenegro Academy of Sciences and arts. 13. -2009. - pp.93-100. (диссертант 50%)

3. Davydov A.A., Shutkina T.S. Time averaged optimization of cyclic processes with discount // International conference "Singularities in Generic Geometry and Applications Valencia, Spain, March 23-28. - 2009. - p. 10. (диссертант 50%)

4. Давыдов А.А., Шуткина T.C. Численная средневременная оптимизация циклического процесса с дисконтированием //Вооружение. Технология. Безопасность. Управление. Материалы IV межотраслевой научно-технической конференции с участием аспирантов и молодых учёных. В 3 ч.Ч.1. - Ковров: ГОУ ВПО "КГТА им. В.А. Дегтярева- 2009 - С. 164-171. (диссертант 70%)

5. Давыдов А.А., Шуткина Т.С. Оптимизация циклических процессов с двойным дисконтированием по средней временной выгоде // Международная конференция по математической теории управления и механике. 3-7 июля 2009: тезисы докладов, М.:МИАН. - 2009.- С.52-53. (диссертант 70%)

6. Davydov A.A., Shutkina T.S. Optimal control of cyclic processes with discount // Международная конференция "Современные проблемы математики, механики и их приложений посвященная 70-летию

В. А. Садовннчего. 30.03-01.04.2009 М: Изд. "Университетская книга". - 2009. - С.64-65. (диссертант 60%)

7. Давыдов А.А., Шуткина Т.С. Оптимизация циклического процесса с дисконтированием по усилию и выгоде//Нелинейная динамика. -2010.- С:1- С.151-158. (диссертант 60%)

8. T.S.Shutkina. Existence and uniqueness of optimal cyclic process with discount. // Nonlinear control and singularities. October 24-28. - 2010 [http://www.adeit.uv.es/valenciasingularities09/]

9. Давыдов А.А., Шуткина Т.С. Единственность цикла с дисконтированием, оптимального по средней временной выгоде. Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль 2-7 июля 2010 года: тезисы докладов. -М.:МИАН, - 2010. - С. 70-71. (диссертант 60%)

10. Давыдов А.А., Шуткина Т.С. Оптимизация циклических процессов с дисконтированием// Материалы международной научной конференции, посвященной 105-летию акад. С.М. Никольского, МГУ. -

2010. - С.73. (диссертант 50%)

11. Шуткина Т.С. Единственность цикла с дисконтированием по доходу и прилагаемым усилиям, оптимального по средней временной выгоде.// Труды Владимирского государственного университета. Выпуск 7. Физико-математические основы индустрии наносистем и материалов. Из.:ВлГУ - 2010. - С. 115-118.

12. Давыдов А.А., Шуткина Т.С. Единственность цикла с дисконтированием, оптимального то средней временной выгоде// Труды Института математики и механики 17:2. - 2011. - С.80-87. (диссертант 60%)

13. Davydov A., Shutkina Т. Generic profit singularities of one parametric cyclic process with discount.// Международная конференция по математической теории управления и механике. 1-5 июля 2011.- М.:МИАН,

2011. - С.234-235. (диссертант 60%)

14. Давыдов A.A., Шуткина Т.С.. Типичные особенности усредненной выгоды однопараметрическнх циклических процессов с дисконтированием// Тезисы докладов Международной конференции "Управление и оптимизация неголономными системами". - Из.: "Университет города Переславля". - 2011. - С.19-20. (диссертант G0%)

Подписано в печать 15.12.11. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 0,70. Тираж 100 экз.

Заказ ЛЗЬ-Ж//« Издательство Владимирского государственного университета Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых. 600000, Владимир, ул. Горького, 87.

Введение

1. Усредненные циклические процессы с дисконтированием

1.1. Модель циклического процесса.

1.2. Переформулировка проблемы.

1.3. Теорема существования и условие оптимальности.

1.4. Сбалансированность оптимального цикла.

1.5. Монотонность периода.

1.6. Дифференцируемость усредненной выгоды.

1.7. Единственность оптимального цикла.

1.8. Теоремы существования и единственности оптимального цикла с дисконтированием по доходу и прилагаемым усилиям

1.9. Теорема единственности оптимального цикла с двумя показателями дисконтирования

1.10. Алгоритм построения численного решения.

2. Классификация типичных особенностей усредненной выгоды циклических процессов с дисконтированием

2.1. Теорема о классификации особенностей.

2.2. Гладкое изменение точек переключения.

2.3. Доказательство теоремы о классификации особенностей . . 50 Список литературы

Немало естественных процессов, происходящих вокруг нас, имеют циклический характер по своей природе или являются таковыми в силу нашего управления ими. Например, цикличность легко обнаружить в ряде технологических и экономических процессов, в сосуществовании двух видов и во многих других явлениях различной природы [20]. При наличии возможности управлять таким процессом возникает задача выбора цикла, доставляющего наилучшее возможное значение выбранного критерия качества.

В силу понятной прикладной значимости результатов в такой задаче, анализ и оптимизация различных моделей циклических процессов проводились многими авторами с использованием различных методов [14], [15], [26], [27]. В.И.Арнольд для анализа таких процессов предложил использовать методы теории особенностей [2], [3]. В рамках этого подхода для однопараметрических циклических процессов без дисконтирования были изучены типичные особенности средней временной выгоды [8], оптимальных стационарных стратегий и переходов от них к циклическим [23], стационарных стратегий в двух и трехпараметрическом случаях и получен ряд других интересных результатов [28].

Циклический процесс моделируется управляемой системой на окружности, задаваемой полем скоростей г>, гладко зависящим от точки х окружности и управляющего параметра. Предполагается, что этот параметр пробегает гладкое компактное многообразие (или дизъюнктное объединение таковых) и принимает не менее двух различных значений, а все допустимые скорости положительные, то есть у > 0.

Допустимым движением системы называется абсолютно непрерывное отображение х : £ н-» а;(£) промежутка временной оси в фазовое пространство, в точках дифференцируемости которого его производная лежит в выпуклой оболочке множества допустимых скоростей соответствующей точки.

Цикл с периодом Т, Т > 0, - это допустимое движение х, х(Ь + Т) = х(Ь). При наличии непрерывной плотности выгоды / на окружности выбор циклического процесса с максимальной средней временной выгодой за один оборот является одной из важных задач оптимального управления. В.И. Арнольд показал, что при разумных предположениях о системе и плотности выгоды такой цикл существует, а соответствующее ему движение устроено просто - оно использует максимальные и минимальные допустимые скорости скорости на участках, где плотность выгоды меньше либо больше максимальной средней временной выгоды за цикл [3], [8]. В диссертации, аналогичный результат получен для циклов при наличии дисконтирования.

Следуя В.И. Арнольду [3], используя положительность допустимых скоростей, задачу можно переписать в виде где а - показатель,дисконтирования и для допустимого движения х,х — гс(^), плотность р задается как р(х{€)) — всюду, где производная определена, то есть почти всюду на окружности, а в остальных точках эта плотность может быть взята любой допустимой. Здесь 0 и 2ж -это начальная и конечная точки цикла, соответственно. В такой формулировке задачи необходимо найти измеримую плотность р, доставляющую

1) о о максимум функционала в (2) и удовлетворяющую ограничениям

П<р< г2, (3) где г\ и т*2 положительные функции, равные обратным значениям максимума и минимума допустимой скорости, соответственно.

Измеримая плотность, удовлетворяющая ограничениям (3), называется допустимой.

Теорема 1.1. Для непрерывных плотности выгоды / и положительных функций 7"i, 7*2, 7*1 < 7~25 существует допустимая плотность, доставляющая точную верхнюю грань значений функционала в (2) по всем допустимым плотностям.

Теорема 1.2. (необходимое условие оптимальности). Если для непрерывных ПЛОТНОСТИ ВЫГОДЫ / и положительных функций 7*1, 7*2, 7*1 < 7*2 допустимая плотность р доставляет максимум А функционала в (2), то в любой точке х, где эта плотность является производной своего интеграла, значение функции S х 27Г у a f p(z)dz f —a f p(z)dz

S{x) = e о f{x) -a j e ° f{y)p{y)dy - A, (4) X является либо неположительным, либо неотрицательным, либо равным нулю, если р(х) принимает значение г\{х) или 7*2(2;), либо принадлежит интервалу (г\(х), Г2(х)), соответственно.

Функция S играет роль функции переключения. Условие (4) получено прямыми вычислениями изменения средней временной выгоды при вариации допустимой плотности р на величину h на отрезке [ж, х + и] при х G (0, 27г) (при граничных х рассуждения аналогичны) и достаточно малом v > 0.

Функцию переключения можно переписать в виде а § р{г)йг Г —а / р(г)йг е о Цх) +а е ° 1{у)р{у)(1у - аР - А, (5) о где о

- полная выгода вдоль цикла. Отметим, что при <т — 0 функция переключения та же что и в случае без дискаунта [3].

Для дифференцируемой плотности выгоды функцию переключения можно записать как проинтегрировав второе слагаемое (5) по частям. Отметим, что в этой форме, задав константу с = —А — аР, можно вычислять управление по правилу теоремы, начиная движение из нуля и беря на уровне с большую скорость. Такое движение будем называть циклом уровня с.

Теорема 1.Б. (Единственности). Для дифференцируемой плотности выгоды / с конечным числом критических точек и положительных функций ограничения Г1,Г2,Г\ < Г2, совпадающих лишь в отдельных точках, цикл, доставляющий максимальную среднюю временную выгоду, определен однозначно, если эта плотность неотрицательна. Более того, уровень с оптимального цикла, выгода Р и средняя временная выгода А вдоль него удовлетворяют уравнению

Обозначим теперь через т, М максимальное и минимальное значения константы с (здесь значение функции переключения в нуле) такие, что при с < т и с > М движение по циклу уровня с происходит с допусти

6) с = -А - аР.

7) мой минимальной и максимальной плотностями, соответственно. Понятно, что X т = — тах х£[0,2тг]

I е-а^Г(у)ау - ДО) о и X

М — — тт же[0,2тг]

I е-^ГШу - ДО) о ж где = J Г{{у)с1у, г = 1,2, и что цикл с наибольшей средней временной выгодой является циклом некоторого уровня с 6 [тп, М]. Как и в случае без дисконтирования период цикла уровня оказывается монотонной функцией:

Предложение 1.3. Для дифференцируемой плотности выгоды с конечным числом критических точек и непрерывных функций ограничения г\ и 7"2} т\ < 7*2, совпадающих лишь в отдельных точках, период цикла уровня с является непрерывной возрастающей функцией на отрезке [■тп,М]. Более того, вне значений уровня, для которых функция переключения имеет критические точки или концевые точки цикла на своем нулевом уровне, эта функция дифференцируема и ее производная вычисляется по формуле где суммирование идет по точкам переключения.

Обозначим тт = Т(т) и тм ~ Т(М). В условиях последней теоремы на отрезке [тт,тм] определена и непрерывна обратная функция с : Т »-»• с(Т) к функции Т периода цикла уровня, и на этом отрезке выгоду Р = Р{с) и среднюю временную выгоду А — А(с) вдоль цикла уровня с € [т, М], можно рассматривать как функции от периода этого цикла, то есть Р — Р(с(Т)) и А = А(с(Т)), Т € [тт, 7м]- Обе эти функции оказываются дифференцируемыми: о

Предложение 1.4. Выгода и средняя временная выгода как функции периода цикла уровня является дифференцируемой на отрезке [тт, тм] с производными если числа критических точек дифференцируемой плотности выгоды и точек совпадений значений непрерывных функций ограничения г\ и Г2, г\ <Г2, конечны.

В частности, из последней формулы и вытекает (7).

Основной результат второй главы диссертации - это теорема о классификации типичных особенностей средней временной выгоды для од-нопараметрических циклических процессов с дисконтирование по доходу. Сначала обосновывается метод анализа особенностей максимальной средней временной выгоды как функции параметра, а затем находится классификация особенностей.

В параметрическом случае особенности максимальной и минимальной скоростей являются одним из источников особенностей у максимальной средней временной выгоды как функции параметра. В случае общего положения при одномерном параметре р максимальная плотность усилия вблизи каждой точки (х,р) либо гладкая либо имеет одну из трех типичных особенностей как у функций

1) Н, 2) тах{г>, |и|}, 3) тах{—ш4 + ти2 4- уш \ и> € Я} (11) в нуле с точностью до /2+-эквивалентности - гладкой замены координат в области определения и прибавления гладкой функции; для минимальной плотности нужно изменить знак у этих функций [1], [6], [7], [22]. Точку с особенностями 1) - 3) мы будем называть двойной, тройной и точкой

Р±(с(Т)) = -с(Т)-*Р(с(Т)),

9) (10)

А'т(с(Г)) с(Г) + аР(с(Т)) + Л(с(Т)) Т сборки, соответственно. При dimр — 1 в типичном случае замыкание множества точек, где или максимальная или минимальная плотности имеют такие особенности, (=множество Максвелла) либо пусто, либо есть

- гладкая кривая при фи = 2, а при = 3 гладкая кривая с тройными точками^ одинаковыми для максимальной и минимальной скоростей, . причем множество Максвелла вблизи каждой из них есть состоит из трех гладких некасающихся кривых, либо

- гладкая кривая с тройными точками при 3 < #С/ < оо и дополнительно с точками сборки.при dim U. > 0, различными для минимальной и максимальной скоростей, а также с трансверсальными самопересечениями вне этих точек.

Кроме того, множества Максвелла,типичного семейства систем и любого достаточно близкого к нему переводятся одно в другое, гладким; диффеоморфизмом- близким" к тождественному. Следовательно, для семейства систем общего положения это множество размещено типично по отношению к слоям естественного расслоения т :. (х,р) р над пространством параметра, в частности, онб'может касаться слоев расслоения-' г только в точках своей гладкости; и с первым порядком касания: При; этом каждый-слой этого расслоения может содержать только одну точку . такого касания, либо тройную точку, либо точку сборки, либо еще точку ; самопересечения этого множества. Точку такого касания будем называть двойной с касанием, а остальные точки гладкости множества Максвелла - регулярными.

Теорема 2.1. (Классификация особенностей). Для типичного однопа-раметрического семейства пар плотностей; выгоды и управляемых систем с положительными скоростями росток наибольшей средней временной выгоды в любом значении параметра есть росток в нуле функции, равной нулю при 0 < р и одной из семи функций второго столбца Таблицы 1 при р > 0, с точностью до эквивалентности, указанной в третьем столбце, и при условиях из четвертого столбца. Более того, эта выгода для типичного семейства пар и для любого достаточно близкого к нему переводятся одна в другую гладкой Г-эквивалентностью близкой к тождественной.

Таблица 1.

Особен. Эк. Условия

1 0 R+ #[/>2

2 Р R+ #(7 > 2, появление точки переключения в конце цикла

3 р3/2+р2 г « ^U > 2, проход минимума функции S через i ноль

4 рг'2-р2 га фи > 2, проход максимума функции S через ноль

5 рЗ/2 Г ^U > 2, проход через двойную точку с касанием у используемой скорости

6 Р2 R+ либо проход через тройную точку у используе- 1 мой скорости при фи > 3, либо появление регулярной двойной точки на конце цикла при фи> 2.

7 Р3 R+ ф11 > 2, переключение скоростей в двойной точке

8 2 Г dim U > 0, проход через точку сборки у используемой скорости

В этой таблице:

-Г-эквивалентность - это С°°-диффеоморфизм пространства графика функции, сохраняющий естественное расслоение над областью определения, а Га - это афинная вдоль оси выгоды Г-эквивалентность;

- проход через минимум (максимум) функции 5 - это равенство нулю функции переключения оптимального цикла в ее минимуме (максимуме, соответственно);

- условие прохода через точку - это использование на некотором участке скорости, доставляющей на этом участке указанную в условии особенность;

- условие переключения в двойной точке - переключение между максимальной и минимальной скоростями в такой точке, не являющейся двойной с касанием.

Классификация особенностей проходит по той же схеме, что и в работе

8]:

- сначала явление, порождающее особенность, локализуется, затем

- оптимальное движение изменяется так, что это явление не учитывается, а в результате период изменённого цикла, выгода и средняя временная выгода вдоль него становятся гладкими функциями уровня и параметра вблизи изучаемой точки, и, наконец,

- делается учет проведенного изменения, что и доставляет особенность уровня с оптимального цикла, выгоды и средней временной выгоды вдоль него как функции параметра, после чего

- эта особенность средней временной выгоды приводится к нормальной форме.

При наличии дисконтирования реализация этой схемы требует более тонких рассуждений, чем в [8], ибо, во-первых, изменение используемой плотности усилия на небольшом участке приводит к смещению последующих точек переключение, а, во-вторых, вместо уравнения с = — сгР — А для вычисления уровня оптимального цикла с и, фактически, наибольшей средней временной выгоды А при а — 0, при а > 0 мы имеем более сложное уравнение (7), из которого сначала нужно найти с, и только потом найти выгоду и среднюю временную выгоду.

1. В.И. Арнольд, А.Н.Варченко, С.М. Гусейн-Заде. Особенности дифференцируемых отображений. // М : Наука. - 1982. -Т.1. - С. 304.

2. В.И. Арнольд. Выпуклые оболочки и повышение производительности систем при пульсирующей загрузке// Сиб. матем. журнал. 1987 - Т. 28, № 4. - С. 27-31

3. В.И. Арнольд. Оптимизация в среднем и фазовые переходы в управляемых динамических системах// Функц. анализ и его приложения.- 2002. Т.36 - С. 1-11.

4. В. JI. Бабурин. Пространство циклов. М.:ЛКИ. - 2007. - 316 с.

5. Э. М. Браверман , М. И. Левин. Неравновесные модели экономических систем. — М.: Наука. 1981.— С. 159.

6. Л.Н. Брызгалова. Особенности максимума функции, зависящей от параметров// Функц. анализ и его приложения. 1977. - Т.11, вып. 1.- С. 59-60.

7. Л.Н. Брызгалова. О функциях максимума семейства функций, зависящих от параметров // Функц. анализ и его приложения. 1978. -Т. 12, вып. 1. - С. 66-67.

8. A.A. Давыдов. Особенности типичной выгоды в модели Арнольда циклических процессов// Труды МИАН. 2005. - Т. 250. - С. 79-94

9. А.А.Давыдов, Е. Мена-Матош. Типичные фазовые переходы и особенности выгоды в модели Арнольда// Матем. сб. 2007. - 198:1. -С. 21-42

10. А. А. Давыдов, Т. С. Шуткина. Оптимизация циклического процесса с дисконтированием по его средней временной выгоде//УМН. 2009.- 64:1(385). С. 143-144

11. A.A. Давыдов , Т.С. Шуткина. Единственность цикла с дисконтированием, оптимального по средней временной выгоде// Труды Института математики и механики. 2011. - 17:2- С.80-87

12. В.В.Жиков. Математические проблемы теории поиска// Труды Владимирского политехнического института. 1968. - С. 263-270

13. A.A. Зевин. О некоторых особенностях оптимальных циклических траекторий// Автоматика и телемеханика. 1980.- №3. -С.19-23

14. A.M. Цирлин. Методы усредненной оптимизации и их приложения// М.: Наука. Физматлит. 1997.- ISBN 5-02-015091-6.

15. H.JI. Карданская. Системы управления производством: анализ и проектирование / H.JI.Карданская, А.Д.Чудаков. — М. : Русская деловая литература. 1990. — 240 с.

16. П. Митчелл. 101 ключевая идея: Экология. Пер.с англ. Перфильева.- М.: ФАИР-ПРЕСС. 2001. - 224 с.

17. JI. Ю. Шипович. Особенности циклического развития экономики России// Вестник Челябинского государственного университета. 2009. - № 2 (140). - Экономика. Вып. 18. - С. 27-36.

18. Д. Эрроусмит, К. Плейс. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. М.: "МИР 1986. - 243 с.

19. F.Contre, I. Goldin. Agriculture and the economic cycle: an economicand econometric analysis with special reference to Brazil. // OECDdevelopment centre. Working Paper No. 15. p. 43.

20. A.A. Davydov. Singularities of the maximum function over the preimage// Geometry in nonlinear control and differential inclusions, Banach Center Publications. 1995. - Vol.32. - pp. 167-181.

21. A.A Davydov, H. Mena-Matos. Singularity theory approach to time averaged optimization//Singularities in geometry and topology, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2007.- pp.598-628.

22. J. Glombowski , M. Kruger. Generalisations of Goodwin's Growth Cycle Model // Nonlinear Models of Fluctuating Growth IR. Goodwin, M. Kruger and A.Vercelli (eds.). — Berlin: Springer, 1984. —P. 260-289.

23. J.N.Mather. Generic projections// Ann. of Math. 1973. - II. Ser.98. -pp. 226-245.

24. H. Maurer, Ch. Bliskens, G. Feichtinger. Solution techniques for periodic control problems: a case study in producting planning// Optim. Control Appl. Meth.- 1998.- Vol. 19. pp. 185-203.

25. H. Mena-Matos, C. Moreira. Generic Singularities of the Optimal Averaged Profit among Stationary Strategies//Journal of dynamical and control system. 2007. - Volume 13, Number 4. - pp. 541-562.

26. C.S. Moreira. Singularities of the stationary domain for polydynamical systems. // Control & Cybernetics. 2006. - 35:4. - pp. 881-886.

27. C.S. Moreira. Singularities of optimal averaged profit for stationary strategies.// Portugaliae Mathematica. 2006. - 63:1. - pp. 1-10.

28. M. Slade. Modeling Stochastic And Cyclical Components of Technical Change. An Application of the Kalman Filter // Journal of Econometrics. 1989. - Vol. 41. - P. 363-383