Особенности расчета распределения концентрации собственных точечных дефектов в монокристаллах кремния тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.10 ВАК РФ

На правах рукописи

□0305В850

ПУЗАНОВ Дмитрий Николаевич

ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КОНЦЕНТРАЦИИ СОБСТВЕННЫХ ТОЧЕЧНЫХ ДЕФЕКТОВ В МОНОКРИСТАЛЛАХ КРЕМНИЯ

Специальность 01.04.10 - Физика полупроводников

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2007

003056850

Работа выполнена на кафедре материаловедения полупроводников Московского Государственного Института Стали и Сплавов (технологического университета)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Бублик Владимир Тимофеевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

Простомолотов Анатолий Иванович доктор физико-математических наук, Писаревский Юрий Владимирович

Ведущая организация: Московский государственный институт

электроники и математики

Защита состоится 17 мая 2007 г. в 14-30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.132.06 при Московском Государственном Институте Стали и Сплавов по адресу: 119049, Москва, Крымский вал, д. 3, ауд.К-421.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского Государственного Института Стали и Сплавов.

Автореферат разослан « / 0 » апреля 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета ^"Ау^

Доктор физико-математических наук, профессор у/^^>-*^1ераськин В.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Кремний является наиболее важным полупроводником для микроэлектронной промышленности. Он обладает уникальным набором важных для электроники физических и химических свойств, параметры которых устойчивы во времени в широком температурном диапазоне.

Реальные кристаллы, пригодные для нужд современной микроэлектроники, не должны содержать дислокаций, являющихся источником неоднородности свойств, и эффективным стоком для точечных дефектов. Переход от выращивания дислокационных кристаллов к получению бездислокационных обусловил появление так называемых «ростовых микродефектов» (здесь и далее по тексту микродефектом считается любое нарушение периодичности кристаллической решетки в масштабах, значительно превышающих межатомные расстояния). Считается, что эти микродефекты являются продуктом агломерации собственных точечных дефектов (СТД) -собственных междоузельных атомов (/') и вакансий (у), которые образуют в бездислокационных кристаллах пересыщенные твердые растворы из-за отсутствия внутренних стоков [1]. В процессе термообработок пластин часть ростовых микродефектов растворяется, другие видоизменяются, оказывая влияние на итоговое распределение микродефектов, а, следовательно, и на свойства и характеристики электронных приборов, зачастую являясь причиной их неработоспособности. В настоящее время не существует технологических режимов, используемых в промышленных масштабах, способных гарантированно уничтожить все ростовые микродефекты - часть из них обычно остается и может вызвать деградацию свойств электронных приборов. С другой стороны выращивание кристаллов, не содержащих ростовых микродефектов, сопряжено с большими техническими трудностями, поэтому слишком дорого и не получило пока широкого распространения. Вот почему одной из важнейших задач в микроэлектронной промышленности является выращивание кристаллов

с заданным, контролируемым распределением микродефектов. Это требует разработки и освоения методов контроля процессов дефектообразования в растущих кристаллах кремния.

Для разработки методов управления качеством выращиваемых кристаллов параллельно с экспериментальными работами развиваются их обобщения в виде теоретических моделей. Первые модели образования микродефектов были предложены давно [2], однако до сих пор не существует единой общепринятой модели эволюции ростовых микродефектов, способной объяснить все известные на сегодня процессы, происходящие в растущих кристаллах кремния. Подавляющее большинство авторов поддерживает гипотезу о главенствующей роли СТД в процессах образования ростовых микродефектов, и использует в своих работах модели, построенные на принципах, сформулированных В.В. Воронковым [1]. Расчет полей СТД (распределения концентрации СТД в объеме кристалла), лежащий в основе практически всех моделей образования и роста микродефектов в кремнии, весьма сложен, и имеет свои особенности, которые не достаточно освещены в открытой литературе. Споры вызывают количественные значения параметров СТД [3]. В большинстве моделей расчета динамики СТД (изменение полей СТД во времени) постулируется, что как фронте кристаллизации (ФК), так и на границе раздела фаз твердое тело/газ, концентрация СТД всегда равна равновесной. Выбором значений равновесных концентраций г и V, создается избыток вакансий на ФК, являющийся необходимым условием модели Воронкова. Однако причина появления избытка вакансий на ФК, возможная взаимосвязь этой величины с другими параметрами СТД и с условиями выращивания кристалла остается не исследованной.

В настоящей работе не рассматривается полное решение задачи о расчете образования и роста микродефектов в кристаллах кремния, включающем решение тепловой задачи и реализацию моделей роста микродефектов [4], и делается акцент на изучение особенностей расчета динамики СТД.

Целью настоящей работы являлась разработка эффективных методов расчета динамики СТД в растущем кристалле кремния, выполнение исследований на основе разработанной программы, а также расчетное определение концентраций СТД вблизи ФК на основе предложенной модели.

Научная новизна работы:

1. Разработан эффективный метод расчета полей концентрации СТД в растущем кристалле кремния, учитывающий непрерывное изменение длины, формы ФК и температурных полей растущего кристалла.

2. Разработана модель динамики СТД с расчетным определением концентраций СТД вблизи ФК в предположении, что расплав является идеальным стоком для СТД, попарно возникающих и аннигилирующих в объеме кристалла. Найдены наборы расчетных параметров, с которыми можно выполнять расчеты пространственного распределения микродефектов (определение пространственной конфигураций областей преобладания микродефектов определенного типа) в реальных кристаллах кремния в рамках этой модели.

3. Показано, что модель, в которой учитываются диффузионные потоки СТД, обусловленные градиентом температуры (термодиффузия), является более общей и позволяет моделировать особые условия выращивания кристаллов: вытягивание с малой скоростью при наличии больших температурных градиентов и локальный нагрев. В остальных случаях можно использовать более простую модель, в которой термодиффузия не учитывается.

4. Показано, что положение «бездефектной области» (область кристалла, в которой стандартными методами микродефекгы не обнаруживаются) в кристаллах, выращиваемых в переходных режимах, не может быть определено с помощью простых соотношений, так как зависит от множества факторов, основными из которых являются:

- асимметричность условий выращивания кристалла по параметру (Ур - скорость вытягивания кристалла, Са - осевая составляющая

температурного градиента вблизи ФК) по разные стороны от области перехода через критическую скорость вытягивания, при которой происходит полная аннигиляция СТД без учета их стока на поверхность кристалла;

- величина ускорения/замедления роста кристалла;

- соотношение подвижности СТД различного типа.

Практическая ценность работы:

1. Разработана эффективная методика расчета динамики СТД, реализованная в виде расчетного кода, использующего в качестве входных данных результаты решения тепловой задачи в виде набора температурных полей растущего кристалла кремния. Методика учитывает непрерывное изменение длины, формы ФК и температурных полей растущего кристалла, и может быть использована в качестве основы для расчетных кодов, реализующих более сложные модели дефектообразования в кремнии.

2. Предложена простая модель расчета пространственного распределения ростовых микродефектов в чистых и слаболегированных кристаллах кремния. Эта модель была успешно (за исключением прогноза конфигурации областей Л-дефектов в кристаллах, подвергаемых закалке) верифицирована на примерах расчета пространственного распределения микродефектов в кристаллах кремния, выращиваемых в различных условиях: нестационарный рост, остановка вытягивания, локальный нагрев. Она также может быть использована для тестирования/уточнения температурных полей по известному пространственному распределению микродефектов.

3. Предложена оригинальная методика моделирования переходных условий выращивания кристаллов на основе обработки температурных полей, соответствующих стационарным условиям выращивания.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Методика расчета распределения концентрации СТД в растущих кристаллах кремния на основе известного набора температурных полей растущего кристалла, реализованная в виде расчетного кода.

2. Упрощенная методика расчета пространственного распределения ростовых микродефектов в кремнии, основанная на интерпретации результатов расчета полей концентрации СТД, полученных с модифицированными расчетными параметрами.

3. Модель динамики СТД с расчетным определением концентраций СТД вблизи ФК, реализованная в виде расчетного кода.

4. Методика моделирования переходных условий выращивания кристаллов на основе обработки температурных полей, соответствующих стационарньм условиям выращивания.

Апробация работы:

Результаты работы докладывались на третьей Российской школе ученых и молодых специалистов «Кремний. Школа-2005», Москва, МИСиС, 2005.

Структура и объем диссертации:

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 143 страницы; диссертация содержит 52 рисунка, 14 таблиц и список литературы из 105 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении отмечена актуальность работы, сформулирована цель работы, и дано краткое изложение содержания диссертации.

В главе 1 рассмотрены методы получения бездислокационных монокристаллов кремния, приведена классификация ростовых микродефектов, сделан обзор литературных данных о параметрах СТД. Отражены основные этапы развития представлений о природе образования микродефектов в кремнии и сделан обзор методов численного моделирования ростовых микродефектов. Из анализа опубликованных работ сделан вывод о том, что в настоящее время большинство авторов поддерживают предположение о главенствующей роли СТД в процессах образования ростовых микродефектов,

однако эта задача все еще далека от своего решения и нуждается в дальнейшей разработке.

В главе 2 рассматриваются особенности решения задачи о расчете динамики СТД в растущем кристалле кремния. Модель расчета полей СТД построена на основе принципов, сформулированных В.В. Воронковым, и принятых большинством современных исследователей, без использования аналитических выражений, определяющих тип и концентрацию СТД, остающихся в кристалле после стадии рекомбинации [1]. Для верификации модели выполняются расчеты пространственного распределения микродефектов в реальных кристаллах кремния. Предполагается, что тип ростовых микродефектов в кремнии определяется типом и концентрацией преобладающих в данной области СТД. По величине разностной концентрации СТД, остающихся в кристалле после его охлаждения: С/у= С;- Су, (где С/, Сообщая концентрация г и у), делается вывод о возможном наличии в рассматриваемой области микродефектов определенного типа.

Для расчета динамики СТД решается следующая система уравнений: ЯГ ( п 4

от

5-^ = У(Оу-ЧСу)-У\

от

ч*-Т2

г

п л-а-уг

ву

кк-т2

-к!у(т)-{сгсу-се1(т)-сеу(т))

I \(1)

СиТ) = соГехр(--^; Су(Т) = сау-ехр[-^ (2)

В,(Т) = с101.ехр[-^ Оу(Т) = ййу.ехр{-^ (3)

1с(()='\Ур(1)сИ (4)

о

Где: / - время; Т - температура; £>Л йу - коэффициент диффузии / и V; С', Су - равновесная концентрация / и V; к/у - скорость рекомбинации СТД; £/, Еу- энергия образования / и у; АЕ/, АЕу~ энергия активации миграции и у; & Qv- приведенный тепловой поток, обуславливающий термодиффузию /' и у;

к - текущая длина кристалла; Vp - скорость вытягивания кристалла; к -константа Больцмана; coh с0у, d0j, dov- константы.

Предполагается, что на поверхности кристалла, в том числе и на ФК концентрация собственных междоузельных атомов и вакансий в любой момент времени равна равновесной, поэтому в расчетах используются следующие граничные и начальные условия:

на границе раздела фаз твердое тело/газ; С™, С™ - равновесная концентрация ; и V при температуре плавления кремния Тт.

Одной из особенностей предлагаемого метода решения задачи является использование системы координат, связанной с растущим кристаллом. По этой причине в выражении (1) отсутствует слагаемое, описывающее транспорт СТД, обусловленный вытягиванием кристалла. При использовании расчетной сетки, связанной с кристаллом, транспорт СТД учитывается смещением границы ФК вдоль вертикальной оси. Это упрощение приводит к экономии машинного времени и повышению точности расчета, благодаря использованию расчетной сетки, жестко связанной с кристаллом и не изменяющейся во времени.

Другая важная особенность метода - использование специальной методики обработки результатов решения тепловой задачи (предполагается, что известен набор температурных полей в растущем кристалле (без расплава), соответствующих различным моментам выращивания). Эта методика рассмотрена в главе 2, и позволяет с помощью достаточно простых процедур определять температуру в любой точке кристалла в любой момент времени с высокой точностью. В предположении об отсутствии существенного влияния процессов дефектообразования в растущем кристалле на тепловые характеристики кремния а, следовательно, и на распределение температуры в

С™" = С] (Тт) = С"; Cyd' =Cev(Tm) = Ct Cf =С7г(Г); Csvg = С',, (Т)

V

m

(5)

(6)

растущем кристалле, разработанная методика позволяет легко разделить задачу на две составляющих - тепловой расчет, который сам по себе представляет собой очень сложную задачу [5], и моделирование ростовых микродефектов.

При решении задачи методом численного интегрирования по времени процесс диффузии и рекомбинации СТД рассматривается как непрерывный, без выделения стадии рекомбинации и определения осевых температурных градиентов вблизи ФК. При этом учитывается непрерывное изменение геометрии (длины и формы ФК) и температурных полей растущего кристалла. Расчет полей СТД выполняется сразу для всего кристалла, где в любой его точке всегда одновременно присутствуют оба типа СТД.

В главе 2 рассматриваются также и другие особенности численного решения задачи: организация расчетного алгоритма, методика построения расчетной сетки, замена конечно-разностных выражений на эквивалентные экспоненциальные для близлежащих расчетных узлов и др.

Предложенная схема расчета динамики СТД реализована в виде расчетного кода, и верифицирована на примере расчета пространственного распределения микродефектов в реальных кристаллах кремния, выращиваемых в различных условиях. В расчетах использовались два набора расчетных параметров (с учетом и без учета термодиффузии), представленных в таблице 1.

Набор расчетных параметров т -3 С, ,см т V с; £/,еВ £к,еВ АЕи еВ ДЕу, еВ Й,еВ 2г,еВ А", см^с"1 пт см^с"1 кпг

5е1 ^ 1,0-1015 1,070 5,0 5,0 1,2 и 0,0 0,0 5,0-104 3,55-10^ 00.

Бе^Т 2,3-1015 1,031 5,0 5,0 1,2 и 3,0 3,0 5,0-10^ 3,55-10^ оо

Значения выбранных параметров вероятно не оптимальны и являются пригодными только для данной модели, в которой не рассматриваются процессы зарождения и роста микродефектов, взаимодействие точечных дефектов друг с другом. В реальности связывание СТД с примесями и образование микродефектов препятствует движению СТД. Для моделирования уменьшения подвижности СТД в рамках предлагаемой модели используются

увеличенные значения энергий образования и активации миграции СТД, хотя это и в некоторой степени противоречит экспериментальным данным [3].

В таблице 2 приведены значения критических уровней разностной концентрации СТД Civ, необходимые для образования микродефектов различного типа, и используемые в качестве дополнительных расчетных параметров к имеющимся наборам Set_F и Set_FT. В таблице 2 индексы Cz, Fz определяют метод выращивания кристалла (Fz - методы пьедестала или бестигельной зонной плавки, Cz - метод Чохральского), нижний индекс -моделируемый тип микродефектов.

Таблица 2 Концентрации СТД, необходимые для образования микродефектов

Параметр CFz в с? с' С R-OSF fCz D fiCz (~<Cz °Л

Civ, см'3 -3-Ю12 з-ю'2 7-Ю12 -1,5-Ю12 -1-Ю12 -3-Ю11 310" 7-1011

Предполагается, что микродефекты А-типа (дислокационные петли внедрения размером до нескольких десятков микрометров) образуются в кремнии, если разностная концентрация СТД превышает величину СА: СА < С ¡у. Для образования микродефектов Б-типа (небольшие микродефекты - размер фигур травления составляет 2 мкм...10 мкм, присутствующие, как правило, совместно с ^-дефектами в областях с преобладанием собственных междоузельных атомов) необходимо выполнение условия Св < С ¡у < С/, образование вакансионных D(A')- микродефектов (микропоры октаэдрической формы, размером 50...200 нм, облицованные изнутри тончайшей пленкой SiO^) происходит, если С ¡у < Со- Микродефекты, образующие R-OSF кольцо (или кольцо окислительных дефектов упаковки - ОДУ), формируются в Cz-кристаллах в областях, где выполняется условие: C'R_0SF < C¡v < CrR_0SF - то есть предполагается, что данный тип микродефектов возникает вблизи «бездефектной области» при небольшом пересыщении по вакансиям.

Перед моделированием реальных кристаллов было выполнено исследование влияния расчетных параметров и условий выращивания на результаты расчета полей СТД в модельных кристаллах. Установлено, что при

к]у> 10"14, см3/с (остальные параметры соответствую набору можно

пренебрегать конечной скоростью рекомбинации СТД и считать ее бесконечной, значительно упрощая задачу. Найденное пороговое значение к¡у, значительно меньше оценок реальной скорости рекомбинации СТД, которую большинство авторов считают быстрой. Это дает основание при расчете полей СТД в растущем кристалле кремния в рамках предложенной модели и наборов расчетных параметров, считать скорость рекомбинации СТД бесконечной.

Результаты расчетов пространственного распределения ростовых микродефектов в реальных кристаллах кремния показали, что модель, в которой учитывается термодиффузия, является более универсальной и позволяет моделировать особые условия выращивания: вытягивание с малой скоростью при наличии больших температурных градиентов и локальный нагрев. Выбранные значения расчетных параметров косвенно свидетельствуют, что потоки СТД, обусловленные термодиффузией, направлены от холодных областей кристалла к горячим.

В качестве примера на рис. 1 приведены результаты моделирования экспериментов по локальному нагреву кристаллов, выращиваемых методом пьедестала. В этих экспериментах 23-мм кристалл кремния, выращенный со скоростью 0,2 мм/мин («бездефектный» рост), подвергался локальному нагреву до 1350°С и выдерживался в течение 12 мин, после чего охлаждался со скоростью около 167 К/мин. Из рис. 1 видно, что без учета термодиффузии (набор не получается воспроизвести экспериментальные результаты, так

как еще перед локальным нагревом, расчет предсказывает наличие в кристалле А- и В-дефектов, в то время как модель, учитывающая термодиффузионные потоки, дает результаты, хорошо совпадающие с экспериментом.

Для решения задачи о расчете динамики СТД в растущем кристалле кремния в рассматриваемой постановке необходимо знать температуру в любой его точке в любой момент времени. Определить температурные поля в растущем кристалле с достаточной точностью зачастую очень сложно,

а) эксперимент 6) расчет, набор в) расчет, набор 5е1_РТ

Рисунок 1 - Распределение микродефектов в объеме 23-мм монокристалла кремния, выращенного методом пьедестала а) - эксперимент; б), в) - расчет.

особенно для нестационарных режимов выращивания. В этом случае может быть полезна специальная методика моделирования переходных условий выращивания кристаллов в условиях недостатка надежных температурных данных. Предлагаемая методика позволяет на основе обработки температурных полей, соответствующих стационарным условиям выращивания, определять температуру в любой точке в любой момент времени для кристаллов, выращиваемых в переходных режимах. В основе этой методики лежит предположение о том, что при резком изменении условий выращивания переход от одного стационарного тейпового состояния системы в другое происходит по всему объему кристалла одновременно, при этом зависимость температуры от времени может быть описана одним и тем же дифференциальным уравнением для любой точки кристалла.

Пусть известен набор из к температурных полей Т рассчитанных для кристаллов с текущей длинной /с„ растущих с постоянной скоростью К/, г =1,..., к. Для каждого из температурных полей построим линейную функцию к^ относительно текущей длины кристалла по следующему алгоритму:

Кх <1с< 1с[: к,(1с)= 1с~1с^ ;

!с,-1см

1с, <1с<1см : Щ\с) = \~1с~1с1 ;

1см-1с, (8)

1с<1с1А 0*1): Щ1с) = 0,- 1см <1с(г : ЩЬ) = 0

1с < 1сх: кХх(1с)~ 1; 1ск < 1с: 1ак(1с) = 1

Тогда для поиска температуры 7} в точке] кристалла длиной 1с' может быть использована линейная интерполяция, в которой функции А*, являются

весовыми коэффициентами соответствующих температурных полей Т (г, г),:

= - (9)

/=1

Где: 7}, - температура, найденная для точки у в /-ом температурном поле по специальному алгоритму, рассмотренному в главе 2.

Для моделирования переходных процессов по известным температурным полям, соответствующим стационарным условиям роста, достаточно произвести преобразование функций Ь, с помощью выбранной передаточной функции ЩХ) (пусть = 1/(г£+1)):

= (Ю)

Где: кг, - преобразованная функция к/,; г - постоянная времени переходного процесса; 5- оператор дифференцирования (5 = 9/9/).

После решения дифференциальных уравнений первого порядка (10), температуру в любой точке кристалла, с учетом переходного процесса от одного стационарного теплового состояния системы к другому, можно

определить по новым функциям к:

¡=1

Процедура определения функций ^¡(/с), включая прямые и обратные

преобразования: ¿/,(/с)—>£?,(/) и (г)—> (/с), выполняется один раз, и поэтому практически не снижает скорость работы программы.

На рис. 2 схематично показаны функции И,{1с) и £(,-(/с) для случая, когда известны три температурных поля, соответствующие трем различным стационарным условиям выращивания кристалла с текущей длиной 1с¡, 1с2,1с3.

В главе 2 приведены примеры расчетов пространственного распределения микродефектов в реальных кристаллах кремния, выращиваемых с остановкой, показывающие хорошую работоспособность предлагаемой методики.

Предложенный здесь алгоритм моделирования переходных процессов, универсален, и, в принципе, подходит для любых систем, для которых имеются надежные данные об их стационарном состоянии, но нет надежных данных о состоянии системы при переходных процессах.

Рисунок 2 - Схема построения вспомогательных функций для моделирования переходных режимов выращивания

В главе 3 рассматривается частный случай модели расчета динамики СТД, в которой концентрационный профиль СТД вблизи ФК (на расстояниях до нескольких сотен микрометров) определяется расчетом. Расплав рассматривается как идеальный сток для СТД, попарно возникающих и

С" - С". Фактически в этой модели предлагается один из наиболее простых вариантов расчетного обоснования появления избытка вакансий вблизи ФК.

Для исследования динамики СТД в областях, близких к ФК, была разработана специальная программа, позволяющая рассчитывать профиль концентрации СТД в кристаллах кремния, в одномерной постановке. Особенность программы - сгущающаяся расчетная сетка вблизи ФК. В отличие от расчетной модели, рассмотренной в главе 2, решение выполняется в системе координат, привязанной к поверхности расплава с учетом конечной скорости рекомбинации СТД, определяемой из условия:

Где: а ¡у - радиус захвата реакции рекомбинации СТД (а/к =5,4-10"'° м), энергетический барьер реакции рекомбинации СТД.

На рис. 3 представлены результаты расчета концентрации СТД вдоль продольной оси кристалла, выращиваемого со скоростью Ур = 0,6 мм/мин в стационарном температурном поле с осевым температурным градиентом <7а = 40 К/см. Используемые расчетные параметры соответствуют набору за исключением: £>™ = 4,92-Ю"4 см2-с"', АЕ, = 0,6 еВ, АЕу = 2,0 еВ.

Из результатов, представленных на рис. 3, следует, что при малых значениях Е]у{Е]у< 1,0 еВ) в непосредственной близости от ФК формируется область с преобладанием вакансий, причем разностная концентрация СТД

вблизи ФК С!У, практически не зависит от величины Е/у. Это совпадает с результатами аналитического решения уравнений (1), при А/г-»00, из которого следует, что в рамках рассматриваемой модели концентрация СТД вблизи ФК

аннигилирующих в объеме кристалла с конечной скоростью: С"ей = С*е" = 0,

(12)

2.00Е+13 1.00Е+13 О.ООЕ+ОО

§ -1.00Е+13

- С о 1У —

-2.00Е+13 -3.00Е+13 -4.00Е+13

Е/к=1,0еВ

\ £/7=0,5 еВ ч // Егу—1,5 еВ Е„-=2,0 еВ

^ч 1 г / /

Ец/~ 2,5 еВ

\У

О 20 40 60 80

а) профиль концентрации СТД на участке 0... 100 мм от ФК

г, мм 100

б) профиль концентрации СТД на участке 0...500 мкм от ФК

Рисунок 3 - Расчетные профили разностной концентрации СТД вдоль оси кристалла (г - расстояние до ФК), выращиваемого при Ур = 0,6 мм/мин, ва = 40 К/см; (Е1У- уаг)

не зависит от условий выращивания кристалла и определяется подвижностью СТД при температуре плавления кремния:

(13)

Где С,, Су - концентрация /' и V вблизи ФК.

Это дает основание для использования в двумерных расчетах кристаллов следующих граничных условий:

Г)т Г)т

птеЬ __/""И . /->те/г _ 1/~'т /~"п /

Расчет концентрации СТД вблизи поверхности раздела фаз твердое тело/газ в аналогичной постановке затруднен и не позволяет построить простой модели для двумерных расчетов, прежде всего потому, что рассматриваемые поверхности не является изотермическими. Кроме того, на поверхности кристалла обычно имеется окисный слой, толщина которого зависит от условий выращивания. Поэтому здесь, так же как и раньше, граничные условия для поверхности раздела фаз твердое тело/газ выбираются формально, из условий простоты, неразрывности решения и наилучшего совпадения результатов расчета с экспериментом. В данном случае для двумерных расчетов были выбраны следующие граничные и начальные условия:

С? = ^(тус^тЩ- с* = ^С;(7>С;(7>|£ (15)

Окончательная модель динамики СТД в кристаллах кремния с расчетным определением концентраций СТД вблизи ФК описывается системой уравнений (1)-(4) с граничными условиями (14), (15) и начальными условиями (16), и может быть реализована путем модификации граничных и начальных условий в разработанном ранее расчетном коде - см. главу 2.

В главе 3 подробно описан алгоритм выбора расчетных параметров для этой модели, выполнен анализ погрешностей, связанных с заменой граничных

условий С™е" = С"е" = 0 на (14). Расчеты показали, что для наборов Бе(_Е_а, и Se/_F7,_a, параметры которых приведены в таблице 3, эта погрешность при расчете разностной концентрации СТД не превышает 2,3% и 1,9% соответственно, что является приемлемой величиной.

Таблица 3 Используемые наборы расчетных параметров

Набор расчешых параметров -3 С1 ,см У-1И1 V с; £/,еВ Еу, еВ ДЕ/, еВ АЕу, еВ &,еВ Оу, еВ 07, см^с1 пт ^V , см2-с"' Ет еВ

8,0-Ю15 1 5,0 5,0 0,7 1,05 0,0 0,0 5,0-Ю"4 4,98-Ю"4 1,4

1,51016 1 5,0 5,0 0,7 1,05 2,7 2,7 5,0-10^ 4,99-10"4 М

На рис. 3-13, рис. 3-14 приведены результаты расчета распределения микродефектов в объеме Сг-кристаллов кремния, диаметром 132 мм, и 80 мм, выращиваемых в переходном режиме в сравнении с экспериментом. Из рисунков видно, что модель с расчетным определением отношения концентрации СТД вблизи ФК адекватно описывает пространственное распределение ростовых микродефектов (для 80-мм кристалла исследований по выявлению Я-О^-дефектов не выполнялось). Различия между расчетом и экспериментом, возможно, объясняется неточностью расчета/замера температурных полей. Можно также заметить, что положение «бездефектной области» в значительной мере зависит от используемой расчетной модели. Анализ факторов, влияющих на прогноз положения «бездефектной области» приведен в главе 2, главе 3.

Из анализа наборов Бе1_Г_а и 5ег_/Т_а, можно заметить, что выбранные значения подвижности / и V при температуре плавления кремния близки. Исследования показывают, что в рамках модели, в которой расплав рассматривается как идеальный сток для СТД, попарно генерируемых в объеме кристалла, в принципе возможен выбор расчетных параметров, в котором

£>7 = И". Это становится возможным при низкой скорости рекомбинации СТД, что также поддерживается некоторыми авторами [6].

А-дефекты 5-дефекты

30 мм /(-дефекты. / ¿-дефекты

/

R-OSF / / \ \ R'OSF / О-дефекты / \ О-дефекты

Ось кристалла Ось кристалла

а) эксперимент (травление) 6) расчет (&Г/_в) в) расчет (5е(_ГТ_а)

Рисукок 4 - Распределение микродефектов в объеме 132-мм Сг-монокристалла кремний, полученное: а) травлением; б, в) расчетным путем

ЖИ1.

D-дефекты

0,5 0,8 Ур, мм/мин

.Л-дефекты ^ УВ-дефекты с ]0 мм

10 м м

110 —

/с, мм

-ось кристалла-

а) Vp =/(lc) б) топография в) расчет (Set F a) г) расчет (SeiFTa)

Рисунок 5 - Скорость вытягивания а) и распределение микродефектов в объеме 80-мм Cz-монокристалла кремния: б) топография, в, г) расчет

Выводы:

1. Разработан эффективный метод расчета распределения концентрации СТД в растущем кристалле кремния (на основе известного набора температурных полей), учитывающий непрерывное изменение длины, формы ФК и температурных полей растущего кристалла. По предложенной модели разработана компьютерная программа для расчета пространственного распределения микродефектов в реальных чистых и слаболегированных кристаллах кремния. С помощью этой программы были успешно выполнены расчеты пространственного распределения микродефектов для большого количества разнообразных экспериментальных данных (кристаллы, выращенные методом пьедестала и методом Чохральского; стационарные и нестационарные условия выращивания, отжиг, локальный нагрев), с использованием единой модели и единого набора расчетных параметров. Она также может быть использована для тестирования/уточнения температурных полей по известному пространственному распределению микродефектов.

2. Разработана модель расчета динамики СТД, в которой профиль концентраций СТД вблизи ФК определяется расчетным путем в предположении, что расплав является идеальным стоком для СТД, попарно возникающих и аннигилирующих в объеме кристалла. В рамках этой модели найдены наборы параметров СТД, с которыми можно выполнять расчеты пространственного распределения микродефектов в реальных кристаллах кремния. Из результатов следует, что отношение концентраций СТД, устанавливающееся вблизи ФК, зависит от соотношения подвижности вакансий и собственных междоузельных атомов при температуре плавления кремния, а при замедленной рекомбинации СТД может также зависеть и от условий выращивания кристалла.

3. Предложена методика моделирования переходных условий выращивания кристаллов на основе обработки температурных полей, соответствующих стационарным условиям выращивания. Приведены примеры

расчетов по одному из вариантов реализации данной методики, показывающие ее работоспособность.

4. Сравнительный анализ показал, что модель, в которой учитывается термодиффузия, является более общей и позволяет выполнять расчет особых условий выращивания кристаллов: выращивание с малой скоростью при наличии больших температурных градиентов и локальный нагрев. В остальных случаях может применяться более простая модель, в которой термодиффузия не учитывается. При построении модели предполагалось, что потоки СТД, обусловленные термодиффузией, направлены от холодных областей кристалла к горячим.

5. Показано, что положение «бездефектной области» в кристаллах, выращиваемых в переходных режимах, зависит от множества факторов, и не может бьггь определено с помощью простых соотношений.

Список цитируемых источников:

1 V.V. Voronkov. Journal of Crystal Growth 59, 1982 (625)

2 A.J.R. de Kock. Philips Research Reports Supplement, 1973 №1 (1-105)

3 V.V. Voronkov and R. Falster Solid State Phenomena Vol. 108-109, 2005

(1-10)

4 А.И. Простомолотов, H.A. Верезуб, B.B. Воронков Материалы электронной техники, № 2,2005 г (48-53)

5 H.A. Верезуб, А.И. Простомолотов Материалы электронной техники, № 3, 2000 г (28-34)

6 ТаланинВ.И., ТаланинИ.Е. 6-я Международная конференция. Рост монокристаллов и тепломассоперенос, Обнинск, Россия, том 2, 2005 г (371-382)

Основные результаты опубликованы:

1 Nikolai I. Puzanov, Anna М. Eidenzon, Dmitry N. Puzanov. Journal of Crystal Growth 178,1997 (468-478).

2 Nikolai I. Puzanov, Anna M. Eidenzon, Dmitry N. Puzanov, Jun Furukawa, Kazuhiro Harada, Naoki Ono and Yasushi Shimanuki. Jpn. J. Appl. Phys. Vol. 41, 2002 (464-471) Part 1, No. 2A, February 2002.

3 Д.Н. Пузанов. Тезисы лекций и докладов третьей Российской школе ученых и молодых специалистов «Кремний. Школа-2005», Москва, МИСиС, 2005 (167)

4 Д.Н. Пузанов. Научно-технический журнал «Системы управления и информационные технологии» №4.1(26), 2006 (186-189)

Отпечатано ФГУП ОКБ "Гидропресс" 28.03,2007. 100 экз. 142103, Московская обл., г. Подольск, ул. Орджоникидзе, 21

Введение.

Глава 1 Обзор экспериментальных и теоретических работ по исследованию ростовых дефектов в кремнии.

1.1 Методы получения бездислокационных монокристаллов кремния.

1.2 Классификация ростовых микродефектов в кремнии.

1.3 Собственные точечные дефекты в кремнии.

1.4 Развитие представлений о природе образования микродефектов в кремнии.

1.5 Обзор методов численного моделирования образования микродефектов в кремнии.

1.6 Выводы к главе 1.

Глава 2 Модель расчета динамики собственных точечных дефектов в монокристаллах кремния.

2.1 Модель.

2.2 Методика обработки результатов решения тепловой задачи.

2.3 Особенности численного решения задачи.

2.4 Результаты расчетов.

2.4.1 Влияние условий роста кристалла и модельных параметров на результаты расчета.

2.4.2 Расчет пространственного распределения микродефектов в монокристаллах кремния, выращиваемых методом Чохральского.

2.4.3 Расчет пространственного распределения микродефектов в монокристаллах кремния, выращиваемых методом пьедестала.

2.5 Методика моделирования переходных условий выращивания кристаллов.

2.6 Выводы к главе 2.

Глава 3 Модель с расчетным определением концентрации собственных точечных дефектов вблизи фронта кристаллизации.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Верификация вычислительного алгоритма на примере расчета полей концентрации собственных точечных дефектов.

3.3 Выбор расчетных параметров.

3.4 Расчет пространственного распределения микродефектов в реальных кристаллах.

3.5 Модель с одинаковой подвижностью собственных междоузельных атомов и вакансий при температуре плавления кремния.

3.6 Выводы к главе 3.

Кремний является наиболее важным полупроводником для микроэлектронной промышленности. Кремний обладает уникальным набором важных для электроники физических и химических свойств, параметры которых устойчивы во времени в широком температурном диапазоне, благодаря чему он занимает лидирующее положение в полупроводниковой электронике /1/.

Для производства электронных приборов сначала выращивают монокристаллы кремния, которые затем режутся на пластины. Для получения кристаллов кремния используются различные методы, рассмотренные в главе 1, однако наиболее распространенным среди них в последнее время является метод Чохральского /2,3/. Это обусловлено его технологичностью, а также наличием растворенного кислорода в кристаллах, получаемых данным методом. Этот кислород, выпадая из твердого раствора в процессе приборных термообработок, используется для создания так называемого "внутреннего геттера", без которого практически невозможно получить приборы с большой степенью интеграции /4,5/.

Реальные кристаллы, пригодные для нужд современной микроэлектроники, не должны содержать дислокаций, являющихся эффективным стоком для точечных дефектов. Переход от выращивания дислокационных кристаллов к получению бездислокационных обусловил появление так называемых "ростовых микродефектов". Считается, что эти микродефекты являются продуктом агломерации собственных точечных дефектов (СТД) - вакансий (v) и собственных междоузельных атомов (/), которые образуют в бездислокационных кристаллах пересыщенные твердые растворы из-за отсутствия внутренних стоков. В настоящей работе рассматриваются только макроскопически бездислокационные монокристаллы кремния, поэтому далее для простоты вместо слов "бездислокационный монокристалл" используется слово "кристалл". При этом микродефектом считается любое нарушение периодичности кристаллической решетки кремния в масштабах, значительно превышающих межатомные расстояния (от сотых долей до нескольких десятков микрометров).

В процессе термообработок пластин часть ростовых микродефектов растворяется, другие видоизменяются, оказывая влияние на процессы преципитации кислорода и итоговое распределение микродефектов, а, следовательно, и на свойства и характеристики электронных приборов, зачастую являясь причиной их неработоспособности /6,5/. В настоящее время не существует технологических режимов, используемых в промышленных масштабах, способных гарантированно уничтожить все ростовые микродефекты - часть из них обычно остается и вызывает деградацию свойств электронных приборов. С другой стороны выращивание кристаллов, не содержащих ростовых микродефектов, сопряжено с большими техническими трудностями /7-9/, поэтому слишком дорого и не получило пока широкого распространения. Вот почему одной из важнейших задач в микроэлектронной промышленности является выращивание кристаллов с заданным, контролируемым распределением микродефектов. Это требует разработки и освоения методов контроля процессов дефектообразования в растущих кристаллах кремния.

Для разработки методов управления качеством выращиваемых кристаллов параллельно с экспериментальными работами развиваются их обобщения в виде теоретических моделей, кратко рассмотренные в главе 1. Из множества моделей образования ростовых микродефектов различного типа, в которых в качестве основных причин рассматривались: агломерация примесей /10/, захват капелек расплава на фронте кристаллизации (ФК) /11/, распад раствора СТД /12/, наибольшее развитие получили модели, в которых образование микродефектов рассматривалось как последующая стадия распада пересыщенного раствора СТД. Из этих моделей наибольшее признание и распространение получила модель, предложенная В.В. Воронковым /12/, в которой впервые было дано простое и непротиворечивое теоретическое обоснование зависимости типа формирующихся в кристалле микродефектов от условий выращивания кристалла, объясняющее большую часть имеющихся экспериментальных фактов. В своей работе В.В. Воронков также вывел основные соотношения, позволяющие определить тип и концентрацию СТД (а, следовательно, тип и некоторые параметры микродефектов), остающихся в кристалле, зная параметры СТД и условия выращивания. Аналитические соотношения, полученные В.В. Воронковым, до сих пор используются при моделировании процессов образования микродефектов в кремнии /13-19/. Тем не менее, нынешнее развитие расчетных методов, прикладных программ (в частности, предназначенных для расчета температурных полей в растущем кристалле), и компьютерной техники дает возможность выполнять расчеты полей СТД (распределения концентрации СТД в объеме кристалла) в более общей постановке. Именно такие расчетные модели получили широкое распространение в последнее время.

Несмотря на то, что подавляющее большинство исследователей для расчета динамики СТД (здесь и далее под динамикой СТД рассматривается изменение полей СТД во времени) в растущем кристалле кремния использует, по сути, одни и те же уравнения, в настоящее время наблюдается большой разброс в используемых параметрах СТД, нет работ по успешному численному моделированию процессов образования ростовых микродефектов для широкого спектра условий выращивания кристаллов, выполненных с использованием одной модели и единого набора расчетных параметров. В частности, большая неопределенность касается выбора величины отношения концентраций (/) и (v) вблизи ФК. До сих пор не выполнено детального исследования причины появления избытка вакансий на ФК, не исследована возможная взаимосвязь этой величины с другими параметрами СТД, и не доказано ее постоянство для различных условий выращивания кристалла. Остается открытым вопрос о расстоянии, на котором устанавливается равновесное соотношение между концентрацией (/) и (v). Эти факты говорят о том, что задача численного моделирования образования и эволюции ростовых микродефектов в кремнии по-прежнему далека от своего окончательного решения. Возможно, это связано также и с трудностями, возникающими при численной реализации используемых моделей, обсуждение которых обычно игнорируется.

В настоящей работе не рассматривается полное решение задачи о расчете образования и роста микродефектов в кристаллах кремния, включающем решение тепловой задачи и реализацию различных моделей роста микродефектов /20-27/, а делается акцент на изучение особенностей расчета динамики СТД.

Целью работы является разработка эффективных методов расчета динамики СТД в растущем кристалле кремния реализованных в виде расчетного кода, выполнение исследований на основе разработанной программы, а также расчетное определение концентраций СТД вблизи ФК на основе предложенной модели.

Научная новизна работы состоит в:

1 разработке эффективных методов расчета полей СТД в растущем кристалле кремния с использованием системы координат, привязанной к кристаллу, и специальной методики обработки результатов решения тепловой задачи;

2 разработке модели расчета динамики СТД, в которой концентрации СТД вблизи ФК определяются расчетным путем;

3 исследовании влияния термодиффузии (диффузионных потоков, обусловленных градиентом температуры) на результаты расчетов пространственного распределения микродефектов (определение конфигурации областей преобладания микродефектов заданного типа) в кристаллах кремния;

4 определении факторов, влияющих на положение "бездефектной" области (область кристалла, в которой стандартными методами микродефекты не обнаруживаются) в кристаллах, выращиваемых в переходных режимах.

Практическая ценность работы состоит в:

1 разработке эффективной методики расчета динамики СТД, реализованной в виде расчетного кода, которая может быть использована в качестве основы для более сложных моделей дефектообразования в кремнии;

2 разработке простой модели расчета пространственного распределения ростовых микродефектов в кремнии, которая также может использоваться для тестирования/уточнения температурных полей растущего кристалла по известному пространственному распределению микродефектов;

3 разработке оригинальной методики моделирования переходных условий выращивания кристаллов на основе обработки температурных полей, соответствующих стационарным условиям выращивания.

В главе 2 настоящей работы предлагается один из вариантов численной реализации модели расчета динамики СТД в растущих кристаллах кремния, рассматриваются его особенности и приводятся примеры расчета пространственного распределения микродефектов в реальных кристаллах кремния, выращиваемых различными методами в сравнении с экспериментом. Модель включает в себя оригинальную методику обработки результатов решения тепловой задачи, в которой учитывается непрерывное изменение длины, формы ФК и температурных полей растущего кристалла. В работе впервые выполняется расчет пространственного распределения ростовых микродефектов в реальных кристаллах, выращиваемых в самых различных условиях, включая уникальные эксперименты, выполненные Roksnoer-ом /28-30/, с использованием одной модели и набора расчетных параметров. По предложенной расчетной схеме выполняется исследование влияния термодиффузии на результаты расчетов пространственного распределения микродефектов, изучается зависимость положения зоны, разделяющей микродефекты различного типа, от условий выращивания кристалла. Рассматривается оригинальная методика расчета нестационарных условий выращивания кристалла в условиях недостатка надежных температурных данных.

В главе 3 рассматривается частный случай разработанной модели расчета динамики СТД в растущих кристаллах кремния, в котором концентрационный профиль СТД вблизи ФК (на расстояниях до нескольких сотен микрометров) определяется расчетом. Здесь расплав рассматривается как идеальный сток для СТД, попарно возникающих и аннигилирующих в объеме кристалла с конечной скоростью: Стеи Стл = д ^ Qm = Q™ ? где с^', С™1' - концентрация (i) и (v) на ФК (используется как граничное условие), С", С* - равновесная концентрация (/) и (v) при температуре плавления кремния Тт. Фактически представленная в главе 3 модель может рассматриваться как частный случай модели Воронкова, в которой предлагается один из вариантов расчетного обоснования появления избытка вакансий вблизи ФК на основе простых гипотез. Показано, что в рамках этой модели возможен выбор таких сочетаний параметров СТД, с которыми удается с достаточной точностью описывать пространственное распределение микродефектов в реальных кристаллах кремния. С другой стороны становится очевидным, что выбор одного из ключевых параметров моделей, предназначенных для расчета динамки СТД в растущих кристаллах кремния -отношения концентраций СТД, устанавливающееся вблизи ФК, может зависеть от других параметров СТД (в данном случае от подвижности (/) и (v) при Тт), и поэтому должен быть согласован с ними в рамках принимаемых гипотез. При этом необходимо выполнять исследования условий выращивания кристаллов, при которых эту величину можно считать постоянной, а расстояние до расплава, на котором устанавливается это отношение малым. В главе 3 показывается также принципиальная возможность создания расчетной модели, в которой расплав является стоком для СТД, имеющих одинаковую подвижность при температуре плавления кремния и медленную скорость рекомбинации. Не смотря на то, что в последнем случае, мы полностью отходим от принципов, предложенных В.В. Воронковым и принятых большинством современных авторов, результаты численного моделирования, полученные в одномерной постановке, выглядят логичными.

Рассматриваемые в настоящей работе модели расчета динамики СТД позволяют выполнять расчеты пространственного распределения микродефектов для широкого диапазона условий выращивания чистых и слаболегированных кристаллов кремния с высокой точностью. Эти модели, а также методы их численной реализации, являются очень эффективными с точки зрения экономии машинного времени, и могут быть использованы для оптимизации технологических режимов выращивания кристаллов, а также в качестве основы для создания более сложных расчетных схем, предназначенных для моделирования процессов дефектообразования в растущих кристаллах кремния.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю - Бублику Владимиру Тимофеевичу, а также Пузанову Николаю Ивановичу за ряд ценных замечаний и помощь в организации и оформлении работы.

3.6 Выводы к главе 3

В главе 3 предложена модель расчета динамики СТД в растущих кристаллах кремния, в которой предполагается, что расплав является идеальным стоком для СТД, попарно возникающих и аннигилирующих в объеме кристалла. В рамках этой модели найдены два набора расчетных параметров - SetFa и SetFTa (с учетом и без учета термодиффузии), с которыми можно выполнять расчеты пространственного распределения микродефектов в реальных кристаллах кремния. С помощью специальной программы, предназначенной для выполнения точных расчетов динамики СТД в одномерной постановке, показано, что вблизи поверхности, являющейся идеальным стоком для СТД, согласно предложенной модели, образуется область с преобладанием наименее подвижного типа СТД. Причем отношение концентраций (/) и (v) вблизи такой поверхности при быстрых процессах рекомбинации СТД, практически не зависит от условий выращивания и определяется соотношением их подвижности. Расчет концентрации СТД вблизи ФК на основании принятых допущений является основным отличием от модели, рассматриваемой в главе 2, в которой эти концентрации выбирались исходя из наилучшего совпадения результатов расчета и эксперимента. С помощью вариантных расчетов показано, что фактически рассматриваемую здесь модель можно свести к предыдущей (см. главу 2) при определенных ограничениях на используемые граничные условия и расчетные параметры. Поэтому представленную здесь модель расчета динамики СТД можно рассматривать как частный случай общей модели Воронкова, в котором предлагается один из наиболее простых вариантов расчетного обоснования появления избытка вакансий вблизи ФК. С другой стороны, исследования, выполненные в рамках представленной модели, показали, что выбор одного из ключевых параметров - отношения концентрации вакансий и собственных междоузельных атомов, формирующееся вблизи ФК, может зависеть от других параметров СТД (в представленной модели от соотношения подвижности собственных междоузельных атомов и вакансий вблизи ФК), и поэтому должен быть согласован с ними в рамках принимаемых гипотез. При этом необходимо выполнять исследования условий выращивания кристаллов, при которых эту величину можно считать постоянной, а расстояние до расплава, на котором устанавливается это отношение малым.

При включении в модель термодиффузии, для улучшения результатов, коэффициенты термодиффузии были выбраны такими, чтобы ослабить поток СТД вблизи ФК - т.е. поток СТД, вызываемый термодиффузией, направлен из холодных областей кристалла в горячие. Это совпадает с результатами, полученными в главе 2, и совпадает с выводами, сделанными в работе 111.

В настоящей работе показана принципиальная возможность создания модели расчета динамики СТД в растущих кристаллах с одинаковой подвижностью (/) и (v) при температуре плавления кремния и низкой скоростью рекомбинации СТД. Работоспособность модели продемонстрирована с помощью вариантных расчетов, выполненных в одномерной постановке.

Из сравнения результатов, полученных по разным моделям, показано, что расчетное положение "бездефектной" области в кристаллах, выращиваемых в переходных режимах, зависит не только от условий выращивания, но и от особенностей используемой модели, что подтверждает вывод, сделанный в главе 2. Как модель, рассмотренная в главе 2, так и ее частный случай, рассмотренный в главе 3 (с другим набором расчетных параметров) подходят для расчета пространственного распределения микродефектов в кристаллах кремния, однако им соответствуют разные значения В настоящей главе было также показано, что даже для кристаллов большого диаметра (400 мм) процессы, происходящие на границе раздела фаз твердое тело/газ, могут оказывать значительное влияние на распределение микродефектов по всему объему кристалла. Эти факты указывают на вероятные затруднения при попытках точного определения критического параметра § (экспериментальным, либо расчетно-экспериментальным методом), и объясняют широкий разброс значений получаемых разными авторами при интерпретации экспериментальных результатов с использованием разных расчетных моделей. Для точного определения параметра <§ кроме специальных и надежных экспериментальных данных, необходимо прийти к единой, полностью обоснованной расчетной модели, принятой большинством авторов, а также использовать единый набор расчетных параметров.

Для выбранной модели и наборов расчетных параметров, так же как и для модели, рассмотренной в главе 2, показано, что при выполнении расчетов полей концентрации СТД в растущих кристаллах кремния можно пренебрегать конечной скоростью рекомбинации СТД, считая ее бесконечной, тем самым значительно упрощая задачу.

Заключение

1. Разработан эффективный метод расчета распределения концентрации СТД в растущем кристалле кремния (на основе известного набора температурных полей), с использованием системы координат, привязанной к кристаллу и специальной методики обработки результатов решения тепловой задачи. Модель учитывает непрерывное изменение длины, формы ФК и температурных полей растущего кристалла. По предложенной модели разработана компьютерная программа для расчета пространственного распределения (определение пространственной конфигурации областей преобладания микродефектов определенного типа) микродефектов в реальных кристаллах кремния. С помощью этой программы были успешно выполнены расчеты пространственного распределения микродефектов для большого количества разнообразных экспериментальных данных (кристаллы, выращенные методом пьедестала и методом Чохральского; стационарные и нестационарные условия выращивания, остановка вытягивания, отрыв кристаллов от расплава с последующей закалкой, локальный посткристаллизационный нагрев уже охлажденных кристаллов), с использованием единой модели и единого набора расчетных параметров.

2. Разработана модель расчета динамики СТД, в которой профиль концентраций. СТД вблизи ФК определяется расчетным путем в предположении, что расплав является идеальным стоком для СТД, попарно возникающих и аннигилирующих в объеме кристалла. Эту модель можно рассматривать как частный случай модели Воронкова, в котором предлагается один из вариантов расчетного обоснования появления избытка вакансий вблизи ФК. В рамках этой модели найдены наборы параметров СТД, с которыми можно выполнять расчеты пространственного распределения микродефектов в реальных кристаллах кремния. Показано, что выбор одного из ключевых параметров - отношения концентрации вакансий и собственных междоузельных атомов, устанавливающееся вблизи ФК, может зависеть от других параметров СТД (в представленной модели от соотношения подвижности собственных междоузельных атомов и вакансий вблизи ФК) и поэтому должен быть согласован с ними в рамках принимаемых гипотез. Показана принципиальная возможность создания модели расчета динамики СТД в растущих кристаллах с одинаковой подвижностью собственных междоузельных атомов и вакансий при температуре плавления кремния и низкой скоростью рекомбинации СТД.

3. Предложена методика моделирования переходных условий выращивания кристаллов на основе обработки температурных полей, соответствующих стационарным условиям выращивания. Приведены примеры расчетов по одному из вариантов реализации данной методики, показывающие ее работоспособность.

4. Сравнительный анализ показал, что модель, в которой учитывается термодиффузия, является более общей и позволяет выполнять расчет особых условий выращивания кристаллов: выращивание с малой скоростью при наличии больших температурных градиентов и локальный нагрев. В остальных случаях может применяться более простая модель, в которой термодиффузия не учитывается. При построении модели предполагалось, что потоки СТД, обусловленные термодиффузией, направлены от холодных областей кристалла к горячим.

5. Показано, что положение "бездефектной" области в кристаллах, выращиваемых в переходных режимах, зависит от множества факторов, основными из которых являются:

- асимметричность условий выращивания кристалла по параметру £ = V/Ga (Vp -скорость вытягивания кристалла, Ga - осевая составляющая температурного градиента вблизи ФК) по разные стороны от области перехода через критическую скорость вытягивания, при которой происходит полная аннигиляция СТД без учета их стока на поверхность кристалла;

- величина ускорения/замедления роста кристалла;

- соотношение подвижности СТД различного типа.

Эти обстоятельства указывают на большие трудности при попытках описать положение бездефектной области с помощью простых соотношений.

6. Для нескольких различных моделей и наборов расчетных параметров, показано, что при расчете полей концентрации СТД в растущих кристаллах кремния можно пренебрегать конечной скоростью рекомбинации СТД, считая ее бесконечной, тем самым значительно упрощая задачу.

7. Рассмотренные в настоящей работе модели вместе с наборами расчетных параметров, позволяют оперативно и достаточно точно рассчитывать пространственное распределение микродефектов в кристаллах кремния, выращиваемых в самых различных условиях. Учитывая высокую надежность и чувствительность этих моделей к используемым температурным полям, можно утверждать, что они также могут применяться для тестирования/уточнения температурных полей по известному пространственному распределению микродефектов.

8. Представленные в настоящей работе модели могут быть использованы в качестве основы для расчетных кодов, реализующих более сложные модели дефектообразования в кремнии.

Условные обозначения t - время dt - расчетный шаг по времени

Т - температура

Тт - температура плавления кремния

Vp - скорость вытягивания кристалла

V - скорость роста (кристаллизации) кристалла

Ga - величина осевой составляющей температурного градиента вблизи фронта кристаллизации dl - размер расчетной ячейки

1с - текущая длина кристалла ас - условная точность расчета к - константа Больцмана kiv - скорость рекомбинации собственных точечных дефектов ajy - радиус захвата реакции рекомбинации собственных точечных дефектов k"v - скорость рекомбинации собственных точечных дефектов при температуре плавления кремния

С/, Су - концентрация собственных междоузельных атомов и вакансий

С], Су - равновесная концентрация собственных междоузельных атомов и вакансий

CJ, С" - равновесная концентрация собственных междоузельных атомов и вакансий при температуре плавления кремния

C"d', Суе" - концентрация собственных междоузельных атомов и вакансий на фронте кристаллизации (используется как граничное условие)

Сь/, Cyg - концентрация собственных междоузельных атомов и вакансий на границе

раздела фаз твердое тело/газ (используется как граничное условие) Е[, Еу - энергия образования собственных междоузельных атомов и вакансий

Eiv ~ энергетический барьер реакции рекомбинации собственных точечных дефектов

Дг, Dy - коэффициент диффузии собственных междоузельных атомов и вакансий

D™, D" - коэффициент диффузии собственных междоузельных атомов и вакансий при температуре плавления кремния

AEi, АЕу - энергия активации миграции собственных междоузельных атомов и вакансий

Qi, Qy - приведенный тепловой поток, обуславливающий термодиффузию собственных междоузельных атомов и вакансий;

- отношение скорости роста кристалла к величине осевой составляющей температурного градиента вблизи ФК: V/Ga

- критическое отношение скорости роста кристалла к величине осевой составляющей температурного градиента вблизи ФК, соответствующее условиям "бездефектного" стационарного роста в отсутствие влияния процессов, происходящих на границе раздела фаз твердое тело/газ

1. С.С. Горелик, М.Я. Дашевский Материаловедение полупроводников и диэлектриков Москва, МИСИС, 2003

2. A.J.R. de Kock Microdefects in dislocation-free silicon crystals Philips Research Reports Supplement, 1973 №1 (1-105)

3. A.J.R. de Kock Crystal growth of bulk crystals: purification, doping and defects Handbook on Semiconductors, Vol 3,1980 (247-333)

4. Tan T.G., Gardner E.E., Tice W.K. Appl. Phys. Lett. 1977 V. 30 P. 175

5. A.J.R. de Kock, P.J. Severin, and P.J. Roksnoer On the relation between growth striations and resistivity variations in silicon crystals phys. Stat. Sol. (a) 22,1974 (163-166)

6. Воронков B.B. Образование ростовых микродефектов в бездислокационном кремнии Silicon'90 Proceedings of the International Conference 5th-9th November, 1990 Vol. 2 (1-10)

7. A.M. Eidenzon and N.I. Puzanov Defect-free silicon crystals grown by the Czochralsky technique Inorganic materials, Vol. 33, No. 3,1997 (219-225)

8. Falster at al. Low defect density vacancy dominated silicon United States Patent №5919302, July 6,1999

9. Неймарк K.H., Шейхет Э.Г., Литвинова И.Ю., Фалькевич Э.С. Влияние условий выращивания на характер распределения микродефектов в бездислокационных монокристаллах Неорганические материалы, том 15, № 2,1979 (184-187)

10. Jun Chikawa and Shozo Shirai Melting of silicon crystals and a possible origin of swirl defects Journal of Crystal Growth 39,1977 (328-340)

11. V.V. Voronkov The mechanism of swirl defect formation in silicon Journal of Crystal Growth 59,1982 (625)

12. Kozo Nakamura, Toshiaki Saishoji, Sinji Togawa, Junsuke Tomioka Influence of Nitrogen on the point defect reaction in silicon crystal Proceedings of the forum on the science and technology of Si materials, 2001 (109-137)

13. Kozo Nakamura, Toshiaki Saishoji, Sinji Togawa, Junsuke Tomioka The effect of nitrogen on the grown-in defect formation in Cz silicon crystals Proceedings of the Kazusa

14. Akademia Park Forum on the science and technology of silicon materials'99, November 24-26, 1999,(116-139)

15. Kozo Nakamura, Toshiaki Saishoji and Junsuke Tomioka Diffusion coefficient and equilibrium concentration of point defects in silicon crystals estimated via grown-in defect behavior Solid State Phenomena Vols 82-84,2002 (25-33)

16. Kozo Nakamura, Toshiaki Saishoji and Junsuke Tomioka Simulation of the point defect diffusion and growth condition for defect free Cz silicon crystal Electrochemical Society proceedings Volume 2002-2 (554-566)

17. Masanori Akatsuka, Masahiko Okui, Shigero Umeno, and Koji Sueoka Calculation of size distribution of void defect in Czochralski silicon Electrochemical Society proceedings Volume 2002-2 (517-527)

18. Koji Sueoka, Masanori Akatsuka, Masahiko Okui, and Hisashi Katahama Computer simulation for morphology, size and density of oxyde precipitates in Czochralski silicon Electrochemical Society proceedings Volume 2002-2 (540-553)

19. Н.А.Верезуб, М.Г.Мильвидский, И.В.Панфилов, А.И.Простомолотов Расчет термонапряженного состояния и взаимодействия собственных точечных дефектов в бездислокационных монокристаллах кремния Материалы электронной техники, №2, 2001 г(52-57)

20. Н.А.Верезуб, М.Г.Мильвидский, А.И.Простомолотов Параметрический анализ формирования вакансионных микродефектов в монокристаллах кремния Материалы электронной техники, № 2,2004 г (29-34)

21. А.И.Простомолотов, Н.А.Верезуб, В.В.Воронков Моделирование образования ростовых микродефектов в бездислокационных монокристаллах кремния большого диаметра Материалы электронной техники, № 2,2005 г (48-53)

22. Н.А.Верезуб, М.Г.Мильвидский, А.И.Простомолотов Теплоперенос в установках выращивания монокристаллов кремния методом Чохральского Материаловедение, № 3,2004 г (2-5)

23. Roksnoer P.J., Bartels W.J. and C.W.T Bulle Effect of low cooling rate on swirls andstriations in dislocation-free silicon crystals J. Crystal Growth 35,1976 (245-248)

24. Roksnoer P.J. and M.M.B. Van Den Boom Microdefects in a non-striated distribution in floating-zone silicon crystals J. Crystal Growth 53,1981 (563-573)

25. Roksnoer P.J. The mechnism of formation of microdefects in silicon J. Crystal Growth 68,1984 (596-612)

26. A.M. Eidenzon and N.LPuzanov Classification of grown-in microdefects in Czochralski-grown silicon crystals Inorganic Materials, Vol 31, No. 4,1995 (401-409)

27. Milind S. Kulkarni, Joseph C. Holzer, Lee W. Ferry The agglomeration dynamics of selfinterstitials in growing CzochralsJd silicon crystals Journal of Crystal Growth 284, 2005 (353-368)

28. Ch.Schnittler, G.Teichmann, W.Kaufmann and H.Schneider A thermodynamic model for the formation and growth of B-microdefects in silicon Phys. Stat sol. (a) 69, 1982 (227-236)

29. H.Foll, U.Gosele, and B.O. Kolbesen The formation of swirl defects in silicon by agglomeration of selfinterstitials J. Crystal growth 40,1977 (90-108)

30. Эйдензон A.M., Пузанов Н.И. Влияние скорости выращивания на свирл-дефекты в крупногабаритных бездислокационных кристаллах кремния, полученных методом Чохральского Кристаллография, том 30, выл 5,1985 (992-998)

31. Hideshi Nishikawa, Tadami Tanaka, Yoshio Yanase, Masataka Hourai Masakazu Sano and Hideki Tsuya Formation of grown-in defects during Czochralski silicon crystal growth Jpn. J. Appl. Phys. Vol 36,1997 (6595-6600)

32. M.Kato, T.Yoshida, Y.Ikeda and T.Kitagawara Jpn.J.Appl.Phys. 35,1996 p.3193

33. M.Nishimura, Y.Yamagushi, K.Nakamura, J.Jablonski and M.Watanabe The Role of Oxygen Impurities in the Formation of Grown-in Laser Scattering Tomography Defects in Si Single Crystals Electrochem.Soc. Proc. 13,1998 (188-199)

34. Nicolai I. Puzanov and Anna M. Eidenzon Formation of the bands of anomalous oxygen precipitation in Czochralski-grown Si crystals Journal of Crystal Growth, 137, 1994 (642-652)

35. N.I. Puzanov and A.M. Eidenzon Vacancy-related mircodefects responsible for the formation of oxidation-induced stacking faults with ring-shaped distribution (R-OSFs) in Czochralski-grown Si Semicond. Sci. Technol. 12,1997 (991-997)

36. Н.И. Пузанов, A.M. Эйдензон Роль вакансий в формировании зародышей кольца окислительных дефектов упаковки при росте кристаллов кремния из расплава Неорганические материалы, том 34, № 4,1998 (391-399)

37. Talid Sinno and Robert A. Brown Modeling microdefect formation in Czochralski silicon Journal of the Electrochemical Society, 146 (6), 1999 (2300-2312)

38. Robert A. Brown, Zhihong Wang, Tatsuo Mori Engineering analysis of microdefect formation during silicon crystal growth Journal of Crystal Growth 225,2001 (97-109)

39. Эйдензон A.M., Пузанов Н.И., Левшин E.C. Специфические микродефекты в бездислокационном кремнии, легированном фосфором Кристаллография, Том 33, Вып. 4, 1988 (950-956)

40. Пузанов Н.И., Эйдензон A.M. Влияние условий роста монокристаллов кремния на осаждение кислорода при высокотемпературных обработках Silicon'90 Proceedings of the International Conference 5Ш-9Л November, 1990 Vol. 2 (38-40)

41. Пузанов Н.И., Эйдензон A.M. Влияние условий роста монокристаллов кремния на преципитацию кислорода при высокотемпературных обработках Кристаллография, Том 37, вып. 5,1992 (1244-1253)

42. N.I. Puzanov and A.M. Eidenzon The effect of thermal history during crystal growth on oxygen precipitation in Czochralsky-grown silicon Semicond. Sci. Technol. 7, 1992 (406-413)

43. Н.И. Пузанов, A.M. Эйдензон Роль собственных точечных дефектов в образовании центров преципитации кислорода в бездислокационном кремнии Кристаллография, том 41 № 1,1996 (143-151)

44. A.M. Эйдензон, Н.И. Пузанов Микродефекты в бездислокационных монокристаллах кремния "Цветные металлы", №3, 1984(64-67)

45. М.Г.Мильвидский, В.Б.Освенский Структурные дефекты в монокристаллах полупроводников Москва, "Металлургия", 1984

46. Sebania Libertino and Salvatore Coffa Room temperature point defect migration in crystalline silicon Solid State Phenomena Vols 82-84,2002 (207-212)

47. Пузанов Н.И., Эйдензон A.M., Роговой В.И. Влияние условий выращивания на формирование микродефектов в бездислокационном кремнии Кристаллография, Том 34, вып. 2,1989(461-469)

48. G.Borionetti, D.Gambaro, V.V.Voronkov Grown-in microdefect distribution in doped silicon crystals Electrochemical Society proceedings Volume 2002-2 (505-516)

49. Wijaranakula J. Electrochem. Soc., 140,1993 (3306)

50. R.A. Brown, D. Maroudas, T.Sinno Modelling point defect dynamics in the crystal growth of silicon Journal of Crystal Growth, 137,1994 (12-25)

51. R.Habu and A.Tomiura Jpn. J. Appl. Phys. 35,1996 (1)

52. W.A.Tiller, M.Friedman, R.Shaw, N.Cuendet, T.Halicioglu J. Cryst. Growth, 186, 1998(113)

53. R. Falster, V.V. Voronkov, and F. Quast On the properties of the intrinsic point defects in silicon: a perspective from crystal growth and wafer processing Phys. stat. Sol. (b) 222,2000 (219-244)

54. V.V. Voronkov and R.Falster Intrinsic point defects and impurities in silicon crystal growth Journal Electrochemical Society, 149 (3), 2002 (G167-G174)

55. Manish Prasad and Talid R. Sinno Internally consistent approach for modeling solid-state aggregation: Atomistic calculations of vacancy clustering in silicon Physical review B, Volume 68, Number 4,2003 (1-12)

56. Milind S. Kulkarni, Vladimir Voronkov, and Robert Falster Quantification of defects dynamics in unsteady-state and steady-state Czochralsky growth of monocrystalline silicon Journal Electrochemical Society, 151 (10), 2004 (G663-G678)

57. V.V.Voronkov and R.Falster Intrinsic point defects in silicon: a unified view from crystal growth, wafer processing and metal diffusion Solid State Phenomena Vols 108-109, 2005 (1-10)

58. U. Gosele, W. Frank, Seeger A. Solid State Communs, 1983,45 (31)

59. S.M.Hu Defects in silicon substrates J. Vac. Sci. Technology v.14 №1, 197717.31)

60. Пузанов Н.И., Эйдензон A.M. Релаксация в системе точечных дефектов растущего бездислокационного кристалла кремния Кристаллография, Том 31, вып. 2, 1986 (373-379)

61. Talid Sinno and Robert A. Brown Point defect dynamics and the oxidation-induced stacking-fault ring in Czochralski-grown silicon crystals J. Electrochem. Soc., Vol. 145, No. 1, January 1998 (302-318)

62. T.S.Plaskett Evidence of vacancy clusters in dislocation-free float-zone silicon Trans. Met. Soc. AIME, v.233, №4,1965, (809-812)

63. A.J.R de Kock Vacancy clusters in dislocation-free silicon Applied Physics Letters, Vol. 16, № 3, 1 February 1970, (100-102)

64. A.J.R. de Kock The elimination of vacancy-cluster formation in dislocation-free silicon crystals J. Electrochem. Soc. November, 1971, Vol 118, No 11 (1851-1856)

65. A.J.R. de Kock and P.G.T. Boonen The investigation of microdefects in high-purity silicon crystals by means of lithium decoration J. Appl. Phys., Vol. 44, No. 6, June 1973 (2816-2828)

66. L.I. Bernewitz, B.O. Kolbesen, K.R. Mayer, and G.E. Schuh ТЕМ observation of dislocation loops correlated with individual swirl defects in as-grown silicon Appl. Phys. Lett., Vol. 25, No. 5,1 September 1974 (277-279)

67. P.M. Petroff, A.J.R de Kock Investigation of defects and striations in as-grown Si crystals by SEM using Shottky diodes Applied Physics Letters, Vol. 27, No 6, 15 September 1975,(313-315)

68. P.M. Petroff and A.J.R. de Kock Characterization of swirl defects in floating-zone silicon crystals Journal of Crystal Growth 30,1975 (117-124)

69. A.J.R. de Kock, P.J. Roksnoer and P.G.T. Boonen The introduction of dislocations during the growth of floating-zone silicon crystals as a result of point defect condensation Journal of Crystal Growth 30,1975 (279-294)

70. P.M.Petroff, A.J.R. de Kock The formation of interstitial swirl defects in dislocation-free floating zone silicon crystals Journal of Crystal Growth 35,1976 (4-10)

71. Fumio Shimura, Hideki Tsuya, and Tsutomi Kawamura Surface- and inner-microdefects in annealed silicon wafer containing oxygen J. Appl. Phys. 51(1), Januaiy 1980, (269-273)

72. I.G. Salisbury Defects in Annealed Czochralski silicon Phys. Stat. Sol. (a) 61,1980 (K133-K135)

73. J.LChikawa Swirl defects in silicon single crystals NHK. Lab. Notes №232, 19791.12)

74. Губенко А.Я. Влияние структурного состояния расплава на дефектообразование в кристаллах кремния Silicon'90 Proceedings of the International Conference 5Л-9* November, 1990 Vol. 2 (11-15)

75. N.H.Fletcher Structural diffusion, interface structure, and crystal growth Journal of Crystal Growth 28 №3,1975 (375-384)

76. K.M.Kim Microdefects inn small diameter silicon crystals grown by the pedestal technique J. Appl. Phys. v.50 №2,1979 (1135-1138)

77. A.M. Van Run Computation of the non-steady motion of the silicon crystal-melt interface due to temperature fluctuations in the melt close to this interface growth J. Cryst. Growth 54 №2, 1981 (195-206)

78. В.В.Воронков, Г.И.Воронкова, Н.В.Веселовская, М.Г.Мильвидский, И.Ф.Червонный Влияние скорости роста и температурного градиента на тип микродефектов в бездислокационном кремнии Кристаллография, т.29, вып.6, 1984 (1176-1181)

79. Э.Г.Шейхет, Э.С.Фалькевич, К.Н.Неймарк, И.Ф.Червонный, В.А.Шершель Образование микродефектов при росте монокристаллов кремния ФТТ, т.26, вып.1, 1984 (207-213)

80. H.K.Kuiken, Р J.Roksnoer Analysis of the temperature distribution in FZ silicon crystals J. Cryst. Growth 47 №1,1979 (29-42)

81. U.Gosele and F.Morehead The predominant intrinsic point defects in silicon: vacancies or self-interstitials? "Semiconductor silicon", 1981 (766-786)

82. Nikolai I. Puzanov, Anna M. Eidenzon, Dmitri N. Puzanov Modelling microdefect distribution in dislocation-free Si crystals grown from the melt Journal of Crystal Growth 178, 1997 (468-478)

83. T.Y.Tan, U.Gosele Point defects, diffusion processes, and swirl defect formation in silicon Appl. Phys. A, v.37 №1,1985 (1-17)

84. Kozo Nakamura, Toshiaki Saishoji, Toshimichi Kubota, Tetsuhiro Iida, Yoshiyuki Shimanuki, Toshirou Kotooka, Junsuke Tomioka Formation process of grown-in defects in Czochralski grown silicon crystals Journal of Crystal Growth 180, 1997 (61-72)

85. Milind S. Kulkarni and Vladimir V. Voronkov Simplified two-dimensional quantification of grown-in microdefect distributions in Czochralski grown silicon crystals Journal of the Electrochemical Society, 152 (10), 2005 (G781-G786)

86. Milind S. Kulkarni and Vladimir V. Voronkov Simplified two-dimensional quantification of the microdefect distributions in silicon crystals grown by the Czochralski process Electrochemical Society proceedings Volume 2004-05 (254-267)

87. Н.И. Пузанов Моделирование распределения собственных точечных дефектов в объеме бездислокационных кристаллов кремния, растущих из расплава Неорганические материалы, том 32 № 1,1996 (7-16)

88. R. Assaker, N. Van den Bogaert, F. Dupret Time-dependent simulation of the growth of large silicon crystals by the Czochralski technique using a turbulent model for melt convection Journal of Crystal Growth 180,1997 (450-460)

89. Н.А.Верезуб, А.И.Простомолотов Исследование теплопереноса в ростовом узле процесса Чохральского на основе сопряженной математической модели Материалы электронной техники, № 3,2000 г (28-34)

90. Milind S. Kulkarni and Vladimir V. Voronkov A selective review of the quantification of defect dynamics in growing Czochralski crystals Ind. Eng. Chem. Res. 44, 2005 (6246-6263)

91. J. Esfandyari, C. Schmeiser, S. Senkader, and G. Hobler, B. Murphy Computer simulation of oxygen precipitation in Czochralski-grown silicon during HI-LO-HI anneals J. Electrochem. Soc., Vol. 143, No. 3, March 1996 (995-1001)

92. Talid Sinno and Robert A. Brown Modeling microdefect formation in Czochralski silicon Electrochemical Society Proceedings, Volume 98-1, (529-545)

93. F.Dupret, P.Nicodeme, Y.Ryckmans, P.Wouters and M.J.Crochet: Int. J. Heat Mass Transfer 33, №9,1990(1849)

94. N.Van den Bogaert and F.Dupret J. Ciyst. Growth 171,1997 (65)